143_PROVA_COMENTADA_3_SÉRIE_2023_2_MAT

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P. 1 CADERNO 03
Avaliação Diagnóstica
Matemática - Teste
Comentado
Terceira Série do Ensino Médio (2023.2)
Correspondência entre itens e saberes da matriz
Saberes avaliados nos itens
Item Saber/Habilidade Nível de complexidade Percentual de
acerto (TCT)
Dificuldade (TRI)
3140 - 1 S03.H12 Básico
3141 - 2 S03.H11 Básico
3142 - 3 S04.H06 Intermediário
3143 - 4 S04.H09 Intermediário
3144 - 5 S03.H03 Básico
3145 - 6 S04.H04 Avançado
3146 - 7 S02.H09 Básico
3147 - 8 S02.H14 Intermediário
3148 - 9 S06.H04 Básico
3149 - 10 S06.H07 Avançado
3150 - 11 S06.H19 Básico
3151 - 12 S06.H21 Intermediário
3152 - 13 S06.H28 Intermediário
3154 - 14 S05.H08 Intermediário
3157 - 15 S10.H17 Intermediário
3158 - 16 S10.H02 Básico
3159 - 17 S06.H20 Intermediário
3160 - 18 S10.H08 Básico
3161 - 19 S05.H11 Intermediário
3162 - 20 S07.H01 Intermediário
3163 - 21 S05.H07 Avançado
3164 - 22 S11.H06 Avançado
3166 - 23 S15.H15 Básico
3167 - 24 S15.H02 Básico
3168 - 25 S15.H14 Básico
3169 - 26 S15.H10 Intermediário
P. 2 CADERNO 03
Questão 01
Saber/Habilidade Saber S03.H12: identificar a localização de números racionais, em
suas representações fracionárias ou decimais, na reta numérica,
associando pontos a números.
Exercício 1 Na reta numérica representada na seguinte figura, o segmento de 0 a 1 está dividido em
segmentos de mesma medida.
PPPPPPPPPP Q R S T
1
10
10
O número
3
5
corresponde a qual dos pontos marcados na reta?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Descrição das alternativas
A) O aluno assinala o terceiro marco na reta numérica, da esquerda para a direita, por considerar
que 3 quintos se refere a esse terceiro marco.
B) O aluno assinala o marco que fica entre o terceiro e o quinto por considerar que 3/5 fica entre
3 e 5.
C) O aluno assinala o quinto marco ao considerar o denominador da fração.
D) Resposta correta.
E) O aluno assinala o marco que fica 3 posições antes do 1.
Solução esperada e comentários
A questão diz respeito aos seguintes conhecimentos e habilidades:
• Descritor D14 do SAEB: identificar a localização de números na reta numérica.
• Saber S03.H12: identificar a localização de números racionais, em suas representações fracio-
nárias ou decimais, associando pontos a números.
Espera-se, nesta questão, que o aluno tenha em mente que a divisão do segmento de 0 a 1 em
10 intervalos de mesma medida permite determinar os números racionais 1/10, 2/10, e assim por
diante. Para ajudá-lo nisso, a figura indica a localização de 1/10 na reta numérica. O segundo passo,
feita essa identificação dos múltiplos de 1/10, consiste em observar a seguinte equivalência de
P. 3 CADERNO 03
frações
3
5
=
3 · 2
5 · 2
=
6
10
,
o que permite escrever a fração 3/5 em sua representação decimal. O aluno, assim, deve concluir
que 3/5 = 6/10 é o múltiplo de 1/10 associado ao sexto marco após 0. Assim, a alternativa correta é
D).
#Fica a Dica
Caso algumas das dificuldades apontadas acima sejam observadas entre os alunos, recomendamos
o uso dos seguintes materiais:
• Caderno 0, questões 1 a 8.
• Caderno de Aritmética de Números Racionais: disponível em https://www.ced.seduc.ce.
gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/numerosRacionaisVolume01.pdf
Questão 02
Saber/Habilidade Saber S03.H11: ordenar ou comparar números racionais, em suas
representações fracionárias ou decimais, em particular por meio de
sua localização na reta numérica.
Exercício 2 Qual das seguintes expressões é verdadeira?
A) 3,705 < 3,7005
B)
4
6
<
5
7
C)
1
7
>
1
5
D) 12,5% >
1
8
E)
12
30
>
3
5
Descrição das alternativas
A) O aluno revela dificuldades de compreensão do papel do 0 e do valor posicional no sistema
de numeração decimal; certamente, interpreta 3,705 e 3,7005 como 3 705 e 37 005.
B) Resposta correta.
C) O aluno considera que a maior fração é a que tem maior denominador, dado que ambas têm o
mesmo numerador.
D) O aluno demonstra dificuldades com respeito à notação de percentuais: ao expandir 1/8,
encontra, corretamente, 0,125 e escreve esse resultado em termos de percentuais como, por
exemplo, 1,25%.
E) O aluno, possivelmente, não domina os critérios de equivalência de frações: pode conside-
rar, por exemplo, a desigualdade é verdadeira pelo “fato” de que a fração à esquerda da
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/numerosRacionaisVolume01.pdf
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/numerosRacionaisVolume01.pdf
P. 4 CADERNO 03
desigualdade tem numerador e denominador respectivamente maiores que o numerador e o
denominador da fração à direita.
Solução esperada e comentários
A questão diz respeito às seguintes habilidades:
• Saber S03.H09: reconhecer a representação decimal de números racionais, compondo-os e
decompondo-os em termos de potências de dez, positivas e negativas.
• Saber S03.H04: compreender e utilizar a noção de equivalência de frações e suas interpretações
aritméticas e geométricas, identificando frações equivalentes por métodos aritméticos ou
geométricos.
• Saber S03.H11: ordenar ou comparar números racionais, em suas representações fracionárias
ou decimais, em particular por meio de sua localização na reta numérica.
Com esta questão, pretendemos observar em que grau o aluno domina fatos básicos sobre
equivalência e comparação de frações; equivalência entre as representações fracionárias e decimais
de um dado número racional; e, finalmente, sobre a extensão do sistema posicional decimal para
a representação de números racionais não-inteiros. Esses conhecimentos são basilares para várias
habilidades associadas aos descritores D14, D6 e D15 na matriz de referência do SAEB, entre outros.
A definição de equivalência de frações pode ser empregada diretamente nas alternativas B) e E),
uma vez que, multiplicando ambos os lados da desigualdade em B), temos
7 · 6 · 4
6
= 7 · 4 < 6 · 5 = 6 · 7 · 5
7
,
obtém-se, assim, a desigualdade equivalente 28 < 30, que é verdadeira; da mesma forma, ao
multiplicando numeradores e denominadores nas duas frações em E) por fatores iguais (e não-
nulos), temos
12 · 5
30 · 5
=
60
150
=
60 : 30
150 : 30
=
2
5
<
3
5
·
ou, de outro modo,
12 : 4
20 : 4
=
3
5
·
Quanto à alternativa A), o aluno deve observar que
3,705 = 3,7 + 0,005 = 3,7 +
5
1 000
ao passo que
3,7005 = 3,7 + 0,0005 = 3,7 +
5
10 000
,
o que torna verdadeira a desigualdade 3,705 > 3,7005, contrária a que está escrita na alternativa A).
De modo similar, ao compreender o uso do sistema posicional decimal, o aluno pode observar que
1
8
=
1 · 125
8 · 125
=
125
1 000
=
12,5
100
= 12,5%,
mostrando que temos igualdade em vez da desigualdade expressa na alternativa D).
P. 5 CADERNO 03
Por fim, na alternativa C), cabe enfatizar, para o aluno, que
1
7
=
1
5 + 2
<
1
5
sem necessidade de recorrer a expansões decimais para justificar a plausibilidade dessa desigual-
dade.
