Aula 03_Forma e Dimensões da Terra

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GEOMÁTICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 
AULA 03 
Forma e Dimensões da Terra 
Forma e Dimensões da Terra 
Desenvolvimento da Cartografia 
 Evolução do 
pensamento 
Cartográfico 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
Mapas Babilônicos: 4.000 a.c. 
 
 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
Figuras rupestres - Bedolina – Itália 
Vale do Pó - Mântua – Itália ~ 2400 a.C. 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
Modelos de bússolas chinesas cujo referencial 
era o Sul. 
A2 7 
“O Mundo Tabernáculo de Cosme Indicopleustes” 
Século 6 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
A2 8 
Mapa Mundi - século 
XII 
Eurooa – Ásia e África 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
A2 9 
Mapa Mundi ~ 1250 
 
•Jerusalém como centro 
do mundo 
 
•O mundo dividido em 
três partes: a Europa, a 
Ásia e a África; 
 
O Oriente (Este) está no 
topo do mapa. 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
A2 10 
Mapa Mundi, 1459 
O Paraíso Terrestre está fora do mapa, no canto inferior esquerdo. 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
• Mapa Mundi - Século XVI 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
A2 12 
Mapa-múndi de Cantino, 1502 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
A2 13 
Mapa Mundi - Waldseemüller, 1507 
É por sua causa que o nosso continente foi batizado com o nome de 
América. Waldseemüller havia lido os relatos de Américo Vespúcio 
publicados em 1503 (a carta Mundus Novus) 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
A2 14 
Brazil/Patagonia 
Mapa de 
Diogo Homen, 1558 
 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
• Mapa da Península Ibérica do - Séc. XVIII 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
• Mapa da América do Sul - Séc. XVIII 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
• Mapa do Brasil - Séc. XX 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
• Mapas do Séc. XXI 
EVOLUÇÃO DA CARTOGRAFIA 
Determinação da forma da Terra 
O experimento de Eratóstenes (276-196 a.C.). 
A2 20 
 A FORMA E A DIMENSÃO DA TERRA 
A relação entre a sombra e a 
altura da haste (gnômon) foi de 
0,126329. QUAL O 
VALOR DE e
No solstício de verão no hemisfério norte, ao meio dia; 
Mediu o ângulo de incidência dos raios em Alexandria (): 
Alexandria 
Siena 
Alexandria 
Alexandria 
Siena 
Alexandria 
A2 21 
 
 A FORMA E A DIMENSÃO DA TERRA 
Estimou a distância entre as cidades 
em 5.000 estádios 790 km 
A relação entre a altura da 
haste (gnômon) e sua sombra 
foi de 0,126329. O Arco 
cuja a Tangente é este 
valor é de 7º12’ 
Alexandria 
Siena 
A=B=== 7º12’ 
A2 22 
 
Usando dados obtidos por agrimensores 
da época, ele calculou a distância (l) entre 
Alexandria e Siena (Assuã) no Egito, 
como sendo 5.000 estadios. 
1 estadio ~ 158 m 
 A FORMA E A DIMENSÃO DA TERRA 
ASSIM: QUAL O VALOR DO MERIDIANO 
DE ERATÓSTENES? 
A2 23 
 
 A FORMA E A DIMENSÃO DA TERRA 
Sabe-se hoje que o comprimento do 
meridiano terrestre é convencionado em 
40.000 km. 
 7°12’ ↔ 5000 estádios (790.000 m) 
 360° ↔ X 
X = 250.000 estádios 
ou 
X = 39.500.000 metros 
1 estadio 
~ 158 m 
Alguns equívocos de Eratóstenes 
• Alguns erros: 
– A distância entre as cidades que era de 4.530 estádios, e não 5.000; 
– As duas cidades não estavam no mesmo meridiano. 
• Valor da circunferência da Terra: 
– Sugerido por Eratóstenes: 39.500km; 
– Valor real: 40.000km. 
• Ótimo resultados devido às técnicas utilizadas! 
 
