Apostila 2 Série - 3 Bimestre (1)

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Matemática e
suas Tecnologias
Matemática e
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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IMERSÃO CURRICULAR
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes ti pos 
de sólidos geométricos e suas parti cularidades, ilus-
trando com objetos do coti diano e/ou por aplica-
ti vos para dedução do princípio de Cavalieri para 
aplicá-las em situações reais.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Imersão Curricular
Sólidos Geométricos
Para iniciarmos nossa abordagem ao conteúdo 
deste módulo basta olharmos ao nosso redor. Nosso 
coti diano está cercado por referências a geometria, 
seja ela plana ou espacial. Podemos então exercitar 
nossos olhos buscando essas referências nos mais va-
riados ambientes, a começar pela própria sala de aula.
É possível perceber o quadro como a representa-
ção de um quadrilátero, o giz como a representação de 
um cilindro, a caixa, no canto da sala, se parece com 
um paralelepípedo. O globo terrestre que o professor 
de Geografi a trouxe outro dia pode ser relacionado 
com a esfera, e essas são apenas algumas das coisas 
com as quais podemos relacionar a geometria com o 
nosso coti diano.
Faz-se então necessário conhecer mais sobre tais 
referências para sermos capazes de estabelecer essa 
relação entre vida e matemáti ca.
Começamos então defi nindo o que são sólidos 
geométricos, que nada mais são do que objetos tri-
dimensionais, quando falamos isso, estamos nos re-
ferindo a objetos com comprimento, largura e altura, 
que podem ser classifi cados em poliedro ou corpos 
redondos. Falaremos mais sobre isso mais para fren-
te, por hora, vamos nos ater apenas à parte geral de 
sólidos.
Sem nos atermos tanto a defi nições, veja a seguir 
alguns exemplos de sólidos geométricos:
Figura 1: Sólidos Geométricos – aedonamaria
Agora podemos então pensar nessas referências 
apresentadas e buscar outras imagens/objetos que 
são correspondentes em nosso coti diano.
MÍDIAS INTEGRADAS
Dinâmica
Em conjunto com a turma, após ter apresentado os 
sólidos sem muitos detalhes, vamos dividir a turma 
em 5 grupos. Cada grupo fi cará responsável por um 
dos sólidos apresentados. Então devem fazer um 
pequeno passeio pelos ambientes da insti tuição, 
buscando objetos que lembrem ou se assemelham 
ao solido que designado a seu grupo.
Essa ação objeti va fomentar o trabalho do processo 
de identi fi cação destes sólidos em nosso coti diano, 
trazendo representações que sejam mais próximas 
a realidade de cada estudante e/ou ambiente es-
colar.
Após todos terem realizado suas associações, os 
grupos retornam à sala, e, então, apresentam as ca-
racterísti cas que os objetos ti nham em comum para 
que se tornassem associável ao sólido em questão. 
Já buscando estabelecer as característi cas desses 
sólidos para um próximo momento.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Observe o sólido a seguir
 Assinale a alternati va que apresente uma possível 
representação deste solido no mundo real.
(A) Pirâmide do Egito
(B) Sorvete de casquinha
(C) Bola de futebol
(D) Rede de vôlei.
(E) Copo
2. Observe a imagem a seguir 
Figura 2: Globo Terrestre em Braile - Bia Mapas
 O objeto pode ser associado a qual sólido geo-
métrico?
(A) Cone
(B) Paralelepípedo
(C) Pirâmide 
(D) Esfera
(E) Cilindro
3. Considere o sólido geométrico a seguir 
 Assinale a alternati va que apresente uma possível 
representação desse sólido no nosso mundo real.
(A) Cone
(B) Esfera
(C) Pirâmide
(D) Paralelepípedo
(E) Cilindro.
4. Observe o objeto apresentado na imagem a se-
guir
Figura 3: Exti ntor de Incendio – Bucka
 O objeto apresentado pode ser associado a qual 
sólido geométrico?
(A) Cone
(B) Esfera
(C) Pirâmide
(D) Paralelepípedo
(E) Cilindro.
5. Observe o objeto na imagem a seguir 
Figura 4: Caixa de sapato Nike – Shopee
 O objeto apresentado pode ser associado a qual 
sólido geométrico?
(A) Cone
(B) Esfera
(C) Pirâmide
(D) Paralelepípedo
(E) Cilindro.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
126
Estabelecido nosso processo de associação, po-
demos agora identi fi car o que compõe os sólidos 
geométricos, suas classifi cações e parti cularidades.
Como dito anteriormente, é possível classifi car-
mos os sólidos geométricos em Poliedros e Corpos 
Redondos.
Quando abordamos os estudos dos poliedros, po-
demos dizer que esses sólidos são fi guras geométricas 
tridimensionais, compostas por um número determi-
nado lados que são formados por polígonos. 
Corpos redondos, como o próprio nome indica, 
são sólidos geométricos que possuem uma super� cie 
arredondada ou curva. Um fato interessante dos cor-
pos redondos é que eles podem ser conhecidos como 
sólidos de revolução, que são construídos a parti r da 
rotação de uma fi gura plana.
Podemos então elencar algumas característi cas 
dos poliedros:
• São compostos por faces, arestas e vérti ces:
– Faces são os polígonos que formam a super-
� cies do poliedro;
– Arestas são os lados comuns a duas faces do 
poliedro;
– Vérti ces são os pontos de intersecção das 
arestas do poliedro.
Na imagem a seguir podemos ver alguns exemplos 
de poliedros:
Figura 5: Poliedros - iped - Preparatório Enem
Quanto aos corpos redondos, suas característi cas 
não são tão determinísti cas, basta que ele possua uma 
super� cie arredondada em sua composição. 
Na imagem a seguir conseguimos ver alguns cor-
pos redondos:
Figura 6: Corpos Redondos - Planejati vo
MÍDIAS INTEGRADAS
Dinâmica
Com base nas característi cas que os grupos elen-
caram a cada um dos sólidos, durante as aulas an-
teriores, podemos iniciar uma breve classifi cação 
dos sólidos que foram apresentados em poliedros 
e corpos redondos, bem como indagar mais sobre 
as característi cas desses poliedros e corpos redon-
dos em associação com os objetos aos quais esses 
sólidos foram associados.
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes ti pos 
de sólidos geométricos e suas parti cularidades, ilus-
trando com objetos do coti diano e/ou por aplica-
ti vos para dedução do princípio de Cavalieri para 
aplicá-las em situações reais.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Sobre os sólidos geométricos
Agora iremos começar a focar nosso processo de 
abordagem em situações mais específi cas, inicialmen-
te estudaremos os poliedros.
Como dito anteriormente poliedros são fi guras ge-
ométricas tridimensionais que são compostas por um 
número determinado lados, que formam os polígonos.
Em específi cos podemos observar os seguintes 
componentes de um poliedro
• São compostos por faces, arestas e vérti ces
– Faces são os polígonos que formam a super-
� cies do poliedro.
– Arestas são os lados comuns a duas faces do 
poliedro.
– Vérti ces são os pontos de intersecção das 
arestas do poliedro.
Quando falamos de poliedros é comum darmos 
nomes a cada um deles, e essa nomenclatura deriva 
do número de lados que o sólido apresenta.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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Observação – A palavra poliedro é formada por poli, 
do grego polys (muitos ou vários) e edro do grego hedra
(face) ou seja, um poliedro é um solido de muitas faces.
Esse processo de nomenclatura pelo número de 
faces segue o seguinte proposto:
Nome do Poliedro Número de faces
Tetraedro 4
Pentaedro 5
Hexaedro 6
Heptaedro 7
Octaedro 8
Eneaedro 9
Decaedro 10
Undecaedro 11
Dodecaedro 12
Icosaedro 20
Figura 7: Poliedros - Casa da Matemáti ca
Podemos, então, além de nomear, classifi car es-
ses poliedros em dois grupos, poliedros convexos e 
poliedros não convexos.
Diremos queum poliedro é convexo quando, ao 
traçarmos qualquer reta não paralela a ele, essa reta 
deverá interceptar as faces do poliedro em, no máxi-
mo dois pontos. 
Quando a interceptação dessa reta acontecer em 
mais de duas faces iremos dizer que esse poliedro é 
não convexo, ou seja, é côncavo. 
Visualmente teremos as seguintes situações como 
forma de ilustrar poliedros convexos e não convexos:
Figura 8: Poliedros - Toda Matéria
Observe como no primeiro caso a interceptação 
acontece nos pontos P e Q e na segunda acontecem 
nos pontos A B C e D.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Considere o poliedro a seguir
 Podemos dizer que este poliedro apresentado é 
um
(A) Tetraedro não convexo.
(B) Tricaedro convexo.
(C) Tetraedro convexo.
(D) Dodecaedro não convexo.
(E) Triedro convexo.
2. Considere o poliedro a seguir 
 Podemos dizer que este poliedro apresentado é 
um
(A) Tetraedro convexo
(B) Dadocaedro não convexo
(C) Hexaedro convexo
(D) Tetraedro não convexo
(E) Hexaedro não convexo
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
128
3. Observe os poliedros a seguir 
Figura 9: Poliedros - Casa da Matemáti ca
 A respeito da convexidade dos poliedros apre-
sentados, podemos dizer que 
(A) Apenas I é convexo
(B) I e III são convexos
(C) II e I são convexos 
(D) IV e II são convexos
(E) Apenas IV é convexo
4. Considere os poliedros a seguir
 Quanto a convexidade dos poliedros apresenta-
dos, podemos afi rmar que
(A) I não é convexo
(B) III e IV não são convexos
(C) I e III são convexos
(D) II e IV são convexos
(E) I e IV não são convexos
5. São construídos três poliedros com 7, 12 e 20 
lados. Esses poliedros são nomeados respecti -
vamente como
(A) Heptaedro, Dodecaedro e Icosaedro
(B) Hexaedro, Dodecaedro e Icosaedro
(C) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro
(D) Heptaedro, Decaedro e Icosaedro
(E) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de 
Cavalieri verifi cando característi cas e medidas de 
altura e área (base e lateral) para investi gar o pro-
cesso de obtenção do volume de prismas, pirâmi-
des, cilindros e cones. 
