Livro Digital - Regra de Três

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Raíssa Jordão Barreto - raissaj.barreto@gmail.com - IP: 179.98.153.180
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Servidor público municipal da câmara de Poá-SP. Graduado em Química com 
atribuição tecnológica atuando na área da educação desde 2009. 
Professor de Matemática no JáPassei Educação. Apaixonado por concursos 
públicos e técnicas de otimização de estudos tendo já sido aprovado em 
mais de 15 certames. 
 
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As questões de regra de três possuem como característica textual referirem-se a medidas que possuem 
relação (vínculo) entre si, ou seja, caso uma delas mude de valor, a outra obrigatoriamente mudará 
também. 
 
Ex.1 – O salário recebido por um trabalhador e o número de dias trabalhados pelo mesmo. 
 
Ex.2- O número de peças produzidas por uma empresa e o número de funcionários desta. 
 
 
 
 
Ex.3- O prazo de entrega em dias de uma obra e o número de trabalhadores atuando nela. 
 
Ex.4- A velocidade de um automóvel e o tempo de viagem até um determinado destino. 
 
 
 
Ex.5- O preço de um lanche natural e o de um suco que são vendidos num mesmo local. 
 
Ex.6- a nota de matemática e de história de um aluno colegial. 
 
 
Dividem-se em dois grupos as questões de tal tema: 
 Regra de três simples- relaciona duas medidas; 
 Regra de três composta- relaciona 3 ou mais medidas; 
 
Regra de três simples: Montaremos sempre uma “tabelinha” contendo as informações fornecidas pelo 
texto, sendo que valores referentes a uma mesma medida deverão ser posicionados um embaixo do 
outro. 
 
Ex: 
Prova: VUNESP - 2018 - Câmara de Indaiatuba -SP - Controlador Interno 
Na situação a seguir, considere que os ralos de escoamento apresentam sempre a mesma vazão. 
Uma piscina pode ter seu volume total esvaziado com o uso de dois ralos de escoamento e, para isso, 
o tempo necessário é de 34 horas. O tempo a menos que se gastaria para esvaziar a mesma piscina 
utilizando cinco ralos de escoamento é igual a 
A)13h6min B)15h12min C)16h36min D)18h4min E) 20h24min 
 
REGRA DE TRÊS
Se uma aumentar, a outra 
aumentará também; 
 
Se uma diminuir, a outra 
diminuirá também; 
 
 
 
 
 
 
Se uma aumentar, a 
outra diminuirá; 
 
Se uma diminuir, a outra 
aumentará; 
Se uma mudar de valor a 
outra não deverá 
necessariamente mudar. 
Não se trata de uma regra 
de três! 
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R: A questão é sobre regra de três simples, pois cita duas medidas, a quantidade de ralos de 
escoamento e o tempo gasto para esvaziar a piscina, sendo que ambas se relacionam (mudando a 
quantidade de ralos, muda-se também o tempo para esvaziar a piscina). 
 
N° de ralos Tempo para esvaziar a piscina 
2 34h 
5 X 
 
Note que uma das informações estava faltando e a ela chamamos de x (incógnita). 
A partir daqui, deveremos realizar uma análise a fim de verificar qual tipo de relação existe entre as 
medidas, caso seja uma relação direta (ambas variam de igual forma), realizaremos a multiplicação dos 
valores na diagonal e caso seja uma relação inversa (variam de forma oposta) realizaremos uma 
multiplicação na horizontal. 
 
Note que a quantidade de ralos aumentou de 2 para 5 e isto fará com que o tempo de esvaziamento 
da piscina diminua, ou seja, trata-se de uma relação inversa. 
 
