Matematica_Unidade IV

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Unidade IV
7 OUTRAS FUNÇÕES 
Nesta unidade, iremos relembrar os conceitos de funções exponenciais, funções logarítmicas e 
trigonométricas. Antes de introduzirmos funções trigonométricas, relembraremos trigonometria no 
triângulo retângulo.
7.1 Função exponencial 
Funções exponenciais são funções nas quais a variável x encontra-se no expoente da expressão. Sua 
definição matemática é:
 Observação
xf(x) a b= × com a 0≠ , b 0> , b 1≠
Exemplos:
xf(x) 2= 
xf(x) 5 8= ×
x
23
f(x)
2
=
 3x1
f(x)
4
 =   
7.1.1 Propriedades
As funções exponenciais são calculadas por meio de uma potenciação, então as regras usuais para 
essa operação valem também para as exponenciais. As principais são:
( )
0
x y (x y)
x
(x y)
y
yx (x y)
1) b 1
2) b b b
b
3) b
b
4) b b
+
−
×
=
× =
=
=
( )x x x
x x
x
x
x
x
y xy
5) b c b c
b b
6) 
c c
1
7) b
b
8) b b
−
× = ×
  =  
=
= 
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7.1.2 Domínio
Embora a potenciação só seja definida para expoentes inteiros, a função exponencial pode ser 
contínua, podendo ser calculada para qualquer valor real de x. Isso pode parecer estranho, mas a função 
exponencial não é definida com bases na operação de potenciação, e sim por meio da aproximação 
por polinômios. Para checar isso, basta usar qualquer calculadora que tenha a função x^y (apenas ^ em 
algumas) e, nesse caso, x será a base e y o expoente. Exemplos:
22 4= 
0,44 1,65480π =
32 8= e2 2,56532=
2,52 5,65685.....= 31,56 2,16023=
0,364 0,60709.....− =
 3
2 1,82263=
7.1.3 Gráficos
Considerando-se uma função exponencial no modelo f(x) - a × bx, há quatro modelos de gráficos 
possíveis para uma função exponencial, que variam de acordo com os valores de a e b na função.
1º caso:
a > 0, b > 1
2º caso:
a > 0, 0 < b < 1
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3º caso:
a < 0, b > 1
4º caso:
a < 0, 0 < 1
7.1.4 Comparativo
A função exponencial cresce muito mais rapidamente do que qualquer função polinomial, como 
as conhecidas funções linear e quadrática. Veja a seguir um gráfico e uma tabela comparando os 
crescimentos dessas três funções.
Gráfico comparativo das funções linear, quadrática e exponencial
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Tabela comparativa das funções linear, quadrática e exponencial 
7.2 Função logarítmica
Muitas vezes, ao resolvermos problemas que envolvem funções exponenciais, o que não sabemos 
é o próprio valor da variável independente, o x. Nesses casos, precisamos recorrer à função inversa da 
exponencial, que é a função logarítmica.
Os logaritmos são usados há muito tempo na matemática, mas foi um matemático escocês, John 
Napier, que no século XVII estudou e desenvolveu o uso sistemático dos logaritmos. 
A função inicial dos logaritmos era facilitar operações com grandes números, pois naquela época 
não havia calculadoras e o desenvolvimento manual de expressões complexas tomava grande parte do 
próprio raciocínio matemático.
7.2.1 Definição
As funções logarítmicas são definidas matematicamente da seguinte forma:
 Observação
bf(x) a log x= × , com a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1, x > 0
Exemplos:
2f(x) 2 log x= × f(x) 5 lnx= − ×
f(x) logx= − 3f(x) 3 log x= × 
Assim como as exponenciais, as funções logarítmicas podem ser de qualquer base (b), porém as bases 
mais usadas são a base 10 (log) e a base e (ln). Quando a logarítmica aparece em outra base, geralmente 
usamos regras para conversão para uma das bases anteriores.