Como nasceu o Metro 
Em junho de 1792, em plena Revolução 
Francesa (1789 – 1799), dois astrônomos 
franceses, Pierre-François-André MÉCHAIN e 
Jean-Baptiste-Joseph DELAMBRE saíram em 
direções opostas de Paris com a missão, que 
durou sete anos, de medir um meridiano 
terrestre e estabelecer um padrão comum de 
grandeza. 
Como nasceu o Metro 
 Provável unidade de medida utilizada “Toesa de França” = Estatura de Carlos Magno 
O experimento de Eratóstenes 
• O QUE É O METRO? 
– Primeira Definição: É A DÉCIMA MILIONÉSIMA PARTE DE ¼ DO 
MERIDIANO TERESTRE (FRANÇA - Delambre e Méchain) 
¼ do meridiano  10.000,000 metros 
 
 
Alterado em 1983 em Paris durante a 17ª CGPM 
(Conferência Geral de Pesos e Medidas): 
Definição Atual: Comprimento do trajeto percorrido pela 
luz no vácuo em um intervalo de tempo de ½99.792.458 de 
segundos 
Velocidade da luz no vácuo => C = 299792458 m/s 
Algumas Características Gerais da Terra: 
 Período de Rotação é de 23 h:56 m:4,09 s 
 Raio médio de 6.367 km 
 A superfície topográfica da Terra apresenta uma 
forma muito irregular, com elevações e 
depressões 
 Diâmetro equatorial: 12.756,28 km 
 Diâmetro polar: 12.713,5 km. 
 Área total do planeta: 510,3 milhões km2. 
 Área das terras emersas: 149,67 milhões km2 
(29,31%). 
 Área dos mares e oceanos: 360,63 milhões km2 
(70,69%). 
 Circunferência da Terra no equador: 40.075 km. 
 Circunferência da Terra nos meridianos: 40.003 
km. 
 Velocidade orbital média: 29,79 km/segundo 
Representação da Terra 
MAIOR ELEVAÇÃO: 
Everest: 8.848,00 m 
MAIOR DEPRESSÃO: 
Fossas Abissais: ≈11.000,00 m 
 
Representação da Terra 
Características Gerais da Terra: 
Representação da Terra 
Características Gerais da Terra: 
• Mapas são simplesmente representações aproximadas da superfície curva 
terrestre sobre o plano; 
 
• O mapa plano é mais fácil de ser produzido e manuseado 
Problema: 
Forma da Terra 
(Superfície Topográfica Irregular) 
 X 
Representação Cartográfica 
(Plana) 
Representação da Terra 
Mas Qual é a Forma Correta da Terra? 
Representação da Terra 
Representações da Terra 
Elipsóide Esferóide Geóide 
Achatada nos Pólos 
 Partindo do equador e atravessando 
o centro da terra até o outro lado: 
12 756 km 
 Partindo de um dos Pólos e atravessando 
 o centro da terra até o outro lado: 
12 713 km 
 A diferença: 
43 km 
Representação da Terra 
A Terra como elipsóide de revolução 
 - achatamento 
a - semi-eixo maior 
b - semi-eixo menor 
 = a - b 
 a 
Figura matemática definida como: 
z 
y 
Greenwich 
PN 
eixo dos pólos 
b 
a 
a 
 Modelo da Terra obtido 
girando- se uma elipse 
em torno do 
eixo dos pólos 
Representação da Terra 
A Terra como um Esferóide e como um Elpsóide 
Greenwich 
PN 
P 
z 
y 
x 

S 
E W 
 Como referência para localização de pontos adotam-se as coordenadas 
geográficas: 
 
Latitudes () - paralelo no ponto (P), partindo do Equador, sendo 
positivas para o Norte e negativa para o Sul; 
 