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Nossos conhecimentos a respeito dos poliedros 
está se expandindo, e, antes de falarmos especifi ca-
mente sobre alguns, manteremos nossos estudos 
ainda em um âmbito geral. 
Vamos relembrar quais são os elementos que 
compõem um poliedro?
• Um poliedro é composto por faces, arestas e 
vérti ces
– Faces são os polígonos que formam a super-
� cies do poliedro.
– Arestas são os lados comuns a duas faces do 
poliedro.
– Vérti ces são os pontos de intersecção das 
arestas do poliedro.
Há uma informação bem relevante que relaciona 
o número de faces, arestas e vérti ces de um poliedro. 
Essa informação é conhecida como Relação de Euler, e 
é válida para todo poliedro convexo. E há alguns polie-
dros não convexos em que a relação também é válida.
A relação diz que o número de vérti ces, menos o 
número de arestas, somado com as faces, é igual a 2.
Essa relação pode ser usada para auxiliar a deter-
minar o número de um dos elementos do poliedro, 
desde que saibamos o valor dos outros dois elemen-
tos. Todo poliedro em que a Relação de Euler é válida 
é conhecido como poliedro euliriano. 
Outra característi ca geral dos poliedros é a pos-
sibilidade de determinar se tal poliedro é regular ou 
não. Um poliedro será dito regular quando todas as 
suas faces forem polígonos regulares e congruentes 
entre si, isto é, quando as faces forem iguais. 
Um fato interessante é que existem somente cinco 
poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, 
dodecaedro e icosaedro.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
129
Há ainda uma últi ma caracterização dos poliedros, 
os que são conhecidos como poliedros de Platão. Tais 
poliedros são aqueles que possuem suas faces com o 
mesmo número de arestas, todos os vérti ces com o 
mesmo número de encontros de arestas e seja válida 
a relação de Euler. Desta forma, o poliedro de Platão, 
engloba todas as característi cas dos poliedros. São 
poliedros, regulares, convexos e existem apenas cin-
co classes destes: tetraedros, hexaedros, octaedros, 
dodecaedros e icosaedros.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Um poliedro convexo possui 11 faces e 18 vérti -
ces. Qual é o número de arestas?
(A) 18
(B) 11
(C) 27
(D) 29
(E) 30
2. Em um poliedro convexo temos seis faces qua-
drangulares e duas faces hexagonais. Determine 
o número de vérti ces desse poliedro.
(A) 24
(B) 12
(C) 18
(D) 30
(E) 36
3. (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem três faces 
com 4 lados, duas faces com 3 lados e quatro 
faces com 5 lados. Qual o número de vérti ces 
desse poliedro?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14
4. (Mack-SP) Determine o número de vérti ces de 
um poliedro que tem três faces triangulares, uma 
face quadrangular, uma pentagonal e duas hexa-
gonais.
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14
5. (UFCG – PB) Um professor de matemáti ca em uma 
aula de geometria, pediu que cada aluno cons-
truísse um poliedro convexo regular com 20 faces 
triangulares. Podemos afi rmar que o número de 
vérti ces do poliedro construído por cada aluno 
é igual a
(A) 28
(B) 12
(C) 19
(D) 27
(E) 41
Iniciaremos agora o processo de estudo das es-
pecifi cidades de alguns poliedros, a começar pelo 
prisma.
Considere dois planos paralelos e , um polígo-
no convexo conti do em um dos planos e uma reta r 
que intercepta o plano, mas não o polígono conti do 
nele. Então, quando ti vermos segmentos de retas pa-
ralelos a r, que ligam os vérti ces do polígono em um 
dos planos com o outro plano, teremos a formação 
de um prisma.
Os elementos do prisma são: Bases, Faces La-
terais, Vérti ces, Arestas da Base, Arestas Laterais, 
Altura.
Figura 10: Ilustração de um prisma e seus elementos - Toda Ma-
téria
Podemos, ainda, classifi car os prismas de acordo 
com o número de lados dos polígonos da base:
Triangulares: quando as bases são triângulos.
Quadrangulares: quando as bases são quadrilá-
teros.
Pentagonais: quando as bases são pentágonos.
E assim por diante.
Outra forma de classifi car os prismas são em retos 
e oblíquos.
No prisma reto, temos as arestas laterais perpen-
diculares aos planos, formando um ângulo reto, de 
90°. E no prisma oblíquo temos as arestas laterais 
formando um ângulo oblíquo com os planos.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
130
Os prismas ainda podem ser classifi cados como 
regular, se este for reto, e as bases forem polígonos 
regulares. 
No estudo dos prismas, temos alguns prismas es-
pecífi cos que levam nomes parti culares a depender 
de suas característi cas. O mais comum é o parale-
lepípedo¸ um prisma cujas bases são paralelogramos. 
Temos também o paralelepípedo reto retângulo ou 
bloco retangular, que é um prisma reto cujas bases e 
faces laterais são retângulos. E, ainda, temos o cubo 
ou hexaedro regular, que é um prisma cujas faces são 
todas quadradas.
O Cubo é um caso parti cular do paralelepípedo 
reto retângulo, e este é um caso parti cular do para-
lelepípedo.
Por fi m, podemos então pensar na área da super� -
cie de um prisma, e esta é obti da pela soma das áreas 
das bases e das faces laterais do prisma em questão.
 Super� cie Total
 Super� cie Lateral
 Super� cie da Base
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Considere um paralelepípedo reto retângulo que 
possui como altura 3 cm, comprimento 5 cm e 
largura 4 cm. Qual será a área da super� cie total 
desse paralelepípedo?
(A) 12
(B) 15
(C) 20
(D) 47
(E) 94
2. Considere um prisma triangular regular, nele as me-
didas de suas arestas possuem o mesmo valor, e 
sua área lateral mede 10 m². Sendo assim, a área 
total do prisma é 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
3. Tem-se, em um prisma reto, uma base formada 
por um triângulo isósceles conforme mostra a 
imagem a seguir:Sabe-se que a altura do prisma é igual a 1/3 do 
perímetro da base. Qual será a área total da su-
per� cie deste prisma?
(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 108
(E) 132
4. Seja um paralelepípedo reto retângulo com o 
comprimento medindo o dobro da largura e a 
altura medindo 15 cm. Sabe-se que a área total 
da super� cie desse paralelepípedo mede 424cm². 
As medidas desconhecidas desse prisma medem
(A) 8 e 4
(B) 4 e 12
(C) 12 e 16
(D) 16 e 8
(E) 8 e 20
5. (FCMSC – SP) Dispondo de uma fi ta de cartoli-
na medindo 50 cm de comprimento por 30 cm 
de largura, pode-se construir uma caixa aberta 
cortando um quadrado de 8cm de lado em cada 
canto da folha. Qual será o volume dessa caixa, 
em cen� metros cúbicos?
(A) 2 750 cm³
(B) 4 698 cm³
(C) 3 250 cm³
(D) 4 355 cm³
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de 
Cavalieri verifi cando característi cas e medidas de 
altura e área (base e lateral) para investi gar o pro-
cesso de obtenção do volume de prismas, pirâmi-
des, cilindros e cones. 
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Passados os trabalhos com a super� cie de um 
prisma, vamos então avaliar o volume dos prismas.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
131
Para determinar o volume do paralelepípedo reto 
retângulo e do cubo iremos realizar o produto da área 
da base pela altura do prisma. 
Mas, para realizar este cálculo para outros sólidos 
não é tão simples. E para sermos capazes de fazer isso, 
uti lizamos um princípio matemáti co que foi desen-
volvido pelo italiano Francesco Bonaventura Cavalieri 
(1598-1947), esse princípio carrega o nome de seu 
desenvolvedor, Princípio de Cavalieri.
O princípio trata de uma forma de associar o vo-
lume de um prisma conhecido com o de um prisma 
desconhecido, desde que esses estejam em um mes-
mo plano e que algumas condições sejam sati sfeitas:
• A área das bases dos dois prismas é congruente.
• As alturas dos dois prismas são congruentes.
• Se traçarmos um plano, paralelo ao plano da 
base, que corte os dois prismas na mesma al-
tura, resulta em fi guras de áreas iguais. 
Então com o uso do Princípio de Cavalieri pode-
mos determinar o volume de quaisquer prismas, as-
sociando estes a um conhecido.
Por exemplo, podemos associar o volume de um 
prisma de base pentagonal com um paralelepípedo 
que possui mesma altura e uma base cuja área seja a 
mesma do pentágono. Se passarmos um plano para-
lelo ao plano da base e secante aos prismas e, como 
resultado, obti vermos fi guras de mesma base então 
os volumes vão ser os mesmos.
Figura 11: Princípio de Cavalieri - Mundo Educação
Assim iremos determinar o volume do prisma de 
base pentagonal como
E isso irá ser válido para qualquer prisma, desde 
que possamos associar ele a um prisma conhecido 
e que as condições do Princípio de Cavalieri sejam 
sati sfeitas.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Deseja-se construir ti jolos de argila, cada ti jolo 
possuirá as dimensões 18cm, 9 cm e 6 cm. Vão 
ser produzidos 5 mil ti jolos, qual vai ser o volume 
de argila necessário para produzir esses ti jolos?
(A) 4,86 m³
(B) 5,33 m³
(C) 5,46 m³
(D) 6,03 m³
(E) 6,86 m³
2. As medidas das arestas de um paralelepípedo 
reto retângulo formam uma progressão geomé-
trica. Se a menor das arestas mede ½ cm e i vo-
lume de tal paralelepípedo é 64cm³, calcule as 
medidas das outras arestas.
(A) 4cm e 32cm
(B) 8 cm e 16cm
(C) 16 cm e 24 cm
(D) 24 cm e 48 cm
(E) 24 cm e 32 cm
3. (UEPG – PR) As medidas internas de uma caixa 
d’agua em forma de paralelepípedo retângulo 
são: 1,2m, 1m e 0,7m. Sua capacidade é de
(A) 8 400L
(B) 84L
(C) 840L
(D) 8,4L
(E) N.d.a.
