EBOOK - CÁLCULO 2

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II
R586 
 Rios, Luciana Antunes 
 
 Cálculo diferencial e integral II [livro eletrônico] / Luciana 
 Antunes Rios. – Rio de Janeiro: UVA, 2019. 
 
 5,1 MB. 
 
 ISBN 978-85-5459-053-6
 
 
 1. Cálculos numéricos. 2. Geometria analítica. 3. Integrais 
 (Matemática). 4. Funções de várias variáveis. 5. Funções 
 (Matemática). I. Universidade Veiga de Almeida. II. Título. 
 
 CDD – 518
Copyright © UVA 2019
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer 
meio sem a prévia autorização desta instituição.
Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográfico 
da Língua Portuguesa.
AUTORIA DO CONTEÚDO
Luciana Antunes Rios
REVISÃO
Clarissa Penna
Theo Cavalcanti
Lydianna Lima
PROJETO GRÁFICO
UVA
DIAGRAMAÇÃO
UVA
Bibliotecária Katia Cavalheiro CRB 7 – 4826.
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da UVA.
SUMÁRIO
Apresentação
Autor
6
7
Derivadas parciais e direcionais 24
• Definição de derivadas parciais, interpretação gráfica e cálculo de 
derivadas de funções de várias variáveis
• Regra da cadeia, derivação implícita e derivadas direcionais e o vetor 
gradiente
• Plano tangente, reta normal e máximos e mínimos
UNIDADE 2
8
• Funções de duas ou mais variáveis: domínio
• Representação gráfica 
• Curvas de nível
Funções de várias variáveis
UNIDADE 1
SUMÁRIO
Integral tripla 81
• Definição de integral tripla, interpretação geométrica, cálculo de inte-
grais triplas e técnicas de integração
• Coordenadas cilíndricas e esféricas
• Aplicações: volumes
UNIDADE 4
53
• Definição de integral dupla, interpretação geométrica e cálculo de 
integral dupla em coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares e cálculo de integral dupla em coordenadas 
polares
• Aplicação: áreas e volumes
Integral dupla
UNIDADE 3
6
Nesta disciplina, você irá conhecer as funções de várias variáveis, sua representação e o 
estudo de vários fenômenos em duas ou três dimensões. Entre tais fenômenos, podemos 
citar a modelagem de campos escalares em larga escala, como o campo gravitacional 
na superfície da Terra e a temperatura na superfície do planeta. Em pequena escala, 
podemos citar como exemplo o campo de pressões sobre uma barragem ou comporta. 
Outros fenômenos incluem funções de crescimento e decaimento, funções de distribuição 
utilizadas em estatística e as superfícies equipotenciais associadas a campos elétricos. 
As representações gráficas das funções de duas variáveis, por exemplo, também são 
bastante úteis na descrição de alguns fenômenos. Os conceitos de derivada e integral 
também podem ser aplicados a esse tipo de função, e as particularidades dos métodos 
envolvidos serão apresentadas nas Unidades 2 (derivadas parciais e direcionais), 3 e 
4 (integrais duplas e triplas). Por se tratar de funções de várias variáveis, o cálculo de 
derivadas e integrais se torna mais complexo, possuindo algumas regras particulares. Nas 
Unidades 3 e 4, também serão introduzidos novos sistemas de coordenadas: as polares 
(duas dimensões) e as esféricas e cilíndricas (três dimensões). Em muitas situações, o 
cálculo das integrais duplas e triplas será simplificado quando o problema for modelado 
utilizando as coordenadas mais adequadas ao seu tipo de simetria. Você verá também 
algumas aplicações das integrais duplas e triplas, como o cálculo de áreas e volumes, 
métodos bastante utilizados nas ciências exatas em geral.
APRESENTAÇÃO
7
LUCIANA ANTUNES RIOS
É graduada em Astronomia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, mes-
tre e doutora em Física pela Universidade Federal Fluminense – UFF e pós-doutora na 
Ruhr-Universitaet (Alemanha) e no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas – CBPF. Atua 
como professora do ciclo básico das Engenharias e do ciclo profissional da Engenharia 
Elétrica da Universidade Veiga de Almeida – UVA. Possui experiência nas áreas de física 
dos fluidos, física de plasmas, eletromagnetismo e geofísica espacial.
AUTOR
C. Lattes
http://lattes.cnpq.br/4105812707576304
Funções de várias variáveis
UNIDADE 1
9
Muitas funções dependem de mais de uma variável independente, como é o caso do vo-
lume de uma caixa retangular, o qual depende da sua altura (h) e das dimensões da base 
(a e b). Assim, o volume da caixa V(h,a,b) é uma função de três variáveis, h, a e b. Nesta 
unidade, vamos entender as ideias do cálculo de uma variável em relação a funções de 
duas ou três variáveis. Discutiremos também a representação gráfica das funções de 
duas variáveis.
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você irá:
• Identificar curvas de nível. 
• Representar graficamente funções de duas variáveis.
OBJETIVO
10
Funções de duas ou mais variáveis: domínio
Definição: funções de várias variáveis 
As funções reais de várias variáveis reais independentes são definidas da mesma forma 
que as funções de uma variável. Nesse caso, os pontos no domínio são:
• Pares ordenados.
• Triplas.
• n-uplas de números reais.
E a imagem é um conjunto também formado por números reais. 
Suponha então que D seja um conjunto com n números reais (x1, x2, x3, ..., xn). Uma função 
real f em D é uma regra que associa um único número real y a cada elemento em D: 
y = f(x1,, x2, x3, ..., xn) (1)
O conjunto D é o domínio da função, e o conjunto dos valores de y que podem ser obtidos 
a partir da regra que define f é a imagem da função. Na expressão apresentada, observe 
que: 
Assim, f é uma função de n variáveis independentes. As variáveis x1, ..., xn também são 
chamadas de variáveis de entrada da função, enquanto y é chamada de variável de saída.
Se f é uma função de duas variáveis independentes, geralmente denominamos essas 
variáveis como x e y, enquanto a variável dependente é denominada z. Nesse caso, o do-
mínio da função é uma região do plano xy. Já para funções de três variáveis, o domínio 
será uma região do espaço.
y simboliza a variável 
dependente de f.
Enquanto x1, ..., xn são as 
variáveis independentes.
11
Como no caso de funções de uma variável, calculamos funções substituindo os valores 
das variáveis independentes na fórmula que define a função, o que fornece, então, o 
valor correspondente da variável dependente.
Domínios e imagens 
Assim como no caso de funções de uma variável, ao definirmos funções reais de várias 
variáveis, devemos seguir a prática de excluir entradas que levem a números complexos 
ou à divisão por zero. Consideramos que o domínio de uma função seja o maior conjun-
to para o qual a regra que define a função gera números reais, com exceção dos casos 
em que o domínio é especificado explicitamente. A imagem é o conjunto de valores de 
saída para a variável dependente. 
Importante
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir.
(a) f(x,y)=sin(xy).
(b) f(x,y)=√(x+y).
Solução:
(a) Nesse caso, o produto xy pode ter qualquer valor positivo ou negativo, mas as 
funções seno e cosseno possuem valores apenas entre -1 e 1. Logo, o domínio é 
todo o plano, enquanto a imagem é representada pelo conjunto [-1,1]. Observe que 
a imagem deve incluir os valores -1 e 1.
Em aplicações, é comum utilizarmos letras que lembrem o significado das 
variáveis. Por exemplo, sabemos que o volume V de um cilindro circular reto é uma 
função da sua altura h e do seuraio r, portanto podemos escrever V = f(h,r). Nesse 
caso, a regra que define f é conhecida, e assim podemos substituir a notação f(h,r) 
pela fórmula do volume de escrever V = πr2h.
Exemplo 1
12
Determine o domínio das funções a seguir.
(a) f(x,y)= (3x+5y)
 (x2+y2-4).
(b) f(x,y)=ln(9-x2-9y2 ).
(c) f(x,y)=x ln(y2-x).
Solução:
(a) Aqui devemos analisar os domínios das funções no numerador e no denominador 
separadamente. A função 3x + 5y está no numerador, portanto pode ter qualquer 
valor. O domínio dessa função é, então, o conjunto de todos os pares ordenados 
(x,y). Já a função x2 + y2 – 4 está no denominador, então deve possuir um valor 
diferente de zero. Assim, devemos ter x2 + y2 ≠ 4. Portanto, o domínio da função é o 
conjunto de todos os pares de números reais (x,y) desde que x2 + y2 ≠ 4. 
(b) Sabemos que o logaritmo neperiano é definido apenas para números positivos, 
portanto devemos ter 9 – x2 – 9y2 > 0. Assim, o domínio é definido por todos os 
pares de números reais (x,y) desde que x2 + 9y2 < 9 (ou x2/9 + y2 < 1).
(c) Nesse caso, também devemos determinar os domínios de cada função 
separadamente. A função x pode ter qualquer valor, portanto seu domínio é o 
conjunto dos números reais. A função ln(y2 – x), no entanto, é definida apenas para 
y2 – x > 0. Logo, o domínio da função é definido por todos os pares ordenados (x,y) 
com x < y2.
(b) Para essa função, devemos ter x + y ≥ 0, uma vez que f é uma função real. As-
sim, o domínio é definido por y ≥ -x. O conjunto imagem é formado por números 
maiores ou iguais a zero, logo [0, ∞) (conjunto imagem é aberto no infinito).
Exemplo 2
13
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir.
(a) f(x,y,z)=√(x2+y2+z2.)
(b)f(x,y,z)= 1
 (x2+y2+z2 ).
(c) f(x,y,z)=xy ln z.
