GEOMETRIA ESPACIAL

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GEOMETRIA ESPACIAL 
 
POLIEDROS 
 
Região do espaço limitada por quatro ou mais 
polígonos planos. 
 
 
 
Soma dos ângulos internos: 
 
S = 360(V - 2) 
 
Arestas: 
 
A = (n × F)/2 
 A = (m × V)/2 
V + F = A + 2 
 
PRISMAS 
 
 
 
Ab = depende da base 
AL = ∑ Afaces laterais 
Atot = AL + 2 Ab 
 
V = Ab × h 
 
Dparalelepípedo = √a2 + b2 + c2 
Dcubo = L√3 
 
PIRÂMIDES 
 
 
 
 
Ab = depende da base 
AL = ∑ Afaces laterais 
Atot = AL + Ab 
 
V = Ab × h 
 3 
 
CILINDROS 
 
 
 
Planificação e cilindro de revolução: 
 
 
 
Fórmulas: 
 
Ab = πr2 
AL = 2 πrh 
Atot = AL + 2 Ab 
 
 
vértice 
apótema 
lateral 
apótema 
da base 
aresta 
da base 
altura 
aresta 
lateral 
eixo 
geratriz 
raio da base (r) 
altura 
base 
base 
 
V = πr2 × h 
 
CONES 
 
 
Planificação e cilindro de revolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas: 
 
Ab = πr2 
AL = πrg 
Atot = πr (g + r) 
 
 
V = πr2 × h 
 3 
 
Θ = 360 × r = 2πr 
 g g 
 
SEMELHANÇA DE SÓLIDOS 
 
 l1 = k A1 = k2 V1 = K3 
 l2 A2 V2 
 
Princípio de Cavaliere: dois sólidos que tiverem 
mesma altura e mesma área da base terão mesmo 
volume 
 
ESFERAS 
 
Superfície esférica: conjunto de pontos do espaço 
cuja distância a seu centro (O) é igual ao raio (R). 
 
 
A = 4πr2 
 
 
 
Esfera: conjunto de pontos do espaço cuja distância a 
seu centro (O) é menor ou igual ao raio (R). 
 
 
V = 4πr3 
 3 
 
 
 
Círculo máximo (equador): corte circular no centro da 
esfera. O raio do círculo obtido é o mesmo da esfera. 
 
Paralelos: seção 
perpendicular ao eixo de 
rotação de uma superfície 
esférica. O maior paralelo é 
um círculo máximo 
(equador). 
 
Meridianos: seção que 
contém o eixo de rotação. 
Todo meridiano é um círculo 
máximo, pois seu raio é igual 
ao raio da esfera. 
 
Polos: pontos de encontro da esfera com o eixo central 
(A e B na figura acima). 
 
Fuso esférico: superfície limitada por 2 meridianos 
cunha esférica: sólido limitado por 2 meridianos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Afuso = Aesfera × α Vfuso = Vesfera × α 
 360° 360° 
 
 
At cunha = Afuso + Aequador 
 
 
A 
B 
FUSO CUNHA 
 
Calota esférica: a superfície que está acima ou abaixo 
de um paralelo qualquer. 
 
Acalota = 2πrh 
 
 
OBS1: para resolução de problemas, importante ter 
em mente que seções paralelas (exceto o equador) 
criam um triângulo retângulo com o centro da esfera. 
 
d1 e d2: distâncias polares 
d: distância do centro da esfera (O) ao centro da 
seção paralela 
r: raio da seção paralela 
 
OBS2: relações métricas nos triângulos retângulos 
 
 a2 = b2 + c2 h2 = m × n 
 
 a × h = b × c c2= a × m b2 = a × n