Logo: 
N° de ralos Tempo para esvaziar a piscina 
2 34h 
5 X 
 
5. 𝑥 = 2.34 
5. 𝑥 = 68 
𝑥 =
68
5
 
𝑥 = 13,6 
 
Serão gastas 13,6 h , porém a questão deseja saber quanto tempo a menos os ralos irão levar, para isto 
podemos subtrair os dois tempos (com 2 e com 5 ralos): 
34 ℎ − 13,6 ℎ = 𝟐𝟎, 𝟒 𝒉 
Obs: Quando estivermos diante de um valor de tempo na forma decimal (com vírgula) e desejarmos 
expressá-lo da forma como aparece em relógios (horas e minutos / minutos e segundos), basta que 
multipliquemos o valor à direita da vírgula por 6, assim: 
 
20,4 ℎ = 𝟐𝟎 𝒉 𝟐𝟒 𝒎𝒊𝒏 , letra E 
Ex: 
Prova: VUNESP - 2018 - Câmara de Indaiatuba -SP - Auxiliar Administrativo / Recepcionista 
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É sabido que 5 operários transportaram 4 m3 de areia em exatas duas horas de trabalho. A quantidade 
de areia, em m3, que outros 13 operários, cada um com a mesma capacidade de cada um dos 5 operários 
anteriores, transportarão a mais que os operários anteriores, no mesmo tempo de serviço, é igual a 
A) 8,2 B) 7,1 C) 6,4 D) 5,8 E) 5,3 
R: 
Num primeiro momento, muitos podem se enganar ao entender ser esta uma questão sobre regra de 
três composta pelo fato de serem citados três assuntos que se relacionam ( número de operários, 
quantidade de areia transportada e tempo), porém, um outro detalhe a ser levado em conta aqui é o 
de que na regra de três, usamos nos cálculos apenas as medidas que variam, que mudam de valor ao 
longo da situação; note que o tempo de serviço, segundo o texto, é o mesmo e devido a isto, ao invés 
de três medidas, usaremos apenas as duas que variaram ( número de operários e quantidade de areia 
transportada), o que define esta questão como sendo sobre regra de três simples. 
 
N° de operários Quantidade de areia (m3) 
5 4 
13 X 
 
Nota-se ao analisarmos as duas medidas que ao aumentarmos o número de funcionários de 5 para 13, 
consequentemente, a quantidade de areia transportada também aumentará, devido ao maior número 
de funcionários executando tal tarefa, o que nos permite concluir, ser esta uma relação direta 
(multiplicação diagonal). 
Assim: 
N° de operários Quantidade de areia (m3) 
5 4 
 
13 X 
 
 
5. 𝑥 = 13.4 
5. 𝑥 = 52 
𝑥 =
52
5
 
𝑥 = 10,4 𝑚3 
 
Como a questão deseja saber quanta areia a mais foi transportada em relação ao primeiro grupo (5 
homens), basta que façamos a diferença entre as duas quantidades (diferença= maior valor – menor 
valor). 
10,4 – 4 = 6,4 m3 de areia transportados a mais. (Gabarito: letra C) 
 
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Ex: 
Prova: VUNESP - 2018 - Câmara de Nova Odessa - SP - Assistente Legislativo 
Em uma indústria, 15 máquinas iguais, de mesmo rendimento, produzem 22500 unidades de certa peça 
em 5 horas de funcionamento simultâneo e ininterrupto. Desse modo, para produzir 12000 unidades 
dessa mesma peça em 10 horas de funcionamento simultâneo e ininterrupto, será necessário utilizar 
uma quantidade, das mesmas máquinas, igual a 
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 
R: 
Temos aqui três assuntos variando (número de máquinas, quantidade de peças e tempo de 
funcionamento) e todos eles relacionam- se, fato este que caracteriza uma regra de três composta. 
Iniciaremos montando a tabela com os valores fornecidos pelo enunciado, assim como foi feito nos 
exemplos anteriores. 
 
N° de máquinas Quantidade de peças Tempo gasto (h) 
15 22 500 5 
X 12 000 10 
 
A técnica mais simples para a resolução deste tipo de problema é a que veremos a seguir, denominada 
de produtos e processos; para utilizá-la, deveremos qualificar os assuntos em produtos (algo que se 
quer obter ou que gerará renda) ou em processos (etapas/fatores necessários para a obtenção de algo). 
 
