FORMULÁRIO MATEMÁTICA

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Sumário 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL BÁSICO ......................................................................................................... 3 
TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES DE UMA OU DE MAIS VARIÁVEIS ..................................... 3 
REGRA DE L’HOSPITAL: ................................................................................................................................................... 4 
MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE INTEGRAIS: ........................................................................................................................ 4 
REGRA DA CADEIA ........................................................................................................................................................... 4 
COEFICIENTE ANGULAR .................................................................................................................................................. 4 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO ......................................................................................................................................... 5 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO .................................................................................................................................. 5 
EXTREMOS DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL ................................................................................................................. 6 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS E INTEGRAIS EM PROBLEMAS FÍSICOS .......................................................................... 6 
CÁLCULO DE VOLUME POR INTEGRAL TRIPLA .............................................................................................................. 6 
CÁLCULO DE VOLUME POR ROTAÇÃO/REVOLUÇÃO EM TORNO DE UM EIXO .......................................................... 7 
MULTIPLICADOR DE LAGRANGE .................................................................................................................................... 7 
TEOREMA DE PAPPUS GULDIN ....................................................................................................................................... 7 
PARIDADE DE FUNÇÕES .................................................................................................................................................. 7 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ................................................................................................................ 9 
EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ................................................................................................................ 9 
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS DE SEGUNDA ORDEM ...................................................................................... 9 
EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................................... 10 
CÁLCULO VETORIAL E INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA ................................................................................................. 13 
INTEGRAIS DE LINHA ..................................................................................................................................................... 13 
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE ............................................................................................................................................ 13 
GRADIENTE (∇𝐹) ............................................................................................................................................................ 14 
DIVERGENTE (∇ ∙ 𝐹) ....................................................................................................................................................... 14 
LAPLACIANO (∇² ∙ 𝐹) ..................................................................................................................................................... 14 
ROTACIONAL (∇ X 𝐹) ...................................................................................................................................................... 14 
TEOREMA DE GREEN ..................................................................................................................................................... 15 
STOKES ........................................................................................................................................................................... 15 
GAUSS OU TEOREMA DA DIVERGÊNCIA ...................................................................................................................... 15 
CAMPOS CONSERVATIVOS ........................................................................................................................................... 15 
SÉRIES E SEQUÊNCIAS ........................................................................................................................................... 17 
SÉRIE GEOMÉTRICA ....................................................................................................................................................... 17 
SÉRIE DE POTÊNCIA ....................................................................................................................................................... 18 
DERIVADA DE SERIE DE POTÊNCIA ........................................................................................................................................ 18 
INTEGRAL DE SERIE DE POTÊNCIA ......................................................................................................................................... 18 
RAIO DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIE DE POTÊNCIA ................................................................................................. 19 
2 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
SÉRIE DE POTÊNCIA: SÉRIE DE TAYLOR........................................................................................................................ 19 
SÉRIE DE POTÊNCIA: SÉRIE DE MACLAURIN ................................................................................................................ 20 
P-SÉRIE ........................................................................................................................................................................... 20 
NUMERO DE EULER EM SÉRIE ...................................................................................................................................... 20 
TESTE DA DIVERGÊNCIA ................................................................................................................................................ 20 
TESTE DA COMPARAÇÃO .............................................................................................................................................. 21 
TESTE DA COMPARAÇÃO NO LIMITE ........................................................................................................................... 22 
TESTE DA RAZÃO ........................................................................................................................................................... 23 
TESTE DA RAIZ ................................................................................................................................................................ 24 
TESTE DA INTEGRAL ...................................................................................................................................................... 24 
ÁLGEBRA LINEAR ................................................................................................................................................... 26 
PRODUTO VETORIAL ..................................................................................................................................................... 26 
PRODUTO MISTO (ESCALAR + VETORIAL) ................................................................................................................... 26 
PRODUTO ESCALAR .......................................................................................................................................................26 
ESPAÇOS VETORIAIS...................................................................................................................................................... 26 
BASES CANÔNICAS, ORTOGONAIS E ORTONORMAIS ................................................................................................ 27 
DEPENDÊNCIA LINEAR .................................................................................................................................................. 29 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES ..................................................................................................................................... 29 
MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................................................................... 32 
PROBLEMAS DE AUTOVALOR E AUTOVETOR ............................................................................................................. 34 
CÁLCULO NUMÉRICO ............................................................................................................................................ 37 
REGRA DO TRAPÉZIO (APROXIMAÇÃO POR 1 TRAPÉZIO) ......................................................................................... 37 
REGRA DO TRAPÉZIO REPETIDA (COMPOSTA OU GENERALIZADA) - (APROXIMAÇÃO POR TRAPÉZIOS) ....................................... 37 
REGRA DE 13 SIMPSON SIMPLES (APROXIMAÇÃO POR 1 POLINÔMIO DE 2º GRAU) ............................................. 38 
REGRA DE 13 SIMPSON REPETIDA OU GENERALIZADA ............................................................................................. 38 
QUADRATURA GAUSSIANA .......................................................................................................................................... 39 
MÉTODO DE EULER ....................................................................................................................................................... 39 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ....................................................................................................................... 40 
PROBABILIDADE .................................................................................................................................................... 42 
 
3 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL BÁSICO 
TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES DE UMA OU DE MAIS VARIÁVEIS 
 
Regras de derivação: 
 
I. Se f(x) = a, então f’(x)=0 
II. Se f(x) = ax, então f’(x)=a 
III. Se f(x) = 𝑥𝑎, então f’(x)= a.𝑥𝑎−1 => regra do tombo 
IV. [f(x)+g(x)]’ = f’(x)+g’(x) => derivada da soma 
V. [f(x)-g(x)]’ = f’(x)-g’(x) => derivada da diferença 
VI. [af(x)]’=af’(x) 
VII. [f(x).g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) => regra do produto 
VIII. [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]’ = 
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]²
 => regra do quociente 
 
Diferencial Total de Z = Z(x,y): 
 
dz = ( 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 )dx +( 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 )dy 
 
Lembrete: 
 
I. 
𝑑𝑒𝑢
𝑑𝑥
 = 𝑒𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
II. y = senx² y’=2x.cos²x 
III. y =sen²x y’ = 2senx.cosx 
IV. 𝑒𝑙𝑛𝑥 = x 
V. 𝑒𝑎+𝑏 = 𝑒𝑎. 𝑒𝑏 
VI. ∫ 𝑙𝑛𝑥 = x.lnx -x 
VII. ∫𝑥𝑒𝑥 = x𝑒𝑥 -𝑒𝑥 
VIII. y = tgx y’=sec²x 
IX. y = cotgx y’=-cossec²x 
X. y = secx y’=secx.tgx 
XI. y = cossecx y’=-cossecx.cotgx 
XII. secx = 
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
XIII. cossecx = 
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
 
XIV. 𝑢𝑥𝑥 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑥 𝑑𝑢𝑎s vezes 
XV. 𝑢𝑦𝑦 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑦 𝑑𝑢𝑎s vezes 
XVI. 𝑢𝑥𝑦 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑥 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜, 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑦 
XVII. 𝑢𝑥𝑦 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑦 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜, 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑥 
 
 
4 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
REGRA DE L’HOSPITAL: 
 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 = 
0
0
 = 
∞
∞
 = 1∞ → aplicando l’hospital → lim
𝑥→∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 
MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE INTEGRAIS: 
 
• Substituição 
 
 ∫𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝐶 
 
• Por Partes 
 
 ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ou 
∫𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣. 𝑑𝑢 
 
 Como escolher u ? 
 
