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APRESENTAÇÃO 3GE MATEMÁTICA 2017 O passo final é reforçar os estudos sobre atualidades, pois as provas exigem alunos cada vez mais antenados com os principais fatos que ocorrem no Brasil e no mundo. Além disso, é preciso conhecer em detalhes o seu processo seletivo – o Enem, por exemplo, é bastante diferente dos demais vestibulares. arrow COMO O GE PODE AJUDAR VOCÊ O GE Enem e o GE Fuvest são dois verdadeiros “manuais de instrução”, que mantêm você atualizado sobre todos os segredos dos dois maiores vestibulares do país. Com duas edições no ano, o GE ATUALIDADES traz fatos do noticiário que podem cair nas próximas provas – e com explicações claras, para quem não tem o costume de ler jornais nem revistas. Um plano para os seus estudos Este GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA oferece uma ajuda e tanto para as provas, mas é claro que um único guia não abrange toda a preparação necessária para o Enem e os demais vestibulares. É por isso que o GUIA DO ESTUDANTE tem uma série de publicações que, juntas, fornecem um material completo para um ótimo plano de estudos. O roteiro a seguir é uma sugestão de como você pode tirar melhor proveito de nossos guias, seguindo uma trilha segura para o sucesso nas provas. O primeiro passo para todo vestibulando é escolher com clareza a carreira e a universidade onde pretende estudar. Conhecendo o grau de dificuldade do processo seletivo e as matérias que têm peso maior na hora da prova, fica bem mais fácil planejar os seus estudos para obter bons resultados. arrow COMO O GE PODE AJUDAR VOCÊ O GE PROFISSÕES traz todos os cursos superiores existentes no Brasil, explica em detalhes as carac- terísticas de mais de 260 carreiras e ainda indica as instituições que oferecem os cursos de melhor qualidade, de acordo com o ranking de estrelas do GUIA DO ESTUDANTE e com a avaliação oficial do MEC. Para começar os estudos, nada melhor do que revisar os pontos mais importantes das principais matérias presentes no Ensino Médio. Você pode repassar todas as disciplinas ou focar só em algumas delas. Além de rever os conteúdos, é fundamental fazer exercícios para praticar. arrow COMO O GE PODE AJUDAR VOCÊ Além do GE MATEMÁTICA, que você já tem em mãos, produzimos um guia para cada matéria do Ensino Médio: GE QUÍMICA, Física, Biologia, História, Geografia, Portu- guês e Redação. Todos reúnem os temas que mais caem nas provas, trazem muitas questões de vestibulares para fazer e ainda têm uma linguagem fácil de entender, permitindo que você estude sozinho. Os guias ficam um ano nas bancas – com exceção do ATUALIDADES, que é semestral. Você pode comprá-los também nas lojas on-line das livrarias Cultura e Saraiva. CAPA: 45 JUJUBAS 1 Decida o que vai prestar 2 Revise as matérias-chave 3 Mantenha-se atualizado FALE COM A GENTE: Av. das Nações Unidas, 7221, 18º andar, CEP 05425-902, São Paulo/SP, ou email para: guiadoestudante.abril@atleitor.com.br CALENDÁRIO GE 2016 Veja quando são lançadas as nossas publicações MÊS PUBLICAÇÃO Janeiro Fevereiro GE HISTÓRIA Março GE ATUALIDADES 1 Abril GE GEOGRAFIA GE QUÍMICA Maio GE PORTUGUÊS GE BIOLOGIA Junho GE ENEM GE FUVEST Julho GE REDAÇÃO Agosto GE ATUALIDADES 2 Setembro GE MATEMÁTICA GE FÍSICA Outubro GE PROFISSÕES Novembro Dezembro CARTA AO LEITOR 4 GE MATEMÁTICA 2017 PARA FORMANDOS O presidente dos Estados Unidos, Barack Obama, na cerimônia de formatura da Universidade Rutgers Na política e na vida, a ignorância não é uma virtude.” A frase foi dita pelo presidente dos Estados Unidos, Barack Obama, na cerimônia de formatura de uma turma da Universidade Rutgers. Na ocasião, Obama criticava o então candidato à presidência Donald Trump. Mas a ideia se encaixa no dia a dia de qualquer um. Vive melhor quem acompanha de perto as transformações de seu tempo. Para você, vestibulando, o raciocínio é mais válido do que nunca. Para ir bem nas provas de vestibular, é fundamental saber interpretar as notícias. E, para isso, é importante, entre outras coisas, dominar aspectos básicos de diversas ciências, particularmente da matemática. A matemática está oculta em muitas das notícias que você vê na TV, na internet ou nos jornais. Em geofísica, explica como ocorrem os terremotos; em economia, ajuda a interpretar grá- ficos; em geografia e meio ambiente, é essencial para compre- ender a relação entre o crescimento da população e o estoque de recursos naturais do planeta. Ou seja, saber essa ciência exata não conta pontos apenas nas provas de matemática, mas também nas de outras áreas, e também na redação. Nós, editores do GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA VESTIBULAR + ENEM, entendemos que quem enxerga o lado prático da matemática aprende mais rápido. Por isso pinçamos para esta edição alguns dos grandes assuntos da atualidade como ponto de partida para trabalhar com os conceitos matemáticos básicos. O conteúdo foi preparado pelo professor Fabio Marson Ferreira, do Colégio Móbile, de São Paulo. A primeira decisão acertada que você pode tomar agora é mergulhar neste guia e se preparar para um futuro de sucesso. arrow A redação 8 EM CADA 10 APROVADOS NA USP USARAM SEL O D E Q UA L ID A D E G U I A D O E S T U D A N T E O selo de qualidade acima é resultado de uma pes- quisa realizada com 351 estudantes aprovados em três dos principais cursos da Universidade de São Paulo no vestibular 2015. São eles: � DIREITO, DA FACULDADE DO LARGO SÃO FRANCISCO; � ENGENHARIA, DA ESCOLA POLITÉCNICA; e � MEDICINA, DA FACULDADE DE MEDICINA DA USP dot 8 em cada 10 entrevistados na pesquisa usaram algum conteúdo do GUIA DO ESTUDANTE durante sua preparação para o vestibular dot Entre os que utilizaram versões impressas do GUIA DO ESTUDANTE: 88% disseram que os guias ajudaram na preparação. 97% recomendaram os guias para outros estudantes. TESTADO E APROVADO! A pesquisa quantitativa por meio de entrevista pessoal foi realizada nos dias 11 e 12 de fevereiro de 2015, nos campi de matrícula dos cursos de Direito, Medicina e Engenharia da Universidade de São Paulo (USP). � Universo total de estudantes aprovados nesses cursos: 1.725 alunos. � Amostra utilizada na pesquisa: 351 entrevistados. � Margem de erro amostral: 4,7 pontos percentuais. A N TH O N Y B E H A R /S IP A O valor de conhecer 8 GE MATEMÁTICA 2017 A Ângulos .......................................33, 34, 98, 99 Área ........................................................ 41 a 44 do círculo ................................................. 46 de polígonos .................................... 41 a 44 de sólidos ......................................... 53 a 55 Arranjos ....................................................... 116 Árvore das possibilidades ................. 114, 115 B Bhaskara, fórmula de ..................................72 C Capital ........................................................... 24 Cavalieri, princípio de ................................55 Cilindros ........................................................55 Círculo ........................................................... 46 Circunferência .....................................46 a 48 equação da .................................................47 inscrita e circunscrita ............................ 48 trigonométrica................................. 97 e 98 Combinação ................................................ 116 Cone ................................................................56 Conjuntos ...................................................... 17 numéricos .................................................. 18 Cosseno ....................................................97, 99 lei dos cossenos........................................99 D Determinantes ....................................126, 127 E Elipse ......................................................49 a 51 excentricidade ........................................ 50 Equações da circunferência.....................................47 Em ordem alfabética, os termos que remetem aos diversos conceitos abordados nesta edição Conteúdo matemático ÍNDICE REMISSIVO da hipérbole .............................................. 51 da parábola ............................................... 71 de 1º grau ...................................................65 de 2º grau .............................................71, 72 da reta .........................................................65 sistemas de ................................................66 Escala de redução ............................................... 20 Richter .......................................................89 Eventos ......................................................... 118 F Fatorial ..........................................................115 Fórmula de Bhaskara ..................................72 Funções análise de sinal .........................................65 conceitos ............................................. 62, 63 domínio ......................................................67 exponenciais .................................... 82 a 85 logarítmicas ........................................90, 91 de 1º grau .......................................... 63 a 65 de 2º grau .......................................... 