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UNIBAV CONCURSOS - APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF. PABLO LISBOA
MATEMÁTICA
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NÚMEROS INTEIROS: OPERAÇÕES E PROPRIEDADES
O conjunto dos números inteiros é formado por números
positivos e negativos, indicado por ℤ. Este conjunto é infinito e
pode ser representado da seguinte maneira: ℤ = {..., - 3, - 2, - 1,
0, 1, 2, 3,...}. Contido neste estão os números naturais ℕ = {0, 1,
2, 3,...}, que corresponde ao zero e aos números positivos.
Com os números naturais e inteiros é possível realizar diversas
operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e
divisão. Veja:
24 + 50 = 74
Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando
números. A ordem dos números na adição não influencia no
resultado.
89 – 70 = 19
Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro.
Pode ser que dê negativo também, entretanto, na maioria das
vezes é preciso verificar se deve “emprestar” do número
esquerdo para realizar a operação corretamente. A ordem dos
números influencia o resultado em uma expressão maior.
5 x 100 = 500
A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos
números. Logo, 5 vezes o número 100 é a mesma coisa que 100
+ 100 + 100 + 100 + 100. A ordem não influencia o resultado. O
número um é um elemento neutro, não alterando o resultado.
30 / 2 = 15
Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor
multiplicado leva ao primeiro número. Veja: 15 x 2 = 30. Essa
divisão é exata.
Critérios de Divisibilidade: Os critérios de divisibilidade nos
ajudam a calcular quando um número natural é divisível por
outro. Ser divisível significa que se dividirmos um número, o
resultado será um número natural e o resto será igual a zero.
Preciso afirmar aqui, também, que é muito importante
sabermos da velha e famosa TABOADA.
- por 2: último dígito deve ser par.
- por 3: a soma dos algarismos deve dar um número
múltiplo de três.
- por 4: o número formado pelos dois últimos dígitos é
múltiplo de 4.
- por 5: o último dígito é zero ou 5.
- por 6: divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
- por 8: o número formado pelos 3 últimos dígitos é
múltiplo de 8.
- por 9: a soma dos algarismos é múltipla de 9.
- por 10: o último dígito é zero.
NÚMEROS RACIONAIS, REPRESENTAÇÃO
FRACIONÁRIA E DECIMAL: OPERAÇÕES E
PROPRIEDADES
O conjunto dos números racionais é constituído por: números
inteiros (positivo e negativo), decimais, dízima periódica
composta, simples e frações. Utilizamos esses números para
representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números
naturais e inteiros fazem parte do conjunto dos números
racionais. O conjunto dos números racionais é representado
pelo símbolo ℚ = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -2; -1,55...; -1; -0,422...;
−1/3; -0,02; 0; +1/2; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9,6}
Podem ser realizadas, também, quatro operações com os
números racionais: soma, subtração, multiplicação e divisão.
Para somar duas ou mais frações, é necessário que o
denominador em todas as frações seja o mesmo. Após verificar
isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio
do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou das Frações
Equivalentes, basta conservar o denominador e somar os
numeradores (após terem seus valores ajustados). Veja:
1/2 + 4/5 =
(5 + 8)/10 =
13/10
Cálculo do MMC
2, 5| 2
1, 5| 5
1, 1| /
MMC (2, 5) = 2 x 5 = 10
Para obter os números do numerador, fazer o seguinte cálculo:
10 : 2 => 5 x 1 => 5
10 : 5 => 2 x 4 => 8
O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A
diferença está no sinal da operação, que será de menos.
Observe:
2 - 5/3=
2/1 - 5/3=
(6 - 5)/3 = 1/3
Cálculo do MMC:
3, 1|3
1, 1| /
Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte:
3 : 1 = 3 x 2 = 6
3 : 3 = 1 x 5 = 5
Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os
numeradores com numeradores e os denominadores com
denominadores.
3/7 x 6/4 =
(3 x 6) / (7 x 4) =
18/28 = 9/14
*neste item é importante ressaltar que tivemos de realizar a
Simplificação. Isso será retomado no estudo de Razão e
Proporção.
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Para dividirmos duas ou mais frações, utilizamos uma regra
prática: conserva-se a primeira fração, multiplicando-a pelo
inverso da segunda. O inverso de uma fração é dado ao
trocarmos o seu denominador pelo numerador.
3/7 : 2/5 =
3/7 x 5/2 = 15/14
Para os casos dos números escritos de forma decimal teremos
uma forma diferente de resolver. Na soma de números
decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal
com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por
diante. Podemos estruturar o algoritmo da adição conforme
abaixo:
2,57 + 1,63 = 4,20
2,57
+ 1,63
4,20
Na subtração o mesmo deve ser feito:
3,15 – 2 = 1,15
3,15
- 2,00
1,15
Na multiplicação entre números decimais é importante realizar
a multiplicação desconsiderando as casas decimais e ao final
retomá-las. Após realizar a multiplicação, será necessário
contar o número de casas decimais à direita da vírgula dos dois
números presentes na multiplicação e somá-los, conforme
abaixo:
3,5 x 2 = 7
3,5
x _2
7,0
Para realizar a divisão de números decimais, devemos remover
as casas decimais à direita da vírgula multiplicando os dois
números pelo mesmo fator (x10, x100, x1000) e efetuar a
divisão, conforme abaixo:
1,5 : 0,5 =
15 : 5 = 3
NÚMEROS REAIS
Os números reais podem ser definidos como a junção entre o
conjunto dos números racionais e dos números irracionais.
Desse modo, os números reais são formados por todos os
números presentes na reta numérica. São representados pela
letra ℝ.
O conjunto dos números irracionais, citado acima, são todos
aqueles que não podem ser representados através de uma
fração. Entre eles podemos citar as raízes não exatas como √3,
√5, o número π, o algarismo neperiano e o número de ouro ϕ
(fi). Este conjunto está contido fora do conjunto dos números
Racionais.