Questão 03
Saber/Habilidade Saber S04.H06: resolver problemas, motivados por diferentes con-
textos e aplicações, que envolvam a variação proporcional entre
grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Exercício 3 Desde 2015, a gasolina comum vendida nos postos de combustível tem 27,5% de etanol
em sua composição.
Sendo assim, quantos litros de etanol há em 60 litros de gasolina comum?
A) 16,5
B) 27,5
C) 32,5
D) 43,5
E) 47,5
Descrição das alternativas
A) Resposta correta.
B) O aluno considera o percentual como o resultado de calculá-lo sobre o valor.
C) O aluno subtrai 27,5 de 60.
D) O aluno determina a quantidade de gasolina, retirando-se o etanol.
E) O aluno subtrai 27,5 de 60 e erra no uso do algoritmo de subtração
Solução esperada e comentários
A questão diz respeito às seguintes habilidades:
• Descritor D16 do SAEB: resolver problema que envolva porcentagem.
• Saber S03.H06: associar frações a números decimais (e reciprocamente) e, em particular,
estabelecer a equivalência entre porcentagens, frações centesimais e suas representações como
números decimais.
• Saber S03.H03: determinar frações (e.g., metade, um terço,um quinto, um décimo, um
centésimo, etc.) de um número inteiro, associando-as às noções de divisão, fatoração ou partes
de um todo.
• Saber S03.H20: compreender e efetuar, segundo algoritmos corretos e justificados, a multipli-
cação ou divisão de números racionais, em suas representações fracionárias ou decimais.
P. 6 CADERNO 03
• Saber S04.H06: resolver problemas, motivados por diferentes contextos e aplicações, que
envolvam a variação proporcional entre grandezas direta ou inversamente proporcionais.
• Saber S04.H07: resolver problemas que envolvam porcentagens.
Esse problema requer, apenas, o uso direto do conceito de uma dada porcentagem de uma
quantidade, a qual, nesse caso, pode ser calculado como segue:
27,5% · 60 = 27,5 · 60
100
=
27,5 · 6
10
=
55 · 3
10
=
165
10
= 16,5.
Texto referente às questões 04 a 06
No mercado, o quilograma de carne de porco aumentou de 20 reais para 22 reais e a carne bovina
teve um aumento de 5%, chegando a 42 reais. Nesse mercado, o dono de um restaurante compra
360 quilogramas de carne por semana, sendo que 2/5 são de carne de porco e o restante, de carne
bovina.
Questão 04
Saber/Habilidade Saber S04.H09: determinar termos desconhecidos em uma propor-
ção a partir dos termos dados.
Exercício 4 Qual o preço do quilograma de carne bovina antes do aumento?
A) R$ 37,00
B) R$ 40,00
C) R$ 41,95
D) R$ 44,10
E) R$ 47,00
Descrição das alternativas
A) O aluno subtrai 5 de 42.
B) Resposta correta.
C) O aluno subtrai 0,05 de 42.
D) O aluno acrescenta 5% a 42.
E) O aluno acrescenta 5 a 42.
P. 7 CADERNO 03
Questão 05
Saber/Habilidade Saber S03.H03: determinar frações (e.g., metade, um terço, um
quinto, um décimo, um centésimo, etc.) de um número inteiro,
associando-as às noções de divisão, fatoração ou partes de um todo.
Exercício 5 Quanto o dono do restaurante gastava na compra de carne de porco antes do aumento?
A) R$ 144,00
B) R$ 216,00
C) R$ 2 880,00
D) R$ 4 320,00
E) R$ 7 200,00
Descrição das alternativas
A) O aluno calcula 2/5 de 360.
B) O aluno calcula 3/5 de 360.
C) Resposta correta.
D) O aluno calcula 20 vezes 3/5 de 360.
E) O aluno calcula 20 vezes 360.
Questão 06
Saber/Habilidade Saber S04.H04: compreender as relações entre razões, frações e suas
representações decimais, inclusive quando expressas na forma de
porcentagem.
Exercício 6 Caso o dono do restaurante continue comprando a mesma quantidade de carne, nas
mesmas proporções, qual o percentual de aumento nos seus gastos após o aumento dos preços da
carne?
A) 2,05%
B) 5,00%
C) 6,25%
D) 7,00%
E) 15,00%
Descrição das alternativas
A) O aluno soma 2, o aumento em termos absolutos do quilograma da carne de porco, e 5% = 0,05,
o percentual de aumento da carne bovina.
P. 8 CADERNO 03
B) O aluno considera o aumento percentual da carne bovina.
C) Resposta correta.
D) O aluno considera que o aumento percentual da carne de porco é de 2% e soma esse percentual
a 5%, o aumento percentual da carne bovina.
E) O aluno calcula a soma dos aumentos percentuais da carne bovina e da carne de porco, sem
levar em conta os pesos dos dois itens na compra total.
Solução esperada e comentários
Nessa sequência de questões, o propósito pedagógico é o de mobilizar os seguintes conhecimentos
e habilidades:
• Descritor D16 do SAEB: resolver problema que envolva porcentagem.
• Descritor D15 do SAEB: resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou
inversas entre grandezas.
• Saber S02.H14: utilizar as propriedades das operações (comutatividade, associatividade,
distributividade) para efetuar cálculos aritméticos.
• Saber S03.H06: associar frações a números decimais (e reciprocamente) e, em particular,
estabelecer a equivalência entre porcentagens, frações centesimais e suas representações como
números decimais.
• Saber S03.H03: determinar frações (e.g., metade, um terço, um quinto, um décimo, um
centésimo, etc.) de um número inteiro, associando-as às noções de divisão, fatoração ou partes
de um todo.
• Saber S03.H15: compreender e efetuar, segundo algoritmos corretos e justificados, a multipli-
cação ou divisão de números racionais, em suas representações fracionárias ou decimais.
• Saber S04.H04: compreender as relações entre razões, frações e suas representações decimais,
inclusive quando expressas na forma de porcentagem.
• Saber S04.H07: resolver problemas que envolvam porcentagens.
• Saber S04.H09: determinar termos desconhecidos em uma proporção a partir dos termos
dados.
A questão 4 envolve o conceito de porcentagem. Desta vez, no entanto, trata-se de determinar o
valor presente, dados o valor futuro e o acréscimo do valor presente em termos percentuais. No
contexto da questão, o valor presente é dado por
42
1 + 5/100
=
42 · 100
105
= 40 reais.
Na questão 5, o foco é a interpretação de uma fração como a expressão de uma dada parte de uma
quantidade, antecipando a noção de razão: o problema é o de determinar, primeiro, 2/5 de 360 e,
em seguida, calcular o valor que essa quantidade representa, ou seja, calcular
2
5
· 360 = 2 · 360
5
= 2 · 72 = 144
quilogramas de carne de porco, o que totaliza, antes do aumento,
20 · 144 = 2 880 reais
P. 9 CADERNO 03
Quanto à questão 6, são demandadas habilidades relativas à expressões numéricas envolvendo
frações. De fato, o problema pode ser representado, aritmeticamente, em termos da expressão
2 · 2
5
· 360 + 2 · 3
5
· 360,
cujo valor fornece o acréscimo do total gasto na compra após o aumento, ou seja,
2 · 360 = 720 reais.
Finalizando a sequência, a questão 7 requer a comparação desse acréscimo com o valor gasto antes
do aumento, ou seja, o cálculo da razão
2 · 2
5
· 360 + 2 · 3
5
· 360
20 · 2
5
· 360 + 40 · 3
5
· 360
·
Escrevendo a razão dessa forma, evitamos cálculos diretos de divisão, uma vez que essa razão é
igual a
2 · 2
5
+ 2 · 3
5
20 · 2
5
+ 40 · 3
5
=
2 · 2 + 2 · 3
20 · 2 + 40 · 3
=
10
160
=
1
16
,
ou seja, a razão é igual a 0,625 ou 6,25%.
