Aula 03 - Tensões, Saint Venant e deformação

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GRADUAÇÃO - ENGENHARIA
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL – CCE1682
DSc MIGUEL HENRIQUE DE OLIVEIRA COSTA
PROFESSOR
Rio de Janeiro, 2021.2
MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL
Aula 03 - Tensões, principio de Saint Venant e deformações
Introdução
• Ementa
• Tensões:
• Tração e Compressão;
• Propriedades mecânicas dos materiais;
• Principio de Saint-Venant;
• Principio da Superposição;
• Deformações iniciais;
• TENSÃO NORMAL → A intensidade da força, ou força 
por unidade de área, que age perpendicularmente a 
área.
• TENSÃO CISALHAMENTO → A intensidade da força, 
ou força por unidade de área, que age tangente a área.
Tensão Normal e Cisalhamento
• A força e o momento que agem em um ponto específico da área secionada de um
corpo.
𝜎𝑧 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑍
∆𝐴
𝜏𝑧𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
𝜏𝑧𝑦 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧
Tensor das tensões
No SI de Medidas, os valores da tensão são especificadas nas unidades de newtons 
por metro quadrado (N/m²). Essa unidade, denominada 1 pascal (1 Pa = 1 N/m²).
Exemplo 01:
Duas barras sólidas circulares são soldadas a uma placa em B formando uma única barra.
Considere que uma força de 30kN está uniformemente distribuída ao longo da
circunferência do colar em B e que a carga de 10kN em C será aplicada no centroide da
seção transversal. Determine a tensão axial em cada parte da barra;
DCL
෍𝐹1 = 0 → −𝐹1 − 30 + 10 = 0 ∴ 𝐹1 = −20 𝑘𝑁
DCL
෍𝐹2 = 0 → −𝐹2 + 10 = 0 ∴ 𝐹2 = 10 𝑘𝑁
𝜎1 =
𝐹
𝐴
=
−20.000
𝜋 × 20²
4
= −63,7 𝑀𝑃𝑎 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)
𝜎2 =
𝐹
𝐴
=
10.000
𝜋 × 15²
4
= 56,6𝑀𝑃𝑎 (𝑇𝑟𝑎çã𝑜)
Principio de Saint-Venant
• A medida que nos afastamos da força aplicada o diagrama de distribuição das tensões
tende a ficar uniforme. O principio de Saint-Venant afirma que os efeitos localizados
causados por qualquer carga serão dissipados ou atenuados em regiões
suficientemente afastadas do ponto de aplicação da carga.
Principio de Saint-Venant
• Modelo de elementos finitos com
carregamento axial de 100 kN.
• Seção transversal de 100x20x500
mm;
• Determinação da distribuição das
tensões normais ao longo de
trajetórias;
• Objetivo de mostrar que as
tensões próximas da carga
aplicada não se distribuem
uniformemente;
Deformação axial
• Um elemento estrutural possui um eixo longitudinal reto é dito sofrer deformação axial
se quando cargas ou variação de temperatura são aplicadas ao elemento.
• O eixo do elemento estrutural permanece reto;
• Seções transversais planas do elemento estrutural permanecem planas,
perpendiculares ao eixo e não giram em relação ao eixo quando o elemento se
deforma;
• Tipos de Equações.
• Equilíbrio;
• Geometria da deformação;
• Comportamento do material;
• Restrição
• A teoria restrita a elementos estruturais retos, esbeltos possuindo seção transversal
constante ou variação gradual ao longo do comprimento do elemento;
Deformação Elástica
• A deformação elástica de um elemento com carregamento axial, pode ser deduzida
utilizando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, calculando-se o
deslocamento relativo (δ).
• Módulo de Young (Elasticidade) → Mede a resistência de um material para ser
elasticamente deformado. Quanto mais rígido o material, maior será o seu módulo de
Elasticidade (E).
Elasticidade
𝜎 = 𝐸 × 𝜀 Deformação
• Tensões Axiais e deformação
𝜎 =
𝐹𝑥
𝐴𝑥
Tensão Axial 𝜀 =
𝑑𝛿
𝑑𝑥
Deformação Elástica
• Juntando as Equações
𝐹𝑥
𝐴𝑥
= 𝐸 ×
𝑑𝛿
𝑑𝑥
∴ 𝑑𝛿 =
𝐹𝑥
𝐴𝑥
𝑑𝑥
𝐸
𝛿 = න
0
𝐿 𝐹𝑥
𝐴𝑥
𝑑𝑥
𝐸
∴𝛿 =෍
𝐹𝐿
𝐸𝐴
Integrando:
Carga e seção 
transversal constante
Convenção de sinais
POSITIVOS (+) se causarem tração e alongamento
NEGATIVO (-) se causarem compressão e contração
Exemplo 02:
• Uma barra com uma variação de carregamentos Axiais, determinar o deslocamento
relativo e traçar o diagrama de esforços Normais (E= 210 Gpa).
