Integrais Duplas (retangulares e polares)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO GRANDE DO SUL
Engenharia em Energia
Cálculo II
Prof. Rosandra Santos Mottola Lemos
Integração de Funções de Várias Variáveis
A noção de integral definida pode ser estendida para funções de duas ou
mais variáveis. Enquanto as funções de uma variável são, geralmente, integradas em
intervalos, as funções de duas variáveis são usualmente integradas em regiões do
espaço bidimensional e as funções de três variáveis em regiões do espaço
tridimensional. Veremos como essas integrais podem ser usadas para calcular áreas
de superfícies e volumes de sólidos; e, também, como elas podem ser usadas para
determinar massas e centros de gravidade de superfícies planas e sólidos
tridimensionais. 
1- Integrais Duplas 
1.1 – Volume e Definição de Integral Dupla
Lembre-se que a integral definida de uma função positiva de uma variável
∫a
b
f x d x= lim
n∞
∑
k=1
n
f xk
∗  xk (1)
pode ser interpretada como a área compreendida entre o gráfico de f x e o
intervalo [a ,b] . [Na expressão (1), usamos o “limite quando n∞ “ para
sintetizar o processo pelo qual aumentamos o número de subintervalos de [a,b]
de tal modo que os comprimentos dos subintervalos tendam a zero].
Consideremos agora o seguinte problema: dada uma função f de duas
variáveis, contínua e não-negativa numa região R do plano x y , encontrar o
volume do sólido compreendido entre a superfície z= f x , y e a região R,
conforme à figura ao lado.
Procedemos da seguinte forma:
● Usando retas paralelas aos eixos coordenados, dividimos a região R em
sub-retângulos, desconsiderando todos os sub-retângulos que contenham
pontos fora de R . Suponhamos que
haja n sub-retângulos no interior de
R e denotamos a área do k-ésimo
retângulo por Ak .
● Escolhemos um ponto aribitrário em
cada sub-retângulo e denotemos o
ponto do k-ésimo retângulo por
xk
∗ , yk
∗ .
● Como mostra a figura ao lado, o produto
f xk
∗ , yk
∗ Ak . é o volume do
paralelepípedo retangular com área da
base Ak e altura f xk
∗ , yk
∗ , de
modo que o somatório
∑
k=1
n
f xk
∗ , yk
∗  Ak.
pode ser considerado como uma 
 aproximação do volume do sólido inteiro.
● Fazendo n∞ , aumentamos o
número de sub-retângulos de R de
modo que tanto os comprimentos
quanto as larguras desses retângulos
tendam a zero e, assim, o volume exato 
 do sólido será
V= lim
n∞
∑
k=1
n
f xk
∗ , yk
∗  Ak . (2)
Assim, estendemos o conceito transmitido pela Fórmula (1), em que a integral
definida de uma função de uma variável é expressa com um limite de somas de
Riemann. Por extensão, as somas em (2) também são denominadas somas de
Riemann e o limite das somas de Riemann é denotado por
∫∫
R
f x , y dA= lim
n∞
∑
k=1
n
f xk
∗ , yk
∗ Ak (3)
que é denominada integral dupla de f x , y em R .
Obs. : Se f possui tanto valores positivos como negativos na região R , então um
valor positivo para a integral dupla de f em R significa que há mais volume
acima do que abaixo de R ; um valor negativo para a integral dupla siginifica que
há mais volume abaixo do que acima de R ; e o valor zero siginifica que o volume
acima é igual ao volume abaixo de R .
1.2 -Cálculo de Integrais Duplas em Regiões Retangu lares
Vamos calcular integrais duplas através do cálculo de duas integrais simples
sucessivas.
Já sabemos que as derivadas parciais de uma função f x , y são
calculadas mantendo-se uma das variáveis fixa e diferenciando em relação à outra
variável. Consideremos o inverso deste processo, a integração parcial . Os símbolos
∫a
b
f x , y dx e ∫c
d
f x , y dy
denotam integrais definidas parciais; a primeira integral é calculada mantendo-se
y fixo e integrando em relação a x e a segunda integral é calculada mantendo-
se x fixo e integrando em relação a y.