#Fica a Dica
Caso algumas das dificuldades apontadas acima sejam observadas entre os alunos, recomendamos
o uso dos seguintes materiais:
• Caderno 0, questões 78 a 92.
• Caderno de Aritmética de Números Racionais: disponível em https://www.ced.seduc.ce.
gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/numerosRacionaisVolume01.pdf
• Caderno de Razões e Proporções: disponível em https://www.ced.seduc.ce.gov.br/
wp-content/uploads/sites/82/2022/05/proporcoesFuncoesAfins.pdf
Questão 07
Saber/Habilidade Saber S02.H09: compreender e expressar os algoritmos da multipli-
cação em termos da adição e da decomposição de números inteiros.
Exercício 7 Qual dos seguintes números é igual ao produto 99 · 101?
A) 99 101
B) 10 989
C) 9 999
D) 1 818
E) 1 089
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/numerosRacionaisVolume01.pdf
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/numerosRacionaisVolume01.pdf
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/proporcoesFuncoesAfins.pdf
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/proporcoesFuncoesAfins.pdf
P. 10 CADERNO 03
Descrição das alternativas
A) O aluno justapõe 99 e 101.
B) O aluno “arma” a conta considerando que 101 · 99 = 909 + 99 + 909.
C) Resposta correta.
D) O aluno erra na execução do algoritmo, calculando 101 · 99 = 909 + 909 = 1 818 (ao “armar”
a conta, alinha 909 e 909 (sem considerar que o segundo 909 é, de fato, 9 090, ou seja, sem
deslocar o 909 uma casa decimal para a esquerda).
E) O aluno calcula 99 · 11, ignorando o papel do zero.
Questão 08
Saber/Habilidade Saber S02.H14: utilizar as propriedades das operações (comuta-
tividade, associatividade, distributividade) para efetuar cálculos
aritméticos.
Exercício 8 O valor da expressão numérica
(110 110− 990) : 110
é dado por
A) 110 101
B) 1 008
C) 1 001
D) 992
E) 902
Descrição das alternativas
A) O aluno, erradamente, calcula 110 110− 990 : 110, ou seja, 110 110− 9 = 110 101.
B) O aluno erra no algoritmo de subtração ao efetuar 110 110− 990 = 110 880. Ao dividir esse
resultado por 110, obtém 1 008.
C) O aluno efetua a conta como 110 110 : 110, “armando” a conta com os seguintes passos: 11
dividido por 11 resulta em 1; “baixa” o 0; depois, 11 dividido por 11 resulta em 1; “baixa” o
segundo zero. Com esse procedimento de divisão falho, o estudante obtém 110 110 : 110 =
1 010. Subtrai, então 990 : 110 = 9 desse resultado, obtendo, por fim, 1 010− 9 = 1 001. Outra
possibilidade é de que aluno efetue 110 110 : 110 = 1 000 + 110− = 1110. Subtrai o resultado
de 9 e obtém 1 001.
D) Resposta correta.
E) O aluno calcula, erradamente, 990 : 110 = 99 e subtrai esse resultado de 110 110 : 110 = 1 001,
obtendo 1 001− 99 = 902.
P. 11 CADERNO 03
Solução esperada e comentários
O propósito das questões 07 e 08 é elucidar a relação entre as propriedades do sistema posicio-
nal decimal e cálculos aritméticos envolvendo multiplicação e divisão. Mais precisamente, são
demandadas as seguintes habilidades:
• Descritor D25 do SAEB (nono ano do Ensino Fundamental): efetuar cálculos que envolvam
operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
• Saber S02.H02: expressar os algoritmos da adição e multiplicação em termos da composição
ou decomposição de números naturais.
• Saber S02.H09: compreender e expressar os algoritmos da multiplicação em termos da adição
e da decomposição de números inteiros.
• Saber S02.H14: utilizar as propriedades das operações (comutatividade, associatividade,
distributividade) para efetuar cálculos aritméticos.
• Saber S02.H22: compreender e utilizar procedimentos e algoritmos de divisão, corretos e
justificados, em particular o algoritmo de divisão euclidiano (com restos não nulos, inclusive)
e suas relações com os algoritmos de adição e multiplicação.
• Saber S02.H24: utilizar, em diferentes contextos e problemas, arredondamentos e estimativas
de números naturais ou números inteiros e dos resultados de operações aritméticas.
A escolha, nas questões, de números naturais próximos de uma potência de 10 foi deliberada
para permitir que o professor possa utilizá-las em sala de aula, explorando o uso de diferentes
procedimentos, justificando-os em termos de propriedades operatórias e de propriedades do sistema
posicional decimal. Por exemplo, na resolução da questão 7, o professor pode expor, em detalhes,
o uso do algoritmo costumeiro, segundo o qual o produto 99 · 101 é calculado com os seguintes
passos:
99 · 101 = 101 · 90 + 101 · 9
= 909 · 10 + 909
= 9 090 + 909 = 9 999
Alternativamente, pode ser relevante exercitar o uso de aproximações para estimar o resultado de
cálculos aritméticos: uma vez que os fatores, na questão 7, podem ser ambos aproximados por 100,
o produto pode ser estimado por 100 · 100 = 10 000. Finalmente, o professor pode encorajar uma
discussão em torno de algoritmos menos usuais que possam ser correta e justificadamente usados
em cálculos como
99 · 101 = (100− 1) · (100 + 1)
= 10 000− 100 + 100− 1
= 10 000− 1 = 9 999
Essa apresentação de diversos algoritmos aprofunda a compreensão conceitual dos alunos com
respeito à multiplicação e divisão, o que é uma condição necessária para que desenvolvam habili-
dades relativas ao uso de frações, números decimais, razões e proporções, temas que, por sua vez,
serão basilares para o estudo de funções, de Estatística Descritiva e tantos outros assuntos do Ensino
Médio.
Essa mesma abordagem de flexibilidade algorítmica pode ser adotada na resolução da questão 8.
P. 12 CADERNO 03
Nesse caso, podemos efetuar cálculos como os seguintes
110 110 : 110− 990 : 110
= 110 000 : 110 + 110 : 110 + 990 : 110
= 1 000 + 1− 9
= 990 + 2 = 992,
em que tomamos vantagem do fato de que, propositalmente, o dividendo foi escolhido como uma
expressão envolvendo apenas múltiplos de 110. Ao discutir sobre eficiência de diferentes algoritmos,
o professor pode observar que, efetuando inicialmente a diferença, essa estrutura de múltiplos
de 110 fica menos óbvia e poderia resultar em mais dispêndio de tempo e eventuais erros. Uma
alternativa a essa conta seria executar o seguinte procedimento:
(110 110− 110− 880) : 110
= 110 000 : 110− 880 : 110
= 1 000− 8 = 992.
Texto referente às questões 09 e 10
O professor de Matemática da terceira série postou cinco vídeos em uma plataforma na internet para
ajudar seus alunos.
No plano cartesiano na seguinte figura, as coordenadas dos pontos P, Q, R, S e T indicam quantas
visualizações e quantas “curtidas” cada vídeo teve.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
TQ
P
R
S
visualizações
“curtidas”
P. 13 CADERNO 03
Questão 09
Saber/Habilidade Saber S06.H04: compreender as noções básicas do plano cartesiano
e coordenadas cartesianas ou polares.
Exercício 9 Quais as coordenadas do ponto P ?
A) (0, 20)
B) (30, 0)
C) (20, 30)
D) (30, 20)
E) (50, 0)
Descrição das alternativas
A) O aluno considera apenas a coordenada vertical.