1. Logarítmica 
2. Trigonométrica 
3. Inversa 
4. Algébrica 
5. Trigonométrica 
6. Exponencial 
 
REGRA DA CADEIA 
 
y = f(g(x)); u = g(x); y = f(u) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 . 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
y = f(g(h(x))); y’=h’(x).g’(h(x)).f’(g(h(x)) 
 
COEFICIENTE ANGULAR 
 
Exemplo: o coeficiente angular(m) da reta tangente à elipse de equação x²+2y²=3 no ponto 
(1,1): 
L I A T E 
 
5 
 
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Isolando y: 
 
y=√
3−𝑥²
2
 
 
usando regra da cadeia: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
1
2√
3−𝑥²
2
 
.
−2𝑥
2
 
 
y'(1) = 
−1
2
 
 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
Parte 1 
 
∫ f(x)dx = F(x)|
𝑏
𝑎
 = F(b) − F(a)
b
a
 
 
Parte 2 
 
F(x) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑢(𝑥)
0
 
F’(x) = f(u(x)).u’(x) 
 
Ex1: 
h(x) = ∫ 𝑡2𝑑𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1
 h’(x) = [sen(x)]².cos(x) 
 
Ex2: 
f(x) = ∫ 𝑡2𝑑𝑡
2𝑥
𝑒𝑥
 f’(x) = [(2x)².2]-[(𝑒𝑥)². 𝑒𝑥] = 8x²-𝑒3𝑥 
 
Seja f diferenciavel no intervalo aberto (a,b) 
e contínua no intervalo fechado [a,b], então 
há pelo menos um ponto c em (a,b), tal que: 
f’(c) = 
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑏)
𝑏−𝑎
 
f(c) 
f(b) 
f(a) 
a c b 
 
6 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
EXTREMOS DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL 
 
1. Calcula F’x e F’y 
2. Igualar a zero (F’x=0 e F’y=0) e achar os pontos críticos (Xc, Yc) 
3. H(Xc,Yc) = |
𝐹𝑥𝑥 𝐹𝑦𝑥
𝐹𝑥𝑦 𝐹𝑦𝑦
| 
4. Se H<0 (ponto de sela) ; Se H=0 (nada pode afirmar) ; Se H>0 (ponto de máx ou mín) 
5. Se Fxx>0 (ponto de mín); Se Fxx<0 (ponto de máx) 
 
Para F(x) apenas 
 
F’(X) = 0 encontra os pontos 
F”(X) < 0 ponto de máximo 
F’’(X) > 0 ponto de mínimo 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS E INTEGRAIS EM PROBLEMAS FÍSICOS 
 
CÁLCULO DE ÁREA ENTRE DUAS CURVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE VOLUME POR INTEGRAL TRIPLA 
 
 
𝑽 = ∭𝑑𝑧. 𝑑𝑦. 𝑑𝑥 
 
a b 
F(x) 
A = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
a b
f(x) 
𝑔(𝑥) A = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
a 
 
f(x) 
b
A = −∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
7 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
CÁLCULO DE VOLUME POR ROTAÇÃO/REVOLUÇÃO EM TORNO DE UM EIXO 
 
𝑽 = ∫ 𝜋 [𝑓(𝑥)]2
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 (𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥) 
𝑽 = ∫ 𝜋 [𝑓(𝑥) − 𝑘]2
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 (𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 = 𝑘) 
𝑽 = ∫ 𝜋 [𝑓(𝑦)]2
𝑏
𝑎
 𝑑𝑦 (𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦) 
𝑽 = ∫ 𝜋 [ [𝑓(𝑥)]² − [𝑔(𝑥)]2 ]
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 (𝑐𝑜𝑚 𝑏𝑢𝑟𝑎𝑐𝑜𝑠) 
 
MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 
 
Determinar os valores extremos de f(x,y) sujeito a restrição da forma g(x,y)=k, para isso, 
devemos resolver: 
∇𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝜆 ∇𝑔(𝑥0, 𝑦0) onde ∇ é o gradiente 
 
Exemplo: Calcular o valor máximo que a função f atinge na esfera. 
 
TEOREMA DE PAPPUS GULDIN 
 
 
 
 
 
 
C = centro de massa 
A= área da figura 
V= volume da figura 
L = perímetro da figura ou comprimento 
 
A = 2π𝑥L V = 2π𝑥A 
PARIDADE DE FUNÇÕES 
 
sen(-x)=-sen(x) 
cos(-x)=cos(x) 
C 
360° 
𝑥 
 
8 
 
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sen(x) = função impar 
cos(x) = função par 
• Função PAR x Função PAR = função PAR 
• Função ÍMPAR x Função ÍMPAR = Função PAR 
• Função PAR x Função ÍMPAR = Função ÍMPAR 
 
∫ função ímpar = 0 
Derivada de função ímpar = par 
 
∫ função par = 2∫𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑝𝑎𝑟
𝐿
0
 
Derivada de função par = ímpar 
 
Graus 0 30° 45° 60º 90º 180° 270° 360º 
Radiano 0 
𝜋
6
 
𝜋
4
 
𝜋
3
 
𝜋
2
 π 
3𝜋
2
 2π 
sen 0 
12
 
√2
2
 
√3
2
 1 0 -1 0 
cos 1 √
3
2
 
√2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
tg 0 √
3
3
 1 √3 ∞ 0 ∞ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 10
0 2
7 8
1 3
RESOLUÇÃO DE 
INTEGRAL
DERIVADA E REGRA 
DA CADEIA
TEOREMA DO 
VALOR MÉDIO
TEOREMA 
FUNDAMENTAL DO 
CÁLCULO
PONTOS MÁX E MÍN CÁLCULO DE ÁREA 
ENTRE CURVAS
VOLUME ENTRE 
PLANOS
VOLUME POR 
INTEGRAL TRIPLA E 
ROTAÇÃO
Cálculo Diferencial e Integral Basico
O produto de duas funções de 
mesma paridade é uma função PAR. 
O produto de duas funções de 
paridades diferentes é uma função 
ÍMPAR 
 
9 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 
 
a) SIMPLES 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = q(x) dy = q(x) dx y = ∫𝑞(𝑥)𝑑𝑥 
 
b) LINEAR 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 +p(x)y = q(x) ou y’+ p(x)y = q(x) 
 
Como resolver? 
 
Exemplo: 
I) y’-3y=6 
-Definindo p(x) = 3 e q(x) =6, calcular u = 𝑒∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = u = 𝑒∫−3𝑑𝑥 = 𝑒−3𝑥 
-Multiplicar I) por 𝑒−3𝑥 
 g g’ 
 
 y’𝑒−3𝑥-y(−3)𝑒−3𝑥=6𝑒−3𝑥 ** derivada do produto = f´g+fg’ 
 
 f’ f 
 (f.g)’ = 6. 𝑒−3𝑥 ∫𝑑(𝑦. 𝑒−3𝑥) = ∫6 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 
𝑑(𝑦.𝑒−3𝑥)
𝑑𝑥
 = 6 𝑒−3𝑥 y = -2 + 
𝑐
𝑒−3𝑥
 
𝑑(𝑦. 𝑒−3𝑥) = 6 𝑒−3𝑥 𝑑𝑥 
 
c) SEPARÁVEIS 
 
H(y)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = g(x) → h(y)dy = g(x)dx → ∫ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 → H(y)=G(x)+c 
 
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
• y” + P(x)y’+ q(x)y = 0 
 
λ²+P(x)λ+q(x)=0 
 
𝜆12 = 
−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐
2.𝑎
 
 
10 
 
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ou 
 𝑠 =
−𝑏
𝑎
 e 𝑃 =
𝑐
𝑎
 e 
Solução: 
• 𝜆1 ≠ 𝜆2 
y(x) = C1e
λ1x + C2e
λ2x 
• 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆 E ℝ 
 y(x) = C1e
λx + C2xe
λx 
 
• 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆 E ₵ 
λ = α±βi 
y(x) = 𝑒𝛼[𝐴𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] 
 
• y” + P(x)y’ = 0 [q(x) = 0] 
 
Solução: 
 λ²+b=0 
 λ=±√−𝑏 
 λ= ±√𝑏𝑖 [𝜆 = α±βi, β=±√𝑏 e α=0] 
y(x) = [𝐴𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)] 
β = 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋
1
𝑇
 (frequência angular) 
T= 
2𝜋
β 
 
EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
Para resolver: Método dos Coeficientes Indeterminados 
 
Y”+P(x)y’+q(x)y= F(x) 
 
• Quando F(x) é uma exponencial 
 
 Exemplo: y”+y’-2y = 3𝑒2𝑥 
 
 Solução: 𝑦𝐺= 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 
 
 𝑦ℎ → encontra através do método da homogênea 
 
Para 𝑦𝑝 : 
 
𝑦𝑝 = A. 𝑒
2𝑥 
𝑦𝑝′ =2. A. 𝑒
2𝑥 
Lembrar que muitas vezes essa solução já é uma solução de 𝑦ℎ, portanto para 
diferenciar é necessário escolher 𝑦𝑝 = A.x. 𝑒
2𝑥, se também já for solução, 
escolher 𝑦𝑝 = A.x². 𝑒
2𝑥 
 
11 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
𝑦𝑝" = 4.A. 𝑒
2𝑥 
Substituindo na equação y”+y’-2y = 3𝑒2𝑥 
 