7.2.2 Propriedades
As funções logarítmicas vêm da exponenciação, e suas propriedades são bastante semelhantes. As 
principais são:
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1. b b blog (x y) log x log y× = + 
2. b b b
x
log log x log y
y
= − 
3. nb blog x n log x= ×
4. cb
c
log x
log x
log b
=
Exemplos de aplicação
1. Nos EUA, em anos recentes, a população pode ser modelada pela função exponencial 
tp(t) 205 (1,0068)= × , na qual p é a população (em milhões) e t é o tempo em anos, com t = 0 
correspondendo a 1970. Determine:
a) A população americana em 2000.
b) A população americana em 2010.
c) Em que ano a população americana ultrapassará a casa dos 300 milhões de pessoas.
Resolução:
a) O problema nos informou que a contagem inicial é a partir de 1970, pois nesse ano temos que 
t = 0. Assim, para sabermos quantos anos decorrerão até 2000 fazemos: 2000 - 1970 = 30.
Agora é só substituir na variável t para obtermos a população em 2000:
30p(t) 205 (1,0068)
p(t) 205 1,22545
p(t) 251,21760
p(t) 251
= ×
= ×
=
≅
 
b) Devemos proceder como no exercício anterior. Para sabermos quantos anos decorrerão até 2010 
fazemos: 2010 - 1970 = 40.
Agora é só substituir na variável t para obtermos a população em 2010:
40p(t) 205 (1,0068)
p(t) 205 1,31137
p(t) 268,83272
p(t) 269
= ×
= ×
=
≅
c) Agora o problema nos informa a quantidade da população, porém não fornece o tempo. Nesse 
caso, devemos aplicar a propriedade dos logaritmos:
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t
t
t
300 205 (1,0068)
300
(1,0068)
205
1,46341 (1,0068)
= ×
=
=
Agora temos a variável no expoente. Para resolvermos essa questão, temos que aplicar o log dos dois 
lados da igualdade. Podemos utilizar outra base, por exemplo, ln, porém deve ser aplicada dos dois lados 
da igualdade como segue abaixo:
tlog1,46341 log1,0068
log1,46341 t log1,0068
log1,46341
t
log1,0068
t 56,18569
t 56
=
= ×
=
=
≅
Se 1970 é t = 0, então 1970 + 56 = 2026.
2. Certa aplicação financeira rende 0,9% a.m. Considerando-se uma aplicação inicial de R$ 10.000,00, 
determine: 
a) Qual o montante da aplicação após 1 ano. 
b) Em quanto tempo a aplicação terá um saldo de R$ 15.000,00?
Resolução:
a) Para resolvermos esse problema, devemos primeiro identificar quem são as variáveis:
Capital C 10.000
taxa i 0,9% ou 0,9 100 0,009
tempo t 1 ano = 12 meses
Montante Capital + Juro
= =
= = ÷ =
= =
=
 Observação
Para efetuar esses cálculos, devemos sempre utilizar o mesmo padrão 
de equivalência, ou seja, se a taxa for calculada mensalmente, o tempo 
também deverá ser calculado em meses. Ou, caso seja mais conveniente 
ser calculado anualmente, as duas grandezas devem ser calculadas 
anualmente.
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Para resolvermos esse problema, podemos utilizar a fórmula do montante, que em matemática 
financeira é:
nM C(1 i)= + , sendo. 
M = montante (capital inicial + juros do período);
C = capital inicial;
i = taxa de juros;
n ou t = tempo.
Substituindo, temos:
12M 10.000 (1 0,009)
M 10.000 1,11350
M 11.135,09
M 11.135,00
= × +
= ×
=
≅
b) Agora nos foi informado o montante e devemos descobrir o tempo. Substituindo na fórmula, 
temos:
n
n
n
n
15.000 10.000 (1 0,009)
15.000 10.000 (1,009)
15.000
1,009
10.000
1,5 1,009
= × +
= ×
=
=
Novamente, temos a variável no expoente. Para resolvermos essa questão temos que aplicar olog 
dos dois lados da igualdade. Podemos utilizar outra base, por exemplo ln, porém deve ser aplicado dos 
dois lados da igualdade como segue abaixo:
nln1,5 ln1,009
ln1,5 n ln1,009
ln1,5
n
ln1,009
n 45,25410
n 45
=
= ×
=
=
≅
 
3. Suponha que o valor de um terreno dobre a cada 15 anos. Se você comprou o terreno por 
R$ 64.000,00, o valor do terreno anos após a data da compra será dado por 
t
15V(t) 64000 2= × . 
