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J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 1 1 – Introdução e Base Matemática Introdução 2 Base Matemática 3 1.1 – O número imaginário 3 1.2 – Números complexos 4 1.3 – Operações com números complexos 9 1.4 – O seno e o co-seno 12 1.5 – A equação de Euler 15 1.6 – A tangente 17 1.7 – As inversas de seno, co-seno e tangente 19 1.8 – Exponenciais e logaritmos 22 1.9 – Derivadas 23 1.10 – Integrais 30 1.11 – Decibéis (dB) 38 J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 2 Introdução Quando se fala em sinais geralmente é associado à medição ou ao registo de algum fenómeno físico ou, em outras palavras, de um sistema. Portanto, sinais e sistemas são conceitos bastante interligados. No presente capítulo 1 faremos uma breve revisão de diversos tópicos básicos da matemática que serão úteis para os capítulos seguintes. Recapitularemos vários resul- tados, expressões e fórmulas da álgebra, da álgebra linear, da análise, do cálculo dife- rencial e integral e da trigonometria que serão de certa forma usado neste texto. Nos capítulos 2 e 3 trataremos da descrição e da terminologia dos sinais enquanto que no capítulo 4 trataremos de sistemas. Nos demais capítulos trataremos de algumas ferramentas de análise de sinais: Transformadas de Laplace (capítulo 5), Transformadas z (capítulo 6), Séries e Transformadas de Fourier (capítulos 7 e 8, respectivamente) e Diagramas de Bode (capítulo 9). J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 3 Base Matemática 1.1 – O número imaginário O número imaginário “ j ” é definido como: 1j −= . Na literatura de matemática é muito comum usar-se “ i ” (de “imaginário”) para o número imaginário: 1i −= . Entretanto, em engenharia a letra “ i ” é normalmente reservada para a corrente eléc- trica (medida em Ampères) enquanto que para o número imaginário usa-se a letra “ j ”. Logo, 1j 2 −= 1j3 −−= 1j4 = Portanto, 1jjjj 145 −==⋅= 1jjjj 2246 −==⋅= 1jjjj 3347 −−==⋅= 111jjj 448 =⋅=⋅= e assim por diante. Além disso: J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 4 j )1( j jj j j 1 j 1 −= − = ⋅ ==− ou seja, jj 1 −=− . Semelhantemente, 1j 2 =− jj 3 =− 1j 4 −=− Alguns exemplos imediatos deste resultado j j 1 −= : j2j 2 −= j3j 3 3 −=− ( ) 4 1 j2 1 2 −= 5j 5 4 −=− 1.2 – Números complexos Um número complexo z ∈ ℂ é expresso por: jz β+α= onde α e β ∈ R (números reais) e j é o número imaginário puro conforme definido acima. α e β são chamados de: α = parte real de z, e β = parte imaginária de z J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 5 e são representados por α = Re (z) β = Im (z). Um número complexo z ∈ ℂ escrito na forma acima é dito estar na forma “cartesiana” ou “algébrica”. Fig. 1.1 – O plano s, a representação cartesiana (à esquerda) e a representação polar (à direita). Um número complexo z ∈ ℂ pode ser escrito de forma equivalente como θ⋅ρ= jez onde ρ e θ são números reais, sendo que ρ > 0 e θ (em radianos) é um arco. A expressão acima é muito comummente abreviada (especialmente em textos de engenharia) para θ∠⋅ρ=z . por uma questão de simplicidade. Além disso, neste caso, quando se usa esta notação para z, é comum se denotar o ângulo θ em graus em vez de radianos. ρ e θ são chamados de: ρ = módulo de z, e θ = ângulo ou fase de z J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 6 e são representados por ρ = |z| θ = ∠z. Um número complexo z escrito nesta forma acima é dito estar na forma “polar” ou “ trigonométrica”. A representação gráfica de um número complexo z ∈ ℂ feita no plano complexo (ou plano s) em termos de α, β, ρ e θ é dada nas figuras 1.1 e 1.2. Fig. 1.2 – O plano s, as coordenadas cartesianas e polares A transformação da forma cartesiana para polar assim como da forma polar para car- tesiana são facilmente obtidas pelas relações básicas da geometria (teorema de Pitá- goras) e da trigonometria (senos e co-senos). As relações que permitem transformar da forma cartesiana