Proteção de Sistemas Elétricos Teoria e Prática - Módulo 5 - Parte 1

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Proteção de 
Sistemas Elétricos 
Teoria e Prática
Análise de Sistemas de Proteção no Domínio 
do Tempo – Parte 1
Prof. Alberto Resende De Conti
Prof. João Ricardo da Mata Soares de Souza
Realização: Organização: Apoio:
1. Introdução
Todo circuito elétrico linear pode ser representado por meio de 
uma combinação de três elementos fundamentais: resistores, 
indutores e capacitores.
1.1 Regime Permanente Senoidal
Se um circuito elétrico linear é alimentado por fontes de tensão 
e/ou corrente puramente senoidais e se encontra energizado 
por um tempo infinitamente logo, diz-se que esse circuito opera 
em regime permanente senoidal.
A hipótese de regime permanente senoidal é utilizada como 
base para a análise de diferentes fenômenos em sistemas de 
energia elétrica, como fluxo de potência, penetração de 
harmônicos e curtos-circuitos. 
Para a análise de circuitos em regime permanente senoidal, 
utiliza-se a transformação fasorial, que permite rescrever as 
equações diferenciais como equações algébricas complexas. 
1.2 Regimes Transitórios
Quando ocorre uma mudança de condição operacional em um 
circuito elétrico, como por exemplo a abertura ou fechamento 
de uma chave e a ocorrência de um curto-circuito, tem início o 
que se convenciona denominar regime transitório ou 
transitório eletromagnético.
Transitórios eletromagnéticos excitam as frequências naturais 
do sistema elétrico, que podem coincidir ou não com a 
frequência das fontes que o alimentam. 
Durante regimes transitórios ocorrem trocas de energia entre 
diferentes componentes do sistema elétrico analisado que 
podem levar a sobretensões e/ou sobrecorrentes.
Embora a duração dos regimes transitórios seja muito menor 
do que o tempo em que o sistema elétrico opera em regime 
permamente senoidal, ou estacionário, seus efeitos podem ser 
catastróficos.
A duração do regime transitório corresponde ao intervalo de 
tempo entre dois regimes permanentes ou estacionários.
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 100 200 300 400 500
C
o
rr
en
te
 (
kA
)
Tempo (ms)
Regime Transitório Regime PermanenteRegime Permanente
Exemplo: Energização de Circuito RL
O comportamento da corrente no indutor é caracterizado por 
um decaimento exponencial associado à resposta natural do 
circuito. A amplitude e a duração da resposta transitória da 
corrente dependem, respectivamente, de dois fatores:
1. Da diferença entre a corrente que se esperaria obter no 
instante em que a chave é fechada e da corrente inicial do 
indutor. Isso é definido pelo instante de fechamento da 
chave, sendo denominado ângulo de incidência.
2. Da constante de tempo do circuito, que no caso 
corresponde a 𝜏 =
𝐿
𝑅
.
O decaimento exponencial observado na corrente também se 
manifesta em curtos-circuitos em linhas de transmissão, que 
podem ser interpretados como o fechamento de chaves entre 
fases diferentes e/ou entre fases e terra.
Transitórios 
eletromagnéticos
Fonte: N. Watson e J. Arrillaga, Power Systems Electromagnetic Transients 
Simulation, The Institution of Engineering and Technology, 2003.
1.3 Fenômenos de Interesse
Fonte: N. Watson e J. Arrillaga, Power Systems Electromagnetic Transients 
Simulation, The Institution of Engineering and Technology, 2003.
Domínio do tempo, 
ondas viajantes
Switching
A análise de regimes transitórios em sistemas elétricos é 
normalmente realizada utilizando uma das técnicas abaixo:
• Solução analítica das equações diferenciais que descrevem 
o problema.
• Solução das equações diferenciais que descrevem o 
problema via Transformada de Laplace.
• Análise em regime permanente senoidal em toda faixa de 
frequências de interesse e uso das transformadas 
numéricas de Fourier ou Laplace.
• Solução numérica das equações diferenciais que 
descrevem o problema diretamente no domínio do tempo.
2 Solução Numérica de Fenômenos Transitórios
A estratégia mais utilizada para a solução numérica de 
transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica 
se baseia na representação proposta por Hermann Dommel e 
implementada originalmente no EMTP – Electromagnetic 
Transients Program.
Essa técnica ainda é utilizada como base em programas como 
o ATP (Alternative Transients Program), o PSCAD e o 
EMTP-RV (agora simplesmente EMTP).
2.1 Integração Numérica
Programas de cálculo de transitórios eletromagnéticos como o 
EMTP e o ATP fazem uso de métodos de integração numérica 
para a solução das equações diferenciais que descrevem o 
problema. Na sequência são discutidos dois métodos utilizados 
nesses programas: 
1. Método de Euler Regressivo
2. Método Trapezoidal
2.1.1 Método de Euler Regressivo
2.1.2 Método Trapezoidal
2.2 Modelos de Elementos Lineares de Circuitos
2.2.1 Modelo de Resistor
A solução numérica de circuitos elétricos requer a divisão do tempo 
de análise em intervalos discretos de tempo de duração Δ𝑡. A solução 
é determinada em cada passo de tempo com base nos valores atuais 
das tensões e correntes no circuito e também a partir de valores 
previamente calculados dessas grandezas.