Determine:
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a) O valor do terreno 5 anos após a compra.
b) O valor do terreno 20 anos após a compra.
c) Em quanto tempo ele valerá R$ 100.000,00.
Resolução:
a) Como temos a função modelada, basta substituir o tempo de 5 anos nessa função. Assim, temos:
5
15v(t) 64.000 2
v(t) 64.000 1,25992
v(t) 80.634,94
v(t) 80.635,00
= ×
= ×
=
≅
b) Devemos fazer o mesmo procedimento anterior, porém ao invés de serem 5 anos, calcularemos 
para 20 anos:
20
15v(t) 64.000 2
v(t) 64.000 2,51984
v(t) 161.269,89
v(t) 161.270,00
= ×
= ×
=
≅
c) Nesse caso, o problema nos apresenta quanto valerá o terreno, porém não nos informa em quanto 
tempo. Utilizaremos o mesmo procedimento, alterando somente o valor das grandezas:
t
15
t
15
t
15
t
15
100.000 64.000 2
100.000
2
64.000
1,5625 2
log1,5625 log2
t
log1,5625 log2
15
log1,5625 t
log2 15
t
0,64385
15
t 0,64385 15
t 9,65784
t 10
= ×
=
=
=
= ×
=
=
= ×
=
≅
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4. Um automóvel que custava inicialmente R$ 16.000,00 se deprecia de tal forma que a cada ano 
vale 
3
4
 do que valia no ano anterior. Escreva uma expressão para o valor do automóvel em função do 
tempo (v(t)) e determine o valor do carro após 4 anos.
Resolução:
Modelando a função, temos:
tv(t) 16.000 (0,75)= ×
Substituindo para sabermos o preço do carro após 4 anos, temos:
4v(t) 16.000 (0,75)
v(t) 16.000 0,31640
v(t) 5062,50
= ×
= ×
=
8 TRIGONOMETRIA
8.1 Trigonometria no triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é uma figura plana que possui um ângulo reto (ângulo de 90º) e os outros 
dois ângulos são agudos.
Em um triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre as medidas dos seus lados, que 
podem ser os catetos ou a hipotenusa. Os catetos são os lados que formam o ângulo reto e também que 
possuem medida menor em relação à hipotenusa. 
A hipotenusa é o lado que possui maior medida do triângulo retângulo. Ela também fica localizada 
opostamente ao ângulo reto (ângulo formado pelos catetos).
Outra informação relevante é que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos, conforme o teorema de Pitágoras.
Vamos observar a figura a seguir:
a b
c
b
a
Hipotenusa = a
Cateto = b
Cateto = c
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8.1.1 Relações métricas no triângulo retângulo 
Existem algumas relações métricas no triângulo retângulo que são:
1º 2 2 2a b c= + → teorema de Pitágoras
2º 2b m a= ×
3º 2c n a= ×
4º 2h m n= ×
5º b c a h× = ×
 Saiba mais
Para ver as demonstrações dessas relações vocês podem acessar:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo>
<http://www.colegioweb.com.br/matematica/relacoes-metricas-nos-
triangulos-retangulos.html>
8.1.2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Em um triângulo retângulo, dizemos que o seno de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto 
oposto a esse ângulo sobre a hipotenusa.