Solução:
(a) Para que a função dada tenha um valor real, devemos ter x2 + y2 + z2 ≥ 0, o que 
sempre será verdade, uma vez que o quadrado de um número real é sempre posi-
tivo. Assim, o domínio da função são todas as triplas de números reais (x,y,z), isto 
é, todo o espaço. A imagem da função são os reais maiores ou iguais a zero, [0,∞).
(b) Nesse caso, o denominador da função deve ser diferente de zero, o que implica 
x, y e z serem, simultaneamente, diferentes de zero (lembre-se de que o quadrado 
de um número real é sempre positivo). Assim, o domínio da função é o conjunto 
de todas as triplas de números reais (x,y,z) desde que (x,y,z) ≠ (0,0,0). Já a imagem 
serão todos os reais maiores que zero, (0,∞).
(c) Uma vez que x e y podem ter valores quaisquer, o domínio da função será deter-
minado pela função lnz. Como o logaritmo é definido apenas para z > 0, o domínio 
será formado pelas triplas (x,y,z) com z > 0 (semiespaço z > 0). Já a imagem da 
função será o conjunto dos números reais (-∞,∞).
Exemplo 3
14
No caso das funções de duas variáveis, os domínios podem ser representados por 
regiões do plano xy.
Observe que, nas figuras 1(a), 1(b) e 1(c), a região R indicada é um disco unitário. (a) R 
= {(x,y)| x2 + y2 < 1}: região aberta, em que todo ponto é um ponto interior; (b) R = {(x,y)| 
x2 + y2 = 1}: fronteira do disco, em que todo ponto é um ponto de fronteira; (c) R = {(x,y)| 
x2 + y2 ≤ 1}: região fechada, que contém todos os pontos de fronteira (THOMAS; WEIR; 
HASS, 2012).
Vale ressaltar que algumas regiões no plano não são nem abertas nem fechadas. Se 
alguns pontos de fronteira, mas não todos, forem adicionados ao disco da figura 1(a), 
o conjunto resultante não será nem aberto nem fechado. Também falamos que uma 
região é limitada quando ela está dentro de um disco de raio fixo. Caso contrário, ela é 
não limitada.
Figura 1(a) Figura 1(b) Figura 1(c) 
Um ponto (x0,y0) em uma região 
R do plano xy é um ponto inte-
rior se é o centro de um disco 
de raio positivo que está inteira-
mente em R.
Um ponto (x0,y0) é um ponto 
de fronteira de R se todo disco 
centrado nesse ponto contém 
ao mesmo tempo pontos que 
estão em R e fora de R.
Um ponto de fronteira não 
precisa, necessariamente, 
pertencer a R. Os pontos inte-
riores de uma região formam 
o seu interior. Já os pontos 
de fronteira da região formam 
sua fronteira. Uma região é 
aberta se é formada inteira-
mente por pontos interiores. 
Por outro lado, uma região é 
dita fechada se contém todos 
os seus pontos de fronteira.
15
Figura 2 – O domínio da função f é formado pela região sombreada mostrada na figura e sua fronteira, 
definida pela parábola y = x2.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Descreva o domínio da função f(x,y)=√(y – x2).
Solução:
A função f é definida apenas para y – x2 ≥ 0. Assim, o domínio da função é a região 
fechada e não limitada mostrada na figura 2. A parábola y – x2 = 0 (ou y = x2) é a 
fronteira do domínio, e os pontos acima da curva compõem o interior do conjunto, 
que pode ser representado na forma D = {(x,y)|y ≥ x2}.
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o conteúdo complementar indicado pela 
professora sobre Cálculo II. 
Exemplo 4
16
 
Representação gráfica 
Gráficos de funções de duas variáveis
Os valores de uma função f(x,y) podem ser visualizados de duas maneiras. Uma delas, 
que você verá a seguir, é identificar e traçar curvas no domínio de f nas quais a função 
possui um valor constante. A outra, a ser discutida mais adiante, é esboçar as superfícies 
z = f(x,y) no espaço. 
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto 
de todos os pontos (x,y,z) em R3 tal que z = f(x,y), com (x,y) pertencente a D. Assim, do 
mesmo modo que o gráfico de uma função de uma variável é uma curva com equação 
y = f(x), o gráfico de uma função com duas variáveis é uma superfície com equação z = 
f(x,y). A superfície que representa f estará diretamente acima ou abaixo do seu domínio 
D, no plano (x,y).
Esboce o gráfico da função z = 1 (3 – x – 2y). 
 3
Solução:
Colocando a expressão acima na forma x + 2y + 3z = 3, verificamos que ela é a 
equação de um plano inclinado. Para construir seu gráfico, primeiramente devemos 
achar os interceptos, isto é, os pontos em que o plano corta os eixos coordenados. 
Isso pode ser feito zerando duas variáveis e determinando o valor da terceira de 
acordo com a fórmula dada. Para a função em questão, os interceptos são (3,0,0), 
(0,3/2,0) e (0,0,1). Com base nesses pontos, podemos esboçar parte do gráfico 
(figura 3). Observe que o domínio da função são todos os pares ordenados (x,y).
Exemplo 5
17
Figura 3 – Gráfico da função z = (3 – x – 2y)/3.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007).
Dica
Funções da forma f(x,y) = ax + by + c (a, b e c positivos ou negativos) são 
chamadas de lineares. O gráfico desse tipo de função tem a equação z = ax + by 
+ c, portanto é um plano.
Desenhe o gráfico da função g(x,y)=√(4 – x2 – y2 ).
Solução:
O gráfico da função tem a equação z = (4 – x2 – y2)1/2, e seu domínio é dado pelo 
conjunto D = {(x,y)|x2 + y2 ≤ 4}. Observe que x2 + y2 + z2 = 4 é a equação de uma 
esfera com centro na origem e raio 2. Porém, como z ≥ 0, o gráfico de g é somente 
a metade superior da esfera (figura 4).
Exemplo 6
18
Figura 4 – Gráfico da função z = (4 – x2 – y2)1/2.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007).
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado pela 
professora sobre funções de várias variáveis (domínio, imagem e gráficos). 
19
Curvas de nível
Curvas de nível para funções de duas variáveis 
O conjunto de pontos no plano em que uma função f(x,y) possui um valor constante 
f(x,y) = k é denominado curva de nível de f. Uma curva de nível é o conjunto de todos os 
pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, ela mostra onde 
o gráfico de f tem altura k.
Figura 5 – Gráfico e curvas de nível da função f(x,y).
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Exemplo 7 
Represente graficamente f(x,y) = 100 – x2 – y2 e trace as curvas de nível f(x,y) = 0, 
f(x,y) = 51 e f(x,y)= 75.
Solução:
 
O domínio da função f é todo o plano xy. O gráfico de f(x,y) é dado pela equação 
z = 100 – x2 – y2, que representa o paraboloide cuja parte positiva é mostrada na 
figura 5. A curva de nível f(x,y) = 0 pode ser obtida da seguinte maneira. Considere 
a curva formada pela interseção do plano z = 0 com a superfície do paraboloide. A 
projeção dessa curva sobre o plano xy é a curva de nível f(x,y) = 0, cuja equação é 
100 – x2 – y2 = 0 (ou x2 + y2 = 100), isto é, um círculo de raio 10. As curvas de nível 
f(x,y) = 51 e f(x,y) = 75 podem ser obtidas do mesmo modo, e suas equações se-
rão, respectivamente, x2 + y2 = 49 e x2 + y2 = 25.
20
Um exemplo comum de curvas de nível são as curvas que indicam elevações constantes 
(em relação ao nível do mar) em mapas topográficos de regiões montanhosas (figura 
6). A maior proximidade entre as curvas indica onde a superfície é mais inclinada.
Figura 6 – Curvas de nível em um mapa topográfico.
Fonte: Stewart (2009).
Vale ressaltar que, uma vez que os gráficos de funções de três variáveis consistem em 
pontos (x,y,z,f(x,y,z)) em um espaço quadridimensional, não podemos esboçá-los em 
nosso sistema tridimensional de coordenadas de referência.
Dica
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 1 e veja o conteúdo complementar indicado pela 
professora sobre funções de várias variáveis (gráficos e curvas de nível). 
Utilize o computador para traçar os gráficos e as curvas de nível de algumas 
das funções vistas nos exemplos desta unidade. Uma sugestão é utilizar o me-
canismo on-line (gratuito) Wolfram Alpha. 
21
NA PRÁTICA
Um engenheiro precisa, muitas vezes, modelar situações do dia a dia ou fenômenos 
físicos relacionados ao seu trabalho. Essa modelagem pode envolver vários tipos 
de equações, incluindo funções de duas ou mais variáveis. Uma função muito 
utilizada nos problemas que envolvem taxas de crescimento e decaimento são as 
funções exponenciais. Como, então, você utilizaria essa função para descrever uma 
quantidade que varia exponencialmente (cresce ou decai), de maneira simétrica, 
com a posição? Veja a resolução:
Duas dimensões: f(x,y)=aeb√x2+y2 .
Três dimensões: f(x,y)=aeb√x2+y2+z2 .
Nas equações acima, a e b são constantes (positivas ou negativas).
22
Resumo da Unidade 1 
Nesta unidade, estudamos as funções de duas ou três variáveis. Vimos que essas 
funções podem ser utilizadas para modelar determinadas situações e aprendemos a 
calcular seus domínios e imagens. Discutimos também as representações gráficas das 
funções de duas variáveis, isto é, como montar gráficos e curvas de nível. 
Até a próxima unidade! 
CONCEITO
Nesta unidade, discutimos as funções de várias variáveis e algumas de suas 
representações gráficas, entre elas as curvas de nível.