70 a 75 trigonométricas ..............................100, 101 G Gráficos ................................................. 37 a 39 H Hipérbole.................................................50, 51 I Inequações ....................................................66 J Juros ...................................................... 24 a 27 L Logaritmo ..............................................86 a 91 M Matrizes ...............................................124, 125 Média ............................................................ 118 Mediana ....................................................... 118 Moda ............................................................. 118 Montante ...................................................... 24 N Notação científica ........................................ 81 P Parábola ..........................................50, 70 a 75 Permutação ........................................115 a 116 Plano .........................................................32, 33 cartesiano ...........................................36, 37 Poliedros ........................................................53 Polígonos ..............................................40 a 45 Inscritos e circunscritos ...................... 48 Potenciação .........................................80 a 85 Ponto ...................................................... 32 e 45 Porcentagem .......................................... 22, 23 Princípio de Cavalieri .................................55 Prismas .................................................... 53, 54 Probabilidade.....................................117 a 119 Proporção ................................................19, 20 Progressão aritmética (PA) ............. 106, 107 Progressão geométrica (PG) ........... 108, 109 Q Quadrantes ........................................ 37, 97, 98 R Razão ..............................................................22 Regra de três ................................................. 21 Reta .........................................................33 a 35 coeficiente angular ................................ 64 coeficiente linear ................................... 64 equação da ................................................65 posição relativa ..................33 a 35, 68, 69 S Sistemas de equação....................................66 Seno ....................................................... 97 a 99 lei dos senos .............................................99 Sólidos geométricos ........................... 52 a 57 T Tangente ........................................... 97, 98, 99 Teorema de Pitágoras .............................. 44, 45, 98 de Tales ....................................................35 Trapézio ........................................................ 42 Triângulos ............................... 42 a 45, 96, 97 na circunferência trigonométrica ...97, 98 retângulos ................................. 44, 45, 98 semelhança de................................. 96, 97 V Volume .................................................... 56, 57 equivalência de ......................................56 10 FÓRMULAS E CONCEITOS GE MATEMÁTICA 2017 ANÁLISE COMBINATÓRIA Permutação simples: PnS = n! Permutação com repetição: Pn a,b, c,... = a!b! c!... n! Arranjo simples: A n,p = (n – p) ! n! Arranjo com repetição: An,pr = np Combinação simples: Cn,p = p! An,p = (n–p) !p! n! ÁREA DE FIGURAS PLANAS Retângulo: A = base . altura Quadrado: A = lado . lado = lado2 Losango: A = 2 diagonalmaior . diagonalmenor Trapézio: A = 2 (basemaior + basemenor) . h Paralelogramo: A = base . altura Triângulo: A = 2 base . altura Círculo: A = π . r2 CIRCUNFERÊNCIA Comprimento: P = 2 . π. r Equação: Se o centro estiver nas coordenadas C (0, 0): xQ 2 + yQ 2 = r2 Se o centro não coincidir com (0, 0): (xQ – xC) 2 + (yQ – yC) 2 = r2 ELIPSE Equações: sempre com a > b a2 x 2 + b 2 y2 = 1 a2 x –mQ V2 + b2 y – nQ V2 = 1, sempre coma 2 b Excentricidade: e = a c FUNÇÃO DE 1º GRAU f(x) = y = a . x + b, em que • a é o coeficiente angular da reta: a = 3 x 3 y = (x A – x B) (y A – yB) = (x B – x A) (y B – yA) • b é o coeficiente linear da reta é o valor de y quando x = 0 Raiz da função é o valor de y no ponto em que a reta cruza o eixo x: y = a . x + b & 0 = a . x + b & x = – a b FUNÇÃO DE 2º GRAU Forma geral: y = a . x2 + b . x + c Forma fatorada: y = a . (x – x1) . (x – x2) Forma canônica: y = a . (x – xV)2 + yV Fórmula de Bhaskara x = 2 .a –b ! b2– 4 . a .c Coordenadas do vértice da parábola: x v = – 2 .a b yv = – 4 . a D JUROS Simples: J = C . i . n Compostos: Mn= C . (1 + i)n LOGARITMOS Logaritmo do produto: logb (a . c) = logb a + logbc Logaritmo do quociente: log b ( c a ) = log ba – log b c log b ( a 1 ) = – log ba Logaritmo de potência: logb(a n) = n . logba e logb(b n) = n Mudança de base do logaritmo: log c a = log b c log ba MATRIZES Diagonais: diagonal principal A = A11 A21 A12 A22 Matriz identidade: 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 Soma de matrizes: a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 Aij + Bij = a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 ... ... ... aij + bij aij + bij aij + bij Multiplicação por um número: k . a11 k . a12 k . a13 k . Aij = k . a21 k . a22 k . a23 ... ... ... k . aij k . aij k . aij Uma lista de conceitos e fórmulas desta edição Para não esquecer diagonal secundária Multiplicação de matrizes: Os elementos da matriz P produto de A1 . A2 são obtidos pela multiplicação dos elementos de cada linha de A1 pelos ele- mentos correspondentes de cada coluna de A2. Depois, os resultados são somados. PA E PG Termo geral de uma PA: an = a1 + (n – 1) . r, para n ≥ 2 Soma dos termos de uma PA: Sn = 2 n . (a 1 + an) Termo geral de uma PG: an = a1 . q n - 1, n ≥ 2 Soma dos termos de uma PG finita: Sn = q– 1 a 1 . (qn–1) para q ! 1 Soma dos termos de uma PG infinita: lim Sn = q –– 1 a 1 n " 3 POTENCIAÇÃO Notação científica: n = a . 10x, em que 1 ≤ a < 10 Propriedades: • am . an = am + n • am : an = am – n • (am)n = am . n � a–b = a 1S Xb • a n m = amn • (m.n) b = m b . nb � n mS Xb = nb m b • a0 = 1, desde que a ≠ 0 PROBABILIDADE Eventos independentes: P (A + B) = P (A) . P (B) União de dois eventos: P (A , B) = P (A) + P (B) – P (A + B) Média aritmética: É a soma de todos os valores dos elementos de um conjunto dividida pelo número total de elementos do conjunto. Média ponderada: Leva em consideração o peso de cada elemento do conjunto. Mediana: É a medida central de uma lista de medidas colocadas em ordem crescente, ou decrescente. Moda: É o valor que mais aparece em uma série de dados. TRIÂNGULOS Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 Razões trigonométricas: sen a = hipotenusa cateto oposto a a cos a = hipotenusa cateto adjacente a a tg a = cateto adjacente aa cateto oposto a a Lei dos senos: sen a a = sen b b = sen c c Lei dos cossenos: a2 = b 2 + c2 – 2 .b . c. cos a VOLUME DE SÓLIDOS Esfera: v = 3 4 . r . r 3 Prisma: v = Abase . h Pirâmide: v = 3 1 . Abase . h Cilindro: v = r . r 2 .h Cone: v = 3 1 . r . r 2 .h 14 GE MATEMÁTICA 2017 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO arrow Conjuntos numéricos .....................................................................................16 arrow Razão e proporção ...........................................................................................19 arrow Juros .....................................................................................................................24 arrow Como cai na prova + Resumo .......................................................................28 Os estados brasileiros e o Distrito Federal estão com as contas no vermelho. Algu-mas mais, outras menos, as 27 unidades da federação chegaram a 2015 com a contabi- lidade negativa, grande parte delas incapaz de pagar fornecedores e quitar dívidas. E, no ge- ral, o maior credor dos estados é a União. Em maio de 2016, São Paulo devia ao governo fede- ral mais de 220 bilhões de reais, Minas Gerais, 80 bilhões, Rio de Janeiro e Rio Grande do Sul, 57 e 52 bilhões, respectivamente. Sem dinheiro, os governos paralisam obras, atrasam o pagamento dos salários de servidores e não conseguem repor materiais básicos em hospitais e postos de saúde. Em dezembro de 2015, o Rio de Janeiro decretou estado de emergência na saúde pública e durante cinco meses amargou greves de professores. Diversos fatores contribuem para o saldo negativo nas contas dos estados. Redução em tarifas públicas derruba a arrecadação do Impos- to sobre Circulação de Mercadorias e Serviços (ICMS), importante fonte de recursos estaduais. A valorização do salário mínimo, que é corrigido acima da inflação desde 2003, engorda a folha de pagamento, que também tem sido inchada nos últimos anos por novas contratações e reajustes salariais concedidos pelos governos estaduais, em contrapartida ao aumento das receitas. A atual dívida com a União foi contraída entre 1997 e 1999, quando, para salvar os estados, o go- verno federal assumiu o pagamento aos credores, concedendo aos governadores prazos e índices de correção mais favoráveis. No entanto, as regras e a situação econômica do país mudaram. Hoje, os valores das parcelas são atualizados segundo a variação da taxa básica de juro (Selic) e corrigidos pelo mecanismo de juros compostos – o que au- menta o valor da dívida de maneira exponencial. Os governadores pedem a troca dos juros com- postos por juros simples. Mas o governo federal não cede. A substituição faria com que o Tesouro Nacional deixasse de receber 313 bilhões de reais. Enfim, as partes chegaram a um acordo em junho de 2016: o prazo para quitação foi expandido, e as parcelas serão pagas com abatimentos grada- tivamente menores: na primeira, o desconto será de 94,5%, na segun- da, 89%, e assim por diante, retrocedendo a cada mês 5,5 pontos percentuais. Porcentagens, juros simples e compostos são alguns dos temas que você revê neste capítulo. Aumento de gastos e redução de receitas arruínam as finanças dos estados e levam governadores a negociar com o governo federal a dívida com a União Devem, mas pagam quando puderem FORA DAS ESCOLAS Professores da rede estadual de ensino do Rio de Janeiro permaneceram em greve entre março e julho de 2016. Os docentes pedem aumento salarial e reclamam do atraso nos pagamentos 15GE MATEMÁTICA 2017 C E LS O P U P O /F O TO A R E N A 16 GE MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS Conceitos fundamentais As ferramentas básicas usadas em todas as operações, da simples contagem aos cálculos mais complexos Assim como qualquer campo do conhecimento – física, química, história ou geografia –, a mate- mática tem também sua própria lingua- gem, composta de símbolos e conceitos. O primeiro e mais importante deles são os números. Sem eles, não seria possível contar, medir, ordenar e classificar. Não se sabe ao certo que povo de- senvolveu a ideia abstrata de número. Mas os historiadores têm como certo que o conceito surgiu da necessidade de contar objetos e seguir um calen- dário. O sistema de contagem deve ter se iniciado com o uso dos dedos, há milhares de anos, e de pedras, uma para cada unidade. Depois vieram peque- nas placas de argila –, cada uma delas também representando uma unidade. Os incas criaram os quipus, um sistema de cordas e barbantes com nós. Os numerais, ou algarismos – os símbolos gráficos que representam os números –, teriam aparecido bem mais tarde, com a escrita. E a uma certa al- tura da história, o comércio criou a necessidade de se registrar e comuni- car a contagem de mercadorias e seus valores. Antropólogos têm registro de ossos, pedras e pedaços de madeira de pelo menos 5 mil anos com marcas es- cavadas com o que eles supõem tenham sido os primeiros numerais. Atribui-se aos egípcios a invenção dos primeiros símbolos numéricos mais for- mais, na forma de hieróglifos. Os romanos criaram os algarismos romanos: I, V, X, L, C, D e M. Hoje a matemática faz uso, no mundo todo, dos algarismos indo- arábicos: 1, 2, 3... 10, 11, 12... Acredita-se que esses algarismos tenham sido criados na Índia, também há milhares de anos. IS TO C K 17GE MATEMÁTICA 2017 VIAGEM NO TEMPO Milênios se passaram desde a criação dos algarismos indo- arábicos, na Índia. Mas até hoje, por mais avançada que seja a tecnologia, são estes os algarismos que usamos no dia a dia Os números utilizados em contagens são chamados números concretos – cada número representa certa quantida- de de “coisas” reais. O zero, que repre- senta a ausência, o nada ou o vazio, não é um número concreto, mas um numeral de posição. Dependendo do local em que o zero é colocado, os numerais anteriores ou posteriores assumem diferentes va- lores. Por exemplo, no sistema decimal, que tem como base o 10, o numeral 1 representa uma unidade. Mas, seguido de um zero (10), são dez unidades; e 0,1 representa um décimo de uma unidade. Conjuntos A teoria dos conjuntos é uma área da matemática que você não precisa conhe- cer com profundidade para o Enem. Mas seus conceitos são fundamentais para compreender enunciados e, assim, chegar SAIBA MAIS ALGARISMOS ROMANOS O sistema de notação por algarismos romanos – que empregamos hoje apenas para classificar e ordenar elementos, como nos capítulos de um livro – dispensa o número zero. Nele, as letras I, V, X, L, C, D e M simbolizam quantidades básicas: 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, respecti- vamente. A posição e o número de vezes em cada um desses símbolos é repetido definem dezenas, centenas e milhares. ALGARISMOS ARÁBICOS ALGARISMOS ROMANOS 1, 2, 3, 4 I, II, III, IV 5, 6, 7, 8 V, VI, VII, VIII 9, 10, 11... 19, 20 IX, X, XI... XIX, XX 50 L 54 LIV 100 C 111 CXI 500 D 591 DXCI 1000 M 1008 MVIII à resposta correta das questões. Conjunto, você sabe: é um grupo de elementos: • o conjunto formado pelos números nas faces de um dado é D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; • já o conjunto dos números pares de um dado é P = {2, 4, 6}; • e o conjunto dos ímpares é I = {1, 3, 5}. Os conjuntos também podem ser re- presentados pelo diagrama de Venn. Os diagramas para os conjuntos D, P e I, acima, são: 1I P D 3 5 2 4 6 Observe o diagrama e repare: • O número 6 pertence (∈) aos con- juntos D e P. Então, 6 ∈ D e 6 ∈ P; • Mas o número 3 não pertence (∉) a P. Então, 3 ∉ P; • Todos os elementos de P e de I estão contidos (⊂) em D. Então, P ⊂ D e I ⊂ D. • No sentido inverso, D contém (⊃) P e I. Então, D ⊃ P e D ⊃ I. Podemos fazer diversas operações entre conjuntos: • A união (∪) é a combinação dos elementos dos conjuntos. No nosso exemplo, I ∪ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = D. • A intersecção (∩) é o conjunto formado por elementos comuns aos conjuntos. No caso do exem- 18 GE MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS NA PRÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Encontre os valores de x que tornam verdadeira a expressão 2x – 5 < 0. Expressões matemáticas como esta, em que em vez do sinal de igual (=) temos sinais de maior (>), menor (<), menor-igual (≤) ou maior-igual (≥), são chamadas ine- quações. E são resolvidas como equações (veja no capítulo 3). 2x – 5 < 0 2x < 0 + 5 → x < A resposta é o conjunto S = {x ∈ R | x < }. 2. Quais os valores de x (x ∈ Z*) que atendem às duas condições abaixo? (I) x – 3 ≤ 1 (II) – 1 < < 3 Se x ∈ Z*, então x é um número inteiro, diferente de zero. Essa condição restringe os valores do conjuntos solução SI e SII. Resolvendo as inequações (I) e (II): • Para a condição I: x – 3 ≤ 1 → x ≤ 1 + 3 → x ≤ 4 SI = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} • Para a condição II: deve estar no in- tervalo {-1, 1, 2} Então, – 1 < → – 2 < x; e < 3 → x < 3 . 2 → x < 6. SII = {-1, 1, 2, 3, 4, 5} O valor que atende a ambas as condições é a intersecção dos conjuntos SI e SII – ou seja, o conjunto cujos elementos pertencem aos dois conjuntos, ao mesmo tempo: I ∩ II = {-1, 1, 2, 3, 4} Pelo diagrama de Venn: 5 I ∩ II -2 -1 1 2 3 4 6 -3 -4 ... III SÍMBOLOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS SÍMBOLO SIGNIFICADO { } Conjunto ∈, ∉ Pertence, não pertence ∣ Tal que ⊃ Contém ⊂ Está contido ∩ Intersecção de conjuntos ∪ União de conjuntos ∅ Conjunto vazio N Conjunto dos números naturais Z Conjunto dos números inteiros Q Conjunto dos números racionais I Conjunto dos números irracionais R Conjunto dos números reais * Exceto o zero + / – São válidos valores positivos e negativos TOME NOTA plo dos números pares e ímpares de um dado, o conjunto da intersec- ção entre I e P é um conjunto vazio (nenhum número é ímpar e par ao mesmo tempo): I ∩ P = Ø Conjuntos numéricos Os números também podem ser agru- pados em conjuntos: • O conjunto dos números naturais (N) é N = {0, 1, 2, 3...}. Repare que este conjunto é infinito. • O conjunto dos números inteiros (Z) reúne os números naturais e seus opostos: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Este também é um conjunto infinito. • O conjunto dos números racionais (Q) é a união dos números inteiros e as frações resultantes da divisão entre quaisquer deles: Q = { | a ∈ Z e b ∈ Z*}. Traduzindo: o conjunto Q é formado pelos números obtidos pela divisão de a por b, tal que ( � ) a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence ao conjunto dos inteiros com exceção do zero (Z*). O número b não pode assumir o valor zero porque a divisão por zero não é definida. • O conjunto dos números irracio- nais (I) é o dos números que não podem ser obtidos da razão entre dois números inteiros. O π é um número irracional. A raiz de alguns números também é um número ir- racional – por exemplo, √2 e √3. A união entre todos os conjuntos de números acima forma o conjunto dos números reais (R). No diagrama de Venn, essa união é representada assim: I R Q ZN A teoria dos conjuntos é frequente- mente utilizada em álgebra, principal- mente em inequações, e em probabili- dade (veja os capítulos 3 e 7). ATENÇÃO O conjunto C resultante da união de A e B contém os elementos que se encontram em A ou em B. Já o conjunto D resultante da intersecção de A e B contém os elementos que se encontram ao mesmo tempo em A e em B. 19GE MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO Um dos principais domínios da matemáti-ca é usar a lógica para estabelecer rela-ções entre valores e grandezas. Relações entre grandezas são aquelas em que o valor de uma grandeza varia, dependendo do valor de outra. Fazemos relações