4.A. 𝑒2𝑥 +2. A. 𝑒2𝑥-2 A. 𝑒2𝑥 = 3𝑒2𝑥 
 
4.A. 𝑒2𝑥 = 3 𝑒2𝑥 
 
A = 
3
4
 𝑦𝑝 = 
3
4
 . 𝑒2𝑥 𝑦𝐺= C1e
−2x + C2e
x + 
3
4
 . 𝑒2𝑥 
 
• Quando F(x) é um polinômio 
 
Exemplo: y”+4y= 8x² (I) 
 
Solução: Se o polinômio é de ordem n, então 𝑦𝑝 também deverá ser um polinômio 
de ordem n 
 
𝑦𝑝 = Ax²+Bx+C 
𝑦𝑝′ = 2Ax+B 
𝑦𝑝" = 2A 
 
Substituindo em (I): 
2A+4(Ax²+Bx+C)=8x² 
4Ax²+4Bx+2A+4C=8x² 
 
4A=8 
4B=0 
2A+4AC=0 
A=2 B=0 C=-1 
Ou seja 𝑦𝑝 = 2x²-1 e 𝑦𝐺= C1cos(2x) + C2sen(2x) + 2x²-1 
 
• Quando F(x) é um seno ou cosseno 
 
y”-y=2sen(x) (observação: se for sen(2x), a solução também apresentara o 2x) 
 
 Substituindo: 
𝑦𝑝 = A.sen(x) + B.cos(x) -A.sen(x)-B.cos(x)-[ A.sen(x) + B.cos(x)]= 2sen(x) 
𝑦𝑝′ = A.cos(x)-B.sen(x) -2Asen(x)-2Bcos(x) = 2sen(x) 
𝑦𝑝" = -A.sen(x)-B.cos(x) B=0 e A=-1 
 
𝑦𝑝 = -sen(x) e 𝑦𝐺= C1e
2x + C2e
−x - sen(x) 
 
OBSERVAÇÃO 
Caso ao fazer as substituições, a equação zerar, significa que será necessário adotar como 
solução particular: 
 
𝑦𝑝 = 𝑥
𝑆A. 𝑒𝛼𝑥 
𝑦𝑝 = 𝑥
𝑆(A. 𝑥𝑛+B𝑥𝑛−1+…) 
𝑦𝑝 = 𝑥
𝑆[A.sen(x)+Bcos(x)] 
S → será o menor inteiro que faz com que 𝑦𝑝 não seja igual a solução homogênea 𝑦ℎ 
 
12 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
5
3
0
1º OD 2º OD HOMO 2º OD NÃO HOMO LAPLACE
Equações Diferenciais
 
13 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
CÁLCULO VETORIAL E INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 
 
INTEGRAIS DE LINHA 
 
▪ CAMPOS ESCLARES: 
 
∫ 𝐹⦁𝑑𝑠𝐶 = ∫ 𝐹(𝑟(𝑡)). ||𝑟
′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑡)|| 𝑑𝑡 
𝑏
𝑎
 
 
M = ∫ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝛿(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))
𝑏
𝑎𝜎
||𝑐′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑡)|| dt 
▪ CAMPOS VETORIAIS: 
 
W =∫ 𝐹⦁⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑟𝐶 = ∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) . 𝑟
′⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
 
 
 F = (x,y,z) ou F= M 𝑖 + N 𝑗 + P�⃗⃗� 
 𝑟′⃗⃗⃗⃗ (𝑡) = dr = (dx, dy, dz) 
 
Então, 
∫ 𝐹⦁⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑟
𝐶
= ∫ (𝑀,𝑁, 𝑃)⦁(𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧)
𝑐
= ∫ 𝑀𝑑𝑥 +𝑁𝑑𝑦 + 𝑃𝑑𝑧
𝑐
 
 
 
 Lembrete: 
 Parametrização de circunferência e elipse: 
 
(𝑥−𝑥1)2
𝑎2
 + 
(𝑦−𝑦1)2
𝑏2
= 1 
(𝑥 − 𝑥1)2
𝑎²
 = 𝑐𝑜𝑠²𝑡 
(𝑥 − 𝑦1)2
𝑏²
 = 𝑠𝑒𝑛²𝑡 
 
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 
 
• FUNÇÃO ESCALAR: 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠𝑠 =∬ 𝑓(𝑟(𝑢, 𝑣))𝐷 . |𝑟𝑢 𝑥 𝑟𝑣| 𝑑𝑢 𝑑𝑣 
 
Massa = M = ∬ 𝑓𝑑𝑠𝑠 =∬ 𝑓(𝑟(𝑢, 𝑣))𝐷 . |𝑟𝑢 𝑥 𝑟𝑣| 𝑑𝑢 𝑑𝑣 
𝑟𝑢 = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑟 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑢 
 𝑟𝑣 = derivada de r em relação a v 
ou 
∬ 𝑓𝑑𝑠𝑠 =∬ 𝑓(𝑔(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧)𝐷 .√(
𝜕𝑥
𝜕𝑦
)
2
+ (
𝜕𝑥
𝜕𝑧
)
2
+ 1 dz dy (plano yz, x=0) 
 
14 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
∬ 𝑓𝑑𝑠𝑠 =∬ 𝑓(𝑥, 𝑔(𝑥, 𝑧), 𝑧)𝐷 .
√(
𝜕𝑦
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑦
𝜕𝑧
)
2
+ 1 dz dx (plano xz, y=0) 
∬ 𝑓𝑑𝑠𝑠 =∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦))𝐷 .√(
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)
2
+ 1 dy dx (plano xy, z=0) 
 
• FUNÇÃO VETORIAL: 
 
𝜙 = ∬ �⃗�. 𝑛.⃗⃗⃗ ⃗ 𝑠𝑠 =∬ 𝑓(𝑟(𝑢, 𝑣))𝐷 ⦁(𝑟𝑢 𝑥 𝑟𝑣) 𝑑𝑢 𝑑𝑣 
 
 
Lembrete: 
 
Coordenada polar: du.dv = r.dr.dθ , integra em relação a θ primeiro 
Coordenada esférica: du.dv = dφ.dθ , integra em relação a φ primeiro, onde 0≤φ≤π, 
0≤θ≤2π, x=r.sen(φ).cos(θ); y=r.sen(φ).sen(θ), z=rcos(φ) 
 
GRADIENTE (∇�⃗�) 
𝛻�⃗� = ( 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
, 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 , 
𝜕𝐹
𝜕𝑧
 ) 
- quando gradiente de �⃗� é ortogonal a uma circunferência r=√𝑥2 + 𝑎² então quer dizer que 
ele é paralelo ao gradiente da função g(x,y)= x²+a²-r², ou seja, 𝛻�⃗� = 𝛻�⃗� 
- pontos da circunferência em que o gradiente de f(x,y) é máximo? Calcula o gradiente de F 
que ficará em função de x,y. Isola x da equação da circunferência (x²+y²=r²) e substitui no x 
do gradiente. Analisa a equação encontrada para valores da variação do y. Na 
circunferência de raio 1 por exemplo, y varia de -1 a 1 
DIVERGENTE (∇ ∙ �⃗�) 
𝛻 ∙ �⃗� = ( 
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
 + 
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
 + 
𝜕𝐹3
𝜕𝑧
 ) 
LAPLACIANO (∇² ∙ �⃗�) 
𝛻² ∙ �⃗� = ( 
𝜕2𝐹1
𝜕𝑥²
 + 
𝜕2𝐹2
𝜕𝑦²
 + 
𝜕²𝐹3
𝜕𝑧²
 ) 
ROTACIONAL (∇ X �⃗�) 
𝛻 𝑥 �⃗� = [ 
𝜕𝐹𝑧
𝜕𝑦
 - 
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑧
 ] 
𝑖
→ + [ 
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑧
 - 
𝜕𝐹𝑧
𝜕𝑥
 ] 
𝑗
→ + [ 
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑥
 - 
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑦
 ] 
𝑘
→ 
OBSERVAÇÕES: 
- PARA CAMPO CONSERVATIVO: 
• Rotacional é nulo 
• 
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
 = 
𝜕𝐹1
𝜕𝑦
 
Vetor normal a superfície 
 
15 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
• 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
 = 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 
TEOREMA DE GREEN 
 