23
Referências
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo B. São Paulo: Pearson, 2007.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Thomson, 2009. v. 2.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2012. v. 2.
Derivadas parciais e direcionais 
UNIDADE 2
25
OBJETIVO
Nesta unidade, você irá aprender a calcular as derivadas parciais e direcionais de funções 
de várias variáveis. Você irá estudar também o significado das derivadas direcionais e 
algumas aplicações. Por fim, aprenderá algumas técnicas de cálculo que possibilitarão 
que você obtenha os máximos e mínimos de funções de várias variáveis.
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Calcular derivadas parciais e direcionais. 
• Aplicar as técnicas de cálculo desenvolvidas na obtenção de máximos e 
mínimos de funções de várias variáveis.
26
Definição de derivadas parciais, interpreta-
ção gráfica e cálculo de derivadas de fun-
ções de várias variáveis 
Definição de derivadas parciais
Agora que você aprendeu o conceito, confira, a seguir, como calcular as derivadas de 
funções de duas variáveis. 
Se (x0,y0) for um ponto no domínio de uma função f(x,y), definimos a derivada parcial de 
f em relação a x no ponto (x0,y0) como a derivada ordinária de f(x,y0) em relação a x no 
ponto x = x0. Para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias, utilizamos o 
símbolo ∂ no lugar da letra d. Assim, a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no ponto 
(x0,y0) é:
Desde que o limite exista. Na definição apresentada, h é um número real positivo ou 
negativo. Utilizamos diversas notações para a derivada parcial, entre elas d/dx f(x,y0 )|(x = 
x0 )e fx. A derivada parcial de f(x,y) com relação a y em um ponto (x0,y0) pode ser definida 
de maneira similar, mantendo x fixo no valor x0 e tomando a derivada ordinária de f(x0,y) 
com relação a y em y0: 
Importante
O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma única 
variável aplicado a várias variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos to-
das as variáveis independentes de uma função, exceto uma, e derivamos 
em relação a essa variável, obtemos uma derivada parcial.
27
Mais uma vez, o limite acima deve existir para que a derivada seja definida. Assim, as 
derivadas ∂ f/ ∂ x e ∂ f/ ∂ y fornecem duas maneiras diferentes de derivar f em um ponto: 
1. Em relação a x, tratando y como constante.
2. Em relação a y, tratando x como constante. 
Veja agora os exemplos correspondentes!
Solução
Primeiramente, calculamos as funções derivadas de f(x,y),
uma vez que tratamos y como uma constante, e
uma vez que tratamos x como uma constante. No ponto (3,1):
Exemplo 1
Determine as derivadas da função f(x,y) = x3 + x2y3 – 2y2 com relação a x e y no 
ponto (3,1).
28
E
Solução
No cálculo de fx tratamos y como constante, logo:
No cálculo de fy, tratamos f como o quociente de duas funções, 2y e y + x. Logo:
Exemplo 2
Encontre fx e fy como funções se:
29
Uma função f(x,y) pode ter derivadas parciais em relação a x e y em um ponto sem ser 
contínua nesse ponto. Entretanto, se as derivadas parciais de f(x,y) existirem e forem 
contínuas em um disco centrado em (x0,y0), então f será contínua em (x0,y0). 
Quando derivamos uma função f(x,y) duas vezes, produzimos suas derivadas de segun-
da ordem. Essas derivadas são definidas da seguinte maneira:
Vale ressaltar que as derivadas mistas são equivalentes, isto é:
Se f, fx, fy, fxy e fyx forem contínuas na região de interesse.
Solução
Exemplo 3
Determine as derivadas mistas da função f(x,y) = x cos y + yex.
e
30
Importante
Apesar de lidarmos, na maioria das vezes, com derivadas parciais de primeira 
e segunda ordens, por elas aparecerem mais frequentemente em aplicações, 
não existe limite teórico para o número de vezes que uma função pode ser 
diferenciada, desde que as derivadas envolvidas existam.
Interpretação gráfica 
Se (x0,y0) for um ponto no domínio de uma função f(x,y), o plano vertical y = y0 cortará a 
superfície z = f(x,y) na curva z = f(x,y0) (figura 1). O coeficiente angular da curva no ponto 
P(x0,y0,f(x0,y0)) é o valor da derivada parcial de f em relação a x em (x0,y0). Assim, a reta 
tangente à curva em P é a reta no plano y = y0 que passa por P e tem coeficiente angular 
dado por fx. A derivada parcial ∂f/∂x em (x0,y0) fornece a taxa de variação de f em rela-
ção a x quando y é mantido fixo (y = y0).
Como no caso de fx, o coeficiente angular da curva z = f(x0,y) no ponto P(x0,y0,f(x0,y0)) 
no plano vertical x = x0 é dado pela derivada fy no ponto (x0,y0) (figura 1). Logo, a reta 
tangente à curva em P é a reta no plano x = x0 que passa por P e tem coeficiente angular 
fy. Verificamos, então, que temos duas retas tangentes associadas à superfície z = f(x,y) 
no ponto P.
Figura 1 – Retas tangentes à superfície z = f(x,y) no ponto P(x0,y0,f(x0,y0)).
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
31
Derivadas de funções de várias variáveis
Para funções com mais de duas variáveis independentes, as definições de derivadas 
parciais são como as definições para funções de duas variáveis: elas são derivadas 
ordinárias em relação a uma variável, tomadas enquanto as outras variáveis indepen-
dentes sãomantidas constantes.
Confira o exemplo a seguir!
Solução:
Exemplo 4
Se x, y e z forem variáveis independentes e f(x,y,z)=x sin(y+3z), determine fx, fy e fz.
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre derivadas parciais.
32
Regra da cadeia, derivação implícita e deri-
vadas direcionais e o vetor gradiente 
Regra da cadeia 
A regra da cadeia para uma função de uma única variável fornece uma regra para 
diferenciar uma função composta. Considere, então, y = f(x) e x = g(t), em que f e g são 
funções diferenciáveis. Nesse caso, y é indiretamente uma função diferenciável de t, 
logo: 
Para funções de duas variáveis, a regra da cadeia para uma função derivável w = f(x,y), 
quando tanto x = x(t) quanto y = y(t) são funções deriváveis de t, é dada por:
Veja um exemplo sobre a regra da cadeia!
Importante
Uma observação importante deve ser feita sobre a regra da cadeia. Enquanto as 
derivadas parciais dw/dt, dx/dt e dy/dt são avaliadas no ponto t0, as derivadas 
parciais ∂f/∂x (ou ∂w/∂x) e ∂f/∂y (ou ∂w/∂y) são avaliadas no ponto (x0,y0), 
em que x0 = x(t0) e y = y(t0). Vale também ressaltar que a “verdadeira” variável 
independente na função composta w = f(x(t),y(t)) é t, enquanto x e y são variáveis 
intermediárias e w é a variável dependente.
33
Exemplo 5
Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy com relação a t ao 
longo do caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t = π/2?
Solução
Utilizando a regra da cadeia, temos:
Para t = π/2:
Nesse exemplo, também é possível fazer a derivação direta da função w = xy = cost(sent).
Para uma função de três variáveis, a regra da cadeia pode ser obtida com a adição 
de mais um termo. Assim, se w = f(x,y,x) for diferenciável e x, y e z forem funções 
diferenciáveis de t, então w será uma função diferenciável de t e:
Considere agora a seguinte situação. Vamos definir como T = f(x,y,z) a temperatura nos 
pontos (x,y,z) da superfície terrestre. Podemos preferir pensar em x, y e z como funções 
das variáveis r e s, que fornecem as longitudes e latitudes dos pontos. Se x = g(r,s), y = 
h(r,s) e z = k(r,s), podemos, então, expressar a temperatura como uma função de r e s 
com a função composta:
34
Nesse caso, sob condições ideais, T teria derivadas parciais em relação a r e s, que po-
dem ser calculadas da seguinte maneira:
Confira outro exemplo!
Solução
Utilizando a regra da cadeia:
Para r = 2, s = 1 e t = 0, temos:
Exemplo 6
Se u = x4y + y2z3, em que x = rset, y = rs2e-t e z = r2s(sent), determine o valor de 
∂u/∂s quando r = 2, s = 1 e t = 0.
35
Logo:
Derivação implícita
A regra da cadeia pode ser utilizada no processo de diferenciação implícita. 
Suponhamos que uma equação da forma F(x,y) = 0 defina y implicitamente como uma 
função diferenciável de x, ou seja, y = f(x), em que F(x,f(x)) = 0 para todo x no domínio 
de f. Se F é diferenciável, é possível utilizar a regra da cadeia para diferenciar ambos os 
lados da equação em relação a x. Como F é, na verdade, uma função de x e y, obtemos:
Ou
Uma vez que dx/dx = 1 e considerando que ∂F/∂y ≠ 0.
Observe os exemplos a seguir!
Solução
Podemos escrever a equação dada na forma:
Exemplo 7
Determine y’ (dy/dx) se x3+y3 = 6xy. 
36
Uma forma de resolver a questão é utilizar a equação (12). Outra, é fazer a diferenciação 
da equação acima em relação a x:
Suponha agora que z seja dado implicitamente como uma função z = f(x,y) por uma 
equação da forma F(x,y,z) = 0. Isso é o mesmo que F(x,y,f(x,y)) = 0 para todo (x,y) no 
domínio de f. Se F e f forem diferenciáveis, utilizamos a regra da cadeia para diferenciar 
a equação F(x,y,z) = 0 em relação a x:
Ou
Uma vez que ∂x/∂x = 1 e ∂y/∂x = 0, já que y não depende de x. 