Exemplo 1 : Calcule as seguintes integrais parciais
a) ∫0
1
x y2 dx
b) ∫0
1
x y2 dy
Como mostra o exemplo anterior, uma integral definida parcial em relação a
x é uma função de y e, portanto, pode ser integrada em relação a y ; da
mesma forma, uma integral parcial em relação a y , pode ser integrada em relação
a x. Esse processo de integração em dois estágios é chamado integração iterada
(ou repetida ). 
Introduzimos a seguinte notação:
∫c
d
∫a
b
f x , ydx dy=∫c
d [∫a
b
f x , ydx]dy
∫a
b
∫c
d
f x , ydydx=∫a
b [∫c
d
f x , ydy]dx
Exemplo 2 : Calcule ∫
−3
2
∫0
1
x y2 dy dx.
O teorema a seguir mostra que para qualquer função contínua em uma região
retangular R, não importa em qual ordem integramos sobre esta região; de
qualquer modo encontramos o mesmo valor para a integral dupla.
Teorema 1 : Seja R o retângulo definido pelas desigualdades axb , cyd
Se f x , y for contínua nesse retângulo, então
∫∫
R
f x , y dA=∫c
d
∫a
b
f x , y dx dy=∫a
b
∫c
d
f  x , y dy dx
Obs. : Muitas vezes, denotamos o retângulo {x , y: axb , cyd } por
[a ,b]×[c , d ] para simplificar.
Exemplo 3 : Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido delimitado
acima pelo plano z=4−x−y e abaixo pelo retângulo R=[0,1]×[0,2] .
Exercícios : seção 15.1 do Livro do Anton, Cálculo - vol. 2, 8ª Edição (2007),
exercícios do número 1 ao 16, 19, 21 a 23, 27 ao 30.
1.3 – Integrais Duplas em Regiões Não-Retangulares
Vamos mostrar como calcular integrais duplas em regiões não-retangulares.
Limitaremos nosso estudo a dois tipos básicos de regiões, que chamaremos de
verticalmente simples e horizontalmente simples .
Definição 1 :
a) Uma região é verticalmente simples quando é limitada à esquerda e à
direita por retas verticais x=a e x=b e limitada abaixo e acima por funções
contínuas y=g1 x e y=g2x , onde g1xg2x para axb .
b) Uma região é horizontalmente simples quando é limitada abaixo e acima
por retas horizontais y=c e y=d e limitada à esquerda e à diretia por funções
contínuas x=h1 y e x=h2 y , onde h1 yh2 y para cyd .
 
Região Verticalmente Simples Região Horizontalmente Simples
O teorema a seguir nos permite calcular integrais duplas em regiões
verticalmente e horizontalmente simples usando integrais iteradas.
Teorema 2 :
a) Se R é uma região verticalmente simples na qual f x , y é contínua,
então
∫∫
R
f x , y dA=∫a
b
∫g1 x
g2x 
f x , y dy dx
b) Se R é uma região horizontalmente simples na qual f x , y é
contínua, então
∫∫
R
f x , y dA=∫c
d
∫h1 y 
h2  y
f x , y dx dy
Obs. :
● Os limites na integral exterior devem ser constantes.
● Se a integral interior é com relação a x , seus limites devem ser constantes
ou expressões em função de y , e vice-versa.
Exemplo 4 : Calcule ∫∫
R
xy dA na região R compreendida pelas curvas
y=
1
2
x , y= x , x=2 e x=4 .
Exemplo 5 : Calcule ∫∫
R
2 x−y2 dA na região triangular R compreendida
pelas retas y=−x1, y=x1 e y=3.
Exemplo 6 : Use uma integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado
pelos planos coordenados e o plano z=4−4 x−2 y .
1.4 – Inversão da Ordem de Integração para Regiões Não-Retangulares
Ás vezes, pode ser útil inverter a ordem de integração numa integral iterada.
Uma integral que é difícil ou impossível com os limites numa dada ordem de
integração pode ser bastante razoável na outra. O exemplo a seguir ilustra tal caso.
