Lista 5

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO / 2017.1 
Quinta Lista 
1- Um corpo negro (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜) emite energia em uma taxa 
proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta, de acordo 
com a equação de Stefan-Boltzmann, 
 
onde 𝐸 = 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜, 𝑊/𝑐𝑚² 𝑒 𝑇 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎, 𝐾0 
 
O que se deseja é determinar uma fração dessa energia contida no 
espectro visível, que é tomado aqui como sendo 4. 10−5 a 
7. 10−5 𝑐𝑚. Podemos obter a parte visível integrando a equação de 
Planck entre esses limites: 
 
 
onde 𝑥 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎, 𝑐𝑚; 𝐸 e 𝑇 como definido acima. 
 
A eficiência luminosa é definida como a relação da energia no 
espectro visível para a energia total. 
Se multiplicarmos por 100 para obter a eficiência percentual e 
combinarmos as constantes, o problema torna-se o de calcular: 
 
Obter a eficiência luminosa, com erro relativo < 10−5, nas 
seguintes condições: 
i. 𝑇𝑖 = 2000 °𝐾 
 𝑇𝑓 = 3000 °𝐾 
com incremento da temperatura igual a 250. 
ii. 𝑇𝑖 = 2000 °𝐾 
 𝑇𝑓 = 3000 °𝐾 
 
 
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com incremento da temperatura igual a 200. 
 
onde 𝑇𝑖e 𝑇𝑓são as temperaturas iniciais e finais, respectivamente. 
 
2- De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes 
leituras de velocidade instantânea. 
 
 
Calcule a distância em quilômetros, percorrida pelo automóvel 
usando a regra de Simpson. 
 
3- A determinação da área da seção reta de rios e lagos é importante 
em projetos de prevenção de enchentes 
(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎) e nos projetos de reservatórios 
( 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎). A menos que dispositivos 
tipo sonar sejam usados na obtenção do perfil do fundo de rios/lagos, o 
engenheiro civil deve trabalhar com valores da profundidade, obtidos 
em pontos discretos da superfície. Um exemplo típico de seção reta de 
um rio está mostrado na figura a seguir: 
 
 
Use uma fórmula de quadratura sobre pontos igualmente 
espaçados de ℎ, para calcular a área da seção 
reta da figura dada acima. 
 
4- A equação de Clapeyron encontrada no estudo das relações de 
propriedade termodinâmica pode ser expressa como: 
 
 
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onde 𝑃: 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟, 𝑇: 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎, ∆𝐻𝑟: 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 
𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎çã𝑜, 𝑅: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑔á𝑠. 
 
Esta temperatura, que é válida para um intervalo limitado de 
pressão e temperatura, pode ser usada para determinar a pressão de 
vapor em qualquer temperatura, reescrevendo-se (4.1) e integrando a 
partir de alguma pressão e temperatura conhecidas 𝑃0, 𝑇0. Mostre que 
fazendo isso obtemos: 
 
 
A solução de (4.2) requer o cálculo da integral indicada. Entretanto 
em muitos casos ∆𝐻𝑟, não pode ser dada por uma expressão analítica 
conveniente e a integral deve então ser calculada por um método 
numérico. 
Considere uma substância para a qual os seguintes dados são 
conhecidos: 
 
 
𝑅 = 0.01614 𝐾 𝑐𝑎𝑙 / 𝐾𝑔, 𝑃0 = 0.028 𝑎𝑡𝑚 em 𝑇0 = 185 °𝐾. 
 
Determine a pressão do vapor a uma temperatura de 235 
°𝐾, usando 3, 5, 7, 9 e 11 pontos. Com 11 pontos é possível dizer quantas 
casas decimais estão corretas? Se a resposta for afirmativa diga qual é a 
precisão obtida. 
Observe que nesse problema você não deve entrar com o valor de 
𝜖, mas sim comparar os resultados obtidos. 
 
5- Seja a viga em balanço e o carregamento dado na figura a seguir: 
(4.1) 
(4.2) 
 
 
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onde 𝐸 = 200 𝑡/𝑐𝑚² (𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜). 
 
O deslocamento vertical no ponto B pode ser obtido através da 
expressão: 
 
com 
 
 
onde 𝑀0 é o momento da viga, 𝑀1 é o momento da viga correspondente 
a uma carga unitária na direção e sentido do deslocamento e 𝐽 é o 
momento de inércia de uma secção retangular de altura ℎ. 
Determine o deslocamento vertical 𝛿𝑉𝐵 com erro relativo inferior a 
10−4. 
 