Derivando agora em relação a y:
Se ∂F/∂z≠0, obtemos, a partir das equações (14) e (15):
37
Exemplo 8
Encontre a ∂z/∂x se a equação a seguir define z como uma função de duas 
variáveis independentes x e y e a derivada parcial existir.
Solução
Podemos usar a equação (16) para obter ∂z/∂x ou, fazendo a diferenciação de maneira 
direta: 
Assim:
Derivadas direcionais e o vetor gradiente
Já vimos que, se f(x,y) é diferenciável, então a taxa com que f varia em relação a t ao 
longo de uma curva diferenciável x = g(t) e y = h(t) é:
38
Em qualquer ponto P = (x0,y0) = P0(g(t0),h(t0)), essa equação fornece a taxa de variação 
de f em relação a t e, portanto, depende, entre outras coisas, do sentido do movimento 
ao longo da curva. 
A equação z = f(x,y) representa uma superfície S no espaço (figura 2).
Figura 2 – O coeficiente angular da curva C em P.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Se z0 = f(x0,y0), então o ponto P(x0,y0,z0) estará em S. O plano vertical que passa por P e 
P0(x0,y0), e que é paralelo ao vetor unitário û, tem interseção com S em uma curva C. A 
taxa de variação de f na direção de û é o coeficiente angular da reta tangente a C em P 
e define a derivada direcional.
Quando û = î, a derivada direcional em P0 é ∂f/∂x avaliada em (x0,y0); quando û = ĵ, a 
derivada direcional em P0 é ∂f/∂y avaliada em (x0,y0). A derivada direcional generaliza as 
duas derivadas parciais e define a taxa de variação de f em qualquer direção û, e não 
apenas nas direções î e ĵ.
A derivada de uma função diferenciável f na direção de û em P0 é o produto escalar de û 
com o vetor especial denominado gradiente de f em P0:
39
A notação é lida como “grad f”, assim como “gradiente de f” e “nabla f”. O símbolo 
isolado é lido como “nabla”, ou “operador nabla”. Assim, a derivada direcional de f(x,y) 
na direção de û em P0 é dada pelo produto escalar:
Em que θ é o ângulo entre os vetores e û. Suponha, então, uma função f de duas ou 
três variáveis e considere todas as possíveis derivadas direcionais de f em um ponto 
dado. Isso nos dará a taxa de variação da função em todas as direções possíveis. 
Podemos, então, fazer as seguintes perguntas: em qual dessas direções f varia mais 
rápido e qual a máxima taxa de variação? Isso ocorrerá quando θ = 0, isto é, o valor 
máximo da derivada direcional ocorre quando û tem a mesma direção e sentido que o 
vetor gradiente .
Importante
O gradiente é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento 
a partir de um ponto específico, obtém-se o maior incremento possível no valor 
de uma grandeza que define um campo escalar para a região considerada. 
Para entender melhor o conceito de derivada direcional e vetor gradiente, 
vamos considerar a figura 3, que mostra os contornos do Parque Nacional 
Yosemite, na Califórnia. Ao observarmos a figura, notamos que os córregos 
correm perpendicularmente aos contornos. Os córregos seguem os caminhos 
de maior inclinação, de maneira que as águas atinjam as elevações mais baixas 
o mais rapidamente possível. Assim, a maior taxa de variação instantânea na 
altitude do rio acima do nível do mar tem uma direção definida.
40
Figura 3 – Contornos do Parque Nacional Yosemite, na Califórnia.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Observe um exemplo de derivadas direcionais e vetor gradiente.
Solução
Calculamos primeiro o gradiente de T: 
Exemplo 9
Suponha que a temperatura em um ponto (x,y,z) do espaço seja dada por:
Em que T é medida em graus Celsius, e x, y e z, em metros. 
Em que direção no ponto (1,1,–2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual 
é a taxa máxima de aumento?
 
41
No ponto (1,1,–2), o vetor gradiente é:
Assim, a temperatura aumenta mais rapidamente na direção e sentido do vetor gradiente 
calculado acima ou, de modo equivalente, na direção e sentido do seu versor 
 . A taxa máxima de aumento é dada pelo módulo do 
vetor gradiente:
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre derivada direcional e gradiente.
42
Plano tangente, reta normal e máximos e 
mínimos 
Plano tangente e reta normal
Vamos agoradefinir o plano tangente em um ponto em uma superfície lisa no espaço. 
Se é uma curva lisa na superfície de nível f(x,y,z) = c de uma função 
diferenciável f, então f(g(t),h(t),k(t)) = c. Diferenciando ambos os lados da equação com 
relação a t, temos:
Para obter a equação (20), foi utilizada a regra da cadeia. Nessa equação, 
 é o gradiente de f, e é o vetor velocidade da curva. 
Como o produto escalar entre esses dois vetores é nulo, podemos dizer que em todo 
ponto ao longo da curva é ortogonal a
Vamos agora restringir nossa atenção às curvas que passam por P0 (figura 4).
Figura 4 – O gradiente é ortogonal ao vetor velocidade de toda curva lisa na superfície passando por P0.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
43
Todos os vetores velocidade em P0 são ortogonais a em P0, portanto as retas tangen-
tes das curvas (mesma orientação de ) estão todas no plano que passa por P0 e 
é normal a . Vamos, então, definir esse plano.
O plano tangente ao ponto P0(x0,y0,z0) na superfície de nível f(x,y,z) = c de uma função 
diferenciável f é o plano passando por P0 normal a A reta normal à superfície em 
P0 é a reta que passa por P0 e é paralela a 
O plano tangente e a reta normal têm as seguintes equações:
- Plano tangente a f(x,y,z) = c em P0(x0,y0,z0):
- Reta normal a f(x,y,z) = c em P0(x0,y0,z0):
(t é o parâmetro da reta).
Observe o exemplo!
Solução
O elipsoide é a superfície de nível (c = 3) da função:
Exemplo 10
Determine as equações do plano tangente e reta normal no ponto (–2,1,–3) ao 
elipsoide.
44
Temos, então: 
Logo, a equação do plano tangente no ponto (–2,1,–3) é:
As equações da reta normal são:
Máximos e mínimos
Como sabemos, um dos principais usos da derivada ordinária é na determinação dos 
valores máximo e mínimo de uma função. Estudaremos, a seguir, como utilizar as 
derivadas parciais para localizar os pontos de máximo e mínimo de uma função de 
duas variáveis.
Dica
Antes de começar o exercício, coloque a equação que descreve a superfície na 
forma f(x,y,z) = c, como foi feito no exercício anterior. 
45
Uma função de duas variáveis tem um máximo local no ponto (a,b) se f(x,y) ≤ f(a,b) 
quando (x,y) está próximo de (a,b). O valor de f(a,b) é chamado de valor máximo local. 
Se f(x,y) ≥ f(a,b) quando (x,y) está próximo de (a,b), então o número f(a,b) é um valor 
mínimo local. Se essas inequações forem válidas para todos os pontos (x,y) do domínio 
de f, então f tem um máximo absoluto (ou mínimo absoluto) no ponto (a,b). Veja, na 
figura 5, uma função com máximos e mínimos locais. 
Figura 5 – Máximos e mínimos de uma função.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas parciais de 
primeira ordem de f existem nesses pontos, então:
Assim, se impusermos as condições acima na equação do plano tangente (21), obtemos 
z = z0, o que mostra que, se o gráfico de f tem um plano tangente em um ponto de 
máximo ou mínimo local, esse plano precisa ser horizontal.
Um ponto (a,b) é dito ser um ponto crítico de f se as condições (23) são obedecidas, 
ou se uma das derivadas parciais não existir. Se f tem um máximo ou mínimo local 
em (a,b), então (a,b) é um ponto crítico de f. Entretanto, nem todos os pontos críticos 
correspondem a um máximo ou mínimo. 
Precisamos ser capazes de determinar se uma função tem um valor extremo em um 
ponto crítico. Para tal, utilizamos o teste da segunda derivada: suponha que as segun-
46
das derivadas parciais de f sejam contínuas em uma região aberta com centro em (a,b) 
e que fx(a,b) = 0, fy(a,b) = 0 e
(a) Se D > 0 e fxx(a,b) > 0, então f(a,b) é um mínimo local.
(b) Se D > 0 e fxx(a,b) < 0, então f(a,b) é um máximo local.
(c) Se D < 0, então f(a,b) não é mínimo nem máximo local. Nesse caso, o ponto (a,b) é 
chamado de ponto de sela (figura 6).
(d) Se D = 0, o teste não fornece informação.
Figura 6 – Ponto de sela na origem.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Para procurar por extremos absolutos de uma função contínua f(x,y) em uma região 
fechada e limitada R, você deve seguir os três passos a seguir:
1. Liste os pontos interiores de R em que f possa ter máximos e mínimos locais e calcule 
f nesses pontos. Esses são os pontos críticos de f.
2. Liste os pontos da fronteira de R em que f tem máximos e mínimos locais e calcule f 
nesses pontos. 
3. Procure nas listas pelos valores máximo e mínimo de f. Esses serão os valores máxi-
mo e mínimo absolutos de f em R. 
47
Confira os exemplos!
Solução
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as derivadas parciais a zero, encontramos x = 1 e y = 3. Assim, o único ponto 
crítico é (1,3). Calculando D (equação (24)):
Como D > 0 e fxx (1,3) = 2 > 0, f(1,3) = (1)
2 + (3)2 – 2(1) – 6(3) + 14 = 4 é um mínimo local.
Exemplo 11
Seja: 
Determine os máximos e mínimos da função.
Exemplo 12
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de 
na região triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas x = 0, y = 0 e y = 
9 – x (figura 7).