∫ 𝐹⦁⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑟
𝐶
= ∫ 𝐹(�⃗�(𝑡)) . 𝑟′⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= ∮𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = ∬ (
𝜕𝑁
𝜕𝑥𝐷
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) dA = ∬ 𝑄𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑃𝑦(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷 
- dA = dy.dx = dx.dy 
- sentido positivo = sentido anti-horário 
- Essa integral dupla de green pode ser usada para calcular área, mas para isso é necessário 
que: 
(
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) = 1 
 
Assim, a área delimitada por C, corresponderá a área de D, assim ∮ ∬ 𝑑𝐴
𝐷
 = A 
Se D for um círculo então A=πR² 
SE D for um trapézio então = ((B+b).h)/2 
 STOKES 
∫ �⃗�⦁𝑑𝑟
𝐶
=∬ 𝑅𝑜𝑡(�⃗�)(
𝑠
𝑟𝑢 𝑥 𝑟𝑣) 𝑑𝑢𝑑𝑣 =∬ 𝑅𝑜𝑡(�⃗�)(
𝑠
𝑟𝑥 𝑥 𝑟𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
GAUSS OU TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 
 
∫ 𝐹. 𝑛. 𝑑𝑠
𝐶
=∭ 𝑑𝑖𝑣 𝐹
𝐷
 dV 
∫ 𝐹. 𝑛. 𝑑𝑠
𝐶
=∬𝑅𝑜𝑡(�⃗�)𝑑𝑠
𝑠
= 
∬ 𝑅𝑜𝑡(�⃗�)�⃗⃗�𝑑𝑠
𝑠
=∭𝐷𝑖𝑣 (𝑅𝑜𝑡(�⃗�))𝑑𝑣 = 0 
 
CAMPOS CONSERVATIVOS 
 
�⃗⃗⃗�= grad (U) → é conservativo, onde U é uma função potencial 
 
-quando o campo é conservativo, o rotacional é nulo; 
-quando for dito que �⃗⃗⃗� deriva de um potencial então �⃗⃗⃗� é um campo vetorial conservativo; 
-trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual 
a zero; 
∫ �⃗�⦁𝑑𝑟
𝐶
= ⋃
𝑝2
𝑝1 = U(p2)-U(p1) 
 
∫ �⃗�⦁𝑑𝑟
𝐶
= 𝑊 = 0 
 
16 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
- Se tudo der igual, o campo é conservativo e tem uma função potencial; 
𝜕𝐹1
𝜕𝑦
=
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
 ; 
𝜕𝐹1
𝜕𝑧
=
𝜕𝐹3
𝜕𝑥
 ; 
𝜕𝐹2
𝜕𝑧
=
𝜕𝐹3
𝜕𝑦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
6
3
5
3 4 0 2 4
Cálculo Vetorial
 
17 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
SÉRIES E SEQUÊNCIAS 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
 
É a soma dos termos de uma PG 
∑ 𝑟𝑘𝑛𝑘=0 = 𝑟
0 + 𝑟1+𝑟2+...𝑟𝑛 
- Para valores de (-1<r<1) a série CONVERGE para: 
 
∑𝑟𝑛
∞
𝑛=0
= 
1
1 − 𝑟
 
 
- Para outros valores de r a série DIVERGE!!! 
 
Exemplo: Dada a função, verifique para qual valor de x, ela será convergente: 
 
F(x)=
1
2+𝑥
 
 
F(x)=
1
2+𝑥
 = 
1
2
(
1
(1−(−
𝑥
2
))
) = 
1
2
∑ (−
𝑥
2
)
𝑛
∞
𝑛=0 
 
Dado que irá convergir somente se |r|<1, então: 
|
−𝑥
2
| < 1 ↔ 
|−𝑋|
2
 < 1 ↔ | − 𝑋| < 2 ↔ -2<X<2 
 
 LEMBRETE 
1) |x|< a então -a<x<a (a>0) 
2) |x|> a então x<-a ou x>a (a>0) 
 
 
18 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
SÉRIE DE POTÊNCIA 
 
É uma serie onde há uma variável x elevada a uma potência n, como por exemplo: 
∑(
𝑛
𝑛 + 1
)
∞
𝑛=0
𝑥𝑛 
Ou seja, a série de potência pode ser representada por: 
∑ 𝐶𝑛𝑥
𝑛∞
𝑛=0 = 𝐶0𝑥
0+𝐶1𝑥
1 + 𝐶2𝑥
2... 
𝑥𝑛 → variável real 
𝐶𝑛 → constantes chamadas de coeficiente 
Quando 𝐶𝑛 = 1 a serie de potência se torna uma série geométrica: 
∑ 1𝑥𝑛∞𝑛=0 = 1 + 𝑥
1 + 𝑥2 + 𝑥3+...+𝑥𝑛 
Forma geral de representar uma série de potência: 
 
∑ 𝐶𝑛. (𝑥 − 𝑎)
𝑛∞
𝑛=0 = 𝐶0𝑥
0+𝐶1(𝑥 − 𝑎)
1 + 𝐶2(𝑥 − 𝑎)
2... 
O valor de a indica onde a série está centrada 
Lembrete: 
∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 = 
1
1−𝑥
 valido dentro do intervalo de convergência, ou seja, somente para |x| < 1 
DERIVADA DE SERIE DE POTÊNCIA 
F(x) = ∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 
F’(x) = ∑ 𝑛. 𝑥𝑛−1∞𝒏=𝟏 
F’’(x) = ∑
𝑛(𝑛−1).𝑥𝑛−2
2
∞
𝒏=𝟐 
 
Lembrando que ao derivar o raio de convergência da série original é preservado, apenas o 
intervalo não, pois os extremos do intervalo de convergência podem ser diferentes. 
INTEGRAL DE SERIE DE POTÊNCIA 
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 dx =∑ ∫𝑥
𝑛𝑑𝑥∞𝑛=0 = ∑
 (𝑥)𝑛+1
𝑛+1
∞
𝑛=0 
Ou ainda: 
 
19 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫∑ 𝐶𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛∞
𝑛=0 dx = ∑
𝐶𝑛.(𝑥−𝑎)
𝑛+1
𝑛+1
∞
𝑛=0 
Exemplo: 
∫ ∑
(𝑛+1)𝑥𝑛
2𝑛
∞
𝑛=0
1
−1
 𝑑𝑥 = ∑
(𝑛+1)𝑥𝑛+1
2𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=0 |
1
−1
= ∑
𝑥𝑛+1
2𝑛
∞
𝑛=0 |
−1
1
=∑
(1)𝑛+1
2𝑛
∞
𝑛=0 − ∑
(−1)𝑛+1
2𝑛
∞
𝑛=0 = 
∑
(1)𝑛.11
2𝑛
∞
𝑛=0 − ∑
(−1)𝑛.(−1)1
2𝑛
∞
𝑛=0 = ∑ (
1
2
)
𝑛
∞
𝑛=0 += ∑ (−
1
2
)
𝑛
∞
𝑛=0 = 
1
1−
1
2
 + 
1
1+
1
2
 =2+ 
2
3
 = 
8
3
 
RAIO DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIE DE POTÊNCIA 
 
 
SÉRIE DE POTÊNCIA: SÉRIE DE TAYLOR 
 
Como encontrar a representação em série de potência de f(x)=𝑒𝑥? 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓𝑛(𝑎)(𝑥 − 𝑎)𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
 
Onde 𝐶𝑛 = 
𝑓𝑛(𝑎)
𝑛!
 
Exemplo prático: como calcular a derivada de ordem 7 da função abaixo? 
∑
(𝑛 + 1)²(𝑥 − 2)𝑛
𝑛³
∞
𝑛=0
 
Não precisa derivar 7 vezes! 
𝐶𝑛 = 
𝑓𝑛(𝑎)
𝑛!
 