entre grandezas em diversas atividades do cotidiano, como a ener- gia elétrica consumida a cada dia e a conta que chega no final do mês, ou a proporção entre os ingredientes de uma receita. A principal razão entre grandezas é aquela que envolve o conceito de proporção, quando uma grandeza cresce ou decresce proporcionalmente a outra: quanto mais tempo você passa no banho, maior é a quantidade de água gasta. E se uma barra de chocolate for dividida entre amigos, quanto maior o número de amigos, menor será o pedaço que caberá a cada um. Valores que conversam entre si A proporção entre grandezas é usada tanto na confecção de mapas quanto no cálculo da concentração de gases do efeito estufa na atmosfera ORDEM NATURAL Quando brota, um ramo de samambaia cresce numa curva que segue a chamada proporção divina 4F R /i ST O C K 20 GE MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO Diretamente proporcionais Algumas grandezas mantêm uma relação di- retamente proporcional. Isso ocorre quando uma grandeza cresce e a outra também cresce. No banho, o volume de água consumida cresce em proporção direta ao tempo em que o chuveiro permanece ligado. Veja: Um chuveiro libera 12 litros de água por mi- nuto. Quantos litros uma pessoa gasta num banho de 5 minutos? Podemos construir uma tabela com valores da quantidade de água gasta em função do tempo de duração de um banho: Tempo (min) 1 2 3 4 5 Volume de água (L) 12 24 36 48 60 ARTE SOB MEDIDA As figuras que Michelangelo desenhou e pintou na Criação de Adão, no teto da Capela Sistina, seguem um ideal de proporções do corpo humano NA PRÁTICA A PROPORÇÃO NAS ESCALAS Uma das principais aplicações práticas da noção de pro- porção é a confecção de mapas. Todo mapa representa uma realidade reduzida. E essa redução obedece à regra de proporção, nas medidas lineares (distâncias). Veja o mapa ao lado: Repare na indicação da escala, no canto inferior direito. Cada trecho do tamanho do segmento ali representado vale 459 km. A proporção se mantém, também, na área, só que ele- vada ao quadrado. Um quadrado de 459 km de lado tem área de 459 . 459 = 210 681 km2. Se dobrarmos o tamanho dos lados do quadrado para 918 km, teremos uma área quatro vezes maior: A = 918 . 918 = 842 724 km2. ACRE AMAZONAS RONDÔNIA RORAIMA PARÁ AMAPÁ MARANHÃO TOCANTINS MATO GROSSO MATO GROSSO DO SUL RIO GRANDE DO SUL PARANÁ SANTA CATARINA SÃO PAULO GOIÁS MINAS GERAIS RIO DE JANEIRO ESPÍRITO SANTO BAHIA PIAUÍ CEARÁ RIO GRANDE DO NORTE PERNAMBUCO PARAÍBA ALAGOAS SERGIPE ESCALA 0 459 KM Repare: quanto mais tempo se passa no banho, mais água se consome. E esse consumo aumenta de maneira proporcional: para 1 minuto, 12 L, para 2 minutos, 2 . 12 L = 24 L, e assim por diante. Em 5 minutos, o consumo é de 5 . 12 L = 60 L. Em resumo, se dobrarmos o tempo de banho, a quantidade de água consumida também do- bra; se o tempo for triplicado, o gasto de água também é triplicado. Inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente propor- cionais quando uma cresce e a outra cai, sempre uma em proporção à outra. Veja o exemplo: Todas as provas em sua escola valem 100 pon- tos. Mas as provas podem ter diferentes números de questões. Assim, cada questão terá um valor R E P R O D U Ç Ã O 21GE MATEMÁTICA 2017 NA PRÁTICA REGRA DE TRÊS Seu chuveiro deixa cair 12 L de água por minuto. Quanto você economizará de água se reduzir em 30 segundos o tempo do banho? A regra de três: 1 min – 12 L 30 seg – x L Antes de resolver a regra de três, vamos uniformizar as unidades minuto e segundo. Precisamos adotar uma única. Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos, então 30 segundos valem 0,5 minuto. Montando de novo a regrinha de três: 1 min – 12 L 0,5 min – x L Fazendo a multiplicação em cruz, obtemos: 1 min – 12 L 0,5 min – x L 1 . x = 0,5 . 12 → x = 6 L A cada 30 segundos de redução do tempo de banho, são economizados 6 L de água. Da mesma forma, você pode descobrir pela regra de três quantos minutos dura um banho em que são consumidos 40 litros de água. Novamente multiplicando em cruz: 1 min – 12 L x min – 40 L 12 . x = 40 . 1 → x = → x = min Transformando minuto em segundo, ficamos com x = . 60 seg orn x = 3 600 x = 200 seg ≅ 3 min 20 seg Uma regra de três pode ser construída a partir de qual- quer par de valores relacionados. No caso do chuveiro, chegaríamos ao mesmo tempo de 3 min 20 seg se par- tíssemos do consumo, por exemplo, em 2 minutos. Veja: 2 min – 24 L x min – 40 L x . 24 = 2 . 40 = = min ≅ 3 min 20 seg diferente, dependendo da prova. Quanto maior o número de questões, menor o valor de cada questão. Para 100 questões, o valor de cada uma é de 1 ponto. Já numa prova de 50 questões, cada uma deve valer 2 pontos, e assim por diante. Numa tabela, temos: Número de questões 1 2 4 5 10 Valor de cada questão 100 50 25 20 10 Repare que, à medida que a quantidade de questões aumenta, o valor de cada uma diminui de maneira proporcional. Quando uma das gran- dezas dobra, a outra cai pela metade; quando uma cai para 1/4, a outra é quadruplicada. Regra de três Qualquer relação de proporcionalidade direta entre grandezas pode ser encontrada pela regra de três. Para isso, basta conhecer um valor e a relação entre dois outros valores (a e b). Veja: a – b x – y Lemos: a está para b assim como x está para y. Para encontrar a proporção entre esses valo- res, multiplicamos em cruz: x . b = a . y Se você conhece a, b e x, descobre o valor de y: A regra de três também funciona para gran- dezas inversamente proporcionais. Com uma diferença importante: neste caso, não multi- plicamos em cruz, mas linha a linha. No exemplo das provas acima, se para 100 questões cada uma vale 1 ponto, quanto valerá cada questão se a prova for composta por apenas 40 questões? Montando a regra de três: Para 100 questões arrowhead cada uma vale 1 ponto Para 40 questões arrowhead cada uma vale x pontos Assim, 1 . 100 = 40 . x x = 100 : 40 = 2,5 pontos Este é o valor de cada questão numa prova com 40 questões. 22 GE MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO wedge O QUE ISSO TEM A VER COM A QUÍMICA A concentração é tema do estudo de misturas e soluções. A concentração pode ser dada em termos de massa, de volume e, também, mol (número de átomos, moléculas ou íons). Razão Em alguns casos, a proporção entre duas grandezas é expressa como razão – a divisão de dois números, a por b. Nesse caso, a razão pode receber um nome especial. É o caso de porcentagem, densidade ou partes por milhão (abreviadamente, ppm). Densidade Densidade é uma grandeza física – o valor obtido da divisão da massa pelo volume de um material. A densidade de uma substância ou mistura é dada pela razão d = m/V, em que m é a massa e V, o volume. A unidade de medida para densidade pode ser g/cm3, g/L ou kg/L. A densidade de qualquer substância é me- dida em laboratórios e utilizada como forma de avaliar o nível de pureza do material. Por exemplo, quando técnicos da ANP (Agência Nacional do Petróleo) fazem fiscalização nos distribuidores ou postos de combustível, eles medem a densidade de amostras da gasolina ou do etanol dos tanques e das bombas. Se tiver havido acréscimo de água ou outra substância qualquer, a densidade se altera – o que compro- mete a qualidade do combustível. Porcentagem A porcentagem também pode ser calculada por regra de três. Esse tipo de cálculo aparece quando se deseja comparar uma parte com o todo. É fácil entender. Veja: • Você tem um inteiro – digamos uma barra de chocolate. • Se dividimos essa barra em cem pedaços menores, a barra inteira representa todas as 100 partes – ou seja, a razão 100/100; • Uma única parte representa 1 parte sobre 100 – ou seja 1%; 2 partes, 2/100 = 2%. E assim por diante. Daí a palavra “por cento”. Concentração A concentração de uma solução é uma gran- deza química que mede a proporção entre a quantidade de soluto e a quantidade total de so- lução, em massa (mg/kg) ou em volume (cm3/m3 ou L/106L). Quando a quantidade de soluto é muito menor que o volume total da solução, ou da mistura, em vez de porcentagem costuma-se usar a unidade partes por milhão (ppm). Nas questões relacionadas ao aquecimento global, a medida de concentração dos gases do efeito estufa na atmosfera é dada nessa unidade (veja o Saiu na imprensa na pág. ao lado). NA PRÁTICA DENSIDADE Sabendo que a densidade do etanol é de 0,8 g/mL, qual a massa de 200 litros do combustível? A densidade – a razão entre a massa e o volume – perma- nece constante se a medida for feita à mesma pressão e temperatura, não importa se trabalhamos com 1 mL ou 1 000 L de etanol. Por outro lado, a relação entre volume e massa é diretamente proporcional. Então, podemos montar a regra de três: 0,8 g – 1 mL x g – 200 L A primeira coisa a fazer é uniformizar as unidades. Você sabe que 1 L = 1 000 ml. Então, temos: 0,8 g – 1 mL x g – 200 000 mL Esta é uma relação diretamente proporcional. Multipli- cando em cruz, temos: x . 1 = 0,8 . 200 000 → x = 200 000 . 0,8 → x = 160 000 g Transformando g em kg e mL em L, novamente, temos que 200 L de etanol têm massa de 160 kg. NA PRÁTICA PORCENTAGEM Uma caixa d’água com capacidade 2 000 litros contém 260 litros de água. Qual a porcentagem do volume da caixa ocupado por essa água? O “inteiro” (100%) é a capacidade total da caixa: 2 000 L. Queremos descobrir a quantos por cento correspondem os 260 L de água que ela contém. Pela regra de três, temos 2 000 L – 100% 260 L – x% 2 000 . x = 260 . 100 → E se a caixa for reabastecida até ficar com 520 L de água? De novo, a regra de três: 2 000 L – 100% 520 L – x% Fazendo as contas, chegamos ao resultado: 520 L de água correspondem a 26% da capacidade total da caixa. Repare: 520 L são o dobro de 260 L. Do mesmo modo, 26% é o dobro de 13%. Essa relação de proporção é válida para qualquer valor dado em porcentagem. wedge O QUE ISSO TEM A VER COM A FÍSICA A densidade de um material depende de seu estado físico, da temperatura e da pressão a que ele está submetido. Mas não depende da quantidade ou da massa. Ou seja, se 1 kg de determinada substância ocupa um volume de 2 L, então, no mesmo estado físico e nas mesmas condições de temperatura e pressão, 2 kg ocuparão 4 L. 23GE MATEMÁTICA 2017 NA PRÁTICA CONCENTRAÇÃO Estima-se que 0,00014% do ar, em volume, é composto de metano, um gás inflamável, resultante da digestão de matéria orgânica. Veja que esse valor em porcentagem é muito baixo. Este é um caso em que convém aumen- tar a base de cálculo de porcentagem para partes por milhão (ppm). Veja: 0,00014% = Queremos saber quanto 0,00014/100 representa em 1 mi- lhão. 1 milhão é um número grande, que pode ser escrito como uma potência: 106 (veja potências no capítulo 4). Pela regra de três: 0,00014 – x 100 – 1 . 106 100 x = 0,00014 . 106 → x = 1,4 Portanto, 0,00014% equivalem a 1,4 partes por milhão. E em 106 L de ar existe 1,4 L de metano. SAIBA MAIS A PROPORÇÃO DIVINA Por mais que pareça livre e desordenada, a nature- za tem muitas formas que obedecem a regras rígidas de proporção. A espiral de uma folha de samambaia crescendo, como a da foto na pág. 19, por exemplo, segue uma curva que se abre unindo vértices opostos de quadrados cada vez maiores. As medidas dos lados desses quadrados seguem sempre a mesma sequência de proporção: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... O mesmo acontece com a concha dos caracóis. 1 1 2 3 5 8 Esta é a sequência de Fibonacci. Nela, cada número é a soma dos dois termos que o antecedem: 2 é a soma 1 + 1; 3 é a soma de 2 + 1; 5 é a soma 3 + 2, e assim por diante. Além disso, a divisão de um termo por seu antecessor sempre dá um número próximo a 1,6. E quanto mais à frente da sequência estiverem os termos, mais a pro- porção se aproxima desse valor. Essa proporção, chamada proporção áurea ou divina, foi adotada por pintores e escultores, como o italiano Leo - nardo da Vinci, em seu quadro mais famoso, Mona Lisa. EL NIÑO ELEVOU CONCENTRAÇÃO DE GÁS DO EFEITO ESTUFA A NÍVEL RECORDE EM 2016 O fenômeno El Niño aumentou este ano a emissão de dióxido de carbono (CO2) na atmosfera, de acordo com um estudo publicado esta semana na revista Nature Climate Change. Por isso, 2016 terminará como o primeiro ano em que a concentração do gás será superior a 400 partes por milhão (ppm) (...) “A concentração de CO2 devido à ação humana está aumentando a cada ano, mas desta vez o El Niño deu um empurrão. Os ecossistemas tropicais estão mais quentes e secos, reduzindo sua absorção de carbono e aumentando os incêndios florestais” – comenta Richard Betts, autor principal do estudo (...) A tendência de aumento das emissões de gás de efeito estufa em Mauna Loa começou a ser estudada desde 1958 (...) Suas primeiras medidas registraram em torno de 315 ppm de dióxido de carbono. Sessenta anos mais tarde, o índice tem aumentado, em média, a uma taxa anual de 2,1 ppm (...) Atualmente o CO2 em Mauna Loa está acima de 400 ppm (...) O Globo, 13/6/2016 SAIU NA IMPRENSA D A N JI M E N O /i ST O C K 24 GE MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS O custo do dinheiro Juro é o valor que se paga a mais por um valor emprestado, ou que se recebe por um investimento Juro é um conceito do mundo financeiro que está presente no dia a dia de empresas, go-vernos e cidadãos. Por exemplo, os governos pagam juros por empréstimos feitos no exterior (dívida externa); as indústrias pagam juros quando financiam a compra de equipamentos; o consumidor paga juros aos bancos se entrar no cheque especial e os investidores recebem juros por aplicações financeiras, como depósitos na caderneta de poupança. Juro é o custo do dinheiro, uma porcentagem do valor original emprestado, que o devedor deve pagar depois de certo período. É como se o tomador do empréstimo pagasse um aluguel pelo dinheiro que lhe foi cedido. A quantia emprestada (ou investida), sobre a qual incidem os juros, é o capital. E o capital acrescido de todos os juros chama-se montante. MAIS FÁCIL, MAS MAIS CARO Quando parcelam o preço de um produto, as lojas cobram uma quantia a mais, a cada mês – os juros B R U N O V E IG A 25GE MATEMÁTICA 2017 A taxa de juros é o valor, em porcentagem, a ser pago a cada dia, mês ou ano, até a quitação total da dívida – ou o valor, também em porcentagem, que o aplicador recebe por um investimento. Juros simples São lançados sobre a quantia original, numa taxa fixa a cada período. Não importa em quantos dias, meses ou anos o empréstimo será pago, a taxa de juros será sempre a mesma e será sempre calculada sobre o capital inicial. Veja o exemplo: Sua classe planeja uma viagem de formatu- ra, por um pacote turístico que custará a cada aluno R$ 1 200,00. Alguns de seus colegas não dispõem dessa quantia. Então, a agência de viagens propõe que o valor seja dividido em seis parcelas – a 1ª delas, paga 30 dias depois da compra –, com juros de 5% ao mês. Ao dividir o pagamento, a agência está finan- ciando a viagem – ou seja, emprestando dinheiro a quem não consegue pagar pelo pacote, à vista. Por esse empréstimo, a agência cobra juros. Se o valor do pacote (R$ 1 200,00) é dividido em seis vezes, a cada mês o viajante deve pa- gar R$ 200,00. Só que, por esse parcelamento, a agência cobra 5% a cada mês sobre o valor inicial da dívida, os R$ 1 200,00: A cada mês, então, o viajante deverá pa- gar R$ 60,00 a mais, além dos R$ 200,00. Ao final dos seis meses, terá pago seis pres- tações de R$ 260,00. Isso significa que o pacote turístico terá saído não mais por R$ 1 200,00, mas por R$ 1 560,00. Ou seja, o pacote saiu 30% mais caro. Veja: 1 200 – 100% 1 560 – x% x = 130% Desses 130%, 100% correspondem ao valor original do pacote de viagem e 30%, ao acrés- cimo de R$ 60,00 mensais durante seis meses. O total de juros simples é dado por: J = C . i . n, em que: • J são os juros; • C é o capital; • i é a taxa de juros; • n é o número de períodos (que podem ser dias, meses ou anos). O montante (M) é dado por: M = C + J = C + C . i . n M = C . (1 + i . n) NA PRÁTICA JUROS SIMPLES Um produto custa R$ 3 500, para pagamento em três prestações. Para pagamento à vista, a loja dá um des- conto de 10%. Caso o comprador pague em uma única parcela 30 dias depois da compra, o preço sofrerá um acréscimo de 8%. Responda: a) Quanto o comprador deve desembolsar em cada uma dessas situações? b) A taxa de juros do cheque especial é de 12,5% ao mês. Vale a pena o comprador gastar R$ 1 500 do cheque especial para fazer a compra à vista, com desconto? a) À vista: com o desconto de 10%, o produto custa 90% do preço de tabela. Pela regra de três, temos: 3 500 – 100% x – 90% 100 . x = 3 500 . 90 → x = 315 000 / 100 → x = R$ 3 150 Este é o preço do produto à vista. O comprador eco- nomiza R$ 350. Para pagamento 30 dias após a compra: acréscimo de 8% sobre o valor original. De novo, pela regra de três, temos 3 500 – 100% x – 8% x = 3 500 . 8 / 100 → x = R$ 280 Somando essa diferença ao preço original, o comprador pagará R$ 280 a mais, ou seja, R$ 3 780. b) Supondo que o comprador reponha os R$ 1 500 do cheque especial em um mês, o montante que ele pa- gará corresponde ao capital emprestado acrescido de 12,5% desse valor: 1 500 – 100% x – 12,5% x = 187,50 reais Somando esses R$ 187,50 ao valor do produto com des- conto: 3 150 + 187,50 = R$ 3 337,50. Este é o montante. Ainda com os juros altos do cheque especial, o valor de R$ 3 337,50 é menor do que o valor pago 30 dias depois da compra (R$ 3 780). Nesse caso, vale a pena avançar no negativo. 26 GE MATEMÁTICA 2017 NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS Juros compostos Juros simples, você viu, é uma taxa fixa por mês, sempre sobre o valor original do finan- ciamento ou empréstimo (o capital). Já juros compostos são aqueles que incidem sobre o montante de cada mês – ou seja, são juros calculados sobre valores que já têm juros em- butidos. A taxa é sempre a mesma, mas o valor que ela representa varia. Voltando ao exemplo da viagem de formatura, que vimos há pouco: a fim de pagar pela viagem de formatura, um aluno preferiu fazer uma pou- pança e depositou, em julho, R$ 800,00 numa aplicação financeira que rendia 2,6% ao mês. A passagem será comprada em novembro. Veja na tabela abaixo quanto ele conseguirá acumular nesses quatro meses. Período Saldo inicial no período (capital) Rendimento no período (juros) Saldo no fim do período (montante) Julho 800,00 800,00 . 2,6% 800,00 + 20,80 = 820,80 Agosto 820,80 820,80 . 2,6% 820,80 + 21,34 = 842,14 Setembro 842,14 842,14 . 2,6% 842,14 + 21,90 = 864,04 Outubro 864,04 864,04 . 