4. Uma barra de ferro tem o formato de um pris-
ma cuja base é um triangulo equilátero com 
aresta medindo 4cm, e a altura do prisma mede 
12cm. Qual o volume desta barra de ferro? (Use 
)
(A) 73,04 cm³
(B) 83,04 cm³
(C) 86,04 cm³
(D) 96,04 cm³
(E) 105,04 cm³
5. Uma ponte é sustentada por uma coluna que pos-
sui o formato de um prisma hexagonal regular de 
aresta de base medindo 2m e altura do prisma 
medindo 8m. Determine as medidas da área la-
teral do prisma e o volume desta coluna.
(A) 96 e 
(B) 18 e 
(C) 34 e 
(D) 96 e 
(E) 55 e 5
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504C) Investi gar processos de obten-
ção da medida do volume de prismas, pirâmides, 
cilindros e cones, uti lizando o princípio de Cavalieri 
para determinar fórmulas do volume.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Outro poliedro específi co a qual podemos desti nar 
nossos estudos são as Pirâmides. 
Composta por uma base poligonal e um vérti ce a 
pirâmide é formada pelos segmentos que conectam 
o vérti ce a um dos vérti ces do polígono da base. Ao 
observar a pirâmide podemos determinas os seguin-
tes componentes
• Base: é o polígono convexo ABCDE conti do no 
plano .
• Vérti ce da pirâmide: é o ponto V; os vérti ces 
da base são os pontos A B C D e E.
• Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ... 
VEA.
• Aresta da base: são os lados do polígono da 
base AB, BC, ..., EA.
• Aresta laterais: são os segmentos de reta VA, 
VB, ..., VE.
• Altura: é a distância entre o ponto V e o plano 
da base, .
A pirâmide pode ser classifi cada de acordo com 
o número de lados do polígono da base. Quando o 
polígono da base é um triângulo, temos uma pirâmi-
de triangular, quando é um quadrado a pirâmide é 
quadrangular, um pentágono nos dá uma pirâmide 
pentagonal e assim por diante.
Temos ainda um conjunto de informações que 
podem ser extraídas de uma pirâmide regular. Uma 
pirâmide regular é uma pirâmide reta, ou seja, que 
a projeção do vérti ce é ortogonal ao centro da base, 
que possui como base um polígono regular.
Observe a pirâmide regular a seguir:
Então, ao avaliarmos uma pirâmide regular temo 
os seguintes elementos geométricos:
• Altura da pirâmide: a medida do segmento de 
reta VO que liga o vérti ce V ao plano da base;
• Faces laterais: são triângulos isósceles con-
gruentes;
• Arestas laterais: são congruentes e sua medida 
é indicada por a;
• Arestas da base: são congruentes e compõem 
o polígono que forma a base;
• Apótema da base: é a apótema do polígono 
regular da base, ou seja, o segmento OM ;
• Raio da base: é o raio da circunferência de cen-
tro O na qual o polígono da base está inscrito;
• Apótema da pirâmide: é a altura de cada face 
lateral (correspondente à altura VM relati va à 
base do triângulo isósceles.);
Assim, derivado desses elementos geométricos 
somos capazes de, por meio do teorema de Pitágoras 
aplicado a cada um dos triângulos apresentados na 
imagem, determinar as seguintes relações:
• 
• 
• 
• 
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Seja uma pirâmide quadrangular regular que pos-
sui altura igual a 4cm e aresta da base igual a 12 
cm. Determine:
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
133
(A) A medida do apótema da base. 
(B) A medida do apótema da pirâmide.
(C) A medida da aresta lateral.
(D) A área total da super� cie da pirâmide. 
2. Seja uma pirâmide hexagonal regular que possui 
aresta da base medindo 8 cm e altura medindo 
6 cm. Determine:
(A) A medida do apótema da base. 
(B) A medida do apótema da pirâmide. 
(C) A medida da aresta lateral. 
(D) A área total da super� cie da pirâmide. 
3. Considere uma pirâmide de base triangular em que 
todas as arestas possuem medida igual a 15cm. 
Qual a área total da super� cie desta pirâmide?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
4. Qual a área lateral da super� cie de uma pirâmide 
triangular regular cuja aresta lateral mede 13 cm 
e o apótemada pirâmide mede 12 cm?
(A) 160 cm²
(B) 170 cm²
(C) 180 cm²
(D) 190 cm²
(E) 200 cm²
5. O perímetro da base de uma pirâmide regular 
quadrangular é igual a 40 cm. Sabendo que a al-
tura da pirâmide é 12 cm, qual a área lateral da 
super� cie dessa pirâmide?
(A) 230 cm²
(B) 240 cm²
(C) 250 cm²
(D) 260 cm²
(E) 270 cm²
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504C) Investi gar processos de obten-
ção da medida do volume de prismas, pirâmides, 
cilindros e cones, uti lizando o princípio de Cavalieri 
para determinar fórmulas do volume.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Dando sequência aos nossos estudos sobre pi-
râmide, se faz necessário, agora, voltarmos nossa 
atenção para o processo de cálculo do volume de 
pirâmides.
Para obter a fórmula para o volume da pirâmi-
de é feito uma decomposição de um prisma de base 
triangular em três pirâmides triangulares que são 
semelhantes entre si, após essa associação, então, 
generaliza-se o conceito para enfi m chegarmos ao fato 
de que, o volume da pirâmide é dado por:
Um terço da área da base vezes a altura da pirâ-
mide.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. A aresta da base de uma pirâmide hexagonal re-
gular mede 2 cm. Sabe-se que a área lateral da 
pirâmide é 30cm² o volume desta pirâmide é
(A) cm³
(B) cm³
(C) cm³
(D) cm³
(E) cm³
2. Determine o volume de uma pirâmide cuja base 
é um quadrado com 3 cm de aresta e altura desta 
pirâmide mede 10cm.
(A) 15 cm³
(B) 20 cm³
(C) 25 cm³
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
134
(D) 30 cm³
(E) 35 cm³
3. (FUC – MT - Adaptado) Determine o volume de 
uma pirâmide cuja planifi cação é 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
4. (UFPE) uma pirâmide hexagonal regular tem a medi-
da da área da base igual a metade da área lateral. 
Se a altura da pirâmide mede 6cm, assinale o 
inteiro mais próximo ao volume da pirâmide em 
cm³. Use a aproximação 
(A) 83
(B) 86
(C) 89
(D) 93
(E) 96
5. Um diamante a ser lapidado tem o formato de um 
octaedro regular de aresta medindo 8mm, como 
mostra a fi gura a seguir. O volume total da pedra 
em seu estado atual é de 
(A) mm³
(B) mm³
(C) mm³
(D) mm³
(E) mm³
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida 
do volume de sólidos geométricos, uti lizando pro-
cedimentos matemáti cos para resolver problemas 
que envolvem prismas em situações reais.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Vamos agora começar nossas abordagens sobre 
outros sólidos geométricos. Diferente dos anteriores, 
estes não entram na categoria de poliedro, estamos 
falando dos corpos redondos, mais precisamente ci-
lindro, cone e esferas.
São corpos redondos aqueles sólidos geométricos 
que possuem pelo menos uma super� cie arredonda-
da. São tridimensionais, então ocupam espaço e, por 
tanto, possuem volume.
Começaremos nossos estudos falando sobre o 
cilindro. 
Segundo o portal Toda Matéria, cilindro é um “So-
lido geométrico alongado e arredondado que possui o 
mesmo diâmetro ao longo de todo seu comprimento”.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
135
Os elementos do cilindro são:
• Bases: são os círculos de raio r e centro O;
• Raio da Base: é o raio do círculo;
• Altura: é a distância entre as bases;
• Eixo: é a reta que contém os centros das bases;
• Geratrizes: são os segmentos de reta paralelos 
ao eixo e cujas extremidades são pontos das 
circunferências das bases.
Diremos que um cilindro é oblíquo ou reto a de-
pender da inclinação da geratriz em relação aos planos 
que contem a base. O cilindro será oblíquo quando as 
geratrizes são oblíquas ao plano, de modo semelhante 
quando elas forem perpendiculares, retas, ao plano. 
Sobre os cilindros retos, podemos obtê-los por 
meio da rotação completa de um retângulo de lados 
medindo r e g entorno do eixo, esse movimento dá ao 
cilindro reto o nome de cilindro de revolução. 
A área da super� cie do cilindro será obti da por 
meio da super� cie lateral e das duas bases circulares.
Para obtenção da fórmula do volume do cilindro, 
iremos resgatar a ideia do Princípio de Cavalieri. Asso-
ciando o cilindro a um prisma de base com mesma área 
e altura, assim, a o volume do cilindro será obti do por:
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Um recipiente tem o formato de um cilindro 
reto de 12cm de altura e raio igual a 5cm. Qual 
a área total da super� cie desse recipiente? Use 
(A) 533,8 cm²
(B) 525,9 cm²
(C) 535,7 cm²
(D) 529,5 cm²
(E) 539,9cm²
2. Um retângulo de dimensões 4cm e 12 cm é ro-
tacionado sobre o eixo de sua aresta de menor 
lado. A área da super� cie total do sólido gerado 
pela rotação é de 
(A) 84
(B) 184
(C) 294
(D) 304
(E) 384
3. Considere um sólido composto por dois cilindros. 
O primeiro possui diâmetro de 40cm e altura de 
9cm. O segundo possui diâmetro de 30cm e altura 
de 45 cm. O Volume total deste sólido é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
4. (UEG-GO) Em uma festa um garçom, para servir 
refrigerante, uti lizou uma jarra no formado de 
um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho 
percebeu que a jarra completamente cheia con-
seguia encher oito copos de 300ml cada. Consi-
derando-se que a altura da jarra é de 30cm, então 
a área interna da base dessa jarra, em cm² é
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 60
(E) 80
5. Um líquido ocupa uma altura de 10cm em um 
determinado recipiente cilíndrico e será trans-
ferido para um outro recipiente, também cilín-
drico, com diâmetro duas vezes maior do que o 
primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido 
no segundo recipiente?
(A) 2,5 cm
(B) 3,5 cm
(C) 5,0 cm
(D) 7,5 cm
(E) 10 cm
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção da 
medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e 
cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a ob-
tenção das fórmulas de cálculo da medida do volume 
dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida 
do volume de sólidos geométricos, uti lizando proce-
dimentos matemáti cos para resolver problemas que 
envolvem prismas em situações reais.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
Outro corpo redondo a qual podemos desti nar 
nossos estudos é o Cone. 