B) O aluno considera apenas a coordenada horizontal.
C) O aluno troca os papéis das coordenadas horizontal e vertical.
D) Resposta correta.
E) O aluno soma as coordenadas.
Questão 10
Saber/Habilidade Saber S06.H07: associar relações de proporcionalidade entre gran-
dezas a pontos sobre retas no plano, em particular identificando
razões entre grandezas proporcionais à inclinação das retas corres-
pondentes.
Exercício 10 Qual ponto representa o vídeo com mais “curtidas” por visualização?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Descrição das alternativas
A) O aluno considera o vídeo em que a razão “curtidas” por visualização tem o menor denomina-
dor.
B) Resposta correta.
C) O aluno considera a opção com mais “curtidas”.
P. 14 CADERNO 03
D) O aluno considera a razão visualizações por “curtida” e não o contrário.
E) O aluno considera a opção com mais visualizações.
Solução esperada e comentários
As habilidades que queremos observar com o trabalho dos alunos sobre esse par de questões são as
seguintes:
• Descritor D6 do SAEB: identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
• Descritor D15 do SAEB: resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou
inversas entre grandezas.
• Saber S03.H10: comparar números racionais, na forma fracionária e na forma decimal.
• Saber S04.H02: relacionar números racionais a razões entre grandezas ou entre suas variações,
expressando, em particular, a taxa de variação (percentual) entre essas grandezas.
• Saber S04.H03: reconhecer - em gráficos, tabelas e outros suportes - relações de proporcionali-
dade entre grandezas ou entre variações dessas grandezas.
• Saber S04.H04: compreender as relações entre razões, frações e suas representações decimais,
inclusive quando expressas na forma de porcentagem.
• Saber S06.H04: compreender as noções básicas do plano cartesiano e coordenadas cartesianas
ou polares.
• Saber S06.H07: associar relações de proporcionalidade entre grandezas a pontos sobre retas no
plano, em particular identificando razões entre grandezas proporcionais à inclinação das retas
correspondentes.
Nesse par de problemas, a questão 9 envolve, meramente, a compreensão do modo como
associamos pares de coordenadas cartesianas a pontos do plano cartesiano: na figura, explicitamos
coordenadas nos eixos horizontal e vertical de modo a reduzir o grau de complexidade da questão.
Erros por parte dos alunos podem servir como alertas e suscitar um acompanhamento mais intensivo
do professor. Sem o domínio da habilidade básica de leitura de coordenadas cartesianas, o aluno
experimenta dificuldades consideráveis para resolver as questões no teste que envolvem, por
exemplo, funções e seus gráficos. Além disso, essa lacuna afeta o futuro desempenho em itens de
testes associados ao descritor D6, por exemplo.
De fato, usamos a leitura de coordenadas no plano cartesiano já no próximo item, a questão 10.
Aqui, há duas estratégias de resolução que devem ser observadas ou exploradas pelo professor:
• em uma abordagem aritmética, talvez mais corriqueira, o aluno identifica as coordenadasdos
pontos marcados no plano cartesiano; em seguida, modela a razão “curtidas por visualização”
como a razão entre a ordenada e a abscissa do ponto, nessa ordem; calcula essas razões
para os cinco pontos; e, por fim, compara esas razões de modo a determinar a maior. Mais
especificamente, determina as razões e estabelece as seguintes comparações
30
90
<
60
90
<
20
30
entre as ordenadas e abscissas de S, R e P , respectivamente; entre as ordenadas e abscissas de
P e T , obtendo,
20
30
=
40
60
<
50
60
P. 15 CADERNO 03
em finalmente,
50
60
>
50
100
entre as ordenadas e abscissas de Q e T . Estabelecidas essas comparações, o aluno concluí que
a maior delas é 50/60, que corresponde ao ponto Q.
• Usando uma estratégia geométrica ou gráfica, o aluno liga cada um dos pontos à origem O
dos eixos coordenados e constata que o segmento de reta mais inclinado é o que contém O e Q.
Ao interpretar essa inclinação como a razão entre a ordenada e a abscissa do ponto Q e, por
sua vez, ao compreender que essa razão representa a quantidade “curtidas por visualização”,
o aluno finaliza a resolução do problema.
Os argumentos geométrico e aritmético podem ser combinados: por exemplo, dado que os pontos
Q e T têm mesma ordenada, mas que a abscissa de Q é menor que a abscissa de T , a razão entre
ordenada e abscissa é maior para Q que para T . Da mesma forma, a razão é maior para R do que
para S, pois, a ordenada de R é maior do que a ordenada de S e ambos os pontos têm mesma
abscissa. Além disso, P e R têm a mesma razão, o que se reflete no fato de que esses pontos estão
sobre a mesma reta que passa pela origem.
Questão 11
Saber/Habilidade Saber S06.H19: identificar os parâmetros e a representação algébrica
de uma função afim a partir da reta que a representa graficamente.
Exercício 11 A reta traçada na seguinte figura representa o gráfico da função afim y = 0,4x+ b para
uma certa constante b.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
y
Qual o valor de b?
A) 100
B) 60
P. 16 CADERNO 03
C) 40
D) 20
E) 0
Descrição das alternativas
A) O aluno considera a abscissa do ponto (100, 60).
B) O aluno considera a ordenada do ponto (100, 60).
C) O aluno considera a variação das ordenadas de (0,20) para (100, 60).
D) Resposta correta.
E) O aluno considera a abscissa do ponto (0, 20).
Questão 12
Saber/Habilidade Saber S06.H21: determinar o gráfico e identificar a declividade e
interceptos de uma reta em termos dos parâmetros da função afim
que representa.
Exercício 12 A reta traçada na seguinte figura representa o gráfico da função afim y = ax− 15 para
uma certa constante a.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
y
Qual o valor de a?
A) 20
B) 60
C)
80
60
P. 17 CADERNO 03
D)
60
80
E)
60
100
Descrição das alternativas
A) O aluno considera a abscissa do ponto (20, 0), certamente ao confundí-la com o coeficiente
linear da função afim desejada.
B) O aluno considera a ordenada do ponto (100, 60).
C) O aluno troca os papéis das variações das ordenadas e das abscissas.
D) Resposta correta.
E) O aluno considera, no cálculo da taxa de variação, a abscissa de (100, 60) (isto é, 100) em vez
da variação das abscissas de (20,0) a (100, 60).
Questão 13
Saber/Habilidade Saber S06.H28: interpretar geometricamente os coeficientes da
equação de uma reta.
Exercício 13 No plano cartesiano da figura a seguir, estão representadas os gráficos de funções afins
dadas por
f(x) = ax+ 1 e g(x) = −x
2
+ b
onde a e b são constantes.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
f
g
x
y
Assinale a alternativa correta a respeito dos coeficientes a e b.
A) a > 0 e b > 0
B) a > 0 e b < 0
P. 18 CADERNO 03
C) a > 0 e b = 0
D) a = 0 e b < 0
E) a < 0 e b > 0
Descrição das alternativas
A) O aluno considera apenas o gráfico da função f para deduzir o sinal dos parâmetros.
B) Resposta correta.
C) O aluno considera a ordenada do ponto em que o gráfico de g intersecta o eixo horizontal.
D) O aluno considera a abscissa do ponto em que o gráfico de f intersecta o eixo vertical.
E) O aluno troca os papéis dos gráficos f e g.
Solução esperada e comentários
As habilidades demandadas nesses trio de questões são as seguintes:
• Descritor D23 do SAEB: reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1◦ grau por meio
de seus coeficientes.
• Descritor D24 do SAEB: reconhecer a representação algébrica de uma função de 1◦ grau, dado
o seu gráfico.
