Operações com Radicais

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33
 34. No caderno, simplifique as expressões numéricas a seguir.
a ) √ 
_
 3 + √ 
_
 5 + √ 
_
 3 
b ) √ 
_
 7 + √ 
_
 3 − √ 
_
 7 + 8 √ 
_
 3 
c ) 2 √ 
_
 2 − √ 
_
 11 + 5 √ 
_
 2 − 3 √ 
_
 11 
 35. Fatore o radicando em cada item e simplifique as expressões numéricas.
a ) √ 
_
 45 + √ 
_
 20 + √ 
_
 80 
b ) √ 
_
 54 + √ 
_
 24 − √ 
_
 6 
c ) √ 
_
 12 + 3 √ 
_
 27 − √ 
_
 48 + √ 
_
 75 
 36. Sabendo que as letras representam números reais positivos, simplifique as expressões 
a seguir.
a ) √ 
_
 n + 3 √ 
_
 40 + 3 √ 
_
 5 + √ 
_
 n 
b ) 4 √ 
_
 a b 2 − 3 √ 
_
 625 + 3 √ 
_
 135 − √ 
_
 a b 2 
c ) 3 √ 
_
 54 + √ 
_
 m 2 p + 3 √ 
_
 250 − √ 
_
 m p 2 + 2 √ 
_
 m 2 p 
 37. Sabendo que a = √ 
_
 5 , b = − 1 e c = − √ 
_
 2 , calcule o valor das seguintes expressões.
a ) a 2 + b 2 + c 2 
b ) a 2 + b 2 − c 2 
c ) a 2 ( b 2 + c 2 ) 
d ) 3 a 2 + b 2 − c 
e ) a 2 + 4ab − c 2 
Agora, analise como efetuar multiplicações e divisões com radicais de índices diferentes.
Vamos calcular, por exemplo, √ 
_
 2 ⋅ 
3
 √ 
_
 3 2 .
 • Escrevemos os radicais na forma de potências com expoentes fracionários. Em seguida, 
calculando o mínimo múltiplo comum ( mmc ) dos denominadores, reduzimos os expoen-
tes a frações com o mesmo denominador.
 √ 
_
 2 ⋅ 
3
 √ 
_
 3 2 = 2 
 1 _ 2 
 ⋅ 3 
 2 _ 3 
 = 2 
 3 _ 6 
 ⋅ 3 
 4 _ 6 
 mmc (2,3) = 6 
 • Agora que as frações dos expoentes estão com o mesmo denominador, escrevemos as 
potências com expoentes fracionários na forma de raízes.
 2 
 3 _ 6 
 ⋅ 3 
 4 _ 6 
 = 
6
 √ 
_
 2 3 ⋅ 
6
 √ 
_
 3 4 
 • Depois, aplicamos as propriedades das raízes e simplificamos o resultado.
 
6
 √ 
_
 2 3 ⋅ 
6
 √ 
_
 3 4 = 
6
 √ 
_
 2 3 ⋅ 3 4 = 6 √ 
_
 8 ⋅ 81 = 6 √ 
_
 648 
Portanto, √ 
_
 2 ⋅ 
3
 √ 
_
 3 2 = 6 √ 
_
 648 .
Seguindo os mesmos procedimentos, podemos calcular o valor de 
5
 √ 
_
 14 2 : 3 √ 
_
 14 .
 
5
 √ 
_
 14 2 : 3 √ 
_
 14 = 14 
 2 _ 5 
 : 14 
 1 _ 3 
 = 14 
 6 _ 15 
 : 14 
 5 _ 15 
 = 
15
 √ 
_
 14 6 : 
15
 √ 
_
 14 5 = 
15
 √ 
_
 14 6 : 14 5 = 15 √ 
_
 14 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
34. Sugestão de respostas: a) 2 √ 
_
 3 + √ 
_
 5 ; b) 9 √ 
_
 3 ; c) 7 √ 
_
 2 − 4 √ 
_
 11 .
35. Respostas: a) 9 √ 
_
 5 ; b) 4 √ 
_
 6 ; c) 12 √ 
_
 3 .
36. Respostas: a) 2 √ 
_
 n + 3 3 √ 
_
 5 ; b) 3b √ 
_
 a − 2 3 √ 
_
 5 ; c) 3m √ 
_
 p − p √ 
_
 m + 8 3 √ 
_
 2 .
37. Respostas: a) 8; b) 4; c) 15; d) 16 + √ 
_
 2 ; e) 3 − 4 √ 
_
 5 .
33
• Se julgar necessário, ao trabalhar 
com as atividades 34 e 35, resolva 
na lousa com os estudantes o item a 
de cada uma delas. Assim, espera-
-se auxiliá-los no desenvolvimento 
dos demais itens.
• Ao trabalhar com a atividade 36, 
verifique se os estudantes colocam 
em evidência os fatores comuns 
dos termos das expressões. Se ne-
cessário, retome os cálculos pro-
postos no tópico Adição e subtra-
ção com radicais.
• Na atividade 37, converse com 
os estudantes a respeito da ordem 
em que as operações devem ser 
resolvidas em uma expressão nu-
mérica. Caso tenham dificuldades, 
apresente-lhes alguns exemplos. 
2
283
3
634
·42 34 − 26
4 096 − 7 · 23
3 53 + 24
4
3 53
322
23
200
18
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fe
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19
98
.
34
A. B.
 38. Calcule a medida do perímetro de cada figura representada a seguir, sabendo que as 
medidas estão dadas em metros.
IL
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A 
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O
RA
 39. Simplifique cada expressão numérica, deixando-as na forma irredutível, ou seja, até que 
não seja possível fazer mais simplificações.
a ) 
√ 
_
 2 + √ 
_
 72 + √ 
_
 98 _________________ 
 √ 
_
 8 
 
