Livro_Matematica_Matematica_Elementar_I

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como uma instituição que participa do Sistema Universidade Aberta do 
Brasil, vem ampliando a oferta de cursos de graduação e pós-graduação 
na modalidade de educação a distância, e gerando experiências e possibili
dades inovadoras com uso das novas plataformas tecnológicas decorren
tes da popularização da internet, funcionamento do cinturão digital e 
massificação dos computadores pessoais. 
Comprometida com a formação de professores em todos os níveis e 
a qualificação dos servidores públicos para bem servir ao Estado, 
os cursos da UAB/UECE atendem aos padrões de qualidade 
estabelecidos pelos normativos legais do Governo Fede
ral e se articulam com as demandas de desenvolvi
mento das regiões do Ceará. 
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r I
Matemática
Matemática
Jayro Fonseca da Silva
Matemática Elementar I
ComputaçãoQuímica Física Matemática PedagogiaArtes Plásticas
Ciências 
Biológicas
Geografia
Educação 
Física
História
9
12
3
Matemática
Matemática Elementar I
Jayro Fonseca da Silva
1ª edição
Fortaleza - Ceará
2015
ComputaçãoQuímica Física Matemática PedagogiaArtes Plásticas
Ciências 
Biológicas
Geografia
Educação 
Física
História
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Sistema de Bibliotecas
Biblioteca Central Prof. Antônio Martins Filho
Thelma Marylanda Silva de Melo
Bibliotecária – CRB-3 / 623
S586m Silva, Jayro Fonseca da
Matemática elementar I: números reais
e funções elementares / Jayro Fonseca 
da Silva 1. ed. Fortaleza : EdUECE, 2015.
150 p. (Matemática)
ISBN: 978-85-7826-401-7 
1. Matemática elementar. 2. Números
reais. 3. Funções elementares I. Título.
CDD: 510
Sumário
Apresentação ......................................................................................... 5
Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos ...................................................... 7
1. Conjunto dos números naturais ............................................................9
2. Conjunto dos números inteiros ...........................................................12
3. O conjunto dos números racionais .....................................................13
4. O conjunto dos números irracionais ...................................................15
5. Conjunto dos números reais ...............................................................16
6. Leitura complementar ...................................................................... 25
Capítulo 2 – Operações com números reais ..................................... 37
1. Valor absoluto ................................................................................... 39
2. Potenciação...................................................................................... 44
3. Radiciação ........................................................................................ 46
4. Notação científica ............................................................................. 50
Capítulo 3 – Álgebra elementar .......................................................... 55
1. Expressões algébricas ...................................................................... 57
2. Fatoração de expressões polinomiais .............................................. 61
3. Equações e inequações de 1º grau .................................................. 67
4. Equação do 1º grau com duas incógnitas ........................................ 69
5. Sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas . 72
6. Equações especiais .......................................................................... 83
Capítulo 4 – Coordenadas cartesianas e equações da reta ............ 95
1. Coordenadas Cartesianas e equações da reta ..................................97
2. Equação da reta ................................................................................105
3. Desigualdades envolvendo equações lineares com 
duas incógnitas ..................................................................................... 116
Capítulo 5 – Funções elementares .................................................. 123
1. Funções elementares ........................................................................125
2. Tipos de funções ...............................................................................134
3. As principais identidades trigonométricas e fórmulas geométricas ..152
Apresentação
Este texto tem como objetivo precípuo rever e repassar informações bási-
cas e também relevantes sobre a elaboração do conjunto dos números re-
ais, destacando seus principais subconjuntos e operações fundamentais. Na 
Álgebra Elementar, foi dada atenção especial ao estudo das equações, por 
sua importância na maioria dos cursos iniciais da graduação em Matemática, 
bem como ao conceito de função de uma variável, sua operacionalização e 
representação gráfica no plano cartesiano.
O escrito foi dividido em cinco capítulos, iniciando com uma abordagem 
sobre os principais subconjuntos dos números reais, seus axiomas, defini-
ções e propriedades. Em seguida, a prioridade foi conferida às operações 
com números reais. O terceiro capítulo privilegia a Álgebra Elementar no que 
concerne ao estudo das equações, dos sistemas de equações e métodos 
de resolução. O quarto capítulo reúne algumas informações significativas da 
Geometria Analítica Plana e breve revisão sobre o estudo das equações da 
reta no plano. E, finalmente, o quinto capítulo, trata das funções elementares 
de uma variável real.
Conta-se com a valiosa e indispensável colaboração dos nossos cole-
gas, seja na observação de alguns deslizes inevitáveis que possam terocorri-
do ou na apresentação de sugestões que venham contribuir com o aperfeiço-
amento deste texto, de modo a torná-lo mais produtivo e significativo.
O autor
Capítulo 1
Conjuntos Numéricos
Matemática Elementar I
9
Objetivos
 • Reconhecer as características e propriedades de cada um dos conjun-
tos numéricos.
 • Localizar na reta numérica os elementos (números) que pertencem a 
cada conjunto numérico.
 • Proporcionar ao aluno a oportunidade de conhecer e aplicar os axio-
mas, as definições e propriedades do conjunto dos números reais.
Introdução
O propósito principal deste capítulo é mostrar que os conjuntos numéricos cons-
tituem uma base conceitual da Matemática. Esses conjuntos foram surgindo 
na medida em que o homem ia necessitando fazer contagem, comparação, 
resolver problemas do cotidiano da vida prática e as necessidades inerentes da 
Matemática em cada momento de seu desenvolvimento. Os cinco principais 
conjuntos numéricos são os naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Apresenta-se o conjunto dos números reais como sendo formado pela 
união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irra-
cionais; ordenam-se seus elementos e trabalham-se suas principais proprie-
dades. Introduz-se, também, a noção de intervalos na reta.
1. Conjunto dos números naturais
Os conjuntos numéricos iniciam-se pelo conjunto dos números naturais, que 
se denota pelo símbolo ℕ . É formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7..., ou 
seja, ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ... }. Ele surgiu da necessidade do homem em 
fazer contagens. Essas contagens eram realizadas mediante uma correspon-
dência entre objetos ou coisas e os números naturais, isto é, contar objetos 
de uma coleção significava estabelecer uma correspondência entre cada ele-
mento de um conjunto de objetos ou coisas a elemento único da sucessão 
dos números naturais e vice-versa.
JAYRO FONSECA DA SILVA
10
Observa-se que o subconjunto de contagem é um subconjunto dos na-
turais. Uma vez estabelecida essa correspondência entre os dois conjuntos, 
pode-se determinar o número de elementos do conjunto de objetos.
1.1. Propriedade dos números naturais
Em ℕ são definidas as operações de adição e de multiplicação, isto é, ℕ tem 
a propriedade de fechamento no que concerne à adição e à multiplicação: 
Dados dois números naturais1 quaisquer a e b, então, a + b e a.b também são 
números naturais.
Propriedade aditiva dos números naturais
• A
1
 : Comutativa a + b = b + a , ∀ a, b ∈ ℕ
• A
2
 : Associativa a + ( b + c ) = ( a + b ) + c , ∀ a , b, c ∈ ℕ
• A
3
 : Elemento neutro 0 + a = a + 0 = a , ∀ a ∈ ℕ
Propriedade multiplicativa dos números naturais:
• M
1
 : Comutativa a.b = b.a, ∀ a, b ∈ ℕ
• M
2
 : Associativa a . ( b . c ) = ( a . b ) . c , ∀ a , b, c ∈ ℕ
• M
3
 : Elemento neutro 1.a = a , ∀ a ∈ ℕ
Propriedade distributiva dos números naturais
• D
1
: Distributiva a. ( b + c ) = a.b + a.c , ∀ a , b, c ∈ ℕ
1.2. Representação geométrica dos números naturais
O conjunto ℕ pode ser representado por uma semi reta, tomando uma unidade 
de medida entre cada um dos números da esquerda para direita, a partir do zero.
1 Originalmente, o zero não 
fazia parte do conjunto dos 
naturais; ele surgiu bem 
depois, com a criação do 
sistema de representação 
decimal pelos hindus.
Matemática Elementar I
11
1.3. Ordem dos números naturais
Dados dois números naturais a e b, diz-se que a é menor ou igual que b, se 
existir um número natural n tal que a + n = b.
Exemplo 1: 3 é menor ou igual a 5? Sim, pois existe o natural 2, tal que 
3 + 2 = 5.
Exemplo 2: 5 é menor ou igual a 5? Sim, pois existe o natural 0, tal que 
5 + 0 = 5.
1.4. Observações sobre os números naturais
Na sucessão dos números naturais, pode-se passar de um número para o 
seguinte (seu consecutivo), adicionando uma unidade a este, isto é, dado 
um número natural n qualquer, o seguinte será n + 1. Como consequên- 
cia dessa propriedade, pode-se afirmar que:
a) dado um número natural qualquer, sempre vai existir um número maior do 
que este; e
b) o conjunto dos números naturais é ilimitado, ou seja, nele existe um núme-
ro infinito de números.
1.5. Subconjuntos especiais do conjunto dos números naturais
Dado ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... }, podem ser destacados quatro 
subconjuntos distintos:
a) o conjunto dos números ímpares, ℕi, formado por todos os números da 
forma n = 2k+1, onde k é um número natural.
 ℕi = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19... };
b) o conjunto dos números pares, ℕp, formado por todos os números da forma 
n = 2k, onde k é um número natural.
 ℕp = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... };
c) o conjunto dos números primos, ℕpr , é formado por todos os números natu-
rais maiores que 1, cujos divisores são somente 1 e ele próprio.
 ℕpr = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}; e
d) o conjunto dos números naturais sem o zero, ℕ∗, ou seja, ℕ∗ = ℕ - {0}.
 ℕ∗ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }
JAYRO FONSECA DA SILVA
12
2. Conjunto dos números inteiros
A concepção do conjunto dos números inteiros se deu como consequên 
cia de novas descobertas no campo da Matemática no momento em que 
o conjunto dos números naturais já não permitia determinadas operações, 
como a subtração, por exemplo. Unindo-se a essa realidade, veio a neces-
sidade de o homem fazer transcrição de números. Daí nasceu um sistema 
de numeração posicional, e também o zero, que tinha a função de preencher 
classes vazias, posições com ausência de número.
O uso inicial do zero no sistema de numeração posicional: preencher espaços vazios
O zero ainda não tinha o status de número, mas a importância do seu 
aparecimento foi permitir a criação dos números inteiros.
O conjunto dos números inteiros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, simbolizado 
por ℤ2 , foi assim concebido incluindo no conjunto dos números naturais ℕ, os 
números negativos.
Todas as operações e propriedades de ℕ também passam a valer em 
ℤ. Além disso, em ℤ, passou a valer a propriedade simétrica da adição, isto é, 
dado um número a ∈ ℤ, existe - a ∈ ℤ tal que a + (-a) = 0. A partir dessa pro-
priedade, foi possível definir a operação de subtração em ℤ, ou seja, dados a, 
b ∈ ℤ, define-se a diferença entre a e b como sendo a – b = a + (-b).
2.1. Subconjuntos especiais do conjunto dos números inteiros
a) Conjunto dos números inteiros não nulos ℤ∗ = { ... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
b) Conjunto dos números inteiros não positivos ℤ 
-
 = { 0, -1,-2,-3,-4, ... }
c) Conjunto dos números inteiros não negativos ℤ 
+
 = { 0, 1, 2, 3, 4 , ... }
d) Conjunto dos números inteiros positivos ℤ∗
+
 = { 1, 2, 3, 4, 5, ...
e) Conjunto dos números inteiros negativos ℤ∗
-
 = { -1, -2, -3, -4, -5, ... }
Em ℤ, é definido o conceito de divisor, ou seja, dados dois números 
inteiros a e b, com b ≠ 0, diz-se que b divide a, em símbolo, b|a, se existir um 
número inteiro k tal que a = kb.
Exemplo: 3 | 21 , pois existe 7 tal que 21 = 7.3
A operação da divisão entre dois números inteiros nem sempre era pos-
sível realizar, apenas no caso dos divisores. Este fato passou a representar o 
próximo obstáculo que precisava ser resolvido com a ampliação do conjunto 
dos números inteiros.
2 A letra ℤ, que simboliza 
o conjunto dos números 
inteiros, é a inicial da 
palavra Zahlen, que, em 
alemão, significa “número”.
Matemática Elementar I
13
A questão seguinte, portanto, era como medir (comparar grandezas), ou 
seja, como estabelecer uma unidade fixa de uma dada grandeza, de modo a 
determinar quantas dessas unidades seriam necessárias para obter a quan-
tidade da grandeza dada. Como estabelecer padrões de comparação entre 
grandezas de mesma espécie? Essa tarefa nem sempre era possível, pois 
nem todas as grandezas tinham quantidades inteiras de unidades. Havia ne-
cessidade de se criar uma forma de representação de partes da unidade. 
Inicialmente a questão foi contornada com o emprego de razões entre gran-
dezas de mesma espécie, o que, por certo, deu origem aos númerosracionais 
ou mesmo às frações.
3. O conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo ℚ , é consti-
tuído por todos os números escritos na forma p/q , onde p e q são números 
inteiros, com q diferente de zero, ou seja:
Observações
• Os números racionais3 são também chamados de frações e os números 
inteiros utilizados na sua representação chamam-se numerador e deno-
minador, separados por uma linha horizontal ou uma linha inclinada ( 
ou n / d ). O numerador fica acima da linha horizontal e indica quantas 
partes do inteiro são tomadas, enquanto o denominador, que é qualquer 
inteiro diferente de zero, fica abaixo desta mesma linha e indica em quan-
tas partes o inteiro foi dividido. (Ver mais em Leitura Complementar).
1. Sendo o conjunto dos números racionais ℚ uma ampliação do conjunto dos 
números inteiros,
a) ℤ é um subconjunto de ℚ, pois todo n inteiro pode ser escrito na forma 
n = 
n
1
;
b) todas as operações e propriedades de ℤ, citadas anteriormente, valem 
também em ℚ;
2. em ℚ , vale a propriedade do inverso multiplicativo, isto é, dado o número 
p
q
 