𝛿𝐴/𝐷 =෍
𝐹𝐿
𝐸𝐴
=
5000 × 500
210.000 × 50
+
−3000 × 500
210.000 × 50
+
−7000 × 500
210.000 × 50
= − 0,238 𝑚𝑚
𝛿𝐵 =෍
𝐹𝐿
𝐸𝐴
=
5000 × 500
210.000 × 50
=0,238 𝑚𝑚
𝛿𝐶 =෍
𝐹𝐿
𝐸𝐴
=
5000 × 500
210.000 × 50
+
−3000 × 500
210.000 × 50
=0,0952 𝑚𝑚
Exemplo 03:
A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a tensão
normal media máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado
Máximo Esforço 
Normal Atuante
𝜎𝐵/𝐶 =
30.000
35 × 10
= 85,71 𝑀𝑃𝑎
Exemplo 04:
O conjunto consiste de um tubo de alumínio AB e uma haste de aço rigidamente acoplada 
a um colar em B. Determinar o deslocamento da extremidade C ? (Eaço=200 GPa ; Ealu=69GPa ; 
Aaço=78,54 mm² e Aalu=400 mm²).
Diagrama de Tensão x Deformação:
Ponto I: LIMITE DE PROPORCIONALIDADE: as deformações
são proporcionais às tensões;
Ponto II: LIMITE DE ELASTICIDADE: elasticidade é a
propriedade do material de fazer com que o corpo
retorne ao seu tamanho inicial assim que a força deixa
de agir sobre o mesmo;
Ponto III: LIMITE DE ESCOAMENTO: caracteriza a perda
da propriedade elástica do material, ou seja, perde a
capacidade de voltar ao seu estado inicial;
Ponto IV: LIMITE DE RESISTÊNCIA: maior tensão que o
corpo pode suportar;
Ponto V: instante em que o corpo se rompe.
Principio da Superposição dos Efeitos
• É utilizado para determinar a tensão e o deslocamento em carregamentos complexos. o
princípio da superposição afirma que a tensão ou o deslocamento resultante no ponto
pode ser determinado se antes se determinar a tensão ou o deslocamento causado por
cada componente da carga agindo separadamente sobre o elemento.
CONDIÇÕES: 1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou o
deslocamento a der determinado. (𝜎 = Τ𝑃 𝐴 ; 𝛿 = Τ𝑃𝐿 𝐸𝐴);
2. A carga não deve mudar significativamente a configuração
original da geometria;
Elementos Estaticamente Indeterminados
• Como não temos cargas horizontais e como as cargas e reações são axiais, a primeira e
terceira equação são automaticamente satisfeitas. Ou seja, temos uma equação de
equilíbrio disponível para duas incógnitas.
• Estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas)
são assim conhecidas, pelo fato das equações de
equilíbrio não serem suficientes para resolvê-las.
• Como Resolver?
• Adicionando mais equações;
• Mas não temos mais equações de equilíbrio, então
uma equação que caracteriza como a estrutura se
desloca. O deslocamento relativo entre pontos;
෍𝐹𝐻 = 0 ; ෍𝐹𝑉 = 0 ;෍𝑀 = 0
Elementos Estaticamente Indeterminados
• Uma barra fixada em uma só extremidade, e é submetida a uma força axial. As reações
podem ser determinadas pela equação de equilíbrio da força aplicada ao longo do eixo
da barra. Se a barra estiver presa em ambas as extremidades, aparecem duas reações
axiais desconhecidas. Neste caso a barra é denominada estaticamente indeterminada,
pois as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações.
• Uma equação adicional necessária. Uma CONDIÇÃO DE COMPATIBILIDADE adequada
exigiria que o deslocamento relativo igual a zero (𝛿𝐴/𝐵 = 0).
• Se a barra estiver fixa em ambas as extremidades temos
reações desconhecidas;
• Admitindo seção constante
𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 − 𝑃 = 0 → 𝛿𝐴/𝐵 = 0
𝐹𝐴 =
𝑃𝐿𝐶𝐵
𝐿
𝐹𝐵 =
𝑃𝐿𝐴𝐶
𝐿
Exemplo 05:
• Determinar as reações de apoio para uma força P=80 kN; Onde LAC=400 mm e LCB=200
mm;
Material Extra:
• Material extra para estudo:
• Material Prioritário (Hibbeler 7ª Edição):
• Capitulo 4: 4.1, 4.3 e 4.4;
• Material Habilitado:
• Capitulo 4: 4.1 – 4.30;
"Fazer da educação a nossa identidade"
OBRIGADO !
Miguel Oliveira