Exercícios:
01. A tabela a seguir mostra os preços das aulas de ioga em
uma academia.
Número de aulas Preço total (R$)
2 100,00
4 150,00
8 250,00
10 300,00
Um aluno havia optado pelo pacote de 4 aulas, e depois mudou
para o de 10 aulas. Nessa mudança, o valor que ele irá
economizar, em reais, no preço de cada aula, é
(A) 7,50.
(B) 10,00.
(C) 12,50.
(D) 15,00.
(E) 17,50.
02. O vestibular para um curso de gastronomia apresentava 35
candidatos por vaga. Sabendo-se que em uma unidade havia 28
vagas e, em outra, havia 32 vagas, o total de candidatos
inscritos para esse vestibular é de
(A) 1 900.
(B) 1 950.
(C) 2 000.
(D) 2 050.
(E) 2 100.
03. A rodovia BR-230 (Transamazônica) tem um comprimento
de, aproximadamente, 4200 km. O número de dias necessários
para um veículo completar toda a extensão da rodovia,
percorrendo 140 km diariamente, é
(A) 22.
(B) 24.
(C) 26.
(D) 28.
(E) 30.
04. Uma funcionária, responsável por uma festa de
confraternização de sua equipe de trabalho, foi ao mercado
comprar 24 pães, a R$ 0,40 a unidade, 1200 gramas de queijo, a
R$ 18,00 o quilo, e 1500 gramas de presunto, a R$ 16,00 o quilo.
Então, pagará pela compra um valor de
(A) R$ 53,90.
(B) R$ 54,20.
(C) R$ 54,80.
(D) R$ 55,00.
(E) R$ 55,20.
05. Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao
retirá-las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa.
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará
uma única lâmpada. Assinale a alternativa correspondente à
quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta
comporta um máximo de 100 lâmpadas.
(A) 36.
(B) 57.
(C) 78.
(D) 92.
(E) 98.
GABARITO: 1.A 2.E 3.E 4.E 5.D
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RAZÃO E PROPORÇÃO
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão
entrea e b (nessa ordem) o quociente entre a / b. A razão é
representada por um número racional, mas é lida de modo
diferente.
a) A fração 3/5 lê-se: “três quintos”.
b) A razão 3/5 lê-se: “3 para 5”.
Exemplo 1:
A razão entre 20 e 50 é:
20
50 =
2
5
Exemplo 2:
Numa classe de 42 alunos, há 18 rapazes e 24 moças. A razão
entre o número de rapazes e o número de moças é:
18
24 =
3
4
A razão que representa o número de rapazes e moças é 3/4, o
que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”.
Para resolvermos problemas com razão e proporção
utilizaremos de algumas estratégias de resolução para facilitar
nossos exercícios.
1- PARTE PELO TODO = CHOCOLATÃO
Quando uma fração está representando uma parte de um todo
nós iremos desenhar um chocolatão que irá representar todo o
produto analisado. E pintaremos a parte que estamos
analisando. É fácil de entender:
Exemplo:
No almoço uma família bebeu 2/5 do refrigerante de 2L.
Quantos ml esse casal bebeu?
1ºPASSO) desenhar a figura representativa:
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
2
5 = ▊▊⎕⎕⎕
2ºPASSO) extrair 3 informações importantes:
-Qual é o valor Total do produto?
-Qual é a quantidade total de quadradinho?
-Quantos ml vale um quadrado?
T = 2000 ml
T ▊ = 5
1 ▊ = 2000/5 = 400 ml
3ºPASSO) encontrar a resposta da pergunta inicial:
-Quantos ml esse casal bebeu?
1 ▊ = 400ml
2 ▊ = 2 * 400 = 800ml
R: O casal bebeu 800ml do refrigerante.
2- COMPARAÇÃO = CHOCOLATINHO
Quando estamos comparando dois itens diferentes (homem e
mulher, cães e gatos, meninos e meninas, pratos e xícaras etc.)
nós iremos desenhar dois chocolates.
Exemplo:
Em uma clínica veterinária a razão entre o número de cães e o
número de gatos é respectivamente de 3 para 5. Se o número
total de gatos é 50, quantos cães existem nesta clínica?
1ºPASSO) desenhar a figura representativa:
𝐶
𝐺 = 
3
5 =
⎕⎕⎕
⎕⎕⎕⎕⎕
2ºPASSO) extrair 3 informações importantes:
-Qual é a quantidade de gatos?
-Quantos quadrados correspondem aos gatos?
-Quantos animais vale um quadrado?
G = 50
G ▊ = 5
1 ▊ = 50/5 = 10 animais
3ºPASSO) encontrar a resposta da pergunta inicial:
-Quantos cães existem na clínica?
1 ▊ = 10
3 ▊ = 3 * 10 = 30 cães
R: Essa clínica possui 30 cães.
3 - ENTRADAS E SAÍDAS
Quando a questão nos posiciona que houveram entradas e
saídas de itens alterando a razão de entre eles, a melhor saída é
analisarmos com ajuda das alternativas. Muitas vezes podemos
utilizar a equivalência entre razões.
Exemplo:
Numa reunião tínhamos homens e mulheres na razão 2/3,
respectivamente. Com saída de 5 homens e a entrada de 5
mulheres a razão entre homens e mulheres passou a ser de 3/7.
Qual a quantidade de homens no início da reunião?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
1ºPASSO) construir a relação de razões equivalentes na
entrada:
Início da reunião:
Testar todas as hipóteses possíveis, eliminando os valores
impossíveis.
𝐻
𝑀 =
2
3 =
⎕⎕
⎕⎕⎕
Hipóteses = 1015 
15
22,5 
20
30 
25
37,5 
30
45 
2ºPASSO) construir a relação de razões equivalentes na saída:
⇒ saíram 5 homens e entraram 5 mulheres ⤵
Final da reunião:
Verificar as equivalências e encontrar o valor que representa
uma razão equivalente ao dado na questão.
