CÁLCULO DE ÁREA DE REGIÕES PLANAS

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professores: Juarez Aires e Kalina Aires
Assunto: Cálculo de área de regiões planas
Cálculo de área de regiões planas
Regiões
Região do tipo Rx ou do tipo 1
xChamamos de região do tipo R , ou do tipo 1, uma região do plano delimitada por retas ver-
ticais e e pelos gráficos de funções contínuas ( ) e ( ), com ( ) ( ), 
em que e são o 
xy
x a x b y f x y g x f x g x
a b
= = = = 
menor e o maior valores de na região, como mostra a Figrua 1.x
Figura 1
Vejamos, na Figura 2, um argumento geométrico o cálculo da área de uma região do tipo R :x
Observando a Figura 2, temos que
( )( ) ( )
b
a
A g x f x dx= −
Figura 2
Região do tipo Ry ou do tipo 2
Chamamos de região do tipo R , ou do tipo 2, uma região do plano delimitada por retas
horizontais e ,e pelos gráficos de funções contínuas, ( ) e ( ), com 
( ) ( ), em que e são 
y xy
y c y d x f y x g y
f y g y c d
= = = =
 o menor e o maior valores de na região, como mostra a Fi-
gura 3.
y
Figura 3
Observemos, na Figura 4, um argumento geométrico para o cálculo da área de uma região do
tipo R : y
Dessa forma,
( )( ) ( )
d
c
A g y f y dy= −
Figura 4
Chamamos de região admissível uma região do plano que pode ser decomposta em um 
número finito de regiões do tipo R ou R .x y
xy
Região Admissível
Considere a região mostrada na Figura 5.
Note que, com as fronteiras consideradas,
a região não é do tipo R , nem do tipo R .x y
Figura 5
Vamos considerar a decomposição da região anterior, mostrada na Figura 6, e analisar as suas 
subregiões:
Perceba que decompusemos a região original em
um número finito de regiões do tipo R e R ,por-
tanto essa região é admissível, apesar de não ser R
nem R , se considerada em sua integralidade.
x y
x
y
Figura 6
2 2Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e 4 , e calcule
sua área.
y x y x x= = − +
Note que
Exemplo 1
Solução
Parábola com eixo de simetria
vertical e vértice (0,0)
2 4y x x= − + Parábola com eixo de simetria
vertical e vértice (2,4)
Interseção:
2 2 4x x x= − +
22 4 0x x − = 2 ( 2) 0x x − = 0 ou 2x x = =
(0,0) e (2,4)
2y x=
Figura 7
Observe que a região é do tipo R e, pelo gráfico exibido, temos quex
( )
2
2 2
0
4A x x x dx= − + − ( )
2
2
0
2 4x x dx= − +
23 2
0
2 4
3 2 |
x x 
= − + 
 
16
8
3
 
= − + 
 
8
. .
3
u a=
2Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das equações 2 2 e 5.y x y x= − = −
Exemplo 2
Solução
2 2 2y x= −
Parábola com eixo 
de simetria horizontal
22 2x y = +
22 2x y = +
21( ) 1
2
f y x y = = +
, (1,0)
4 2
b
a a
 
− − = 
 
Vértice
Reta5y x= − ( ) 5g y x y = = +
Interseção:
21 1 5
2
y y+ = +
21 4 0
2
y y − − = 4 ou 2y y = = −
(9,4) e (3, 2) − Pensando a região como R , temos:y
Figura 8
4
2
2
1
5 1
2
A y y dy
−
  
= + − +  
  
4
2
2
1
4
2
y y dy
−
 
 − + 
 
42 3
2
1
4
2 2 3 |
y y
y
−
 
= − + 
 
32 4
8 16 2 8
3 3
A
 
 = − + − − + 
 
18A ua =
2Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das equações , 4,
1 e 2.
y x x y
y y
= − − =
= − =
Exemplo 3
Solução
Note que
2y x= − 2x y = −
Parábola com eixo
de simetria horizontal
e vértice (0,0)
4x y− = 4x y = + Reta
1y = − Reta horizontal por (0,-1)
2y = Reta horizontal por (0,2)
Considerando a região como do tipo R , temosy
( )( )
2
2
1
4A y y dy
−
= + − − ( )
2
2
1
4y y dy
−
= + +
22 3
1
4
2 3 |
y y
y
−
 
= + + 
 
8 1 1
2 8 4
3 2 3
A
 
 = + + − − − 
 
33
2
A ua =
Referências
Flemming, Diva Marília; Mirian, Buss Gonçalves. Cálculo A : funções, 
limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006. 448 p. 
Flemming, Diva Marília; Mirian, Buss Gonçalves. Cálculo B : funções, 
limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006. 448 p. 
Leithold, Louis. O Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo:
Harbra, 1994. 2 v.
Rogawski, Jon. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. 2 v.
Simmons, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo:
Pearson- Markron Books, 2005. 2 v.
Swokowski, Earl. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. São
Paulo: Makron Books, 1994. 2 v.
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