para a forma polar são: 22|z| β+α==ρ =∠= α βθ arctgz e as relações que permitem transformar da forma polar para a forma cartesiana são: θ⋅ρ==α cos)zRe( θ⋅ρ==β sen)zIm( J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 7 Alguns exemplos: j1732,1 2 º1502 º2102z 618,2j 1 −−= ⋅= −∠⋅= ∠⋅= −e )7854,0(j )4/(j 2 8284,2 22 º31522 º4522 j22z − π− ⋅= ⋅= ∠= −∠= −= e e j707,0707,0 j 2 2 2 2 º451z 785,0j 3 += += = ∠⋅= e )57,1(j )2/(j 4 º901 j10 jz e e = = ∠= += = π Fig. 1.3 – A representação gráfica dos números complexos z1, z2, z3 e z4. J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 8 O conjugado de um número complexo z ∈ ℂ jz β+α= é o número complexo z ou *z z z* j= = α − β ou seja, z ou *z é o rebatimento do ponto z no plano s em relação ao eixo real. Fig. 1.4 – O conjugado z ou *z de um número complexo z. Em termos da forma polar o conjugado z ou *z de um número complexo: θ⋅ρ= jz e é dado por: * jz z − θ= = ρ ⋅e . Note que * *z (z ) z= = e, além disso, se x é um número real (x ∈ R), ou seja, x é um número complexo com a parte imaginária igual a zero, então: * *x (x ) x= = . J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 9 1.3 – Operações com números complexos A forma cartesiana é mais apropriada para operações de soma (z1 + z2) e subtracção (z1 – z2) de números complexos, ( ) ( ) ( ) ( ) jjj 21212211 ⋅β+β+α+α=⋅β+α+⋅β+α ( ) ( ) ( ) ( ) jjj 21212211 ⋅β−β+α−α=⋅β+α−⋅β+α enquanto que a forma polar é mais apropriada para operações de multiplicação (z1 ⋅ z2) e divisão (z1 / z2) de números complexos: ( ) ( ) ( )2121 j21j2j1 θ+θ⋅θθ ⋅ρ⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ eee ( ) ( ) ( )21 2 1 j 2 1 j 2 j 1 θ−θ⋅ θ θ ⋅ ρ ρ= ⋅ρ ⋅ρ e e e ou, equivalentemente: ( ) ( ) )( 2121j2j1 21 θ+θ∠⋅ρ⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ θθ ee ( ) ( ) )( 212 1 j 2 j 1 2 1 θ−θ∠⋅ ρ ρ= ⋅ρ ⋅ρ θ θ e e Um resultado bastante útil é dado pela equação abaixo: ( ) ( ) 22jj β+α=β−α⋅β+α ou seja, o produto zz⋅ de um número complexo z pelo seu conjugado z é um número real (um número complexo sem a parte imaginária) e cujo valor é a soma do quadrado da parte real de z com o quadrado da parte imaginária de z. Este resultado permite que se escreva uma fracção z/z’, onde z e z’ são 2 números complexos z = α + j⋅β e z’ = σ + j⋅ω na forma cartesiana A + j⋅B, ou seja, BjA j j z z ⋅+= ω+σ β+α= ′ J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 10 Note que, multiplicando-se ambos o numerador e o denominador de z/z’ pelo conju- gado do denominador z′ temos ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 j jj jj zz zz z z ω+σ αω−βσ⋅+βω+ασ= ω−σω+σ ω−σβ+α= ′′ ′ = ′ ou seja, ( ) ( ) ( ) ( )2222 jz z ω+σ αω−βσ⋅+ ω+σ βω+ασ= ′ e portanto, ( ) ( )22A ω+σ βω+ασ= e ( ) ( )22B ω+σ αω−βσ= Alguns exemplos: a) 2j1 5j2 z z +− −= ′ então, α = 2, β = –5, σ = –1, e ω = 2, logo ( ) ( ) 2,0j4,2 5 45 j 5 102 z z ⋅+−=−⋅+−−= ′ b) j1 j23 z z + −= ′ então, α = 3, β = –2, σ = 1, e ω = 1, logo ( ) ( ) 5,2j5,0 2 32 j 2 23 z z ⋅−=−−⋅+−= ′ c) j 3 z z = ′ então, α = 3, β = 0, σ = 0, e ω = 1, logo ( ) ( ) j33j0 )j)(j( 30 j )j)(j( 00 z z −=⋅−= − −⋅+ − += ′ Neste último caso observe que seria mais simples e imediato se fosse utilizadoo resultado J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 11 j j 1 −= que já vimos mais acima. Outro resultado bastante útil é o seguinte: θ∀=θ ,1je ou seja, θ= jz e é um ponto da circunferência de raio 1 centrada na origem do plano s. Na verdade θ= jz e é o ponto desta circunferência cujo ângulo com o eixo real posi- tivo é θ. Fig. 1.5 – Circunferência de raio 1 centrada na origem do plano s. Logo, é fácil de verificar que 10j =e j2 j = π e 1j −=πe j2 j −= π− e J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 12 1.4 – O seno e o co-seno O seno e o co-seno de um ângulo θ de um triângulo rectângulo são definidos como: hipotenusa opostocateto a c )(sen ==θ hipotenusa adjacentecateto a b )(cos ==θ Fig. 1.6 – Triângulo rectângulo. Usando o Teorema de Pitágoras 222 cba += pode-se facilmente encontrar os seguintes senos e co-senos conhecidos: ( ) 00sen)º0(sen == ( ) 10cos)º0(cos == 2 2 4 sen)º45(sen = π= 2 2 4 cos)º45(cos = π= 1 2 sen)º90(sen = π= 0 2 cos)º90(cos = π= J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 13 Outros senos e co-senos notáveis: 2 1 6 sen)º30(sen = π= 2 3 6 cos)º30(cos = π= 2 3 3 sen)º60(sen = π= 2 1 3 cos)º60(cos = π= Se θ = ωt, onde –∞ < t < ∞, e ω > 0, então sen (θ) e cos (θ) se transformam em funções de t, x(t) = sen (ωt) , ω > 0 e x(t) = cos (ωt) , ω > 0 cujos gráficos pode-se ver abaixo nas figuras 1.7 e 1.8. Fig. 1.7 – A função seno, x(t) = sen (ωt) , t∈(–∞, ∞), ω > 0. J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 14 Fig. 1.8 – A função co-seno, x(t) = cos (ωt) , t∈(–∞, ∞), ω > 0. Algumas relações que envolvem senos e co-senos: Versão trigonométrica do Teorema de Pitágoras: ( ) 1)(cossen 22 =θ+θ Relações do arco complementar (para o seno e para o co-seno): π+θ= θ−π=θ 2 sen 2 sen)(cos ( ) π−θ=θ 2 cossen Relações do arco suplementar (para o seno e para o co-seno): ( ) ( )θ−π=θ sensen ( ) ( )θ−π−=θ coscos J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 15 Relações de paridade para o seno e para o co-seno: ( ) ( )θ−−=θ sensen ( ) ( )θ−=θ coscos Seno e co-seno da soma de 2 arcos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 sencoscossensen θθ+θθ=θ+θ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 sensencoscoscos θθ−θθ=θ+θ Seno e co-seno do dobro de um arco: ( ) ( ) ( )θθ=θ cossen22sen ( ) ( ) ( )θ−θ=θ 22 sencos2cos 1.5 – A equação de Euler O matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) publicou o seguinte resul- tado em 1748: θ⋅+θ=θ senjcosje e por esta razão ele é chamado de “equação de Euler”. Com a equação de Euler é fácil de se compreender a transformação da forma polar para cartesiana já vista acima. Se z ∈ ℂ escrito na forma polar, ( ) ( ) ( )θ⋅ρ⋅+θ⋅ρ= θ⋅+θ⋅ρ= ⋅ρ= θ senjcos senjcos z je logo, jz β+α= onde θ⋅ρ=α cos θ⋅ρ=β sen J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 16 O seguinte exemplo serve para verificar as relações acima para 2 j 2 j 0j ,, π−π eee e πj e ( ) ( ) 1j010senj0cos0j =⋅+=⋅+=e jj10 2 senj 2 cos2 j =⋅+= π⋅+ π= π e jj10 2 senj 2 cos2 j −=⋅−= π−⋅+ π−= π − e ( ) ( ) 1j01senjcosj −=⋅−−=π⋅+π=π−e Da equação de Euler é fácil de obter-se as seguintes relações também bastante conhecidas: 2 cos jj θ−θ +=θ ee j2 sen jj θ−θ −=θ ee Como exemplo, vamos utilizar estas relações acima obtida da equação de Euler para verificar alguns senos e co-senos bastante conhecidos: ( ) ( ) 1 2 11 2 0cosº0cos 0j0j =+=+== ⋅−⋅ ee ( ) ( ) 0 j2 11 j2 0senº0sen 0j0j =−=−== ⋅−⋅ ee ( ) 0 2 )j(j 22 cosº90cos 2 j 2 j =−+=+= π= π⋅− π⋅ ee ( ) 1 j2 )j(j j22 senº90sen 2 j 2 j =−−=−= π= π⋅− π⋅ ee J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 17 ( ) 0 2 jj 22 cosº90cos 2 j 2 j = +− = + = π−=− π⋅ π⋅− ee ( ) 1 j2 jj j22 senº90sen 2 j 2 j −= −− = − = π−=− π⋅ π⋅− ee ( ) ( ) 1 2 )1(1 2 cosº180cos jj −=−+−=+=π= π⋅π− ee ( ) ( ) 0 j2 )1(1 j2 senº180sen jj =−−−=−=π= π⋅π⋅− ee 1.6 – A tangente A tangente de um ângulo θ de um triângulo rectângulo é definida como: adjacentecateto opostocateto b c )(tg ==θ e, pelas definições de seno e co-seno, facilmente obtém-se: )cos( )(sen )(tg θ θ=θ e desta forma pode-se facilmente encontrar as seguintes tangentes conhecidas: ( ) 00tg)º0(tg == 1 4 tg)º45(tg = π= ∞= π= 2 tg)º90(tg 3 3 6 tg)º30(tg = π= 3 3 tg)º60(tg = π= J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 18 Se θ = ωt, onde –∞ < t < ∞, e ω > 0, então tg (θ) se transforma em uma função de t, x(t) = tg (ωt) , ω > 0 cujo gráfico pode-se ver abaixo na figura 1.9. Fig. 1.9 – A função tangente, x(t) = tg (ωt), t∈(–∞, ∞), ω > 0. Assim como o seno e para o co-seno que se repetem a cada intervalo de 2π, a tan- gente se repete a cada intervalo de π. Logo, ( ) ( ) ( )π−θ=π+θ=θ tgtgtg . ou melhor: ( ) ( ) { }...,2,1,0k,ktgtg ±±∈π+θ=θ J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 19 1.7 – As inversas de