∈ ℚ, com 
p
q
 ≠ 0, existe o número 
q
p
 tal que 
p
q
 . 
q
p
 = 1.
3 Observar que os 
números racionais 
podem ser obtidos por 
meio da razão (em Latim: 
razão=divisão=quociente) 
entre dois números inteiros, 
razão pela qual o conjunto 
de todos os números 
racionais é denotado por ℚ .
JAYRO FONSECA DA SILVA
14
3.1. Subconjuntos especiais do conjunto dos 
 números racionais
a) ℚ 
+
 ( conjunto dos números racionais não negativos)
b) ℚ 
-
 ( conjunto dos números racionais não positivos)
c) ℚ ∗ ( conjunto dos números racionais não nulos)
Observação: todo número racional pode ser escrito como um número deci-
mal finito ou uma dízima periódica.
Exemplos: 
a) 
5
8
 = 0,625 ( decimal finito) b) 
8383
9000 = 0,931444... (dízima periódica)
(ver mais em 1.6.4, as frações).
3.2. Operações com os números racionais
 • Adição: Dados dois números 
a
b
 e 
c
b
 racionais, sua soma é dada por 
 
a
b + 
c
b = 
a + c
b
No caso em que os denominadores das frações forem diferentes, re-
duzem-se as frações4 ao mesmo denominador e aplica-se a regra anterior. 
Essa redução pode ser realizada a partir da determinação do mínimo múltiplo 
comum (mmc) dos denominadores, ou seja, se mmc(b,d) = m, então:
a
b + 
c
d = 
sa
m
 + 
tc
m
 = 
sa + tc
m
, onde s = m/b e t = m/d. 
(Ver mais em Leitura Complementar).
 • Multiplicação: Dados dois números 
a
b
 e 
c
d
 racionais, seu produto é 
dado por 
a
b • 
c
d = 
a.c
b.d .
 • Divisão: Sejam a, b, c, d ∈ ℤ∗ e r ∈ ℚ . Considere as três afirmações 
seguintes:
(i) uma razão não se altera se multiplicarmos os seus termos, antecedente 
e consequente, por um número racional diferente de zero, ou seja, dado 
r ∈ ℚ ∗ , 
a
b
 = 
a.r
b.r
;
(ii) dado c/d ≠ 0, existe seu inverso multiplicativo 
d
c
 , tal que 
d
c
 • 
c
d
 = 1
(iii) 
r
1 = r; 
4 Para dividir duas frações, 
basta multiplicar a primeira 
fração pelo inverso 
multiplicativo da segunda 
fração.
Matemática Elementar I
15
Logo, a divisão de 
a
b
 por 
c
d
 será:
 