Por exemplo:
a b
c
b
a
O seno do ângulo a é dado pela relação: 
cateto oposto a b
hipotenusa a
α =
O seno do ângulo b é dado pela relação: 
cateto oposto a c
hipotenusa a
β =
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Nesse mesmo triângulo retângulo, é possível identificar o cosseno. Dizemos que o cosseno de 
um ângulo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo sobre a hipotenusa. Por 
exemplo:
a b
c
b
a
O cosseno do ângulo a é dado pela relação: cateto adjacente a c
hipotenusa a
α =
O cosseno do ângulo b é dado pela relação: 
cateto adjacente a b
hipotenusa a
β =
Ainda no triângulo retângulo, temos outra relação trigonométrica: a tangente. Dizemos que a 
tangente de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo sobre o cateto 
adjacente a esse ângulo. Por exemplo:
a b
c
b
a
A tangente do ângulo a é dada pela relação: 
cateto oposto a b
cateto adjascente a c
α =
α
A tangente do ângulo b é dada pela relação: 
cateto oposto a c
cateto adjascente a b
Tabela de relações trigonométricas:
seno sen x
cateto oposto
hipotenusa
cosseno cos x
cateto adjacente
hipotenusa
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tangente tg x
cateto oposto sen
cateto adjacente cos
=
cossecante cosec x
hipotenusa 1
cateto oposto sen
=
secante sec x
hipotenusa 1
cateto adjacente cos
=
cotangente cot x
cateto adjacente 1
cateto oposto tg
=
Essas relações podem ser representadas como funções trigonométricas. Essas funções são divididas em duas partes:
1ª Temos representadas as funções: seno, cosseno e tangente, conforme a figura a seguir:
2ª Temos representadas as funções: cossecante, secante e cotangente que são consideradas funções 
inversas, conforme a figura a seguir:
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8.1.3 Ângulos notáveis
Existem alguns ângulos que, devido ao seu uso constante, acabam sendo mais explorados. É o caso 
dos ângulos de 30, 45 e 60 graus. Abaixo está a representação desses ângulos no ciclo trigonométrico:
 
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Tabela dos ângulos notáveis:
Relações 30º 45º 60º
Seno
 
1
2
2
2
3
2
Cosseno
3
2
2
2
1
2
Tangente
3
3
 1 3
 Saiba mais
Para ver o exemplo das demonstrações dos valores da tabela dos ângulos 
notáveis, você pode consultar:
• BARRETO Filho, B.; SILVA, C. X. Matemática aula por aula. Volume 
único. Ensino Médio. São Paulo: FTD, 2000.
• http://www.brasilescola.com/matematica/angulos-notaveis.htm
 Observação
A circunferência pode ser dividida tanto em graus como em radianos. 
Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento 
do raio da circunferência no qual está inserido. 
Uma circunferência de raio r = 1possui a medida de 2π radianos.
Tabela da relação entre as medidas:
Arco
90º 180º 270º 360º
Grau
Radiano
2
π
rad πrad
3
2
π
rad 2πrad
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 Lembrete
Para conversões, utiliza-se normalmente a relação: 180º → π rad. 
8.1.4 Relação fundamental
Seja x ∈ 2 2sen x cos x 1+ =
Para demonstrarmos essa igualdade, temos:
a b
c
b
a
Temos que:
b
sen
a
c
cos
a
α =
α =
Para demonstrarmos 2 2sen cos 1α + α = , substituiremos:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sen cos 1
b c
1
a a
b c
1
a a
b c
1
a
α + α =
   + =      
+ =
+ =
Sabemos que, segundo Pitágoras:
2 2 2a b c= + , então:
2
2
a
1
a
1 1
=
=
Assim, fica demonstrada a relação fundamentalda trigonometria: 2 2sen cos 1α + α = .
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Unidade IV
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 8.1.5 Lei dos senos
Se considerarmos um triângulo qualquer, podemos verificar que as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
Assim, a lei dos senos é representada por:
^ ^ ^
a b c
senA senB senC
= =
Por exemplo:
X
y
8
30º
Resolução: 
8 x
sen 90º sen 30º
8 x
1 0,5
x 4
=
=
=
8.1.6 Lei dos cossenos
Se considerarmos um triângulo qualquer, podemos verificar que o quadrado da medida de um lado 
é igual à soma das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto destes pelo cosseno do 
ângulo formado. Assim, a lei dos cossenos é representada por:
^
2 2 2
^
2 2 2
^
2 2 2
a b c 2bc cos A
b a c 2ac cosB
c a 2ab cosC
 
= + −
= + −
= + −
Por exemplo:
5
a
x
13
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Resolução:
^
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
a b c 2bc cos A
13 b 5 2 b 5 cos90º
169 b 25 10b 0
b 25 169 
b 144( 1)
b 144
b 12
= + −
= + − × ×
= + − ×
− = + −
− = − × −
=
=
8.2 Funções trigonométricas 
8.2.1 Círculo trigonométrico
Algumas características do círculo trigonométrico são:
• o seu centro é a origem dos pontos no plano cartesiano, ou seja, ponto (0,0);
• o raio é unitário, ou seja, r = 1.
