Matemática Elementar

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História Dos Números ....................................................................................................................................................... 4 
Sistemas Numéricos .......................................................................................................................................................... 4 
Definição De Conjunto ...................................................................................................................................................... 5 
Teoria Dos Conjuntos ........................................................................................................................................................ 5 
Conjuntos Numéricos .................................................................................................................................................... 5 
Números Naturais ..................................................................................................................................................... 5 
Números Inteiros ...................................................................................................................................................... 5 
Números Racionais ................................................................................................................................................... 5 
Números Irracionais .................................................................................................................................................. 5 
Números Reais .......................................................................................................................................................... 6 
Números Complexos ................................................................................................................................................. 6 
Notação De Conjuntos .................................................................................................................................................. 6 
Símbolos Dos Conjuntos ........................................................................................................................................... 6 
Diagrama De Venn ............................................................................................................................................................ 6 
O Que É Fração? ................................................................................................................................................................ 7 
Tipos De Fração ............................................................................................................................................................. 7 
Fração Própria ............................................................................................................................................................... 7 
Operações Com Fração ................................................................................................................................................. 7 
Mínimo Múltiplo Comum (Mmc) ...................................................................................................................................... 1 
1º Método - Comparação Dos Múltiplos ...................................................................................................................... 1 
2º Método - Decomposição Em Fatores Primos ............................................................................................................ 1 
3º Método - Método Das Divisões Sucessivas ............................................................................................................... 1 
Cálculo De Uma Expressão Algébrica ................................................................................................................................ 2 
Soma E Subtração ......................................................................................................................................................... 2 
Multiplicação ................................................................................................................................................................. 2 
Divisão De Um Polinômio Por Um Monômio ................................................................................................................ 2 
Simplificação De Expressões Algébricas........................................................................................................................ 2 
Fatoração De Expressões Algébricas ............................................................................................................................. 2 
Classificação Das Expressões Algébricas ........................................................................................................................... 3 
Monômios ..................................................................................................................................................................... 3 
Polinômios..................................................................................................................................................................... 3 
Equação De 1º Grau .......................................................................................................................................................... 4 
Como Calcular? ............................................................................................................................................................. 4 
Equação De 2º Grau .......................................................................................................................................................... 4 
Tipos .............................................................................................................................................................................. 5 
Como Resolver? ............................................................................................................................................................ 5 
Figuras Planas E Suas Areas .............................................................................................................................................. 6 
Triângulo ....................................................................................................................................................................... 6 
Quadrado ...................................................................................................................................................................... 6 
Retângulo ...................................................................................................................................................................... 7 
Losango ......................................................................................................................................................................... 7 
Trapézio ......................................................................................................................................................................... 7 
Círculo ........................................................................................................................................................................... 8 
Perímetro De Figuras Planas ............................................................................................................................................. 8 
Poliedros ........................................................................................................................................................................ 9 
Sólidos Geométricos E Seus Volumes ............................................................................................................................... 9 
Prisma ...........................................................................................................................................................................9 
Cubo ............................................................................................................................................................................ 10 
Pirâmide ...................................................................................................................................................................... 10 
Cilindro ........................................................................................................................................................................ 10 
Esfera .......................................................................................................................................................................... 11 
 