6- Na determinação da radiação luminosa emitida por um radiador 
perfeito é necessário calcular-se o valor da integral: 
 
 
onde: 
Q = radiação emitida por unidade de tempo por unidade de área entre os 
comprimentos de onda 𝜆1 e 𝜆2, em erg/cm².s, 
𝜆1 e 𝜆2 = limites inferior e superior, respectivamente, do comprimento de 
onda, em cm, 
ℎ = constante de Planck = 6.6256 × 10−27 erg.s, 
 
 
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𝑐 = velocidade da luz = 2.99793 × 1010 cm/s, 
𝑘 = constante de Boltzmann = 1.38054 × 10−16 erg/k, 
𝑇 = temperatura absoluta da superfície, °𝐾, 
𝜆 = variável de integração = comprimento de onda, cm. 
 
Obter 𝑄, com erro relativo < 10−5, nas seguintes condições: 
 
𝑖. 𝜆1 = 3.933666 × 10
−5 𝑐𝑚 , 
 𝜆2 = 5.895923 × 10
−5 𝑐𝑚 , 
 𝑇 = 2000 °𝐾. 
 
 𝑖𝑖. 𝜆1 = 3.933666 × 10
−5𝑐𝑚 , 
 𝜆2 = 5.895923 × 10
−5𝑐𝑚 , 
 𝑇 = 6000 °𝐾 . 
 
7- A função de Debye é encontrada em termodinâmica estatística no 
cálculo do calor específico da água a volume constante de certas 
substâncias. A função é expressa por: 
 
Obter 𝐷(𝑥), com erro relativo <10−5, nos seguintes casos: 
i. 𝑥 = 0.5 
ii. 𝑥 = 10 
𝑖𝑖𝑖. 𝑥 = 50 
 
8- Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um 
paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação: 
 
onde 𝑔 é a aceleração da gravidade (9.8𝑚/𝑠²), 𝑚 é a massa do 
paraquedista (68𝑘𝑔), 𝑐 é o coeficiente de arrasto (12.5𝑘𝑔/𝑠) e 𝑡 é o 
tempo (𝑒𝑚 𝑠) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista 
salte de uma altura de 3000𝑚. Sabendo que o espaço percorrido pelo 
paraquedista entre os instantes de tempo 𝑎 e 𝑏 é dado por: 
 
 
 
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Calcule a altura em que se encontra o paraquedista nos instante 
𝑡 = 2𝑠 e 𝑡 = 10𝑠. Em ambos os casos, utilize a regra 
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 de Simpson, com 
um número adequado de subintervalos para que o erro seja menor que 
1𝑚. 
 
9- O etileno ocupa a quinta posição entre os produtos químicos mais 
fabricados nos Estados Unidos e o primeiro lugar entre os produtos 
químicos orgânicos, ao longo de um ano. Mais de 28 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 
foram produzidas em 1985 e vendidas a 𝑈$ 22/𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎. De todo etileno 
produzido, 65% é usado na fabricação de plásticos, 20% para óxido de 
etileno e etileno glicol, 5% para fibras e 5% para solventes. 
 
Deseja-se determinar o tamanho (𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒) de um reator 
necessário para produzir 300 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 de etileno por ano do 
craqueamento de etano puro. A reação é irreversível e elementar. Além 
disso, deseja-se alcançar 80% de conversão para o etano operando o 
reator isotermicamente a 1100𝐾 e à pressão de 6 𝑎𝑡𝑚. A equação para 
o reator é dada por: 
 
onde: 𝑉 é 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟 (𝑓𝑡3); 𝐹𝐴0 é 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 
𝑟𝑒𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑙𝑏 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/𝑠); −𝛾𝐴 é 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 (𝑓𝑡3/𝑙𝑏 𝑚𝑜𝑙), 𝑒 𝑥 é 𝑎 
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜. A taxa de desaparecimento do etano (−𝛤𝐴) é dada por: 
−𝛤𝐴 = 𝑘𝐶 , onde 𝑘 é 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 e 𝐶, a reconcentração do 
reagente (etano) é dada por: 𝐶 = 𝐶0(1 − 𝑥)/(1 + 𝜖), com 𝐶0 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 
concentração inicial do reagente e o fator de mudança de volume. Usando 
uma regra de quadratura sobre pontos igualmente espaçados de ℎ, 
determine o volume de um reator, dado que: 𝐹𝐴0 = 0.425𝑙𝑏 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/𝑠, 
𝑘 = 3.07𝑠−1, 𝑥 = 0.8, 𝐶0 = 0.00415 𝑙𝑏 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/𝑓𝑡
3 e 𝜀 = 1. 
 
10- O serviço de proteção ao consumidor (𝑆𝑃𝐶) tem recebido muitas 
reclamações quanto ao peso real do pacote de 5𝑘𝑔 do açúcar vendido 
nos supermercados. Para verificar a validade das reclamações, o 𝑆𝑃𝐶 
contratou uma firma especializada em estatística para fazer uma 
estimativa da quantidade de pacotes que realmentecontinham menos 
de 5𝑘𝑔. Como é inviável a repezagem de todos os pacotes, afirma 
responsável pesou apenas uma amostra de 100 pacotes. A partir destes 
dados e utilizando métodos estatísticos eles puderam ter uma boa ideia 
do peso de todos os pacotes existentes no mercado. 
 