Longitudes () - meridiano em Greenwich, positiva para o Leste e 
negativa para o Oeste. 
Representação da Terra 
A Terra ou Geóide 
“ GEÓIDE: Forma da terra, considerando que a superfície dos oceanos está em 
repouso, sem variação de pressão atmosférica, sem atração de outros corpos 
celestes (sol e a lua), sem marés, ondas e supostamente adentrando aos 
continentes” (Bittencurt, 1994). Ou, segundo Gemael (1999) o geoide é a superfície 
equipotencial gravitacional que mais se aproxima do Nível Médio dos Mares (NMM). 
Representação da Terra 
Representação da Terra 
Não possui uma forma matemática 
ou geométrica, portanto não pode ser 
usado como uma superfície de 
referência para o posicionamento de 
pontos da superfície terrestre. 
 Variação do nível médio do mar em função 
 do campo gravitacional da Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
Ondulações do geóide 
(sobrelevação de 15000:1)
Vista do geóide em perspectiva
Ondulações do geóide
máxima:
+70 m (oceano Atlântico)
mínima:
-100 m (oceano Índico)
Terra próxima do Real: Geóide 
Definição: superfície equipotencial ondulada e coincidente 
com o nível médio dos mares (altitude = 0 m), supostamente 
prolongado por sob continentes, sem variação de pressão 
atmosférica e sem o efeito da atração de outros corpos celestes 
(sem marés, sem ondas) 
Representação da Terra 
NORMAL E VERTICAL DO LUGAR 
Vertical do Lugar: é a linha que 
passa por um ponto da superfície 
terrestre (em direção ao centro do 
planeta) e que é perpendicular à 
superfície Geoidal naquele ponto. ou 
seja, é a direção na qual atua a forçada gravidade. 
Normal ao Elipsóide: é toda 
linha reta perpendicular à superfície 
do elipsóide de referência. Esta linha 
possui um desvio em relação 
à vertical do lugar. 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
H = Altitude ortométrica (Geóide) 
h = Altitude geométrica (Elipsóide) 
N = Altura geoidal (Ondulação Geoidal) 
H h 
N 
Altitude e Ondulação Geoidal 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
H = Altitude ortométrica (Geóide) 
h = Altitude geométrica (Elipsóide) 
N = Altura geoidal (Ondulação Geoidal) 
Altitude e Ondulação Geoidal 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
DATUM 
GEODÉSICO Superfície Topográfica 
Elipsóide 
Geóide 
Superfícies da Terra e Datum 
Geodésico 
 Datum: Pode ser horizontal, vertical ou ambos e serve como referência para todos os 
trabalhos geodésicos. É definido por 3 variáveis e 2 constantes, respectivamente, a latitude e 
longitude de um ponto inicial, o azimute de uma linha que parte deste ponto e as constantes 
necessárias para definir o elipsóide de referência. 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
DATUM GEODÉSICO 
Datum Geodésico 
Ponto de um sistema de referência que define a forma e o 
tamanho do elipsóide, bem como a sua posição relativa à 
superfície física da Terra e ao Geóide; 
– Constitui um ponto de partida de alta precisão geodésica para a 
determinação e transporte de coordenadas e altitudes; 
– Para cada país ou grupo de países foi calculado (adotado) um 
elipsóide na região considerada, pois na definição de datum locais 
é mais desejável um encaixe regional que um global; 
– Dois tipos: 
– Datum Planimétrico (Horizontal) 
– Datum Altimétrico (Vertical) 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
Datum Horizontal Chuá (Minas Gerais) 
Legenda: Vértice de Chuá - Marco físico que 
materializa o SAD-69 
Fonte: USP 
Latitude (): 19º 45’ 41,6527” S 
Longitude (): 48º 06’ 04,6639” W Gr 
Achatamento: 1/298.25 metros 
Altitude Ortométrica: 763,28 metros 
Azimute geodésico para o Vértice 
Uberaba:271º30’04,05” 
• Utilizado atualmente no Brasil; está localizado no local denominada 
Riacho Chuá, entre Uberaba e Campo Florido, em Minas Gerais. 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
Origem do Datum Altimétrico 
• Estação maregráfica do porto 
de Santana (AP): para 
referenciar a rede altimétrica 
do Estado do Amapá. 
• Estação maregráfica do porto 
de Imbituba (SC): utilizada 
como origem para toda rede 
altimétrica nacional, à 
exceção do Estado do Amapá. 
Legenda: Datum vertical do SGB – 
Referencial maregráfico – Imbituba – SC 
Latitude: -28º14’10,000520”S 
Longitude: -48º39’20,146203”W 
Altitude (Hm): 0,125254 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
Datum Geodésico Global 
Elipsóide 
Semi-eixo 
maior a (m) 
Semi-eixo 
menor b (m) 
Achatamento 
1/ 
UGGI-67 6.378.160,00 6.356.774,72 298,25 
WGS-84 6.378.137,00 6.356.752,31 298,25 
 