• Saber S06.H05: localizar pontos na reta numérica e no plano cartesiano, associando-os a
coordenadas (cartesianas ou polares).
• Saber S06.H16: identificar e descrever, algébrica ou graficamente, relações entre variáveis que
são dadas por funções, a partir de modelos, tabelas, gráficos e outras representações dessas
relações.
• Saber S06.H19: identificar os parâmetros e a representação algébrica de uma função afim a
partir da reta que a representa graficamente.
• Saber S06.H21: determinar o gráfico e identificar a declividade e interceptos de uma reta em
termos dos parâmetros da função afim que representa.
• Saber S06.H28: interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
Em cada uma das questões de 11 a 13, o aluno deve observar que, dada uma função afim da forma
y = ax+ b,
com coeficientes a e b, temos
a =
variação de y
variação de x
=
y1 − y0
x1 − x0
,
onde os números x0, x1, y0, y1 são as coordenadas de dois pontos
p0 = (x0, y0) e p1 = (x1, y1)
pertencentes à reta que é gráfico da função. O professor deve enfatizar a interpretação do coeficiente
angular a como medida de inclinação da reta, gráfico da função, em relação ao eixo horizontal. No
P. 19 CADERNO 03
caso da questão 12, por exemplo, temos
p0 = (20,0) e p1 = (100, 60).
Portanto, nesse questão,
a =
60− 0
100− 20
=
60
80
,
o que mostra que a alternativa correta na questão 12 é D).
Quanto ao coeficiente linear b na expressão algébrica y = ax = b de uma função afim, observamos
que
x = 0 =⇒ y = b,
o que implica que o ponto (0, b) pertence ao gráfico da função: de fato, b é a ordenada do ponto de
intersecção desse gráfico com o eixo coordenado “vertical” x = 0. No caso da questão 11, temos que
essa intersecção é dada pelo ponto (0, 20). Logo, nessa questão, temos b = 20, o que corresponde à
alternativa D).
No que diz respeito à questão 13, por exemplo, as interpretações geométricas dos coeficientes a
e b devem ser enfatizadas junto aos estudantes de modo que possam perceber, apenas por análise
imediata dos gráficos, que, nesse caso, a > 0 na função f e b < 0 na função g. Sugerimos que o
professor possa aprofundar o estudo desses coeficientes, observando que é possível calculá-los
explicitamente. De fato, como os pontos (−1,0) e (0,1) pertencem ao gráfico de f , temos
a =
1− 0
0− (−1)
= 1
e b = 1. Portanto,
f(x) = x+ 1.
o gráfico da função g, por outro lado, contém os pontos (−3,0) e um ponto da forma (0, y1) com
y1 < 0 (a julgar pela escala empregada nos eixos, devemos ter y1 = −1,5). Assim, para a função g,
temos
b = y1 < 0
e
a =
y1 − 0
0− (−3)
=
y1
3
< 0,
uma vez que y1 < 0. De um modo ou de outro, concluímos que a alternativa correta, na questão 13,
é B).
#Fica a Dica
Caso algumas das dificuldades apontadas acima sejam observadas entre os alunos, recomendamos
o uso dos seguintes materiais:
• Caderno 0, questões 9 a 11 e 38 a 65.
• Caderno de Razões e Proporções: disponível em https://www.ced.seduc.ce.gov.br/
wp-content/uploads/sites/82/2022/05/proporcoesFuncoesAfins.pdf
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/proporcoesFuncoesAfins.pdf
https://www.ced.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/82/2022/05/proporcoesFuncoesAfins.pdf
P. 20 CADERNO 03
Questão 14
Saber/Habilidade Saber S05.H08: reconhecer e determinar relações de semelhança
entre figuras planas, inclusive descrevendo-as quantitativamente
em termos de proporções numéricas (e.g., por meio de escalas).
Exercício 14 Os triângulos ABC,A′B′C ′ e A′′B′′C ′′ na seguinte figurasão semelhantes uns aos outros.
Os vértices de A′B′C ′ são pontos médios dos lados do triângulo ABC e os vértices de A′′B′′C ′′ são
pontos médios dos lados do triângulo A′B′C ′.
A′′
C′′
B′′
A
C
BC′
B′ A′
Se o perímetro do triângulo ABC é igual a 12 cm, a soma dos perímetros dos três triângulos é igual a
A) 36 cm.
B) 30 cm.
C) 27 cm.
D) 24 cm.
E) 21 cm.
Descrição das Alternativas
A) O aluno considera os três perímetros como iguais.
B) O aluno observa que as medidas dos lados do triângulo seguinte são metade do triângulo
anterior; com isso, subtrai 2 em vez de dividir por 2.
C) O aluno divide por 2 duas vezes, ambas para passar do segundo para o terceiro triângulo, e
soma 12 + 12 + 3.
D) O aluno divide por 2 apenas uma vez e soma 12 + 6 + 6.
E) Resposta correta.
Solução esperada e comentários
A questão requer as seguintes habilidades:
• Descritor D1 do SAEB: identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações
P. 21 CADERNO 03
de proporcionalidade.
• Descritor D11 do SAEB: resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras
planas.
• Saber S05.H08: reconhecer e determinar relações de semelhança entre figuras planas, inclusive
descrevendo-as quantitativamente em termos de proporções numéricas (e.g., por meio de
escalas).
• Saber S05.H11: determinar elementos geométricos (e.g., lados e ângulos) desconhecidos em
figuras planas, a partir de elementos dados e de relações de semelhança ou congruência.
• Saber S07.H01: compreender a noção de perímetro de figuras planas.
• S07.H04: resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
O propósito desta questão é o de aguçar a compreensão do aluno a respeito de como homotetias
(dilatações ou contrações) ou mudanças de escala/unidade de medida afetam o perímetro de figuras
planas. Na sequência de triângulos encaixados, o perímetro de um triângulo é metade do perímetro
do triângulo anterior (caso iniciemos a sequência a partir de ABC). Sendo assim, temos a soma de
perímetros na sequência de triângulos dada por
12 +
1
2
· 12 + 1
2
· 1
2
· 12 = 12 + 6 + 3 = 21 cm.
Assim, deduz-se que a resposta correta é a alternativa E).
Sugerimos que o professor possa aprofundar a análise da questão, propondo problemas tais
como
• caso a sequência continue segundo o mesmo padrão, qual o perímetro do n-ésimo triângulo
nessa sequência?
• Que soma têm os perímetros de n triângulos em tal sequência?
• Qual seria o comportamento das áreas desses triângulos?
Texto referente às questões 15 e 16
Na figura seguinte, a curva representa a trajetória de uma bola de futebol do ponto O onde foi
chutada ao ponto P onde atinge o solo. Observe que a bola alcança uma altura máxima de 10
metros.
k
10
V
O P = (100,0)
x
y
Essa curva pode ser modelada como o gráfico de uma função de segundo grau y = f(x) definida no
intervalo de 0 a 100.
P. 22 CADERNO 03
Questão 15
Saber/Habilidade Saber S10.H17: identificar raízes, máximos/mínimos e outros ele-
mentos algébricos e geométricos (convexidade, interceptos, vértice,
eixo de simetria) a partir da forma estendida e da forma fatorada de
uma função quadrática.
Exercício 15 Qual o valor k da variável x em que a função f atinge seu valor máximo?
A) 110
B) 100
C) 50
D) 10
E) 5
Descrição das alternativas
A) O aluno soma os valores das coordenadas que aparecem na figura, isto é, calcula 100 + 10.
B) O aluno considera a abscissa do ponto de máxima distância e não a ordenada do ponto de
máxima altura.
C) Resposta correta.
D) O aluno considera a ordenada do ponto de máxima altura.
E) O aluno tenta usar a expressão −b/2a para a abscissa do ponto de máximo, atribuindo,
erradamente, os valores b = −100 e a = 10.