48
Figura 7 – Domínio da função f(x,y).
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012).
Solução
Primeiramente, determinamos os pontos críticos de f localizados no domínio especifi-
cado para a função (figura 7). Para tal, obtemos: 
Igualando as derivadas acima a zero, obtemos o ponto crítico (1,1), que está localizado 
na região indicada. Temos f(1,1) = 4.
Vamos agora procurar por máximos e mínimos nas fronteiras. Considerando o segmen-
to OB (x = 0):
A expressão acima pode ser considerada uma função de y para o intervalo 0 ≤ y ≤ 9. 
Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades do intervalo e também no pon-
to de inflexão, o qual pode ser obtido se igualarmos a primeira derivada a zero:
49
Assim, os pontos (0,2), (0,9) e (0,1) são candidatos a máximos e mínimos absolutos. 
Repetimos agora o mesmo procedimento para OA (y = 0):
Para os extremos x = 0 e x = 9:
Como já analisamos os extremos do intervalo AB, consideramos agora apenas os pon-
tos interiores ao intervalo em que y = 9 – x:
Analisando os pontos de inflexão da função acima:
Analisando os resultados obtidos, verificamos que o valor máximo é 4, obtido no ponto 
(1,1), enquanto o valor mínimo é –61, obtido nos pontos (9,0) e (0,9).
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 2 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre pontos de máximo e mínimo.
50
NA PRÁTICA
Utilizando o conhecimento adquirido ao longo desta unidade, vamos resolver a 
seguinte questão. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de 
papelão. Como determinar o volume máximo da caixa?
Resolvendo a questão, temos que o volume da caixa é uma função de três 
variáveis, x, y e z. Temos também que a soma das áreas dos lados da caixa e 
do fundo deve dar 12 m2, e essas áreas podem também ser expressas como 
funções das variáveis x, y e z. A partir da soma das áreas, podemos expressar 
a variável z (altura da caixa) como função de x e y, e então o volume da caixa se 
torna . .
Devemos, então, achar o ponto de máximo dessa função, isto é, o ponto (x,y) para 
o qual V é máximo. Ao fazer os cálculos, devemos encontrar x = 2, y = 2, z = 1 e V 
= 4 m3.
51
Resumo da Unidade 2 
Nesta unidade, você aprendeu a calcular as derivadas parciais e direcionais. Também 
conheceu algumas técnicas de cálculo que possibilitam a obtenção dos máximos e 
mínimos de funções de várias variáveis.
Até a próxima unidade!
CONCEITO
Nesta unidade, discutimos as derivadas parciais e direcionais e máximos e 
mínimos de funções de várias variáveis. 
52
Referências
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Thomson, 2009. v. 2.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2012. v. 2.
Integral dupla
UNIDADE 3
54
Nesta unidade, você aprenderá o conceito de integral dupla e sua interpretação geomé-
trica. Também entenderá como o cálculo de algumas integraispode ser simplificado 
ao transformarmos tais integrais de coordenadas cartesianas em coordenadas polares. 
Por fim, aprenderá como as integrais duplas podem ser utilizadas para calcular áreas e 
volumes. 
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você será capaz de:
• Calcular integrais duplas em coordenadas cartesianas e polares.
• Aplicar as técnicas de integração desenvolvidas no cálculo de áreas e volumes.
OBJETIVO
55
Definição de integral dupla, interpretação 
geométrica e cálculo de integral dupla em 
coordenadas cartesianas
Definição de integral dupla
Nesta unidade, abordaremos a integral de uma função de duas variáveis f(x,y) sobre uma 
região no plano. Mais adiante, discutiremos algumas aplicações desse tipo de integral.
Considere uma função z = f(x,y) definida em uma região fechada e limitada R localizada 
no plano xy (figura 1). Traçando retas paralelas aos eixos x e y, respectivamente, podemos 
recobrir a região R por pequenos retângulos (figura 2(a)). 
Figura 1 – Projeção da função z = f(x,y) (região R). 
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 229).
Figura 2 – Retângulos recobrindo a região R.
Fonte: Modificado de Gonçalves e Flemming (2007, p. 230).
56
Vamos considerar somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em R, nu-
merando-os de 1 até n. Em cada retângulo Rk, escolhemos um ponto (xk,yk) e tomamos 
a soma 
em que ΔAk = Δxk . Δyk é a área do retângulo Rk.
Suponhamos agora que mais retas paralelas aos eixos x e y sejam traçadas, tornan-
do assim os retângulos cada vez menores (figura 2(b)). Se traçarmos muitas linhas, o 
número de retângulos tenderá a infinito (n ∞), com ΔAk 0 para cada retângulo. 
Assim,
existe e é chamado de integral dupla de f(x,y) sobre a região R,
Algumas observações importantes:
• A região R sobre a qual a soma (integral) é realizada é denominada região de inte-
gração.
• A soma (1) é chamada de soma de Riemann.
• O limite (2) deve independer dos pontos (xk,yk) escolhidos e também de como a 
região R é subdividida.
• A existência do limite (2) depende da função z = f(x,y) e também da região R. Va-
mos, então, supor que o contorno de R seja formado por um número finito de curvas 
suaves, isto é, curvas que não contenham pontos angulosos. Assim, se f for con-
tínua sobre R, teremos a garantia da existência da integral dupla.
57
Interpretação geométrica
Suponhamos que z = f(x,y) seja maior ou igual a zero sobre a região R. Observando a 
figura 3(a), vemos que o produto
representa o volume do prisma reto indicado na figura, cuja base é o retângulo Rk e cuja 
altura é f(xk,yk). Considerando então a soma (1), verificamos que ela representa uma 
aproximação do volume da porção do espaço localizada abaixo do gráfico de z = f(x,y) 
e acima de R no plano xy (figura 3(b)). 
Figura 3 – Interpretação geométrica da integral dupla: (a) como o volume do prisma reto indicado na figu-
ra; (b) como o volume da porção do espaço localizada abaixo do gráfico z = f(x,y). 
Fonte: Modificado de Gonçalves e Flemming (2007, p. 231).
Assim, quando f(x,y) ≥ 0, a integral
fornece o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferior-
mente pela região R e lateralmente pela superfície vertical cuja base é o contorno de R.
A seguir, veja algumas propriedades das integrais duplas. Ao enunciarmos as proprie-
dades que seguem, estaremos supondo que as funções f(x,y) e g(x,y) sejam contínuas 
sobre a região R. Dessa forma, garantiremos a existência das integrais duplas envolvidas.
58
Propriedades:
1. ∫∫ kf(x,y)dA = k∫ ∫ f(x,y)dA, para todo k real.
1. ∫∫ [f(x,y) ± g(x,y)]dA = ∫∫ f(x,y)dA ± ∫ ∫ g(x,y)dA.
1. Se f(x,y) ≥ g(x,y), para todo (x,y) R, então ∫∫ f(x,y)dA ≥ ∫ ∫ g(x,y)dA.
1. Se f(x,y) ≥ 0, para todo (x,y) R, então ∫∫ f(x,y)dA ≥ 0.
2. Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não têm pontos em comum 
(figura 4), exceto possivelmente pontos de fronteira, então
Figura 4 – Região R composta pelas sub-regiões R1 e R2.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 232).
Cálculo de integral dupla em coordenadas cartesianas
Considere que a região de integração é de um dos seguintes tipos:
Tipo I:
Tipo II:
Nesse caso, podemos calcular as integrais duplas por meio de duas integrações 
sucessivas, o que é estabelecido pelo teorema de Fubini:
1. Se R é do tipo I (figura 5(a)), então
59
2. Se R é do tipo II (figura 5(b)), então
Figura 5 – Regiões de integração do tipo I (a) e do tipo II (b).
Fonte: Modificado de Gonçalves e Flemming (2007, p. 233-234).
Para entender a integração sucessiva, vamos considerar a interpretação geométrica 
da integral (5). Supondo que f(x,y) ≥ 0 seja contínua sobre R, para cada valor fixo de x, a 
integral interna
é uma integral definida, com relação a y, da função f(x,y). Essa integral pode ser interpre-
tada como a área de uma seção transversal (paralela ao eixo y) do sólido cujo volume é 
calculado pela integral (5) (figura 6).
60
Vejamos alguns exemplos!
Solução
A figura 7 mostra o prisma, cuja altura é definida pelo plano z = f(x,y). Integrando f(x,y)
sobre x, por exemplo, encontramos a área de uma seção transversal do prisma paralela 
ao eixo x. 
Exemplo 1
Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy delimitado pelo 
eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo está no plano 
Figura 6 – Interpretação geométrica da integral interna em (5).
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 234).
61
Ao somarmos (integrarmos) as áreas de todas as seções transversais, encontraremos 
o volume do prisma. Como x varia da reta x = y até 1, teremos
Nesse caso, a integração também pode ser realizada na ordem inversa, isto é, podem-
os integrar primeiramente em y e depois em x. Isso ocorre sempre que a região de 
integração pode ser classificada tanto como tipo I quanto como tipo II. Para tal, basta 
observarmos se os limites de integração também podem ser invertidos. Como y varia 
de 0 até a reta y = x, teremos
Figura 7 – Prisma com base triangular.
Fonte: Modificado de Thomas, Weir e Hass (2012, p. 305).
62
Exemplo 2
Esboce a região de integração para a integral 
e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
Solução
Ao realizarmos uma integração dupla, é sempre importante esboçarmos a região de 
integração. Para a integral proposta, a região de integração é mostrada na figura 8. Ver-
ificamos que ela é dada pelas desigualdades x2 ≤ y ≤ 2x e 0 ≤ x ≤ 2, isto é, a região de 
integração é a região delimitada pelas curvas y = x2 e y = 2x entre x = 0 e x = 2.