𝑓𝑛(𝑎)
𝑛!
=
(𝑛+1)²
𝑛³
 
𝑓𝑛(𝑎) =
(𝑛+1)2.𝑛!
𝑛³
 , como queremos a derivada de ordem 7, basta fazer n=7 
𝑓𝑛(2) = 
(7+1)2.7!
7³
 (obs, só é valido no ponto 2) 
 
 
 
20 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
SÉRIE DE POTÊNCIA: SÉRIE DE MACLAURIN 
 
É a série de Taylor centrada em a=0 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓𝑛(0)(𝑥)𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
 
P-SÉRIE 
 
∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=0
 
Quando P = 1, temos: 
∑
𝟏
𝒏
∞
𝒏=𝟎 = 1 +
1
2
+
1
3
+... = SÉRIE HARMÔNICA, sempre diverge 
∑
(−𝟏)𝒏
𝒏
∞
𝒏=𝟎 = −1 +
1
2
−
1
3
 + 
1
4
 +... = SÉRIE HARMÔNICA ALTERNADA, sempre converge 
Critério de Convergência 
∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=0
 
 
p≥ 1, a série diverge 
p< 1, a série converge 
 
NUMERO DE EULER EM SÉRIE 
 
 e = (
𝑛+1
𝑛
)
𝑛
 = (1 +
1
𝑛
)
𝑛
 
TESTE DA DIVERGÊNCIA 
 
Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0 ou não existir podemos afirmar que ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge!! 
Se der zero é inconclusivo 
Exemplo: 
 
21 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
Dada a série, diga se converge ou diverge: ∑
𝑛2−1
5𝑛2+4
∞
𝑛=1 
lim
𝑛→∞
𝑛2−1
5𝑛2+4
 (dividindo tudo por n²) ↔ lim
𝑛→∞
1−
1
𝑛2
5 +
4
4
𝑛2
 = 
1
5
 
 (deu diferente de zero, então podemos afirmar que está série diverge) 
TESTE DA COMPARAÇÃO 
 
∑ 𝑎𝑛 e ∑ 𝑏𝑛 positivas: 
 
- se 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑟 𝑒 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, então 𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑟á; 
 
Exemplo: 
 
∑
1
2𝑛+1
∞
𝑛=0 converge? 
Resposta: 
Está série se parece com a série geométrica ∑
1
2𝑛
∞
𝑛=0 com razão(r) =
1
2
 , ou seja, esta série 
converge, pois r<1. Resta analisar se ela é menor que a outra série: 
1
2𝑛+1
< 
1
2𝑛
 então está série também é convergente. 
 
- se 𝑏𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑟 𝑒 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛, então 𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑟á; 
 
 
Exemplo: 
 
∑
𝑒𝑛
𝑛
∞
𝑛=0 converge? 
Está série se parece com a série harmônica ∑
1
𝑛
∞
𝑛=0 e sabemos que esta série diverge. 
Resta analisar se a outra série é maior que ela: 
1
𝑛
 < 
𝑒𝑛
𝑛
 então está série também é divergente. 
 
 
22 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que: 
𝑏𝑛 é a série conhecida e a 𝑎𝑛 a série semelhante a conhecida. 
TESTE DA COMPARAÇÃO NO LIMITE 
 
Sejam duas séries ∑ 𝑎𝑛 e ∑ 𝑏𝑛 de termos positivos: 
 
-Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 = c > 0 (onde c é um número, ou seja, ≠ ∞), então ambas convergem ou 
ambas divergem 
Exemplo 1: 
Pelo teste da comparação a série 
1
𝑛2−2
 seria divergente, pois 
1
𝑛2−2
> 
1
𝑛2
 (serie convergente, 
pois, p=2 > 1), porém ao fazermos o teste da comparação no limite: 
 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 = lim
𝑛→∞
𝑛²
𝑛2−2
 (÷ 𝑛²) = lim
𝑛→∞
1
1−
1
𝑛2
 = 1 > 0 e ≠ ∞) então está serie converge dado 
que a outra converge. 
Exemplo 2: Como saber se a série ∑
𝑛+1
√𝑛4−𝑛+5
∞
𝑛=1 converge ou diverge se não temos 
nenhuma série conhecida? 
- Neste caso teremos que criar uma série 𝑏𝑛. Macetes para criar uma série 𝑏𝑛: 
Série com termos maiores que a da série 
que está na linha laranja 
Série com termos menores que a da série 
que está na linha azul 
Zona inconclusiva 
Zona de divergência 
Zona de convergência 
 
23 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
1) Se for razão, pegue uma razão 
2) Escolha o termo de maior grau 
3) Neste caso será: 
𝑏𝑛 = ∑
𝑛
√𝑛4
∞
𝑛=1 , simplificando ∑
𝑛
𝑛
4
2
∞
𝑛=1 = ∑
𝑛
𝑛2
∞
𝑛=1 = ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 (serie harmônica, 
divergente) 
Agora faz o teste de comparação no limite: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 = lim
𝑛→∞
𝑛+1
√𝑛4−𝑛+5
 . n= lim
𝑛→∞
𝑛+𝑛²
√𝑛4−𝑛+5
 (dividindo por n²) = lim
𝑛→∞
1+
1
𝑛
√𝑛4−𝑛+5
𝑛²
 = 
lim
𝑛→∞
1+
1
𝑛
√𝑛
4−𝑛+5
𝑛4
 = lim
𝑛→∞
1+
1
𝑛
√1−
1
𝑛3
−
5
𝑛4
 = 1>0 𝑒 ≠ ∞ 
Dado que ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 diverge, então esta série também diverge. 
TESTE DA RAZÃO 
 
É mais indicado em casos de: 
*Exponenciais em fração; 
*Fatoriais em fração; 
Série converge se lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| < 1 , caso maior que 1, diverge, se for = 1, o teste 
falha. 
Exemplo: 
∑
𝑛³
3𝑛
∞
𝑛=1
 
Aplicando o teste da razão: 
Colocando para dentro da raiz, vai para 𝑛4 
 
24 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
lim
𝑛→∞
|
(𝑛+1)3
3𝑛+1
.
3𝑛
𝑛³
 | = lim
𝑛→∞
|
(𝑛+1)3
3 𝑛³
 | = lim
𝑛→∞
|
(𝑛(1+
1
𝑛
))
3
3 𝑛³
 | 
= lim
𝑛→∞
|
(𝑛³(1+
1
𝑛
))
3
3 𝑛³
 |= lim
𝑛→∞
|
((1+
1
𝑛
))
3
3 
 | = lim
𝑛→∞
|
1
3 
 | = 
1
3 
 < 1 (converge) 
 
TESTE DA RAIZ 
 
Série converge se se lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
 < 1 
- ideal para os casos onde há (𝑎𝑛)
𝑛Exemplo: 
Estude a convergência: 
 
∑ (
𝑛2+1
3𝑛²
)
𝑛
∞
𝑛=1 
lim
𝑛→∞
√|𝑎𝑛|
𝑛
 = lim
𝑛→∞
√|(
𝑛2+1
3𝑛²
)
𝑛
|
𝑛
 = lim
𝑛→∞
(𝑛2+1)
3𝑛²
 = lim
𝑛→∞
𝑛2(1+
1
𝑛2
)
3𝑛²
 = lim
𝑛→∞
(1+
1
𝑛2
)
3
 = 
1
3
 < 1 
Portanto converge 
TESTE DA INTEGRAL 
 
Condições para aplicar o teste da integral: 
 
→ função continua; 
→ positiva e decrescente ( x→∞ f(x) →0) 
 
Exemplo: 
Estude a convergência da série ∑ 𝑒−𝑛
2∞
𝑛=1 
 
Substituindo n por x temos: 
 
∫ 𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
1
= ∞ então a série diverge 
 
Obs: 
 
∫ 𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
1
 
 
 
25 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
Número n que está na série ∑∞𝑛=1 , neste caso n=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
3
1 1 1
VALOR DO ∑ RAIO DE CONVE DERIVADA DO ∑ FOURIER INTE DO ∑
Séries e Sequeências
 
26 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
�⃗� = 𝑎1 �̂� + 𝑎2 𝑗̂ + 𝑎3 �̂� 
�⃗⃗� = 𝑏1 𝑖̂ + 𝑏2 𝑗̂ + 𝑏3 �̂� 
 
�⃗�𝑥�⃗⃗� = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑎1 𝑎2 𝑎3
 𝑏1 𝑏2 𝑏3
|
𝑖̂ 𝑗̂
𝑎1 𝑎2
 𝑏1 𝑏2
 
 
 
 
 
 
 
PRODUTO MISTO (ESCALAR + VETORIAL) 
 
(V x W)⦁U = det ⌊
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
𝑢1 𝑢2 𝑢3
⌋ 
 
REPRESENTA O VOLUME DO PARALELEPÍPEDO 
 
PRODUTO ESCALAR 
 
(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3) ⦁ (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3) = (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) 
 
�⃗�⦁�⃗⃗� = |�⃗�| |�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
São conjuntos não vazios cujos elementos são chamados de vetores. Para ser espaço 
vetorial, os elementos desse conjunto devem estar sujeitos a duas operações: 
 