Questão 16
Saber/Habilidade Saber S10.H02: efetuar soma, diferença e produto de expressões
algébricas, agrupando termos semelhantes e simplificando-os.
Exercício 16 A função de segundo grau cujo gráfico está representado na figura é dada por
f(x) = 0,004x(100− x).
Essa função pode ser reescrita como
A) f(x) = −0,004x2 + 0,004x.
B) f(x) = 0,004x2 + 0,4x.
C) f(x) = 0,4x− 0,004x.
D) f(x) = 0,004x− x2.
E) f(x) = 0,4x− 0,004x2.
P. 23 CADERNO 03
Descrição das alternativas
A) O aluno não considera que deve efetuar o produto 0,004 · 100.
B) O aluno erra ao desconsiderar o sinal na multiplicação de 0,004x e −x.
C) O aluno erra ao usar a propriedade distributiva, considerando que o fator x, uma vez multipli-
cado por 100, não deve ser também multiplicado por −x
D) O aluno erra ao usar a propriedade distributiva; além disso, erra ao calcular o produto 0,004 e
100.
E) Resposta correta.
Solução esperada e comentários
A dupla de questões trabalha conhecimentos e habilidades relacionados a expressões e funções
quadráticas a exemplo de
• Descritor D17 do SAEB: resolver problema envolvendo equação do 2◦ grau.
• Descritor D25 do SAEB: resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo
no gráfico de uma função polinomial do 2◦ grau.
• Saber S10.H02: efetuar soma, diferença e produto de expressões algébricas, agrupando termos
semelhantes e simplificando-os.
• Saber S10.H16: identificar os parâmetros de uma função quadrática em termos da parábola
que a representa graficamente
• Saber S10.H17: identificar raízes, máximos/mínimos e outros elementos algébricos e geométri-
cos (convexidade, interceptos, vértice, eixo de simetria) a partir da forma estendida e da forma
fatorada de uma função quadrática.
O estudo da questão 15 pode embasar, em sala de aula, uma retomada de conhecimentos básicos
sobre funções quadráticas. O próprio gráfico sugere que a altura máxima atingida pela bola
(modelada pelo valor máximo da função quadrática) ocorre quando a variável x é igual ao valor
médio entre os zeros da função, isto é, quando
x =
0 + 100
2
= 50.
Logo, k = 50, o que corresponde à alternativa C) na questão 15.
A partir desse ponto, o professor pode apoiar o aluno na análise da função quadrática, iniciando
pela constatação de que essa função tem uma expressão algébrica da forma
f(x) = ax(x− 100),
uma vez que seus zeros ocorrem em x = 0 e x = 100. O coeficiente a, ainda indeterminado, deve ser
negativo. Para determiná-lo, fixamos x = 50 e obtemos
10 = −a · 50 · 50.
Logo,
a = − 10
50 · 50
= − 1
250
= −0,004.
P. 24 CADERNO 03
Esse aprofundamento na questão 15 conduz, portanto, à expressão no enunciado da questão 16, ou
seja, à
f(x) = 0,004x(100− x).
A questão 16 almeja verificar se o aluno efetua cálculos “aritméticos” com expressões algébricas, a
exemplo da adição e multiplicação de monômios. No caso, temos
f(x) = 0,004x(100− x)
= 0,004 · 100x− 0,004x · x
= 0,4x− 0,004x2,
expressão que corresponde à alternativa E).
Texto referente às questões 17 e 18
O gráfico na figura seguinte representa uma função definida no intervalo [−5, 5].
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
y
Questão 17
Saber/Habilidade Saber S06.H20: analisar crescimento e decrescimento ou determinar
zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
Exercício 17 De acordo com o gráfico,
A) a função é crescente nos intervalos [−2,−1] e [1,2], apenas.
B) a função é decrescente nos intervalos [−5,−2] e [2,5], apenas.
C) a função é crescente no intervalo [−2, 0].
D) a função é decrescente no intervalo [0, 2].
E) a função é crescente no intervalo [2, 3].
P. 25 CADERNO 03
Descrição das alternativas
A) Resposta correta.
B) O aluno não leva em conta o intervalo [−1, 1].
C) O aluno confunde o crescimento com o fato de a função ser côncava (gráfico “voltado para
baixo”).
D) O aluno confunde o decrescimento com o fato de a função ser convexa (gráfico “voltado para
cima”).
E) O aluno confunde o crescimento com a não-negatividade da função (dado que o gráfico está
“acima” do eixo horizontal).
Questão 18
Saber/Habilidade Saber S10.H08: compreender o conceito de zero ou raiz de uma
equação algébrica.
Exercício 18 Em qual das alternativas os números indicados são zeros da função?
A) −4; 0; 3
B) −5; 0; 5
C) −2; 1
D) −1; 2
E) −2; 2
Descrição das alternativasA) Resposta correta.
B) O aluno considera os valores extremos do intervalo de definição da função.
C) O aluno considera valores de x em que a função atinge valor mínimo (local).
D) O aluno considera valores de x em que a função atinge valor máximo (local).
E) O aluno considera valor aproximada de dois dos zeros.
Solução esperada e comentários
As questões 17 e 18 requerem as seguintes habilidades:
• Descritor D20 do SAEB: analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções apresentadas
em gráficos.
• Saber S06.H20: analisar crescimento e decrescimento ou determinar zeros de funções reais
apresentadas em gráficos.
• Saber S10.H08: compreender o conceito de zero ou raiz de uma equação algébrica.
A mera análise do gráfico evidencia que a função
P. 26 CADERNO 03
• é decrescente nos intervalos [−5,−2], [−1, 1] e [2, 5];
• é crescente nos intervalos [−2,−1] e [1, 2];
• tem zeros nos pontos −4, 0, 3 e em pontos pertencentes aos intervalos [−2;−1,5] e [1,5; 2].
Portanto, as respostas corretas das questões 17 e 18 são, ambas, a alternativa A).
Texto referente às questões 19 a 21
Na figura seguinte, os quadriláteros ABCD e PQRS são semelhantes.
100 cm QP
S R
D C
P
BA
x x
y
32 cm
40 cm
40 cm
Questão 19
Saber/Habilidade Saber S05.H11: determinar elementos geométricos (e.g., lados e
ângulos) desconhecidos em figuras planas, a partir de elementos
dados e de relações de semelhança ou congruência.
Exercício 19 Dado que os quadriláteros ABCD e PQRS são semelhantes, as medidas x e y, em
centímetros, são respectivamente iguais a
A) 70 e 40.
B) 60 e 72.
C) 50 e 80.
P. 27 CADERNO 03
D) 40 e 80.
E) 40 e 100.
Descrição das alternativas
A) O aluno supõe que a soma das medidas de PS e QR é igual a soma das medidas dos lados
PQ e RS, ou seja, 140 cm. Dividindo ao meio, obtém x = 70. Além disso, julga que os lados
AD e AB têm a mesma medida.
B) O aluno considera que a soma das medidas de PS e RS deve ser igual à medida de PQ. De
modo similar, considera que a soma das medidas de AD e DC deve ser igual à medida de AB.
C) Resposta correta.
D) Ao considerar x = 40, o aluno considera que os lados PS, RS e QR têm a mesma medida.
E) Ao considerar x = 40, o aluno considera que os lados PS, RS e QR têm a mesma medida.
Além disso, julga que as medidas de PQ e AB são iguais.
Questão 20
Saber/Habilidade Saber S07.H01: compreender a noção de perímetro de figuras planas.
Exercício 20 O perímetro do quadrilátero PQRS é
A) 400 cm.
B) 260 cm
C) 240 cm
D) 220 cm.
E) 140 cm.