seno, co-seno e tangente Nitidamente as funções seno, co-seno e tangente não são inversíveis. Pelo gráfico de x(t) = sen (ωt), x(t) = cos (ωt) e x(t) = tg (ωt) vemos que se α e β forem valores no intervalo [0, 1], e γ for um valor real qualquer, ou seja, α ∈[–1, 1], β ∈[–1, 1], γ ∈(–∞, ∞), então vão haver muitos valores de t∈(–∞, ∞) para os quais x(t) = sen (ωt) = α x(t) = cos (ωt) = β x(t) = tg (ωt) = γ Portanto, para poder se achar a função inversa de seno, co-seno e tangente temos que limitar o intervalo destas funções. No caso do seno limitamos ao intervalo t∈[–π/2 , π/2], no caso co-seno limitamos ao intervalo t∈[0 , π], e no caso da tangente limitamos ao intervalo t∈[–π/2 , π/2]. Os gráficos destas funções são apresentados nas figuras 1.10 e 1.11. Fig. 1.10 – A função seno, x(t) = sen (ωt) limitada ao intervalo t∈[–π/2 , π/2] (1º e 4º quadrantes), e ω > 0 (à esquerda), e a função co-seno, x(t) = cos (ωt) limi- tada ao intervalo t∈[0 , π] (1º e 2º quadrantes), e ω > 0 (à direita). J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 20 Fig. 1.11 – A função tangente, x(t) = tg (ωt) limitada ao intervalo t∈[–π/2 , π/2] (1º e 4º quadrantes), e ω > 0. Esta é a norma geral adoptada pelas máquinas calculadoras e meios informáticos de cálculo modernos. Limita-se o arco a 2 quadrantes: 1º e 4º quadrante, no caso do seno ou da tangente; e 1º e 2º quadrante, no caso do co-seno. Desta forma é possível falar nas funções inversas do seno, do co-seno e da tangente: arcsen (α), arccos (β) e arctg (γ). Por exemplo, se γ = 1, o arco cuja a tangente é 1 é dado por ( ) º45 4 1arctg =π= embora, como já foi visto acima, existam muitos outros arcos θ cuja tangente também é 1. Na verdade as soluções possíveis são: { }...,2,1,0k,k 4 ±±∈π+π=θ ou seja: º225eº45 =θ=θ são 2 possíveis soluções de arctg (π/4). E θ = 45º está no primeiro quadrante e θ = 225º está no terceiro quadrante. J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 21 No caso particular da inversa ser de uma fracção arcsen (b/a), arccos (b/a) e arctg (b/a) então podemos levar em consideração o quadrantedo ponto (a, b). Fig. 1.12 – Dois arcos que têm a mesma tangente 1: 45º (ou π/4, 1º quadrante) e 225º (ou 5π/4, 3º quadrante). Desta forma a inversa do seno, do co-seno ou da tangente não fica limitada ao inter- valo [–π/2 , π/2] ou [0 , π] que representam apenas 2 quadrantes, pois temos informa- ção suficiente para determinar o arco nos 4 quadrantes. Por exemplo: º4541 1 tgarc =π= (1º quadrante) º135º2254 5 1 1 tgarc −==π= − − (3º quadrante) º315º4541 1 tgarc =−=π−= − (4º quadrante) º1354 3 1 1 tgarc =π= − (2º quadrante) J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 22 1.8 – Exponenciais e logaritmos O “número neperiano e” (devido ao matemático, astrólogo e teólogo escocês. John Napier, 1550-1617) vale aproximadamente e = 2,7183 Mais precisamente, ele pode ser escrito como uma série infinita ou como um limite (esta última forma devido ao matemático suíço Jakob Bernoulli, 1654-1705): ∑ ∞ = = 0n !n 1 e n n 1 1lim n += ∞→ e O “número neperiano” também é chamado de “constante de Euler” e é a base dos logaritmos naturais (ln). Portanto: ( ) xxln =e Algumas relações básicas de exponenciais e logaritmos: yxyx +=⋅ eee yxy x −= e e e ( ) yxyx ⋅= ee ( ) ( ) ( )ylnxlnyxln +=⋅ ( ) ( )ylnxln y x ln −= ( ) ( )xlnaxln a = ( ) ( ) x 1xx /1lnln ==− ee Transformação da base e para a base 10: ( ) ( )( ) ( ) ( )xln4343,0 3,2 xln 10ln xln xlog10 ⋅=== Transformação da base 10 para a base e: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xlog3,2 4343,0 xlog log xlog xln 10 10 10 10 ⋅=== e Transformação de qualquer base “b” para a base “a”: ( ) ( )( )alog xlog xlog b b a = J. A. M. Felippe de Souza 1.9 – Derivadas A teoria do cálculo diferencial Newton (1643-1727) e do Leibniz (1646-1716). A notação das derivada de uma função f(t) pode ser dt df ou ('f A derivada de uma função f(t) no instante t nos dá a recta tangente à curva naquele instante. Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante Isso é ilustrado na figura 1.1 Fig. 1.13 – Inclinação positiva (ou no instante t = Por outro lado, se f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele instante 1 – Introdução e Base Matemática 23 A teoria do cálculo diferencial é de autoria do físico e matemático inglês 1727) e do filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm von A notação das derivada de uma função f(t) pode ser dt df (devido à Newton) )t( (devido à Leibniz). função f(t) no instante t nos dá a inclinação (ou tangente à curva naquele instante. Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante 0> dt df )a('f at= = . 13. positiva (ou declive positivo) da recta tangente à curva f(t) = a. e f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele Introdução e Base Matemática de autoria do físico e matemático inglês Sir Isaac Gottfried Wilhelm von (ou declive) de uma Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante positivo) da recta tangente à curva f(t) e f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele J. A. M. Felippe de Souza Isso é ilustrado na figura 1.1 Fig. 1.14 – Inclinação negativa (ou no instante t = Fig. 1.15 – Inclinação nula (ou tante t = a. Caso de máximo local. Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será zero naquele instante 1 – Introdução e Base Matemática 24 0< dt df )a('f at= = . 14. negativa (ou declive negativo) da recta tangente à curva f(t) = a. nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no ins Caso de máximo local. Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será 0 dt df )a('f at == = . Introdução e Base Matemática negativo) da recta tangente à curva f(t) nulo) da recta tangente à curva f(t) no ins- Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será J. A. M. Felippe de Souza Neste caso pode-se ter um máximo ou um mínimo local dois. Isso é ilustrado nas figuras Fig. 1.16 – Inclinação nula (ou no instante t Fig. 1.17 – Inclinação nula (ou tante t = a. Caso de ponto de inflexão, não é máximo nem mínimo local. Algumas propriedades e regras das derivadas: Linearidade: ( ) dt df c dt )t(fcd ⋅=⋅ ( ) dt )t(f)t(fd 21 =+ 1 – Introdução e Base Matemática 25 um máximo ou um mínimo local, mas às vezes nenhum dos . Isso é ilustrado nas figuras 1.15, 1.16 e 1.17. nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no instante t = a. Caso de mínimo local. nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no ins Caso de ponto de inflexão, não é máximo nem mínimo local. Algumas propriedades e regras das derivadas: )t('fc dt )t(df ⋅= )t('f)t('f dt )t(df dt )t(df 21 21 +=+ Introdução e Base Matemática , mas às vezes nenhum dos nulo) da recta tangente à curva f(t) nulo) da recta tangente à curva f(t) no ins- Caso de ponto de inflexão, não é máximo nem mínimo local. (homogeneidade) (aditividade) J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 26 Regra do produto: ( ) )t(f)t('g)t(g)t('f dt )t(dg )t(f)t(g dt )t(df )t(g)t(f dt d ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅ Regra do quociente: )t(g )t('g)t(f)t('f)t(g )t(g dt )t(dg )t(f dt )t(df )t(g )t(g )t(f dt d 22 ⋅−⋅= ⋅−⋅ = Regra da cadeia: ( ) )t('g))t(g('f dt )t(dg )t(g dt df ))t(g(f dt d ⋅=⋅= Se definirmos )t(f)t(u = e )t(g)t(v = então, udt df ′= e vdt dg ′= E as regras acima podem ser reescritas de forma mais compacta como: ( ) ucuc ′⋅=′⋅ (homogeneidade) ( ) vuvu ′+′=′+ (aditividade) ( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=′⋅ (regra do produto) 2v vuuv v u ′⋅−′⋅= ′ (regra do quociente) dt dv dv du dt du ⋅= (regra da cadeia) J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 27 Algumas derivadas de funções simples: 0c dt d = ( ) 1nn tnt dt d −⋅= 1t dt d = (caso particular, n =1) ( ) ctc dt d =⋅ (aplicando a homogeneidade) ( ) 221 t 1 tt dt d t 1 dt d −=−== −− (caso particular, n = –1) ( ) 1m1mmm t 1 mtmt dt d t 1 dt d + +−− ⋅−=⋅−== (caso particular, n = –m) ( ) ( ) 0t, t2 1 t 2 1 t dt d t dt d 2121 ≥=⋅== − (caso particular, n = 1/2) 0t,)t(sign t t t dt d ≠== Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas: clncc dt d tt ⋅= tt dt d ee = (caso particular, c = e, a única função que é igual a própria derivada) clnt 1 tlog dt d c ⋅ = 0>t,tt 1 tln dt d 1−== (caso particular, c = e) 1t t 1 tln dt d −== )tln1(ttln dt d tt +⋅= J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 28 Derivadas de funções trigonométricas: )t(cos)t(sen dt d = )t(sen)t(cos dt d −= )t(cos 1 )t(sec)t(tg dt d 2 2 == )t(sec)t(tg)t(sec dt d ⋅= )t(sen 1 )t(seccos)t(gcot dt d 2 2 −=−= )t(gcot)t(seccos)t(seccos dt d ⋅−= 2t1 1 )t(arcsen dt d − = 2t1 1 )t(arccos dt d − −= 2t1 1 )t(arctg dt d + = 1tt 1 )t(secarc dt d 2 −⋅ = 2t1 1 )t(gcotarc dt d + −= 1tt 1 )t(secarccos dt d 2 −⋅ −= J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 29 Derivadas de funções hiperbólicas: 2 )t(cosh)t(senh dt d t-t ee +== 2 )t(senh)t(cosh dt d t-t ee −== )t(hsec)t(tgh dt d 2= )t(hsec)t(tgh)t(hsec dt d ⋅−= )t(hseccos)t(ghcot dt d 2−= )t(hseccos)t(ghcot)t(hcsc dt d ⋅−= 1t 1 )t(arcsenh dt d 2 + = 1t 1 )t(harccos dt d 2 − = 2t1 1 )t(harctg dt d − = 2t1t 1 )t(hsecarc dt d − −= 2t1 1 )t(hcotarc dt d− = 2t1t 1 )t(hsecarc dt d + −= J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 30 1.10 – Integrais A integral indefinida de uma função f(t) é representada como ∫ τ⋅τ d)(f Por outro lado, a integral definida, representada como ∫ τ⋅τ b a d)(f , ∫ ∞− τ⋅τ b d)(f ou ∫ ∞ τ⋅τ a d)(f faz a Soma de Riemann que calcula a área sob a curva em m intervalo bem definido como por exemplo: [ a , b ] , ] –∞ , b ] ou [ a , ∞ [. Este nome acima é dado em alusão ao matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). A integral é um processo inverso do da derivada de funções pois, ( ) ( ) Ctfdfdt dt )t(df dt)t( dt df dttf +====′ ∫∫∫∫ ou ( ) )t(fdt)t(f dt d =⋅∫ . Mais precisamente: ∫ ⋅= t a dt)t(f)t(F é chamada de primitiva de f(t). Este resultado é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo e faz a interligação entre o Cálculo Diferencial (secção anterior) e o Cálculo Integral (desta secção). Algumas regras de integração de funções em geral ( ) ( ) Cdttfadttfa +⋅= ∫∫ (regra da homogeneidade) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) Cdttgdttfdttgtf ++=+ ∫∫∫ (regra da aditividade) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′⋅+⋅=⋅′ dttg)t(f)t(gtfdttgtf (regra da integral por partes) J. A. M. Felippe de Souza Se definirmos )t(g)t(u = então, )t(gdu ′= e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma ∫ ⋅ dvu Por outro lado, se )t(f)t(u = então a integral definida é calculada como: b a∫ Fig. 1.18 – A área S sob a curva f(t) no intervalo A integral definida desde a é a área S sob a curva, conforme ilustrado na figura 1 – Introdução e Base Matemática 31 ) e )t(f)t(v = dt⋅ e dt)t(fdv ⋅′= e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma: ∫−= duvuvdv (regra da integral por partes) ) e dt)t(fdu ⋅′= , integral definida é calculada como: ] )a(u)b(uudu ba b a −==∫ A área S sob a curva f(t) no intervalo definido [a, até b da função f Sd)(f b a =τ⋅τ∫ é a área S sob a curva, conforme ilustrado na figura 1.18. Introdução e Base Matemática (regra da integral por partes) definido [a, b]. J. A. M. Felippe de Souza A figura 1.19 mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, onde áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente. e b a∫ Fig. 1.19 – Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo As áreas abaixo do eixo das A figura 1.20 mostra dois exemplos da integral definida como: ] –∞, b] , [ a, ∞ [ . d)(f b 3 =τ⋅τ∫ ∞− Fig. 1.20 – Dois exemplos da área sob a curva f(t) tos: ] –∞, b] e 1 – Introdução e Base Matemática 32 mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, onde áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente. 21 b a 1 SSd)(f −=τ⋅τ∫ 321 b a 2 SSSd)(f +−=τ⋅τ∫ Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo As áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente. mostra