b ) 
√ 
_
 243 − √ 
_
 27 + √ 
_
 2187 _____________________ 
 √ 
_
 3267 
 
c ) 
√ 
_
 500 + √ 
_
 125 + √ 
_
 5 __________________ 
2 √ 
_
 5 
 
 40. Seja m = √ 
_
 2000 − √ 
_
 500 e n = 24 + √ 
_
 180 . Calcule m + n e simplifique o resultado.
 41. Considerando √ 
_
 2 ≃ 1,4 ; √ 
_
 3 ≃ 1,7 ; √ 
_
 5 ≃ 2,2 e √ 
_
 7 ≃ 2,6 , calcule o valor aproximado 
das seguintes expressões numéricas:
a ) 3 √ 
_
 20 − 5 √ 
_
 50 + √ 
_
 80 
b ) √ 
_
 700 + √ 
_
 972 − √ 
_
 500 
c ) 2 √ 
_
 45 + √ 
_
 50 − √ 
_
 18 
d ) √ 
_
 98 + √ 
_
 200 + √ 
_
 162 
e ) √ 
_
 7500 − √ 
_
 2450 − √ 
_
 4500 
 42. Determine o valor de x em cada item de modo que a igualdade seja verdadeira.
a ) √ 
_
 17 + x = 4 √ 
_
 17 
b ) √ 
_
 20 + √ 
_
 5 = x 
c ) √ 
_
 8 − x = √ 
_
 2 
d ) x − √ 
_
 12 = 6 √ 
_
 3 
e ) 12 √ 
_
 5 − x = − √ 
_
 20 
f ) 5 √ 
_
 7 + x = √ 
_
 63 
 43. Efetue os cálculos.
a ) √ 
_
 23 ⋅ √ 
_
 7 
b ) √ 
_
 45 ⋅ √ 
_
 12 
c ) √ 
_
 18 ⋅ √ 
_
 42 
d ) √ 
_
 32 _ 5 ⋅ √ 
_
 20 _ 2 
e ) 3 √ 
_
 16 ⋅ 3 √ 
_
 54 
f ) √ 
_
 50 ⋅ √ 
_
 12 ⋅ √ 
_
 8 
 44. Analise a figura a seguir.
Sabendo que o retângulo acima representa um terreno, elabore um problema usando 
as informações apresentadas e dê para um colega resolver. Depois, verifique se a res-
posta apresentada por ele está correta.
38. Respostas: A. 24 m ; B. 24 √ 
_
 2 m .
39. Respostas: a) 7; b) 1; c) 8.
40. Resposta: 16 √ 
_
 5 + 24 .
41. Respostas: a) − 13 ; b) 34,6 ; c) 16; d) 36,4 ; e) − 30 .
42. Respostas: a) 3 √ 
_
 17 ; b) 3 √ 
_
 5 ; c) √ 
_
 2 ; d) 8 √ 
_
 3 ; e) 14 √ 
_
 5 ; f) − 2 √ 
_
 7 .
43. Respostas: a) √ 
_
 161 ; b) 6 √ 
_
 15 ; c) 6 √ 
_
 21 ; d) 4 √ 
_
 10 _ 5 ; e) 6 3 √ 
_
 4 ; f) 40 √ 
_
 3 .
44. Resposta pessoal.
34
• Se julgar conveniente, na ativi-
dade 38, oriente os estudantes a 
simplificar, quando possível, as ex-
pressões que indicam a medida do 
comprimento dos lados das figuras 
e, em seguida, calcular a medida do 
perímetro. 
• Na atividade 39, caso os estudan-
tes apresentem dificuldades, resol-
va um dos itens com eles. Durante 
a resolução desse item, chame a 
atenção para o fato de resultar em 
uma expressão mais simples, após 
a execução de alguns procedimen-
tos. Nesta atividade, é necessário 
avaliar com cautela e ter certeza 
de que não é possível simplificá-la 
ainda mais, pois o enunciado soli-
cita que elas sejam escritas em sua 
forma irredutível.
• Caso considere conveniente, 
apresente as atividades 40, 41 e 42 
como uma tarefa de avaliação em 
duplas. Incentive-os a escrever to-
dos os procedimentos utilizados nas 
resoluções. Em seguida, troque os 
registros entre as duplas, para que 
uma corrija a tarefa da outra. Essa 
dinâmica permite abordar a Com-
petência geral 10, uma vez que 
possibilita o exercício da responsabi-
lidade, flexibilidade, resiliência e de-
terminação, tomando decisões com 
base em princípios éticos. 
• Durante o desenvolvimento da 
atividade 43, certifique-se de que 
os estudantes não confundam os 
procedimentos de adicionar ra-
dicais com os procedimentos de 
multiplicá-los. Caso isso ocorra, 
retome o trabalho com o tópico 
Operações com radicais.
• A atividade 44 contempla aspec-
tos da habilidade EF09MA04, pois 
solicita a elaboração de um proble-
ma. Além disso, aborda a Compe-
tência geral 2 e a Competência 
específica de Matemática 6, uma 
vez que os estudantes podem tra-
balhar com situações imagináveis e 
exercitar a criatividade. 
Calcule a medida do perímetro do retângu-
lo a seguir.
 54 m
 24 m
Resolução e comentários
O perímetro de uma figura geométrica plana é 
o comprimento de seu contorno.Desse modo, 
temos:
 √ 
_
 54 + √ 
_
 54 + √ 
_
 24 + √ 
_
 24 = 
 = 2 √ 
_
 54 + 2 √ 
_
 24 = 
 = 2 √ 
_
 2. 3 3 + 2 √ 
_
 2 3 ⋅ 3 = 
 = 2 √ 
_
 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 + 2 √ 
_
 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 
 = 2 ⋅ 3 √ 
_
 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 √ 
_
 2 ⋅ 3 = 
 = 6 √ 
_
 6 + 4 √ 
_
 6 = 10 √ 
_
 6 
Portanto, o perímetro dessa figura mede
 10 √ 
_
 6 cm . 
Atividade a mais
CA
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BO
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AR
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A 
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3− 4
3+ 4
83
82
3 m2
3 m2
3 m2
3 24 m
3 m4 3
9 m2 3
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10
 d
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 d
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 d
e 
19
98
.
35
 45. Sabendo que as letras representam números reais positivos, resolva no caderno as ex-
pressões a seguir.
a ) 
6 √ 
_
 a 5 _ b ⋅ 
6 √ 
_
 a _ b 
b ) 5 √ 
_
 x 2 ⋅ y 3 ⋅ 5 √ 
_
 x 3 ⋅ y 2 
c ) 7 √ 
_
 z 4 ⋅ y 2 ⋅ 7 √ 
_
 z 3 ⋅ y 6 
d ) √ 
_
 7 a 2 _ 
 √ 
_
 9 b 2 
 ⋅ √ 
_
 7 a 2 _ 
 √ 
_
 9 b 2 
 