Se quisermos realizar a integração na ordem invertida, isto é, primeiramente em x e de-
pois em y, deveremos alterar os limites de integração. Nesse caso, x variará entre as cur-
vas x = y/2 e x = (y)1/2. As equações foram obtidas a partir das curvas indicadas na figura. 
Figura 8 – Região de integração para a integral do exemplo 2. 
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 307).
Já em y, os limites de integração serão y = 0 e y = 4. Assim, a integral poderá ser reescri-
ta na forma
63
Dica 1
Calcule as integrais do exemplo 2. O valor de ambas é 8.
Dica 2
Ao realizar uma integral dupla, a escolha da ordem de integração pode simplificar 
os cálculos. Observe por exemplo a integral
A integração pode ser realizada em qualquer ordem, pois a região de integração 
(um retângulo) pode ser classificada como tipo I ou II. No entanto, a integração 
torna-se mais simples se realizada inicialmente em x, tratando y como uma 
constante. Ao realizarmos inicialmente a integração em y, teremos de lidar com 
uma integração por partes. Realize a integração e verifique que em ambos os 
casos o resultado é 1 + π/2.
Exemplo 3
Calcule a integral 
64
Solução
Essa integral não pode ser calculada na ordem de integração dada, uma vez que a 
função f(y) = e-y2 não possui primitiva entre as funções elementares do cálculo (primitiva 
é a função cuja derivação fornece a função em questão). Portanto, precisamos inverter 
a ordem de integração e os respectivos limites. A regiãode integração para a integral 
dada é mostrada na figura 9. Observando a integral, verificamos que y varia da reta y = 
4x até 4, enquanto x varia entre 0 e 1. Invertendo os limites de integração, verificamos 
que x varia entre 0 e a reta x = y/4, enquanto y varia de 0 a 4. Assim, temos:
Figura 9 – Região de integração para a integral do exemplo 3.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 238).
65
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 3 e veja o conteúdo complementar indicado 
pelo professor sobre cálculo de volume e integral dupla.
66
Coordenadas polares e cálculo de integral 
dupla em coordenadas polares
Coordenadas polares
Ao trabalharmos com as integrais duplas, mudanças de variáveis podem ser utilizadas 
para transformar uma dada integral em outra mais simples. Por essa razão, antes de 
avançarmos no estudo das integrais duplas, discutiremos as coordenadas polares e sua 
relação com as coordenadas cartesianas. 
A figura 10 mostra que um ponto P pode ser localizado no plano por suas coordenadas 
cartesianas (x, y) ou por meio de suas coordenadas polares (r, θ). 
Figura 10 – Coordenadas polares.
As equações
dão-nos as coordenadas cartesianas do ponto P em termos de suas coordenadas 
polares, isto é, fornecem as relações x(r,θ) e y(r,θ). Verificamos, então, que uma função 
f(x,y) pode ser escrita como f(x(r,θ),y(r,θ)). Assim, por meio de uma mudança de variáveis, 
podemos fazer a seguinte transformação:
67
em que dAxy é o elemento de área em coordenadas cartesianas, enquanto dArθ é o 
elemento de área em coordenadas polares. A transformação (8) requer que a região 
de integração R, em coordenadas cartesianas, também seja transformada para 
coordenadas polares, o que implica a definição de uma região R’ nesse novo sistema de 
coordenadas.
Cálculo de integral dupla em coordenadas polares
Quando calculamos uma integral dupla definida, a mudança de variáveis vem 
acompanhada por uma correspondente mudança nos limites de integração. Assim, por 
meio de uma mudança de variáveis
uma integral dupla sobre uma região R do plano xy pode ser transformada em uma 
integral dupla sobre uma região R’ do plano uv.
Se a transformação leva pontos distintos de R’ a pontos distintos de R, dizemos que ela 
é uma aplicação um a um e que a correspondência entre as regiões R e R’ é bijetora. 
Nesse caso, podemos retornar de R a R’ pela transformação inversa,
Considerando que as funções em (9) e (10) são contínuas, com derivadas parciais 
contínuas em R’ e R, respectivamente, temos
em que
68
é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v. A transformação (20) é válida 
apenas se as regiões R e R’ são formadas por um número finito de sub-regiões do tipo I 
ou II, e se em R’ ou se anula em um número finito de pontos de R’.
Considerando, então, as coordenadas polares, as equações (7) podem ser vistas como 
uma transformação que leva pontos (r,θ) do plano rθ a pontos (x,y) do plano xy. O deter-
minante jacobiano, nesse caso, é dado por
Assim, a fórmula (20) torna-se
No cálculo das integrais, podemos considerar que
ou 
Exemplo 4
Calcule
em que a região de integração R é o círculo de centro na origem e raio 2.
69
Solução
Para resolver a integral I, vamos utilizar as coordenadas polares. Para isso, devemos 
identificar a região R’ no plano rθ que corresponde à região R no plano xy. A figura 11 
mostra a região R, cujo contorno é a circunferência 
x2 + y2 = 4.
Figura 11 – Região de integração para a integral do exemplo 4.
Fonte: Modificado de Gonçalves e Flemming (2007, p. 247).
Verificamos que um ponto P localizado em R terá coordenadas polares r e θ obedecen-
do às seguintes inequações:
Assim, no plano rθ, a região R’ seria um retângulo de base 2 e altura 2π. Utilizando (23):
Como
70
temos
Vejamos alguns exemplos!
Solução
Vamos primeiramente fazer a transformação da integral usando a equação (23),
Vamos, agora, definir seus limites de integração em coordenadas polares. Para tal, 
considere a região de integração R mostrada na figura 12.
Figura 12 – Região de integração para a integral do exemplo 5.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 317).
Exemplo 5
Transforme a integral 
para coordenadas polares e determine seu valor sobre a região semicircular R 
limitada pelo eixo x e a curva y = (1 – x2)1/2.
71
É fácil perceber que, nesse caso, 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ π. Logo,
Para encontrar os limites de integração em coordenadas polares, faça 
primeiramente um esboço da região de integração R em coordenadas cartesianas 
e identifique as curvas limitantes. Em seguida, verifique entre quais limites r varia; 
lembre-se de que r cresce a partir da origem. Por fim, identifique entre quais 
valores o ângulo θ varia, lembrando que ele cresce a partir do eixo dos x, no 
sentido anti-horário. Para praticar, considere as regiões sombreadas mostradas 
na figura 13. O raio indicado por L ajuda a identificar os limites de r. 
Figura 13 – Para integrar sobre a região sombreada, variamos: (a) r entre 1 e r = 1 + cosθ, 
θ entre –π/2 e π/2; (b) r entre 0 e r = [4cos(2θ)]1/2, θ entre –π/4 e π/4.
Fonte: Modificado de Thomas, Weir e Hass (2012, p. 316).
Importante
72
Exemplo 6
Encontre o volume da região sólida delimitada superiormente pelo paraboloide z 
= 9 – x2 – y2 e inferiormente pela circunferência unitária no plano xy. 
Solução
A região de integração R é a circunferênciaf unitária x2 + y2 = 1, mostrada na base do 
sólido da figura 14.
Figura 14 – Região sólida do exemplo 6.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 317).
Verificamos, então, que 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. O volume do sólido é então dado pela in-
tegral dupla
MIDIATECA
Acesse a midiateca da Unidade 3 e veja o conteúdo complementar indicado pelo 
professor sobre teorema de Fubini.
73
Aplicação: áreas e volumes
Cálculo de volume
No início desta unidade, discutimos a interpretação geométrica da integral dupla. Vimos 
que, para f(x,y) ≥ 0, a integral
calculada sobre uma região R fornece o volume do sólido delimitado superiormente 
pelo gráfico z = f(x,y), inferiormente por R e lateralmente pela superfície vertical cuja 
base é o contorno de R.
Figura 15 – Região sólida do exemplo 7.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 258).
Solução
Observamos que z = x2 + y2 – 9 ≤ 0 para x2 + y2 ≤ 9. Portanto, para encontrar o volume, 
temos que considerar o módulo da integral (26),
Exemplo 7
Calcule o volume do sólido a seguir do plano xy delimitado por z = x2 + y2 – 9. 
74
Exemplo 8
Calcule o volume do tetraedro mostrado na figura 16.
Figura 16 – Região sólida do exemplo 8. 
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 262).
Solução
Primeiramente, devemos determinar a equação do plano que define a superfície inclina-
da do tetraedro, isto é, a superfície que passa pelos pontos (2,0,0), (0,1,0) e (0,0,3). A 
equação do plano pode ser escrita na forma
f(x,y) z = ax + by + c.
Utilizando as triplas indicadas na equação do plano,
e
75
Logo,
Agora, vamos identificar a região de integração R (plano xy). Ela é delimitada pelos eixos 
x e y, e também pela reta que passa pelos pontos (2,0) e (0,1). A equação da reta pode 
ser determinada do mesmo modo que a equação do plano: sabemos que ela tem a for-
ma geral y = ax + b, logo
Assim,
Como a região de integração é triangular, não há necessidade de fazer a transformação 
para coordenadas polares. Logo, o volume é dado pela integral
.
𝑉
76
Cálculo de áreas de regiões planas
Se na expressão (26) consideramos f(x,y) = 1, obtemos
o que nos dá a área da região de integração R. Se R for uma região do tipo I, teremos
Assim, no cálculo das áreas, o problema se reduz a uma integração simples.
Figura 17 – Região sólida do exemplo 9.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 263).