O círculo trigonométrico possui dois sentidos:
• Horário: esse é o sentido dos ponteiros do relógio. No círculo trigonométrico ele é negativo.
• Anti-horário: esse é o sentido contrário dos ponteiros do relógio. No círculo trigonométrico ele é 
positivo.
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8.2.2 Seno de arcos notáveis
A seguir, representaremos o seno dos arcos 0º, 90º, 180º, 270º e 360º que são considerados arcos 
notáveis no círculo trigonométrico, pois cada 90º percorridos no sentido anti-horário significa a 
passagem por um quadrante.
Se calcularmos o seno de 0º, iremos notar que no eixo das ordenadas não existe arco. Logo 
sen0º = 0
Se calcularmos o seno de 90º, iremos notar que no eixo das ordenadas existe um ângulo de 90º 
formado pelo arco que inicia em B e termina em C, sendo C(0,1). Logo sen90º=1.
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Se calcularmos o seno de 180º, iremos notar que no eixo das ordenadas existe um 
ângulo de 180º formado pelo arco que inicia em B e termina em D, sendo D(-1,0). 
Logo, sen180º = 0.
Se calcularmos o seno de 270º, iremos notar que no eixo das ordenadas existe um ângulo de 270º 
formado pelo arco que inicia em B e termina em E, sendo E(0,-1). Logo, sen270º = –1.
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Se calcularmos o seno de 360º, ou seja, a volta completa no círculo, iremos notar que no eixo das 
ordenadas existe um ângulo de 360º formado pelo arco que inicia em B e termina em B, sendo B(1,0). 
Logo, sen360º = 0.
8.3 Função seno
Chamamos de função seno a função f : , f(x) sen x→ =  .
A representação gráfica da função seno é:
A seguir estão representados os valores notáveis da função seno:
º rad sen
0 0 0
30 π/6 1/2
45 π/4 √2/2
60 π/3 √3/2
90 π/2 1
O domínio da função seno é constituído pelo conjunto dos números reais. Já o conjunto imagem da 
função seno é o intervalo [-1;1].
A função seno é uma função periódica cujo período é o número 2π.
8.3.1 Cosseno de arcos notáveis 
A seguir representaremos os cossenos dos arcos 0º, 90º, 180º, 270º e 360º que são considerados 
arcos notáveis no círculo trigonométrico, pois cada 90º percorridos no sentido anti-horário significa a 
passagem por um quadrante.
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Se calcularmos o cosseno de 0º, iremos notar que no eixo das abscissas não existe arco. Porém, o eixo 
das abscissas é representado pelo cosseno. Logo, cos0º = 1.
Se calcularmos o cosseno de 90º, iremos notar que existe um arco que inicia em B e termina em C, 
cujo ponto é C = (0,1). Logo, cos90º = 0.
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Se calcularmos o cosseno de 180º, iremos notar que existe um arco que inicia em B e termina em D, 
cujo ponto é D = (-1,0). Logo, cos180º = -1.
Se calcularmos o cosseno de 270º, iremos notar que existe um arco que inicia em B e termina em E, 
cujo ponto é E = (-1,0). Logo, cos270º = 0.
Se calcularmos o cosseno de 360º, iremos notar que existe um arco que inicia-se em B e termina em 
B, cujo ponto é B=(1,0). Logo, cos360º=1.
8.4 Função cosseno
Chamamos de função cosseno a função f : , f(x) cos x→ =  .