𝐻
𝑀 =
3
7 =
⎕⎕⎕
⎕⎕⎕⎕⎕⎕⎕
Verificação = 520 𝑋 
15
35 𝑋 
25
50
A única razão equivalente a 3/7 é a razão 15/35, sendo assim o
número de homens que estavam presentes no início da reunião
foi 20.
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Exercícios:
01. Em uma reunião, foram servidos 40 cafezinhos, dos quais
2/5 desses cafezinhos foram adoçados com açúcar. Dos demais
cafezinhos, 5/8 foram adoçados com adoçante artificial e os
demais não foram adoçados. O número de cafezinhos não
adoçados nessa reunião foi
a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.
02. Em uma escola, há um total de 800 alunos, dos quais, 3/8
estão na educação infantil. Entre os demais alunos, 350 estão
no ensino fundamental, e os alunos restantes, no ensino
médio. Em relação ao número total de alunos dessa escola,
aqueles que estão no ensino médio representam,
a) 1/16 b) 1/4 c) 1/8 d) 5/16 e) 3/16
03. Em um canil municipal de uma cidade do estado de São
Paulo, onde há gatos e cachorros, a razão entre o número de
gatos e cachorros é de 3 para 5. Sendo 75 o número de
cachorros, o número total de animais no canil é
a) 78. b) 90. c) 100. d) 110. e) 120.
04. Durante a Copa das Confederações realizada no Brasil, em
junho passado, os estádios estiveram lotados de torcedores. A
maioria era constituída por homens, na razão de 5 homens para
2 mulheres. Se em determinada partida compareceram 63000
torcedores, os números X de homens e Y de mulheres foram,
respectivamente,
a) 40000 e 23 000. b) 42000 e 21 000.
c) 43500 e 19 500. d) 45000 e 18 000.
e) 45500 e 17 500.
05. Uma loja colocou à venda, no início do dia, copos e canecas
e constatou, ao final desse dia, que a razão entre o número de
copos vendidos e o número de canecas vendidas foi 2/5. Se,
nesse dia, tivessem sido vendidos mais 3 copos, a razão entre
o número de copos vendidos e o número de canecas vendidas
teria sido 1/2. Então, o número de canecas vendidas, nesse dia,
foi
a) 20. b) 24. c) 30. d) 32. e) 36.
RESOLUÇÃO
GABARITO: 1.E 2.E 3.E 4.D 5.C
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PORCENTAGEM
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa
percentual a um determinado valor. É representado por uma
fração de denominador 100 ou em número decimal.
Exemplo:
25% = 25/100 = 0,25 = 1/4
A porcentagem pode ser representada na forma de fração,
decimal ou na fração reduzida.
Porcentagem = 25%
Fração de denominador 100= 25/100
Fração reduzida = 1/4
Decimal = 0,25
Todos essas formas podem ser utilizadas para a realização dos
cálculos, mas fique atento como irá realizá-los.
Acréscimos e Descontos
Se um valor sofre acréscimo percentual, esta porcentagem
deve ser somada a porcentagem padrão que representa 100% o
valor. Teremos a nova porcentagem que será utilizada para
calcular o valor final do produto.
Acréscimo Porcentagem
Final
Fator de
Multiplicação
10% 100%+10%= 110% 1,10
15% 100%+15%= 115% 1,15
20% 100%+20%= 120% 1,20
60% 100%+60%= 160% 1,60
80% 100%+80%= 180% 1,80
Exemplo:
Uma comprador irá pagar 10% a mais caso faça sua compra de
forma parcelada. Sendo assim o valor de seu televisor, que é de
R$ 1.200,00, passará a ser de:
- Acréscimo de 10%
- Porcentagem final 110%
- Fator de Multiplicação 1,10
Valor final é igual ao valor do televisor multiplicado por 1,10 ou
somado a 10% do valor inicial.
Valor Pago:
VP = 1.200 x 1,10 = 1.320
ou
VP = 1.200 + 10% de 1.200
VP = 1.200 + 120
VP = 1.320
Ambas as formas de calcular estão corretas e podem ser
utilizadas em momentos distintos dentro de uma prova.
Em casos de desconto ocorre a mesma ação, só que agora o
valor será reduzido.
Desconto Porcentagem
Final
Fator de
Multiplicação
10% 100% - 10%= 90% 0,90
15% 100% - 15%= 85% 0,85
40% 100% - 40%= 60% 0,60
50% 100% - 50%= 50% 0,50
75% 100% - 75%= 25% 0,25
Exemplo:
Uma comprador irá pagar 15% menos caso faça sua compra de
à vista. Sendo assim o valor de seu televisor, que é de R$
1.200,00, passará a ser de:
- Desconto de 15%
- Porcentagem final 85%
- Fator de Multiplicação 0,85
Valor final é igual ao valor do televisor multiplicado por 0,85 ou
subtraído a 15% do valor inicial.
Valor Pago:
VP = 1.200 x 0,85 = 1.020
ou
VP = 1.200 - 15% de 1.200
VP = 1.200 - 180
VP = 1.020
Ambas as formas de calcular estão corretas e podem ser
utilizadas em momentos distintos dentro de uma prova.
Observação:
Dica 1 - Uma dica muito importante é saber encontrar quanto
vale 1%, 5% e 10% de um valor.
1% - divida o valor por 100
5% - metade do valor encontrado em 10%
10% - reduzir uma casa decimal
Ex. 10% de 150 = 15 (retira-se o último zero)
Dica 2 - Podemos em grande parte dos casos utilizar a Regra de
TrêsSimples para resolver nossos problemas.
Exemplo:
Um vendedor tem 10% de comissão na venda de um carro no
valor de R$ 50.000. Qual a comissão recebida por este
vendedor?
