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Prof. Dr. Joares Junior UNIDADE II Mecânica da Partícula Como noção intuitiva, a aceleração é a medida da mudança de velocidade com o tempo. Por exemplo, um carro é capaz de “acelerar” de 0 a 108 km/h em 6s. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. A aceleração média em um dado intervalo de tempo é definida como: No S.I., m/s2 Cinemática. Aceleração média. A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o Δt tende a zero, ou seja, a aceleração instantânea é a inclinação da reta tangente ao gráfico v x t. Cinemática. Aceleração instantânea. Os movimentos acelerados podem ser classificados em quatro tipos, dependendo dos sinais da aceleração e da velocidade. Temos: Movimento progressivo e acelerado: v > 0 e a > 0. Nesse caso, a partícula se move no sentido positivo do eixo das posições e a velocidade está aumentando com o tempo. Movimento progressivo e retardado: v > 0 e a < 0. A partícula, nesse caso, está se movendo no sentido positivo do eixo das posições, mas a velocidade está diminuindo com o tempo. Cinemática. Classificação de movimentos. Movimento retrógrado e retardado: v < 0 e a > 0. A partícula aqui se move no sentido negativo do eixo das posições; porém, como a aceleração é positiva e a velocidade é negativa, isso fará com que a partícula diminua sua velocidade com o tempo. Movimento retrógrado e acelerado: v < 0 e a < 0. Nesse caso, a partícula também se move no sentido negativo do eixo das posições; mas, como a aceleração e a velocidade são ambas negativas, isso fará com que a partícula aumente sua velocidade com o tempo. Cinemática. Classificação de movimentos. Nesse tipo de movimento, a aceleração instantânea é constante, ou seja: Se e t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a velocidade fica: Cinemática. Movimento uniformemente variado – MUV Fonte: HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos da Física, vol.1. Mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2006a. 0 0 V e lo c id a d e Função horária dos espaços S = f(t) Cinemática. MUV. Função horária dos espaços. Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020. espaço tempo0 t1 S0 espaço tempot10 S0 Nessa equação não aparece, de forma explícita, a variável tempo. Cinemática. MUV. Equação de Torricelli. Substituindo na função horária da posição: Tirando o mínimo: Finalmente: V2 = V2 + 2aΔS0 As equações do MUV são: Cinemática. MUV. Resumo das equações. Um corredor olímpico de 100 metros rasos acelera desde a largada, com aceleração escalar constante, até atingir a linha de chegada, por onde ele passará com velocidade escalar de 12 m/s. Determine: a) a aceleração escalar do corredor; b) o tempo gasto para percorrer os 100 m. Cinemática. MUV. Exemplo Cinemática. MUV. Exemplo. Resolução. Em uma corrida olímpica de 100 m rasos, o atleta brasileiro Robson Caetano conseguiu a marca de 10,0s, que é o recorde sul-americano. O gráfico da velocidade escalar do atleta em função do tempo, determinado por um computador, tem o formato aproximado apresentado a seguir. A velocidade escalar máxima atingida pelo atleta vale: a) 36,0 km/h. b) 40,0 km/h. c) 42,0 km/h. d) 45,0 km/h. e) 50,0 km/h. Interatividade Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020. V (m/s) Vmáx 4,00 10,0 t (s) d) 45 km/h Resposta Desde a Antiguidade que o estudo da queda livre dos corpos foi objeto de curiosidade dos grandes pensadores. Galileu percebeu que a queda livre dos corpos se dá com aceleração constante. Essa aceleração é conhecida como aceleração da gravidade. Para quedas próximas à superfície da Terra, esse valor é de aproximadamente 9,8 m/s2. Cinemática. MUV. Queda Livre. Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020. Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020. Trajetória Trajetória Para o lançamento vertical, vamos adotar o seguinte sistema de referência: Cinemática. MUV. Lançamento Vertical. Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020. Lançamento de uma partícula com um dado ângulo de inclinação. Cinemática. Lançamento Oblíquo. Altura máxima Mov. Vertical Tempo de subida Mov. Horizontal Alcance horizontal y Voy Vo 0 Vox V0x = V0COS(θ) V0y = V0sen(θ) Vox VVy y x D Veja a animação Cinemática. Lançamento Oblíquo. Um vetor é uma quantidade completamente especificada por um número e uma unidade (magnitude ou módulo do vetor), direção e sentido (seu caráter geométrico). Cinemática. Vetores Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010. Igualdade de vetores y x A soma, para dois vetores, é definida por: , que possui as propriedades de: a) Comutatividade b) Associatividade Cinemática. Vetores. Adição Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010. Seja o vetor , o vetor oposto possui a mesma magnitude, mas aponta no sentido oposto. Subtraindo vetores: Cinemática. Vetores. Vetor oposto e subtração Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010. Um vetor pode ser escrito em termos de suas componentes cartesianas: Cinemática. Vetores. Componentes. Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010. Ax = A cos θ Ay = A sin θ 𝐴 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 y y x x θ x x y θ 0 0 y Considere a situação na qual um vaso de plantas mal colocado na sacada da varanda de um apartamento cai, atingindo o solo após 3,5s. Desprezando-se o arrasto do ar sobre o vaso, podemos afirmar que o módulo da velocidade com que o vaso atingiu o solo e a altura da qual ele caiu valem, respectivamente (adote g = 10,0 m/s2): a) 33 m/s e 61,25 m. b) 35 m/s e 61,25 m. c) 35 m/s e 70 m. d) 126 km/h e 70 m. e) 126 km/h e 80 m. Interatividade b) 35 m/s e 61,25 m Resolução: velocidade final Altura de queda: Resposta O vetor deslocamento é caracterizado pelas seguintes propriedades: Direção: a direção do vetor deslocamento é dada pela reta que une os pontos que representam as posições inicial e final. Isso quer dizer que o vetor deslocamento não depende do caminho percorrido, apenas da posição inicial e da posição final. Sentido: o sentido é dirigido da posição inicial até a posição final em cima da reta que une os dois pontos. Módulo (magnitude): trata-se da distância entre os dois pontos (final e inicial). Cinemática. Vetor deslocamento. (t1) ΔS12 (t2) V2 Posição 1 Posição 2 Movimento ΔS13 Posição 3 (t3) Trajetória O vetor velocidade Ԧ𝑣 se caracteriza pelas seguintes propriedades: Direção: como a velocidade é a derivada da posição, sua direção será sempre a da reta tangente à função horária da posição em função do tempo, ou seja, paralela à trajetória. Sentido: o sentido da velocidade é sempre o mesmo do movimento. Módulo (magnitude): trata-se da velocidade escalar naquele instante. Cinemática. Vetor Velocidade média e velocidade. Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010. Movimento (t1) V1 (t2) V2 Posição 1 Posição 2 Posição 3 Trajetória Posição 4 (t3) V3 (t4) V4 A B B B ΔS d Δt Δt Vm Δs Δs = d y x0 O conceito de aceleração está sempre ligado à ideia de variação de velocidade. Qualquer alteração na velocidade vetorial , seja em módulo, seja em orientação (direção e sentido), implicará a existência de uma aceleração vetorial . Para facilidade de estudo, a aceleração vetorial é decomposta em duas parcelas, que são denominadas aceleração tangencial e aceleração centrípeta . Cinemática. Aceleração vetorial. Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020. P Trajetória normal à trajetória Tangente à trajetória at aa cp Aceleração tangencial indica a variação do valor algébrico(intensidade) da velocidade; as características do vetor aceleração tangencial são: direção: tangente à trajetória. sentido: o mesmo do vetor velocidade (acelerado) ou oposto ao do vetor velocidade (retardado). módulo: igual ao da aceleração escalar. Aceleração centrípeta indica a variação de direção da velocidade; as características do vetor aceleração centrípeta são: direção: perpendicular ao vetor velocidade. sentido: orientado para o centro da curvatura da trajetória no ponto de