I. ADIÇÃO 
 
u+v E V; ∀ u,v E V 
 
II. MULTIPLIAÇÃO 
 
α.u E V; ∀ u E V, ∀ α E V 
 α.u 
 
 
 
 
 
 
 �⃗�𝑥�⃗⃗� = |�⃗�| |�⃗⃗�|𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
u 
v 
u+v 
 
𝛼𝛼 
 
ααu 
V 
 
27 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
▪ Axiomas em relação a adição 
 
a. (u+v) + w = u + (v+w) 
b. (u+v) = (v+u) 
c. ∋ 0 E V, u+0 = u 
d. ∋ (-u) E V, u+(-u) = 0 
 
 
▪ Axiomas em relação a multiplicação 
 
e. (αβ).u = α.(βu) 
f. (α+β)u = (αu+βu) 
g. α(u+v) = (αu+αv) 
h. 1u=u 
 
Exemplo: Verifique se esse conjunto pode ser um espaço vetorial 
 
V= {(x,y) e ℝ² / x ≥ 0 } 
 
V1= (x1,y1) onde x1≥ 0 
V2= (x2,y2) onde x1≥ 0 
 
Testando as propriedades: 
 
1) V1+V2= (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) x1+x2≥0 OK 
2) αV1=α(x1,y1) = (αx1, αy1) α e ℝ, ou seja α pode ser negativo, assim x1 pode ser menor 
que zero – NÃO PASSA 
 
Conclusão: Não pode ser considerado espaço vetorial 
 
BASES CANÔNICAS, ORTOGONAIS E ORTONORMAIS 
 
Base é um conjunto de vetores que gera o subespaço com o menor número de vetores. 
Não podem ter vetores irrelevantes (ou seja, que são LD de outros). 
 
A Base Canônica de um espaço vetorial ou de outras estruturas algébricas semelhantes é a 
base mais primitiva (base geradora) e intuitiva para a estrutura. 
 
Exemplo: 
No ℝ² a base canônica é dada pelo conjunto {(1,0), (0,1)} 
No ℝ³ a base canônica é dada pelo conjunto {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 
 
A Base Ortogonal se os vetores 2 a 2 são ortogonais. Lembrando que, dois vetores são 
ortogonais se o produto interno deles for igual a zero. 
 
28 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
Exemplo: 
 
B= {(1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3)} é uma base ortogonal? 
Testando: 
V1⦁V2= (1.3+2.0-3.1=3-3) = 0 
V1⦁V3= (1.1-2.5+3.3) = -10+1+9 = 0 
V2⦁V3= (3.1+0.-5-1.3) = 0 
 
Resp: É ortogonal. 
 
A Base Ortonormal é um espaço vetorial se B é ortogonal e se todos os seus vetores são 
unitários, isto é: 
 
Vi⦁Vj = 0 p/ i≠ j 
 1 p/ i=j 
 
Exemplo: 
B= {(
√3
2
, 
1
2
),(−
1
2
,
√3
2
)} é uma base ortonormal? 
Testando: 
V1⦁V2= (
√3
2
. −
1
2
+
1
2
. 
√3
2
) = 0 (vetores diferentes tem que dar zero) 
V1⦁V1= (
√3
2
. 
√3
2
 + 
1
2
.
1
2
) = 1 (vetores iguais tem que dar 1) 
V2⦁V2 = (−
1
2
. −
1
2
+
√3
2
. 
√3
2
) = 1 (vetores iguais tem que dar 1) 
 
Resp: É ortonormal. 
 
UMA BASE ORTONOTMAL PODE SER OBTIDA DE UMA BASE ORTOGONA, PARA ISSO BASTA 
NORMALIZAR OS VETORES 
 
Exemplo: B = {(1,2-3); (3,0,1); (1,-5,-3)} 
|V1 |= √12 + 22 + (−3)² = √14 
u1 = 
𝑉1
|𝑉1|
1
√14
; 
2
√14
; 
3
√14
 (assim faz para todos os demais vetores) 
 
Como calcular uma Base? 
 
1) Excluir todos os vetores LD 
 
Exemplo: Verifique quais vetores formam uma base 
 
V1=(1,23) V2=(1,02) V3=(2,2,5) 
C1V1 + C2V2 + C3V3 = 0 
 
 
29 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
C1[
1
2
3
] + C2[
1
0
2
] + C3[
2
2
5
] = [
0
0
0
] 
 
[
1 1 2
2 0 2
3 2 5
⋮ 
0
0
0
] = [
1 1 2
0 −2 −2
0 −1 −1
⋮ 
0
0
0
] = [
1 1 2
0 1 1
0 −1 −1
⋮ 
0
0
0
] = [
1 1 2
0 1 1
0 0 0
⋮ 
0
0
0
] 
 L2 = 2L1 L2=0,5L2 L3=L2+L3 L3=L2+L3 
 L3 = 3L1 
 
 
Dado o subespaço vetorial abaixo, 
calcule sua base geradora: 
 
W= {(x,y,z) E ℝ³/ x+y-z=0} 
Resp: 
 
(x,y,z) = (x, y, x+y)=(1x, 0x,1x) + (0y, 1y,1y) 
(x,y,z) = x (1,0,1) + y(0,1,1) 
 
Base: {(1,0,1),(0,1,1)} Dim=2, gera ℝ² 
 
 DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Como saber se um conjunto de vetores é LD ou LI? 
 
C1V1 + C2V2 + C3V3 = 0 (Se C1 = C2 = C3 = 0 então é LI, senão LD) 
 
Exemplo: Verifique se o conjunto { (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) } é LD ou LI 
 
 
C1[
1
1
1
] + C2[
1
1
0
] + C3[
1
0
0
] = [
0
0
0
] 
 
[
1 1 1
1 1 0
1 0 0
⋮ 
0
0
0
] = [
1 1 1
0 0 1
0 1 1
⋮ 
0
0
0
] = [
1 1 1
0 1 1
0 0 1
⋮ 
0
0
0
] 
 L2 = L1-L3 L2=L3 
 
C1 = C2 = C3 = 0 (Linearmente Independentes, podem ser considerados base do domínio) 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Condições Necessárias para haver uma transformação linear 
I) T(u+v)=T(u)+T(v) 
Deveria ter um número diferente de zero, isso quer dizer que V3 está 
sobrando, pois está linha representa ele. 
 
30 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
II) T(αu)=αT(u) 
 
Exemplo: 
u = (x1,y1,z1) onde T (x,y,z) = (x+y; x+z) 
v = (x2,y2,z2) 
 
T(u) = (x1+ y1, x1+ z1) 
T(v) = (x2+ y2, x2+ z2) 
(u+v) = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2) 
 
1. T(u+v) = (x1+ x2 + y1+y2; x1+ x2 + z1+ z2) OK 
T(u) + T(v) = (x1+y1+ x2 +y2; x1 + z1 +x2 + z2) 
 
2. αu = (αx1, αy1, αz1) OK 
T(αu) = (αx1 + αy1; αx1 + αz1) 
αT(u) = (αx1 + αy1; αx1 + αz1) 
 
+ Uma Propriedade da TL 
 
Se o vetor nulo está no domínio, sua imagem deverá ser obrigatoriamente nula 
 
Exemplo: A transformação abaixo é linear? 
 
▪ T(x,y) = (x+1,y) 
T(0,0) = (1,0) → Não deu (0,0), então não é linear e não precisa aplicar as demais 
propriedades 
 
▪ T(x,y) = (3y,-2x) 
T(0,0) = (0,0) → Deu (0,0), então n é linear e precisa aplicar as demais propriedades 
 
 
Exemplo: Dada a Imagem, ache a transformação linear 
T: ℝ²→ℝ³ 
T(-1,1) = (3,2,1) 
T(0,1) = (1,1,0) 
 
Solução: 
(x,y) = a(-1,1)+b(0,1) = (-a,a)+(0,b) 
(x,y) = (-a,a+b) 
a=-x 
b=x+y 
Reescrevendo: 
 
31 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
(x,y)=-x(-1,1)+(x-y)(0,1) 
T(x,y)=-xT(1,1)+(x-y)T(0,1) 
T(x,y)=-x(3,2,1)+(x+y)(1,1,0) 
T(x,y)=(-3x,-2x,-x)+(x+y,x+y,0) 
T(x,y)=(-2x+y, -x+y,-x) 
 
Testando: 
T(-1,1)=(2+1,2,1)=(3,2,1) 
T(0,1)=(1,1,0) 
Núcleo de uma Transformação Linear 
 
Definição: Seja T:u→v 
N(T) é um conjunto de todos os vetores de U que tem como imagem o vetor nulo, ou seja, 
para que um elemento faça parte do núcleo, sua transformada deve ser igual a zero. 
 