2,6% 864,04 + 22,46 = 886,50 TOME NOTA A taxa Selic subiu de 12,25% para 12,75% entre fevereiro e março de 2015. Isso não significa que a taxa tenha subido 0,50% nesses dois meses. A taxa teve uma alta de 0,5 ponto percentual. SAIBA MAIS TAXA DE JUROS NO BRASIL No Brasil, a taxa de juros cobrada pelos bancos é base- ada na taxa Selic – uma taxa básica, estabelecida pelo Banco Central. Se a Selic sobe, os bancos também elevam a taxa cobrada em financiamentos, empréstimos e che- que especial. As autoridades monetárias usam dessa ló- gica para controlar a quantidade de dinheiro que circula pelo mercado, o nível de consumo e a inflação. Quando a ideia é incentivar o consumo, o Banco Central baixa a taxa Selic; se quer reduzir o consumo, aumenta a taxa. O aumento da taxa de juros tem dois efeitos: de um lado, as pessoas compram menos porque, para financiar a compra, pagarão juros mais altos. De outro lado, as indústrias também reduzem a compra de equipamen- tos, porque o financiamento custa caro. Com isso, as empresas deixam de crescer e de contratar mão de obra. No sentido inverso, quando a taxa cai, as indústrias investem e voltam a contratar, e o consumidor compra mais – a economia se aquece. Mas aí entra outro fator: o risco de elevar a inflação. Inflação é o aumento no preço de produtos e serviços, provocado pela queda no valor da moeda do país. Entenda: se no mês passado 1 quilo de laranjas saía por R$ 3,50 e este mês custa R$ 4,50, cada real que você tem na carteira passou a valer menos. Fonte: Banco Central do Brasil GANGORRA FINANCEIRA O Banco Central manobra a taxa básica de juros tentando manter a economia em movimento e a inflação sob controle. Elevar a taxa é um dos mecanismos para combater a inflação. Com taxas altas, as pessoas reduzem as compras a prazo. O consumo cai e, para vender, o comércio e a indústria seguram os preços – a inflação fica sob controle. Mas, produzindo e vendendo menos, as lojas e fábricas contratam menos. Se a economia desacelera muito, o Banco Central volta a baixar a taxa. 12 15 9 6 J A S O N D J F M A M J J A S O N D J A S O N DJ F M A M J 2013 2014 2015 Taxa Selic, em % ao ano EVOLUÇÃO DA TAXA DE JUROS 8,50% 10,50% 11% 12,25% 13,75% 14,25% Ao final dos quatro meses de aplicação do capital de R$ 800,00, seu colega terá juntado um montante de R$ 886,50. Abatendo essa quantia dos R$ 1 200,00 (valor do pacote), ele precisará financiar R$ 313,50. O rendimento da aplicação é mensal, então o período é 1 mês; o número de períodos é o número de meses em que o capital permaneceu aplicado: 4. Repare que o montante ao final de cada período se transforma no capital do mês seguinte. É sobre esse capital – agora engordado – que incidirá a taxa de juros de 2,6%. A fórmula para o cálculo do montante em juros compostos é: Mn = C (1 + i)n , em que: • M é o montante (valor final, depois de aplica- dos todos os juros); • C é o capital (o valor inicial sobre o qual incidem os juros); • i é a taxa de juros; • n é o período em que os juros incidem sobre o capital. Em juros compostos, n é expoente da taxa. Por isso se o capital aumen- ta, o novo montante também aumen- ta num ritmo cada vez mais rápido – mesmo com a taxa de juros igual. 27GE MATEMÁTICA 2017 PARA COPOM, QUEDA DA INFLAÇÃO ESTÁ COM VELOCIDADE 'AQUÉM DA ALMEJADA' O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central, colegiado responsável por fixar os juros básicos da economia, avaliou, por meio da ata de sua última reu- nião, que o processo de queda da inflação no Brasil “tem procedido em velocidade aquém da almejada” e acrescentou que o “balanço de riscos” indica não haver espaço para corte de juros. Na semana passada, o Copom manteve a taxa básica de juros da economia estável em 14,25% ao ano, o maior patamar em dez anos (...) O Banco Central também avaliou, no documento, que “há riscos de curto prazo para a inflação no Brasil”. (...) A taxa de juros é o principal mecanismo usado pelo BC para controlar a inflação. Ao subir os juros ou mantê-los elevados, o BC encarece o crédito. O objetivo é reduzir o consumo no país para conter a inflação que tem mostrado resistência. Entretanto, os juros altos prejudicam a atividade econômica e, consequentemente, inibem a geração de empregos. Portal G1, 26/7/2016 SAIU NA IMPRENSA NA PRÁTICA JUROS COMPOSTOS Uma aplicação financeira promete remunerar em 1,8% ao ano o capital investido. Se você aplicar R$ 2 000,00 quanto terá depois de dois anos? Este cálculo é de juros compostos porque no segundo ano os juros de 1,8% devem incidir sobre o capital inicial já acrescido dos juros do primeiro ano. Então Mn = C . (1 + i)n, em que: C = R$ 2 000 i = 1,8% = n = 2 anos M = 2 000 . (1 + )2 M = 2 000 . 1,036324 M ≈ 2 072,65 Depois de dois anos de aplicação, a 1,8% ao ano, você terá R$ 2072,65 – ou seja, R$ 72,65 de juros. NA PRÁTICA JUROS COMPOSTOS A fatura do cartão de crédito de João, em março, era de R$ 1 200,00. Desse total, João só pôde pagar R$ 800,00. Sabendo que os juros cobrados pelo cartão são de 15% ao mês, responda: a) Quanto João deve pagar, se quitar o restante da dívida no mês seguinte, abril? b) E se ele deixar para quitar o restante da dívida em maio? a) João pagou R$ 800,00 do total de R$ 1 200,00 que devia. Ficou devendo R$ 400,00. Se pagar em abril, os 15% a mais representam juros simples sobre os R$ 400,00 devidos em março. Simples regra de três: 400 – 100% x – 15% x = 60 João pagará R$ 60,00 a mais se quitar a dívida em abril – ou seja, R$ 460,00. b) Se ele deixar para quitar os R$ 400,00 em maio, o cálculo é de juros compostos – a cada mês a taxa de 15% incide sobre o valor devido naquele mês. De março a maio são dois meses. Então: Mn = C . (1 + i)n C = 400; i = 15/100; n = 2 M = 400 . (1 + )2 → M = 400 . 1,3225 → M = 529 Se adiar a quitação da dívida para maio, a dívida original, de R$ 400,00, se transformará em R$ 529,00. SAIBA MAIS SPREAD BANCÁRIO Os juros que são pagos aos bancos são sempre maio- res que as taxas da Selic. Isso porque as instituições financeiras incorporam o chamado spread bancário. O spread é a diferença entre o que um banco paga como rendimento de investimentos de seus correntistas e o que recolhe de juros para emprestar dinheiro. Nem todo o spread é lucro. Incluem-se ali, também, outros valores, como o risco estimado de inadimplência (falta de pagamento) dos tomadores de empréstimo e os custos administrativos da instituição (veja o gráfico abaixo). 37% 14% 8% 4% 37% * Valores arredondados Resíduo (inclui o lucro do banco) Tributos e taxas pagos pelo banco Depósito compulsório (que os bancos são obrigados a fazer no BC) Risco de inadimplência Custos administrativos O QUE COMPÕE O SPREAD BANCÁRIO* Fonte: BC/FSP A GORDA FATIA DO LUCRO Estes são os componentes do spread bancário – a diferença entre as taxas de juros que os bancos cobram de quem toma empréstimo ou financia a aquisição de bens e aquela que a instituição paga como retorno do dinheiro deixado nas aplicações financeiras. Repare que nem tudo é lucro, mas este representa uma boa fatia da pizza. 28 GE MATEMÁTICA 2017 COMO CAI NA PROVA 1. (IFPE 2016) Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de-açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivam a cana-de-açúcar, 85 cultivam o algodão e 45 cultivam ambos. Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo menos uma dessas duas culturas, qual é o número de agricultores da cooperativa? a) 210 b) 255 c) 165 d) 125 e) 45 RESOLUÇÃO Podemos representar a situação do enunciado por um diagrama de Venn. Veja: 125 - 45 = 80 cana-de-açúcar algodão 85 - 45 = 4045 Repare: • Na parte central do diagrama estão os cooperados que cultivam tanto algodão quanto cana-de-açúcar – ou seja, a intersecção dos dois conjuntos. • O texto diz que 125 cooperados cultivam cana-de-açúcar e outros 85 que cultivam algodão – ou seja, entre esses 125 e 85 estão, também, os cooperados que cultivam tanto cana quanto algodão. Por isso, tiramos 45 (intersecção) dos dois lados do diagrama. Somando as quantidades que restam, temos: 45 + 80 + 40 = 165 Resposta: C 2. (CFTMG 2016) Numa fábrica de peças de automóvel, 200 funcionários trabalhando 8 horas por dia produzem, juntos, 5 000 peças por dia. Devido à crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 6 horas diárias. Nessas condições, o número de peças produzidas por dia passou a ser de a) 1 666 b) 2 250 c) 3 000 d) 3 750 RESOLUÇÃO: A produção diária é diretamente proporcional ao número de funcionários e à quantidade de horas que eles trabalham por dia. Um aumento ou uma redução em qualquer uma dessas variáveis produzem um aumento ou diminuição pro- porcional na produção. Chamando de P a produção diária de peças, de F a quantidade de funcionários e de t a quantidade de horas trabalhadas, temos P = k . F . t, em que k é uma constante de proporcionalidade – ou seja, o valor que vai determinar a proporção entre o número de funcionários e o de peças produzidas. Pelo enunciado sabemos que 5 000 = k . 200 . 8 k = 5 000 → k = 5 000 200 . 8 1 600 Simplifi cando a fração, fi camos com k = 25 peças por funcionários . hora 8 Se o ritmo de produção é o mesmo, o valor de k não muda. O número de empregados caiu de 200 para 120 (80 foram demitidos); e a jornada de trabalho foi reduzida de 8 para 6 horas. Portanto, a produção também deve cair. E cai na mesma proporção de k = 25 peças por funcionários . hora. 8 Temos, então: p = 25 . 