 46. Sendo x um número real positivo, a expressão √ 
_
 x ⋅ 3 √ 
_
 x ⋅ 6 √ 
_
 x ⋅ 3 √ 
_
 x pode ser escrita 
como:
a ) x 3 3 √ 
_
 x b ) 4 √ 
_
 x 3 c ) x √ 
_
 x d ) x 3 4 √ 
_
 x e ) x 3 √ 
_
 x 
 47. Sabendo que A = 2 + √ 
_
 2 , B = 2 − √ 
_
 2 e C = √ 
_
 8 , calcule o valor de cada expressão.
a ) A + B ⋅ C 
b ) A ⋅ B ⋅ C 
c ) A ⋅ C − B 
d ) A − B _ C 
 48. Simplifique cada expressão numérica a seguir, escrevendo-a no caderno com uma única 
raiz.
a ) 
3
 √ 
_
 √ 
_
 3 ⋅ 
10
 √ 
_
 3 √ 
_
 6 
b ) √ 
_
 √ 
_
 2 ⋅ 
4
 √ 
_
 6 √ 
_
 5 
c ) √ 
_
 √ 
_
 √ 
_
 5 : 
4
 √ 
_
 5 √ 
_
 5 
d ) √ 
_
 2 7 √ 
_
 2 : √ 
_
 
3
 √ 
_
 √ 
_
 2 
 49. Calcule a medida da área de cada figura a seguir, sabendo que as medidas estão indi-
cadas em metros.
 50. Calcule a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo de acordo com 
as medidas indicadas.
A.
A.
B.
B.
IL
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G
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 L
IM
A/
AR
Q
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A/
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 D
A 
ED
IT
O
RA
45. Respostas: a) a _ 
 b 2 
 ; b) xy ; c) zy 7 √ 
_
 y ; d) 7 a 2 _ 
9 b 2 
 .
46. Resposta: Alternativa e.
47. Respostas: a) 5 √ 
_
 2 − 2 ; b) 4 √ 
_
 2 ; c) 2 + 5 √ 
_
 2 ; d) 1.
48. Respostas: a) 30 √ 
_
 1458 ; b) 24 √ 
_
 320 ; c) 40 √ 
_
 125 ; d) 
84
 √ 
_
 2 41 .
49. Respostas: A. 6,5 m 2 ; B. 48 m 2 .
50. Respostas: A. 24 √ 
_
 3 m 3 ; B. 48 3 √ 
_
 3 m 3 .
35
• Possibilite que os estudantes re-
solvam as atividades 45, 46 e 47 
em grupos. Após todos concluírem 
as atividades, proponha uma roda 
de conversa para que sejam discu-
tidas as estratégias de resolução. 
Desse modo, possibilita-se o de-
senvolvimento das Competências 
gerais 9 e 10.
• Ao trabalhar com a atividade 48, 
verifique se os estudantes aplicam 
corretamente a 4a propriedade – do 
tópico Propriedades dos radicais 
– e se efetuam as multiplicações 
corretamente. Se julgar necessário, 
retome o trabalho com os tópicos 
correspondentes.
• Caso julgue necessário, ao traba-
lhar a atividade 49 com os estudan-
tes, retome as fórmulas de cálculo 
da medida da área de um triângulo 
e de um paralelogramo.
• Ao trabalhar com a atividade 50, 
verifique se os estudantes aplicam 
corretamente a fórmula do cálculo 
da medida do volume de um pa-
ralelepípedo reto retângulo. Além 
disso, analise se multiplicam os ra-
dicais corretamente. Após todos 
resolverem as atividades, solicite 
que alguns deles exponham suas so-
luções para a turma, demonstrando 
os procedimentos utilizados.
Simplifique as expressões numéricas a se-
guir, transformando-as em uma única raiz.
a) 
3 √ 
_
 8 ⋅ 3 √ 
_
 3 ⋅ 3 √ 
_
 12 ______________ 
 3 √ 
_
 6 
 
b) 
√ 
_
 
3
 √ 
_
 3 2 ⋅ 
3
 √ 
_
 √ 
_
 10 ____________ 
 
3
 √ 
_
 6 _ 11 
 
Resoluções e comentários
a) 
3 √ 
_
 8 ⋅ 3 √ 
_
 3 ⋅ 3 √ 
_
 12 ______________ 
 3 √ 
_
 6 
 = 
3
 √ 
_
 2 3 ⋅ 3 √ 
_
 3 ⋅ 3 √ 
_
 2 ⋅ 6 ________________ 
 3 √ 
_
 6 
 =
= 2 ⋅ 3 √ 
_
 3 ⋅ 3 √ 
_
 2 ⋅ 3 √ 
_
 6 _______________ 
 3 √ 
_
 6 
 =
= 2 ⋅ 3 √ 
_
 6 = 
3
 √ 
_
 2 3 ⋅ 6 = 3 √ 
_
 48 
b) 
√ 
_
 