Qual o núcleo da transformação abaixo? 
T: ℝ³→ℝ², T(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z) 
 
x+2y-z=0 y=-3x 
2x-y+z=0 z=-5x 
 
N(T) = {(x,-3x,-5x)/x E ℝ} ou N(T)={(1,-3,-5)} 
 
Dimensão do Núcleo Dim(N(T))=1 (pois só há um vetor que gera o núcleo) 
 
Para encontrar a base geradora: 
 
(x,-3x,-5x)=x(1,-3,-5) (base geradora) 
 
Transformação Linear INJETORA 
 
Para ser classificada como injetora, tem que ter apenas o vetor nulo no núcleo da 
transformação. 
 
Transformação Linear SOBREJETORA 
 
Dim(Im(T))=Dim(V) 
 
Exemplo: Verificar se a transformação é sobrejetora: 
ℝ²→ℝ² T(x,y)=(2x+y,4x+2y) 
Para verificar se é sobrejetora,tem que verificar se a dimensão da imagem é igual a 
dimensão do conjunto de chegada, nesse caso 2 (ℝ² ) 
 
 
32 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
Para descobrir a dimensão da imagem, tem que descobrir quais são os vetores que 
constituem a base geradora. 
 
T(x,y)=(2x,4x)+(y,2y)=x(2,4)+y(1,2) 
 
O conjunto gerador é: (2,4) e (1,2), porém um é LD do outro, ou seja, considera apenas um. 
Nessa caso a base geradora terá apenas um vetor {(2,4) ou (1,2)} 
 
Dim(Im(T))=1 
 
Não é sobrejetora, pois 2≠ 1 
 
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
EX: p(λ)= λ²-5λ+6 
λ1 = 2 
λ2 = 3 
 
Qual a transformação linear? 
 
T(x,y) = [
λ1 0
0 λ2
] [
𝑥
𝑦] → T(x,y) = [
2 0
0 3
] [
𝑥
𝑦] → T(x,y)= (2x,3y) 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES PERPENDICULARES 
 
T(X,Y)•S(X,Y) = 0 (PRODUTO ESCALAR IGUAL A ZERO) 
 
MUDANÇA DE BASE 
 
Como representar o vetor (3,6) na base C = {(1,0),(1,3)} ? 
(3,6)=a(1,0)+b(1,3) 
a=1 
b=2 
Vc=(1,2) 
 
Encontrar o vetor (1,2) que está na base C = {(1,0),(1,3)} na base Canônica. 
 
V = aV1+bV2 
V=1(1,0)+2(1,3) 
V=(3,6) 
 
Matriz Mudança de Base 
 
33 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
[Vdest] = M
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚
𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑜
 [Vorigem] 
 
Onde M=[Matriz destino]−1.[Matriz origem] 
 
Como achar a matriz inversa? 
 
a. Achar o determinante da matriz destino 
b. Inverter a diagonal principal 
c. Trocar o sinal da diagonal secundária 
d. Multiplicar por 
1
det(𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑜)
 
 
Exemplo 1: 
Passar o vetor VA={(3,2)} que está na base A=[(1,3),(1,-2)} para a base B={(3,5),(1,2)} 
 
A = [
1 1
3 −2
] 
 
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 [𝐁]−𝟏 : 
 
a. det(B): 
 
B = [
3 1
5 2
] det(B) = (3.2)-(5.1) = 1 
 
 
b. Inverter a diagonal principal 
 
B = [
2 1
5 3
] 
 
c. Trocar o sinal da diagonal secundária 
 
B = [
2 −1
−5 3
] 
 
d. Multiplicando por det(B) 
 
[𝐁]−𝟏 = 1. [
2 −1
−5 3
] 
 
VB = [B]−1.[A]. [VA]= [
2 −1
−5 3
] . [
1 1
3 −2
] [
3
2
]= [
2 − 3 2 + 2
−5 + 9 −5 − 6
] [
3
2
]= 
 
34 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
[
−1 4
4 −11
] [
3
2
]=[
−3 + 8
12 − 22
] [
3
2
]=[
5
−10
] VB=(5,-10) 
 
Como fazer mudança de base sem utilizar a matriz mudança de base? 
 
 
 
 
 [V]c = [Base Qualquer][Vetor na base qualquer] 
 
Exemplo: Para passar o Va = (3,2) que está na Base A={(1,3),(1,-2)} para base canônica: 
 
[VA]c = [
1 1
3 −2
] [
3
2
] = [
3 + 2
9 − 4
] = [
5
5
] 
 
 Para passar o [VA]c = (5,5) que está na Base Canônica para Base B={(3,5),(1,2)} 
[V]c = [Base B][Vb] 
 [
5
5
] = = [
3 1
5 2
] [
𝑏1
𝑏2
] 
 
b1=5 b2=-10 Vb={(5,-10)} 
 
Exemplo 2: 
 
O vetor Vo=(6,3,9) está referenciado na base canônica {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} e quero 
muda-lo para base A={(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) 
Vo = [A][VA] 
[
6
3
9
] = = [
1 −1 1
1 1 0
1 0 −1
] [
𝐴1
𝐴2
𝐴3
] 
 
A1=6 A2=-3 A3=-3 VA=(6,-3,-3) 
 
PROBLEMAS DE AUTOVALOR E AUTOVETOR 
 
Seja ℝ³→ℝ³ dada por: 
 
 T(x,y,z)=(x+2y,-2x+y,3z) 
 
1) Calcular os autovetores e os respectivos autoespaços 
 
a. Colocar os vetores na base canônica. Como é 3D, a base será: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 
𝑉𝐴
→ 
𝑉𝐶
→ 
𝑉𝐵
→ 
 
35 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
T(1,0,0)=(1,-2,0) 
T(0,1,0)=(2,1,0) 
T(0,0,1)=(0,0,3) 
 
Para encontrar os autovalores: det[ Tc - ʎI] = 0 
 
[
1 2 0
−2 1 0
0 0 3
] −ʎ[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]= 𝑑𝑒𝑡 [
1 − ʎ 2 0
−2 1 − ʎ 0
0 0 3 − ʎ
] = 0 
 
(1-ʎ)²(3-ʎ)+4(3-ʎ)=0 
(3-ʎ)((1-ʎ)²+4)=0 
ʎ = 3 (1-ʎ)²+4= impossível ser zero, λ ∄ ℝ 
 
Substituindo o valor de λ = 3 
 
[
−2 2 0
−2 −2 0
0 0 0
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] = 0 x=y=0, z=z V=(0,0,z)=Z(0,0,1) autovetor=(0,0,1) autoespaço 
para λ=3 é SPAN{(0,0,0)} 
 
 
Exemplo 
 
Assinale a opção que apresenta o valor da variável x que torne a matriz A = [
1 −2
𝑥 5
] uma 
raiz da função f(t)=t²-6t+13 
 
Solução 
 
[
1 −2
𝑥 5
]. [
1 −2
𝑥 5
]-6. [
1 −2
𝑥 5
]+13. [
1 0
0 1
] = [
0 0
0 0
] 
[
1 − 2𝑥 −2 − 10
𝑥 + 5𝑥 −2𝑥 + 25
]-[
6 −12
6𝑥 30
]+[
13 0
0 13
] = [
0 0
0 0
] 
[
1 − 2𝑥 − 3 + 13 −12 + 12 + 0
6𝑥 − 6𝑥 −2𝑥 + 25 − 30 + 13
]=[
0 0
0 0
] 
[
−2𝑥 + 8 0
0 −2𝑥 + 8
]=[
0 0
0 0
] 
 
−2𝑥 + 8 = 0 
X=4 
 
 
36 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
4
3
0 1 0
2
1
PROD 
VETORIAL
IMAGEM TRANSFO 
LINEAR
DOMÍNIO DEPEND. 
LINEAR
DIMENSÃO BASES A.VALOR 
A.VETOR
Álgebra Linear
 
37 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
REGRA DO TRAPÉZIO (APROXIMAÇÃO POR 1 TRAPÉZIO) 
 