Exemplos:
a) ( ) ( ) ( )+ + + + + ++ + = = = =12/2 .1 12/3 .2 12/4 .51 2 5 6.1 4.2 3,5 6 8 15 29
2 3 4 12 12 12
(12/2).1 + (12/3).2 + (12/4).5
 ( ) ( ) ( )+ + + + + ++ + = = = =15 29
12
, mmc(2, 3, 4) = 12.
b) ( ) ( )− − −− = = = =6/3 .2 6/6 .12 1 18.2 1.1 36 1 35
3 6 6 6 6 6
(6/3).2 – (6/6).1 , mmc(3, 6) = 6.
c) = =
3 5 1 3x5x1 15
x x
2 2 7 2x2x7 28
.
d) .
2
3
:
5
6
=
2
3
6
5
=
2 6
3 5
e) ×= × = =
×
2 3 5 3 5 15
3 :
5 1 2 1 2 2
.
4. O conjunto dos números irracionais
A ideia e aceitação dos números irracionais levaram certo tempo para serem 
absorvidas pelos gregos. A crença dos gregos de que os números racionais 
eram o suficiente para resolver todos os problemas envolvendo grandezas 
comensuráveis (que se pode medir) cessou no momento em que descobriram 
a existência dos segmentos não comensuráveis. Tais segmentos passaram a 
ser chamados de os incomensuráveis. 
Acredita-se que este fato representou um momento crítico para os pita-
góricos, pois, na concepção deles, até antão, toda medida correspondia a um 
número racional. Tudo leva a crer que esta descoberta ocorreu quando tenta-
ram medir a diagonal de um quadrado de uma unidade de lado e concluíram 
que essa medida não correspondia a nenhum número racional.
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1
JAYRO FONSECA DA SILVA
16
Considerando um quadrado de lado 1 e diagonal d, como mostra a fi-
gura abaixo:
Pelo teorema de Pitágoras5: d2 = 12 + 12 = 2
A questão se resumia em verificar a existência ou não de algum número 
racional d, tal que d2 = 2.
Aplicando o método de redução ao absurdo, (ver apêndice [2]), supo-
nha-se que d seja um número racional, ou seja, d pode ser escrito na forma 
p/q, onde p e q são inteiros e primos entre si.
Tem-se: d2 = (p/q)2 = p2/q2 = 2 ⇔ p2 = 2q2 = 2m, m ∈ ℤ ⇒ p2 é um nú-
mero par e, portanto, p é par. Sendo p um número par, então p = 2n, onde 
n ∈ ℤ. Substituindo p = 2n na equação inicial p2/q2 = 2, ter-se-á: (2n)2 / q2 = 2 
⇔ 2q2 = 4n2 ⇔ q2 = 2n2 = 2k, onde k = n2; logo, q2 é par, então q é par. Daí, se 
conclui que p e q são pares, o que é um absurdo, pois entra em desacordo em 
relação à hipótese de que p e q seriam primos entre si. Portanto, não existe um 
número d, da forma p/q, onde p e q são inteiros e primos entre si, tal que d2 = 
2. Assim, d recebeu a denominação de número irracional.
Define-se o conjunto dos números irracionais, que será denotado por 
ℚc, por aquele formado por todos os números que não podem ser expressos 
como razão de dois números inteiros, isto é, aqueles que têm representação 
decimal infinita e não periódica.
Alguns exemplos de números irracionais:
 = 3,141529... , e = 2,718281... , 3 7 1,912...= e 2 = 1,414213...
5. Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é, portanto, composto por todos os números 
racionais e por todos os números irracionais.
ℝ = { x | x ∈ ℚ6 ou x ∈ ℚc } , onde ℚc é o conjunto dos irracionais.
Os principais subconjuntos de ℝ são: ℕ, ℤ, ℚ, ℚc , ℝ- , ℝ+ e ℝ∗.
5.1. A reta numérica
Uma representação geométrica do conjunto dos números reais pode ser 
constituída com suporte no estabelecimento de uma correspondência biuní-
voca entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos de uma reta, 
5 Pitágoras, foi o mais 
importante filósofo e 
matemático grego, nasceu 
por volta de 570 ac e 
morreu provavelmente em 
497 ac. Fundou a Escola 
Pitagórica de Matemática 
e, em sua homenagem, 
nomearam o teorema mais 
famoso da antiguidade.
6 ℚc é o complemento do 
conjunto dos números 
racionais ℚ em relação
ao conjunto dos números 
reais ℝ , isto é, ℚc = ℝ - ℚ.
Matemática Elementar I
17
ou seja, é possível associar cada número real a um, e apenas um, ponto da 
reta, biunivocamente.
A construção da reta numérica deve ser iniciada marcando um ponto ar-
bitrário O, sobre a reta, que será chamado origem do sistema de coordenadas 
e estará associado ao número real 0 (zero).
Adotando uma unidade de comprimento u, é possível estabelecer uma 
representação geométrica do conjunto dos números inteiros ℤ.
Cada número real r associado a um ponto P da reta é chamado coor-
denada do ponto: P(r).
Exemplo 1: Localizar, no sistema de coordenadas da reta7, os seguintes pontos:
Exemplo 2: Escrever os quatro números em ordem decrescente
23 17 66
; ;2,601;
9 6 25
.
Solução: Inicialmente escrever as frações ordinárias na forma decimal exata 
ou periódica.
23
2,555
9
= ... , 
17
2,8333
6
= ... e 66 2,64
25
= .
Exercícios resolvidos
1. Achar a dízima periódica (ou decimal exato) gerada pelas frações: 
a) 8
15
b) 1
7
 c) 1
20
.
Solução: dividindo o numerador pelo denominador de cada uma das frações, obtem-se:
a) 8 0,5333
15
= ... (dízima periódica composta de período 3);
b) 1 0,142857
7
= ... (dízima periódica simples de período 142857); e
7 Observa-se que para cada 
ponto da reta existe um, e 
somente um, númeroreal 
correspondente a esse 
ponto e vice-versa.
JAYRO FONSECA DA SILVA
18
c) 1 0,05
20
= (Decimal exato ).
2. Faça uma representação gráfica do intervalo: [-2, 4] ∩ (0, 5].
Solução: fazer a representação gráfica na reta de cada intervalo e achar a intersec-
ção dos dois intervalos.
[-2, 4] : 
(0, 5] : 
[-2, 4] ∩ (0, 5] = (0, 4] : 
3. Transformar o decimal exato numa dízima periódica a) 2,02 b) 1,3.
Solução
a) Sendo 0,999 ... = 1, então 0,00999... = 0,01. O número que se deve somar ao se-
gundo membro da equação para obter 2,02 é 2,01; logo, 2,01 + 0,00999... = 2,01 
+ 0,01 ou 2,01999 ... = 2,02.
b) De maneira análoga, 0,0999 ... = 0,1. O número que adicionado ao segundo 
membro para obter 1,3 é 1,2, logo, 1,2 + 0,0999 ... = 1,2 + 0,1 ou 1,2999 ... = 1,3.
Atividades de avaliação
1. Assinale falso ou verdadeiro e justifique sua resposta.
a) ( ) 2,999... ∈ ℕ; b) ( ) 0,333 ... ∈ ℚ; c) ( ) 2 ∈ ℝ;
d) ( ) -5 ∈ ℤ; e) ( )  ∈ ℝ―ℚ; e f) ( ) 0 ∉ ℕ.
2. Na figura abaixo, composta de doze quadradinhos, quantos deles deve-
mos destacar de modo que representem 5/6 do total de quadradinhos?
3. Escreva V ou F, conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa:
a) ( ) 2,1999... é inteiro.
b) ( ) 0,01001000100001... é irracional.
c) ( ) 0,31333.... é racional.
d) ( ) 2,333... + 1,666... é racional.
4. Se x for um número racional e y for um número irracional, use V ou F se a 
afirmação for verdadeira ou falsa:
a) x + y + 3 é irracional; ( )
b) xy é racional; ( )
c) x/y é irracional; e ( )
a) x + y é racional. ( )
Matemática Elementar I
19
5. Na reta abaixo, os pontos P1 e P10 têm como coordenadas os números 
– 3,7 e 8, respectivamente. Qual a medida da unidade u escolhida e em 
que ponto da reta está localizado o número 5,4?
6. Transformar o decimal exato numa dízima periódica: a) 2,02; b) 1,3.
5.2 Axiomas, definições e propriedades dos números reais
Axiomas
No conjunto dos números reais ℝ, estão definidas as operações de adição (+) 
e de multiplicação (.), e ℝ é fechado em relação à adição e à multiplicação, 
isto é, dados a, b ∈ ℝ, então, a + b, e a.b ∈ ℝ.
 • A
1
 - Comutatividade: dados a, b ∈ ℝ, então:
a + b = b + a
 • A
2
 - Associatividade: dados a, b, c ∈ ℝ, então:
(a + b) + c = a + (b + c).
 • A
3
 - Existência do elemento neutro aditivo: existe o número real 0, tal 
que para todo a ∈ ℝ, 
a + 0 = 0 + a.
 • A
4
 - Existência do elemento oposto: para todo a ∈ ℝ, existe -a ∈ ℝ, tal que 
a + (-a) = 0
 • M
1
 - Comutatividade: dados a, b ∈ ℝ, então:
a b = b . a.
 • M
2
 - Associatividade: dados a, b, c ∈ ℝ, então:
(a b) c = a (b c).
 • M
3
 - Existência do elemento neutro multiplicativo: existe o número 
real 1, tal que para todo a ∈ ℝ, 
1 . a = a.
 • M
4
 - Existência do elemento inverso: para todo a ∈ ℝ∗, existe 1
a
 ∈ ℝ, 
tal que:
1
a
 . a = 1.
 • D - Distributividade: Dados a, b, c ∈ ℝ , então:
a . (b + c) = a . b + a . c.
JAYRO FONSECA DA SILVA
20
Definições
 • Definição 1: Se a e b são números reais quaisquer, então a dife-
rença entre a e b , indicada por a – b, é definida por a – b = a + (-b). 
Observe que -b é o oposto aditivo de b.
 • Definição 2: Um número real qualquer a é positivo se ele estiver à 
direita do zero na reta numérica e é negativo se e somente se -a for 
positivo.
 • Definição 3: Dados a e b reais, diz-se que a é menor que b, em sím-
bolo a < b, se b – a for positivo.
 • De maneira análoga, diz-se que a é maior que b, em símbolo a > b, 
se a – b for positivo.
 • Teorema 1: a > 0 se e somente se a é positivo.
 • Demonstração: a > 0, por definição3, a – 0 é positivo, mas a – 0 = a, 
logo, segue-se o resultado.
 • Teorema 2: a < 0 se, e somente se, a é negativo.
 • Demonstração: se a < 0, por definição3, 0 - a é positivo; mas 0 - a = - a, 
então -a é positivo.
 • Assim, pela definição2, -(-a) = a é negativo, e, reciprocamente.
 • Axioma: a adição e o produto de números positivos são positivos,ou 
seja, se a > 0 e b > 0, então a + b > 0 e ab > 0.
 • Definição 4: Dados a e b reais, os símbolos ≤ (menor ou igual a) e 
≥ (maior ou igual a) são definidos como segue:
 • (1) a ≤ b se e somente se a < b ou a = b; e
 • (2) a ≥ b se e somente se a > b ou a = b.
Propriedades
Se a, b, c, d são números reais quaisquer, pode-se demonstrar que:
P1 se a ≤ b, então a + c ≤ b + c;
P
2
 se a ≤ b e c > 0, então a.c ≤ b.c;
P
3
 se a ≤ b e c < 0, então a.c ≥ b.c;
P
4
 se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c;
P
5
 se 0 < a < b e 0 < c < d, então a.c < b.d;
Matemática Elementar I
21
P
6
 se a for um número real qualquer, então,
i) a > 0 ⇔ - a < 0; e
ii) a < 0 ⇔ - a > 0.
P
7
 0 < a < b, então 
1
b < 
1
a ;
P
8
 a ≤ b e b ≤ a, então a = b; e
P
9
 a ≤ b e c ≤ d, então a + c ≤ b + d.
Axioma de ordem: para quaisquer a e b reais, exatamente uma das três 
condições é válida:
a < b ou a = b ou a > b;
ou equivalentemente, b – a é positivo ou b – a é zero ou -(b – a) é positivo.
Exemplo 1: Demonstrar que para todo x real: (1) x.0 = 0 (2) (-1).x = -x (3) - (-x) = x.
Demonstração 1: Sendo ℝ fechado em relação ao produto, e se x ∈ ℝ, então 
x.x ∈ ℝ. Se 0 ∈ ℝ, então x.0 ∈ R.
Com base nas propriedades dos números reais, pode-se afirmar que:
 x.x = x.(x + 0) (elemento neutro aditivo)
 x.x = x.x + x.0 (distributividade)
 -x.x + x.x = -x.x + (x.x + x.0) (propriedade de igualdade)
 -x.x + x.x = (-x.x + x.x) + x.0) (associatividade aditiva)
 0 = 0 + x.0 (elemento simétrico)
 0 = x.0 (elemento neutro aditivo)
Demonstração 2: Mostrar que (-1).x = -x , ∀ x, é equivalente mostrar que 
(-1).x + x = 0, ∀ x. Assim:
 (-1).x + x = (-1).x + 1.x (elemento neutro multiplicativo)
 (-1).x + x = x.((-1) + 1) (distributiva)
 (-1).x + x = x.0 (elemento simétrico)
 (-1).x + x = 0 (demonstração ( 1))
Demonstração 3: De maneira análoga à demonstração (2), mostrar que -(-x) 
= x ⇔ -(-x) – x = 0, ∀ x. Daí vem:
-(-x) –x = -(-x) + (-x) (definição de diferença)
-(-x) –x = (-1)(-x) + 1.(-x) (exercício (2) e elemento neutro multiplicativo)
-(-x) –x = (-x)((-1) + 1) (distributiva)
JAYRO FONSECA DA SILVA
22
-(-x) –x = (-x).0 (elemento simétrico)
-(-x) –x = 0 (demonstração ( 1))
Exemplo 2: Demonstrar que, para todo x real, x.x. ≥ 0.
Demonstração: Como o produto de números positivos é positivo, ter-se-ão:
 ∀ x > 0 ⇒ x.x > x.0 ⇔ x.x > 0 (propriedade P2)
 ∀ x, x < 0 ⇔ -x > 0 (propriedade P6 )
Então, (-x).(-x) > 0 ⇔ (-1)x.(-1)x > 0 (demonstração (2))
 (-1)(-1)(x.x) > 0 (associativa multiplicativa)
 1(x.x) > 0 (combinando dem(2 e3), exerc. 1, fazendo x =1 em 
 -(-x) = (-1)(-x) = x
 xx > 0 (elemento neutro multiplicativo)
Sabe-se que x.0 = 0, ∀ x. fazendo x = 0 teremos: 0.0 = 0,
 logo, x.x ≥ 0, para todo x real.
Atividades de avaliação
1. Prove que para todo x real, x > 0, então 
1
x
 > 0.
Prova: se x > 0, então existe 1 x ∈ ℝ e 
x
1 2` j > 0 ⇔ 2
1
x
 > 0. 
(exercício (2) )
Pela propriedade P
2
, se x > 0 , 2
1
x
 .x > 2
1
x
 . 0 ⇔ 
1
x
 > 0 
(exercício (1)- i)
2. Se 0 < x < y, mostre que 
1
y
 < 
1
x
 .
Demonstração: Sabe-se que produto de números positivos é positivo e 
se 0 < x < y, então x.y > 0. Pelo exercício:1, 1 xy > 0,
logo, por P
2
: 
1
x
xy
⋅ < 
1
xy
y⋅ ⇔ 
1
y
 < 
1
x
.
Matemática Elementar I
23
3. Se os inteiros positivos x, y, z e w são tais que x/y < z/w, mostre que
 
x
y
x z
y w
z
w
< <
+
+
.
Solução: 
x
y
z
w
xw yz< ⇔ <
(i) Adicionando xy a ambos os membros dessa desigualdade, fica: xy + 
xw < xy + yz ⇔ x(y+w) < y(x+z) ⇔ x x z
y y w
+
<
+
;
(ii) agora ao se adicionar zw em ambos os membros da mesma desigual-
dade, fica: xw + zw < yz + zw
⇔ w(x+z) < z(y+w) ⇔
x z z
y w w
+
<
+
.
De (i) e(ii), pode-se concluir que 
x x z z
y y w w
+
< <
+
.
Para refletir
1. Identifique a propriedade utilizada em cada uma das seguintes igualdades:
I
1
 2 x (3 + 5) = 2 x (5 +3) , ….......................................
I
2
 2 x (3 + 5) = (3 +5) x 2 e ..........................................
I3 2 x (3 + 5) = 2 x 3 + 2 x5. ..........................................
2. Utilizando os axiomas, propriedades e definições anteriores, mostre que;
a) se xy = 0, então x = 0 ou y = 0; e
b) se x2 + y2 = 0, então x = 0 e y = 0.
3. Complete, aplicando a propriedade indicada:
a) 5 + 0 = ...... Elemento neutro
b) 17 + 1 = ...... Comutativa
c) 4 x (16 x 2) = ...... Associativa
d) 10 x (4 + 3) = ... . Distributiva
4. Que condições se terá de impor a x para que –x > 0?
5. Se a e b são números reais quaisquer com a ≤ b, mostre que
i) a + c ≤ b + c, para todo c; e
ii) a.c ≤ b.c, para c > 0.
5.3. Intervalos nos reais
Suponha-se que a e b são números reais quaisquer, tais que a < b. Um inter-
valo8 limitado na reta de extremos a e b é um subconjunto de R que possui 
uma das seguintes formas:
8 Usa-se também para 
intervalo aberto a notação ]
a, b[ e para semiabertos ]a, 
b] ou [a, b[.
JAYRO FONSECA DA SILVA
24
a) Intervalo aberto (a , b) = { x ∈ ฀ ; a < x < b }
b) Intervalo fechado [a , b] = { x ∈ ฀ ; a ≤ x ≤ b}
c) Intervalo semi aberto à direita (a , b] = { x ∈ ฀ ; a < x ≤ b }
d) Intervalo semi aberto à esquerda [a , b) = { x ∈ ฀ ; a ≤ x < b}
Observe-se que os colchetes “[“ e “]” estão indicando que um dos extre-
mos pertence ao intervalo, e que os parênteses “(“ e “)” indicam que um dos 
extremos não pertence ao intervalo.
Representação geométrica dos intervalos
Para representar um intervalo na reta, utilizam-se dois tipos de bolinhas, a 
cheia, para indicar que o extremo pertence ao intervalo, e a vazia, para indi-
car que o extremo não pertence ao intervalo.
Exemplificando:
 