3
 √ 
_
 3 2 ⋅ 
3
 √ 
_
 √ 
_
 10 ____________ 
 
3
 √ 
_
 6 _ 11 
 = 
6 √ 
_
 9 ⋅ 6 √ 
_
 10 _ 
 
6
 √ 
_
 6 2 _ 
 11 2 
 
 = 
6 √ 
_
 90 _ 
 
6 √ 
_
 36 _ 
 6 √ 
_
 121 
 
 =
= 6 √ 
_
 90 ⋅ 
6 √ 
_
 121 _ 
 6 √ 
_
 36 
 = 
6 √ 
_
 10890 _ 
 6 √ 
_
 36 
 = 
6
 √ 
_
 5445 _ 18 
Informações sobre avaliações podem ser 
encontradas no tópico Avaliação, nas orien-
tações gerais deste manual.
Sugestão de avaliação
R
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ro
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çã
o 
pr
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da
. A
rt
. 1
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 d
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19
 d
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fe
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 d
e 
19
98
.
36
Racionalização
Cada fração escrita na lousa tem uma raiz não exata no denominador.
G
U
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H
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M
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RO
D
RI
G
U
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RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
Para racionalizar o denominador de uma fração, multiplicamos 
o numerador e o denominador por um mesmo número diferente 
de zero (fator racionalizante), sem alterar seu valor.
Por exemplo, para racionalizar a fração 1 _ 
 √ 
_
 6 
 , usamos o fator √ 
_
 6 .
 1 _ 
 √ 
_
 6 
 = 1 _ 
 √ 
_
 6 
 ⋅ √ 
_
 6 _ 
 √ 
_
 6 
 = √ 
_
 6 _ 
 √ 
_
 6 ⋅ 6 
 = √ 
_
 6 _ 
 √ 
_
 6 2 
 = √ 
_
 6 _ 6 O fator √ 
_
 6 foi escolhido para essa 
racionalização, pois √ 
_
 6 ⋅ √ 
_
 6 = √ 
_
 6 2 = 6 e, 
assim, eliminamos a raiz do denominador.
Atenção!
Agora, vamos calcular o valor aproximado de 1 _ 
 √ 
_
 6 
 e √ 
_
 6 _ 6 para verificar se essas duas 
frações são equivalentes. Para isso, vamos efetuar os cálculos utilizando uma calculadora e 
considerando √ 
_
 6 ≃ 2,449 .
De fato, nas duas divisões, obtemos o mesmo resultado.
De maneira parecida, em seu caderno, racionalize os denominadores das outras 
frações apresentadas na lousa da ilustração anterior.
Questão 4.
 1 _ 
 √ 
_
 6 
 ≃ 1 _ 2,449 ≃ 0,408 √ 
_
 6 _ 6 ≃ 2,449 _ 6 ≃ 0,408 
Na Matemática, não é comum escrevermos frações desse tipo, com raiz no denominador. 
Então transformamos cada uma delas em uma fração equivalente, de modo que não tenha 
raiz no denominador, usando um recurso chamado racionalização.
Questão 4. Resposta: 2 _ 
 √ 
_
 5 
 = 2 √ 
_
 5 _ 5 ; 3 _ 
 √ 
_
 15 
 = √ 
_
 15 _ 5 ; 8 _ 
 √ 
_
 7 
 = 8 √ 
_
 7 _ 7 ; 1 _ 
 √ 
_
 10 
 = √ 
_
 10 _ 10 .
36
• Antes de apresentar a teoria des-
ta página, avalie a possibilidade de 
propor aos estudantes que, em 
duplas, encontrem uma maneira 
de escrever uma fração equivalente 
a 1 _ 
 √ 
_
 6 
 , sem que o denominador seja 
um radical. Depois, considerando 
as estratégias e resoluções propos-
tas e desenvolvidas por eles, apre-
sente as explicações encontradas 
no livro. 
• Caso julgue necessário, ressalte 
que, ao multiplicar 1 _ 
 √ 
_
 6 
 por √ 
_
 6 _ 
 √ 
_
 6 
 , 
o valor da fração não se altera, pois 
 √ 
_
 6 _ 
 √ 
_
 6 
 = 1 , e 1 é o elemento neutro da 
multiplicação.
• Na questão 4, serão aplicados os 
procedimentos explorados na ex-
plicação deste tópico. Caso os es-
tudantes apresentem dificuldades, 
com a ajuda deles, racionalize o 
denominador da fração 2 _ 
 √ 
_
 5 
 . Apro-
veite o momento e reforce que o 
objetivo da racionalização é “tirar” 
o radical do denominador da fra-
ção, sem alterar seu valor.
R
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ro
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19
98
.
37
 51. Racionalizeos denominadores das frações.
a ) 1 _ 
 √ 
_
 5 
 
b ) 3 _ 
 √ 
_
 6 
 
c ) 8 √ 
_
 3 _ 
 √ 
_
 8 
 
d ) 3 √ 
_
 5 _ 
 √ 
_
 2 
 
e ) √ 
_
 3 _ 
 √ 
_
 6 
 
f ) √ 
_
 7 _ 
 √ 
_
 3 
 
g ) √ 
_
 5 _ 9 
h ) √ 
_
 10 _ 8 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
Podemos racionalizar o denominador da fração 6 _ 
2 √ 
_
 3 
 de duas maneiras diferentes, como 
mostrado a seguir.
1ª maneira
 6 _ 
2 √ 
_
 3 
 = 3 _ 
 √ 
_
 3 
 = 3 _ 
 √ 
_
 3 
 ⋅ √ 
_
 3 _ 
 √ 
_
 3 
 = 3 √ 
_
 3 _ 3 ⟋ = √ 
_
 3 
2ª maneira
 6 _ 
2 √ 
_
 3 
 = 6 _ 
2 √ 
_
 3 
 ⋅ √ 
_
 3 _ 
 √ 
_
 3 
 = 6 √ 
_
 3 _ 
2 √ 
_
 3 2 
 = 6 √ 
_
 3 _ 2 ⋅ 3 = 6 √ 
_
 3 _ 6 = √ 
_
 3 
Também podemos racionalizar o denominador da fração 2 _ 
 
5
 √ 
_
 3 2 
 multiplicando o numerador 
e o denominador por 
5
 √ 
_
 3 3 , pois 
5
 √ 
_
 3 2 ⋅ 
5
 √ 
_
 3 3 = 
5
 √ 
_
 3 2 ⋅ 3 3 = 
5
 √ 
_
 3 5 = 3 . Nesse caso, obtemos:
 2 _ 
 
5
 √ 
_
 3 2 
 ⋅ 
5
 √ 
_
 3 3 _ 
 
5
 √ 
_
 3 3 
 = 2 
5
 √ 
_
 3 3 _ 
 
5
 √ 
_
 3 5 
 = 2 
5
 √ 
_
 3 3 _ 3 
Note que:
 5 − 2 = 3 
expoente do radicando 
do fator racionalizante
índice da raiz expoente do radicando
Agora, para racionalizar o denominador de 3 _ 
 √ 
_
 5 + 1
 , multiplicamos o numerador e o de-
nominador por ( √ 
_
 5 − 1) , que é a “expressão conjugada” do denominador.
 3 _ 
 ( √ 
_
 5 + 1) 
 ⋅ 
 ( √ 
_
 5 − 1) _ 
 ( √ 
_
 5 − 1) 
 = 3 √ 
_
 5 − 3 ____________________ 
 √ 
_
 5 ⋅ 5 − √ 
_
 5 + √ 
_
 5 − 1
 = 3 √ 
_
 5 − 3 _ 
 √ 
_
 5 2 − 1
 = 3 √ 
_
 5 − 3 _ 5 − 1 = 3 √ 
_
 5 − 3 _ 4 
Lembre-se que o produto da soma pela diferença de dois 
termos é (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2 .
Atenção!
51. Respostas: a) √ 
_
 5 _ 5 ; b) √ 
_
 6 _ 2 ; c) 2 √ 
_
 6 ; d) 3 √ 
_
 10 _ 2 ; e) √ 
_
 2 _ 2 ; 
f) √ 
_
 21 _ 3 ; g) √ 
_
 5 _ 3 ; h) √ 
_
 5 _ 2 .
37
• Converse com os estudantes 
a fim de que eles percebam que o 
fator √ 
_
 5 − 1 foi escolhido conve-
nientemente, de modo que a raiz 
 √ 
_
 5 fosse elevada ao quadrado e 
eliminada do denominador.
• A atividade 51 envolve os casos 
mais comuns de racionalização. 
Aproveite-a e discuta, de modo 
detalhado, as resoluções apresen-
tadas pelos estudantes.
R
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19
98
.
38
 52. Em cada retângulo estão indicadas as medidas de sua área A e de seu comprimento. 
Determine a medida da largura de cada um deles.
2 m4
xA = 16 m2
5 m2
yA = 30 m2
A. B.
 53. Racionalize os denominadores das frações a seguir.
a ) 5 _ 
4 √ 
_
 3 
 