Regra de Três Simples
Valor Porcentagem
X 10%
50.000 100%
X * 100 = 50.000 * 10
X = 500.000 / 100
X = 5.000
Resposta: Valor da comissão igual a R$5.000
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Exercícios:
01. Mário trabalha em um escritório analisando documentos no
sistema da empresa. Quando saiu para almoçar, Mário já havia
analisado 228 documentos e o sistema apontava que ele tinha
realizado 60% do trabalho do dia. A quantidade total de
documentos que Mário precisava analisar nesse dia de trabalho
era
a) 450. b) 420. c) 400. d) 380. e) 350.
02. João comprou um aparelho de TV e pagou de entrada 20%
do valor total do aparelho. Sabendo que o valor restante a ser
pago é R$ 1.440,00, então, o valor total desse aparelho de TV é
a) R$ 2.600,00. b) R$ 2.400,00. c) R$ 2.200,00.
d) R$ 2.000,00. e) R$ 1.800,00.
03. No primeiro semestre de 2016, houve um aumento de 15%
no número total de matrículas em uma escola, em relação ao
número total de matrículas do mesmo período do ano
imediatamente anterior. Se, no primeiro semestre de 2015,
foram matriculados 1300 alunos nessa escola, então o número
total de matrículas no primeiro semestre de 2016 foi
a) 1395. b) 1420. c) 1445. d) 1470. e) 1495.
04. Em certo domingo, um espetáculo circense foi apresentado
em duas sessões. Na primeira sessão, o total de mulheres na
plateia representava 48% do público total e, na segunda, o total
de mulheres representava 54%. Se na primeira sessão
estiveram presentes 225 pessoas e na segunda sessão 300
pessoas, o número de mulheres que assistiram ao espetáculo
nesse domingo superou o número de homens em
a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25.
05. Em um processo seletivo, 20% dos candidatos foram
eliminados na primeira etapa. A segunda etapa eliminou 30%
dos candidatos restantes. Se para a terceira etapa restaram 14
candidatos, então o número total de candidatos que iniciaram o
processo seletivo era
a) 32. b) 31. c) 28. d) 25. e) 22.
RESOLUÇÃO
GABARITO: 1.D 2.E 3.E 4.C 5.D
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REGRA DE TRÊS SIMPLES
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de
um processo prático, chamado regra de três simples.
A regra de três consiste em montar uma tabela com as
grandezas no cabeçalho e os valores correspondentes nas
linhas e colunas seguintes.
Ex.:
Um banco atende 30 pessoas em 4 horas de funcionamento.
Quantas pessoas ele atenderá se aumentar seu atendimento
para 6h de funcionamento.
Número de pessoas Horas de funcionamento
30 4
X 6
Após montar a tabela se analisa se as grandezas são
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Sendo diretamente proporcionais (exemplo acima) podemos
realizar a multiplicação cruzada entre os números (processo
similar ao que ocorre na comparação de duas frações).
30
𝑥 =
4
6
4 * 𝑥 = 30 * 6
𝑥 = 180/4
𝑥 = 45
Após calcular essa pequena equação nós encontramos o
resultado.
Em casos de grandezas inversamente proporcionais, antes de
executarmos a multiplicação cruzada, devemos inverter os
valores.
Ex.:
Um promotor consegue analisar 200 processos em oito dias. Se
eu tiver dois promotores com a mesma força de trabalho, em
quantos dias eles irão conseguir analisar os 200 processos.
Dias Número de promotores
8 1
X 2
Sendo número de promotores inverso ao número de dias que
eles irão terminar a análise de processos, devemos inverter os
valores antes de fazer a multiplicação.
Dias Número de promotores
8 2
X 1
Após inverter os valores podemos realizar a multiplicação
cruzada.
8
𝑥 =
2
1
2 * 𝑥 = 8 * 1
𝑥 = 8/2 = 4
Exercícios:
01. Um determinado veículo consome 2 litros de combustível
para percorrer 17 km. Mantido sempre esse mesmo
desempenho, o número de litros necessários para percorrer
221 km é
a) 25. b) 26. c) 27. d) 28. e) 29.
02. Uma torneira goteja sem parar, desperdiçando 2 litros de
água a cada 44 minutos. Mantendo sempre esse mesmo
gotejamento, o número aproximado de litros de água que serão
desperdiçados em 4 horas será
a) 11. b) 10. c) 9. d) 8. e) 7.
03. Trabalhando 6 horas por dia, um funcionário de uma
empresa levou 14 dias para fazer a manutenção nos
equipamentos. Se ele tivesse trabalhado 7 horas por dia, da
mesma maneira que anteriormente, teria feito essa mesma
manutenção em quantos dias?
a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.
04. Considere as informações apresentadas na tabela:
Supondo-se que todos os trabalhadores tenham a mesma força
de trabalho, para que haja coerência nas informações, o
número N de trabalhadores deve ser
a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.
05. Uma firma foi contratada para fazer a manutenção das
esquadrias de um edifício. Inicialmente, foram alocados 4
operários que demorariam 20 dias para concluir o serviço. A
partir do sétimo dia de serviço, a firma disponibilizou mais 4
operários, todos com as mesmas condições de trabalho que os
iniciais, e a manutenção demorou um total de dias igual a
a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. e) 16.
RESOLUÇÃO
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RESOLUÇÃO
GABARITO: 1.B 2.A 3.E 4.E 5.B
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais
de duas grandezas, diretamente ou inversamente
proporcionais, é chamado regra de três composta.
Para os casos de regra de três composta iremos dar maior
ênfase na análise de proporcionalidade. Teremos de avaliar
cada grandeza de forma separada com a grandeza que possuir
a incógnita.
Ex.:
Em 5 dias 8 máquinas produzem 200 peças de motor. Em
quantos dias 6 máquinas produzem 600 peças?
Primeiro passo, montar a tabela, deixando a incógnita na
coluna da esquerda:
Dias Máquinas Peças
5 8 200
X 6 600
Segundo passo, analisar cada grandeza em comparação com a
grandeza correspondente à incógnita.
