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1. Certo capital, colocado parte a 4% a.a. e parte a 5,5% a.a., rendeu juros simples anuais de R$ 2.475,00. Se a parte colocada a 5,5% fosse colocada a 4% e vice-versa, os juros teriam sido de R$ 2.370,00. Qual o capital e as duas partes?
Resposta:
Vamos chamar o valor da parte colocada a 4% de "x" e o valor da parte colocada a 5,5% de "y". O objetivo é encontrar o valor do capital total (x + y), bem como os valores individuais de x e y.
Primeiro, vamos criar duas equações com base nas informações dadas:
Equação 1: juros com as taxas originais
0,04x + 0,055y = 2475
Equação 2: juros com as taxas trocadas
0,04y + 0,055x = 2370
Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x e y.
Vamos multiplicar a Equação 2 por 0,04 e a Equação 1 por 0,055 para igualar os coeficientes de uma das variáveis (por exemplo, x):
0,04 * (0,04y + 0,055x) = 0,04 * 2370
0,055 * (0,04x + 0,055y) = 0,055 * 2475
Simplificando:
0,0016y + 0,0022x = 94,8
0,0022x + 0,03025y = 136.125
Agora, podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a variável x:
(0,0022x + 0,03025y) - (0,0016y + 0,0022x) = 136.125 - 94,8
0,02805y = 41,325
Agora, isolamos y:
y = 41,325 / 0,02805
y ≈ 1470,63
Agora que temos o valor de y, podemos substituí-lo na primeira equação para encontrar x:
0,04x + 0,055 * 1470,63 = 2475
0,04x + 80,58465 = 2475
0,04x = 2394,41535
x ≈ 59860,384
Agora que temos os valores de x e y, podemos encontrar o valor do capital total:
Capital = x + y
Capital ≈ 59860,384 + 1470,63
Capital ≈ 61331,014
Portanto, o capital total é aproximadamente R$ 61.331,01. As duas partes são cerca de R$ 59.860,38 a 4% a.a. e cerca de R$ 1.470,63 a 5,5% a.a.
2. Um título foi descontado em um banco, à taxa de 60% a.a., 39 dias antes do vencimento. Sabendo que o banco cobrou uma comissão de 1% sobre o valor nominal, e que o valor creditado foi de R$ 2.775,00 calcule o valor nominal do título.
Primeiro, vamos definir as informações dadas:
Taxa de desconto: 60% a.a.
Dias antes do vencimento: 39 dias
Comissão do banco: 1% do valor nominal
Valor creditado: R$ 2.775,00
Vamos chamar o valor nominal do título de "V".
Passo 1: Calcular o valor dos juros descontados:
Os juros descontados podem ser calculados usando a fórmula dos juros simples:
Juros = Valor Nominal × Taxa de Desconto × Tempo
Juros = V × 0,60 × (39/360) (usamos 360 dias no ano)
Passo 2: Deduzir a comissão do banco:
O valor nominal do título após deduzir a comissão do banco é dado por:
Valor após Comissão = Valor Nominal - Comissão
Valor após Comissão = V - (0,01 × V) = 0,99 × V
Passo 3: Calcular o valor creditado:
O valor creditado é o valor após deduzir os juros descontados:
Valor Creditado = Valor após Comissão - Juros
2.775,00 = 0,99 × V - Juros
Substituindo o valor dos juros descontados da etapa anterior:
2.775,00 = 0,99 × V - V × 0,60 × (39/360)
Agora podemos resolver essa equação para encontrar o valor nominal "V".
Passo 4: Resolver a equação:
2.775,00 = 0,99 × V - 0,60 × V × (39/360)
Primeiro, simplificamos a fração:
2.775,00 = 0,99 × V - 0,065 × V
Agora, somamos os termos semelhantes:
2.775,00 = 0,925 × V
Finalmente, isolamos V:
V = 2.775,00 / 0,925
V ≈ 3.000,00
Portanto, o valor nominal do título é aproximadamente R$ 3.000,00.
3. Um título com 92 dias a decorrer até o seu vencimento está sendo negociado a taxa de desconto simples de 12% a.a. Qual a taxa de juros mensais simples dessa operação?
A taxa de desconto simples é normalmente anual, mas para calcular a taxa de juros mensais equivalente, podemos usar a seguinte fórmula:
Taxa de Juros Mensais = (Taxa de Desconto Anual / 12) * 100
Dada a taxa de desconto de 12% a.a., podemos calcular a taxa de juros mensais:
Taxa de Juros Mensais = (12% / 12) * 100
Taxa de Juros Mensais = 1%
Portanto, a taxa de juros mensais simples dessa operação é de 1%.