[2, 5] (2, 5) [2, 5)
Pode-se ainda definir outros intervalos utilizando os símbolos + ∞ (lê-
-se: mais infinito) para indicar a ideia de números positivos extremamente 
grandes e - ∞ (lê-se: menos infinito) para indicar a ideia de números negativos 
extremamente pequenos, como segue:
(a , + ∞ ) = { x ∈ ฀ ; x > a }
(- ∞ , b) = { x ∈ ฀ ; x < b }
[a , + ∞ ) = { x ∈ ฀ ; a ≤ x }
(- ∞ , b] = { x ∈ ฀ ; x ≤ b}
(- ∞ , + ∞ ) = ฀
Exemplo 1: Representar na reta os seguintes intervalos: (i) (2, 3); (ii) [2, 
3]; (iii) [2, 3); (iv) (2, 3]
(i): 
(ii): 
(iii): 
2 3
(iv): 
Matemática Elementar I
25
Exemplo 2: Faça uma representação gráfica do intervalo [-2, 4] Ç (0, 5]
Solução: Fazer a representação gráfica na reta de cada intervalo9 e 
achar a intersecção dos dois intervalos.
[-2, 4] : 
(0, 5] : 
[-2, 4] Ç (0, 5] = (0, 4] 
Para refletir
1. Se o comprimento de um intervalo de extremos a e b, a < b, é dado pela diferença 
b - a , e se A = [-1, 2] e B = (1, 3], determine o comprimento de cada um dos intervalos:
A, B, A ∩ B e A ∪ B.
2. Dado o intervalo [-3, 3), diga quantos números desse intervalo pertencem ao 
conjunto:
a ) ฀
b) ฀
c) ฀+
d) ฀
6. Leitura complementar
6.1. Conceitos fundamentais
Proposição: Afirmação verdadeira ou falsa.
Exemplo: o conjunto dos números naturais é fechado em relação à operação 
de divisão. (Proposição falsa).
Exemplo: o conjunto dos números inteiros é fechado em relação à operação 
de subtração. (Proposição verdadeira).
Axiomas ou postulados: Asserções aceitas como verdadeiras sem demons-
tração na teoria.
Exemplo: (5º postulado de Euclides) por um ponto fora de uma reta incide ape-
nas uma reta paralela a essa reta (não se demonstra na Geometria plana).
Teorema: É uma proposição aceita mediante demonstração.
9 A união de dois intervalos 
nem sempre é um intervalo.
Exemplo1: [1,3] ∪ (2, 5) é 
um intervalo.
Exemplo2: [1,3] ∪ [4, 5) não 
é um intervalo.
JAYRO FONSECA DA SILVA
26
Exemplo: se x < y, então x < 
x y+
2
 < y (proposição que pode ser demons-
trada: x < y ⇔ x + x < x + y ⇔ 2x < x + y ⇔ x < x y+
2
 
; do mesmo modo, 
x < y ⇔ x + y < y + y ⇔ x + y < 2y ⇔ 
x y+
2
 < y; logo, x < 
x y+
2
 < y ). 
Lema: Teorema preliminar que facilitará a demonstração de outro teorema 
subsequente.
Corolário: Decorrência imediata de um teorema.
Exemplo - Teorema: se um quadrilátero for retângulo, então suas diago-
nais são congruentes; corolário: Um quadrado tem diagonais congruentes. 
(Aplicação imediata do teorema demonstrado).
Observação: Hoje em dia, alguns teoremas são também chamados de pro-
posições, quando essa proposição é seguida de uma demonstração.
Exemplo: Proposição: se x é um número real maior que 1, então x2 > 1
Demonstrando: Temos:
 x > 1 (hipótese)
 x2 > 1 . (tese)
 x.x > x.1 (multiplicando ambos os membros por x o sinal 
 da desigualdade não se altera, x é positivo)
 x 2 > x (propriedades dos reais)
 Se x 2 > x e x > 1, então x2 > 1 (propriedade transitiva dos reais)
Algoritmo: Sequência ordenada de passos que deve ser seguida para a 
realização de determinada tarefa.
Exemplo: O algoritmo de Euclides cuja tarefa é determinar o máximo di-
visor comum de dois números inteiros diferente de zero. Suponha-se que 
se queira achar o máximo divisor comum dos números 144 e 84.
Inicialmente, considerando o dividendo como sendo 144 e o divisor 84,
 • 1º passo - resto(144/84) = 60 ≠ 0 ( como o resto da divisão é diferente de 
zero, o processo continua com os números 84 e 60);
 • 2º passo - resto(84/60) = 24 ≠ 0 ( como o resto da divisão é diferente de 
zero, o processo continua com os números 60 e 24);
 • 3º passo - resto(60/24) = 12 ≠ 0 ( como o resto da divisão é diferente de 
zero, o processo continua com os números 24 e 12);
 • 4º passo - resto(24/12) = 0 (resto sendo zero o processo é encerrado e o 
último resto diferente de zero é o mdc dos números);
Logo, o mdc(144,84 ) = 12.
Matemática Elementar I
27
6.2. Métodos de demonstrações matemáticos
Os quatro métodos mais utilizados na Matemática são: direto, indução, por 
equivalência ou contraposição e redução ao absurdo.
Método direto: Por meio de axiomas, definições, proposições, propriedades 
e teoremas, já conhecidos, chega-se à conclusão desejada.
Exemplo Proposição: se x e y são números ímpares, então, o produto xy é 
ímpar. Hipótese: x e y são números ímpares.
Tese: xy é impar.
Dado que x e y são números ímpares, por definição, x e y são da for-
ma x = 2m + 1 e y = 2n + 1, onde m e n são inteiros. O produto xy = (2m+1)
(2n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2( 2mn + m + n) + 1 = 2k + 1, considerando 
k = 2mn + m + n. Segue-se que xy é ímpar.
Método de indução: Seja P(n) uma propriedade descrita em termos de nú-
meros naturais.
1. A propriedade P(n) é verdadeira para n = no;
2. para cada n = k ≥ no, se P(k) é verdadeiro, então P(k+1) é também verda-
deiro; logo, a afirmação P(n) é verdadeira para todo n ≥ no.
Exemplo Proposição: Se S é a soma dos n primeiros números naturais, en-
tão S = 
n n +( )1
2
 .
Hipótese: Sn é a soma dos n primeiros números naturais.
Tese: Sn = 
n n +( )1
2
.
Muitas vezes, por elegância, evita-se o “se” e o “então” (ou fica suben-
tendido), e é feita uma afirmação passível de demonstração.
Afirmação: A soma S
n
 dos n primeiros números naturais é S
n
 = n n +( )1
2
.
Demonstração:
P(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = 
n n +( )1
2
, onde n é natural.
1) Para n = n
o
 = 1, S
1
 = 1 = 1 1 1
2
+( ) ) = 2
2
 = 1 é válida.
2) Se P(n) é válida para n = k, isto é, S
k
 = 1 + 2 + 3 + ... + k = 
k(k 1)
2
+
= é verdadeira, então S
k+1
 = 1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1 = 
k(k 1)
2
+
= + k + 
1 = 
2k k 2k 2
2
+ + + = é verdadeira; logo, p(n) é verdadeira 
para todo n natural, n ≥ 1.
JAYRO FONSECA DA SILVA
28
Método por equivalência ou contraposição: A partir da negação da tese, 
chega-se à negação da hipótese. Mostrar que se p então q é equivalente a 
mostrar que, não-q (~q), então não- p (~p). De outro modo, supõe-se que ~q 
é verdadeiro e mostra que ~p é verdadeiro.
Exemplo Proposição: Se p2 for um número ímpar, então p é ímpar. 
Hipótese: p2 é um número ímpar.
Tese: p é ímpar.
Demonstração: Uma proposição equivalente e bem mais simples seria partir 
da negação da tese para chegar à negação da hipótese. Assim sendo, se p 
não for ímpar, p é par. Logo, por definição, p = 2k, k inteiro. Daí: p2 = 4k2 = 
2(2k2) = 2n, n inteiro, é um número par,então p2 não é ímpar.
Método de redução ao absurdo: Consiste em:
1. admitir que o que se quer provar não é verdadeiro; e
2. pelo raciocínio dedutivo, chega-se a uma conclusão absurda, por conse-
guinte, o que se queria provar é verdadeiro.
Exemplo Afirmação: log2 3 não é um número racional.
Demonstração: Suponha-se que log
2
3 é um número racional positivo. Assim, 
log
2
3 = 
p
q
, onde p e q são inteiros positivos primos entre si. Por definição de 
logaritmo, 3 = 2p/q ⇔ 3q = 2p. Tem-se que:
(1) toda potência positiva de 3 é ímpar, então 3q é ímpar; 
(2) toda potência positiva de 2 é par, então 2p é par.
Com base nas afirmações (1) e (2), chega-se à conclusão de que um 
número ímpar é igual ao número par, o que é um absurdo. Portanto, log23 não 
é um número racional.
6.3. Mínimo múltiplo comum (MMC) e máximo divisor comum (MDC) 
Números primos
Um número natural p, maior do que 1, é um número primo se, e 
somente se, p tiver exatamente dois divisores distintos 1 e p.
Os quinze primeiros números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.
Matemática Elementar I
29
Teorema fundamental da Aritmética
Todo número inteiro positivo maior do que 1 pode ser expresso de 
maneira única como produto de números primos, a menos que haja 
permutação dos fatores. Assim, se n for natural maior do que 1, então
n = p r1 .p r2 .p3 ... pm , onde os ri’s são inteiros positivos e os pi’s são 
primos distintos.
Exemplo 1: n = 84 Exemplo 2: n = 24.750
84 2 24750 2
42 2 12375 3
21 3 84 = 22 . 31 . 71 4125 3 24.740 = 2.32.53.111
7 7 1375 5
1 275 5
55 5
11 11
1
Mínimo múltiplo comum (MMC)
Para determinar o mmc de dois ou mais números,
1. Decompor os números em fatores primos; e
2. O mmc dos números é determinado pelo produto dos fatores co-
muns e não comuns de maior expoente.
Exemplo: determinar o mmc de 84 e 24750.
MMC(84, 24750) = 22.32.53.71.111 = 346.500.
Máximo divisor comum (MDC)
Para determinar o mdc10 de dois ou mais números,
1. Decompor os números em fatores primos; e
2. O mdc dos números é determinado pelo produto dos fatores comuns 
de menor expoente.
Exemplo: determinar o mdc de 84 e 24750.
MDC(84, 24750) = 2.3 = 6.
Números primos entre si
Dois números inteiros a e b são ditos primos entre si quando o maior divi-
sor comum de a e b for igual a 1. Isto é:
a e b são primos entre si ⇔ mdc(a, b) = 1
10 Lembrar que o algoritmo 
de Euclides é outro recurso 
que pode ser utilizado para 
determinar o mdc de dois 
números inteiros positivos. 
Contudo, o procedimento 
anterior é mais geral.
JAYRO FONSECA DA SILVA
30
6.4. As frações
Denominações das frações
As frações positivas recebem denominações de acordo com o numerador (n) 
e o denominador (d), onde n e d são inteiros positivos.
i) Própria quando n < d. 
Exemplos: 
1 2 4
, ,
3 5 7
ii) Imprópria quando n > d. 
Exemplos: 
5 7 11
, ,
2 3 9
iii) Aparente quando n é múltiplo de d. 
Exemplos: 
6 10 21
, ,
3 5 7
iv) Forma unitária quando n = 1. 
Exemplos: 
1 1 1
, ,
2 5 12
v) Forma decimal quando d é uma potência de 10. 
Exemplos: 
1 3 211
, ,
10 100 10
Formas equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do inteiro
Exemplos: 
2 4 8
, ,
3 6 12
,... e 
2 6 18
, ,
5 15 45
,....
Formas irredutíveis quando n e d são primos entre si, não permite simplifi-
cação: 2 5 1, ,
3 7 2
.
Forma mista (ou número misto) é uma fração imprópria11 escrita na forma 
de soma de sua parte inteira com sua parte fracionária, sendo esta uma fração 
própria.
Em símbolo: 
c c ab c
a a
b b b
+
= + = , com c < b..
Exemplo 1: Transformar a fração mista 23
5
em fração imprópria:
2 2 3x5 2 17
3 3
5 5 5 5
+
= + = =
11 Para transformar uma 
fração imprópria numa 
fração mista, basta dividir 
o numerador da fração 
pelo seu denominador. O 
quociente da divisão será a 
parte inteira da fração mista 
e a parte fracionária terá 
o resto da divisão como 
numerador, mantendo-se 
o mesmo denominador da 
fração imprópria.
Matemática Elementar I
31
Exemplo 2: Transformar a fração imprópria 
34
7
 em fração mista:
34 7 7 7 7 6 4x7 6 4x7 6 6 6
4 4
7 7 7 7 7 7 7
+ + + + +
= = = + = + =
Exemplo 3: 
34
7
 34 7 Logo: 
34
7
6
4 .
7
=
 (6) 4
Exemplo 4: 105
30
 105 30 Logo: 
105 15 1
3 3 .
30 30 2
= =
 (15) 3
As frações têm duas formas de representação: a ordinária e a decimal
 • Forma ordinária: 1 2 13; ;
4 3 5
 etc .
 • Forma decimal: 0,25 ; 0,666 ... ; 2,6 etc.
Frações decimais finitas são frações ordinárias irredutíveis em que os deno-
minadores não apresentam fatores primos além de 2 e 5.
Exemplos: 
3 3.2 6
0,6
5 5.2 10
= = =
 