⬆Dias ⬇Máquinas
(quanto mais DIAS vou precisar de menos MÁQUINAS
para produzir uma mesma quantidade de PEÇAS)
⬆Dias ⬆Peças
(quanto mais DIAS vou produzir mais PEÇAS com a
mesma quantidade de MÁQUINAS)
Obs.: Não se preocupe em comparar os valores apenas
compare as grandezas e analise as setas.
Terceiro passo, manter as grandezas que são proporcionais e
inverter as inversamente proporcionais.
Dias Máquinas (invert.) Peças
5 6 200
X 8 600
Quarto passo, construir a equação igualando a razão que
contém a incógnita com o produto das outras duas razões:
5
𝑥 =
6
8 *
200
600
5
𝑥 =
1
4
𝑥 = 5 * 4
𝑥 = 20
Obs.: Lembre-se sempre de simplificar a equação, a
simplificação reduz a complexidade dos cálculos e
consequentemente a ocorrência de erros.
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Exercícios:
01. Com 48 kg de comida estocada, 15 pessoas podem
permanecer isoladas durante 28 dias. Considerando que haja
proporcionalidade de consumo, com 60 kg de comida estocada,
35 pessoas podem permanecer isoladas durante um número de
dias igual a
a)35. b)32. c)21. d)15. e)12.
02. Trabalhando um determinado número de horas por dia, 16
máquinas iguais produzem 600 unidades de um mesmo
produto, em 5 dias. Com o mesmo número de horas diárias de
trabalho, 4 das mesmas máquinas irão produzir, em 8 dias, um
número de unidades desse produto igual a
a)180. b)240. c)300. d)420. e)560.
03. Observe a tabela:
Hoje Próximo ano
Número de funcionários 25 ?
Carga horária diária (em horas) 8 6
Média de atendimentos diários (em
unidades)
100 120
Com base nas informações apresentadas, e considerando-seas mesmas condições e ritmo de trabalho de hoje, o número
mínimo de funcionários que deverão ser contratados no
próximo ano para atender à previsão que consta da tabela é
a) 6. b) 9. c) 12. d) 15. e) 18.
04. Para pintar 108 metros quadrados de uma cerca, 4 pessoas
trabalharam 1,5 hora por dia durante 6 dias. Considerando que
cada pessoa consiga pintar um mesmo número de metros
quadrados por unidade de tempo, para pintar 288 metros
quadrados de uma outra cerca, 8 pessoas precisarão trabalhar
2 horas por dia durante
a) 2 dias. b) 3 dias. c) 4 dias.
d) 6 dias. e) 9 dias.
05. Dez costureiras trabalhando 6 horas por dia
confeccionaram, em 12 dias, 4/5 de um lote de camisetas
esportivas. Em seguida, duas costureiras foram remanejadas
para trabalhar em outra encomenda. Desse modo, o menor
número inteiro de dias necessários para as costureiras
restantes terminarem a confecção do lote de camisetas
esportivas, se trabalharem com a mesma produtividade durante
8 horas por dia, será igual a
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
RESOLUÇÃO
GABARITO: 1.D 2.B 3.D 4.D 5.B
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MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA
A média aritmética de um conjunto de dados (elementos) é a
razão entre a soma de todos os elementos deste conjunto e o
total de elementos.
Fórmula:
𝑀 = ƩǪ =
𝑥1 + 𝑥2 +𝑥3 ...
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
M = Média aritmética simples
Ʃ = Soma dos elementos (x)
Ǫ = Total de elementos
Ou seja, para conseguirmos a média aritmética simples de um
conjunto numérico, basta dividir a soma desses números pelo
sua quantidade.
Obs.: É claro que os problemas serão mais complexos,
deixando ausentes um ou outro elemento nesta fórmula, mas
lembre-se de sempre montar a fórmula e observá-la bem para
procurar o que está faltando.
A média ponderada é nada mais nada menos que agrupar
valores iguais em uma média simples ou dar peso diferentes a
cada valor. Você deve se lembrar de como as notas eram
calculadas no colégio.
Fórmula:
𝑀𝑝 = ƩǪ =
𝑃1* 𝑥1 +𝑃2* 𝑥2 +𝑃3*𝑥3 ...
𝑃1+𝑃2+𝑃3 ...
Mp = Média aritmética ponderada
Ʃ = Soma dos elementos (x)
Ǫ = Total de elementos (Soma dos pesos)
Ou seja, a média aritmética ponderada dos elementos de um
conjunto numérico é a soma dos produtos de cada elemento
multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos
pesos.
Exercícios:
01. A tabela mostra algumas informações sobre o número de
horas extras, mensais, feitas por Marcos, no primeiro semestre
de 2019.
Meses Nº de horas extras
Janeiro x
Fevereiro 6
Março 8
Abril 2x
Maio 9
Junho 7
Nesses 6 meses Marcos trabalhou, em média, 7 horas extras
por mês, sendo que o número de horas extras trabalhadas em
abril foi o dobro do número de horas extras trabalhadas em
janeiro. A média mensal do número de horas extras do
segundo trimestre, superou a média mensal do número de
horas extras do primeiro trimestre em
a) 2,0 horas. b) 2,5 horas. c) 3,0 horas.
d) 3,5 horas. e) 4,0 horas.
02. A tabela a seguir mostra as corridas que um taxista fez em
uma semana.
Para que a média de corridas de segunda a sexta-feira, nessa
semana, seja de 20 corridas, o número de corridas que ele fez
na sexta-feira foi.
a) 20. b) 21. c) 22. d) 23. e) 24.
03. A média aritmética simples das idades de 5 pessoas de uma
mesma família é 20 anos. Se 2 membros dessa família são
irmãos gêmeos, e a média das idades dos outros 3 membros
dessa família é 24 anos, então a idade de cada irmão gêmeo é
a) 14 anos. b) 15 anos. c) 16 anos.
d) 17 anos. e) 18 anos.
04. O Sr. e a Sra. Leite Pereira têm 4 filhos: Lívia, Laura, Lígia e
Pedro, cuja média aritmética das idades é igual a 15 anos.