O que está sendo produzido pela indústria? 
R: As peças (produto) 
Do que a indústria necessita para fabricá-las? 
R: De máquinas que funcionem por um certo tempo (processos) 
Colocaremos agora de um lado os valores ligados aos processos (máquinas e tempo)e do outro lado 
os valores ligados ao produto (quantidade de peças). 
 
processos produtos 
15 máquinas . 5 horas 22 500 peças 
X máquinas. 10 horas 12 000 peças 
 
Havendo mais de um processo ou mais de um produto, os valores deverão ser multiplicados: 
processos produtos 
75 22 500 
10x 12 000 
 
E por fim, multiplicam- se os valores dos produtos com o dos processos diagonalmente. 
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processos produtos 
75 22 500 
 
10x 12 000 
 
 
10. 𝑥. 22 500 = 75.12 000 
225 000. 𝑥 = 900 000 
𝑥 =
900 000
225 000
 
𝑥 =
900 000
225 000
 
𝑥 = 4 
Serão necessárias 4 máquinas (Gabarito: letra A) 
 
Ex: 
Prova: VUNESP - 2017 - Câmara de Cotia - SP - Contador 
Para imprimir 200 apostilas com 27 páginas cada uma, 5 impressoras levam 54 minutos. Estas 
impressoras imprimem um mesmo número de páginas por minuto e têm sistema automático de 
alimentação de folhas, ou seja, não precisam parar para o reabastecimento de folhas. Para a impressão 
de 1 040 apostilas com 35 páginas impressas cada uma, em 52 minutos, será necessário um número 
dessas impressoras igual a 
A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 
 
R: 
Novamente estamos diante de uma regra de três composta, o que evidencia-se por haver 4 assuntos 
relacionados; assim como no exemplo anterior, iniciaremos montando a tabela com os dados fornecidos 
pelo enunciado e posicionando a incógnita (x) aonde não houver valor fornecido. 
 
Quantidade de 
Apostilas 
Nº de Páginas Nº de Impressoras Tempo gasto (min) 
200 27 5 54 
1 040 35 X 52 
 
A partir daqui, classificaremos os assuntos em processos ou produtos. 
O que se deseja obter? 
R: a impressão das páginas que formam as apostilas (produtos) 
O que precisa-se para realizar isto? 
R: precisa-se de impressoras que operem por um certo tempo (processos) 
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Colocaremos agora de um lado os valores ligados aos processos (impressoras e tempo) e do outro lado 
os valores ligados aos produtos (quantidade de apostilas e de páginas). 
 
 
processos produtos 
5 impressoras . 54 min 200 apostilas . 27 páginas 
X impressoras . 52 min 1 040 apostilas . 35 páginas 
 
Havendo mais de um processo ou mais de um produto, os valores deverão ser multiplicados: 
processos produtos 
270 5 400 
52.x 36 400 
 
E por fim, multiplicam- se os valores dos produtos com o dos processos diagonalmente. 
 
processos produtos 
270 5 400 
 
52.x 36 400 
 
 
52. 𝑥. 5 400 = 270. 36 400 
280 800. 𝑥 = 9 828 000 
𝑥 =
9 828 000
280 800
 
𝑥 = 35 
 
Logo, serão necessárias 35 impressoras para o trabalho. (Gabarito: letra B) 
Ex: 
Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 
50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade 
média de 60 km/h? 
R: 
A questão fala sobre 5 assuntos porém, a quantidade de caminhoneiros e a de cargas não variam, era 
um caminhoneiro e uma carga e isto se manteve ao longo do exercício, restando outros três assuntos 
que variaram (número de horas por dia de viagem, velocidade e tempo para a entrega).Iniciaremos pela 
montagem da tabela com os dados do enunciado. 
 