 
Número é um objeto abstrato da matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida. O conceito de 
número provavelmente foi um dos primeiros conceitos matemáticos assimilados pela humanidade no processo de 
contagem. 
A ideia de número foi construída ao longo da história. Desde a pré-história, a necessidade de contar e medir fez parte 
das atividades do homem primitivo. 
Os egípcios, por exemplo, por volta de 3500 a.C., criaram seu próprio sistema de contagem e escrita. A base da 
numeração egípcia era decimal e utilizava o princípio multiplicativo para desenvolver os números. Outros tipos de 
números são tão antigos quanto o dos egípcios e foram criados para facilitar a tributação e a agricultura pelas 
civilizações. 
Os hindus inventaram um sistema de numeração, por volta do século VI, que foi difundido pela Europa Ocidental 
provavelmente através dos árabes. Esse sistema hindo-arábico são os algarismos que utilizamos hoje. Mohammed 
ibu-Musa al-Khowarizmi, matemático árabe, descreveu em seu livro adição e subtração, de acordo com o cálculo hindu 
a possibilidade de representar qualquer número utilizando apenas 10 símbolos, chamados de algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9 e 0). 
Sistemas numéricos são sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas denominadas números. 
Um sistema numérico é definido pela base que utiliza. A base é o número de símbolos diferentes, ou algarismos, 
necessários para representar um número qualquer, dos infinitos possíveis no sistema. 
Cada sistema tem suas características de acordo com a cultura dos povos. Durante a história da humanidade, algumas 
formas de representar quantidades foram desenvolvidas para facilitar a vida do homem, assim povos diferentes 
inventaram sistemas de numeração únicos. 
Os sistemas de numeração dividem-se em dois grandes grupos: sistemas numéricos posicionais e sistemas numéricos 
não-posicionais. 
• POSICIONAIS: O valor atribuído ao símbolo depende da posição que ele ocupa em relação ao conjunto. 
• NÃO-POSICIONAIS: Os símbolos possuem valores definidos e imutáveis, não dependendo da posição que 
ocupam no conjunto de que fazem parte. 
Os seguintes sistemas de numeração posicionais são alvos desse estudo: 
• SISTEMA DECIMAL: Possui base 10 e faz uso de dez símbolos para representar todas as quantidades. 
• SISTEMA BINÁRIO: Tem base 2 e é representado pelos símbolos 0 e 1. 
• SISTEMA OCTAL: Possui base 8 e utiliza os algarismos 0 a 7. 
• SISTEMA HEXADECIMAL: Possui base 16 e para representar as quantidades faz uso dos números 0 a 9 e das 
letras A a F que correspondem aos números 10 a15. 
Chamamos de conjunto toda e qualquer coleção de elementos. Estes elementos podem ser números, objetos, figuras, 
pessoas, animais e tudo o que podemos ordenar, catalogar ou reunir em grupos de seus elementos. 
Teoria dos conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora 
qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é, em geral, investigada com 
elementos que são relevantes para os fundamentos da matemática. A maioria dos conjuntos em matemática não 
possuem uma definição para todos os seus elementos, logo a forma mais fácil de definir um conjunto é utilizando uma 
propriedade comum para todos os seus elementos, ou seja, uma lei que consiga ser associada a todos os elementos 
que o compõe. 