Sabendo-se que a média aritmética das idades das meninas,
somente, é igual a 17 anos, é correto afirmar que a idade de
Pedro, em anos, é
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14
05. A tabela indica o número de filhos de dez pacientes de um
profissional:
Número de filhos Número de pacientes
Nenhum 2
1 3
2 4
3 ou mais 1
Quanto à média aritmética do número de filhos desses
pacientes, é correto afirmar que ela é de
(A) exatamente 1,4. (B) exatamente 1,75.
(C) maior ou igual a 1,4. (D) maior ou igual a 1,75.
(E) maior que 1,95.
RESOLUÇÃO
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RESOLUÇÃO
GABARITO: 1.A 2.D 3.A 4.A 5.C
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser
representadas sob a forma: ax + b = 0, em que a e b são
constantes reais, com a ≠ 0 (diferente de zero), e x é a variável.
Exemplo:
6x + 12 = 18
a = 6, b = 12 são constantes (6,12)
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é
isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um
dos lados da igualdade.
Propriedades:
- Se a + b = c, então a = c - b
- Se a * b = c, então a = c / b
Quando uma constante aparece com sinal de soma no lado
esquerdo, pode subtrair no lado esquerdo. No caso de uma
constante se apresentar multiplicando no lado esquerdo, ela
aparece dividindo no lado direito. O contrário também se
aplica: subtrações se tornam somas e divisões se tornam
multiplicações.
Nas questões de prova é muito importante extrair todas as
informações da questão e anotá-las para poder montar a
equação que está sendo transmitida.
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas
x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas
equações do primeiro grau. Lembrando, a equação do primeiro
grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à
potência 1.
Um sistema de equações pode possuir mais de duas
incógnitas. Para isso é preciso observar que o número de
incógnitas sempre deverá ser igual ao número de equações.
Caso isso não seja obedecido, não é possível encontrar um
valor de cada incógnita.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÃO:
A) SUBSTITUIÇÃO
Equação:
2x + y = 10
x - y = 2
1º PASSO) isolar uma das incógnitas de uma das equações.
2x + y = 10
y= 10 - 2x
2º PASSO) substituir os locais onde aparecem a incógnita na
segunda equação.
x - y = 2
x - (10 - 2x) = 2
x - 10 + 2x = 2
3x = 2 + 10
x = 12/3
x = 4
3º PASSO), substituir o valor da incógnita na primeira equação.
y = 10 - 2x
y = 10 - 2*4
y = 10 - 8
y = 2
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B) ADIÇÃO
Equação:
2x + y = 12
5x - 2y = 21
1º PASSO) equilibrar as equações de forma que seja possível
eliminar uma incógnita. Neste caso multiplicamos a primeira
equação por 2x.
2x + y = 12 *(2)
4x + 2y = 24
2º PASSO) alinhar as duas incógnitas e realizar a adição de
cada parcela da primeira equação com seu valor respectivo da
segunda equação.
4x + 2y = 24
5x - 2y = 21
9x + 0 = 45
3º PASSO) encontrar o valor da incógnita com a equação
gerada da combinação das duas equações.
9x + 0 = 45
x = 45/9
x = 5
4º PASSO) substituir o valor da incógnita encontrada na
primeira equação.
2x + y = 12
2 * 5 + y = 12
10 + y = 12
y = 12 - 10
y = 2
Lembrete:
As questões podem nos apresentar diferentes situações
problemas, isso pode variar nossa forma de analisar cada
questão dependendo das equações formadas.
Exercícios:
01. Nelson colocará uma cédula de real no cofre hoje, duas
cédulas amanhã, três depois de amanhã, e assim por diante
durante sete dias, totalizando ao final R$ 560,00. Sabendo-se
que as cédulas colocadas, em real, são sempre de mesmo
valor, é correto dizer que esse valor é
a) 2,00. b) 5,00. c) 10,00.
d) 20,00. e) 50,00.
02. Márcia e Paula foram a uma loja de roupas e juntas
gastaram R$ 580,00. Sabendo que Márcia gastou R$ 60,00 a
menos do que Paula, então o valor gasto por Márcia foi
a) R$ 260,00. b) R$ 290,00. c) R$ 320,00.
d) R$ 350,00. e) R$ 380,00.
03. Uma pessoa comprou bombons de chocolate ao leite e
bombons de chocolatebranco, no total de 30 unidades.
Sabe-se que essa pessoa comprou 6 bombons a mais de
chocolate branco do que de chocolate ao leite, então, o número
de bombons comprados de chocolate branco é
a) 20. b) 18. c) 16. d) 14. e) 12.
04. Eduardo, Fernando e Giulia têm, juntos, 99 medalhas de
natação. Eduardo tem 14 medalhas a menos do que Giulia, e
Fernando tem o triplo do número de medalhas de Eduardo. A
diferença entre os números de medalhas de Fernando e Giulia é
a) 18. b) 19. c) 20. d) 21. e) 22.
05. O preço unitário de venda de um produto A é R$ 15,00 mais
caro que o do produto B, em um mesmo estabelecimento. Um
cliente comprou, nesse estabelecimento, 13 unidades desses
produtos e pagou o total de R$ 179,00, nessa compra, sendo
que ele comprou 3 unidades a mais do produto B do que do
produto A. Se outro cliente comprar uma unidade de cada um
desses produtos, ele pagará o total de
a) R$ 27,00. b) R$ 28,00. c) R$ 29,00.
d) R$ 30,00. e) R$ 31,00.
RESOLUÇÃO
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RESOLUÇÃO
GABARITO: 1.D 2.A 3.B 4.C 5.E
SISTEMAS MÉTRICOS: MEDIDAS DE TEMPO,
COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE E CAPACIDADE
Medidas de Tempo
As medidas de tempo são comumente utilizadas por nós na
nossa vida cotidiana. São elas: segundos, minutos, horas,
dias, meses, anos etc. Todas essas podem aparecer em nossas
questões.