I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 = 
ℎ
2
 [ f(x0)+ f(x1) ] 
 
h = 𝑏 − 𝑎 
 
Exemplo: ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙
𝟏
𝟎
 
 
h = b-a=1-0=1 
 
I = 
1
2
 [𝑒0+𝑒1] = 1.8591 
 
TEMPO(S) 0 5 10 12 
VELOCIDADE(M/S) 0 250 1000 940 
Distancia percorrida nos primeiros 12s: 
 
D = (5-0)
(250+0)
2
 + (10-5)
(1000+250)
2
 + (12-10)
(940+1000)
2
 = 625+3125+1940 = 5690 
REGRA DO TRAPÉZIO REPETIDA (COMPOSTA OU GENERALIZADA) - (APROXIMAÇÃO POR TRAPÉZIOS) 
 
I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 = 
ℎ
2
 [f(xa)+2(fx1)+...2(fxm-1)+f(xb)] 
 
h =
𝑏−𝑎
𝑚
 onde m é o número de subintervalos ou divisões 
 
Exemplo: ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙
𝟏
𝟎
 usando 10 subintervalos 
 
h = 
𝑏−𝑎
𝑚
 = 
1−0
10
 = 0,1 
 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
1
0
= 
0,1
2
 [𝑒0+2𝑒0,1+2𝑒0,2+2𝑒0,3+...+𝑒1] = 1,719713 
 
 
 
 
38 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
REGRA DE 
1
3
 SIMPSON SIMPLES (APROXIMAÇÃO POR 1 POLINÔMIO DE 2º GRAU) 
 
I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 = 
ℎ
3
 [f(a) + 4(f(me)) + f(b)] 
me=
(𝑏+𝑎)
2
 h=
(𝑏−𝑎)
2
 
 
Exemplo: ∫
𝟏
𝒙
𝟑
𝟏
 dx 
 
h=
(𝑏−𝑎)
2
= 
(3−1)
2
 = 1 
f(a)=f(1)=1 f(b)= 
1
3
 f(me=2)= 
1
2
 
I = 
1
3
 [1+4*0.5+
1
3
)] = 1.1111 
REGRA DE 
1
3
 SIMPSON REPETIDA OU GENERALIZADA 
 
I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= = 
ℎ
3
 [f(xa)+4(f(x1)+ f(x3)+… f(xm-1))+2(f(x2)+ f(x4)+…f(xm-2))+f(xb)] 
 
h =
𝑏−𝑎
𝑚
 onde m é o número de subintervalos ou divisões 
 
Exemplo: ∫
𝟏
𝒙
𝟑
𝟏
 dx com 6 subintervalos 
 
h =
3−1
6
 = 
1
3
 
 
i Xi F(Xi) 
0 1 1 
1 1+1/3=4/3 3/4 
2 4/3+1/3=5/3 3/5 
3 5/3+1/3=6/3 3/6 
4 6/3+1/3=7/3 3/7 
5 7/3+1/3=8/3 3/8 
6 8/3+1/3=9/3=3 3/9 
 
 
I = = 
1
9
 ( f(1)+ 4 [f(
4
3
) + f(
6
3
) + f(
8
3
)] + 2 [f(
5
3
))+ f(
7
3
)]+ f(3)) = 1,0989 
 
 
39 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
QUADRATURA GAUSSIANA 
 
x= 
1
 2
[𝑎 + 𝑏 + (𝑎 + 𝑏)𝑡] , substitui o valor de x na f(x), transformando em F(t) 
 
I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 
(𝑏−𝑎)
2
 [F(
−1
√3
)+ F(
1
√3
)] (atenção, esses valores são de F(t)) 
 
 
Exemplo: ∫ 𝒆−𝒙²𝒅𝒙
𝟏
𝟎
 
 
x= 
1
 2
[1 + 0 + (1 + 0)𝑡] = 
1
 2
[1 + 𝑡] 
F(t)= 𝑒−(
𝑡
2
+
1
2
)² 
F(
−1
√3
) = 𝑒
−(−
1
2√3
+
1
2
)²
 F(
−1
√3
) = 𝑒
−(
1
2√3
+
1
2
)²
 
 
I = 
(𝑏−𝑎)
2
 [F(
−1
√3
)+ F(
1
√3
)] = 
(1−0)
2
 [0,9563+0,5368] = 0,74659 
MÉTODO DE EULER 
 
𝑦𝑖+1= 𝑦𝑖 + h.f(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) 
𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 + h 
 
Exemplo: 
 
y´=2x+3 
y(1)=1 → 𝑦0(𝑥0) = 1 
y(1,5)=? Com h=0,1 
 
Resolvendo: 
 
f(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) = 2x+3 
𝑥0= 1 
𝑦0 = 1 
i 𝑥𝑖 𝑦𝑖 
0 𝑥0=1 𝑦0=1 
1 𝑥1=𝑥0 + h = 1+0,1 = 1,1 𝑦0+1= 𝑦0 + h.f(𝑥0, 𝑦0 ) = 1+0,1.(2.1+3)=1,5 
2 𝑥2=𝑥1 + h = 1,1+0,1 = 1,2 𝑦1+1= 𝑦1 + h.f(𝑥1, 𝑦1 ) = 1,5+0,1.(2.1,1+3)=2,02 
3 𝑥3=𝑥2 + h = 1,2+0,1 = 1,3 𝑦2+1= 𝑦2 + h.f(𝑥2, 𝑦2 ) = 2,02+0,1.(2.1,2+3)=2,56 
4 𝑥4=𝑥0 + h = 1,3+0,1 = 1,4 𝑦3+1= 𝑦2 + h.f(𝑥3, 𝑦3 ) = 2,56+0,1.(2.1,3+3)=3,12 
5 𝑥5=𝑥0 + h = 1,4+0,1 = 1,5 𝑦4+1= 𝑦3 + h.f(𝑥4, 𝑦4 ) = 3,12+0,1.(2.1,4+3)=3,70 
 
 
40 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 
Exemplo: 
x 0,5 0,75 1 1,5 2,0 2,5 3,0 
y -2,8 -0,6 1 3,2 4,8 6,0 7,0 
 
 
 
A função que melhor ajusta a curva é: 
 
L (x) = 𝐶1ln (𝑥) + 𝐶2 
 
ℎ1 = ln(x) (termo que multiplica 𝐶1) 
ℎ2 = 1 (termo que multiplica 𝐶2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A.C=B 
 
𝐴 = [
∑ ℎ1. ℎ1 ∑ ℎ1. ℎ2 ∑ ℎ1. ℎ3
∑ ℎ2. ℎ1 ∑ ℎ2. ℎ2 ∑ ℎ2. ℎ3
∑ ℎ3. ℎ1 ∑ ℎ3. ℎ2 ∑ ℎ3. ℎ3
] neste caso será: [
∑ ℎ1. ℎ1 ∑ ℎ1. ℎ2
∑ ℎ2. ℎ1 ∑ ℎ2. ℎ2
] = [
3,255 2,133
2,133 7
] 
 
B = [
∑ 𝑦. ℎ1
∑ 𝑦. ℎ2
∑ 𝑦. ℎ3
]-4
-2
0
2
4
6
8
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Valores Y
ℎ1 ℎ2 𝑥 𝑦 
Ln(0,5)= -0,693 1 0,5 -2,8 
Ln(0,75)= -0,288 1 0,75 -0,6 
Ln(1)= 0 1 1 1 
Ln(1,5) = 0,405 1 1,5 3,2 
Ln(2,0) = 0,693 1 2,0 4,8 
Ln(2,5) = 0,916 1 2,5 6,0 
Ln(3,0) = 1,099 1 3,0 7,0 
 
41 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
[
3,255 2,133
2,133 7
] [
 𝐶1
 𝐶2
] = [
 19,926
 18,6
] 𝐶1= 5,473 𝐶2= 0,989 
 
 
L (x) = 5,473. ln (𝑥) + 0,989 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
4
1 1 1 1
MIN QUAD POLIN INT EULER SIMPSON TRAPEZIOS QUADRATURA 
GAUSSIANA
Cálculo Numérico
 
42 
 
FORMULÁRIO - MATEMÁTICA 
 
PROBABILIDADE 
 
P(A) e P(B) = P(A).P(B) 
P(A) ou P(B) = P(A)+P(B) 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
P(B/A) = 
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). P(B/A) 
 
 Probabilidade de ocorrer B depois que A ocorreu 
 
Probabilidade de ocorrer A e B ao mesmo tempo ( Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da 
probabilidade de B, os eventos são independentes → P(A ∩ B) = P(A). P(B)