Módulo 4 - Regressão linear simples, modelos logarítmico e exponencial Cálculo da elasticidade

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Módulo 4: Regressão linear simples, modelos logarítmico e exponencial. Cálculo
da elasticidade
 
Texto 1
 
 
O modelo linear simples contém apenas uma variável explicativa. Sua equação básica é:
Yi = a + b.Xi + ui (i = 1, 2, ..., n)
Yi é a variável independente ou explicada e Xi é a variável independente ou explicativa.
ui é o termo aleatório e a e b são os parâmetros a serem calculados.
n indica o tamanho da amostra e o índice i refere-se à unidade de observação dos valores
da variável.
Para poder estimar os parâmetros com confiabilidade, é necessário que o modelo atenda
a algum pressupostos, os quais listamos abaixo:
1) o termo ui deve ser aleatório;
2) o termo ui deve ter média 0;
3) o termo ui deve ter variância constante;
4) o termo ui deve ter distribuição normal;
5) o termo ui não deve ser autocorrelacionado, ou seja, tem de ter valores indipendentes
entre si;
6) o termo ui não deve ser correlacionado com Xi;
7) a variável explicativa Xi não deve conter erros de medidas;
8) o modelo deve ter especificação correta, ou seja, apenas uma variável explicativa deve
ser suficiente para expressar adequadamente o fenômeno;
9) as séries de tempo usadas na estimação devem ser estacionárias.
 
A confiabilidade da equação estimada dependerá da validade desses pressupostos.
Entretanto, sabemos que sempre haverá a violação de algum deles, o que poderá ou não
inviabilizar o modelo, dependendo do seu grau e extensão.
 
Texto 2
 
Existem diversos métodos para se estimar os parâmetros do modelo linear simples, tais
como o Método dos Mínimos Quadrados e o Método da Máxima Verossimilhança. Neste
curso, utilizaremos o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ).
Segundo o MMQ, a equação estimada pode ser escrita como:
Yi = a + b.Xi + ei (i) ou 
(ii) 
O acento circunflexo no Y indica que ele é uma estimativa, ou seja, ele não é o Y real.
O objetivo do MMQ é obter estimativas confiáveis dos parâmetros a e b com base em
uma amostra de valores de X e Y, de forma que os resíduos ou os erros, indicados por ei,
sejam os mínimos possíveis.
Assim, podemos reescrever (i) da seguinte maneira:
ei = Yi – (a + b.Xi)
Elevando-se essa equação ao quadrado e somando-se todos os valores das variáveis para
abranger todas as observações, temos:
Σe2 = Σ[Yi – (a + b.Xi]² (iii)
Dessa forma, o MMQ consiste na obtenção das estimativas dos parâmetros a e b da
equação (i) de forma que a soma dos quadrados dos resíduos seja mínima.
Para isso, derivamos (iii) em relação à a e b, igualando essas derivadas à zero. Com isso,
obtermos as seguintes fórmulas:
 
 
Com essas equações, podemos obter as melhores estimações para a e b possíveis.
 
Texto 3
 
 
O modelo logarítmico é:
Y = A.Xb
Essa forma funcional tem muitas aplicações em Economia, principalmente na estimação
de funções de produção ou de demanda. Em funções de produção, esse modelo torna
possível testar a existência ou não de retornos constantes, crescentes ou decrescentes de
escala do uso de algum insumo.
Aplicando o operador logaritmo nos dois membros dessa equação, chegamos à seguinte
formulação:
Ln Y = a + b.Ln X
Essa última expressão é a forma linearizada do modelo logarítmico e, com ele, podemos
estimar os parâmetros com as mesmas equações do modelo linear simples, apenas
observando que Y é, na verdade, o LnY e X é o LnX.
Para obter o parâmetro A do modelo original, fazemos A = ea
Para esse modelo, devemos observar que as variáveis X e Y não poderão assumir valores
negativos, pois não existe Ln de números negativos.
O cálculo da Elasticidade pode ser feito por meio da derivada, com a seguinte formulação:
No que se refere a equações de demanda, o uso da forma logarítmica facilita o cálculo da
elasticidade, que será dada pelo próprio parâmetro b da equação estimada.
De modo geral, o uso do modelo logarítmico é adequado sempre que uma variável cresce
com o aumento da outra, porém a taxas decrescentes ou crescentes.
 
Texto 4
 
O modelo exponencial é:
Y = A.BX
Aplicando o operador logaritmo nos dois membros dessa equação, chegamos à seguinte
formulação:
Ln Y = a + b.X
Essa última expressão é a forma linearizada do modelo exponencial e, com ele, podemos
estimar os parâmetros com as mesmas equações do modelo linear simples, apenas
observando que Y é, na verdade, o LnY.
Matemática (Xi) Estatística (Yi) Xi . Yi (Xi)2
5 6 30 25
8 9 72 64
7 8 56 49
10 10 100 100
6 5 30 36
7 8 56 49
9 9 81 81
3 3 9 9
8 8 64 64
2 3 6 4
S = 65 S = 69 S = 504 S = 481
Como nesse modelo só a variável Y é dada pelo Ln, pois X aparece na forma original, ele
também é chamado se semilogarítmico I, ou apenas semilog I.
Para obter o parâmetro A do modelo original, fazemos A = ea
Para obter o parâmetro B do modelo original, fazemos B = eb
Nesse modelo, a variável Y não pode assumir valores negativos, mas a variável X sim.
A elasticidade (no ponto médio) calculada para esse modelo será dada por b.Xmédio.
Lembramos que X médio é dado por ΣX/n.
A função exponencial é frequentemente usada em Economia aplicada para descrever
processos de crescimento contínuo ou aproximadamente contínuo de uma variável com o
tempo.
Também podemos usar esse modelo quando uma variável cresce ou decresce com os
acréscimos da outra, mas a taxas crescentes ou decrescentes.
 
 
Exemplo resolvido
 
A tabela a seguir apresenta as notas de 10 alunos nas disciplinas de Matemática e
Estatística. Vamos estimar a equação de regressão pelo modelo linear simples, admitindo
que a nota de Estatística (Y) depende da nota de Matemática (X). Para facilitar os
cálculos, apresentamos as colunas com os itens que constam nas fórmulas dos
parâmetros, com os respectivos somatórios.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O modelo linear solicitado é: Yi = 0,7315 + 0,949.X + ei