AD1-GE-2015-1-gabarito

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Fundação Centro de C iências e Educação Sup erior a D istância do Estado do R io de Janeiro
Centro de Educação Sup erior a D istância do Estado do R io de Janeiro
Gabarito da AD 1 de Geometria Espacial - 2015-1
Prezado(a) aluno(a), o conteúdo deste AD encontra-se nos capítulos 18, 19, 20 e 21 do livro: Geometria Básica,
Módulo 2, Volume 2 (autores: Edson L. C. Ferreira, F. X. Fontenele Neto e Isabel L. Rios).
Questão 1 [1.0]: Sejam 7 pontos A,B,C,D,E, F,G, sendo que A,B,C,D são colineares e que A,E, F,G
também são colineares. Qual o número máximo de retas distintas que esses pontos podem determinar?
Solução:
Enumerando as possíveis retas:
←→
AB,
←→
AE,
←→
BE,
←→
BF,
←→
BG,
←→
CE,
←→
CF,
←→
CG,
←→
DE,
←→
DF,
←→
DG.
Daí totalizamos 11 retas distintas que esses pontos podem determinar.
Questão 2 [1.0]: Sejam 5 pontos A,B,C,D,E de forma que três deles nunca são colineares e que quatro desses
pontos nunca são coplanares. Qual o número máximo de planos distintos que esses pontos podem determinar?
Solução:
Enumerando os possíveis planos: ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.
Daí totalizamos 10 planos distintos que esses pontos podem determinar.
Poderíamos ainda calcular a combinação C5,3 = 5!3!2! =
5.4
2 = 10.
Questão 3 [1.0]: Classifique as sentenças abaixo em VERDADEIRO ou FALSO dando um exemplo (ou um
contraexemplo se a afirmação for falsa).
(a) Se r//α e s//α então r//s.
(b) Se r//α e s ⊂ α então r//s.
(c) Se dois planos são secantes então qualquer reta de um deles intercepta o outro plano.
(d) Se em dois planos, num deles existem duas retas distintas paralelas ao outro plano, os planos são sempre
paralelos.
(e) A projeção ortogonal de uma reta pode ser um ponto.
Solução:
Usando o cubo da figura 1 como exemplo:
(a) FALSO. Contraexemplo: r =
←→
AB, s =
←→
BC, α = EFG
(b) FALSO. Contraexemplo: r =
←→
AB, s =
←→
FG, α = EFG
(c) FALSO. Contraexemplo: a reta CD ⊂ ABC não intercepta o plano ABG, que é secante ao plano ABC.
(d) FALSO. As retas HG e AB são distintas e paralelas ao plano ABC e estão contidas no plano ABG. No
entanto o plano ABG é secante (logo não paralelo) ao plano ABC.
(e) VERDADEIRO. A projeção ortogonal da reta AE no plano ABCD é somente o ponto A.
1
Questão 4 [1.0]: Sejam as retas r, s e t tais que t ⊥ r e t ⊥ s. Classifique as afirmações abaixo em
VERDADEIRO ou FALSO dando um exemplo (ou um contraexemplo se a afirmação for falsa).
(a) As retas r e s podem ser concorrentes e com um ângulo agudo entre elas.
(b) As retas r e s podem ser paralelas.
(c) As retas r e s podem ser reversas.
(d) As retas r e s podem ser perpendiculares.
(e) As retas r e s podem ser ortogonais.
Solução:
Usando o cubo da figura 1 como exemplo:
(a) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
AC.
(b) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
EF.
(c) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
EG.
(d) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
AD.
(e) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
EH.
Questão 5 [1.0]: Os triângulos ABC e DBC são isósceles, compartilham a base comum BC e estão situados
em planos distintos. Prove que as retas
←→
AD e
←→
BC são ortogonais.
Solução:
Seja M o ponto médio do lado
←→
BC, conforme a figura 2.
Como o ∆ABC é isósceles temos que
←−→
AM ⊥ ←→BC.
Analogamente, como o ∆DBC é isósceles temos que
←−→
DM ⊥ ←→BC.
Daí temos que o plano ADM é perpendicular à reta
←→
BC, logo toda reta contida no plano ADM é perpendicular
ou ortogonal à
←→
BC. Como
←→
AD está contida no plano ADM e
←→
AD não é concorrente com
←→
BC temos que as retas←→
AD e
←→
BC são ortogonais.