É extremamente importante saber como fazer as conversões
entre elas e para isso podemos utilizar sempre da regra de três.
Lembrando que:
1 minuto = 60 segundo
1 hora = 60 minutos
1 dia = 24 horas
1 semana = 7 dias
1 ano = 12 meses
Nos casos de anos e meses a questão deve padronizar o
número de dias que existem em um mês e o número de dias no
ano, devido às variações que conhecemos por conta dos anos
bissextos.
Medida de Comprimento
O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no
mundo todo. A unidade fundamental é o metro, porque dele
derivam as demais. O padrão nesse sistema é o seguinte, cada
unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor anterior.
Medida de Superfície
A medida de superfície corresponde ao que conhecemos por
área. Utilizamos como padrão as unidades da tabela anterior só
que dessa vez elevados a segunda potência.
Medidas de Capacidade
A medida de capacidade é conhecida também como volume.
Nela podemos utilizar duas unidades fundamentais. O metro
cúbico ou o litro conforme tabelas abaixo.
Ambas têm uma relação que costuma cair muito nas questões
de prova. Sempre é necessário que os valores estejam na
mesma unidade para que realizemos os cálculos. Para isso três
relações extremamente importante são:
1 dm³ = 1 L
1 m³ = 1000 L
1 cm³ = 1 ml
Cada um desses itens pode aparecer de forma complementar
dentro de questões nos demais assuntos visto neste curso. Por
isso não faremos questões separadas para este assunto.
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RELAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS
Os gráficos e tabelas podem ser apresentados em diferentes
formas. Gráficos são representações que facilitam a leitura de
dados, geralmente podem vir atrelados ao tempo, como dias,
meses, anos etc. Em alguns casos os gráficos são
apresentados com seus dados separados em categorias. É
importante sempre realizar uma leitura atenta, pois na análise
dos dados podemos encontrar muitas informações.
Para gráficos de barras e linhas nós precisamos interpretar o
que o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas representa.
Normalmente as ordenadas apresentam o valor ou
porcentagem e as abscissas apresentam as categorias.
O título do gráfico e sua legenda também podem deixar
informações importantes, é preciso ficar atento a tudo.
Gráfico de Linha ou Sequência: adequados para apresentar
medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendência ou
periodicidade.
Gráfico de Barras: este tipo de gráfico é interessante para
apresentar frequências e porcentagens das variáveis. A altura
corresponde ao valor de cada barra. Assim como o tipo anterior
possui o eixo das abscissas e das ordenadas.
Gráfico de Pizza: normalmente de forma genérica, está
apresentando diferentes variáveis com frequências diversas
para determinada grandeza, a qual pode estar em porcentagem.
Nas questões podemos encontrar outras formas de
apresentação. As questões normalmente irão estar ligadas aos
diversos assuntos estudados em nossas aulas como
porcentagem, razão e proporção, médias equações etc.
Exercícios:
01. O gráfico a seguir mostra o volume de água consumido por
um condomínio durante cinco dias.
Analisando-se o gráfico, o total consumido nos três primeiros
dias (segunda, terça, quarta) em relação ao total consumido
nos dois últimos (quinta, sexta) foi
a) maior em 4 mil litros.
b) maior em 2 mil litros.
c) o mesmo.
d) menor em 2 mil litros.
e) menor em 4 mil litros.
02. O infográfico a seguir faz um comparativo do preço do litro
da gasolina, em dólar, em alguns países, em maio de 2015.
Poucos meses depois, tanto o preço da gasolina quanto o
preço do dólar aumentaram. Em 09 de outubro, por exemplo, o
dólar valia R$ 3,75, e o litro da gasolina estava sendo vendido,
em média, no Brasil, segundo a ANP, a R$ 3,55. Em comparação
ao infográfico anterior, o Brasil de outubro estaria entre
a) o México e os Estados Unidos.
b) o Brasil de maio e o México.
c) o Brasil de maio e a Argentina.
d) a Argentina e a França.
e) a França e a Bélgica.
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03. O gráfico a seguir mostra a evolução do PIB de seis países,
no período de 1970 a 2014.
Ao analisar os dados dos países apresentados no gráfico, é
correto afirmar que
a) o PIB dos EUA, além de ser o maior, apresentou um
crescimento anual constante.
b) em 2014, o PIB do Japão e o da Alemanha somados foi maior
que o PIB da China.
c) até o ano de 2010, os emergentes, Índia e China, tinham os
menores PIB.
d) o PIB da China foi o que mais cresceu entre 2005 e 2014.
e) o Japão teve seu maior PIB registrado no ano de 1995.
04. O gráfico apresenta informações sobre dois grupos
distintos de profissionais. Um grupo é formado somente por
engenheiros e o outro somente por economistas.
Com base nas informações apresentadas no gráfico, assinale a
alternativa que contém informação necessariamente
verdadeira.
a) O número de mulheres engenheiras é metade do de homens
economistas.
b) O número de homens engenheiros é menor que o de homens
economistas.
c) O número de homens engenheiros é maior que o de homens
economistas.
d) O número de homens é menor que o de mulheres, em ambos
os grupos.
e) O número de homens é maior que o de mulheres, em ambos
os grupos.
05. O gráfico a seguir apresenta a produção de milho pelo
estado do Rio Grande do Sul.
Supondo que do total dessa produção 3/4 foram exportados, o
total de milhões de toneladas que ficaram para uso interno é
de, aproximadamente,
a) 4,0
b) 4,5
c) 5,0
d) 5,5
e) 6,0
RESOLUÇÃO
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NOÇÕES DE GEOMETRIA: FORMA, PERÍMETRO, ÁREA
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana.
Exemplo:
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm
Perímetros de algumas das figuras planas:
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. A unidade
básica de área é o m² (metro quadrado).
Fórmulas de área das principais figuras planas:
1) Retângulo: sendo “b” a base e “h” a altura.
2) Paralelogramo: sendo “b” a base e “h” a altura.