b ) 2 _ 
2 √ 
_
 6 
 
c ) 2 √ 
_
 5 _ 
 √ 
_
 6 
 
d ) √ 
_
 3 _ 
10 √ 
_
 5 
 
e ) √ 
_
 2 _ 
3 √ 
_
 7 
 
f ) 2 √ 
_
 3 _ 
2 √ 
_
 5 
 
g ) 3 √ 
_
 2 _ 
2 √ 
_
 8 
 
h ) 8 √ 
_
 12 _ 
3 √ 
_
 5 
 
 54. Racionalize os denominadores.
a ) 5 _ 
 
6
 √ 
_
 2 4 
 b ) 4 _ 
 
7
 √ 
_
 3 2 
 c ) 2 _ 
 
10
 √ 
_
 7 6 
 d ) 3 _ 
 
9
 √ 
_
 5 2 
 e ) 7 _ 
 
4
 √ 
_
 3 3 
 f ) 10 _ 
 
10
 √ 
_
 10 7 
 
 55. Sabendo que as letras que aparecem nas frações representam números reais positivos, 
racionalize os denominadores.
a ) 
2y
 _ 
 √ 
_
 y 
 b ) a √ 
_
 b _ 
 √ 
_
 ab 
 c ) c √ 
_
 d _ 
d √ 
_
 c 
 d ) 2x _ 
 √ 
_
 4xz 
 e ) ab _ 
 √ 
_
 b 
 f ) d √ 
_
 c _ 
 √ 
_
 cd 
 
 56. Racionalize os denominadores.
a ) 4 _ 
 √ 
_
 5 + 1
 
b ) √ 
_
 6 _ 
2 − √ 
_
 7 
 
c ) √ 
_
 2 − 1 _ 
3 + √ 
_
 8 
 
d ) 3 + √ 
_
 3 _ 
 √ 
_
 6 − 2
 
e ) 8 _ 
 √ 
_
 8 + 3
 
f ) 1 − √ 
_
 5 _ 
 √ 
_
 7 − 5
 
 57. Simplifique as expressões a seguir, racionalizando os denominadores sempre que possível.
a ) 
5
 √ 
_
 3 3 _ 4 ⋅ 
5
 √ 
_
 3 2 _ 
 √ 
_
 6 
 
b ) 
3
 √ 
_
 5 ⋅ 3 2 ⋅ 
3
 √ 
_
 5 2 ⋅ 3 _____________ 
 3 √ 
_
 2 
 
c ) 2 _ 
 3 √ 
_
 3 
 ⋅ √ 
_
 7 _ 
 
3
 √ 
_
 3 2 
 
d ) 
3 √ 
_
 4 ⋅ 3 √ 
_
 6 ⋅ 3 √ 
_
 10 ___________ 
 3 √ 
_
 5 ⋅ 3 √ 
_
 8 ⋅ 
3
 √ 
_
 9 2 
 
e ) 
3 √ 
_
 16 _ 
 √ 
_
 5 
 ⋅ 
3 √ 
_
 2 _ 
 5 √ 
_
 3 
 ⋅ 
 ( 5 √ 
_
 27 ) 
2
 
 _ 
 3 √ 
_
 5 
 ⋅ √ 
_
 125 _ 
 3 √ 
_
 4 
 
f ) 2 _ 
 √ 
_
 2 
 ⋅ 3 _ 
 √ 
_
 3 
 ⋅ 4 _ 
 √ 
_
 4 
 ⋅ 5 _ 
 √ 
_
 5 
 ⋅ 6 _ 
 √ 
_
 6 
 
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52. Respostas: A. x = 2 √ 
_
 2 m ; B. y = 3 √ 
_
 5 m 
53. Respostas: a) 5 √ 
_
 3 _ 12 ; b) √ 
_
 6 _ 6 ; c) √ 
_
 30 _ 3 ; d) √ 
_
 15 _ 50 ; e) √ 
_
 14 _ 21 ; f) √ 
_
 15 _ 5 ; g) 3 _ 4 ; h) 16 √ 
_
 15 _ 15 .
54. Respostas: a) 5 
6
 √ 
_
 2 2 _ 2 ; b) 4 
7
 √ 
_
 3 5 _ 3 ; c) 2 
10
 √ 
_
 7 4 _ 7 ; d) 3 
9
 √ 
_
 5 7 _ 5 ; e) 7 4 √ 
_
 3 _ 3 ; f) 
10
 √ 
_
 10 3 .
55. Respostas: a) 2 √ 
_
 y ; b) √ 
_
 a ; c) √ 
_
 dc _ d ; d) √ 
_
 xz _ z ; e) a √ 
_
 b ; f) √ 
_
 d .
57. Respostas: a) √ 
_
 6 _ 8 ; 
b) 15 
3
 √ 
_
 2 2 _ 2 ; c) 2 √ 
_
 7 _ 3 ; 
d) 
3 √ 
_
 2 _ 3 ; e) 6 
3
 √ 
_
 5 2 ; 
f) 12 √ 
_
 5 .
56. Respostas: a) √ 
_
 5 − 1 ; b) − 2 √ 
_
 6 + √ 
_
 42 ___________ 3 ; c) 5 √ 
_
 2 − 7 ; d) 3 √ 
_
 2 + 2 √ 
_
 3 + 3 √ 
_
 6 + 6 _____________________ 2 ; e) 24 − 16 √ 
_
 2 ; 
f) 
√ 
_
 35 + 5 √ 
_
 5 − √ 
_
 7 − 5 ____________________ 18 .
38
• Ao trabalhar com a atividade 52, 
caso os estudantes não apresen-
tem as medidas das larguras dos 
retângulos com expressões simpli-
ficadas, oriente-os a simplificá-las. 
Além disso, instigue-os a criar o 
hábito de sempre simplificar as res-
postas o máximo possível.
• Proponha que os estudantes re-
solvam as atividades 53, 54, 55, 56 
e 57 em grupos. Dessa maneira, 
eles poderão trocar ideias a res-
peito das operações com radicais, 
das propriedades dos radicais e 
dos procedimentos de racionaliza-
ção do denominador de frações. 
Após todos concluírem suas re-
soluções, organize uma roda de 
conversa para que as estratégias 
utilizadas sejam expostas. Além 
disso, se julgar conveniente, pro-
ponha que as equivalências – entre 
a expressão inicial e a obtida pe-
los estudantes – sejam verificadas 
usando uma calculadora.
Ao final do trabalho com as ativi-
dades desta unidade, avalie a pos-
sibilidade de utilizar a metodologia 
ativa Escrita rápida. Obtenha infor-
mações sobre essa metodologia no 
tópico Metodologias e estraté-
gias ativas, nas orientações gerais 
deste manual.
Metodologias ativas
O que eu estudei?
Faça as atividades em uma 
folha de papel avulsa.
x + 10
x + 10
x + 10
V = 4 913 cm³�
2x
2x
2x
V = 9 261 cm³�
R
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98
.
39
 1. Determine as potências a seguir.
a ) O quadrado do dobro de 6.
b ) O dobro do quadrado de 6.
c ) O quadrado do triplo de 2.
d ) O cubo do dobro de 5.
 2. Resolva os cálculos a seguir.
a ) 2 3 ⋅ 2 9 
b ) ( 2 _ 3 ) 
2
 ⋅ ( 2 _ 3 ) 
−3
 