 
2
3 3 3 3
11 11 11.5 11.25 275
0,275.
40 2 .5 2 .5 10 1000
= = = = =
 
2 2 2 2
7 7 7.5 75 75
0,75.
20 2 .5 2 .5 10 100
= = = = =
As frações decimais infinitas periódicas são as frações ordinárias 
irredutíveis em que os denominadores são divisíveis por algum número 
primo distinto de 2 e 5.
Exemplos:
 • 2
3
 
= 0, 666... (3 é primo e distinto de 2 e 5)
 •
11
123 =1,1181818... (11 é número primo e distinto de 2 e 5)
 • 3
7
 
= 0, 428571428571428571... (7 é primo e distinto de 2 e 5)
JAYRO FONSECA DA SILVA
32
6.5. A ideia da dízima periódica
A chamada dízima periódica é um recurso que se utiliza para tentar represen-
tar qualquer fração ordinária sob a forma decimal.
Dada a fração 1
3
, por exemplo, não existe nenhum número inteiro n, n ≠ 0, 
que torne o denominador da fração 
1.n
3.n
 uma potência de 10. Assim, 1
3
 é uma 
fração ordinária que tem representação decimal periódica.
Para escrever a fração ordinária 1
3
 na forma decimal, ilimitada, basta 
expressar o número 1 com 1,0 ou 1,00 ou 1,000 etc, e efetuar a divisão por 3:
1,000 │3 
-9 0, 333
 10
 -9 
 10 .
 -9 
 1
Assim sendo, podemos escrever 1/3 = 0,33333 ..., onde as reticências 
significam que o número 0,33333 ... não é uma só fração decimal, mas uma 
sequência de frações decimais, as quais são valores aproximados de 1/3: 0,3 
0,33 0,333 0,3333 0,333333 etc.
Logo, 1/3 pode ser expressa como uma soma infinita:
1 3 3 3 3 3 3
...
3 10 100 1000 10000 100000 1000000
= + + + + + +
A geratriz de uma dízima periódica
O problema inverso do estudo acima é achar a geratriz de uma dízima peri-
ódica, ou seja, determinar a fração ordinária conhecendo sua dízima repre-
sentativa.
Achar a dízima periódica : 1
3
 
= 0, 33333... Processo inverso, achar a 
geratriz : 0, 3333... = 1
3
.
Dízimas simples e dízimas compostas
Quando o denominador da fração ordinária irredutível for primo com 10, a 
dízima gerada é simples (ex. 1 e 2) e, quando o denominar contiver os fatores 
2 e 5, além de outro primo, a dízima gerada é composta (ex. 3).
Matemática Elementar I
33
Exemplos:
 • 5
3
 
= 1, 666... 
(3 é primo e distinto de 2 e 5)
 • 5 5
21 3.7
= = 0, 238095238095238095... 
(3 e 7 são primos e distintos de 2 e 5)
 •
53
30
 = 1, 7666...
(30 = 2.5.3 contém os fatores 2 e 5 , além do fator 3)
Numa dízima periódica, o número que se repete, após a vírgula, é cha-
mado de período da dízima periódica; caso haja outro número, após a vírgula, 
que não esteja repetido, ele é chamado de parte não periódica.
Uma dízima periódica é dita composta se ela tem a parte não 
periódica, caso contrário, ela é denominada dízima periódica simples.
Dízimas periódicas simples
Exemplo: Achar a geratriz (g) da dízima periódica simples 0,33333 ... 
Fazer g = 0,33333 ... (∗)
Como o período é um número formado por um algarismo, multiplicam-
-se ambos os membros da igualdade (∗) por 10: 10g = 3,33333 ..., em seguida, 
subtrai-se a primeira equação (g) da segunda (10g).
10g = 3,3333 ...
- g = 0,3333 ... 
9g = 3,0000 ... = 3 9g = 3 g = 
3 1
9 3
= .
Regra prática
A geratriz (g) de uma dízima periódica simples é a parte inteira mais a fração 
cujo numerador é formado pela parte periódica e o denominador por tantos 
noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
 • 0, 999... = 9
9
 
=1 
 • 3, 535353... = 3 + 0, 535353... = 3 +
 53 350
99 99
=
JAYRO FONSECA DA SILVA
34
 • 0,142142142... = 
142
999
Dízima periódica composta
Exemplo: Achar a geratriz da dízima periódica composta 0,235555 ... 
Fazer g = 0,235555 ... (∗ ∗)
Como a parte não periódica é um número formado de dois algarismos, 
multiplicam-se os membros da igualdade (∗ ∗) por 100:
100g = 23,5555 ... (∗ ∗ ∗)
Como a parte periódica é um número formado por um algarismo, multi-
plicam-se ambos os membros da igualdade (∗ ∗ ∗) por 10:
1000g = 235,5555 ... (∗ ∗ ∗ ∗)
Subtrai-se membro a membro da igualdade (∗ ∗ ∗) da igualdade (∗ ∗ ∗ ∗), 
temos:
 1000g = 235,555 ...
- 100g = 23,555 ... 
900g = 235 - 23 g = 
235 23 212
900 900
−
=
Regra prática
A geratriz de uma dízima periódica composta é a parte inteira mais a fração 
cujo numerador é igual à parte não periódica, seguida de um período e menos 
a parte não-periódica; e o denominador é o número formado por tantos noves 
quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos forem 
os algarismos da parte não periódica.
 0, 2717171... = 271 2 269
990 990
−
=
Exemplo:
 2, 5888... = 58 5 53 2332 2
90 90 90
−
+ = =
Observação
Alguns autores já utilizaram parênteses ou barra, no lugar de reticências, para 
indicar o período de uma dízima periódica.
Exemplos:
 • 0, 3 = 3 1
9 3
= 0, 27 = 27
99
 
Matemática Elementar I
35
 • 0,2(5) = 25 2
90
− 1,23(1) = 231 23 2081
900 900
−
= .
Observação
Todo número inteiro pode ser expresso como uma dízima periódica sim-
ples de período nove. Dado que 0,999... = 1, então, para todo número inteiro 
N, a dízima periódica simples N,999...
Pode ser escrita como: N,999... = N + 0,999... = N + 1 que é inteiro.
Exemplos:
• 10,999... = 10 + 0,999... = 10 + 1 = 11
• -7,999... = -7 + 0,999... = -7 + 1 = - 6
Pergunta: É possível 
chegar a alguma conclusão 
a partir dos dois últimos
exemplos apresentados?
Desafio: Reescrever, como 
número decimal exato, a 
dízima 7,137999 ...
Capítulo 2
Operações com números reais
Matemática Elementar I
39
Objetivos
 • Conceituar o valor absoluto de um número real e discutir suas principais 
propriedades.
 • Operar com valor absoluto de um número real.
 • Ampliar as operações fundamentais, a partir da operação de potenciação e 
da radiciação de números reais.
 • Compreender o significado de radicais simples e duplos e aplicar as técni-
cas operatórias na resolução de exercícios.
Neste capítulo apresentam-se o conceito de valor absoluto, e o seu signifi-
cado geométrico, bem como seus principais teoremas e propriedades con-
substanciados em exercícios com resolução comentada. Em seguida, serão 
destacadas as operações de potenciação envolvendo expoentes inteiros e 
fracionários, dando ênfase ao conceito de notação científica tão presentes em 
textos científicos, e de radiciação que pelo processo operacional com radicais 
simples e duplos, se pode chegar à racionalização de termos de uma fração 
que seja irracional.
1. Valor absoluto
1.1. Distância entre dois números reais
Definição 1: Dados dois números reais a e b tais que a ≤ b, então a distância 
entre a e b é o número real não negativo b – a.
Exemplo: A distância entre os números, -2 e 7 pode ser obtida pela diferença: 
7 - (-2) = 7 + 2 = 9.
Para representar a distância de um número real qualquer x à origem do 
sistema de coordenadas, utiliza-se a notação | x |, chamada valor absoluto de 
x ou módulo de x.
JAYRO FONSECA DA SILVA
40
Definição 2: Considerando a definição de distância entre dois números e a 
notação de distância entre 0, origem, e um número real qualquer x, indicada 
por | x |; tem-se:
i) se x < 0, então a distância entre x e 0 é | x | = 0 – x = - x;
ii) se x = 0, então a distância entre x e 0 é | x | = 0 – x = 0 = x; e 
iii) se x > 0, então a distância entre x e 0 é | x | = x – 0 = x.
Assim, com base nessa interpretação geométrica, pode-se definir o va-
lor absoluto de um número real x, como segue.
O valor absoluto ou módulo de um número real x, denota-se por
=
Exemplos: | 2 | = 2 ; | -3 | = - ( -3 ) = 3 ; | - π | = π .
Teorema 1: Se a e b são números reais quaisquer, então | a – b | representa 
a distância entre a e b. Dem.- Pela lei da tricotomia, se a e b são reais quais-
quer, pode ocorrer uma das três situações:
a < b ou a = b ou a > b
1ª) Se a < b ↔ a – b < 0, pela def2 , | a – b | = - (a – b) = -a + b = b – a. Mas, 
pela def1, b – a é a distância entre a e b.
2ª) Se a = b ↔ a – b = 0, pela def2 , | a – b | = a – b = 0. Mas, pela def1, 0 é a 
distância entre a e b.
3ª) Se a > b ↔ a – b > 0, pela def2 , | a – b | = a – b. Mas, pela def1, a 
- b é a distância entre a e b. Logo, dados quaisquer a e b reais, 
| a – b | representa a distância entre a e b.
1.2. Propriedades do valor absoluto 
Se x é um número real qualquer, pode-se demonstrar que:
V1 : | x | ≥ 0
V2 : | x | ≥ x
V3 : 2x = | x |
V4 : | x | = | -x |
V5 : | x |
2 = | x2 | = x2
V6 : - | x | ≤ x ≤ | x |
Matemática Elementar I
41
V7 : | x | ≤ a se e somente se –a ≤ x ≤ a , com a > 0.
V8 : | x | ≥ a se e somente se x ≥ a ou x ≤ -a , com a > 0
Demonstrações das propriedades. 
Seja x um número real qualquer. Então:
(V1) x ≥ 0 ⇒ | x | = x, daí pode-se concluir que | x | ≥ 0
x < 0 ⇒ | x | = - x. Mas, x < 0 ⇔ - x > 0, então | x | = - x > 0. Conclusão: 
Para todo x, | x | ≥ 0.
(V2) x ≥ 0 ⇒ | x | = x. A igualdade ocorre quando x ≥ 0.
x < 0 ⇒ | x | = - x. Mas, x < 0 ⇔ - x > 0, observe que –x é positivo. 
Logo, como todo número positivo é maior que qualquer número ne-
gativo, - x > x. Então, | x | = - x. > x. Assim, a desigualdade ocorre 
quando x < 0.
Conclusão: para todo x, | x | ≥ x.
(V3) x ≥ 0 ⇒ 
2x = x = | x |, pois x ≥ 0.
x < 0 ⇔ -x > 0. Mas, (-x)2 = (x)2 . Então 2x = 2( x)− = − x = | x |, 
pois x < 0.
Conclusão: para todo x, 
2x = | x |.
(V4) Tem-se, por V3, que 
2x = | x | , para todo x.
Mas, sendo (x)2 = (-x)2 , 2x = 2( x)− = | -x |
Conclusão: para todo x, | x | = | -x |.
(V5) Para todo x, x
2 ≥ 0.
Por definição, | x |2 = | x | | x |. Por V3, | x | | x | = 2x . 2x = 
= 
2 2(x ) = | x2 |, mas, x2 ≥ 0. Então | x2 | = x2.
Conclusão: para todo x, | x |2 = | x2 | = x2.
(V6) Para todo x, em V2, x ≤ | x | ou -x ≤ | -x |.
Mas, para todo x, | x | = | -x | ≥ - x ⇔ - | x | ≤ x.
Logo, - | x | ≤ x ≤ | x |, para todo x.
JAYRO FONSECA DA SILVA
42
(V7) | x | ≤ a ⇔ | x |2 ≤ a2 , por V5, x2 ≤ a2 ⇔ x2 - a2 ≤ z ⇔ (x-a)(x+a) ≤ 0 ⇔ 
x-a ≥ 0 e x+a ≤ 0 ou x-a ≤ 0 e x +a ≥ 0. A primeira condição é impossível 
( x ≥ a e x ≤ -a, com a > 0 ). Então a segunda condição é válida, x ≤ a e 
x ≥ -a, ou seja, -a ≤ x ≤ a , com a > 0.
(V8) Por def., | x | = x ou | x | = -x. Se | x | ≥ a, | x | = x ≥ a ou | x | = -x ≥ a. 
Daí, x ≥ a ou -x ≥ a, isto é, x ≥ a ou x ≤ -a.
Teorema 2: Se x e y são números reais quaisquer, então:
i) | xy | = | x || y |
ii) 
x
y
 