localização do móvel. Módulo: depende do quadrado da velocidade escalar e do raio (R) da curvatura da trajetória: Cinemática. Aceleração vetorial. Componentes. A tabela abaixo apresenta as características dessas componentes nos diversos movimentos: Cinemática. Aceleração vetorial. Movimentos. Movimento MRU Módulo: constante Direção: constante Nula Nula MRV Módulo: variável Direção: constante Não nula Nula MCU Módulo: constante Direção: variável Nula Não nula MCV Módulo: variável Direção: variável Não nula Não nula Esse movimento tem velocidade de módulo constante, porém sua direção muda continuamente. O movimento circular uniforme está presente em várias situações físicas, ex.: um satélite em órbita geoestacionária em relação à Terra; ponteiros das horas, minutos e segundos em um relógio analógico; entre outros. Ângulo ou fase: (rad); velocidade angular: Cinemática. Movimento Circular Uniforme – MCU. P S0 0 Define-se período (T) como sendo o menor intervalo de tempo para que haja repetição das características do movimento. No movimento circular e uniforme, o período é o intervalo de tempo para o móvel dar uma volta completa. Define-se frequência (f) como sendo o número de vezes que as características do movimento se repetem na unidade de tempo. No movimento circular e uniforme, a frequência é o número de voltas realizadas na unidade de tempo. Algumas relações fundamentais do MCU Cinemática. Movimento Circular Uniforme. No movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem módulo constante, porém direção variável e, portanto, é variável. Cinemática. Movimento Circular Uniforme. Vetores. Fonte: SERWAY, Jewet. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Ninth Edition, Boston, USA, 2010. Um satélite se move com velocidade constante em uma órbita circular em torno do centro da Terra e próximo à sua superfície. Se o módulo de sua aceleração é de 10 m/s2 e o raio da Terra é de aproximadamente 6400 km, o módulo dessa velocidade e o tempo aproximado para uma volta completa serão de (adote ). a) 8.000 km/h; 80min. b) 800 km/h; 100min. c) 8.000 m/s; 80min. d) 800 m/s; 180min. e) 8.000 km/h; 100min. Interatividade Resposta c) 8.000 m/s; 80min Resolução: Relação de frequências na bicicleta. A coroa está presa à catraca, que é outra polia com dentes, por uma corrente e, portanto, os pontos periféricos têm a mesma velocidade linear. A catraca, por sua vez, está fixa (é solidária) na roda traseira e, portanto, catraca e roda da bicicleta giram juntas com frequências iguais: A velocidade escalar da bicicleta: Cinemática. MCU. Bicicleta. VA = VB 2πfcatraca Rcatraca = 2πfcoroa . Rcoroa V = ΔS Δt 2π Rroda 2π froda . Rroda Troda MCUV se caracteriza pelo fato de que a aceleração tangencial – e, portanto, a aceleração angular – é diferente de zero. Como se trata de um movimento angular, a aceleração centrípeta também será diferente de zero. No MCUV, a aceleração tangencial varia apenas sua direção e seu sentido, mantendo o módulo constante. Já a aceleração centrípeta, que como vimos tem apenas uma direção, dirigida para o centro do círculo que define a trajetória, tem, porém, seu módulo variável, já que este depende do módulo da velocidade que está variando devido ao fato de a aceleração tangencial ser diferente de zero. Cinemática. Movimento Circular Uniformemente Variado. MCUV. Na montagem de determinado mecanismo, foi necessário acoplar duas engrenagens dentadas, A e B, de modo que elas girassem em sentidos contrários, como representado na figura. As engrenagens A e B têm, em suas periferias, 15 e 60 dentes, respectivamente. Sabendo-se que o período de rotação da engrenagem A é de 0,5 s, a frequência de rotação da engrenagem B é de: a) 0,2Hz. b) 0,5Hz. c) 1,0Hz. d) 1,5Hz. e) 2,0Hz Interatividade Fonte: Física. Caderno Objetivo.2020. Nota: admita que os dentes são iguais de tal modo que o raio de cada engrenagem é proporcional ao número de dentes. b) 0,5Hz. Resposta Resolução ATÉ A PRÓXIMA!
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