Figura 1: Cubo das questões 3 e 4. Figura 2: Triângulos da questão 5.
2
Questão 6 [1.0]: Prove que se dois planos paralelos e distintos interceptam um terceiro plano então essas
interseções são paralelas.
Solução:
Sejam α, β planos paralelos que interceptam o plano γ e sejam r = α ∩ γ e s = β ∩ γ.
Como r ⊂ α e s ⊂ β e α ∩ β = ∅ temos que r ∩ s = ∅. Além disso r, s ⊂ γ.
Daí temos que r e s são coplanares e tem interseção vazia logo r e s são retas paralelas.
Questão 7 [1.0]: Prove que o quadrilátero determinado pelos pontos médios dos lados de um quadrilátero
reverso é um paralelogramo.
Solução:
Sejam E,F,G,H os pontos médios do quadrilátero reverso ABCD, conforme a figura 3.
Com o uso de geometria plana no 4ABC temos que EF//AC e que EF = 12AC.
No 4ACD temos que ←→GH//←→AC e que GH = 12AC.
Daí temos que
←→
AC//
←→
GH//
←→
EF (o que implica que E,F,G,H são coplanares) e que GH = EF = 12AC. Isso
implica que EFGH é um paralelogramo.
Não é necessário mas poderíamos ainda observar que com a mesma análise no 4ABD e no 4BCD temos que←→
EH//
←→
BD//
←→
FGe que EH = FG = 12BD.
Questão 8 [1.0]: Na figura 4 temos que
←→
AP ⊥ ←→PQ,←→AP ⊥ ←→PC,←→PQ ⊥ ←→QC,AP = 2, PQ = 3, QC = 4.
Determine a medida do segmento AC.
Solução:
Na figura 4 vemos que o ∆AQC é retângulo logo, pelo teorema de Pitágoras, AC2 = AQ2 +QC2.
O ∆APQ também é retângulo logo AQ2 = AP 2 + PQ2.
Daí temos que: AC2 = AP 2 + PQ2 +QC2 = 22 + 32 + 42 = 4 + 9 + 16 = 29. Logo AC =
√
29.
Figura 3: Quadrilátero da questão 7. Figura 4: Questão 8.
3
Questão 9 [1.0]: Um aparelho transmissor de rádio, cujas ondas atingem no máximo uma distância r, está
situado no alto de uma torre vertical de altura h. As ondas do transmissor atingem uma estrada retilínea e
horizontal que está a uma distância d do pé da torre. Determine, em função de r, h e d, o comprimento do trecho
da estrada no qual se pode captar a transmissão.
Solução:
Na figura 5 o segmento ED representa a torre e devemos calcular o segmento AB, o trecho da estrada no qual
se pode captar a transmissão.
• Cálculo de BD na figura 5
O segmento ED é perpendicular ao plano ABD.
No triângulo retângulo BDE temos BD2 = r2 − h2.
• Cálculo de AB na figura 5
No triângulo retângulo BCD temos BC2 = BD2 − d2 = r2 − h2 − d2 ⇒ BC =
√
r2 − h2 − d2
Logo AB = 2
√
r2 − h2 − d2.
Questão 10 [1.0]: (FUVEST 2010) Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira
que o ângulo entre eles meça α radianos, com 0 < α < π2 . Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido
em π2, de modo que o lado AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano π1, e suponha que a
medida do ângulo θ = CÂD satisfaça sen(θ) =
√
6
4
Nessas condições, determine, em função de l,
a) o valor de α.
b) a área do triângulo ABD.
Solução:
a) O ∆ADC é retângulo na figura 6: sen(θ) = CDAC =
√
6
4 ⇒
CD
l =
√
6
4 ⇒ CD =
l
√
6
4
O ∆CDM é retângulo: sen(α) = CDCM =
l
√
6
4 /
l
√
3
2 =
√
2
2
Como 0 < α < π2 ⇒ α =
π
4 .
b) O ∆CDM é retângulo: α = π4 ⇒ β =
π
4 ⇒MD = CD =
l
√
6
4
Logo a área do triângulo ABD é:
S = 12 .l.MD =
1
2 .l.
l
√
6
4 =
l2
√
6
8 .
Figura 5: Questao 9. Figura 6: Questao 10.
4