= 
x
y
 
, onde y ≠ 0.
iii) | x + y | ≤ | x | + | y | ( Desigualdade triangular)
iv) | x – y | ≥ | x | - | y | 
v) | x – y | ≤ | x | + | y | 
vi) | | x | - | y | | ≤ | x – y |
Demonstrações:
i) 
ii) 
2 2 2
2 2
xx x x x
y y y yy
 
= = = = 
 
iii) Por V6 , - | x | ≤ x ≤ | x | e - | y | ≤ y ≤ | y |, somando membro a 
membro, tem-se, - | x | + ( -| y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y | ⇔ - ( | x | + | y | ) 
≤ x + y ≤ ( | x | + | y | ) ⇔ | x + y | ≤ | x | + | y |.
iv) por (iii), | x | = | x – y + y | ≤ | x – y | + | y |. Logo, | x – y | ≥ | x | - | y |
v) por (iii), | x – y | = | x + (-y) | ≤ | x | + | -y | = | x | + | y |. 
Então, | x – y | ≤ | x | + | y |. 
vi) ( x – y )2 = x2 + y2 – 2xy ≥ | x |2 + | y |2 – 2| xy | = | x |2 + | y |2 – 2| x | |y | 
= ( | x | - | y | )2. Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, fica; 
2(x y− ≥ 2( x y )− . Pela propriedade V3, temos: | x - y | ≥ | | x | - | 
y | | ou | | x | - | y | | ≤ | x - y |
Matemática Elementar I
43
Exercícios resolvidos
1. Resolva a equação: (a - 2)2 – 9 ≤ 0
Solução
Se (a - 2)2 – 9 ≤0
⇔ (a - 2)2 ≤ 9 (propriedade de desigualdade)
⇔ 2(a 2)− ≤ 9 (raiz quadrada de números positivos mantém a desigualdade)
⇔ |a – 2| ≤ 3 (propriedade V3 de valor absoluto)
⇔ -3 ≤ a – 2 ≤ 3 (propriedade V6 de valor absoluto)
⇔ -1 ≤ a ≤ 5 (propriedade de desigualdade: somar +2 nos três ambos nos 
 membros na altera as desigualdades)
Logo: Conjunto-solução S = [-1, 5]
2. Dados dois números distintos x e y, mostrar que a expressão M(x, y) dá o maior dos 
dois números x e y, onde
M(x, y) = x yx y
2 2
−+
+
Solução
Se x for maior que y, x-y > 0. Pela definição de valor absoluto, ter-se-á:
M(x, y) = x yx y x y x y x y x y 2x x
2 2 2 2 2 2
−+ + − + + −
+ = + = = =
Se x for menor que y, x-y < 0. Pela definição de valor absoluto, ter-se-á:
M(x, y) = x yx y x y x y x y x y 2y y
2 2 2 2 2 2
−+ + − + + − +
+ = + = = =
Assim, pode-se escrever:
 
x , se x > y
M(x, y) ={
 y , se y > x
3. Se |x| ≤ 2 e |y| ≤ 5, x < y, indique com V ou F, caso a afirmação seja verdadeira ou 
falsa.
( ) -2 ≤ x-y ≤ 5 
( ) 0 ≤ y - x ≤ 7 
( ) -7 ≤ y - x ≤ 0 
( ) 0 ≤ x - y ≤ 7
Solução
|x| + |y| ≤ 7 (pela propriedade P9 dos números reais)
⇔ | x - y | ≤ |x| + |y| ≤ 7 (teorema (v) de valor absoluto)
⇔ 0 ≤ | x - y | ≤ 7 (pela propriedade P9 dos números reais)
⇔ 0 ≤ -(x – y) ≤ 7 (definição de valor absoluto)
⇔ 0 ≤ y - x ≤ 7 (pela propriedade distributiva dos reais)
⇔ -7 ≤ x-y ≤ 0 (pela propriedade P3 dos números reais)
Para refletir
1. Encontrar os valores de x que satisfazem as igualdades ou desigualdades abaixo:
a) | 2x + 1 | = | x | 
b) | x + 2 | ≤ 3
2. Determine o menor valor de M, de modo que a desigualdade | 4x3 + x2 + 2x | ≤ M, 
onde | x | ≤ 3. ( Sugestão: usar a desigualdade triangular)
3. Escreva o intervalo I = { x Î  ; |x - 2| < 1 } na forma [a, b].
JAYRO FONSECA DA SILVA
44
4. Use V ou F, conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa:
( ) |x| = - x 
( ) |x| + |x| = |2x| 
( ) | x3 | = x3
( ) 2x = x.
2. Potenciação
2.1. Definição e propriedades
A potenciação é a operação que permite abreviar números que podem ser 
expressos como produto de fatores iguais e simplificar cálculos envolvendo 
esses números, sejam eles grandes ou pequenos.
Definição: Sejam a e n dois números naturais, a ≠ 0. A potência de base a e 
expoente n é o número denotado por an tal que:
 a, para todo n maior ou igual que 1
Com base nessa lei de recorrência, pode-se afirmar que:
 • a1 = a1– 1 . a = a0 . a = 1 . a = a 
 • a2 = a2 – 1 . a = a1 . a = a . a
 • a3 = a3 – 1 . a = a2 . a = a . a . a
 • a4 = a4 – 1 . a = a3 . a = a . a . a . a
Logo, para todo n natural, n > 1, pode-se expressar an como produto de 
n fatores iguais a a. 
Assim: an = a . a . a . a . a . ... . a
 n fatores
Exemplos: 
i) 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 
ii) 20 = 1 
iii) 111 = 11
Propriedades: Sejam a e b números reais, m e n números naturais, então: 
P1 : a
m . an = am + n
P2 : a
m : an = am – n , a ≠ 0 e m > n
P3 : ( a . b )
m = am . am
P4 : ( a : b )
m = am : bm
Matemática Elementar I
45
P5 : ( a
m )n = am.n
P6 : =
n nm (m)a a
2.2. Potência com expoente inteiro
Seja a um número real qualquer diferente de zero e n um número inteiro qual-
quer. Então:
n
n
1
a .
a
− =
Com base nessa definição, todas as propriedades de potência sobre os 
naturais são válidas para os inteiros. Além disso, a propriedade P2 passa a ser 
válida para todo m e n inteiros:
am : an = am – n , a ≠ 0.
Exercícios resolvidos
1. Calcular o valor de cada uma das expressões:
a) (-9)2 x (-3)3 x (27)2
b) 
4n 1 14n 1
3n 1 11n 2
2 2
4 2
+ +
+ +
−
+
c) 5 3
10
10 x20 x50
2
Soluções:
(a) (-9)2 x (-3)3 x (27)2 = (32 )2 x -(3)3 x (33)2 = 34 x -(3)3 x 36= - 34+3+6 = -313.
(b) 
4n 1 14n 1 4n 1 14n 1 4n 1 10n 10n
(4n 1) (6n 2)
3n 1 11n 2 6n 2 11n 2 6n 2 5n 5n
2 2 2 2 2 (1 2 (1 2
2
4 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 )
+ + + + +
+ − +
+ + + + +
− − − −
= = = =
+ + + +
 
 
 
10n
2n 1
5n
(1 2
2 ...
(1 2 )
− − −= =
+
Na próxima unidade, ter-se-á acesso a mais recurso para simplificar ainda mais essa 
expressão.
(c) 5 3 5 4 3 2 5 5 12 3 2
6 3 6 18 6
10 x20 x50 (2x5) x(2 x5) x2x5 2 x5 x2 x5 x2x5
40 (2 x5) 2 x5
= = =
 
5 12 1 5 3 2 18 10
10 6 4
18 6 18 6
2 x5 2 x5
5 5 625
2 x5 2 x5
+ + + +
−= = = =
2. Calcule:
a) 
0
2 2
( 2)
1
( 5) 4
5
3 1−
 − − +  
 
+
b) 
1
1
23 2
2 3
−
   ÷   
   
JAYRO FONSECA DA SILVA
46
Soluções:
(a) 
0
2 2
( 2)
2
1
( 5) 4
25 16 1 10 9x105
9
1 1 93 1 10
1
3 9
−
 − − +   − +  = = = =
++ +
(b) 
1
1 1 1/2 1/2
23 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3 3
−
         ÷ = ÷ = =         
         