Exemplo 7 : Como não há antiderivada elementar da função e y
2
, a integral dupla
∫0
2
∫x/2
1
e y
2
dy dx
não pode ser calculada integrando primeiro em relação a y. Calcule esta integral,
invertendo a ordem de integração.
R
R
1.5 – Área calculada como uma integral dupla
Suponha que f x , y=1 para todos os pontos x , y numa região R.
Então, a integral dupla ∫∫
R
1 dA nos dá o volume do
sólido cilíndrico tendo o plano z=1 como topo (altura
1) e área da base como sendo a área da região R.
Assim, 
∫∫
R
1 dA= área de R⋅1 ,
ou seja,
área deR=∫∫
R
1 dA=∫∫
R
dA . (4)
Obs. : A fórmula (4) pode gerar confusão porque iguala uma área e um volume; o que
a fórmula pretende equacionar são os valores numéricos da área e do volume e não
as unidades de medida, que, naturalmente, são diferentes.
Exemplo 8 : Calcule a área da região limitada pelas curvas y=x , x⋅y=1 e
y=2.
Exercícios : seção 15.2 do Livro do Anton, Cálculo - vol. 2, 8ª Edição (2007),
exercícios do número 1 ao 26, 29, 31, 33, 35, 37, 45 ao 55.
1.6 – Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Coordenadas polares são outro modo de descrever pontos no plano xy .
Suponha que um ponto tem coordenadas cartesianas x , y . A coordenada r é
a distância do ponto x , y até a origem do sistema de coordenadas do plano. Esta
distância, pelo teorema de Pitágoras, é dada por r= x2 y2 . A coordenada  é
o ângulo que o raio faz com a metade positiva do eixo x . (Veja a figura abaixo.)
Este ângulo é dado por =arctan yx .
Por outro lado, dadas as coordenadas r ,  ,
podemos determinar as coordenada cartesianas
do ponto, tomando x=r cos e y=r sen .
Algumas integrais duplas são mais fáceis de calcular se a região de
integração for expressa em coordenadas polares. São regiões como círculos ou
setores circulares, por exemplo. Além disso, as integrais duplas cujos integrandos
envolvem x2 y2 também tendem a ser mais fáceis de calcular em coordenadas
polares porque essa soma é igual a r 2 quando são aplicadas as fórmulas de
conversão x=r cos e y=r sen .
Um retângulo polar é uma região em que as 
curvas que a delimitam são arcos circulares. Por 
exemplo, a figura ao lado mostra o retângulo 
polar R dado por 1,5r2,

6


4
.
Para calcularmos uma integral dupla em coordenadas polares, precisamos
saber como se expressa o elemento de área dA nestas coordenadas.
Procedemos da seguinte maneira: ao invés de subdividirmos a região de
integração R em retângulos, o fazemos subdividindo-a em retângulos polares.
Assim, cada sub-retângulo polar terá uma área A . (Veja a figura abaixo).
Se  r e  são pequenos, a região
sombreada sombreada é aproximadamente um retângulo
com lados r  e r ; portanto
A≈r  r .
Logo, se passarmos ao limite de maneira que
 r e  tendam a zero, temos que
dA= r dr d 
Portanto, uma integral dupla pode ser integrada usando coordenadas polares
da seguinte forma:
∫∫
R
f x , y dA=∫ ∫
limites
apropriados
f r cos , r sen r dr d 
x
r
θ
(x, y)
y
θ = π/4
θ = π/6
r = 2
r = 1,5
θ
∆θ
r
r ∆θ
∆r ∆A
Exemplo 9 : Calcule a integral dupla ∫∫
R
1
x2y23 /2
dA na região R como
mostra a figura abaixo.
Exemplo 10 : Usando coordenadas polares, calcule o volume do sólido limitado pelo
cilindro x2 y2=4 e os planos yz=4 e z=0 .
Exercícios : seção 15.3 do Livro do Anton, Cálculo - vol. 2, 8ª Edição (2007),
exercícios do número 23 ao 34, exceto 29.
π/4
R