Descrição das alternativas
A) O aluno considera que os quatro lados têm a mesma medida.
B) O aluno supõe que os lados PS e QR medem, cada um, 100− 40 = 60 m.
C) Resposta correta.
D) O aluno considera que os lados PS,RS e QS têm medidas iguais a 40 m.
E) O aluno considera apenas a soma das medidas dos lados PQ e RS.
P. 28 CADERNO 03
Questão 21
Saber/Habilidade Saber S05.H07: compreender e identificar relações de congruência,
relações de semelhança, simetrias e invariância de figuras geométri-
cas em termos de movimentos geométricos (e.g., translações, rota-
ções, homotetias e reflexões).
Exercício 21 A área do quadrilátero ABCD é
A) 0,20 vezes a área do quadrilátero PQRS.
B) 0,25 vezes a área do quadrilátero PQRS.
C) 0,40 vezes a área do quadrilátero PQRS.
D) 0,64 vezes a área do quadrilátero PQRS.
E) 0,80 vezes a área do quadrilátero PQRS.
Descrição das alternativas
A) O aluno considera que a razão entre áreas é 1/4 da razão entre as medidas de lados.
B) O aluno considera que a razão entre áreas é 1/4.
C) O aluno considera que a razão entre áreas é metade da razão entre as medidas de lados.
D) Resposta correta.
E) O aluno considera que a razão entre áreas é igual à razão entre as medidas de lados.
Solução esperada e comentários
A sequência de questões 19 a 21 mobilizam conhecimentos e habilidades descritos nas seguintes
sentenças:
• Descritor D1 do SAEB: identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações
de proporcionalidade.
• Descritor D11 do SAEB: resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras
planas.
• Descritor D12 do SAEB: resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
• Descritor D15 do SAEB: resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou
inversa, entre grandezas.
• Saber S05.H07: compreender e identificar relações de congruência, relações de semelhança,
simetrias e invariância de figuras geométricas em termos de movimentos geométricos (e.g.,
translações, rotações, homotetias e reflexões).
• Saber S05.H11: determinar elementos geométricos (e.g., lados e ângulos) desconhecidos em
figuras planas, a partir de elementos dados e de relações de semelhança ou congruência.
• Saber S07.H01: compreender a noção de perímetro de figuras planas.
• Saber S07.H05: compreender a noção de área de figuras planas.
• Saber S07.H18: identificar, descrever e comparar o efeito de movimentos geométricos (trans-
lações, rotações, homotetias, reflexões) sobre a distância entre pontos, ângulos entre retas e
sobre o perímetro e área de figuras planas
P. 29 CADERNO 03
Nas questões de 19 a 21, a relação de semelhança entre os quadriláteros ABCD e PQRS é expressa
em termos da proporcionalidade entre as medidas de lados correspondentes, ou seja, na igualdade
das razões
AB
PQ
=
CD
RS
e
AD
PS
=
CD
RS
,
ou seja,
y
100
=
32
40
e
40
x
=
CD
RS
·
Concluímos, desse modo, que a razão de semelhança entre as medidas de lados correspondentes nos
dois quadriláteros é igual a 0,8 e, sendo assim,
y = 80 cm e x = 50 cm.
Portanto, a alternativa correta na questão 19 é C).
O perímetro do quadrilátero PQRS é, portanto, igual a
100 + 40 + 50 + 50 = 240 cm.
Logo, a alternativa correta na questão 20 é C).
Uma vez que a razão entre os perímetros é igual a razão entre as medidas dos lados correspon-
dentes, deduz-se que o perímetro do quadrilátero ABCD é igual a
0,8 · 240 = 192 cm
Por fim, a razão entre as áreas dos quadriláteros deve ser igual ao quadrado da razão entre as
medidas de lados correspondentes. Essa afirmação deve ser discutida em sala de aula a fim de
aprimorar a compreensão conceitual dos alunos a respeito de como perímetro e área mudam sob
efeito de transformações geométricas das figuras (neste caso, homotetias). Importante ressaltar que
a resolução da questão não exige o cálculo explícito das áreas, mas tão-somente da razão entre elas,
que é, portanto, igual a
0,8 · 0,8 = 0,64,
ou seja, a área de ABCD é igual a 0,64 vezes a área de PQRS. Portanto, na questão 21, a alternativa
correta é D).
Questão 22
Saber/Habilidade Saber S11.H06: resolver problema envolvendo propriedades e ele-
mentos (termo geral, somatório, entre outros) de progressões arit-
méticas e geométricas.
Exercício 22 Um atleta começou a treinar todos os dias para uma maratona. Começou correndo
1 200 m no primeiro dia de treino e a cada dia, aumentava 600 m em seu treino. Que distância o atleta
percorreu no décimo dia?
A) 6 600 m
B) 6 000 m
P. 30 CADERNO 03
C) 5 400 m
D) 1 800 m
E) 1 200 m
Descrição das alternativas
A) Resposta correta.
B) O aluno multiplica 600 por 10 + 1.
C) O aluno calcula 600 vezes 9 e esquece de adicionar o termo inicial, ou seja, 1 200.
D) O aluno considera o termo inicial.
E) O aluno considera o termo inicial mais a razão.
Solução esperada e comentários
Alguns dos conhecimentos e habilidades relacionados a esta questão são
• Descritor D19 do SAEB: resolver problema envolvendo uma função de 1◦ grau.
• Descritor D11 do SAEB: resolver problema envolvendo P.A./P.G., dada a fórmula do termo
geral.
• Saber S11.H02: reconhecer e determinar os elementos fundamentais (termos, razões, somas,
meios aritméticos e geométricos) de progressões aritméticas e geométricas
• Saber S11.H06: resolver problema envolvendo propriedades e elementos (termo geral, somató-
rio, entre outros) de progressões aritméticas e geométricas.
Consideramos pedagogicamente relevante que, na exposição desta questão em sala de aula, o
professor enfatize as relações existentesentre funções afins e progressões aritméticas, essas como
versões “discretas” daquelas. Modelando o problema em termos de crescimento aritmético, vê-se
que a diferença dos percursos em dias consecutivos é igual a 600 metros. Assim, no n-ésimo dia,
esse percurso é dado por
yn = 1200 + 600(n− 1).
Em particular, temos
y10 = 1200 + 600 · 900 = 1 200 + 5 400 = 6 600
metros. Portanto, na questão 22, a alternativa correta é A).
Note que y1 = 1200 e, portanto, a taxa de variação do percurso entre os dias 1 e n (com n > 1) é
yn − y1
n− 1
= 600,
exatamente a chamada razão da progressão aritmética.
P. 31 CADERNO 03
Questão 23
Saber/Habilidade Saber S15.H15: associar informações apresentadas em listas e/ou
tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.
Exercício 23 O seguinte gráfico de setores mostra a distribuição da população nas regiões do Brasil,
segundo os dados do Censo Demográfico de 2022.
Fonte: Censo Demográfico 2022: População e domicílios - Primeiros resultados. Disponível em https://agenciadenoticias.ibge.gov.br
Qual das seguintes tabelas melhor representa as informações apresentadas no gráfico?
A)
Regiões Percentual da popula-
ção
Norte 26,91%
Nordeste 8,54%
Centro-Oeste 8,02%
Sudeste 41,78%
Sul 14,74%
B)
Regiões Percentual da popula-
ção
Norte 8,54%
Nordeste 26,91%
Centro-Oeste 8,02%
Sudeste 41,78%
Sul 14,74%
https://agenciadenoticias.ibge.gov.br
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C)
Regiões Percentual da popula-
ção
Norte 26,91%
Nordeste 8,02%
Centro-Oeste 8,54%
Sudeste 14,74%
Sul 41,78%
D)
Regiões Percentual da popula-
ção
Norte 8,02%
Nordeste 26,91%
Centro-Oeste 14,74%
Sudeste 8,54%
Sul 41,78%
E)
Regiões Percentual da popula-
ção
Norte 41,78%
Nordeste 8,02%
Centro-Oeste 14,74%
Sudeste 8,54%
Sul 26,91%
Descrição das alternativas
A) O aluno confunde Norte com Nordeste e não confere as demais informações.