O cone é a fi gura geométrica formada por todos 
os segmentos de reta formado por um vérti ce fora do 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
136
plano e pelos pontos conti dos dentro de um círculo 
de raio r.
Assim como o Cilindro, o cone pode ser classifi -
cado em reto ou oblíquo. 
Os elementos do cone são:
• Base: é o círculo C de raio r e centro O;
• Eixo: é a reta que liga o centro do círculo ao 
vérti ce;
• Vérti ce: é o ponto V que compõem o cone;
• Raio da Base: é o raio do círculo;
• Altura: é a distância do ponto V ao plano da 
base, sua medida é indicada por h;
• Geratriz: é qualquer segmento de reta cujos 
extremos são o ponto V do vérti ce e um ponto 
qualquer na circunferência da base.
O Cone, assim como o cilindro pode ser classifi -
cado em Oblíquo ou Reto, a depender o ângulo da 
geratriz com o plano da base.
O cone reto também pode ser obti do pela rotação 
completa de um triângulo retângulo em torno do eixo 
de um de seus catetos, portanto o cone reto pode ser 
chamado de cone de revolução.
A área da super� cie do cone pode ser obti da pela 
soma da área da base com a área lateral.
A área lateral é a área de um setor circular de raio 
g (geratriz do cone), assim:
O volume do cone será associado a uma pirâmide 
uti lizando o Princípio de Cavalieri, assim chegamos 
que:
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Um recipiente tem o formato de um funil cone 
reto com 8cm de diâmetro e 12 cm dealtura. Qual 
é o tamanho da área total da super� cie desse 
recipiente? e 
(A) 209 cm²
(B) 215 cm²
(C) 225 cm²
(D) 229 cm²
(E) 235 cm²
2. Em um cone reto tem-se que a área da base é 
 e altura igual a assim, qual o volu-
me deste cone?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
3. Considere um cone de revolução cuja altura mede 
8cm e a o raio da base mede 6 cm. A área total 
da super� cie do solido é 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
4. Considere um cone reto cuja altura mede 6 cm 
e a base tenha 16cm de diâmetro. Qual a área 
total da super� cie deste sólido?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
5. (ITA-SP) As medidas, em metros, do raio da base, da 
altura e da geratriz de um cone circular reto forma, 
nesta ordem, uma progressão aritméti ca de razão 
2 metros. Calcule a área total deste cone em m²
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
137
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida 
do volume de sólidos geométricos, uti lizando pro-
cedimentos matemáti cos para resolver problemas 
que envolvem prismas em situações reais.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
O últi mo sólido geométrico objeto de nossos es-
tudos será nosso últi mo corpo redondo, a esfera. 
Primeiro precisamos determinar o que é uma su-
per� cie esférica. Para tanto basta pegarmos um ponto 
O no espaço e a esfera será o conjunto de todos os P 
do espaço que estão a uma distância r do centro da 
esfera O.
A esfera nada mais é que o sólido limitado pela 
super� cie esférica.
Figura 12: Elementos da Esfera - Educa Mais Brasil
Os elementos da esfera são:
• Eixo: é qualquer reta que contém o centro da 
esfera;
• Polos: são os pontos de intersecção da super-
� cie esférica com o eixo ;
• Equador: é a circunferência de uma secção ob-
ti da por um plano perpendicular ao eixo e que 
passa pelo centro da esfera;
• Paralelo: é uma secção obti da por um plano 
perpendicular ao eixo. É, portanto, paralela ao 
equador;
• Meridiano: é a circunferência de uma secção 
obti da por um plano que contém o eixo.
Ao criarmos círculos que interceptam a esfera 
e passam pelo seu eixo temos o que são chamados 
de círculos máximos. E quando tem o eixo fi xado, o 
equador é um círculo máximo parti cular e que divi-
de a esfera em duas partes iguais que denominamos 
hemisférios.
Similar aos seus companheiros corpos redondos 
que estudamos, a esfera pode ser obti da por meio de 
um eixo de rotação, quando fazemos a rotação de um 
semicírculo em torno de seu diâmetro.
Assim como obti vemos o cálculo do volume do 
cone e do cilindro por meio do princípio de Cavalieri 
aqui faremos o mesmo. Agora associando a esfera a 
um cilindro.
Por meio do processo de demonstração uti lizando 
o princípio de Cavalieri é possível chegarmos a seguin-
te fórmula do volume da esfera
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Uma fazenda possui silos formados por um cilin-
dro circular reto (com fundo) sob uma semiesfera. 
Determine o volume de cada silo desta fazenda 
sabendo que o raio do cilindro mede 2m e que a 
altura mede 8m.
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
2. Uma bacia tem o formato de uma semiesfera que 
tem 18cm de diâmetro. Qual o volume que essa 
bacia comporta?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
3. (UNIFESP – SP) Um recipiente contendo água tem 
a forma de um cilindro regular reto de altura h=-
50cm e raio r=15cm. Qual deve ser o raio R de 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
138
uma esfera de ferro que, introduzida neste cilin-
dro e totalmente submersa, faça transbordarem 
exatamente 2 litros de água?
(A) 8,05 cm
(B) 8,95 cm
(C) 9,15 cm
(D) 9,35 cm
(E) 9,85 cm
4. Temos a seguinte situação, uma esfera está ins-
crita em um cilindro equilátero de raio a. Qual a 
razão entre o volume V1 da esfera e o volume V2 
do cilindro?
(A) ½
(B) 2/3
(C) 3/2
(D) 5/3
(E) 1/3 
5. Um recipiente é composto por uma esfera com 
18cm de diâmetro e um cilindro com 6cm de di-
âmetro e 10cm de altura. Qual o volume deste 
recipiente em mililitros? Use 
(A) 3 334,68mL
(B) 3 434,68mL
(C) 4 334,68mL
(D) 4 434,68mL
(E) 5 334,68Ml
MOMENTO ENEM
1. (Enem 2017) Para a Olimpíada de 2012, a piscina 
principal do Centro Aquáti co de Londres, medin-
do 50 metros de comprimento, foi remodelada 
para ajudar os atletas a melhorar suas marcas. 
Observe duas das melhorias:
 A capacidade da piscina em destaque, em metro 
cúbico, é igual a
(A) 3750
(B) 1500
(C) 1250
(D) 375
(E) 150
2. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a 
presença de silos para armazenamento e seca-
gem da produção de grãos, no formato de um ci-
lindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões 
indicadas na fi gura. O silo fi ca cheio e o transporte 
dos grãos é feito em caminhões de carga cuja ca-
pacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo 
cheio e apenas um caminhão para transportar os 
grãos para a usina de benefi ciamento.
 Uti lize 3 como aproximação para π. 
 O número mínimo de viagens que o caminhão 
precisará fazer para transportar todo o volume 
de grãos armazenados no silo é 
(A) 6
(B) 16
(C) 17
(D) 18
(E) 21
3. (Enem 2016) Um petroleiro possui reservatório 
em formato de um paralelepípedo retangular com 
as dimensões dadas por 60m x 10m de base e 10m 
de altura. Com o objeti vo de minimizar o impacto 
ambiental de um eventual vazamento, esse reser-
vatório é subdividido em três comparti mentos, A, 
B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço 
retangulares com dimensões de 7m de altura e 
10m de base, de modo que os comparti mentos 
são interligados, conforme a fi gura. Assim, caso 
haja rompimento no casco do reservatório, ape-
nas uma parte de sua carga vazará.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
139
Suponha que ocorra um desastre quando o petro-
leiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre 
um acidente que ocasiona um furo no fundo do 
comparti mento C. Para fi ns de cálculo, considere 
desprezíveis as espessuras das placas divisórias. 
 Após o fi m do vazamento, o volume de petróleo 
derramado terá sido de 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
4. (Enem 2018) Uma fábrica comercializa chocolates 
em uma caixa de madeira, como na fi gura. A caixa 
de madeira tem a forma de um paralelepípedo 
reto-retângulo cujas dimensões externas, em 
cen� metro, estão indicadas na fi gura. Sabe-se 
também que a espessura da madeira, em todas 
as suas faces, é de 0,5 cm. 
 Qual é o volume de madeira uti lizado, em cen-
� metro cúbico, na construção de uma caixa de 
madeira como a descrita para embalar os choco-
lates? 
(A) 654
(B) 666
(C) 673
(D) 681
(E) 693
5. (Enem 2018) Um artesão possui potes cilíndri-
cos de ti nta cujas medidas externas são 4 cm de 
diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir 
caixas organizadoras para armazenar seus potes 
de ti nta, empilhados verti calmente com tampas 
voltadas para cima, de forma que as caixas pos-
sam ser fechadas. No mercado, existem cinco 
opções de caixas organizadoras, com tampa, em 
formato de paralelepípedo reto-retângulo, ven-
didas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes 
dimensões internas:
 Qual desses modelos o artesão deve adquirir para 
conseguir armazenar o maior número de potes 
por caixa?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
6. (Enem 2012 – PPL) Um reservatório de uma ci-
dade estava com 30 m³ de água no momento em 
que iniciou um vazamento esti mado em 30 litros 
por minuto. Depois de 20 minutos, a parti r do iní-
cio do vazamento, uma equipe técnica chegou ao 
local e gastou exatamente 2 horas para consertar 
o sistema e parar o vazamento. O reservatório 
não foi reabastecido durante todo o período em 
que esteve com o vazamento. 
 Qual foi o volume de água que sobrou no reser-
vatório, em m³, no momento em que parou o 
vazamento?
(A) 3,6
(B) 4,2
(C) 25,8
(D) 26,4
(E) 27,6
7. (Enem 2014) Uma pessoa comprou um aquário 
em forma de um paralelepípedo retângulo reto, 
com 40 cmde comprimento, 15 cm de largura e 
20 cm de altura. Chegando em casa, colocou no 
aquário uma quanti dade de água igual à metade 
de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá 
colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 
50 cm³ cada, que fi carão totalmente submersas 
no aquário.
 Após a colocação das pedrinhas, o nível da água 
deverá fi car a 6 cm do topo do aquário.