De acordo com a Teoria dos Números, existem 6 conjuntos numéricos: conjunto dos números naturais (ℕ), conjunto 
dos números inteiros (ℤ), conjunto dos números racionais (ℚ), conjunto dos números irracionais (𝕀), conjunto dos 
números reais (ℝ) e o conjunto dos números complexos (ℂ). 
Os conjuntos numéricos são representados por meio do Diagrama de Venn e são capazes de realizar diversas 
operações como: relações de pertinência, uniões, interseções e complementações. 
O conjunto dos números naturais (ou o conjunto dos inteiros não negativos), representado pelo símbolo ℕ, é a nossa 
principal ferramenta de contagem. 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … } 
Podemos considerar números inteiros aqueles positivos e negativos, que não contenham parte decimal, e o zero. 
Representado pelo símbolo ℤ. 
ℤ = {… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } 
Números racionais são os números que podem ser representados por frações de números inteiros, contanto que o 
denominador seja qualquer número diferente de zero (0). Representado pelo símbolo ℚ. 
ℚ = {
𝑎
𝑏
} 
Para que aconteça a fração, portanto, é necessário que “a” e “b” sejam números inteiros, e que “b” seja qualquer 
número diferente de zero (0). 
Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de 
frações irredutíveis. Representado pelo símbolo 𝐼. 
𝐼 = {√5, √2, √7,
1
3
} 
Os números irracionais podem ser algébricos ou transcendentes. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (√2) pode ser 
escrita como sendo x2 - 2 = 0, então é irracional algébrico. O número pi (π) é o mais famoso dos números irracionais 
transcendentes. Seu valor é π = 3,14159265358979323846… e representa a proporção da medida da circunferência e 
do seu diâmetro. 
Os números reais formam um conjunto que engloba aos números positivos, negativos, decimais, fracionários, zero, 
além das dízimas periódicas e não periódicas. Representado pelo símbolo ℝ. 
Números complexos são o conjunto de números formados por uma parte real e uma parte imaginária, um elemento 
específico denotado i. Representado pelo símbolo ℂ. Um número complexo é um número z que pode ser escrito na 
forma abaixo, sendo x e y números reais e i denota a unidade imaginária. 
𝑧 = 𝑥 + 𝑦ⅈ 
A matemática sistematizou as relações que estabelecemos entre as coisas. Para isso, ela adotou notações, ou 
representações por símbolos, que facilitam a visualização das relações que entre os conjuntos. 
Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para 
essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos: 
• PERTENCE (∈): quando um elemento pertence a um conjunto, utiliza-se o símbolo ∈ (pertence) para 
representar tal situação. Por exemplo, i∈A é lido como i pertence ao conjunto A. 
• NÃO PERTENCE (∉): representa o contrário do símbolo anterior, ou seja, serve para quando um elemento não 
pertence a um determinado conjunto. 
• CONTIDO (⊂) E CONTÉM (⊃): se o conjunto A é subconjunto do conjunto B, dizemos que A está contido em B 
(A ⊂ B) ou, ainda, que B contém A (B ⊃ A). 
O diagrama de Venn é uma forma gráfica que representa os elementos de um conjunto. Para fazer essa representação 
utilizamos formas geométricas. Para indicar o conjunto universo, normalmente usamos um retângulo e para 
representar subconjuntos do conjunto universo empregamos círculos. Dentro dos círculos são incluídos os elementos 
do conjunto. 
 