Para refletir
1. Identificar, na sequência de igualdades i
1
, i
2
, i3, i4 e i5, qual delas gerou o absurdo.
6
3 621 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1− = − = − = − = = i1 i2 i3 i4 i5 
2. Transformar a soma de potências em produto de potências: 23 2 3(2 ) 2+ .
3. Quantos algarismos tem o número 729 x 4134 x 5131?
4. Se x.y ≠ 0, simplificar a expressão (x-1 – y-1)(x-2 – y-2)-1.
3. Radiciação
3.1. Definição e nomenclatura
Radiciação é a operação através da qual dados um número real a, a > 0, pode-
-se encontrar um só número real b, tal que b elevado a um número natural n, 
n >1, seja igual a a, isto é, bn = a. Essa operação é a inversa da potenciação.
Nomenclatura e representação
A operação de radiciação é representada por uma expressão do tipo b = n a , de-
nominada de raiz enésima (ou n-ésima) de um número real a, em que o núme-
ro a é chamado de radicando, e o número natural n de índice.
Seja a um número real e n um número natural par, diferente de zero, ou 
seja, n = 2.k, onde k é um número inteiro.
i ) Se a > 0, então n a é igual ao número real b positivo ou nulo, tal que bn = a. 
ii) Se a < 0, então n a não existe no conjunto dos números reais ฀ .
Matemática Elementar I
47
Exemplos
9 = 3,
4 16 = 2,
9− não existe.
Raízes com índice ímpar
Seja a um número real e n um número natural ímpar, n > 1, ou seja, 
n = 2.k - 1, onde k é um número inteiro, então n a é igual ao único número 
real b, tal que bn = a.
Exemplos
3 8 = 2, 5 1− = − 1, 3 8− = − 2 .
3.2. Propriedades de radiciação
Sejam a e b números reais positivos e m, n, p números naturais maiores que 
1. Então:
P1 : 
n 2a a=
P2 : 
n.pn m m.pa a=
P3 : 
m m.nn a a=
P4 : n n na. b a.b=
P5 : 
n
n
n
a a
b b
=
3.3. Operações com radicais
Adição e subtração: Para adicionar ou subtrair expressões envolvendo ra-
dicais, é necessário que eles tenham o mesmo índice e o mesmo radicando.
Exemplo: a c b c (a b) c+ = + e a c b c (a b) c− = − .
Multiplicação e divisão: Para multiplicar ou dividir expressões envolvendo 
radicais, é necessário apenas que eles tenham os mesmos índices.
Exemplo: a c.b d ab c.d= ou a c : b d a : b c : d=
Exemplo:
3 6 6 6 66 62 3 4 3 4 3 4 7 6 6x. x x . x x .x x x x .x x x+= = = = = =
JAYRO FONSECA DA SILVA
48
3.4. Potência com expoente racional
Seja a um número real positivo qualquer e n um número da forma 
p
q
, onde p 
e q são números inteiros, q ≠ 0. Então:
p
qn pqa a a= =
Exemplos: 
 •
1
333 3= ,
 •
3
322 2= ,
 •
1
4
1 4
4
1 1
5
5
5
−
= =
1
45
−
= = .
Propriedades
Sejam a e b números reais positivos quaisquer, m e n números da forma 
p
q
m = e 
r
s
n = onde p, q, r, s são números inteiros, q, s ≠ 0. Então :
P1 : 
p p rr
q q ssa b a
+
⋅ =
p r
q sa
−
=
p r
q sa
+
⋅ =
−
=
P2 : 
p p rr
q q ssa : b a
−
=
p r
q sa
−
=
p r
q s
−
=
−
=
P3 : 
p p p
q q q(a b) a b⋅ = ⋅
P4 : 
p
p
q
q
p
q
a a
b
b
  = 
 
P5 : 
p p r
r
q q s
sa a
⋅ 
=  
 
3.5. Racionalização
Racionalizar o denominador (ou o numerador) de uma fração significa trans-
formar o número irracional que ali aparece no denominador (ou numerador) 
da fração em um número racional.
Exemplo: Racionalizando o denominador da fração 3
2
, temos: 
3 3 2 3 2
22 2 2
= = .
Matemática Elementar I
49
Exemplo: Racionalizando o numerador da fração12, temos:
3.6. Radicais duplos
Se a e b são números inteiros positivos, chama-se de radical duplo a 
todo radical da forma a b± , onde b não é um quadrado perfeito em ฀. 
Os radicais duplos em geral aparecem na resolução de equações biquadra-
das. Esses radicais, em alguns casos, podem ser expressos como soma de 
radicais simples, isto é:
a b x y± = ±
Para verificar a possibilidade de existência de x e y, elevam-se ambos 
os membros da equação ao quadrado:
2 2( a b ) ( x y ) a b x y 2 xy x y 4xy± = ± ⇒ ± = + ± = + ±
Comparando a primeira expressão com a última, ter-se-á:
x + y = a e 4xy = b ⇔ x + y = a e xy = b/4
É fácil observar que as duas equações anteriores dão origem à equa-
ção do segundo grau de raízes x e y. Assim sendo, z2 – az + b/4 = 0, onde ∆ = 
a 2 − 4.1.b / 4 = a 2 − b . Se ∆ for não negativo, tem-se 2c a b= − e as raízes 
da equação podem ser expressas em termos de a e c:
a c e a cy
2
−
= .
Daí:
a c a c
a b
2 2
+ −
± = ±
Exercícios resolvidos
1. Expressar o radical 2 3+ como soma de radicais simples:
Solução: se a = 2 e b = 3, então 2 2c a b 2 3 1 1= − = − = = . Logo:
2 1 2 1 3 1
2 3
2 2 2 2
+ −
+ = + = +
2. Transforme o radical 4 2 3+ em soma de radicais simples:
Solução: inicialmente, escrever o radical dado na forma padrão:
4 2 3 4 4.3 4 12+ = + = +
Assim: a = 4 e b = 12, então 2 2c a b 4 12 16 12 4 2= − = − = − = = . 
Logo: 4 2 4 2 6 2
4 2 3 3 1
2 2 2 2
+ −
+ = + = = = +
12 Comentário de Ivan 
Niven, autor do livro 
"Números: racionais e 
irracionais", sobre fração: 
“ ... os termos número 
racional e fração ordinária 
são, às vezes, usados 
como sinônimos; a palavra 
fração, sozinha, é usada 
para designar qualquer 
expressão algébrica com 
um numerador e um 
denominador, como, por 
exemplo: 
3
2
, 
17
x
 ou 
2 2
2 2
x y
x y
−
− ”
JAYRO FONSECA DA SILVA
50
4. Notação científica
4.1. O que é notação científica
A notação científica é uma forma de representação de números, sejam eles 
grandes ou pequenos, muito útil na área das ciências exatas, tais como 
Astronomia, Química, Biologia, Física etc.
Forma padrão: N . 10n , onde n é inteiro e 1 ≤ N ≤ 9. O número N é cha-
mado de mantissa e n a ordem de grandeza.
Exemplos:
 • 3,1 . 105 ( mantissa 3,1 e ordem de grandeza 5);
 • 1,2003 . 103 ( mantissa 1,2003 e ordem de grandeza 3); e 
 • 2 . 10-7 ( mantissa 2 e ordem de grandeza -7 ).
Para registrar um número grande, desloca-se a vírgula para a esquerda 
até posicioná-la antes do primeiro algarismo significativo e o expoente de 10 é 
determinado pelo número de algarismos compreendidos entre as duas posi-
ções da vírgula, anterior e atual.
Exemplo 1: Transcrever o número 5386002,31 para notação científíca.
1º passo: Mover a vírgula para a esquerda e posicioná-la antes do último 
algarismo: 5,38600231
2º passo: Para determinar a potência de 10, basta contar o número de al-
garismos compreendidos entre as duas posições da vírgula, inicial e final, e 
concluir que a grandeza é 6.
Conclusão: A notação científica do número 5386002,31 é 5,38600231 . 106 .
Exemplo 2: A massa da Lua em quilograma é aprox. 73.600.000.000. 
000.000.000.000, ou seja,
Para registrar um número decimal pequeno, desloca-se a vírgula para 
a direita até que ultrapasse o primeiro algarismo significativo e o expoente de 
10 é o número inteiro negativo determinado pela quantidade de algarismos 
compreendidos entre as duas posições da vírgula, atual e anterior.
Exemplo 3: Massa do átomo de hidrogênio, em grama:
Matemática Elementar I
51
Para refletir
1. Transcreva os números para notação científica. 
a) 0,0000000003231 
b) 4853,21
4.2. Operações na notação científica
a) Adição e subtração: para somar ou subtrair dois números em notação 
científica, é necessário que os números tenham a mesma ordem de gran-
deza, isto é, mesmos expoentes.
Exemplo 1: 2 . 103 + 4 . 103 = (2 + 4) . 103 = 6 . 103
Exemplo 2: 7 . 103 + 4 . 102 = 70 . 102 + 4 . 102 = (70+4) . 102 = 74 . 102 = 7,4 . 103
b) Multiplicação: Para multiplicar dois números em notação científica, multi-
plicam-se as mantissas e somam-se os expoentes.
Exemplo: ( 1,5 . 103 ) ( 2 . 104 ) = (1,5 . 2) . 103+4 = 3 . 107
c) Divisão: Para dividir dois números em notação científica, dividem-se as 
mantissa e subtraem- se os expoentes.
Exemplo: ( 6 . 103 ) : ( 2 . 105 ) = (6 : 2) . 10-2
Exercícios resolvidos
1. Escrever os números na forma científica: 
a) 2326,0031; 
b) 0,000127. 
Solução:
a) Movendo a vírgula três posições para esquerda, fica: 2326,0031 = 2,3260031 x 103
b) Deslocando-se a vírgula quatro posições para direita, fica: 0,000127 = 1,27 x 10-4
2. Dados os números a = 1,2 x 102 e b= 2,3 x 10-2, calcule: 
(i) a + b; 
(ii) a.b. 
Solução:
(i) Inicialmente reduzir os números a uma mesma ordem, b, por exemplo:
b = 2,3 x 10-2 = 0,00023 x 102. Daí,vem: a+b = 1,2 x 102 + 0,00023 x 102 = 1,20023 x 102
(ii) a.b = (1,2 x 102 )(2,3 x 10-2) = (1,2 x 2,3)(102 x 10-2) = 2,76 x 100 = 2,76
JAYRO FONSECA DA SILVA
52
Atividades de avaliação
1. Dados os números x = 147 e y = 0,0021:
a) escreva x e y em notação científica;
b) considerando as formas de x e y do item (a), calcule: x.y e x
y
2. Transcreva os números para notação científica.
a) 0,0000000003231 
b) 4853,21
Exercícios resolvidos
1. Demonstrar que, para todo x real, x2 ≥ 0
Dem.: Se produto de números positivos é positivo, teremos:
∀ x > 0 ⇒ x.x > x.0 ⇔ x2 >0 (propriedade P
2
)
∀ x, x < 0 ⇔ -x > 0 (propriedade P6 – iv)
Então, (-x).(-x) > 0 ⇔
(-1)x.(-1)x > 0 (demonstração (2))
(-1)(-1)(x.x) > 0 (associativa multiplicativa)
1(x.x) > 0 (combinando dem(2) e dem(3) fazendo x =1 em -(-x) = (-1)(-x) = x)
x2 > 0 (elemento neutro multiplicativo)
Sabemos que x.0 = 0, ∀ x. fazendo x = 0 teremos: 0.0 = 0. 
Logo, x2 ≥ 0, para todo x real.
2. Se x ≥ 0 e y ≥ 0, mostrar que x ≤ y se, e somente se x2 ≤ y2. 
Dem.: ⇒ Se x ≤ y , então x.x ≤ x.y e y.x ≤ y.y ( x.y = yx, comutatividade)
Por transitividade: x.x ≤ y.y ⇔ x2 ≤ y2
⇐ Se x2 ≤ y2, então 2 2x y≤ ( x2 e y2 são não-negativos)
⇔ | x | ≤ | y | ⇔ x ≤ y (temos que x ≥ 0 e y ≥ 0).
3. Mostre que o número 1
2
 (x + y), chamado média aritmética de x e y, é o ponto mé-
dio do segmento [x, y] e ache os pontos correspondentes a um quarto e de um terço 
do intervalo.
Dem.: 
O comprimento de um intervalo qualquer [x, y] é dado pelo número não negativo y – x.
a) Seja xm o ponto médio de [x, y].
Então: xm = x + 1
2
 ( y − x) (ponto médio do intervalo é x mais a metade do intervalo)
ou xm = x + 1
2
y – 1
2
x = 1
2
x + 1
2
y = x y
2
+
b) O comprimento de um quarto do intervalo [x, y] é 1
4
 
(y-x). Logo, o ponto do inter-
Matemática Elementar I
53
valo procurado é xq = x + 1
4
(y-x) = 3
4
 x + 1
4
y = 3x y
4
+
.
c) De maneira análoga, o comprimento de um terço do intervalo [x, y] é
 