 O número de pedrinhas a serem colocadas deve 
ser igual a
(A) 48
(B) 72
(C) 84
(D) 120
(E) 168
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
140
8. (Enem 2009) Uma fábrica produz velas de para-
fi na em forma de pirâmide quadrangular regular 
com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. 
Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma 
altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas 
e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 
cm entre eles, sendo que a base superior de cada 
bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, 
com uma haste de ferro passando pelo centro de 
cada bloco, unindo-os, conforme a fi gura.
 Se o dono da fábrica resolver diversifi car o mo-
delo, reti rando a pirâmide da parte superior, que 
tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o 
mesmo molde, quanto ele passará a gastar com 
parafi na para fabricar uma vela?
(A) 156 cm³
(B) 189 cm³
(C) 192 cm³
(D) 216 cm³
(E) 540 cm³
9. (Enem 2014 PPL) Uma fábrica de rapadura vende 
seus produtos empacotados em uma caixa com 
as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento, 
10 cm de altura e 15 cm de profundidade. O lote 
mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um 
agrupamento de 125 caixas dispostas conforme 
a fi gura.
 Qual é o volume do lote mínimo comercializado 
pela fábrica de rapaduras?
(A) 3750 cm³
(B) 18750 cm³
(C) 93750 cm³
(D) 468750 cm³
(E) 2343750 cm³
10. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da 
festa serviam champanhe aos seus convidados 
em taças com formato de um hemisfério (Figu-
ra 1), porém um acidente na cozinha culminou 
na quebra de grande parte desses recipientes. 
Para substi tuir as taças quebradas, uti lizou-se um 
outro ti po com formato de cone (Figura 2). No 
entanto, os noivos solicitaram que o volume de 
champanhe nos dois ti pos de taças fosse igual.
 Sabendo que a taça com o formato de hemisfé-
rio é servida completamente cheia, a altura do 
volume de champanhe que deve ser colocado na 
outra taça, em cen� metros, é de
(A) 1,33
(B) 6,00
(C) 12,00
(D) 56,52
(E) 113,04
11. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da 
família Teixeira, precisa fazer café para servir as 
vinte pessoas que se encontram numa reunião na 
sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma 
leiteira cilíndrica e copinhos plásti cos, também 
cilíndricos.
 Com o objeti vo de não desperdiçar café, a diarista 
deseja colocar a quanti dade mínima de água na 
leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.
 Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem 
um volume 20 vezes maior que o volume do 
copo.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
141
(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem 
um volume 10 vezes maior que o volume do 
copo.
(D) encher duas leiteiras de água, pois cada uma 
tem um volume 10 vezes maior que o volume 
do copo.
(E) encher cinco leiteiras de água, pois cada uma 
tem um volume 10 vezes maior que o volume 
do copo.
12. (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz 
diversos objetos maciços uti lizando o ferro. Um 
ti po especial de peça feita nessa companhia tem 
o formato de um paralelepípedo retangular, de 
acordo com as dimensões indicadas na fi gura que 
segue.
 O produto das três dimensões indicadas na peça 
resultaria na medida da grandeza
(A) Massa
(B) Volume
(C) Super� cie 
(D) Capacidade
(E) Comprimento
Inserção Curricular/Recomposição
Resolver problemas que envolvam espaço e forma 
(perímetro e área de fi guras planas, ladrilhamento 
de planos, entre outros) empregando estratégias e 
recursos, observando padrões com ou sem apoio de 
aplicati vos de geometria dinâmica para conjecturar 
a respeito dos ti pos ou composição de polígonos 
que podem ser uti lizados em ladrilhamento, gene-
ralizando padrões observados etc. 
Objetos de conhecimento
Polígonos regulares e suas característi cas: ângulos 
internos, ângulos externos etc. 
Linguagem algébrica: fórmulas e generalizações.
Polígonos
Os polígonos são fi guras planas e fechadas cons-
ti tuídas por segmentos de reta. A palavra “polígono” 
advém do grego e consti tui a união de dois termos 
“poly” e “gon” que signifi ca “muitos ângulos”.
Os polígonos podem ser simples ou complexos. 
Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos 
consecuti vos que o formam não são colineares, não 
se cruzam e se tocam apenas nas extremidades.
Quando existe intersecção entre dois lados não 
consecuti vos, o polígono é chamado de complexo.
Polígono convexo e côncavo
A junção das retas que formam os lados de um 
polígono com o seu interior é chamada de região po-
ligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
142
Os polígonos simples são chamados de convexos 
quando qualquer reta que une dois pontos, perten-
cente a região poligonal, fi cará totalmente inserida 
nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não 
acontece.
Polígonos regulares
Quando um polígono apresenta todos os lados con-
gruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, 
ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos 
têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo.
Os polígonos convexos são regulares quando apre-
sentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, 
são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por 
exemplo, o quadrado é um polígono regular.
Elementos do Polígono
i. Vérti ce: corresponde ao ponto de encontro dos 
segmentos que formam o polígono.
ii. Lado: corresponde a cada segmentos de reta 
que une vérti ces consecuti vos.
iii. Ângulos: os ângulos internos correspondem 
aos ângulos formados por dois lados consecuti vos. 
Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos 
formados por um lado e pelo prolongamento do lado 
sucessivo a ele.
iv. Diagonal: corresponde ao segmento de reta 
que liga dois vérti ces não consecuti vos, ou seja, um 
segmento de reta que passa pelo interior da fi gura.
Nomenclatura dos Polígonos
Dependendo do número de lados presentes, os 
polígonos são classifi cados em:
Número de lados Nomenclatura
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Soma dos ângulos de um polígono
A soma dos ângulos externos dos polígonos con-
vexos é sempre igual a 360o. Entretanto, para obter a 
soma dos ângulos internos de um polígono é neces-
sário aplicar a seguinte fórmula:
n: número de lados do polígono
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
143
Exemplo 01. Qual é o valor da soma dos ângulos 
internos de um decágono convexo?
Resolução:
O decágono convexo é um polígono que apresen-
ta 10 lados, ou seja, n = 10. Aplicando esse valor na 
fórmula, temos:
Assim, a soma dos ângulos internos do decágono 
é igual a .
Número de diagonais
Para calcular o número de diagonais de um po-
lígono, uti liza-se a seguinte fórmula:
Exemplo 02. Quantas diagonais apresenta um oc-
tógono convexo?
Resolução: Considerando que o octógono possui 
8 lados, aplicando a fórmula, temos:
Portanto, um octógono convexo contém 20 dia-
gonais.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Calcular a soma dos ângulos internos de um de-
cágono. 
2. Qual o polígono, cuja soma dos â ngulo internos 
vale 1800°. 
3. Calcular o número de diagonais de um Icoságono. 
4. Determine o polígono convexo cuja soma dos 
â ngulo internos é igual ao número de diagonais 
multi plicado por 180. 
5. Um polígono regular com exatamente 35 diago-
nais tem: 
(A) 6 lados. 
(B) 9 lados.
(C) 10 lados. 
(D) 12 lados. 
(E) 20 lados.
6. O polígono regular convexo em que o número de 
lados é igual ao número de diagonais é o: 
(A)dodecágono.
(B) decágono. 
(C) heptágono. 
(D) pentágono. 
(E) hexágono. 
MOMENTO ENEM
1. (ENEM MEC/2002) Na construção civil, é muito 
comum a uti lização de ladrilhos ou azulejos com a 
forma de polígonos para o revesti mento de pisos 
ou paredes. Entretanto, não são todas as combi-
nações de polígonos que se prestam a pavimentar 
uma super� cie plana, sem que haja falhas ou su-
perposições de ladrilhos, como ilustram as fi guras:
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
144
 A tabela traz uma relação de alguns polígonos 
regulares, com as respecti vas medidas de seus 
ângulos internos.
 Se um arquiteto deseja uti lizar uma combinação 
de dois ti pos diferentes de ladrilhos entre os po-
lígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o 
outro ti po escolhido deverá ter a forma de um
(A) triângulo. 
(B) quadrado. 
(C) pentágono. 
(D) hexágono. 
(E) eneágono.
Deduzir expressões de cálculo construindo mode-
los e resolvendo problemas em diversos contextos 
da geometria plana, para aplicar tais deduções em 
situações reais (como o remanejamento e a distri-
buição de plantações, entre outros), com ou sem 
apoio de tecnologias digitais.
Objetos de conhecimento
Áreas de fi guras geométricas: cálculo por decom-
posição, composição ou aproximação; Expressões 
algébricas.
Áreas
A área de uma fi gura plana é a medida da super� -
cie da fi gura. Para calcular a área de uma fi gura plana, 
uti lizamos uma fórmula específi ca que depende do 
formato da fi gura. As principais fi guras planas são: 
I. Triângulo é o polígono mais simples que conhe-
cemos, pois é formado por três lados e três ângulos:
II. O quadrado é um quadrilátero, ou seja, polígo-
no de quatro lados, que possui todos os ângulos retos 
e todos os lados congruentes.
III. Retângulo “Conhecemos como retângulo o 
quadrilátero que possui todos os ângulos retos, ou 
seja, os quatro ângulos medem 90o.
O quadrado é um caso parti cular de retângulo, 
pois, além dos ângulos de 90o, ele possui também os 
lados congruentes. Para ser retângulo, basta ser um 
quadrilátero que possui todos os ângulos retos.
IV. O trapézio é um outro caso parti cular de qua-
drilátero. Para ser considerado um trapézio, o qua-
drilátero precisa ter dois lados paralelos e dois lados 
não paralelos.”
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
145
V. O círculo, diferentemente de todas as fi guras 
apresentadas anteriormente, não é um polígono, por 
não possuir lados. O círculo é a fi gura plana forma-
da por todos os pontos que estão equidistantes do 
centro.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Um triângulo equilátero possui lados com medi-
das iguais a 12 cm. Calcule a área deste triângulo.
2. Um triângulo isóscele com dois lados medindo 8 
cm e base medindo 10 cm. Calcule a área deste 
triângulo.
3. Sabendo que um triângulo escaleno possui lados 
com medidas iguais a = 5 cm e b = 8 cm, e um 
ângulo entre esses lados de 30°. Calcule a área 
deste triângulo.