c ) (− 5) 2 ⋅ (− 5) 
d ) ( 1 _ 5 ) 
−7
 : ( 1 _ 5 ) 
−9
 
e ) (− 7) 12 : (− 7) 10 
f ) (− 10) −21 : (10) −26 
g ) ( 3 3 ) 
−2
 
h ) ( 4 2 ) 
3
 
 9 5 A 9 3 
B 9 2 C
D E 9 −1 
 4. Resolva as expressõesa seguir.
a ) 2 2 + 100 0 + 15 1 − 1 10 b ) 8 2 ⋅ 2 4 + 2 10 c ) 27 3 ⋅ 3 5 _ 
 81 4 
 
 5. Escreva, em uma folha de papel avulsa, os números a seguir em notação científica.
a ) 7300000000 
b ) 86500000 
c ) 0,0000000164 
d ) 0,0000000000044 
 6. Calcule.
a ) 
 (4,22 ⋅ 10 8 ) + (3,4 ⋅ 10 7 ) ____________________ 
2 ⋅ 10 5 
 
b ) 
 (9,4 ⋅ 10 12 ) ⋅ (1,5 ⋅ 10 13 ) ___________________ 
6 ⋅ 10 26 
 
c ) 4,22 ⋅ 10 7 ____________________ 
 (8,86 ⋅ 10 6 ) − (4,2 ⋅ 10 5 ) 
 
 7. Sendo A = 531441 , calcule:
a ) √ 
_
 A . b ) 3 √ 
_
 A . c ) 4 √ 
_
 A .
 8. Nos cubos a seguir, as medidas dos comprimentos das arestas estão expressas 
em centímetros. Sabendo que V indica a medida do volume de cada cubo, deter-
mine o valor de x em cada item.
IL
U
ST
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G
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IM
A/
AR
Q
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O
 D
A 
ED
IT
O
RA
A. B.
 3. No quadrado mágico ao lado, o produto das linhas, colunas ou 
diagonais é sempre igual. Determine as potências de base 9 que 
as letras representam.
1. Respostas: a) (12) 2 ; b) 2 ⋅ 6 2 ; c) (6) 2 ; d) (10) 3 .
2. Respostas: a) 4096 ; b) 3 _ 2 ; c) − 125 ; d) 1 _ 25 ; e) 49; f) −100000 ; g) 1 _ 729 ; h) 4096 .
3. Resposta: A = 9 −2 ; B = 9 0 ; C = 9 4 ; D = 9 1 ; E = 9 6 .
4. Respostas: a) 19; b) 2048 ; c) 1 _ 9 .
5. Respostas: a) 7,3 ⋅ 10 9 ; b) 8,65 ⋅ 10 7 ; c) 1,64 ⋅ 10 −8 ; d) 4,4 ⋅ 10 −12 .
6. Respostas: a) 2280 ; b) 0,235; c) 5.
7. Respostas: a) 729; b) 81; c) 27.
8. Respostas: A. x = 7 ; B. x = 10,5 .
39
1. Objetivo
• Avaliar se os estudantes repre-
sentam em linguagem matemática 
potências escritas por extenso.
Como proceder
• Ao constatar dificuldades, resol-
va o item a na lousa, orientando 
os estudantes a determinar a ope-
ração que primeiro deve ser repre-
sentada.
2, 3 e 4. Objetivo
• Avaliar o desempenho dos estu-
dantes em atividades envolvendo 
cálculo de potências.
Como proceder
• Na atividade 2, verifique se os es-
tudantes aplicam corretamente as 
propriedades das potências. Se jul-
gar necessário, retome o trabalho 
com esse assunto. Já na atividade 3, 
se for conveniente, leve os estudan-
tes a compreender a necessidade 
de determinar a constante mágica 
do quadrado. Finalmente, na ati-
vidade 4, oriente os estudantes a 
aplicar as propriedades das potên-
cias nos itens b e c. Já no item a, 
recomende que apliquem as defini-
ções de potência estudadas.
5. Objetivo
• Avaliar se os estudantes escrevem 
um número em notação científica.
Como proceder
• Acompanhe as estratégias utiliza-
das pelos estudantes. Em caso de 
dificuldade, retome com eles qual 
deve ser a forma de um número es-
crito em notação científica.
6. Objetivo
• Constatar se os estudantes compreendem 
como efetuar cálculos com números escritos 
em notação científica.
Como proceder
• Caso os estudantes apresentem dificulda-
des, retome o trabalho com os procedimen-
tos expostos na atividade 11 da página 24.
7. Objetivo
• Avaliar se os estudantes calculam raízes 
quadradas, cúbicas e quartas de um número.
Como proceder
• Analise se os estudantes compreendem 
que, para calcular a raiz indicada em cada 
item, basta fatorar o número dado e escrevê-
-lo na forma de potência, cujo expoente coin-
cide com o índice da raiz.
8. Objetivo
• Avaliar se os estudantes calculam as raízes 
cúbicas de um número.
Como proceder
• Em caso de dificuldades dos estudantes, 
escreva na lousa a fórmula do cálculo da me-
dida do volume de um cubo. Para resolver a 
equação, sugira que calculem a raiz cúbica de 
cada termo.
50
252
8
42
6
32
36
92
40
252
10
52
20
7360
163
54
363
R
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10
 d
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19
 d
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fe
ve
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iro
 d
e 
19
98
.
40
 9. Associe as potências com as raízes.
IL
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G
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 D
A 
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IT
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RA
A. B. C.
a ) x 
5 _ 8 
 