Para simplificar, vamos considerar a integral interna em x. Verificamos, então, que x 
varia entre x = y2 + 1 e x = 3 – y, enquanto y varia entre –2 e 1. Logo,
Exemplo 9
Calcule a área da região R delimitada por x = y2 + 1 e x + y = 3.
A figura 17 nos mostraa área da região de integração R.
77
Dica 3
Para regiões de integração como a indicada na figura 18, o ideal é utilizar a 
propriedade
Observe a figura.
Figura 18 – Região de integração formada por duas sub-regiões.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 264).
Para a região mostrada na figura, podemos fazer a seguinte separação:
78
Calcule a área da região mostrada (f(x,y) = 1) e veja que ela vale 72 unidades de área.
MIDIATECA
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professor sobre mudanças de coordenadas e coordenadas polares.
NA PRÁTICA
As integrais duplas possuem várias aplicações em física. Considere, por exemplo, 
uma lâmina plana com uma distribuição de massa não homogênea, isto é, a 
densidade da lâmina varia com a posição ao longo do objeto. Desse modo, a 
densidade pode ser escrita como uma função de x e y: p(x,y) (consideramos a 
lâmina posicionada no plano xy). Imagine agora que você particionou a lâmina em 
pequenos pedaços, cada um com área dA = dxdy e massa dM. Lembrando que a 
definição de densidade que se aplica nesse caso é massa/área, como a massa 
total da lâmina poderia ser calculada a partir de p(x,y)?
Resposta: 
79
Resumo da Unidade 3 
Nesta unidade, você estudou o conceito de integral dupla e sua interpretação geométri-
ca. Também aprendeu a calcular tais integrais em coordenadas cartesianas e polares, e 
viu como elas podem ser utilizadas no cálculo de áreas e volumes.
Até a próxima unidade!
Nesta unidade, discutimos o conceito de integral dupla e sua interpretação 
geométrica. Abordamos, também, as coordenadas polares e como as integrais 
duplas podem ser utilizadas no cálculo de áreas e volumes.
CONCEITO
80
Referências
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. v. 2. 
Integral tripla
UNIDADE 4
82
OBJETIVO
Nesta unidade, você irá aprender a calcular as integrais triplas. Também irá entender como 
elas podem ser transformadas de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas 
e/ou esféricas. Por fim, irá aprender a aplicar as técnicas de integração desenvolvidas no 
cálculo de volumes. 
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você irá:
• Calcular integrais triplas utilizando coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
• Aplicar as técnicas de integração desenvolvidas no cálculo de volumes.
83
Definição de integral tripla, interpretação 
geométrica, cálculo de integrais triplas e 
técnicas de integração
Nesta unidade, apresentaremos as integrais triplas. Nesse caso, a função a ser integrada 
é uma função de três variáveis w = f(x,y,z), definida sobre uma região T do espaço 
tridimensional. As ideias envolvidas no cálculo das integrais triplas são as mesmas 
empregadas na unidade anterior, quando estudamos a integral dupla. Por essa razão, 
faremos uma breve explanação e apontaremos os principais resultados, dando ênfase 
aos exemplos e aplicações.
Seja w = f(x,y,z) uma função definida e contínua em uma região fechada e limitada T 
do espaço. Podemos subdividir T em pequenas regiões traçando planos paralelos aos 
planos coordenados (figura 1).
Figura 1 – Sub-regiões de uma região fechada e limitada T (região sólida do exemplo 8).
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 273).
Enumeramos agora os paralelepípedos no interior de T de 1 até n. Em cada paralelepípedo 
Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk,yk,zk). Tomando a soma
84
em que ΔVk é o volume do paralelepípedo Tk, em seguida podemos tomar o limite no 
qual o número de sub-regiões é muito grande, isto é, n ∞. Isso equivale a dizer que ΔVk 
0. Assim, se o limite 
existir, ele é chamado de integral tripla de f(x,y,z) sobre a região T, e o representamos por
Seguem abaixo algumas propriedades das integrais triplas:
1)
 
2)
 
3) 
Em que T =T1U T2. 
Cálculo de integrais triplas e técnicas de integração
As integrais triplas são calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de 
integrações sucessivas. Podemos inclusive utilizar os conhecimentos adquiridos na 
unidade anterior se reduzirmos, inicialmente, a resolução da integral tripla ao cálculo de 
uma integral dupla. A seguir, analisamos algumas situações.
Caso 1 
Nesse caso, a região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h1(x,y) e 
superiormente pelo gráfico de z = h2(x,y), em que h1 e h2 são contínuas sobre a região R 
do plano xy (figura 2). Observando a figura, verificamos que
85
Figura 2 – Região de integração T para o caso 1.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 275).
Assim, se a região R for do tipo I (unidade 3),
a integral tripla (4) pode ser reescrita na forma
Caso 2 
Agora a região T é delimitada à esquerda pelo gráfico y = p1(x,z) e à direita pelo gráfico 
y = p2(x,z), em que p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R’ no plano xz (figura 3). 
Nesse caso, temos
86
Figura 3 – Região de integração T para o caso 2.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 275).
Caso 3 
Nesse último caso, a região T é delimitada na parte de trás pelo gráfico da função x = 
q1(y,z) e na frente pelo gráfico de x = q2(y,z), em que q1 e q2 são funções contínuas sobre 
a região R’’ do plano yz (figura 4). Para esse caso, 
Figura 4 – Região de integração T para o caso 3.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 276).
87
Vamos agora aos exemplos.
Solução
O sólido T pode ser visto na figura 5. Superiormente, é limitado pelo plano x + y + z = 
8, isto é, pela superfície z = 8 – x – y. Na parte inferior, o sólido é limitado por z = 0. A 
projeção de T sobre o plano xy é o círculo x2 + y2 = 25. 
Figura 5 – Sólido T (a) e sua projeção sobre o plano xy (b).
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 277).
Logo,
em que a última integral deve ser calculada sobre a região R. Nesse caso, a integral torna-
se mais simples se utilizarmos as coordenadas polares,
Calcule I = ∫∫∫xdV, em que a região de integração T é o sólido delimitado pelo 
cilindro x2 + y2 = 25, pelo plano x + y + z = 8 e pelo plano xy.
Exemplo 1
88
𝐼
Expresse na forma de uma integral iterada tripla a integral I = ∫∫∫dV, em que a região 
de integração T é a região delimitada por x2 + y2 + z2 = 4 e x2 + y2 = 3z (figura 6).
Exemplo 2
Solução
A equação x2 + y2 + z2 = 4 representa uma esfera com centro na origem e raio 2. Já a 
equação x2 + y2 = 3z descreve um paraboloide com vértice na origem e concavidade para 
cima (figura 6 (a)).
Figura 6 – (a) Esfera com raio 2 centrada na origem e paraboloide com vértice na origem; (b) região de 
integração T.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 280).
A figura 6 (b) mostra a região T, delimitada inferiormente pelo paraboloide z = 1/3 (x2 + y2) 
e superiormente pelo hemisfério (parte superior da esfera) z = √(4 – x2 – y2). Podemos, 
então, escrever
89
Para definir os limites de integração em x e y, devemos olhar para a projeção de T sobre 
o plano xy (figura 7) e determinar a interseção das duas superfícies que delimitam T. Para 
tal, substituímos x2 + y2 = 3z em x
2 + y2 + z2 = 4,
Como a interseção ocorre para z > 0, z = 1. Assim, a região de integração no plano xy 
(projeção de T) é a circunferência x2 + y2 = 3. Portanto,
Figura 7 – Projeção da região T sobre o plano xy (exemplo 2).
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 281).
MIDIATECA
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professor sobre integral tripla.
90
Coordenadas cilíndricas e esféricas
Assim como fizemos para as integrais duplas na unidade anterior, também podemos 
introduzir novas variáveis de integração na integral tripla. Portanto, ao introduzirmos 
novas variáveis de integração u, v e w por meio das equações
x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z (u, v, w), (8)
a integral
pode ser expressa na forma
em que T’ é a região correspondente a T no espaço u, v, w, e ∂(x,y,z)/∂(u,v,w)é o 
determinante jacobiano de x, y e z em relação a u, v e w. 
A seguir, vamos explorar algumas situações particulares envolvendo as coordenadas 
cilíndricas e esféricas, as quais simplificarão bastante o cálculo das integrais triplas. 
Coordenadas cilíndricas
Um ponto P no espaço, cujas coordenadas cartesianas são (x,y,z), também pode ser 
localizado por suas coordenadas cilíndricas (figura 8),
em que r e θ são as coordenadas polares da projeção de P sobre o plano xy. Portanto, 
as coordenadas cilíndricas combinam as coordenadas polares no plano xy com a 
coordenada no eixo z.
91
Figura 8 – Coordenadas cilíndricas de um ponto P no espaço.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 336).
As coordenadas cilíndricas e retangulares (cartesianas) estão relacionadas por meio das 
equações
O jacobiano de x, y e z em relação às novas variáveis é
Assim,
em que T’ é a região T descrita em coordenadas cilíndricas.
Se a região T se enquadra no caso 1, podemos escrever
em que g1(r,θ) e g2(r,θ) são as superfícies inferior e superior, respectivamente, que 
delimitam T, e R’ é a projeção de T sobre o plano xy (descrita em coordenadas polares).
92
Encontre os limites de integração em coordenadas cilíndricas para a integração 
de uma função f(r,θ,z) sobre a região D delimitada inferiormente pelo plano z = 0, 
lateralmente pelo cilindro circular x2 + (y – 1)2 = 1 e superiormente pelo paraboloide 
z = x2 + y2 (figura 9).