4. Uma fazenda possui formato retangular. Durante 
a compra, um agricultor viu que, pela legislação 
vigente, ele não poderá desmatar metade desse 
terreno, sendo assim, ele o dividiu diagonalmente 
conforme a imagem a seguir:
 A área que deve ser manti da preservada é de:
(A) 100 m²
(B) 350 m²
(C) 200 m²
(D) 900 m²
(E) 450 m²
5. Qual é a área de um triângulo isósceles cuja al-
tura relati va à base é igual a 12 cm e cujos lados 
congruentes medem 15 cen� metros?
(A) 108 cm2
(B) 9 cm2
(C) 18 cm2
(D) 24 cm2
(E) 32 cm
6. Um terreno com formato de triângulo equiláte-
ro será concretado. Sabendo que esse terreno 
possui perímetro de 450 metros, calcule quantos 
metros quadrados de concreto serão gastos nessa 
obra.
7. O triângulo a seguir representa um terreno que 
será impermeabilizado para receber futuras 
obras. O metro quadrado do material imperme-
abilizante custa R$ 9,23. Calcule o valor que será 
gasto nesse procedimento.
(A) R$ 1200,00
(B) R$ 1384,50
(C) R$ 1390,50
(D) R$ 1400,00
(E) R$ 1421,50
8. Qual é a medida da base de um triângulo cuja 
área é 240 m2 e cuja altura mede 120 m?
9. A fi gura abaixo ilustra um terreno em forma de 
trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), 
de três de seus lados.
 A área do terreno, em km2, é igual a:
(A) 215 
(B) 210 
(C) 200 
(D) 220 
(E) 205
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
146
9. Observe a fi gura a seguir
 Sua área é igual à:
(A) 30 m2
(B) 28 m2
(C) 22,5 m2
(D) 26,5 m2
(E) 24,5 m2
Deduzir expressões de cálculo construindo mode-
los e resolvendo problemas em diversos contextos 
da geometria plana, para aplicar tais deduções em 
situações reais (como o remanejamento e a distri-
buição de plantações, entre outros), com ou sem 
apoio de tecnologias digitais.
Objetos de conhecimento
Áreas de fi guras geométricas: cálculo por decom-
posição, composição ou aproximação; Expressões 
algébricas.
MOMENTO ENEM
1. (ENEM MEC/2021) O dono de uma loja pretende 
usar cartões imantados para a divulgação de sua 
loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe infor-
ma que o custo de fabricação do cartão é de R$ 
0,01 por cen� metro quadrado e que disponibiliza 
modelos tendo como faces úteis para impressão:
 • um triângulo equilátero de lado 12 cm;
 • um quadrado de lado 8 cm;
 • um retângulo de lados 11 cm e 8 cm;
 • um hexágono regular de lado 6 cm;
 • um círculo de diâmetro 10 cm.
 O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, 
R$ 0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse 
limite de preço, o modelo que ti ver maior área 
de impressão.
 Use 3 como aproximação para π e use, use 1,7 
como aproximação para 3 .
 Nessas condições, o modelo que deverá ser es-
colhido tem como face úti l para impressão um
(A) triângulo.
(B) quadrado.
(C) retângulo.
(D) hexágono.
(E) círculo.
2. (ENEM MEC/2021) Um suporte será instalado 
no box de um banheiro para serem colocados 
recipientes de xampu, condicionador e sabonete 
líquido, sendo que o recipiente de cada produto 
tem a forma de um cilindro circular reto de me-
dida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no 
interior do box, a proprietária do apartamento 
decidiu comprar o suporte que ti ver a base de 
menor área, desde que a base de cada recipiente 
fi casse inteiramente sobre o suporte. Nas fi guras, 
vemos as bases desses suportes, nas quais todas 
as medidas indicadas estão em cen� metro.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
147
 Uti lize 3,14 como aproximação para π.
 Para atender à sua decisão, qual ti po de suporte 
a proprietária comprou?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
3. (ENEM MEC/2020) O proprietário de um apar-
tamento decidiu instalar porcelanato no piso da 
sala. Essa sala tem formato retangular com 3,2 m 
de largura e 3,6 m de comprimento. As peças do 
porcelanato têm formato de um quadrado com 
lado medindo 80 cm. Esse porcelanato é vendido 
em dois ti pos de caixas, com os preços indicados 
a seguir.
• Caixas do ti po A: 4 unidades de piso, R$ 35,00;
• Caixas do ti po B: 3 unidades de piso, R$ 27,00.
 Na instalação do porcelanato, as peças podem 
ser recortadas e devem ser assentadas sem espa-
çamento entre elas, aproveitando-se ao máximo 
os recortes feitos.
 A compra que atende às necessidades do pro-
prietário, proporciona a menor sobra de pisos e 
resulta no menor preço é
(A) 5 caixas do ti po A.
(B) 1 caixa do ti po A e 4 caixas do ti po B.
(C) 3 caixas do ti po A e 2 caixas do ti po B.
(D) 5 caixas do ti po A e 1 caixa do ti po B.
(E) 6 caixas do ti po B.
4. (ENEM MEC/2020) Pretende-se comprar uma 
mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo 
que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa 
disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre 
na borda do tampo da mesa, que deverá ter a me-
nor área possível. Na loja visitada há mesas com 
tampos nas formas e dimensões especifi cadas:
• Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 
60 cm;
• Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm 
e 60 cm;
• Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 
cm e 60 cm;
• Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm;
• Mesa V: triângulo equilátero, com lados me-
dindo 120 cm.
 A mesa que atende aos critérios especificados é a
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
5; (ENEM MEC/2017) Um fabricante recomenda 
que, para cada m2 do ambiente a ser climati za-
do, são necessários 800 BTUh, desde que haja 
até duas pessoas no ambiente. A esse número 
devem ser acrescentados 600 BTUh para cada 
pessoa a mais, e também para cada aparelho 
eletrônico emissor de calor no ambiente. A se-
guir encontram-se as cinco opções de aparelhos 
desse fabricante e suas respecti vas capacidades 
térmicas:
 Tipo I: 10 500 BTUh
 Tipo II: 11 000 BTUh
 Tipo III: 11 500 BTUh
 Tipo IV: 12 000 BTUh
 Tipo V: 12 500 BTUh
 O supervisor de um laboratório precisa comprar 
um aparelho para climati zar o ambiente. Nele 
fi carão duas pessoas mais uma centrífuga que 
emite calor. O laboratório tem forma de trapézio 
retângulo, com as medidas apresentadas na fi -
gura.
 Para economizar energia, o supervisor deverá es-
colher o aparelho de menor capacidade térmica 
que atenda às necessidades do laboratório e às 
recomendações do fabricante.
 A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho 
do ti po
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
6. (ENEM MEC/2017) A fi gura traz o esboço da plan-
ta baixa de uma residência. Algumas medidas in-
ternas dos cômodos estão indicadas. A espessura 
de cada parede externa da casa é 0,20 m e das 
paredes internas, 0,10 m.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
148
 Sabe-se que, na localidade onde se encontra 
esse imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano 
(IPTU) é calculado conforme a área construída da 
residência. Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 
por cada metro quadrado de área construída.
 O valor do IPTU desse imóvel, em real, é
(A) 250,00.
(B) 250,80.
(C) 258,64.
(D) 276,48.
(E) 286,00.
7. (ENEM MEC/2013) O proprietário de um terre-
no retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja 
instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme 
ilustrado na fi gura:
 Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m 
de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O 
valor em m2 mais aproximado da área do terreno 
iluminada pelas lâmpadas é
 (Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.)
(A) 30.
(B) 34.
(C) 50.
(D) 61.
(E) 69.
8. (ENEM MEC/2012) Para decorar a fachada de um 
edi� cio, um arquiteto projetou a colocação de 
vitrais compostos de quadrados de lado medindo 
1 m, conforme a fi gura a seguir.
 Nesta fi gura, os pontos A, B, C e D são pontos 
médios dos lados do quadrado e os segmentos AP 
e QC medem 1/4 da medida do lado do quadra-
do. Para confeccionar um vitral, são usados dois 
ti pos de materiais: um para a parte sombreada 
da fi gura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para 
a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que 
custa R$ 50,00 o m2.
 De acordo com esses dados, qual e o custo dos 
materiais usados na fabricação de um vitral?
(A) R$ 22,50 
(B) R$ 35,00 
(C) R$ 40,00
(D) R$ 42,50 
(E) R$ 45,00
9. (ENEM MEC/2012) Uma pizzaria oferece, no car-
dápio, duas opções de tamanhos e preços:
 Pizza média (6 fati as): R$ 24,00
 Pizza grande (8 fati as): R$ 32,00
 Um grupo de jovens estava prestes a decidir o ti po 
de pizza com melhor custo-bene� cio, quando um 
dos amigos questi onou ao garçom a respeito do 
diâmetro de cada uma das pizzas. A informação 
obti da foi de que os diâmetros das pizzas média 
e grande eram, respecti vamente, 30 cm e 40 cm. 
Considerando que os dois tamanhos e preços das 
pizzas atendem o grupo e que não haverá des-
perdício, iniciou-se um debate entre eles:
• Alan: A pizza grande tem melhor custo-bene-
� cio, pois a área de sua fati a é superior à área 
da fati a da pizza média.
• Breno: A pizza média tem melhor custo-bene-
� cio, pois, como é dividida em menos fati as, 
cada fati a tem uma maior quanti dade de pizza.
• Cleber: As duas apresentam a mesma relação 
custo-bene� cio, já que cada fati a custa R$ 4,00, 
independentemente da escolha do tamanho.
• Davidson: Como a razão entre os diâmetros e 
os preços das pizzas é a mesma, nenhuma das 
pizzas tem melhor custo-bene� cio que a outra.
• Eric: A pizza grande possui melhor relação 
custo bene� cio, pois, independentemente do 
diâmetro, ela é dividida em um número maior 
de fati as.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
149
 Qual jovem apresentou o melhor argumento para 
a escolha da pizza?
(A) Alan.
(B) Breno.
(C) Cleber.
(D) Davidson.
(E) Eric.