b ) x 
2 _ 3 
 
c ) x 
1 _ 4 
d ) x 
8 _ 5 
 
e ) x 
3 _ 2 
 
f ) x 
3 _ 4 
g ) 4 √ 
_
 x 
h ) x 5 √ 
_
 x 3 
i ) x √ 
_
 x 
j ) 8 √ 
_
 x 5 
k ) 4 √ 
_
 x 3 
l ) 3 √ 
_
 x 2 
 10. Determine o valor de x de modo que a igualdade seja verdadeira.
a ) 
6
 √ 
_
 3 2 = 
x
 √ 
_
 3 4 
b ) 
8
 √ 
_
 √ 
_
 9 = x √ 
_
 9 
c ) ( 3 √ 
_
 8 ) 
3
 = 
3
 √ 
_
 8 x 
d ) √ 
_
 21 ⋅ √ 
_
 21 ⋅ √ 
_
 21 = √ 
_
 21 x 
e ) 3 √ 
_
 8 ⋅ 3 √ 
_
 9 = x √ 
_
 72 
f ) 
5
 √ 
_
 27 5 = x 
 11. Considerando √ 
_
 3 ≃ 1,73 ; √ 
_
 5 ≃ 2,24 e √ 
_
 6 ≃ 2,45 , calcule o valor aproximado de 
cada expressão numérica a seguir.
a ) √ 
_
 54 + √ 
_
 24 + √ 
_
 96 
b ) √ 
_
 27 + √ 
_
 12 − √ 
_
 3 
c ) √ 
_
 20 + 5 √ 
_
 45 − √ 
_
 80 + √ 
_
 125 
 12. Considerando √ 
_
 2 ≃ 1,41 e √ 
_
 3 ≃ 1,73 , calcule o valor aproximado de cada expressão 
numérica.
a ) √ 
_
 8 ⋅ √ 
_
 12 
b ) √ 
_
 32 ⋅ √ 
_
 27 
c ) √ 
_
 12 ⋅ √ 
_
 50 ⋅ √ 
_
 27 
d ) 3 √ 
_
 8 ⋅ √ 
_
 6 ⋅ √ 
_
 18 
 13. 4 _ 
 √ 
_
 6 
 + 2 _ 
 √ 
_
 8 
 é igual a:
a ) 8 √ 
_
 6 + 3 √ 
_
 8 ____________ 12 
b ) 6 √ 
_
 6 + 16 √ 
_
 8 ____________ 24 
c ) 4 √ 
_
 6 + 2 √ 
_
 8 ____________ 24 
d ) 6 √ 
_
 48 _ 48 
e ) 22 √ 
_
 14 _ 24 
 14. Determine a medida do volume de cada paralelepípedo reto retângulo.
9. Resposta: a–j; b–l; c–g; d–h; e–i; f–k.
10. Respostas: a) x = 12 ; b) x = 16 ; c) x = 3 ; d) x = 3 ; e) x = 3 ; f) x = 27 .
11. Respostas: a) 22,05 ; b) 6,92 ; c) 40,32 .
12. Respostas: a) 9,76 ; b) 29,27 ; c) 126,9 ; d) 20,76 .
13. Resposta: Alternativa a.
14. Respostas: A. 10 √ 
_
 3 ; B. 24 √ 
_
 5 ; C. 100 √ 
_
 7 _ 7 .
40
9. Objetivo
• Avaliar se os estudantes rela-
cionam corretamente potências e 
raízes.
Como proceder
• Caso os estudantes apresentem 
dificuldades, por meio de questio-
namentos, leve-os a recordar que o 
índice do radical corresponde ao de-
nominador do expoente da potência.
10. Objetivo
• Verificar se os estudantes apli-
cam corretamente as propriedades 
dos radicais.
Como proceder
• Se julgar necessário, retome o 
trabalho com as propriedades dos 
radicais. Além disso, se for conve-
niente, resolva o item a na lousa 
com os estudantes. Para tanto, bas-
ta aplicar a 2a propriedade.
11 e 12. Objetivo
• Acompanhar o desempenho dos 
estudantes em atividades envol-
vendo expressões numéricas com 
radicais.
Como proceder
• Se os estudantes tiverem dificul-
dades, escreva na lousa o número 
√ 
_
 15 e, com a ajuda deles, determi-
ne o valor aproximado desse núme-
ro, escrevendo-o como √ 
_
 3 ⋅ √ 
_
 5 e 
fazendo as substituições e os cálcu-
los necessários.
13. Objetivo
• Avaliar se os estudantes racionali-
zam uma fração corretamente.
Como proceder
• Acompanhe as estratégias dos 
estudantes. Em caso de dificuldade, 
sugira que racionalizem cada fração 
e, em seguida, escreva-as no mes-
mo denominador.
14. Objetivos
• Acompanhar o desempenho dos 
estudantes em atividades envolven-
do multiplicação com radicais.
• Constatar se os estudantes com-
preendem como racionalizar uma 
fração.
Como proceder
• Analise se os estudantes percebem que a medi-
da do volume de um paralelepípedo reto retângulo 
é dada pelo produto das medidas de suas dimen-
sões. Depois, confira se eles fazem a racionaliza-
ção corretamente. Se necessário, resolva o item A 
na lousa com a ajuda deles.
41
Razão e proporção3
 • o conceito de razão e de proporção;
 • algumas razões especiais;
 • grandezas diretamente proporcionais e 
grandezas inversamente proporcionais;
 • divisão em partes proporcionais;
 • ângulos opostos pelo vértice;
 • ângulos formados por um feixe de retas 
paralelas e uma transversal;• o conceito de razão aplicado a segmen-
tos de reta proporcionais;
 • o teorema de Tales e sua aplicação nos 
triângulos.
Agora vamos estudar...
UNIDADE
Busto da escultura David, do artista Michelangelo, esculpido em 
proporções muito próximas das reais de um homem adulto.
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M
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41
• A abertura da unidade apresenta 
uma imagem de parte da escultura 
David, de Michelangelo. Diga aos 
estudantes que, nessa escultura, 
cuja altura mede 5,17 m , o artista 
usou proporções muito próximas 
a de um homem adulto, o que exi-
giu conhecimentos sobre razão e 
proporção. Depois, explique aos 
estudantes que há várias aplica-
ções para os conceitos de razão e 
proporção, entre elas, problemas 
envolvendo grandezas diretamente 
e inversamente proporcionais e di-
visão de uma grandeza em partes 
diretamente proporcionais e inver-
samente proporcionais.
• Para complementar o trabalho 
com esta abertura, faça questiona-
mentos como:
a ) Vocês já tinham visto a escultura 
David, de Michelangelo, em algum 
lugar?
b ) Vocês conhecem outros traba-
lhos desse artista?
c ) Como vocês fariam para obter 
a razão utilizada por Michelangelo 
nessa obra?
d ) Além de Michelangelo, vocês 
conhecem ou já ouviram falar de 
outro artista que utiliza ou utilizou 
razão e proporção em suas obras?
Para desenvolver o trabalho com 
esta página de abertura, avalie a 
possibilidade de utilizar a metodo-
logia ativa Abordagem por pares. 
Obtenha informações sobre essa 
metodologia no tópico Metodo-
logias e estratégias ativas, nas 
orientações gerais deste manual.
Metodologias ativas
A fim de avaliar o conhecimento prévio dos estu-
dantes sobre os conteúdos que serão trabalhados 
na unidade, escreva na lousa as igualdades 3 _ 5 = 12 _ 20 
e 6 _ 12 = 1 _ 3 e peça aos estudantes que indiquem qual 
delas é verdadeira.
Resolução e comentários
É verdadeira a igualdade 3 _ 5 = 12 _ 20 , pois 3 ⋅ 20 = 
= 5 ⋅ 12 = 60 . A igualdade 6 _ 12 = 1 _ 3 é falsa, pois 
 6 _ 12 = 1 _ 2 ou 3 ⋅ 6 ≠ 12 ⋅ 1 .
Informações sobre avaliações podem ser encon-
tradas no tópico Avaliação, nas orientações gerais 
deste manual.
Sugestão de avaliação
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42
Razão
Neste tópico, estudaremos como comparar duas grandezas. Para isso, vamos analisar o 
seguinte exemplo.
Na prova de Matemática, Félix acertou 9 atividades e errou 4. Nesse caso, dizemos que a 
razão entre o número de acertos e o número de erros de Félix nessa prova é de 9 : 4 ou 9 __ 
4
 .
Sejam a e b dois números reais, com b ≠ 0 . A razão entre a e b é o quociente 
de a por b, ou seja, a : b ou a __ 
b
 .
Agora, considere o seguinte problema.
Em uma turma de 9º ano, há 42 estudantes. A razão entre o número de meni-
nos e o de meninas é 5 : 2 . Quantas meninas há nessa turma?
Meninos Meninas Total de 
estudantes
 5 = (5 ⋅ 1) 2 = (2 ⋅ 1) 7
 10 = (5 ⋅ 2) 4 = (2 ⋅ 2) 14
 15 = (5 ⋅ 3) 6 = (2 ⋅ 3) 21
 … … … 
 5x 2x 42
Quantos meninos há na turma de 9º ano?
Na sequência, estudaremos algumas razões que estão presentes em nosso dia a dia.
Velocidade média
A velocidade média é definida como a distância total percorrida dividida pelo tempo 
gasto para percorrê-la. Para compreender melhor, vamos analisar o seguinte exemplo:
Para ir ao trabalho, Marcelo percorreu com seu carro 20 km em 50 min . Para determinar 
a medida da velocidade média da viagem em quilômetros por hora, calculamos:
Questão 1.
 20 ___ 
 5 __ 
6
 