 
Fração nada mais é que uma divisão representada matematicamente de forma diferente. Ela indica em quantas partes 
iguais um todo foi dividido, sendo que cada parte é uma fração desse todo. Ou seja, ela é usada para representar 
partes de algo inteiro, e é especialmente útil quando isso não pode ser demonstrado com números naturais. 
𝑎
𝑏
 
FRAÇÃOPRÓPRIA 
São frações em que o numerador, ou seja, o pedaço, é menor que o denominador, ou seja, que o todo. 
FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
Estes tipos de frações são exatamente o contrário das que acabamos de ver. Aqui, o numerador é maior que o 
denominador. 
FRAÇÃO APARENTE 
Em muitos casos, o resultado dessa operação será um número inteiro. Isso acontece quando o numerador é divisível 
pelo denominador. 
FRAÇÃO EQUIVALENTE 
As frações são equivalentes quando representam a mesma parte em relação ao todo. 
FRAÇÃO IRREDUTÍVEL 
A fração irredutível é a forma mais simples de representar determinada quantidade. Para chegar a ela, é necessário 
que tanto o numerador quanto o denominador possam ser divididos pelo mesmo número simultaneamente. 
FRAÇÃO MISTA 
Com uma fração mista, claro. Com elas, é possível representar números que possuem uma parte inteira e outra 
fracionária. 
ADIÇÃO 
Para somar frações que possuem o mesmo denominador, basta mantê-lo e somar os numeradores. Para aprender 
como somar frações com denominadores diferentes, você vai precisar entender como funciona o MMC (mínimo 
múltiplo comum). Desta maneira, é possível igualar os denominadores e a partir daí fazer a adição. Você deve então 
dividi-lo por cada denominador e multiplicar tanto o denominador quanto o numerador por este número. 
SUBTRAÇÃO 
Com a subtração acontece exatamente o mesmo que com a adição. Caso os denominadores sejam os mesmos, basta 
realizar a operação entre os numeradores e repetir o denominador. Caso os denominadores sejam diferentes, 
precisamos realizar o mesmo processo que explicamos anteriormente. Primeiro, encontrar o MMC, igualar os 
denominadores, ajustar os numeradores e então fazer a operação. 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Para multiplicar frações, basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. 
DIVISÃO 
Agora que você já sabe como multiplicar uma fração, fica fácil entender como dividir a fração. Para isso, tudo o que 
você vai precisar fazer é manter a primeira como está e inverter o numerador e o denominador da segunda. Depois, é 
só fazer a multiplicação. 
Encontrar o MMC entre dois números é procurar o menor número múltiplo de dois ou mais números 
simultaneamente. Para calcular o MMC entre dois ou mais números, existem vários métodos. Os que mais se destacam 
são três, apresentados a seguir. 
1º MÉTODO - COMPARAÇÃO DOS MÚLTIPLOS 
Escrever a lista de múltiplo de cada um dos números e encontrar o menor múltiplo em comum entre eles. Acontece 
que esse método é pouco prático quando há mais números, ou então, quando os números são maiores, muitas vezes 
encontrar o MMC escrevendo a lista de múltiplos de cada um dos números pode ser bastante trabalhoso. 
2º MÉTODO - DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
O método de decompor os números em fatores primos facilita encontrar os múltiplos em comum quando os números 
são maiores. Os números que não são primos podem ser escritos como o produto entre números primos. Esse método 
consiste em reescrever os números na forma fatorada e multiplicar os fatores com os seus maiores expoentes. 
3º MÉTODO - MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
O terceiro método é o mais utilizado e é conhecido como método prático do MMC ou método das divisões sucessivas. 
Como o nome sugere, nele se realiza divisões sucessivas com esses números simultaneamente para encontrar os 
fatores cujo produto será o MMC. 
 
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. As expressões desse 
tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações. 
O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras. Para calcular o valor de uma 
expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre 
o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação. 
A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos semelhantes e 
repetindo a parte literal. É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais 
de dentro dos parênteses. 
A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo. Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade 
da potenciação para multiplicação de mesma base: "repete-se a base e soma-se os expoentes". 
A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo coeficiente do 
monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma base (repete-se a base e subtrai os 
expoentes). 
Realizar a simplificação de uma expressão algébrica é o mesmo que escrevê-la de forma mais simples. Conhecemos 
como termos semelhantes aqueles termos algébricos que possuem a mesma parte literal. Para que eles sejam 
semelhantes, as variáveis e seus expoentes precisam ser os mesmos, podendo ter coeficientes diferentes. Quando os 
termos são semelhantes, podemos somar ou subtrair os seus coeficientes, simplificando a expressão algébrica. 
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos. Transformar uma expressão algébrica em uma 
multiplicação de termos, frequentemente nos permite simplificar a expressão. Para fatorar uma expressão algébrica 
podemos usar os seguintes casos: 
• Fator comum em evidência: ax + bx = x. (a + b) 
• Agrupamento: ax + bx + ay + by = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b) 
• Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
• Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
• Diferença de dois quadrados: (a + b). (a – b) = a2 – b2 
• Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
• Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
As expressões algébricas são classificadas em dois grupos: monômios e polinômios. 
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras (parte literal), ela é 
chamada de monômio. Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal (mesmas letras com 
mesmos expoentes). 
Um monômio é dividido em duas partes: o coeficiente, que é o número que está multiplicando a letra, e a parte literal, 
que é a variável com o seu expoente. 
Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é chamada de polinômio. 
Um polinômio nada mais é do que a soma ou a diferença entre monômios. É bastante comum o uso de polinômios no 
estudo de equações e funções, ou na geometria analítica, para descrever as equações de elementos da geometria. 
 