3) Trapézio: sendo “B” a base maior, “b” a base menor e “h” a
altura.
4) Losango: Sendo “D” a diagonal maior e “d” a diagonal
menor.
5. Quadrado: Sendo “l” o lado
6. Triângulo: iremos ver apenas os casosde triângulo
retângulo. Sendo dados a base “b” e a altura “h”.
Exercícios:
01. Uma folha quadrada de papelão, com 50 cm de lado, foi
recortada de modo a obter o polígono apresentado na figura.
Figuras fora de escala
O perímetro desse polígono é:
a) 250 cm. b) 240 cm. c) 230 cm.
d) 215 cm. e) 200 cm.
02. Um jardim ABCDEF está representado pelo polígono da
figura, e suas medidas estão em metros.
Sabendo-se que seu perímetro mede 582 metros, o
comprimento do maior lado desse jardim, em metros, mede
a) 184. b) 196. c) 204. d) 220. e) 224.
03. Numa atividade de geometria, o professor deu 32 metros de
barbante para cada um dos dois grupos de alunos A e B. O
grupo A formou um quadrado, e o B formou um retângulo,
conforme as figuras.
Pode-se afirmar que a área do quadrado supera a área do
retângulo em
a) 3,8 m². b) 4,0 m². c) 4,2 m².
d) 4,4 m² e) 4,6 m².
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04. Em um terreno retangular, com área de 294 m² , foi isolada
uma região R, restando uma região quadrada Q, de lado igual a
x metros, conforme mostra a figura.
A área da região R é igual a
a) 82 m². b) 86 m². c) 90 m².
d) 94 m². e) 98 m².
05. Duas folhas de papel, A e B, ambas retangulares, têm a
mesma área. A figura mostra as medidas, em centímetros,
dessas duas folhas.
Figuras fora de escala
A área da folha B é igual a
a) 44 cm2. b) 51 cm2. c) 58 cm2.
d) 65 cm2. e) 72 cm2.
RESOLUÇÃO
GABARITO: 1.B 2.A 3.B 4.E 5.E
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é um campo de estudo da matemática
associado com as regras de contagem.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
O princípio fundamental da contagem (PFC) afirma que o total de
possibilidades de realizar-se o evento E é dado por:
P1 ·P2 · … · Pn
Onde:
P1 - é o número de possibilidades de o evento realizar-se na
primeira etapa
P2 - é o número de possibilidades de o evento realizar-se na
segunda etapa
Pn - possibilidades de o evento se realizar
Exemplo:
1- Considere três cidades A, B e C interligadas pelas rodovias R1,
R2, R3, R4 e R5. Determine de quantas maneiras podemos ir da
cidade A para cidade C passando pela cidade B.
Observe que o evento pode ser realizado em duas etapas, a
primeira consiste em ir da cidade A para cidade B, e a segunda, em
ir da cidade B para cidade C. Para realizarmos a primeira etapa,
temos duas possibilidades (estradas R1 e R2), e, para realizarmos a
segunda etapa, temos três possibilidades (R3, R4 e R5).
1ª etapa → duas possibilidades
2ª etapa → três possibilidades
Pelo princípio fundamental da contagem, devemos multiplicar o
total de possibilidades de cada etapa.
2 · 3 = 6
Portanto, para ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B,
temos o total de seis possibilidades.
FATORIAL
O fatorial é uma forma de decompor-se um número natural. Para
calcular-se o fatorial de um número, basta multiplicá-lo por todos
os seus antecessores até o número 1. O fatorial é representado
pelo sinal de exclamação — “!”.
Exemplo:
a) 2! = 2 ·1 = 2
b) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
c) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
ARRANJO
Considere um conjunto com n elementos distintos. Vamos chamar
de arranjo de n os elementos tomados p a p, qualquer sequência
ordenada por p, e os elementos distintos escolhidos entre os n
elementos. Atenção: no arranjo a ordem faz diferença.
Exemplo:
1- Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem
ser formados usando-se os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Como queremos determinar o total de números que podem ser
formados, observe que o total de elementos é igual a oito, e
queremos agrupá-los de quatro em quatro, portanto:
PERMUTAÇÃO
Considere um conjunto com n elementos. Vamos chamar de
permutação de n elementos todo arranjo de n elementos tomados n
a n. Assim temos que:
Pn = n!
Exemplo:
1-Determine quantos anagramas podem haver na palavra Brasil?
Entendemos como anagrama todas as possíveis transposições das
letras da palavra, por exemplo, “Lisarb” é um anagrama da palavra
Brasil. Para determinarmos a quantidade de anagramas, devemos
calcular a permutação das letras da palavra, assim temos que:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Portanto, a palavra Brasil possui 720 anagramas.
COMBINAÇÃO SIMPLES
Considere um conjunto A com n elementos distintos. Vamos
chamar de combinação dos n elementos tomados p a p qualquer
subconjunto de A formado por p elementos. A fórmula para o
cálculo da combinação é dada por:
OBS.: na combinação a ordem não importa.
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UNIBAV CONCURSOS - APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF. PABLO LISBOA
Exercícios:
1. Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram
12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e
secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão
ocupar as vagas deste grêmio?
a) 1020
b) 1280
c) 1320
d) 1460
e) 1480
2. Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas
enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades
existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência
de 6 algarismos.
a) 151.200
b) 120.300
c) 110.410
d) 101.200
e) 100.100
3. Quantos números de algarismos distintos é possível formar com
os algarismos ímpares 1, 3, 5, 7, 9?
a) 6
b) 16
c) 24
d) 120
e) 720
4. O total de anagramas que podemos formar com o nome GOIANIA
é igual a
a) 800
b) 1022
c) 1260
d) 2520
e) 3200
5. Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela
possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras
diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua
viagem?
a) 620
b) 780
c) 792
d) 882
e) 906
6. Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num
grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele
pode realizar a escolha.
a) 45
b) 52
c) 54
d) 56
e) 62
GABARITO:
1.C 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D
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