A representação gráfica da função cosseno é:
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A seguir estão representados os valores notáveis da função cosseno:
º rad cos
0 0 1
30 π/6 √3/2
45 π/4 √2/2
60 π/3 1/2
90 π/2 0
O domínio da função cosseno é constituído pelo conjunto dos números reais. Já o conjunto imagem 
da função cosseno é o intervalo [-1;1].
A função cosseno também é uma função periódica cujo período é o número 2π.
8.5 Função tangente
Chamamos de função tangente a função f : x | x 2k , f(x) tg x
2
π ∈ ≠ + π → = 
 
 
.
A representação gráfica da função tangente é:
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A seguir estão representados os valores notáveis da função tangente:
º rad tg
0 0 0
30 π/6 √3/3
45 π/4 1
60 π/3 √3
90 π/2 n/a
O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais.
A função tangente também é uma função periódica, porém seu período é π.
 Observação
Funções inversas
f(x)
1
f(x)
f(x)-1
sen x cosec x arcsen x
cos x sec x arccos x
tg x cotg x arctg x
Exemplos de aplicação 
1. Num triângulo retângulo, a soma das medidas dos catetos vale 7 cm. Determinar as medidas 
desses catetos, sabendo que a hipotenusa vale 5 cm.
Resolução:
Primeiro vamos modelar o problema utilizando Pitágoras:
2 2 2
2 2 2
a 5
a b c
5 b c
=
= +
= +
O problema nos informa que:
b + c = 7, com essas informações podemos modelar um sistema:
2 2
b c 7 equação I
b c 25 equação II
+ = →

+ = →
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Agora podemos isolar b ou c . Isolando b , temos:
b 7 c equação III= − → .
Substituindo a equação III em II, temos:
2 2
2
2 2
2
2
b c 25
(7 c) 25
49 14c c c 25
2c 14c 49 25 0
2c 14c 24 0
+ =
− =
− + + =
− + − =
− + =
Chegamos a uma equação de 2º grau e utilizaremos Bhaskara para resolver:
( )
2
2
b 4ac
14 4 2 24
196 192
4
∆ = −
∆ = − − × ×
∆ = −
∆ =
b
x
2a
( 14) 4
x
2 2
14 2
x
4
− ± ∆=
− − ±=
×
±=
14 2 16
x ' 4
4 4
+= = =
14 2 12
x ' 3
4 4
−= = =
2. João pretende fazer uma experiência com uma bolinha de borracha. Ele vai soltar a bolinha de 
umaplataforma que forma um ângulo de 30 graus com a parede vertical. O topo dessa plataforma tem 
6 metros de distância em relação ao solo. Determine o comprimento da plataforma.
Resolução:
Vamos reproduzir a figura da rampa:
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a
30º
b
6
Visualizando a figura, podemos calcular:
C.O
cos30º
hip
3 6
2 a
a 3 12
12
a
3
12 3
a
3 3
12 3
a
3
a 4 3
=
=
=
=
= =
×
=
=
3. Para quais valores de k a equação sen x = k² - 1 tem solução?
Sabemos que a função sen:
 
2
1 senx 1
1 k 1 1
− ≤ ≤
− ≤ − ≤
Faremos essa inequação em dois sistemas:
2
2
1 k 1 inequação I
k 1 1 inequação II
− ≤ − →
− ≤ →
Resolvendo I, temos:
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2
2
2
1 1
1 1
0
k
k
k k
− ≤ −
≥ − +
≥ ⇒ ∀ ∈
Resolvendo II, temos:
2
2
2
k 1 1
k 1 1
k 2
k 2
− ≤
≤ +
≤
≤
V k / 2 k 2= ∈ − ≤ ≤
4. Considere a função f(x) = 10 + 5 cos 2x. 
Resolução:
a) Qual o menor valor que a função atinge?
b) Para qual valor de x a função atinge seu mínimo?
Sabemos que 1 cos x 1− ≤ ≤ .
Portanto, o menor valor de f(x) será quando cos x = -1.