 = 6 ⋅ 20 ______ 
5
 = 24 
 50 min equivale a 50 ___ 
60
 h = 5 __ 
6
 h . 
Atenção!
Algumas das unidades utilizadas para expressar a velocidade média 
são quilômetro por hora (km / h) e metro por segundo (m / s) .
Atenção!
Portanto, a velocidade média desse trajeto mede 24 km / h .
Para resolver o problema, podemos elaborar 
um quadro.
Desse modo, segue que:
 5x + 2x = 42 ⇒ 7x = 42 ⇒ x = 42 ___ 
7
 = 6 
Portanto, na turma há 2 ⋅ 6 = 12 meninas.
Questão 1. Resposta: 30 meninos.
42
• Compreender o conceito de ra-
zão e de proporção.
• Estudar algumas razões, como 
densidade demográfica, densidade 
de um objeto e escala.
• Reconhecer e distinguir grandezas 
diretamente proporcionais e grande-
zas inversamente proporcionais.
• Determinar uma divisão em par-
tes proporcionais.
• Identificar e calcular ângulos opos-
tos pelo vértice e ângulos formados 
por um feixe de retas paralelas e 
uma transversal.
• Identificar se os segmentos de 
retas são proporcionais.
• Determinar a razão entre as me-
didas de dois segmentos de reta.
• Resolver e elaborar situações-
-problemas envolvendo segmentos 
de retas proporcionais.
• Usar o teorema de Tales para de-
terminar as medidas de segmentos 
de reta.
• Utilizar o teorema de Tales em 
triângulos para determinar as medi-
das do comprimento de seus lados.
• Resolver e elaborar situações-pro-
blema usando o teorema de Tales.
Objetivos da unidade
Os conteúdos abordados nesta 
unidade são relevantes para que os 
estudantes aprofundem o trabalho 
com razão e proporção. Esse estudo 
foca também algumas razões, como 
densidade demográfica, densidade 
de um objeto, medida da velocidade 
média e escala. Dessa forma, busca-
-se levar os estudantes a perceber a 
presença de grandezas proporcio-
nais e não proporcionais em inúme-
ras circunstâncias. O trabalho com 
a divisão em partes diretamente e 
inversamente proporcionais colabo-
ra para que os estudantes resolvam 
problemas presentes nos mais varia-
dos contextos, como financeiros, de 
divisão de contas etc.
Justificativas
• Antes de apresentar o conteúdo 
desta página, verifique o conheci-
mento dos estudantes relacionado 
à razão. Relembre os casos estuda-
dos em anos anteriores e permita 
que eles conversem entre si, tendo 
a oportunidade de resgatar o co-
nhecimento prévio sobre o assunto 
e tornar o estudo mais significativo. 
das linhas anteriores, nas quais cada quantidade é 
obtida pela multiplicação por 5 e por 2, respecti-
vamente.
• Na questão 1, verifique se os estudantes calcu-
lam a quantidade de meninos utilizando a razão 5 _ 2 , 
ou seja, multiplicando 5 por 6, ou se apenas sub-
traem de 42. Identifique as dificuldades deles e 
oriente-os.
Apresente na lousa o problema que diz que a ra-
zão entre o número de meninos e o de meninas é 
de 5 _ 2 e peça aos estudantes que apresentem estra-
tégias de resolução. Depois, reproduza na lousa o 
quadro apresentado nesta página, a fim de deter-
minar o número de meninas.
• Avalie a necessidade de explicar a eles o que o 
x significa no quadro apresentado. Para isso, ana-
lise se eles identificam o padrão nos produtos