 
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Chamando de 𝑥𝑖 o peso do pacote 𝑖, tem-se que a média da amostra 
𝑥 ̅é dada por: 
 
onde 𝑛 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎. Serão omitidos os pesos, 
face ao elevado número de pacotes examinados. 
Calculando-se a média: 
 
O desvio padrão que é uma medida estatística que dá uma noção da 
dispersão dos pesos em relação à média é dado por: 
 
Para os dados deste problema tem-se que 𝑆 = 0.005 𝑘𝑔. 
Supondo-se verdadeira a hipótese de que a variação do peso dos 
pacotes não é tendenciosa, isto é, que o peso de um pacote é função de 
uma composição de efeitos de outras variáveis independentes, entre a 
quais podemos citar: regulagem da máquina de ensacar, variação da 
densidade do açúcar, leitura do peso, etc.; pode-se afirmar que a variável 
do peso tem uma distribuição normal. O gráfico da distribuição normal 
é apresentado a seguir: 
 
A forma analítica desta função é: 
 
Comentado [MD1]: 
 
 
8 
 
O valor de 𝑓(𝑥) é a frequência de ocorrência do valor 𝑥. A integral 
de 𝑓(𝑥) fornece a frequência acumulada, isto é: 
 
é a probabilidade de que 𝑥 assuma um valor menor ou igual a 
𝑥0. Graficamente, 𝐹(𝑥0) é a área hachurada na figura a seguir: 
 
 No problema em questão, o que se deseja é determinar: 
 
 
Observações: 
 
1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1.
∞
−∞
 
2) A curva é simétrica em relação a média (�̅�), logo: 
 
 
11- A definição da integral imprópria é: 
 
Se essa integral for convergente podemos avaliá-la 
aproximadamente por m´método numérico. Por exemplo, a integral 
exponencial 𝐸𝑖(𝑥) pode ser avaliada tomando o limite superior U 
suficientemente grande em: 
 
 
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Sabemos que 𝑈 é “suficientemente grande” quando as 
contribuições adicionais ao fazer 𝑈 maior são desprezíveis. Estimar 
𝐸𝐼(0.5). 
Note que pode-se usar subintervalos maiores à medida que 
𝑣 cresce. Compare o valor obtido com o valor tabular: 0.5598. 
 
12- A seção reta de um veleiro está mostrada na figura a seguir: 
 
 
 
A força que o vento exerce sobre o mastro (devido às velas), varia 
conforme a altura 𝑧 (em metros) a partir do convés. Medidas 
experimentais constataram que a força resultante exercida sobre o 
mastro (em N) é dada pela equação: 
 
 
Deseja-se saber a linha de ação de 𝐹, isto é, o ponto onde pode-se aplicar 
uma força de mesmo módulo, direção e sentido de 𝐹, tal que o efeito 
sobre o mastro seja o mesmo de 𝐹. Esse ponto, localizado a uma altura 
𝑑 do convés do barco, pode ser determinado a partir da seguinte 
equação: 
 
 
 
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Pede-se então calcular o valor de 𝑑, usando fórmula de quadratura 
sobre pontos igualmente espaçados de ℎ. 
 
13 - Suponha que a água em uma represa exerce uma pressão sobre a 
face esquerda da mesma, como mostrada na figura: 
 
Essa pressão pode ser caracterizada pela expressão: 
 
 
onde 𝑝(𝑧) é a pressão (𝑒𝑚 𝑁/𝑚²) na altura 𝑧 (𝑒𝑚 𝑚) a partir do fundo 
do represa. A densidade da água 𝜌 é suposta constante e vale 
103 𝑘𝑔/𝑚3, a aceleração da gravidade vale 9.8𝑚/𝑠², e 𝐷 é a altura 
(𝑒𝑚 𝑚) da superfície da água a partir do fundo do represa. Sabe-se que 
a pressão aumenta linearmente com a profundidade, como mostrado em 
(𝑎). A força total 𝑓𝑡 sobre a face esquerda da represa pode ser calculada 
multiplicando-se a pressão pela ´área da face da represa. A largura da 
represa para diferentes profundidades, está mostrada em (𝑏). Assuma 
que a largura da represa varia linearmente desde 200𝑚 (na superfície) 
até 122 𝑚 (a 60 m de profundidade). 
Assim a força resultante sobre a face da represa pode ser obtida 
através de: 
 
onde 𝜔(𝑧) é a largura da represa na altura 𝑧 a partir do fundo. Determine 
a altura 𝑑 da linha de ação da força resultante, que pode ser obtida 
através do cálculo de: