AD1-GE-2014-1-gabarito

Prévia do material em texto

Gabarito da AD 1 de Geometria Espacial - 2014-1
Questão 1 [1.0]: Sejam 7 pontos A,B,C,D,E, F,G, sendo que A,B,C,D são colineares e que A,E, F,G
também são colineares. Qual o número máximo de retas distintas que esses pontos podem determinar?
Solução da Questão 1:
Enumerando as possíveis retas:
←→
AB,
←→
AE,
←→
BE,
←→
BF,
←→
BG,
←→
CE,
←→
CF,
←→
CG,
←→
DE,
←→
DF,
←→
DG.
Daí totalizamos 11 retas distintas que esses pontos podem determinar.
Questão 2 [1.0]: Sejam 5 pontos A,B,C,D,E de forma que três deles nunca são colineares e que quatro desses
pontos nunca são coplanares. Qual o número máximo de planos distintos que esses pontos podem determinar?
Solução da Questão 2:
Enumerando os possíveis planos: ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.
Daí totalizamos 10 planos distintos que esses pontos podem determinar.
Poderíamos ainda calcular a combinação C5,3 = 5!3!2! =
5.4
2 = 10.
Questão 3 [2.0]: Classifique as sentenças abaixo em Verdadeiro ou Falso dando um exemplo (ou um con-
traexemplo se a afirmação for falsa).
(a) Se r//α e s//α então r//s.
(b) Se r//α e s ⊂ α então r//s.
(c) Se dois planos distintos são paralelos então toda reta de um deles é paralela ao outro.
(d) Dada duas retas reversas existem dois planos paralelos, cada um contendo uma das retas.
(e) A distância entre dois planos quaisquer é a distância entre um ponto qualquer de um dos planos ao outro
plano.
Solução da Questão 3:
Usando o cubo da figura 1 como exemplo:
(a) FALSO. Contraexemplo: r =
←→
AB, s =
←→
BC, α = EFG
(b) FALSO. Contraexemplo: r =
←→
AB, s =
←→
FG, α = EFG
(c) VERDADEIRO. Exemplo: sejam os planos paralelos ABC e EFG. A reta
←→
EF//ABC.
(d) VERDADEIRO. Exemplo: as retas reversas
←→
AB e
←→
FG estão contidas nos planos ABC e EFG, respectiva-
mente.
(e) FALSO. Contraexemplo: Sejam os planos α = ABC, β = ABG e G ∈ β. A distância entre os planos α e β é
zero porém a distância entre G e α é o lado do cubo.
1
Questão 4 [2.0]: Sejam as retas r, s e t tais que t ⊥ r e t ⊥ s. Classifique as afirmações abaixo em Verdadeiro
ou Falso dando um exemplo (ou um contraexemplo se a afirmação for falsa).
(a) As retas r e s podem ser concorrentes e com um ângulo agudo entre elas.
(b) As retas r e s podem ser paralelas.
(c) As retas r e s podem ser reversas.
(d) As retas r e s podem ser perpendiculares.
(e) As retas r e s podem ser ortogonais.
Solução da Questão 4:
Usando o cubo da figura 1 como exemplo:
(a) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
AC.
(b) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
EF.
(c) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
EG.
(d) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
AD.
(e) VERDADEIRO. Exemplo: t =
←→
AE, r =
←→
AB, s =
←→
EH.
Questão 5 [1.0]: Os triângulos ABC e DBC são isósceles, compartilham a base comum BC e estão situados
em planos distintos. Prove que as retas
←→
AD e
←→
BC são ortogonais.
Solução da Questão 5:
Seja M o ponto médio do lado
←→
BC, conforme a figura 2.
Como o ∆ABC é isósceles temos que
←−→
AM ⊥ ←→BC.
Analogamente, como o ∆DBC é isósceles temos que
←−→
DM ⊥ ←→BC.
Daí temos que o plano ADM é perpendicular à reta
←→
BC, logo toda reta contida no plano ADM é perpendicular
ou ortogonal à
←→
BC. Como
←→
AD está contida no plano ADM e
←→
AD não é concorrente com
←→
BC temos que as retas←→
AD e
←→
BC são ortogonais.
Figura 1: Cubo das questões 3 e 4. Figura 2: Triângulos da questão 5.
2
Questão 6 [1.0]: Prove que se dois planos paralelos e distintos interceptam um terceiro plano então essas
interseções são paralelas.
Solução da Questão 6:
Sejam α, β planos paralelos que interceptam o plano γ e sejam r = α ∩ γ e s = β ∩ γ.
Como r ⊂ α e s ⊂ β e α ∩ β = ∅ temos que r ∩ s = ∅. Além disso r, s ⊂ γ.
Daí temos que r e s são coplanares e tem interseção vazia logo r e s são retas paralelas.
Questão 7 [1.0]: Prove que o quadrilátero determinado pelos pontos médios dos lados de um quadrilátero
reverso é um paralelogramo.
Solução da Questão 7:
Sejam E,F,G,H os pontos médios do quadrilátero reverso ABCD, conforme a figura 3.
Com o uso de geometria plana no 4ABC temos que EF//AC e que EF = 12AC.
No 4ACD temos que ←→GH//←→AC e que GH = 12AC.
Daí temos que
←→
AC//
←→
GH//
←→
EF (o que implica que E,F,G,H são coplanares) e que GH = EF = 12AC. Isso
implica que EFGH é um paralelogramo.
Não é necessário mas poderíamos ainda observar que com a mesma análise no 4ABD e no 4BCD temos que←→
EH//
←→
BD//
←→
FGe que EH = FG = 12BD.
Questão 8 [1.0]: Na figura 4 temos que
←→
AP ⊥ ←→PQ,←→AP ⊥ ←→PC,←→PQ ⊥ ←→QC,AP = 2, PQ = 3, QC = 4.
Determine a medida do segmento AC.
Solução da Questão 8:
Na figura 4 vemos que o ∆AQC é retângulo logo, pelo teorema de Pitágoras, AC2 = AQ2 +QC2.
O ∆APQ também é retângulo logo AQ2 = AP 2 + PQ2.
Daí temos que: AC2 = AP 2 + PQ2 +QC2 = 22 + 32 + 42 = 4 + 9 + 16 = 29. Logo AC =
√
29.
Figura 3: Quadrilátero da questão 7. Figura 4: Questão 8.
3