Gabarito Recuperação de Lógica

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Gabarito Lógica 
1. Partindo de duas ou mais declarações, pode-se obter uma nova declaração unindo as 
primeiras por meio de conectivos (expressões como e, ou, se... então...). Essa nova 
declaração é chamada de tautologia quando for sempre verdadeira, independentemente 
das declarações que a formaram serem verdadeiras ou falsas. Assim, a declaração "O céu 
é azul ou o céu não é azul" é um exemplo de tautologia. Dentre as declarações abaixo, 
assinale aquela que representa uma tautologia. 
Resposta: Questão difícil tirada de sites especializados em concursos. Nessa questão 
precisamos analisar com atenção as proposições e buscar situações lógicas que 
indicam uma tautologia. O principal problema é que à primeira vista temos todas as 
proposições diferentes. A solução é avaliar as proposições e buscar situações onde 
podemos utilizar a mesma proposição 
 
 
a. Se o prefeito ou o governador comparecerem, então o presidente não virá. 
Análise: 
p: prefeito comparecer 
q: governador comparecer 
r: presidente não virá 
p v q →r 
 
b. Se o Brasil ganhar da França e a Argentina perder da Itália, então a França ganhará do 
Brasil. 
Análise: 
p: o Brasil ganha da França 
q: Argentina perde da Itália 
r: França ganha do Brasil // observe que o r pode ser substituído por ~p 
nesse caso teríamos: 
p ^ q → ~p 
desenvolvendo temos que: 
~(p^q) v ~p  ~p v ~q v ~p  ~p v ~q 
 
c. Se Paulo é brasileiro e tem mais de 18 anos, então ele nasceu na Bélgica ou tem mais 
de 15 anos. 
Análise: 
p: Paulo é brasileiro 
q: Paulo tem mais de 18 anos 
r: Paulo nasceu na Belgica 
s: Paulo tem mais de 15 anos 
 
(p ^ q) → (r v s) 
// Considerando que em uma condicional quando a condição é falsa a tabela verdade 
é verdadeira, só precisamos avaliar quando a condição é verdadeira. Para a condição 
ser verdadeira p ^q precisam ser verdades. Se Paulo tem mais de 18 anos ele 
também tem mais de 15 anos. Então: 
(p ^ q) → (r v s) => (p ^ q) → (r v q) 
(p ^ q) → (r v q) ~(p^q) v (r v q)  (~p v ~q) v (r v q)  ~q v q v ~p v r  t v ~p v r 
 t 
Resposta correta letra c 
 
d. Se João tem dois ou mais filhos, então ele tem quatro filhos. 
Análise: 
p: João tem dois filhos 
q: João tem mais de dois filhos 
r: João tem 4 filhos 
 p v q → r 
// Não temos como substituir o valor lógico/proposição como fizemos na anterior pq 
a condição só é falsa se ambas forem falsas 
 
e. Se me pagarem R$500,00 ou me derem a passagem de avião, então eu terei na 
carteira mais de R$400,00. 
Análise: 
p: me pagarem 500 
q: me derem a passagem de avião 
r: terei na carteira mais de 400 
p v q → r 
// Não temos como substituir o valor lógico/proposição como fizemos na anterior pq 
a condição só é falsa se ambas forem falsas 
 
 
2. Se a afirmação "Se não é verdade eu dizer que eu não saiba onde ela não está, então ela 
não sabe dizer onde eu não estou." é falsa, então 
 
Análise: 
p: eu dizer que eu não sabia onde ela não está 
q: ela não sabe dizer onde eu não estou 
 
"Se não é verdade eu dizer que eu não saiba onde ela não está, então ela não sabe dizer 
onde eu não estou." (~p → q) 
 
SE (~p → q) é falso, então ~(~p → q) é verdade 
 
~(~p→ q)  ~(~~p v q) ~(p v q)  ~p ^ ~q 
 
~p : eu sei onde ela não está 
~q : ela sabe onde eu não estou 
 
a. eu sei onde ela não está e ela sabe onde eu estou. 
b. eu sei onde ela não está e ela sabe onde eu não estou. 
c. eu não sei onde ela não está e ela não sabe onde eu não estou 
d. eu sei onde ela está e ela sabe onde eu não estou. 
e. eu sei onde ela está e ela sabe onde eu estou. 
 
3. Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta e indique se ela é tautologia, 
contradição ou contingência. 
(~p v q) ^ (q → p) ↔ (p ↔ q) 
p q ~p ~pvq q→ p (~p v q) ^ (q → p) p ↔ q (~p v q) ^ (q → p) ↔ (p ↔ q) 
V V F V V V V V 
V F F F V F F V 
F V V V F F F V 
F F V V V V V V 
É uma tautologia 
 
4. Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta e indique se ela é tautologia, 
contradição ou contingência. 
(p v q) ↔ (q v ~(q v p)) ^ (q → p) 
p q p v q q v p ~( q v p) q v ~(qvp) q→p (q v ~(q v p)) ^ (q → p) (p v q) ↔ (q v ~(q v p)) ^ (q → p) 
V V F V F V V V F 
V F V V F F V F F 
F V V V F V F F F 
F F F F V V V V F 
É uma contradição 
5. Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta e indique se ela é tautologia, 
contradição ou contingência. 
(p ^ q v r) ↔ (r v q ^ p) 
Nessa questão duas respostas foram aceitas: Na álgebra das proposições os conectivos ^ e 
v possuem a mesma ordem de prioridade. E os parêntesis devem ser utilizados para 
indicar qual será resolvido primeiramente. Caso não apareçam devemos resolver na 
ordem em que eles aparecem conforme a tabela a seguir: 
p q r p^q p^q v r rvq rvq ^ p (p ^ q v r) ↔ (r v q ^ p) 
V V V V V V V V 
V V F V V V V V 
V F V F V V V V 
V F F F F F F V 
F V V F V V F F 
F V F F F V F V 
F F V F V V F F 
F F F F F F F V 
E nesse caso temos uma contingência 
Exemplos como esse podemos encontrar na matemática em expressões que circulam 
como desafios nas redes sociais e seguem o mesmo princípio como: 2 + 6 ÷ 2 x 3. 
Sabemos que a divisão e a multiplicação possuem a mesma prioridade então devem ser 
resolvidos antes da soma. Mas ai vem a dúvida: faço o 6 ÷ 2 e multiplico o resultado por 
3? Ou faço primeiro a multiplicação? O resultado é diferente e segue o mesmo princípio 
do problema acima. Devemos sempre colocar parêntesis em situações de operadores com 
a mesma ordem de prioridade. 
Para evitar esse tipo de problema na programação, nas linguagens de programação ficou 
definido que o ^(e) tem prioridade em relação ao v(ou). Assim evitamos deixar para o 
programador resolver ambiguidades que possam surgir pela falta de parêntesis, já que o 
resultado pode ser diferente de acordo com a escolha de quem devemos resolver 
primeiro. 
Por isso quem usou a prioridade do ^(e) sobre o ou(v) também terá sua questão validada 
p q r p^q p^q v r q^p r v q ^ p (p ^ q v r) ↔ (r v q ^ p) 
V V V V V V V V 
V V F V V V V V 
V F V F V F V V 
V F F F F F F V 
F V V F V F V V 
F V F F F F F V 
F F V F V F V V 
F F F F F F F V 
 E nesse caso temos uma tautologia. 
6. Utilizando métodos dedutivos prove se as seguintes equivalências e implicações são 
verdadeiras. (Retirada do livro pag 86 questão 5 ) 
a. (p → q) ^ (p → r)  p → q ^ r 
(p → q) ^ (p → r) (~p v q) ^(~p v r)  ~p v (q ^ r)  p → q ^ r 
* lembrando que o ^ (e) tem prioridade em relação ao condicional (→) e não o 
inverso. Muita gente errou isso. 
b. p ^~p => q 
Isso é o princípio da inconsistência. Uma contradição implica em qualquer coisa. Uma 
boa forma que provar usando métodos dedutivos é substituir a implicação por uma 
condicional e encontrar a tautologia 
p ^ ~p → q  ~(p ^ ~p) v q  ~c v q  t v q  t 
 
Assim sendo ambas são verdadeiras. 
7. Coloque a seguinte proposição composta na forma normal disjuntiva: 
(p ^ q) v ~ (p v q)  
(p ^ q) v ~ (~(p↔ q) ) 
(p ^ q) v (p↔ q)  
(p ^ q) v ((p→q) ^ (q →p))  
(p ^ q) v ((~p v q) ^ (~q v p))  
(p ^ q) v (((~p v q) ^ ~q ) v ((~p v q) ^ p))  
(p ^ q) v ((~p ^ ~q ) v ( q ^ p))  FND 
(p ^ q) v (~p ^ ~q ) v ( q ^ p)  FND 
(p ^ q) v (~p ^ ~q )  FND 
8. Coloque a seguinte proposição composta na forma normal conjuntiva: 
(p ^ q) v ~ (p v q)  
(p ^ q) v ~ (~(p↔ q) ) 
(p ^ q) v (p↔ q)  
(p ^ q) v ((p→q) ^ (q →p))  
(p ^ q) v ((~p v q) ^ (~q v p))  
(p ^ q) v (((~p v q) ^ ~q ) v ((~p v q) ^ p))  
(p ^ q) v ((~p ^ ~q ) v ( q ^ p))  FND 
(p ^ q) v (~p ^ ~q ) v ( q ^ p)  FND 
(p ^ q) v (~p ^ ~q )  FND // continuando de onde a 7 questão parou 
((p ^ q) v ~p) ^ ((p ^ q) v ~q)  
(q v ~p) ^ (p v ~q)  FNC 
 
9. Simplifique a proposição composta a seguir: (Retirada do livro pag 86 questão 3 ) 
p ^ ( p → q) ^ (p → ~q)  
p ^ (~p v q) ^ (~p v ~q)  
p^ q ^(~p v ~q)  
(p^q) ^ ~(p^q)  c // contradição