Assim, teremos:
f(x) 10 5 ( 1) 5= + × − = 
Considerando o item anterior temos que f(x) = 5, então temos:
5 10 5cos x
10 5 5cos x
5 5cos x
cos x 1
= +
− + =
− =
= −
x 2k,k= π + ∈
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 Resumo
Nesta unidade estudamos outros modelos de funções como as 
exponenciais e logarítmicas, que também são utilizadas para a resolução de 
problemas cotidianos. Resgatamos também os conceitos de trigonometria 
para que pudéssemos trabalhar com as funções trigonométricas.
 Exercícios
Questão 1. (ENEM/2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, 
está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, 
diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o 
valor de r em função de t seja dado por
r t
x t
( ) =
+ ( )
5865
1 0 15 0 06, cos ,
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da 
Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. 
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:
A) 12.765 km.
B) 12.000 km.
C) 11.730 km.
D) 10.965 km.
E) 5.865 km.
Resposta correta: alternativa B.
Análise das alternativas
Na equação dada, como -1 < cos(0,06t)< 1, teremos:
Passo 1) máximo
5865 5865 5865
r 6900
1 0,15.( 1) 1 0,15 0,85
= = = =
+ − −
Passo 2) mínimo
5865 5865 5865
r 5100
1 0,15.(1) 1 0,15 1,15
= = = =
+ +
Logo, máximo mínimoS r r 6900 5100 12000= + = + =
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MATEMÁTICA
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Então:
A) Alternativa incorreta
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2. (FUVEST-2010) Tendo em vista as aproximações 10log 2 0,30≅ , 10log 3 0,48≅ , então, o 
maior número inteiro n que, satisfazendo n 41810 12≤ , é igual a:
A) 424
B) 437
C) 443
D) 451
E) 460
Resolução desta questão na Plataforma.
170
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
BL PL - CIÊNCIAS MATEMÁTICA NÚMEROS PRIMOS.JPG. Largura: 400 pixels. Altura: 63 pixels. 8,3 Kb. 
Formato JPEG. Disponível em: <http://mesquita.blog.br/ciencias-matematica-numeros-arabicos>. 
Acesso em: 11 abr. 2011.
REFERÊNCIAS 
Textuais
BARBONI, A.; PAULETTE, W. Cálculo e análise (cálculo diferencial e integral): fundamentos de 
matemática. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2007.
BARRETO Filho, B.; SILVA, C. X. Matemática aula por aula. Ensino Médio. São Paulo: Editora FTD, 
2000.
BRADLEY, G. L.; HOFFMANN, L. D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: Editora 
LTC, 2008.
DEMANA, F. et al. Pré-cálculo. 1. ed. São Paulo: Editora Pearson Education do Brasil, 2009.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: 
Editora Makron, 1992.
GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI Jr., J.R. A conquista da matemática. Ensino Fundamental. 
São Paulo: Editora FTD, 1998. 4 v.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1997. 
HOFFMANN, L. D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 
2002.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. Ensino Fundamental. 5. ed. São Paulo: 
Editora Atual, 2005. 4 v.
MORETTIN, P. A.; HARZZAN, S. B. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 
2003.
STEWART, J. Cálculo. Vol. I. São Paulo: Editora Pioneira-Thomson Learning, 2001.
THOMAS, G. Cálculo. Vol. I. 11. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2009.
171
Exercícios
Unidade I – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade I – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade II – Questão 2: FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR (FUVEST). Vestibular 2007 
1ª fase: conhecimentos gerais. Questão 31. Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2007/provas/
p1f2007v.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade III – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade III – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 
11. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. Acesso 
em: 18 mai. 2011.
Unidade IV – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade IV – Questão 2: FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR (FUVEST). Vestibular 2010 1ª 
fase: conhecimentos gerais. Questão 73. Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2010/1fase/p1f2010v.
pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Sites
<http://www.brasilescola.com/matematica/angulos-notaveis.htm>
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo>
<http://www.colegioweb.com.br/matematica/relacoes-metricas-nos-triangulos-retangulos.html>
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000