120 . 6 = 2 250 peças 8 Resposta: B 3. (UEG 2016) Com a alta da infl ação e para não repassar aos clientes o aumento dos gastos na produção de suco de laranja, um empresário decidiu que no próximo mês 10% do volume desse suco será composto por água, volume que atualmente é de apenas 4%. Se hoje são consumidos 10 000 litros de água no volume de suco de laranja produzido, mantendo-se a mesma quantidade produzida, no próximo mês a quantidade de água consumida no volume desse suco será de a) 10 000 litros b) 12 500 litros c) 16 000 litros d) 25 000 litros RESOLUÇÃO Sabemos que, antes do período de infl ação, 4% do volume de suco produzido representava 10 000 litros de água. Com isso, montamos a regra de três para descobrir o volume total de suco (incluindo a água) produzido em um mês: 10 000 → 4% x → 100% x = 250 000 L de suco puro produzido ao mês. A quantidade de água subiu para 10% do volume de suco – ou seja, 10% sobre o total da produção mensal, de 250 000. A água consumida no mês seguinte será de 25 000 litros. Resposta: D 4. (Uerj 2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento: • à vista, no valor de R$ 860,00; • em duas parcelas fi xas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois. A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: a) 10% b) 12% c) 15% d) 18% RESOLUÇÃO Se o comprador optar por pagar em duas vezes, não incidirão juros sobre a primeira parcela. Pagando R$ 460,00 no ato da compra, restam como dívida R$ 860,00 – R$ 460,00 = R$ 400,00. Esse valor deve ser quitado na segunda parcela. Mas esta, por sua vez, se mantém no valor da primeira parcela (R$ 460,00). Ou seja, o comprador pagará R$ 60,00 acima do valor original da dívida. Esses R$ 60,00 são os juros cobrados sobre os R$ 400,00. Agora, simples regra de três 400 → 100% 60 → x% Multiplicando em cruz, temos 400 x = 60 . 100 x = 6 000 = 15% 400 Resposta: C 29GE MATEMÁTICA 2017 RESUMO Números e operações PROPORÇÃO E RAZÃO Duas grandezas são diretamente propor- cionais se uma cresce e a outra também, no mesmo ritmo; inver- samente proporcionais são as grandezas que, quando uma cresce, outra diminui, sempre proporcionalmente. Algumas grandezas são expressas como razão de duas grandezas: densidade (massa/ volume) e concentração (% de soluto sobre total da solução). JURO é o custo do dinheiro, cobrado em empréstimos e finan- ciamentos, ou pago aos investidores. Capital é a quantia sobre a qual recaem os juros. Montante é a quantia total depois da incidência de juros sobre o capital. Juros simples são lançados sobre o capital, numa taxa fixa a cada período (dia, mês ou ano). A fórmula: J = C . i . n. Nos juros compostos, o montante de cada período transforma-se no capital do período seguinte. A fórmula: Mn = C . (1 + i)n. CONJUNTOS O conjunto C = A U B (união de A e B) contém os elementos que se encontram em A ou em B. O conjunto C = A ∩ B (intersecção de A e B) contém os elementos que se encontram em ambos os conjuntos, ao mesmo tempo. SÍMBOLO SIGNIFICADO { } Conjunto ∈, ∉ Pertence, não pertence ∣ Tal que ⊃ Contém ⊂ Está contido ∩ Intersecção de conjuntos ∪ União de conjuntos ∅ Conjunto vazio N Conjunto dos números naturais Z Conjunto dos números inteiros Q Conjunto dos números racionais I Conjunto dos números irracionais R Conjunto dos números reais * Exceto o zero + / – São válidos valores positivos e negativos CONJUNTOS NUMÉRICOS I R Q ZN 5. (Epcar 2016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parcela- damente, dois eletrodomésticos. Após pagar 2/5 do valor dessa compra, quando ainda devia R$ 600,00, resolveu revendê-los. Com a venda de um dos eletrodo- mésticos, ele conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do outro eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe sobrou a quantia de R$ 525,00. A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 RESOLUÇÃO Vamos chamar o valor pago pelo eletrodoméstico mais caro de a e o valor do mais barato de b. Se após pagar 2/5 da compra restou uma dívida de R$ 600,00, então esse valor representa 3/5 da compra, ou seja, do valor de a + b . Sendo assim, 3 (a + b) = 600 5 Multiplicando em cruz, ficamos com a + b = 600 . 5 → a + b = 1 000 3 O enunciado diz que o comerciante vendeu o produto de valor a com lucro de 20%. Pelo raciocínio de porcentagem, temos: 100% – 1 20% – x → 20% = 0,2 Mas esses 20% (0,2) são de lucro e, portanto, devem ser somados aos 100% do preço de compra. Ficamos, então, com (1 + 0,2) . a = 1,2 . a O mesmo raciocínio para o valor b, de venda do segundo produto. Só que agora a venda foi com prejuízo de 10%. Então, 100% – 1 10% – x → 10% = 0,1 Como esses 10% foram de prejuízo, esse valor deve ser subtraído do valor de compra: (1 – 0,1) . b = 0,9 b. O enunciado informa que o resultado das duas vendas foi suficiente para pagar o restante da dívida (R$ 600) e ainda rendeu ao comerciante R$ 525. Você se lembra: para resolver duas equações com duas variáveis, montamos o sistema de equações: a + b = 1 000 (I) 1,2 a + 0,9 b = 1 125 (II) Definimos o valor de uma variável em função de outra. Assim, isolando a variável a da primeira equação, obtemos: a = 1 000 – b (III). Substituindo (III) na equação (II), temos: 1,2 (1 000 – b) + 0,9 b = 1 125 1 200 – 1,2 b + 0,9 b = 1 125 – 0,3 b = – 75 b = 75 /0,3 → b = 250 Substituindo o valor de b em (III), temos que a = 1 000 – 250 = 750. Assim, a razão pedida é a = 750 = 3 b 250 Resposta: C 30 GE MATEMÁTICA 2017 2 GEOMETRIA CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO arrow Ponto, reta e plano ..........................................................................................32 arrow Plano cartesiano ..............................................................................................36 arrow Gráficos................................................................................................................38 arrow Polígonos ............................................................................................................40 arrow Cônicas ................................................................................................................46 arrow Sólidos .................................................................................................................52 arrow Como cai na prova + Resumo .......................................................................58 Para os norte-americanos, o dia 4 de julho é tradicionalmente coroado com chuvas de fogos de artifício, em comemoração à Independência dos Estados Unidos. Este ano, uma equipe de engenheiros da agência espacial norte-americana (Nasa) teve sua festa particular, sem fogos, mas com muitos gritos e aplausos. O motivo: a sonda Juno chegara a Júpiter. De- pois de viajar por cinco anos, percorendo uma trajetória cheia de voltinhas, de quase 3 bilhões de quilômetros, a sonda passou 35 minutos fazendo uma série de manobras para entrar na órbita do planeta. Qualquer desvio, e a nave seria atraída e destruída pela incrível gravidade do gigante gasoso. Juno vai dar 37 voltas em torno de Júpiter, durante um ano, estudando sua atmosfera, seu campo magnético e gravita- cional. Os pesquisadores esperam com isso des- vendar detalhes da formação do Sistema Solar. E, de quebra, compreender a dinâmica de sis- temas extrassolares – planetas em torno de estrelas distantes. De todos os corpos que giram ao redor do Sol, Júpiter é de longe o maior, tanto em tamanho quanto em massa. Seu diâmetro é dez vezes maior que o da Terra, e sua massa, 318 vezes. Mas o mais interessante para a missão científica de Juno é que Júpiter é, provavelmente, o pri- meiro a ter se formado, há cerca de 4,6 bilhões de anos, capturando poeira e gases resultantes da explosão de uma estrela que existia, no lugar onde hoje está o Sol. Os cientistas não sabem ainda o que se esconde debaixo dos milhares de quilômetros de nuvens, sequer se Júpiter tem um núcleo sólido, como a Terra. A resposta pode vir da missão Juno. Esta não é a primeira vez que uma sonda bisbi- lhota Júpiter. Em 1995, a sonda Galileu, também da Nasa, entrou, pela primeira vez, em órbita do planeta, e lançou uma sonda filha, que mergu- lhou durante quase uma hora em sua atmosfera. Dessa missão, os cientistas descobriram que mais de 90% da atmosfera joviana é composta de hidrogênio. Antes de ser vaporizada, a sondinha registrou temperaturas de 300 graus Celsius e ventos de mais de 600 quilômetros por hora. Como os demais pla- netas do Sistema Solar, Júpiter descreve uma órbita elíptica em torno do Sol. Elipse é um dos temas deste capítulo. Aqui você vê, também, o cálculo de área e de volume das principais figuras geométricas. A sonda Juno, da Nasa, chega à órbita do maior planeta do Sistema Solar, prometendo desvendar segredos da origem dos demais planetas Júpiter recebe um bisbilhoteiro VISITANTE XERETA A sonda Juno chegou a Júpiter em 2016 e vai passar um ano enviando dados sobre a composição e a dinâmica da atmosfera, a magnetosfera e o campo gravitacional do planeta 31GE MATEMÁTICA 2017 JP L- C A LT E C H /N A SA 2 32 GE MATEMÁTICA 2017 GEOMETRIA PONTO, RETA E PLANO Só