 
Uma equação é uma sentença matemática que possui uma igualdade e, pelo menos, uma incógnita, ou seja, quando 
temos o envolvimento de uma expressão algébrica e uma igualdade. O estudo de equações pede conhecimentos 
prévios, como o estudo sobre expressões numéricas. O objetivo de uma equação é encontrar o valor da incógnita que 
torne a igualdade em uma identidade, ou seja, uma igualdade verdadeira. 
º
A equação do 1º grau é uma equação que possui incógnita com grau 1. A sentença matemática da equação do 1º grau 
é 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, em que a e b são números reais, e a é diferente de 0. O objetivo de escrever uma equação do 1º grau é 
encontrar qual é o valor da incógnita que satisfaz a equação. Esse valor é conhecido como solução ou raiz da equação. 
Representamos determinada situação como uma equação quando temos o objetivo de encontrar os valores que a 
incógnita pode assumir que faz com que a equação continue verdadeira, ou seja, encontrar as soluções ou a solução 
da equação. Vejamos a seguir como encontrar a solução de uma equação do 1º grau com uma incógnita e as soluções 
de uma equação do 1º grau com duas incógnitas. 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA 
A equação do 1º grau com uma incógnita é a equação do tipo: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
Nessa sentença, a e b são números reais. Utilizamos como referência o símbolo de igualdade. Antes dele, temos o 1º 
membro da equação e depois do sinal de igual,temos o segundo membro da equação. Para encontrar a solução dessa 
equação, buscamos isolar a variável x. 
*IMPORTANTE: Esse processo de realizar uma ação dos dois lados da equação muitas vezes é descrito como “passar 
para o outro lado” ou “passar para o outro membro fazendo a operação inversa”. 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 
Quando há uma equação do 1º grau que possui duas incógnitas, não existe uma única solução, mas sim infinitas 
soluções. Uma equação do 1º grau com duas incógnitas é uma equação do tipo: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
Para encontrar algumas das infinitas soluções da equação, atribuímos um valor para uma de suas variáveis e 
encontramos o valor da outra variável. 
*IMPORTANTE: Como essa equação possui duas incógnitas, temos infinitas soluções. Os valores para as variáveis 
foram escolhidos de forma aleatória, logo, poderíamos atribuir outros valores completamente diferentes para as 
variáveis e encontrar outras três soluções para a equação. 
º
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está 
elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Uma equação do 2º grau pode ser completa ou incompleta. Ela é completa quando possui todos os coeficientes 
diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou o coeficiente c sejam iguais a 0. O coeficiente a não pode ser 
igual a 0, pois, caso fosse, a equação não seria do 2º grau. 
• EQUAÇÃO COMPLETA: Quando os coeficientes a, b e c são diferentes de 0. 
• EQUAÇÃO INCOMPLETA: Quando os coeficientes b ou c são iguais a 0. 
As soluções de uma equação do 2º grau, conhecidas também como raízes da equação, são os valores de x que fazem 
com que essa equação seja verdadeira. Uma equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real, ou 
até mesmo nenhuma solução real. Veja, a seguir, os dois métodos para calcular as soluções da equação de 2ºgrau, são 
eles a fórmula de Bhaskara e a operação soma e produto. 
FÓRMULA DE BHASKARA 
A fórmula de Bhaskara utiliza os coeficientes a, b e c para encontrar a solução da equação. Para resolver uma equação 
utilizando a fórmula de Bhaskara, calcula-se o discriminante, representado pela letra grega Δ (delta). 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Com o valor do discriminante, é possível saber se a equação possui solução real e quantas soluções são: 
• Se Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais. 
• Se Δ = 0, então a equação possui uma solução real. 
• Se Δ < 0, então a equação não possui solução real. 
Além do discriminante, é necessário calcular o valor de x pela fórmula de Bhaskara: 
𝑥 = −𝑏 ± 𝛥√2𝑎 
SOMA E PRODUTO 
A operação soma e produto é um método mais intuitivo de resolução. Utiliza-se a soma e o produto quando as soluções 
da equação de 2º grau são números inteiros, pois, dada uma equação do 2º grau com soluções iguais a x1 e x2, tem-
se que: 
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏𝑎 
𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝑐𝑎 
 
A geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras planas, iniciando-se nos conceitos primitivos de ponto, 
reta e plano, e, com base neles, desenvolvendo-se até a construção das figuras planas, com o cálculo de suas 
respectivas áreas e perímetros. 
Algumas formas de figuras planas recebem nomes especiais, e são amplamente estudadas na geometria. Vejamos 
quais são elas. 
Começando pela figura geométrica mais simples, o triângulo é uma figura plana que possui três lados. Triângulos são 
figuras que apresentam três lados. Para encontrar a área de um triângulo retângulo, é preciso dividir por 2 o resultado 
da multiplicação da base (b) pela altura (h), que é calculada a partir da distância do vértice à base. Assim, chegamos à 
fórmula: 
𝐴 = 𝑏. ℎ/2 
No caso dos triângulos equiláteros (que possuem todos os lados iguais e ângulos internos de 60º), a fórmula padrão 
utilizada então é: 
𝐴 = 𝐿2 √3/4 
Porém, quando se trata de triângulos que não possuem o ângulo de 90º, utilizamos fórmulas que exigem o 
conhecimento de conceitos como seno e cosseno, semiperímetro ou que são formadas a partir do raio de uma 
circunferência traçada em volta ou dentro do triângulo. 
 
 
 
 
 
Conhecemos como quadrado a figura plana que possui quatro lados, todos eles iguais, e todos os seus ângulos são 
iguais a 90º. O quadrado possui todos os lados com a mesma medida. A fórmula para o cálculo de área de um quadrado 
segue a mesma lógica do retângulo. No entanto, considerando que esta figura possui os 4 lados iguais, basta descobrir 
a medida de um dos lados e elevar este número ao quadrado. Assim, chegamos à fórmula: 
𝐴 = 𝐿2 
 
 
 
 
O retângulo, também classificado como um quadrilátero, é caracterizado por todos os seus ângulos serem retos, ou 
seja, medem 90 graus. No entanto, em contraste com o quadrado, não é necessário que todos os lados do retângulo 
tenham comprimentos idênticos. Assim, o retângulo é um quadrilátero com todos os ângulos retos. A fórmula utilizada 
para determinar a área de um retângulo é uma das mais simples da geometria. Basta multiplicar a base (b) pela altura 
(h). Sendo assim, chegamos na seguinte forma: 
𝐴 = 𝑏. ℎ 
 
 
 
 
Outra forma geométrica bastante frequente é o losango, que apresenta quatro lados, todos eles congruentes, ou seja, 
com a mesma extensão. No entanto, ao contrário do quadrado, os ângulos do losango não necessitam ser todos 
idênticos. No losango, todos os lados têm a mesma medida. Para descobrir a área total dessa figura plana, basta 
multiplicar o valor da diagonal maior (D) e da menor (d) e em seguida, dividir o resultado por 2, de acordo com a 
fórmula: 
𝐴 = 𝐷. 𝑑/2. 
 
 
 
 
 
O trapézio é outro caso de quadrilátero, ele tem sempre dois lados paralelos e um lado não paralelo. Os trapézios 
possuem apenas dois lados paralelos entre si. No caso de trapézio, precisamos multiplicar a altura (h) da figura plana 
pelo valor da soma da base maior e da base menor, representadas respectivamente por B e b, e depois, dividir o valor 
por 2. Como seguinte fórmula: 
𝐴 = (𝐵 + 𝑏) . ℎ/2 
 
 
 
 
 
 
O círculo é uma figura geométrica muito importante também, sendo um formato bastante comum no dia a dia. Já no 
círculo, que temos a constante π e o raio, representado pela letra R, basta elevar este último ao quadrado e, na 
sequência, multiplicar os valores, de acordo com a seguinte fórmula: 
𝐴 = 𝜋𝑅2 
*OBS.: circunferência é o nome dado à linha de contorno do círculo. Portanto, por ser uma linha, calcula-se o seu 
perímetro usando a expressão: C = 2.π.r 
 
 
 
 
 