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N° de horas por dia Tempo para a entrega 
(dias) 
Velocidade (km/h) 
8 30 50 
X 20 60 
 
Obs: Como as medidas devem ser expressas numa mesma unidade, transformamos a informação 1 mês 
em 30 dias, para que concordasse com o outro valor de prazo de entrega (20 dias). 
A partir daqui, classificaremos os assuntos em processos ou produtos. 
O que o caminhoneiro busca realizar? 
R: Entregar a carga (produto) 
Como ele faz isto? 
R: Dirigindo numa certa velocidade por um certo número de horas durante alguns dias (processos) 
Note que desta vez o produto (carga) não aparece em nossa tabela (pelo fato de não variar de valor), 
temos apenas processos. 
Em casos em que temos somente processos ou somente produtos faremos da seguinte forma: 
 
Multiplicamos tudo em cima e multiplicamos tudo embaixo 
 
N° de horas por dia Tempo para a entrega 
(dias) 
Velocidade (km/h) 
8 30 50 
 
X 20 60 
 
 
 
𝑥. 20.60 = 8.30.50 
1200. 𝑥 = 12 000 
𝑥 =
12 000
1 200
 
𝑥 = 10 
Logo, ele deverá dirigir 10 horas por dia 
 
Prova: VUNESP - 2016 – Prefeitura de Rio Claro- SP – Diretor de Escola 
12 homens trabalharam 6 horas por dia para a reforma do ginásio da escola, e, em 4 dias de trabalho, foi 
concluído um terço do serviço. Para finalizar a reforma, mais 6 homens foram contratados e todos os 18 
passarão a trabalhar 8 horas por dia. 
Considerando que todos os homens têm a mesma força de trabalho, o número de dias que ainda faltam 
para o ginásio ficar pronto é: 
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A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 
 
R: 
Esta questão de regra de três composta tem como diferencial a presença de frações. É dito que 
inicialmente foi concluído um terço (1/3) do serviço e nos é perguntado o tempo para que o ginásio 
fique pronto, ou seja, o texto não nos diz quanto do serviço foi realizado nesta última etapa, cabendo 
a nós deduzir antes de colocarmos os dados na tabela. 
Imagine que o valor de cima (numerador) representa o quanto foi feito do serviço e que o valor de 
baixo (denominador) representa o total de serviço, então: 
 
 
1
3
 
 
Logo, conclui-se que ainda ficou restando 2 partes do serviço a serem feitas daquele total de 3 partes, 
ou seja, 2/3 ficou para o final. 
 
N° de homens Horas de trabalho 
diário 
Dias de trabalho Parte do serviço feita 
12 6 4 1 
18 8 X 2 
 
A partir daqui, classificaremos os assuntos em processos ou produtos. 
O que se deseja realizar? 
R: Concluir o serviço de reforma do ginásio (produto) 
O que é necessário para isto? 
R: Homens trabalhando durante algumas horas diariamente por um certo número de dias. (processos) 
Colocaremos os valores ligados aos processos de um lado da tabela e os ligados ao produto do outro 
lado. 
 
processos produtos 
12 homens.6 horas por dia. 4 dias 1 parte do serviço feita 
18 homens. 8 horas por dia. X dias 2 partes do serviço feitas 
 
Havendo mais de um processo ou mais de um produto, os valores deverão ser multiplicados: 
processos produtos 
288 1 
144.X 2 
1 parte do serviço concluída 
de um total de 3 partes 
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E por fim, multiplicam- se os valores dos produtos com o dos processos diagonalmente. 
processos produtos 
288 
 
1 
144.X 
 
2 
 
144. 𝑥. 1 = 288.2 
144. 𝑥 = 576 
𝑥 =
576
144
 
𝑥 = 4 
 
Logo, ainda faltam 4 dias para que o ginásio fique pronto. (Gabarito: letra B) 
 
 
 
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