dois exemplos da integral definida em intervalos infinitos S e d)(fa 4 ⋅τ∫ ∞ ois exemplos da área sob a curva f(t) definidos em e [ a, ∞ [. Introdução e Base Matemática mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo definido [a, b]. contam negativamente. em intervalos infinitos Sd =τ em intervalos infini- J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 33 Apresentamos agora uma tabela das integrais das principais funções. Integrais de funções racionais: Cudu +=∫ 1n,C )1n( u duu 1n n ≠+ + =⋅ + ∫ Culn u du duu 1 +==⋅ ∫∫ − C a u arctg a 1 dt au 1 22 + ⋅=⋅ +∫ 22 22 a>u,C au au arctg a2 1 au du + + −⋅=⋅ −∫ Integrais de funções irracionais: Cauuln au du 22 22 +++=⋅ +∫ Cauuln au du 22 22 +−+=⋅ −∫ C a u secarc a 1 auu du 22 + ⋅=⋅ −⋅∫ 22 22 a<u,C a u arcsen ua du + =⋅ −∫ Integrais de logaritmos: Clogt)ta(logtdt)ta(log bbb +⋅−⋅⋅=⋅∫ e (*) Ct)ta(lntdt)ta(ln +−⋅⋅=⋅∫ [caso particular b = e da integral (*) acima] ( ) 1n,C1n t )ta(ln 1n t dt)ta(lnt 2 1n1n n ≠+ + −⋅⋅ + =⋅⋅ ++ ∫ [ ] C)ta(ln 2 1 dt)ta(lnt 21 +⋅⋅=⋅⋅∫ − J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 34 [ ] C)ta(lnln )ta(lnt dt +⋅= ⋅⋅∫ Integrais de funções exponenciais: 0a,1a,C )a(ln a dua u u >≠+=⋅∫ (**) Cdu uu +=⋅∫ ee [caso particular a = e da integral (**) acima] C )b(ln b a 1 dtb at at +⋅=∫ (***) C a 1 dt atat +=∫ ee [caso particular b = e da integral (***) acima] C)1at( a dtt 2 at at +−=⋅∫ e e dtt a n t a 1 dtt at1natnatn eee ∫∫ −−=⋅ 1b,0b,dtbt )bln(a n )bln(a bt dtbt at1n atn atn ≠> ⋅ − ⋅ =⋅ ∫∫ − ( ) [ ] C)btcos(b)bt(senabadt)tb(sen 22 at at +⋅−⋅ + =⋅∫ e e ( ) [ ] C)bt(senb)btcos(abadt)tbcos( 22 at at +⋅+⋅ + =⋅∫ e e Integrais de funções trigonométricas: ( ) ( ) Cucosduusen +−=∫ ( ) ( ) Cusenduucos +=∫ ( ) ( ) C)u(seclnduutg +=∫ ( ) C)u(senlnduugcot +=∫ ( ) ( ) C)u(tg)u(seclnduucos 1 duusec ++=⋅=⋅ ∫∫ J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 35 ( ) ( ) C)u(gcot)u(eccoslnduusen 1 duueccos +−=⋅=⋅ ∫∫ ( ) ( ) ( )( ) C)u(secduusen utg duutguecs +=⋅=⋅⋅ ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) C)u(eccosduutgusen 1 duutgcoueccos +−=⋅ ⋅ =⋅⋅ ∫∫ ( ) ( ) C)u(tgduucos 1 duuecs 2 2 +=⋅=⋅ ∫∫ ( ) ( ) C)u(gcotduusen 1 duueccos 2 2 +−=⋅=⋅ ∫∫ ( ) ( ) Ctacos a 1 dttasen +−=∫ ( ) ( ) Ctasen a 1 dttacos +=∫ ( ) ( ) C a4 ta2sen 2 t dttasen2 +−=∫ ( ) ( ) C a4 ta2sen 2 t dttacos2 ++=∫ Fórmula de recorrência para integrais de potências de funções trigonométricas: ( ) ( )∫∫ ⋅ −+ ⋅ ⋅⋅⋅−=⋅ − − duuasen n 1n an )uacos()ua(sen duuasen 2n 1n n ( ) ( )∫∫ ⋅⋅ −+ ⋅ ⋅⋅⋅=⋅ − − duuacos n 1n an )ua(sen)ua(cos duuacos 2n 1n n ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−−⋅ ⋅=⋅ − − duuatg 1na )ua(tg duuatg 2n 1n n ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−−⋅ ⋅−=⋅ − − duuagcot 1na )ua(gcot duuagcot 2n 1n n ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅⋅ − −+ −⋅ ⋅⋅⋅=⋅ − − duuasec 1n 2n 1na )ua(tg)ua(sec duuasec 2n 2n n ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅⋅ − −+ −⋅ ⋅⋅⋅−=⋅ − − duuaeccos 1n 2n 1na )ua(gcot)ua(eccos duuaeccos 2n 2n n J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 36 Integrais de outras funções trigonométricas: ( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C )ba(2 t)ba(cos )ba(2 t)ba(cos dttbcostasen ≠+ − −− + +−=⋅⋅∫ ( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C )ba(2 t)ba(sen )ba(2 t)ba(sen dttbsentasen ≠+ + +− − −=⋅⋅⋅∫ ( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C )ba(2 t)ba(sen )ba(2 t)ba(sen dttbcostacos ≠+ + ++ − −=⋅⋅⋅∫ ( ) ( ) C a4 )ta2(cos dttacostasen + ⋅ ⋅⋅ −=⋅⋅⋅∫ ( ) ( )( ) ( ) Ctacoslna 1 dt tacos tasen dttatg +⋅⋅−= ⋅ ⋅=⋅ ∫∫ ( ) ( )( ) ( ) Ctasenlna 1 dt tasen tacos dttagcot +⋅==⋅ ∫∫ ( ) C)ta(cos a t )ta(sen a 1 dttasent 2 +⋅−⋅−=⋅⋅∫ ( ) C)ta(sin a t )ta(cos a 1 dttacost 2 ++=⋅∫ ( ) dt)ta(cost a n )ta(cos a t dttasent 1n n n ∫∫ −+−=⋅ ( ) dt)ta(sent a n )ta(sen a t dttacost 1n n n ∫∫ −−=⋅ Integrais de funções hiperbólicas: C)at(cosh a 1 dt)at(senh +⋅=∫ C)at(senh a 1 dt)at(cosh +⋅=∫ C 2 t a4 )at2(senh dt)at(senh2 +−=∫ C 2 t