10. (ENEM MEC/2011) Em uma cidade, a cada inau-
guração de prédios, a orientação da prefeitura, 
por meio de uma lei de incenti vo à cultura, é a 
construção de uma obra de arte na entrada ou no 
hall desse prédio. Em contraparti da, a prefeitura 
oferece abati mento em impostos. No edi� cio das 
Acácias, o arti sta contratado resolveu fazer um 
quadro composto de 12 mosaicos, de dimensões 
de 12 cm por 6 cm cada um, conforme a fi gura.
 A área da fi gura sombreada do quadro é de
(A) 36 cm2.
(B) 72 cm2.
(C) 144 cm2.
(D) 288 cm2.
(E) 432 cm2.
Nivelamento e Ampliação
Reconhecer os diferentes ti pos de sólidos geométri-
cos e suas parti cularidades, ilustrando com objetos 
do coti diano e/ou por aplicati vos para dedução do 
princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações 
reais.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
MOMENTO ENEM
1. (ENEM MEC/2021) Muitos brinquedos que fre-
quentemente são encontrados em praças e par-
ques públicos apresentam formatos de fi guras 
geométricas bidimensionais e tridimensionais. 
Uma empresa foi contratada para desenvolver 
uma nova forma de brinquedo. A proposta apre-
sentada pela empresa foi de uma estrutura for-
mada apenas por hastes metálicas, conectadas 
umas às outras, como apresentado na fi gura. As 
hastes de mesma tonalidade e espessura são con-
gruentes.
 Com base na proposta apresentada, quantas fi gu-
ras geométricas planas de cada ti po são formadas 
pela união das hastes?
(A) 12 trapézios isósceles e 12 quadrados.
(B) 24 trapézios isósceles e 12 quadrados.
(C) 12 paralelogramos e 12 quadrados.
(D) 8 trapézios isósceles e 12 quadrados.
(E) 12 trapézios escalenos e 12 retângulos.
2. (ENEM MEC/2021) Num octaedro regular, duas 
faces são consideradas opostas quando não têm 
nem arestas, nem vérti ces em comum. Na fi gura, 
observa-se um octaedro regular e uma de suas 
planifi cações, na qual há uma face colorida na cor 
cinza escuro e outras quatro faces numeradas.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
150
 Qual(is) face(s) fi cará(ão) oposta(s) à face de cor 
cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído 
a parti r da planifi cação dada?
(A) 1, 2, 3 E 4
(B) 1 E 3
(C) 1
(D) 2
(E) 4
3. (ENEM MEC/2021) O Atomium, representado na 
imagem, é um dos principais pontos turísti cos 
de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a 
primeira grande exposição mundial depois da 
Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de 
Bruxelas.
 Trata-se de uma estrutura metálica construída no 
formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada 
por um dos vérti ces sobre uma base paralela ao 
plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse 
vérti ce, é ortogonal ao plano da base. Centradas 
nos vérti ces desse cubo, foram construídas oito 
esferas metálicas, e uma outra esfera foi construí-
da centrada no ponto de interseção das diagonais 
do cubo. As oito esferas sobre os vérti ces são in-
terligadas segundo suas arestas, e a esfera central 
se conecta a elas pelas diagonais do cubo.
Disponível em: h� p://trupedatrip.com. 
Acesso em: 25 out. 2019.
 Todas essas interligações são feitas por tubos ci-
líndricos que possuem escadas em seu interior, 
permiti ndo o deslocamento de pessoas pela par-
te interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à 
base, o deslocamento é feito por uni elevador, 
que permite o deslocamento entre as esferas da 
base e a esfera do ponto mais alto, passando pela 
esfera central.
 Considere um visitante que se deslocou pelo inte-
rior do Atomium sempre em linha reta e seguindo 
o menor trajeto entre dois vérti ces, passando por 
todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
 A projeção ortogonal sobre o plano do solo do 
trajeto percorrido por esse visitante é represen-
tado por
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
4. (ENEMMEC/2021) Um inseto percorreu sobre a 
super� cie de um objeto, em formato de um pris-
ma reto ABCDEFGH, com base retangular, uma 
trajetória poligonal, com vérti ces nos pontos: A 
- X - Y - G - F - E - X - G - E, na ordem em que foram 
apresentados.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
151
 É necessário representar a projeção ortogonal 
do trajeto percorrido pelo inseto sobre o plano 
determinado pela base do prisma.
 A representação da projeção ortogonal do trajeto 
percorrido pelo inseto é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
5. (ENEM MEC/2020) Em um jogo desenvolvido 
para uso no computador, objetos tridimensionais 
vão descendo do alto da tela até alcançarem o 
plano da base. O usuário pode mover ou girar 
cada objeto durante sua descida para posicioná-
-lo convenientemente no plano horizontal. Um 
desses objetos é formado pela justaposição de 
quatro cubos idênti cos, formando assim um só-
lido rígido, como ilustrado na fi gura.
 Para facilitar a movimentação do objeto pelo usu-
ário, o programa projeta ortogonalmente esse 
sólido em três planos quadriculados perpendi-
culares entre si, durante sua descida.
 A fi gura que apresenta uma possível posição desse 
sólido, com suas respecti vas projeções ortogonais 
sobre os três planos citados, durante sua descida é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
6. (ENEM MEC/2020) A Figura 1 apresenta uma casa 
e a planta do seu telhado, em que as setas indi-
cam o senti do do escoamento da água de chuva. 
Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamen-
to da água de chuva de um telhado que tem três 
caídas de água, como apresentado na Figura 2.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
152
 A fi gura que representa a planta do telhado da 
Figura 2 com o escoamento da água de chuva que 
o pedreiro precisa fazer é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
7. (ENEM MEC/2020) No desenho técnico, é comum 
representar um sólido por meio de três vistas 
(frontal, perfi l e superior), resultado da projeção 
do sólido em três planos, perpendiculares dois a 
dois.
 A fi gura representa as vistas de uma torre.
Disponível em: www.uems.br. 
Acesso em: 11 dez. 2012 (adaptado).
 Com base nas vistas fornecidas, qual fi gura me-
lhor representa essa torre?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
8. (ENEM MEC/2017) Uma lagarti xa está no interior 
de um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, 
apresentando o formato de um paralelepípedo 
retangular, é representado pela fi gura.
 A lagarti xa parte do ponto B e vai até o ponto A. 
A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o 
ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. 
Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o 
ponto H. Considere que todos esses deslocamen-
tos foram feitos pelo caminho de menor distância 
entre os respecti vos pontos envolvidos.
 A projeção ortogonal desses deslocamentos no 
plano que contém o chão do quarto é dada por:
(A) 
(B) 
(C) 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
153
(D) 
(E) 
9. (ENEM MEC/2017) Para divulgar sua marca, uma 
empresa produziu um porta-canetas de brinde, 
na forma do sólido composto por um cilindro e 
um tronco de cone, como na fi gura.
 Para recobrir toda a super� cie lateral do brinde, 
essa empresa encomendará um adesivo na forma 
planifi cada dessa super� cie.
 Que formato terá esse adesivo?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
10. (ENEM MEC/2016) Um grupo de escoteiros mi-
rins, numa ati vidade no parque da cidade onde 
moram, montou uma barraca conforme a foto 
da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da es-
trutura dessa barraca, em forma de um prisma 
reto, em que foram usadas hastes metálicas.
 Após a armação das hastes, um dos escoteiros 
observou um inseto deslocar-se sobre elas, par-
ti ndo do vérti ce A em direção ao vérti ce B, deste 
em direção ao vérti ce E e, fi nalmente, fez o trajeto 
do vérti ce E ao C. Considere que todos esses des-
locamentos foram feitos pelo caminho de menor 
distância entre os pontos.
 A projeção do deslocamento do inseto no plano 
que contém a base ABCD é dada por
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
11. (ENEM MEC/2015) Uma empresa que embala 
seus produtos em caixas de papelão, na forma 
de hexaedro regular, deseja que seu logoti po seja 
impresso nas faces opostas pintadas de cinza, 
conforme a fi gura:
 A gráfi ca que fará as impressões dos logoti pos 
apresentou as seguintes sugestões planifi cadas:
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
154
 Que opção sugerida pela gráfi ca atende ao desejo 
da empresa?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
12. (ENEM MEC/2014) Um sinalizador de trânsito 
tem o formato de um cone circular reto. O sina-
lizador precisa ser revesti do externamente com 
adesivo fl uorescente, desde sua base (base do 
cone) até a metade de sua altura, para sinalização 
noturna. O responsável pela colocação do adesivo 
precisa fazer o corte do material de maneira que 
a forma do adesivo corresponda exatamente à 
parte da super� cie lateral a ser revesti da.
 Qual deverá ser a forma do adesivo?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
13. (ENEM MEC/2014) A fi gura é uma representação 
tridimensional da molécula do hexafl uoreto de 
enxofre, que tem a forma bipiramidal quadrada, 
na qual o átomo central de enxofre está cercado 
por seis átomos de fl úor, situados nos seis vérti -
ces de um octaedro. O ângulo entre qualquer par 
de ligações enxofre-fl úor adjacentes mede 90º.
 A vista superior da molécula, como representada 
na fi gura, é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
155
14. (ENEM MEC/2012) Maria quer inovar em sua 
loja de embalagens e decidiu vender caixas com 
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas 
estão as planifi cações dessas caixas.
 Quais serão os sólidos geométricos que Maria 
obterá a parti r dessas planifi cações?
(A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâ-
mide.
(B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
(C) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
(D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
(E) Cilindro, prisma e tronco de cone.
15. (ENEM MEC/2011) A fi gura seguinte mostra um 
modelo de sombrinha muito usado em países 
orientais.
Disponível em: h� p://mdmat.psico.ufrgs.br. 
Acesso em: 1 maio 2010.
 Esta fi gura é uma representação de uma super-
� cie de revolução chamada de
(A) pirâmide.
(B) semiesfera.
(C) cilindro.
(D) tronco de cone.
(E) cone.
16. (ENEM MEC/2010) Alguns testes de preferência 
por bebedouros de água foram realizados com 
bovinos, envolvendo três ti pos de bebedouros, de 
formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 
1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular 
reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base 
superior igual a 120 cm e 60 cm, respecti vamente. 
O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm 
de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de 
largura. Os três recipientes estão ilustrados na 
fi gura.