 UGGI-67 – União Geodésica e Geofísica Internacional – 1967. 
 WGS-84 – World Geodetic System – 1984, adotado pelo Navstar-GPS 
 Datum de referência internacional utilizado na cobertura geral 
do globo, escolhido de forma a fazer coincidir o centro de massa 
da Terra com o centro do elipsóide de referência, e o eixo da 
Terra com o eixo menor do elipsóide, procurando assim 
minimizar, globalmente, as diferenças entre este e o geóide. 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
Sistema Geodésico Brasileiro - SGB: constituído por 
cerca de 70.000 estações implantadas pelo IBGE em todo o território 
brasileiro, dividida em três redes: 
Rede Planimétrica: pontos de referência geodésico para 
latitude e longitude de alta precisão; 
– Rede Altimétrica: pontos de altitudes conhecidas de alta 
precisão (RN - Referências de Nível); 
– Rede Gravimétrica: ponto de referência para valores 
precisos de gravidade. 
 De qualquer estação da rede, as equipes de campo iniciam seus 
trabalhos utilizando aparelhos de medição (teodolitos e estações totais, 
distanciômetros eletrônicos, níveis e rastreadores de satélite (GPS). 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
https://www.ibge.gov.br/geociencias/informacoes-sobre-posicionamento-geodesico/rede-
geodesica.html 
Datum Geodésico para o Brasil 
(ao qual está referida a rede nacional de triangulação geodésica) 
Elipsóide 
Semi-eixo 
maior a (m) 
Semi-eixo 
menor b (m) 
Achatamento 
1/ 
Datum Córrego Alegre 6.378.388,00 6.366.991,95 297,000745015 
Datum Chuá 6.378.388,00 6.378.160,00 297,000000000 
SAD 69 e SAD 69 / 96 6.378.160,00 6.356.774,72 298,250000000 
 
IMPORTANTE 
 Verificar nas notas das cartas, o datum planimétrico e altimétrico, 
utilizados na sua confecção. 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
Diversos Elipsóides 
SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA 
SAD 69 
•South American Datum 1969 
SIRGAS 2000 
•Sistema de Referência Geocêntrico para a América do Sul 
A2 60 
 A FORMA E A DIMENSÃO DA TERRA 
Limites 
 da 
 Topografia 
O PLANO TOPOGRÁFICO 
Altitude média em relação 
ao nível médio do mar ou ao Elipsóide 
N 
S 
E W 
Longitude (x) 
.P 
A
lt
it
u
d
e
 (
z
) 
. P 
Plano Topográfico Local 
A2 62 
Erro de ESFERICIDADE devido à curvatura da Terra 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 
A2 63 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 
e=t−a
Considerando: 
Rm = 6.366.193 m 
 
Fazendo 
 1 grau 
 
CALCULAR O ERRO e 

A B” 
O 
B 
a 
t e 
Rm 
Rm 
B’ 
A2 64 
e=t−a
COMO OBTER t? 
COMO OBTER a? 

A 
O 
B 
a 
t e 
Rm 
Rm 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 
B” 
"AB=t
AB'=a
B’ 
A2 65 
e=t−a
Calculando t: 
Para 1 grau 
No Triângulo AOA”: 
A 
O 
B 
a 
t e 
Rm 
Rm 
tanα=
t
Rm
⇒ t=Rm⋅tanα
LIMITES DA TOPOGRAFIA 

B” B’ 
A2 66 
e=t−a
Calculando t: 
Para 1o 
e 
Rm = 6.366.193 m 
A B” 
O 
B 
a 
t e 
Rm 
Rm 
tan α=
t
Rm
⇒ t=6 .366 .193⋅tan1
o
t=111 ,12Km
LIMITES DA TOPOGRAFIA 

B’ 
A2 
e=t−a
Calculando a: 
Para 1o 
Da circunferência do meridiano: 
A B” 
O 
B 
a 
t e 
Rm 
Rm 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 

B’ 
A2 68 
e=t−a
Calculando a: 
Para 1o 
A B” 
O 
B 
a 
t e 
Rm 
Rm 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 

B’ 
e=t−a
69 
a = 111,11 Km 
t = 111,12 Km 
Logo: 
e = 0,01 Km 
E para: 
30´ ? 
e 
 = 30” ? 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 
A2 70 
01º 
 
111.188,763m 
 
111.177,473m 
 
11,29 m 
 
01' 
 
1.852,9578673m 
 
1852,95789126m 
 
0,0217809mm 
 
30'' 
 
926,4789511m 
 
926,4789445m 
 
0,0065332mm 
 
01'' 
 
30,8826304m 
 
30,8826314m 
 
0,0010175mm 
 
Valor de 

Distância t 
 
Arco a 
 
Erro (t - a) 
 
Considerando o Raio Médio da Terra: 6.370 Km 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 
A2 71 
Qual da Área de Abrangência a partir de um ponto? 
t 
Paraα=1'
t=1.852m
A=π . t2
LIMITES DA TOPOGRAFIA 
01' 
 
1.852,9578673m 
 
1852,95789126m 
 
0,0217809mm 
 
Valor de 

Distância t 
 
Arco a 
 
Erro (t- a) 
 
A2 72 
Qual da Área de Abrangência a partir de um ponto? 
t 
 = 1´ 
t = 1.852 m 
A = 10,77 Km2 
LIMITES DA TOPOGRAFIA 
A2 73 
Por hoje é só!