(y-x). Então:
x = x + 1
3
 (y-x) = 2
3
 x + 1
3
 y = 2x y
3
+
.
4. Seja 0 < x < y. O número xy , chamado de média geométrica de x e y, mostre 
que: 
a) x < xy < y 
b) xy < x y
2
+
Dem.: (a) Se x < y ⇒ x.x < x.y ⇒ 2x < xy ⇔ | x | < xy ⇔ x < xy
Se x < y ⇒ y.x < y.y ⇔ xy < y.y ⇒ xy < 2y ⇔ xy < | y | ⇔ xy < y
Por transitividade: x < xy < y.
Dem. : (b) Considerando que qualquer número real ao quadrado é sempre maior ou 
igual que zero (exercício (1) – iv), então ( x − y )
2 ≥ 0 . Desenvolvendo o quadrado, 
fica:
( x )2 − 2 x y + ( y )2 ≥ 0 ⇔ x – 2 xy + y ≥ 0 ⇔ x +y ≥ 2 xy ⇔
⇔ 2 xy ≤ x + y ⇔ xy < x y
2
+ .
5. Dado um número k > 0, determine o número N > 0 tal que | 1 1
n 1
−
+
|<k sempre que n > N.
Solução: Tem-se que: | n 1
n 1
−
−
| < k ⇔ | 1
n 1−
| < k ⇔ 1
n 1−
 < k ⇔ 1
k
 < | n − 1 | ⇔ n 
− 1 > 1
k
 ou n − 1 < − 1
k
, ou seja, n > 1+ 1
k
 ou n < 1− 1
k
 . Se a condição exigida: n > N, 
então basta tomar N = 1 + 1
k
 .
6. Resolver as equações: a) | x | = | 2x + 4| b) | x + a | ≤ 1
Solução: o resultado do exercício 02 pode ser aplicado nos dois itens (a) e (b).
a) | x | = | 2x + 4 | ⇔ | x |2 = | 2x + 4 |2 ⇔ x2 = (2x + 4)2 ⇔ x2 = 4x2+ 16x + 16 ⇔ 3x2 
+ 16x + 16 = 0. Sendo ∆ = 64, fica: x = -4 ou x –4/3.
b) | x + a | ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x + a ≤ 1 ⇔ -1 –a ≤ x ≤ 1 + a.
7. Racionalizar o numerador de cada uma das expressões:
a) 1 1+ − −t t
t
b) x
x
−
−
1
1
3
Solução:
(a) Multiplicando o numerador e denominador da expressão pelo fator de racionaliza-
ção do numerados que é 1 t 1 t+ + − , tem-se:
2 21 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t (1 t) (1 t) 1 t 1 t(1 t) ( 1 t )
.
t t t1 t 1 t
+ − − + − − + + − + − + − − − + − −
= =
+ + −
2 2 2(1 t) ( 1 t ) t 3t t(t 3) t 3
t(1 t 1 t) t(1 t 1 t) t(1 t 1 t) 1 t 1 t
+ − − + + +
= = = =
+ + − + + − + + − + + −
b) De maneira análoga, multiplicando o numerador e o denominador da expressão 
pelo fator de racionalização do numerador, que é 3 2 3x x 1+ + , tema que será abor-
JAYRO FONSECA DA SILVA
54
dado na aula 03, ter-se-á:
3 3 3 32 3 2 23 3 3 3 3
33 22 33
x 1 x 1 x x 1 x x x x x 1
x 1 x 1 x x 1 (x 1)( x x 1)
− − + + + + − − − −
= = =
− − + + − + + − + +
3
3 3 32 2 23 3 3
1 x 1
(x 1)( x x 1)
− − + + + + − − − −
= = =
− − + + − + + − + + 3 2 3
1
x x 1
=
+ +
8. Qual das cinco afirmações seguintes é incorreta? Justificar.
Afirmação 1: 1 – 3 = 4 - 6 (diferenças iguais)
Afirmação 2: 1 – 3 + 
2
3
2
 
 
 
 = 4 - 6 + 
2
3
2
 
 
 
( somando 
2
3
2
 
 
 
 a ambos os membros da 
igualdade)
Afirmação 3: 
2 2
3 3
1 2
2 2
   − = −   
   
 
22
23 3 3(1 3 1 2.1. e
2 2 2
       − + = − + − + = − +       
       
2 2 2
2 23 3 3e 4 6 2 2.2 )
2 2 2
       − + = − + − + = − +       
       
Afirmação 4: 3 31 2
2 2
− = − ( extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da igualdade)
Afirmação 5: 1 = 2 ( eliminando 2
3
- de ambos os membros da igualdade)
Capítulo 3
Álgebra elementar
Objetivos
 • Reconhecer e classificar expressões algébricas e seus termos.
 • Identificar entre as expressões algébricas aquelas que são polinomiais e efe-
tuar corretamente as operações usuais.
 • Compreender o processo geométrico para interpretar os principais casos de 
produtos notáveis.
 • Simplificar expressões algébricas e expressões envolvendo radiciação.
 • Reconhecer e resolver sistema de equações e inequações do 1º grau.
 • Reconhecer e resolver equações do 1º, 2º e 4º graus.
Neste capítulo, far-se-á uma breve leitura dos principais conceitos de Álgebra 
Elementar, terminologias, convenções e operações fundamentais. Serão 
apresentadas as formas de uso mais frequente de fatoração de expressões 
polinomiais e numéricas e um estudo sobre equações de 1º, 2º e 4º graus. 
Destacaremos ainda os principais métodos de resoluções de sistemas de 
equações e inequações lineares com uma e duas incógnitas.
1. Expressões algébricas
1.1. Nomenclatura
Constante: É uma letra ou símbolo utilizado para representar um valor espe-
cificado.
Exemplos: 2 , π , e , ½ etc.
Variável: Em Matemática, variáveis são letras ou símbolos utilizados para re-
presentar números reais ou elementos de um conjunto qualquer, ainda não 
especificados.
Exemplos: x, y, z, a, b ,W etc
Expressões algébricas: Todas as expressões matemáticas que apresentam 
uma combinação de variáveis e constantes envolvendo as seis operações 
elementares - adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radi-
ciação. As constantes são chamadas de coeficientes numéricos e as variá-
veis de parte literal.
Exemplos: -3xy + x3 , x3 - ½ x2 + 3 , x x y2 2+ x2 + y2 etc.
JAYRO FONSECA DA SILVA
58
Termo: É qualquer constante ou variável, ou mesmo uma constante multipli-
cada por potências das variáveis com expoentes não negativos.
Exemplos: 2, x, x3 , 2xy2 etc.
Termos semelhantes: Diz-se que dois ou mais termos são semelhantes 
quando eles diferem apenas pelos seus coeficientes numéricos.
Exemplos: Os termos -3x2y , x2y e 7x2y são semelhantes.
1.2. Classificação das expressões algébricas
As expressões algébricas são classificadas de acordo com o número de ter-
mos. Monômio: quando a expressão algébrica é formada por apenas um 
termo. Exemplos: 10x2y, x3, 2x, etc;
Binômio: quando a expressão algébrica é formada pela soma ou subtração 
de dois termos.
Exemplo: 10x2y + y, x3 + 2x, x – a, etc;
Trinômio: quando a expressão algébrica é formada por três termos; Exemplos: 
x2 + 2x – 3, x3 + y3 + xy, etc.
Polinômio: Qualquer expressão algébrica que envolva apenas potências de 
uma ou mais variáveis com expoentes não negativos e que não constem 
frações com variáveis no denominador.
Exemplo 1: 10x2y - 5x3y + 2 é um polinômio.
Exemplo 2: x
x 1
x
12+
+
+ não é um polinômio; e
Grau de um polinômio: o grau de um polinômio de uma variável é determi-
nado pelo maior expoente da variável. No caso do polinômio ter duas ou mais 
variáveis, o grau de cada termo é determinado pela soma dos expoentes das 
variáveis e, nesse caso, o grau do polinômio é o maior dentre os graus dos 
termos que o compõem.
Exemplo: o grau do polinômio 10x2y - 5x3y + 2 é igual a 4.
1.3. Convenções adotadas nas operações com 
 expressões algébricas
Por ordem de prioridade
(1) Nas operações com expressões algébricas: 
1ª - potenciação e radiciação;
2ª - multiplicação e divisão; e
3ª - soma e subtração.
Exemplo: x + x(x+1)2 = x + x(x + 1)(x + 1) = x + x(x2 + 2x + 1) = x + x3 + 2x2 + 
x = x3 + 2x2 + 2x
Matemática Elementar I
59
(2) Símbolos de agrupamento de operações:
1ª - parênteses ( )
2ª - colchetes [ ]
3ª - chaves { }
Exemplo: x + [x2 + ( 3x2 – x2 + 2x )] = x + [x2 + 2x2 + 2x] = x + 3x2 + 2x = 3x2 + 3x. 
(3) Remoção de parênteses ou outros símbolos
i) Para remover parêntese que está precedido de um sinal de mais (+), não 
trocar os sinais dos termos que estão agrupados entre os parênteses.
Exemplo: x2 + (x2 – 2x + 4) = x2 + x2 – 2x + 4
ii) Para remover parêntese que está precedido de um sinal de menos (-), tro-
car os sinais de todos os termos que estão agrupados entre os parênteses.
Exemplo: x2 − (x3 – 2x2 + x) = x2 – x3 + 2x2 − x = – x3 + 3x2 − x
1.4. Adição e subtração de polinômios
Para efetuar a soma ou a subtração de polinômios, basta somar ou subtrair os 
termos semelhantes.
Exemplo: P = -5x2y + 2xy2 + xy e Q = 7xy2 + 3x2y
P+Q = (-5x2y + 2xy2 + xy) + (7xy2 + 3x2y) = (-5+3)x2y + (2+7)xy2 + xy = -2x2y 
+ 9xy2 + xy.
1.5. Multiplicação e divisão de polinômios de uma variável
Para efetuar a multiplicação, basta utilizar a propriedade distributiva do produ-
to com relação à soma e, para a divisão, usar o algoritmo da divisão.
Exemplo: Se P = 2x3 + 6x2 + x - 6 e Q = x + 2.
P ⋅ Q = (2x3 + 6x2 + x - 6) ⋅ (x + 2) = (x + 2) ⋅ (2x3 + 6x2 + x - 6) = x(2x3+ 6x2 
+ x - 6) + 2(2x3+ 6x2 + x - 6) = 2x4 + 6x3 + x2 - 6x + 4x3 + 12x2 + 2x - 12 
= 2x4 + 10x3 + 14x2 - 4x -12.
P ÷ Q = (2x3 + 6x2 + x - 6) ÷ (x + 2) = 2x2 + 2x – 3.
2x3 + 6x2 + x - 6 | x + 2 
-2x3 - 4x2 2x2 + 2x - 3
0 + 2x2 + x
 - 2x2 – 4x
 0 − 3x - 6
 +3x + 6
 0
Obs:
A divisão P ÷ Q só é 
possível quando o grau de 
P é maior ou igual ao grau 
de Q.
JAYRO FONSECA DA SILVA
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Exercícios resolvidos
1. Sejam os polinômios P = 2xy2 e Q = 3x2y3 + 2xy2 + x3y. Calcular P · Q. 
Solução: P · Q = 2xy2(3x2y3 + 2xy2 + x3y) =
 = 2xy2(3x2y3) + 2xy2(2xy2) + 2xy2(x3y) =
 = 6x3y5 + 4x2y4 + 2x4 y3.
2. Sejam os polinômios P = x3 + x2 + x e Q = x + 1. Calcular P | Q 
Solução: x3 + 2x2 + x |x + 1 
 -x3 - x2 x2 + x
 + x2 + x
 -x2 - x
 0 resto
Logo, x3 + 2x2 + x = (x +1)(x2 + x) + 0
3. Usando o algoritmo da divisão. Calcular (x4 + 1) | (x + 1) 
Solução: Tem-se que x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1.
Logo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 |x + 1 
 -x4 - x3 x3 – x2 + x -1
 0 - x3 + 0x2
 + x3 + x2
 0 + x2 + 0x
 -x2 - x
 0 - x + 1
 + x + 1
 0 + 2  resto
Logo, x4 + 1 = (x +1)(x3 – x2 + x - 1) + 2
Para refletir
1. Determine o resto de cada uma das divisões 
a) (x4 + 3x2 – 8x – 13) | (x – 2);