 
Conhecemos como perímetro de uma figura plana o comprimento do contorno dessa figura. Então, para calcular o 
perímetro de uma figura plana, basta realizar a soma de todos os seus lados, independentemente da figura em si. 
Os sólidos geométricos são delimitados por faces que, por sua vez, são constituídas por polígonos. Portanto, qualquer 
sólido geométrico cuja superfície seja composta exclusivamente por polígonos é classificado como um poliedro. O 
conjunto de todos os sólidos geométricos costuma ser dividido em três grandes grupos: poliedros, corpos redondos e 
outros. 
POLIEDROS 
São sólidos geométricos limitados por faces, que, por sua vez, são polígonos. Assim, qualquer sólido geométrico cuja 
superfície seja formada somente por polígonos é um poliedro. As linhas formadas pelo encontro entre duas faces de 
um poliedro são chamadas de aresta e qualquer ponto de encontro entre arestas é chamado de vértice. O grupo dos 
poliedros é dividido em outros três grupos: prismas, pirâmides e outros. 
CORPOS REDONDOS 
Enquanto os poliedros são sólidos geométricos constituídos exclusivamente por polígonos e cujas arestas são 
segmentos de reta, os corpos redondos são sólidos que apresentam superfícies curvas em vez de faces planas e, 
quando colocados sobre uma superfície plana inclinada, têm a capacidade de rolar. Exemplos de corpos redondos 
incluem cones, cilindrose esferas. 
OUTROS 
Os sólidos geométricos que não se enquadram nas duas categorias anteriores são o que chamamos de outros. 
Geralmente são sólidos que possuem uma “face” curva, mas que não rolariam se colocados sobre uma superfície 
plana. Além disso, cada sólido geométrico possui sua figura plana e apresenta característica própria. Alguns deles, 
porém, são peculiares e não possuem estes elementos: 
• VÉRTICES: Pontos que unem as arestas. 
• ARESTAS: Retas que unem os lados dos sólidos. 
• FACES: Cada lado (face) dos sólidos. 
O prisma é todo sólido geométrico que possui duas bases iguais e faces laterais formadas por paralelepípedos, por 
exemplo, caixas de sapato, prédios, entre outros objetos. Para calcular o volume do prisma, é necessário conhecer a 
área da base, que pode ser formada por qualquer polígono. O volume do prisma é calculado pelo produto entre a área 
da base e a altura do prisma. 
𝑉 = 𝐴𝑏 · ℎ 
 
 
 
 
 
Começando pelo cubo, sabemos que ele possui todas as arestas congruentes. Então, para calcular o volume do cubo, 
sabemos que a área do quadrado é igual ao quadrado da aresta. Para calcular o volume, multiplicamos pela altura, 
que, no caso do cubo, também é igual à medida da aresta. Assim, o volume do cubo é dado por: 
𝑉 = 𝑎3 
 
 
 
 
A pirâmide é o sólido geométrico que possui a base formada por um polígono e as faces laterais formadas por um 
triângulo, ligando os vértices da base a um ponto fora da base conhecido como vértice da pirâmide. Assim como o 
prisma, a pirâmide também pode possuir diferentes bases. Para calcular o volume da pirâmide, é necessário calcular 
a área da base. O volume da pirâmide é dado pela fórmula: 
𝑉 =
𝐴𝑏 . ℎ
3
 
 
 
 
 
 
O cilindro é um sólido geométrico caracterizado por ter duas bases circulares de igual raio. Devido à sua forma 
arredondada, é frequentemente categorizado como um corpo de formato arredondado. Esse sólido geométrico é 
comumente encontrado em embalagens de produtos, como aquelas usadas para acondicionar chocolates e outros 
itens. Para calcular o volume de um cilindro, precisamos apenas da medida do seu raio e da sua altura: 
𝑉 = 𝜋𝑅2. ℎ 
 
 
 
 
 
O volume de uma esfera corresponde a quatro terços do produto entre π e r3, sendo r o raio da esfera. 
𝑉 =
4𝜋𝑟3
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