Atividade 1 - Controle de Sistemas

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Atividade 1 – CONTROLE DE SISTEMAS
Sistemas de controle, como os servomecanismos, vêm largamente sendo utilizados na prática e estão em constante evolução tecnológica, desde o início do seu desenvolvimento, durante a Segunda Guerra Mundial. O trabalho com esse tipo de equipamento objetiva a realização de atividades em sincronia com outras máquinas, o que permite controlar velocidade e posicionamento de movimento de carga, por exemplo, com ampla precisão. Na imagem a seguir, é ilustrado um exemplo do emprego de servomecanismo.
Figura 1 — Servomecanismo na prática
Fonte: INGENIA-CAT S.L. / Wikimedia Commons.
#PraCegoVer: fotografia de um sistema de acionamento por um servomecanismo, para uma máquina CNC (de Controle Numérico Computadorizado), na qual é possível ver o circuito eletrônico do acionamento, os fios de ligação e a máquina controlada ao fundo, do lado esquerdo.
 
Ana Luiza, engenheira eletricista, será responsável pela realização de ajustes que possam ser necessários no sistema. É observado um problema de demora do período de tempo para que este sistema apresente uma velocidade constante de operação. Nesse sentido, analisando detalhadamente a situação em questão, obteve-se a seguinte curva de resposta, ilustrada no gráfico da imagem a seguir, relacionando a tensão de saída ao longo do tempo:
Figura 2 — Resposta do sistema ao longo do tempo
Fonte: Adaptado de OGATA (2010, p. 172).
#PraCegoVer: a figura é a imagem de um gráfico de tempo em segundos no eixo x, com marcas de meio em meio segundo, iniciando em 0 até 3; em função da amplitude (eixo y), com intervalos de 0,2, iniciando em 0 até 1,4. A curva mostrada apresenta um pico entre 0,5 e 1 s, acima de 1,2, e abaixo de 1,4, e o sistema é monitorado de 0 até 3.
 
Assim, considerando o contexto apresentado, o que é possível observar acerca da resposta transitória desse sistema? Dica: utilize recursos matemáticos para apoiar sua explicação.
Resposta
Analisando a situação apresentada, pode-se verificar que se trata de um sistema dinâmico onde são consideradas as variáveis tempo em segundos e amplitude. A resposta transitória desse sistema é dada através de um modelo matemático de segunda ordem e são desenvolvidos segundos os critérios abaixo:
· São descritos por uma equação diferencial de segunda ordem;
· Possuem dosi polos, logo o polinômio do denominador da FT (Função de Trnasferência) de MF (Malha Fechada) será de segundo grau;
· Os coeficientes desses polinômios são compostos por qsi (coeficiente de amortecimento) e Wn, que são os responsáveis pela dinâmica temporal;
Vejamos a forma padrão do sistema de segunda ordem:
· Poderá ser classificado como sub, super, criticamente amortecido,
a) Subamortecido, caso a resposta transitória seja oscilatória, estando dentro da faixa de 0 < ς < 1
b) Se ς = 0 , a resposta transitória não decai.
c) Criticamente amortecido, caso ς = 1 .
d) Superamortecido, caso ς > 1 .
Sendo o sistema subamortecido, a função de transferência se torna a seguinte, com 0 < ς
< 1:
Tem-se, ainda, que a frequência das oscilações será:
Com a entrada, mais efetivamente, a saída será:
Pela transformada de Laplace:
A resposta será, no domínio do tempo:
Caso o sistema seja, por outro lado, criticamente amortecido (o que, na prática, equivale aos dois polos serem iguais), tem-se que a saída é, considerando a transformada de Laplace:
No domínio do tempo, obtém-se que:
Por fim, para o caso superamortecido (como no caso em que dois polos sejam reais, negativos e diferentes), obtém-se com a transformada de Laplace:
No domínio do tempo, obtém-se:
Visto todas as possíveis classificações dos sistemas dinâmicos e seus modelos matemáticos, e ainda verificando o comportamento das variáveis apresentadas foi possível perceber que se trata de um sistema subamortecido. 
O tipo de resposta desse sistema apresenta variação da parte real e parte imaginária do polo constante. À medida que os polos se movem para esquerda, a resposta se amortece mais rapidamente, enquanto a frequência permanece a mesma. Além disso, esse tipo de sistema possui as respostas com movimentação dos polos ao longo de uma linha radial constante, e produz o fator de amortecimento constante. As respostas são semelhantes, exceto pela velocidade. Quanto mais afastados os polos, mais rápida será a resposta.