duas dimensões Retas e ângulos são os elementos essenciais das figuras geométricas lineares Geometria é a área da matemática que estuda o espaço e as figuras que ocupam esse espaço – suas formas, suas dimensões e as relações que podem ser estabelecidas entre elas. O espaço estudado pela geometria pode ser plano ou tridimensional. Plano, ponto e reta Plano é definido como um objeto geométrico que tem apenas duas di- mensões: comprimento e largura. O elemento mais simples de um plano é o ponto, uma entidade que não tem dimensões. Bastam três pontos para definir um plano. O segundo elemento mais simples é a reta – um conjunto de infinitos pontos, enfileirados, sempre em uma mesma direção e nos dois sentidos. Ou seja, qualquer reta tem comprimento infinito, mas não tem largura. Para de- finir uma reta precisamos de apenas dois pontos. Os geômetras adotam algumas con- venções, que você deve conhecer: • pontos são normalmente batizados com letras maiúsculas: A, B, C, O...; • retas são geralmente indicadas por letras minúsculas: r, t, s...; • e planos costumam ser indicados por letras do alfabeto grego: α (alfa), β (beta) e γ (gama). ponto P r planoreta α 33GE MATEMÁTICA 2017 Posições da reta em relação ao plano Uma reta pertence a um plano se pelo menos dois de seus pontos pertencerem a esse plano. Se isso acontecer, então todos os ou- tros pontos da reta também pertencerão ao plano. Veja: A B r α A e B ∈ r; A e B ∈ α arrowhead r ∈ α Ou seja, a reta r está contida no pla- no α. Uma reta pode ser paralela a um pla- no. Nesse caso, nenhum de seus pontos pertence ao plano: C D s α C e D ∈ s; C e D ∉ α arrowhead s ∉ α. Portanto, a reta s é paralela a α. Uma reta pode, finalmente, cortar o plano em um ponto qualquer. P t α t ∩ α = P arrowhead t é secante ao plano Posição relativa de retas Pensando na reta como um conjunto de pontos e usando a linguagem dos conjuntos, fazemos relações entre elas. Duas retas que ocupam um mesmo pla- no podem ser: • Paralelas: não têm ponto em comum. r s α Lembrando que toda reta é infinita, se duas retas não forem paralelas, elas se cruzarão em algum lugar. Inversamente, se a intersecção do conjunto de pontos da reta r com o conjunto de pontos da reta s for um conjunto vazio, as retas são obrigatoriamente paralelas: r // s ) r ∩ s = ∅ O sinal ) indica que a recíproca é verdadeira. • Concorrentes: são retas que se cru- zam e têm um único ponto em comum. rs α P Duas retas quaisquer r e s são con- correntes quando a intersecção entre os conjuntos de pontos de cada uma delas resulta num conjunto de um único ponto: r ∩ s = {P}. Ângulos Quando duas semirretas (trechos de uma reta) têm origem em um mesmo ponto e seguem direções diferentes, elas dividem o plano em duas regiões chamadas ângulos. O ponto de origem das semirretas é denominado vértice dos ângulos (O). Os ângulos, como os planos, também costumam ser repre- sentados por letras do alfabeto grego. A BO ângulo α (convexo) ângulo β (não convexo) OB OA O REAL ACHATADO O plano, como o do papel em que o desenho ao lado é feito, admite apenas figuras de duas dimensões D R A Z E N L O V R IC /i ST O C K 2 34 GE MATEMÁTICA 2017 GEOMETRIA PONTO, RETA E PLANO Duas retas que se cruzam dividem o plano em quatro regiões distintas, ou seja, em quatro ângulos. Veja: τ φ θ r O s λ Os ângulos λ e τ são opostos pelo vértice; θ e φ também são opostos pelo vértice. Ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida). Retas perpendiculares são retas concorrentes que se cruzam formando quatro ângulos congruentes, cada um deles medindo 90° (ângulo reto). τ φ θλ λ = θ = τ = φ = 90º NA PRÁTICA PARALELAS E TRANSVERSAIS Observe a figura abaixo. A D B C E Repare que existem aqui dois triângulos (ABC e ADE). E que os lados DE e BC são paralelos. O que se pode dizer sobre os valores dos ângulos de vértices em B, C, D e E? Transversal e paralelas Duas retas paralelas que são cortadas por uma terceira reta (transversal) for- mam oito ângulos que se relacionam de maneira bem específi ca. Acompanhe na fi gura as explicações no texto a seguir. τ φ θλ τ' φ' θ'λ' t r s • Ângulos adjacentes são ângulos que compartilham um mesmo lado: Entre as retas r e t, são adjacentes os pares λ/θ, τ/λ, τ/φ e φ/ θ; Entre as retas s e t, são adjacentes os pares λ’/θ’, τ’/λ’, τ’/φ’ e φ’/θ’. Os ângulos adjacentes somam 180º – ou seja, formam um conjunto de ân- gulos suplementares. • Ângulos opostos pelo vértice, como já vimos, são ângulos que compar- tilham o vértice, mas não compartilham lados. Dois ângulos opostos pelo vértice Por partes: • Se você prolongar as retas dos segmentos BC, DE, AB e AC, vai reco- nhecer a situação como a de duas retas paralelas (DE e BC) cortadas por duas transversais (AB e AC). Veja: A D B C E • Em relação à transversal AC, os ângulos com vértices em C e E são correspondentes e, portanto, congruentes. O mesmo ocorre com os ângulos D e B, em relação à transversal AB. Esta situação é muito importante para reconhecer a semelhança entre triângulos (veja o capítulo 5). são sempre congruentes. No caso das duas paralelas cortadas por uma trans- versal, são opostos pelo vértice os pares λ/φ, θ/ τ, λ’/φ’ e θ’/τ’. • Ângulos alternos são pares de ângulos que estão em lados diferentes (alternados) da reta transversal. Dois ângulos alternos têm medidas iguais. Os alternos são internos quando fi cam entre as retas paralelas. Na fi gura, são alternos internos os pares τ/θ’ e λ’/φ. Ângulos alternos externos são aque- les que estão na região externa das retas paralelas (acima ou abaixo delas). São alternos externos os ângulos λ/φ’ e θ/τ’. • Ângulos colaterais são aqueles que ocupam o mesmo lado da reta transver- sal. Eles também podem ser internos (entre as paralelas) ou externos. Na fi gura, são colaterais internos τ/λ’ e φ/θ’; são colaterais externos λ/τ’e θ/φ’. • Ângulos correspondentes são aqueles que se encontram do mesmo lado da reta transversal, um na região interna das retas paralelas e outro na região externa. Ângulos correspon- dentes são congruentes. Na fi gura, são pares de ângulos correspondentes λ/λ’, τ/τ’, θ/θ' e φ/φ’. 35GE MATEMÁTICA 2017 Mais importante que conhecer os nomes desses pares de ângulos é saber reconhecer as relações entre eles. E, para isso, você só precisa treinar a observação – reparar as semelhanças e diferenças entre dois ângulos. Teorema de Tales Retas transversais mantêm uma re- lação de proporção bem defi nida. E o que defi ne essa proporção é o teorema de Tales: qualquer conjunto de retas paralelas cortadas por segmentos transversais formam nessas transver- sais segmentos proporcionalmente correspondentes. Mais fácil acompa- nhando na fi gura: A D E F B C r u 3 9 x 2 v s t r//s//t Veja: • As retas r, s e t formam um feixe de retas paralelas; • As retas u e v (que não são paralelas, mas concorrentes) cortam o feixe r, s e t. Os pontos de intersecção das três retas defi nem os pontos A, B, C, D, E e F. Segundo Tales, os segmentos cor- respondentes em cada uma das retas transversais são proporcionais. Na fi - gura, as medidas de AB e DE guardam uma razão de 3/2. Então, os segmentos BC e EF têm a mesma relação de pro- porção. Ou seja, DE AB = EF BC Com isso, é possível determinar o valor de x (medida de EF): 2 3 = x 9 3 . x = 2 . 9 arrowhead 3 . x = 18 arrowhead x = 6 NA PRÁTICA TEOREMA DE TALES Qual a medida do segmento DF, na figura abaixo? A D E F B C r u 5 7 3x 2x + 1 v s t r//s//t Por Tales, sabemos que AB/DE = BC/EF. Então, 2x + 1 5 = 3x 7 Multiplicando em cruz: 5 . 3x = 7 . (2x + 1) 15x = 14x + 7 x = 7 O segmento DE = 2 . x + 1 = 2 . 7 + 1 → DE = 15 O segmento EF = 3 . x = 3 . 7 → EF = 21 Por fim, o segmento DF é a soma de DE e EF: 21 + 15 → DF = 36 ATENÇÃO QUANDO TALES NÃO RESOLVE Para resolver um problema de retas paralelas e transversais, só podemos usar o teorema de Tales quando temos as medidas de todos os segmentos de uma das retas que não são paralelas. Caso contrário, não é possível aplicar o teorema de Tales. Veja a figura: E A B DC vu x r s 10 4 x+1 r//s Não temos a medida de nenhum dos segmentos da reta u. Mas temos as medidas de dois lados de dois triângulos: • Do triângulo AEB, conhecemos os lados AB = 4 e AE = x; • Do triângulo CED, conhecemos os lados CD = 10 e CE = x + 1 + x ; • Esses dois triângulos compartilham o ângulo no vértice E. Os ângulos em A e C são congruentes. O mesmo ocorre entre os ângulos em B e D. Portanto os dois triângulos são semelhantes. Nesse caso, usamos semelhança de triângulos (veja no capítulo 5). 2 36 GE MATEMÁTICA 2017 GEOMETRIA PLANO CARTESIANO A lógica do quadriculado Um esquema engenhoso que permite localizar qualquer ponto pelo cruzamento de retas perpendiculares F oi o filósofo e matemático francês René Descartes quem imaginou pela primeira vez um sistema para localizar qualquer ponto em um plano, o chamado sistema coorde- nado. Com isso, Descartes criou uma área nova da matemática, a geometria analítica, que reúne conhecimentos de geometria e de álgebra. O plano de Descartes é engenhoso. Veja ao lado. Os valores no eixo horizontal (x) crescem da esquerda para a direita. Este é o eixo das abscissas No eixo vertical (y), os valores crescem de baixo para cima. O eixo y é o das ordenadas
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