B) Resposta correta.
C) O aluno confunde as informações de Norte, Nordeste e Centro-oeste.
D) O aluno não consegue ler corretamente nenhuma das informações contidas no gráfico.
E) O aluno não consegue estabelecer relação entre os dados do gráfico e os dados organizados na
tabela.
Solução esperada e comentários
Alguns dos conhecimentos e habilidades relacionados a esta questão são
• Descritor D35 do SAEB: associar informações apresentadas em listas e/ou tabela simples aos
gráficos que as representam e vice-versa.
• Saber S15.H15: associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos
P. 33 CADERNO 03
que as representam e vice-versa.
A questão tem o propósito de observar eventuais dificuldades dos alunos relativas à compreensão
leitora de informações quantitativas representadas em gráficos e tabelas. Questões desta natureza
são frequentes em avaliações externas.
Questão 24
Saber/Habilidade Saber S15.H02: ler e interpretar dados dispostos em tabelas, gráficos,
grafos, textos, relatórios e outros meios de representação.
Exercício 24 O seguinte gráfico de barras informa a quantidade de municípios brasileiros cujas
populações estão em diferentes intervalos de números de habitantes.
Fonte: Censo Demográfico 2022: População e domicílios - Primeiros resultados. Disponível em https://agenciadenoticias.ibge.gov.br
De acordo com esse gráfico, o número de municípios brasileiros com população menor que 20 mil
habitantes é
A) 19 000
B) 10 000
C) 3 861
D) 2 495
E) 1 366
Descrição das alternativas
A) O aluno considera a número de milhares imediatamente menor que 20 000.
B) O aluno considera o valor extremo na classe imediatamente menor que 20 000.
C) Resposta correta.
https://agenciadenoticias.ibge.gov.br
P. 34 CADERNO 03
D) O aluno soma as quantidades de municípios nos intervalos com extremos menores que 20 000.
E) O aluno assinala a opção da classe em que está explícito haver menos de 20 000 habitantes.
Solução esperada e comentários
Alguns dos conhecimentos e habilidades relacionados a esta questão são
• Descritor D34 do SAEB: resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas
e/ou gráficos.
• Saber S02.H25: formular e resolver problemas, motivados por diferentes contextos e com
recurso a diferentes procedimentos, em termos da adição ou subtração de números naturais e
seus vários significados e representações.
• Saber S15.H02: ler e interpretar dados dispostos em tabelas, gráficos, grafos, textos, relatórios
e outros meios de representação.
• Saber S15.H06: ler e interpretar dados dispostos em tabelas, gráficos, grafos, textos, relatórios
e outros meios de representação.
• Saber S15.H14: resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou
gráficos.
A questão combina habilidades relativas à leitura e interpretação de dados em gráficos de barras
e a modelagem de problemas em termos da adição de números reais. Uma vez que o aluno se dê
conta de que a resposta é obtida somando-se as quantidades informadas nas três primeiras barras,
da esquerda para o direita, deve efetuar a soma
1 324 + 1 171 + 1 366 = 3 861,
obtendo o número de municípios informado na alternativa C).
Texto referente às questões 25 e 26
O gráfico de barras a seguir representa dados de pesquisa sobre o uso da internet, para atividades
de educação ou trabalho, por brasileiros em duas faixas de renda.
P. 35 CADERNO 03
Percentuais de uso da internet para atividades de educação e trabalho (2022).
Fonte: Portal CETIC. Disponível em: https://cetic.br/pt/tics/domicilios/2022/individuos/C8/Acesso em 09 jun. 2023
Questão 25
Saber/Habilidade Saber S15.H14: resolver problema envolvendo informações apre-
sentadas em tabelas e/ou gráficos.
Exercício 25 Em qual dessas atividades observa-se maior diferença de percentual nas duas faixas de
renda?
A) Atividades ou pesquisas escolares
B) Cursos à distância
C) Informações sobre cursos
D) Estudos na internet por conta própria
E) Atividades de trabalho
Descrição das alternativas
A) O aluno considera a maior frequência no grupo de renda de mais de 10 salários mínimos.
B) Resposta correta.
C) O aluno considera a menor frequência no grupo de renda de 1 a 2 salários mínimos.
D) O aluno considera uma das opções com a maior soma dos percentuais.
E) O aluno considera a maior frequência no grupo de renda de 1 a 2 salários mínimos.
Questão 26
Saber/Habilidade Saber S15.H10: representar, em diversos suportes gráficos (fluxo-
gramas, gráficos de barras, gráficos de colunas, gráficos de linhas,
gráficos de setores, box-plots, gráficos de radar, histogramas, entre
outros), os dados contidos em um texto, tabela ou outro conjunto de
dados.
Exercício 26 Considerando apenas a faixa de renda de 1 a 2 salários mínimos, qual o percentual
médio de uso da internet para atividades de educação e trabalho?
A) 12 %
B) 27,4 %
C) 28 %
https://cetic.br/pt/tics/domicilios/2022/individuos/C8/
P. 36 CADERNO 03
D) 30,5 %
E) 37 %
Descrição das alternativas
A) O aluno considera o menor percentual.
B) Resposta correta.
C) O aluno considera a mediana.
D) O aluno considera a média entre o menor e o maior percentuais, apenas.
E) O aluno considera o maior percentual.
Solução esperada e comentários
Alguns dos conhecimentos e habilidades relacionados a esta questão são:
• Descritor D34 do SAEB: resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas
e/ou gráficos.
• Saber S02.H11: utilizar, de modo correto e justificado, procedimentos e algoritmos de subtração
de números naturais ou inteiros.
• Saber S03.H06: associar frações a números decimais (e reciprocamente) e, em particular,
estabelecer a equivalência entre porcentagens, frações centesimais e suas representações como
números decimais.
• Saber S15.H06: ler e interpretar dados dispostos em tabelas, gráficos, grafos, textos, relatórios
e outros meios de representação.
• Saber S15.H10: representar, em diversos suportes gráficos (fluxogramas, gráficos de bar-
ras, gráficos de colunas, gráficos de linhas, gráficos de setores, box-plots, gráficos de radar,
histogramas, entre outros), os dados contidos em um texto, tabela ou outro conjunto dedados.
• Saber S15.H14: resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou
gráficos.
• Saber S15.H17: calcular medidas de tendência central e de dispersão em conjuntos de dados.
• Saber S15.H18: formular modelos ou resolver problemas envolvendo medidas de tendência
central, tais como média, moda ou mediana, entre outras.
A questão 25 explora, meramente, a compreensão leitora de dados numéricas apresentados em
suportes como gráficos de barras. Além disso, o aluno deve modelar o problema em termos de
diferenças de percentuais e, a partir disso, verificar, com auxílio da figura ou de cálculos aritméticos
diretos, que a maior diferença ocorre em
56%− 12% = 44%,
o que corresponde à letra B).
A questão 26, por outro lado, requer a representação matemática do percentual médio como a
média aritmética dos percentuais informados nas barras à esquerda em cada classe. Uma vez que
P. 37 CADERNO 03
consiga elaborar essa modelagem, o estudante deve executar cálculos como os seguintes
37% + 12% + 25% + 35% + 28%
5
=
37% + 40% + 60%
5
=
135%
5
+
2%
5
= 27% + 0,4% = 27,4%,
obtendo, assim, o resultado na alternativa B).