Exemplo 3
Solução
A base da região D é também sua projeção sobre o plano xy. A fronteira de D é dada pelo 
cilindro circular x2 + (y – 1)2 = 1, o qual pode ser expresso em coordenadas polares como
Figura 9 – Região D do exemplo 3.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 338).
Para encontrar os limites de integração em z, seguimos a seta indicada por M na figura 9. 
Verificamos, então, que 0 ≤ z ≤ x2 + y2 (ou 0 ≤ z ≤ r2). Já os limites de integração em r podem 
ser determinados se seguirmos a seta indicada por L na figura 9. Nesse caso, 0 ≤ r ≤ 2sin θ, 
uma vez que a fronteira de D é a circunferência x2 + (y – 1)2 = 1. Também podemos utilizar 
93
a seta indicada por L para encontrar o limite de integração em θ. À medida que L varre a 
base da figura, o ângulo θ formado entre a seta e o eixo x positivo varia de 0 a π. Assim, 
Solução
A região T é mostrada na figura 10 (a), enquanto sua projeção sobre o plano xy é 
apresentada na figura 10 (b).
Figura 10 – Região de integração T para o exemplo 4 (a) e sua projeção sobre o plano xy.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 286).
Calcule I = ∫∫∫(x2 + y2)dV sobre a região de integração T delimitada pelo plano xy, 
pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo cilindro x2 + y2 = a2, em que a é um número real 
qualquer.
Exemplo 4
94
Observando a figura, verificamos que T é limitada inferiormente por z = 0 e, na parte 
superior, pelo paraboloide z = x2 + y2, cuja equação em coordenadas cilíndricas é z = r2. 
Portanto,
em que
Assim,
Coordenadas esféricas 
As coordenadas esféricas (ρ,θ,Φ) de um ponto P(x,y,z) no espaço são mostradas na 
figura 11. 
Figura 11 – Coordenadas esféricas de um ponto P no espaço.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 340).
95
A coordenada ρ, chamada de coordenada radial, é a distância do ponto P até a origem 
(ρ ≥ 0). A coordenada θ é a mesma das coordenadas cilíndricas, e a coordenada Φ é 
o ângulo formado pelo eixo z positivo e o segmento que une P à origem. Note que θ 
coincide com o ângulo polar, e por essa razão
0 ≤ θ ≤ 2 π ou -π ≤ θ ≤ π.
Para a coordenada Φ, o intervalo de variação é 0 ≤ Φ ≤ π: quando Φ = 0, o ponto P estará 
sobre o eixo z positivo, e quando Φ = π, sobre o eixo negativo dos z.
Observando a figura 11, é fácil perceber que as coordenadas cilíndricas e esféricas estão 
relacionadas por meio das equações
Combinando as equações (12) e (16), obtemos
as quais relacionam as coordenadas esféricas com as coordenadas cartesianas. A partir 
dessas equações, é possível transformar uma integral tripla em coordenadas cartesianas 
em uma integral tripla em coordenadas esféricas. Para tal, vamos utilizar a equação (10). 
Calculando, então, o jacobiano,
Em alguns livros de cálculo, a definição dos sistemas de coordenadas cilíndricas 
e esféricas é um pouco diferente da que foi adotada neste texto. Por exemplo, a 
coordenada ρ das esféricas é chamada de r, enquanto a coordenada r das cilíndricas 
é chamada de ρ. Por essa razão, é sempre importante entender como o sistema 
de coordenadas é definido para um texto em particular. No entanto, a análise das 
integrais realizada aqui não é comprometida devido a essas diferenças. 
Importante
96
temos
em que dV = dxdydz e T’ são a região de integração T escrita em coordenadas esféricas. 
Nos exemplos a seguir, veremos que as coordenadas esféricas são particularmente úteis 
nas situações que envolvem esferas, cones e outras superfícies cujas equações tornam-
se mais simples nesse sistema de coordenadas. 
Figura 12 – Elementos de volume em: (a) coordenadas cilíndricas; (b) coordenadas esféricas.
Fonte: Thomas, Weir e Hass (2012, p. 337 e 341).
Observando as equações (14) e (19), verificamos que os elementos de volume em 
coordenadas cilíndricas e esféricas são, respectivamente,
dV = rdrdθdz (coordenadas cilíndricas)
dV = ρ2 sin ΦdρdΦdθ (coordenadas esféricas)
Importante
97
Calcule a integral I = ∫∫∫xdxdydz, em que a região de integração T é a esfera sólida 
x2 + y2 + z2 ≤ a2.
Exemplo 5
Solução
Em coordenadas esféricas, a equação da esfera x2 + y2 + z2 = a2 torna-se ρ = a (basta 
substituir as relações (17) na equação da esfera). Portanto, a região de integração T 
(figura 13) pode ser escrita em coordenadas esféricas como
Figura 13 – Região de integração T para o exemplo 5.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 291).
Portanto,
98
em que utilizamos as relações (17), incluindo os limites de integração,
uma vez que ∫0
2πcosθdθ = 0. Observe que podemos escrever a integral I como o produto 
de três integrais, já que os limites de integração são números, e não funções das outras 
variáveis envolvidas no problema.
Solução
A região de integração T é mostrada na figura 14. Em coordenadas esféricas, a equação 
da esfera x2 + y2 + z2 = 16 torna-se ρ = 4. Já a equação do cone é transformada da seguinte 
maneira:
o que indica que Φ = π⁄4 (equação do cone em coordenadas esféricas). Observando a 
figura 14, verificamos que a região de integração em coordenadas esféricas é
Calcule I = ∫∫∫zdxdydz, em que a região de integração T é limitada superiormente 
pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e inferiormente pelo cone z = √(x2 + y2).
Exemplo 6
99
Logo,
Figura 14 – Região de integração T para o exemplo 6.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 292).
Solução
Observando a figura 15, é fácil perceber que 0 ≤ θ ≤ 2π e π⁄6 ≤ Φ ≤ π⁄2. Para encontrarmos 
a variação de ρ, devemos transformar a equação do cilindro para coordenadas esféricas. 
Tal transformação resulta em ρsin Φ = α. Como 
Descreva, em coordenadas esféricas, o sólido T limitado inferiormente pelo plano xy, 
superiormente pelo cone Φ = π⁄6 e lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = a2 (figura 15).
Exemplo 7
100
Figura 15 – Região de integração T para o exemplo 7.
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 294).
MIDIATECA
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professor sobre teorema de Fubini — solução de integrais triplas.
101
Aplicações: volumes
Seja T um corpo ou sólido delimitado por uma região fechada do espaço. Para calcular o 
volume desse corpo, podemos subdividir T por planos paralelos aos planos coordenados, 
como foi feito no início desta unidade (figura 1). Se Tk representa um elemento qualquer 
obtido nessa subdivisão, o volume total do sólido pode ser calculado a partir da soma 
dos volumes de todos os elementos que o compõem,
O volume do corpo é definido pelo limite da soma (20) quando n ∞, isto é, quando ΔVk 
0 (se esse limite existir). Assim,
ou
em que a integral deve ser realizada sobre T.
Calcule ovolume do sólido delimitado inferiormente por z = 3 – y/2, superiormente 
por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a região R delimitada 
por y = x2 e y = 4 (figura 16).
Exemplo 8
102
Solução
A figura 16 mostra o sólido e sua projeção sobre o plano xy (região R). Examinando a 
figura, podemos verificar que z varia entre z = 3 – y/2 e z = 6. Como a região R é delimitada 
por y = x2 e y = 4, temos x2 ≤ y ≤ 4 e –2 ≤ x ≤ 2. Logo,
Figura 16 – Região de integração T para o exemplo 8 (a) e sua projeção sobre o plano xy (b).
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 297).
𝑉
Calcule o volume do sólido T delimitado por y = 0, z = 0, y + z = 5 e z = 4 – x2.
Exemplo 9
103
Solução
A figura 17 mostra o sólido cujo volume queremos calcular e sua projeção sobre o 
plano yz. Observando a figura, verificamos que é mais simples realizar primeiramente a 
integração y. Portanto,
Considerando agora a projeção do sólido sobre o plano yz, temos:
Figura 17 – Região de integração T para o exemplo 9 (a) e sua projeção sobre o plano yz (b).
Fonte: Gonçalves e Flemming (2007, p. 282).
𝐼
104
MIDIATECA
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professor sobre mudança de variáveis — coordenadas cilíndricas e aplicações.
NA PRÁTICA
Assim como as integrais duplas, as integrais triplas também possuem várias 
aplicações em física. Considere, por exemplo, que um determinado corpo está 
eletrificado e possui uma densidade volumétrica de carga descrita por uma função 
ρ(x,y,z). O fato de ρ variar com as coordenadas x, y e z significa que a distribuição de 
carga não é homogênea. Sabendo que a densidade volumétrica de carga é definida 
como carga/volume, como a carga total do corpo poderia ser calculada a partir de 
ρ(x,y,z)? 
Resposta: 
Considerando um elemento de volume do corpo, teremos ρ = dq⁄dV, em que dq é a 
carga do elemento de volume. Para o corpo como um todo, q = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ(x,y,z)dV.
105
CONCEITO
Resumo da Unidade 4
Nesta unidade, você aprendeu a calcular as integrais triplas utilizando coordenadas 
cartesianas, cilíndricas e esféricas. Também aprendeu a calcular volumes utilizando 
essas integrais. 
Nesta unidade, discutimos o conceito de integral tripla e sua interpretação 
geométrica. Discutimos também as coordenadas cilíndricas e esféricas e como 
as integrais triplas podem ser utilizadas no cálculo de volumes.
106
Referências 
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo B. São Paulo: Pearson, 2007.
THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2012. v. 2.