A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V.22, nº. 4, 2009 
(adaptado).
 Considerando que nenhum dos recipientes tenha 
tampa, qual das fi guras a seguir representa uma 
planifi cação para o bebedouro 3?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
156
Habilidade da BNCC 
(EM13MAT504) Investi gar processos de obtenção 
da medida do volume de prismas, pirâmides, cilin-
dros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para 
a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas fi guras.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida 
do volume de sólidos geométricos, uti lizando pro-
cedimentos matemáti cos para resolver problemas 
que envolvem prismas em situações reais.
Objetos de conhecimento
Sólidos Geométricos
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. (Encceja/2017) A Figura 1 representa um molde da 
planifi cação de um sólido geométrico. As faces 
desse sólido são fi guras geométricas planas. Após 
montado, o sólido terá o formato de uma caixa, 
indicada na Figura 2.
 Qual o número de arestas dessa caixa?
(A) 10.
(B) 15.
(C) 17.
(D) 18.
(E) 20.
2. (Encceja/2017) Uma fábrica de parafusos tem 
uma preocupação especial com as arestas de seus 
produtos, pois podem causar acidentes quando 
não lixadascorretamente. Os funcionários preci-
sam lixar manualmente todas as arestas dos pa-
rafusos produzidos. A fi gura representa um ti po 
desses parafusos produzidos, conhecido como 
sextavado, que possui a cabeça na forma de um 
prisma regular hexagonal.
 O número de arestas na cabeça de um parafuso 
sextavado que devem ser lixadas é
(A) 6.
(B) 12.
(C) 18.
(D) 24.
(E) 25.
3. (UFPR/2016) Um prisma possui 17 faces, incluin-
do as faces laterais e as bases inferior e superior. 
Uma pirâmide cuja base é idênti ca à base do pris-
ma, possui quantas arestas?
(A) 26.
(B) 28.
(C) 30.
(D) 32.
(E) 34.
4. (UERJ/2016) Dois dados, com doze faces penta-
gonais cada um, têm a forma de dodecaedros 
regulares. Se os dodecaedros estão justapostos 
por uma de suas faces, que coincidem perfeita-
mente, formam um poliedro côncavo, conforme 
ilustra a fi gura.
 Considere o número de vérti ces V, de faces F e 
de arestas A desse poliedro côncavo.
 A soma V + F + A é igual a:
(A) 102
(B) 106
(C) 110
(D) 112
(E) 120.
5. (UECE/2016) Se a soma dos ângulos de todas as 
faces de uma pirâmide (incluindo a base) é 3600 
graus, então, a base da pirâmide é um polígono 
com
(A) 9 lados.
(B) 10 lados.
(C) 11 lados.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
157
(D) 12 lados.
(E) 15 lados
6. (UECE/2016) Um poliedro convexo com 32 vérti -
ces possui apenas faces triangulares. O número 
de arestas deste poliedro é
(A) 100.
(B) 120.
(C) 90.
(D) 80.
(E) 60.
7. (UNITAU SP/2015) Sabendo-se que uma reta 
corta perpendicularmente uma das faces de um 
diedro, formando um ângulo de 45º com o seu 
bissetor, é CORRETO afi rmar que a medida desse 
diedro é
(A) 40º
(B) 45º
(C) 50º
(D) 75º
(E) 90º
8. (UECE/2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, 
sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número 
de vérti ces deste polígono é
(A) 90.
(B) 72.
(C) 60.
(D) 56.
(E) 60
9. (UEFS BA/2014) 
 Um ti po de bola de futebol é inspirado no ico-
saedro truncado, que é um poliedro convexo 
formado por 12 faces pentagonais e 20 faces 
hexagonais.
 O número de vérti ces desse poliedro é
(A) 40
(B) 48
(C) 60
(D) 64
(E) 76
10. (UECE/2012) Se um poliedro convexo tem exa-
tamente 20 faces e todas são triangulares, então 
o número de vérti ces deste poliedro é 
(A) 16. 
(B) 14. 
(C) 12. 
(D) 10.
(E) 8. 
MOMENTO ENEM
1. (ENEM MEC/2017) O hábito cristalino é um ter-
mo uti lizado por mineralogistas para descrever 
a aparência � pica de um cristal em termos de 
tamanho e forma. A granada é um mineral cujo 
hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas 
e 20 vérti ces. Um mineralogista construiu um 
modelo ilustrati vo de um cristal de granada pela 
junção dos polígonos correspondentes às faces.
 Supondo que o poliedro ilustrati vo de um cristal 
de granada é convexo, então a quanti dade de fa-
ces uti lizadas na montagem do modelo ilustrati vo 
desse cristal é igual a
(A) 10.
(B) 12.
(C) 25.
(D) 42.
(E) 50.
Habilidade da BNCC
(EM13MAT509) Investi gar a deformação de ângulos 
e áreas provocada pelas diferentes projeções usa-
das em cartografi a (como a cilíndrica e a cônica), 
com ou sem suporte de tecnologia digital.
Objeti vo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT509A) Identi fi car nas projeções refl e-
ti das no ambiente as formas geométricas reconhe-
cendo seus respecti vos elementos (vérti ces, lados, 
ângulos internos, externos e diagonais) para a leitu-
ra e a representação da realidade e agir sobre ela.
Objetos de conhecimento
Transformações geométricas (isometrias e homo-
téti cas). 
Imersão Curricular
Arte e Matemáti ca
Podemos estabelecer uma conexão com algumas 
áreas da Matemáti ca e com outros campos do co-
nhecimento, especialmente com a arte, por meio da 
exploração das formas e característi cas de objetos, 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
158
obras ar� sti cas, pinturas, desenhos, mapas, formas 
encontradas na natureza, entre outras criações hu-
manas ou naturais. 
O Limite do Círculo 1
Escher 1958
Para essa relação iremos uti lizar as transforma-
ções geométricas. Uma transformação geométrica é 
uma aplicação bijeti va entre duas fi guras geométricas, 
no mesmo plano ou em planos diferentes, de modo 
que, a parti r de uma fi gura geométrica original se 
forma outra geometricamente igual (isométricas) ou 
semelhante à primeira (homotéti cas). 
Uma Isometria é uma transformação geométrica 
que preserva distância entre pontos e amplitude dos 
ângulos, isto é , a fi gura inicial e o seu transformado 
são congruentes. 
Tipos de isometria 
Refl exão
No plano, uma refl exão, de eixo r é uma transfor-
mação geométrica que a cada ponto P faz correspon-
der um ponto P’, tal que:
I. PP’ é perpendicular ao eixo; 
II. As distancias de P e de P ́ao eixo são iguais. 
Propriedades: 
1. Uma fi gura e a sua imagem por refl exão sobre 
um eixo de refl exão são congruentes; 
2. Se dobrarmos a folha pelo eixo de refl exão r, a 
fi gura original e a sua imagem sobrepõem-se ponto 
por ponto;
3. A refl exão muda o senti do dos ângulos, mas 
mantem a sua amplitude. 
Fonte: Elaborado para fi ns didáti cos.
Rotação 
No plano uma rotação de uma forma ao redor de 
um ponto, centro da rotação, e amplitude é uma 
transformação geométrica tal que a distância ao cen-
tro de rotação de cada ponto P se mantem constante.
Fonte: Elaborado para fi ns didáti cos.
Translação.
A transl ação é o termo usado para “mover” for-
mas, sendo necessárias duas especifi cações
I. Direção (que pode ser medida em graus)
II. Magnitude (que pode ser medida em alguma 
unidade de comprimento).
Fonte: Elaborado para fi ns didáti cos.
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
159
A fi gura acima foi transladada 30 a nordeste e 
no comprimento do vetor v.
Homoteti a
Homoteti a é transformação que multi plica por um 
fator constante a distância de um ponto qualquer do 
espaço a um ponto fi xo, deslocando-o sobre a reta 
defi nida por estes dois pontos
Fonte: Elaborado para fi ns didáti cos.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1. Faça uma refl exão do triângulo ABC em relação 
 a) ao eixo y;
 b) ao eixo x;
 c) a origem O
2. Observe os polígonos ABC e A’B’C’ no plano car-
tesiano a seguir. 
 Que ti po de simetria é observado na transforma-
ção do polígono ABC no polígono A’B’C’? 
(A) Refl exão em relação ao eixo x.
(B) Refl exão em relação a origem do sistema de 
coordenadas.
(C) Translação.
(D) Rotação em relação ao ponto A.
(E) Rotação em relação a origem do sistema de 
coordenadas.
MOMENTO ENEM
1. (ENEM MEC/2018) Isometria é uma transforma-
ção geométrica que, aplicada a uma fi gura, man-
tém as distâncias entre pontos. Duas das transfor-
mações isométricas são a refl exão e a rotação. A 
refl exão ocorre por meio de uma reta chamada 
eixo. Esse eixo funciona como um espelho, a ima-
gem refl eti da é o resultado da transformação. A 
rotação é o “giro” de uma fi gura ao redor de um 
ponto chamado centro de rotação. A fi gura sofreu 
cinco transformações isométricas, nessa ordem:
 1ª) Refl exão no eixo x;
 2ª) Rotação de 90 graus no senti do anti -horário, 
com centro de rotação no ponto A;
 3ª) Refl exão no eixo y;
 4ª) Rotação de 45 graus no senti do horário, com 
centro de rotação no ponto A;
 5ª) Refl exão no eixo x.
Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
 Qual a posição fi nal da fi gura?
(A) 
(B) 
(C) 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
160
(D) 
(E) 
2. (ENEM MEC/2017) A imagem apresentada na 
fi gura é uma cópia em preto e branco da tela 
quadrada inti tulada O peixe, de Marcos Pinto, 
que foi colocada em uma parede para exposição 
e fi xada nos pontos A e B.
 Por um problema na fi xação de um dos pontos, a 
tela se desprendeu, girando rente à parede. Após 
o giro, ela fi cou posicionada como ilustrado na 
fi gura, formando um ângulo de 45º com a linha 
do horizonte.
 Para recolocar a tela na sua posição original, de-
ve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo 
possível inferior a 360º.
 A forma de recolocar a tela na posição original, 
obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a 
em um ângulo de
(A) 90º no senti do horário.
(B)