ANALISE COMBINATORIA

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ANALISE COMBINATORIA 
 
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que 
permitem resolver problemas relacionados com contagem. 
 
• Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que: 
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades 
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de 
o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”. 
O princípio fundamental da contagem (PFC) afirma que o total de possibilidades de realizar-se o evento E é 
dado por: 
 
P1 ·P2 · … · Pn 
 
Tipos de Combinatória 
• Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. 
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: 
 
Exemplo 
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um vice-
representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante. 
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é 
importante, visto que altera o resultado final. 
 
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. 
 
• Permutações 
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis. 
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de 
agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação. 
Assim a permutação é expressa pela fórmula: 
 
Exemplo 
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em um banco 
com 6 lugares. 
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação: 
 
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco. 
 
Permutação com repetição 
Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto de n elementos, alguns destes 
são iguais. 
Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, dividimos o fatorial do número total n 
de elementos, pelo produto entre os fatoriais dos elementos que se repetem. 
 
 Pn é o número de permutações de n elementos. 
 a, b, c.. são os números de elementos de cada tipo que se repetem. 
6 pares de roupas
Anagrama
 
 
n! é o fatorial do número total de elementos n. 
Exemplos 
Vamos determinar quantas permutações existem para a palavra OVO. Para facilitar vamos colorir as letras. 
Vejamos os anagramas da palavra OVO. 
 
No entanto, algumas permutações se repetem e não podemos contá-las duas vezes. Para isso devemos 
dividir o valor de P3 (pois a palavra possui três letras), por P2 (pois a letra O se repete duas vezes). 
 
Vejamos este outro exemplo em que definiremos o número de permutações para as letras da palavra 
BANANA. 
 
Permutação Circular 
Permutação circular é um tipo de permutação composta por n elementos distintos em ordem cíclica (formando uma 
circunferência). 
 
Exemplo: Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar 
uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa? 
 
Essas pessoas podem sentar de 120 maneiras diferentes envolta da mesa. 
 
• Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão: 
 
Exemplo 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão organizadora de 
um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. 
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente à escolher João, José e Maria. 
 
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador. 
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão. 
 
• Probabilidade e Análise Combinatória 
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um 
experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a 
possibilidade de ganhar na loteria. 
https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
6 . 5. 4. 3. 2. 1
6
regra/objetivo
20 x 19 x 18!
2x1! 18!
 
 
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão: 
 
Sendo: 
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A 
n (A): número de resultados favoráveis 
n (Ω): número total de resultados possíveis 
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória. 
 
#DICAS 
 
 
 
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO 
1) Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 
9? 
a) 1 498 senhas 
b) 2 378 senhas 
c) 3 024 senhas 
d) 4 256 senhas 
 
2) Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em 
qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de 6 jogadores? 
a) 4 450 maneiras 
b) 5 210 maneiras 
c) 4 500 maneiras 
d) 5 005 maneiras 
 
3) De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças? 
a) 10 maneiras 
b) 24 maneiras 
c) 32 maneiras 
d) 40 maneiras 
4) De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto? 
a) 610 maneiras 
b) 800 maneiras 
c) 720 maneiras 
d) 580 maneiras 
 
5) Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o 
pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)? 
a) 336 formas 
b) 222 formas 
c) 320 formas 
d) 380 formas 
 
regra
possibilidades totais
15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!
6 x 5 x 4 x 3x 2x 1! 9!
 
 
6) Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos 
diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes 
podem montar? 
a) 30 combos 
b) 22 combos 
c) 34 combos 
d) 24 combos 
 
7) Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma? 
a) 4 845 comissões 
b) 2 345 comissões 
c) 3 485 comissões 
d) 4 325 comissões 
 
8) Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens. Eles pretendem se organizar em grupo de 
6 pessoas, com 4 mulheres e 2 homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser 
formadas? 
a) 100 comissões 
b) 250 comissões 
c) 200 comissões 
d) 150 comissões 
 
9) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um 
milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela 
empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e 
“D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. 
Opção Formato 
I LDDDDD 
II DDDDDD 
III LLDDDD 
IV DDDDD 
V LLLDD 
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em 
qualquer das opções. 
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao 
número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de 
clientes. 
A opção que mais seadequa às condições da empresa é 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
10) Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados 
de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto por peças individuais, 
cada uma simbolizando um único algarismo. 
Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de 
todos os quartos? 
a) 160 
b) 157 
c) 130 
d) 120 
e) 60 
 
11) Os gráficos representam a produção de peças em uma indústria e as horas trabalhadas dos funcionários 
no período de cinco dias. Em cada dia, o gerente de produção aplica uma metodologia diferente de trabalho. 
Seu objetivo é avaliar a metodologia mais eficiente para utilizá-la como modelo nos próximos períodos. Sabe-
se que, neste caso, quanto maior for a razão entre o número de peças produzidas e o número de horas 
trabalhadas, maior será a eficiência da metodologia. 
100 - 199: 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192-> 20 
 200-299 -> 120
300-399: 302-312-320-321-322-323-324-325-326-327-328-329-332-342-352-362-372-382-392 -> 20
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
26x10x10x10x10x10 = 2.600.000
Highlight
10x10x10x10x10x10 = 1.000.000
26x26x10x10x10x10= 6.760.000
10x10x10x10x10= 100.000
26x26x26x10x10= 1.757.600
 
 
 
Em qual dia foi aplicada a metodologia mais eficiente? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
12) Um determinado campeonato de futebol, composto por 20 times, é disputado no sistema de pontos 
corridos. Nesse sistema, cada time joga contra todos os demais times em dois turnos, isto é, cada time joga 
duas partidas com cada um dos outros times, sendo que cada jogo pode terminar empatado ou haver um 
vencedor. 
Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, o número de jogos em que houve ganhador é 
igual a 
a) 64. 
b) 74. 
c) 254. 
d) 274. 
e) 634 
 
13) Considere a palavra GARFO e responda as seguintes questões? 
a) Quantos são os anagramas da palavra GARFO? 
b) Quantos são os anagramas que começam com a letra A? 
c) Quantos são os anagramas no caso das vogais estarem sempre uma ao lado da outra? 
 
rodadas = 1 rodada = 10 jogos
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5! = 5x4x3x2x1 = 120