a4 )at2(senh dt)at(cosh2 ++=∫ C)at(senh a 1 )at(cosh a t dt)at(senht 2 +⋅−⋅=⋅∫ J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 37 C)at(cosh a 1 )at(senh a t dt)at(cosht 2 +⋅−⋅=⋅∫ Cdt)at(cosht a n )at(cosh a t dt)at(senht 1n n n +⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫ − Cdt)at(senht a n )at(senh a t dt)at(cosht 1n n n +⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫ − [ ] C)at(coshln a 1 dt )at(cosh )at(senh dt)at(tanh +⋅== ∫∫ C)at(senhln a 1 dt )at(senh )at(cosh dt)at(coth +⋅== ∫∫ Integrais definidas: π=⋅∫ ∞ 2 1 dtt 0 -t e a2 1 dt 0 a 2x π=∫ ∞ − e π=∫ ∞ − 2 1 dt 0 t2e 6 dt 1 t 2 0 π=⋅ −∫ ∞ t e 15 dt 1 t 4 0 3 π=⋅ −∫ ∞ t e 2 dt t )t(sen 0 π=⋅∫ ∞ ( ) !1n)n(dtt 0 t1n −=Γ=⋅∫ ∞ −− e [função gama] ( ) ( ) ≥π⋅ −⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ≥π⋅ ⋅⋅⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ =⋅=⋅ ∫∫ ππ 3ímpareirointénse, 2)1n(753 n642 2pareirointénse, 2n642 )1n(521 dttcosdttsen 2 0 n2 0 n L L L L J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 38 1.11 – Decibéis (dB) A unidade Bell (B) tem este nome em alusão ao escocês Alexander Graham Bell (1847-1922). O deciBel (dB) é um submúltiplo do Bell que corresponde a um décimo do Bell. Entretanto, o deciBel tornou-se uma unidade de uso muito mais comum que o Bell. O deciBel (dB) é usado para uma grande variedade de medições, especialmente em acústica (intensidade de sons), mas também como medida de ganho ou intensidade relativa na física (para a pressão ρ) e na electrónica (para a tensão eléctrica v, para a corrente eléctrica i, ou para a potência P). O decibel (dB) é uma unidade de medida adimensional assim como as medidas de ângulo: o radiano (rad) e o grau (º), ou a percentagem (%). O decibel é portanto uma unidade de intensidade ou potência relativa (uma medida da razão entre duas quantidades, sendo uma de referência). A definição do dB é obtida com o uso do logaritmo da seguinte forma: x em decibéis usualmente é definido como: ( )xlog20x 10dB ⋅= que é a expressão que vamos utilizar neste texto, mas às vezes x em decibéis também pode ser definido como: ( )xlog10x 10dB ⋅= Como o deciBell é uma medida relativa de ganho relativo (em relação a um valor de referência) somente são calculados os decibéis de valores positivos. Não faz sentido calcular os decibéis de um valor negativo. É fácil de se verificar que, ( ) dB01log201 10dB =⋅= , logo dB01 dB = Valores maiores que 1 se tornarão positivos ao serem transformados em dB. Eles re- presentam um ganho de facto. Por outro lado, valores menores que 1 (i.e., valores entre 0 e 1) se tornarão negativos ao serem transformados em dB. Eles representam uma atenuação. Outro detalhe: dB dB x 1 x −= J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 39 Note que: 1 x se > dB0>x ==> dB 1 x se = dB0x ==> dB = 1 <x <0 se dB0<x ==> dB 0 <x se dBx existe não ==> Isso está ilustrado na figura 1.21. Fig. 1.21 – o valor de x em dB. Alguns exemplos: ( ) dB2010log2001 10dB =⋅= ( ) ( ) ( ) dB2010log20110log201,0 10 1 10 1 10dB dB −=⋅⋅−=⋅== − ( ) dB4010log2010100 210dB2dB =⋅== ( ) dB6010log20101000 310dB3dB =⋅== J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática 40 ( ) ( ) dB63,0202log202 10dB =⋅=⋅= ( ) ( ) dB63,020)1(2log20 2 1 log205,0 2 1 1 1010dB dB −=⋅⋅−=⋅= ⋅== − ( ) ( ) dB33,020 2 1 2log202log202 2 1 1010 dB =⋅⋅ = ⋅=⋅= ( ) dB33,020 2 1 2log20 2 1 log20 2 2 2 1 21 1010 dBdB −=⋅⋅ −= ⋅= ⋅== − ( ) ( ) ( ){ } ( ) dB463,02202log100log201002log20200 101010dB =+⋅=+⋅=⋅⋅= ( ) ( ){ } ( ) dB1413,02010log2log20 10 2 log20 10 2 2,0 101010 dB dB −=−⋅=+⋅= ⋅== ( ) ( ){ } ( ) dB343,02202log100log20 2 100 log20 2 100 50 101010 dB dB =−⋅=−⋅= ⋅== ( ) ( ){ } ( ) dB3423,020100log2log20 100 2 log20 100 2 50 1 101010 dBdB −=−⋅=−⋅= ⋅== Resumindo os exemplos acima: dB2001 dB = dB201,0 dB −= dB40100 dB = dB601000 dB = dB62 dB = dB65,0 dB −= dB32 dB = dB3 2 1 dB −= dB46200 dB= dB142,0 dB −= dB3450 dB= dB3450 1 dB −=
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