2.2.2 Modelo de Indutor
Integração trapezoidal
Isolando o elemento diferencial 𝑑𝑖, podemos escrever:
Termos históricosTermo atual
Definindo:
Podemos escrever:
Cujo circuito equivalente é:
Este é o modelo de indutor no 
domínio do tempo discreto 
baseado na regra de integração 
trapezoidal
2.2.3 Modelo de Capacitor
Aplicando a regra de integração trapezoidal, obtém-se:
Exemplo: Solução Numérica de Circuito RL
Este par de equações permite a 
determinação da tensão no nó b 
com base em valores já conhecidos 
das demais grandezas
Substituindo cada um dos componentes do circuito por seu 
equivalente no domínio do tempo discreto e aplicando o método das 
tensões de nós, obtém-se:
Se 𝑅 = 10 m, 𝐿 = 1 mH, 𝑉0 = 10 kV, 𝑡0 = 0, 𝑓 = 60 Hz e Δ𝑡 =0,1 ms:
𝑅𝐿(𝑡) = 20 
𝑣𝑏 𝑡 = 0,9995𝑣𝑎 𝑡 − 9,995 × 10
−3𝐼𝐿 𝑡 − Δ𝑡
𝐼𝐿(𝑡) = 0,1𝑣𝑏(𝑡) + 𝐼𝐿(𝑡 − Δ𝑡)
t (s) vs(t) [kV] u(t) va(t) [kV] vb(t) [kV] IL(t) [kA] i(t) [kA]
-0,0001 -0,376902 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0,0001 0,376902 1 0,376902 0,376713 0,037671 0,018836
0,0002 0,753268 1 0,753268 0,752515 0,112923 0,075297
0,0003 1,128564 1 1,128564 1,126871 0,22561 0,169266
0,0004 1,502256 1 1,502256 1,49925 0,375535 0,300572
0,0004 1,873813 1 1,873813 1,869123 0,562447 0,468991
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 0,05 0,1 0,15 0,2
C
o
rr
en
te
 (
kA
)
Tempo (s)
2.3 Solução Numérica de Circuitos Genéricos
A solução numérica de circuitos lineares com topologia qualquer requer 
a montagem do problema na seguinte forma matricial:
𝑮𝒗 𝑡 = 𝒊(𝑡)
onde
𝑮 é uma matriz de condutâncias com termos conhecidos
𝒗 𝑡 é um vetor de tensões nodais contendo as incógnitas do problema
𝒊 𝑡 é um vetor de correntes injetadas por fontes de corrente 
independentes e fontes de corrente históricas. 
As tensões desconhecidas são determinadas em cada passo de tempo 
resolvendo-se sucessivamente o seguinte problema matricial:
𝒗 𝑡 = 𝑮−1𝒊(𝑡)
Exemplo C: Solução Numérica de Circuito RLC Genérico
2.4 Modelagem de Chaves 
Em circuitos modelados com o método das tensões de nós, cada 
abertura ou fechamento de uma chave resulta em uma mudança 
topológica do circuito. Isso torna necessário determinar a matriz de 
condutâncias e sua inversa para cada um dos estados das chaves.
2.5 Problemas de Oscilação Numérica
Suponha a abertura da chave no circuito abaixo em 𝑡 = 𝑡𝑎. A corrente só 
deve ser efetivamente interrompida quando passar por zero em 𝑡 ≥ 𝑡𝑎 . 
Utilizando a integral trapezoidal para solucionar a relação tensão-
corrente no indutor, pode-se escrever:
Para 𝑡 ≥ 𝑡𝑎 , tem-se que
Tensão e corrente no circuito RL com V=100 V, f=60 Hz, R=2 , 
L=1 mH e 𝑡𝑎 =20 ms: 
1) Modificação da técnica de solução: subdivide-se o passo de tempo 
subsequente ao instante de interrupção da corrente em dois e aplica-
se o método de integraçãode Euler nesse intervalo (método CDA 
descrito em Lin e Marti, 1990). 
Soluções para problemas de oscilação numérica, que também podem 
aparecer na corrente de capacitores em condições de chaveamento:
2) Uso de resistores para atenuação das oscilações numéricas: 
solução paliativa que pode introduzir erros nas simulações. 
2.6 Elementos Não Lineares
A inclusão de elementos não lineares na simulação numérica de 
transitórios eletromagnéticos é necessária, por exemplo, para a 
representação dos seguintes fenômenos :
1. Saturação do núcleo de transformadores
2. Atuação de para-raios
3. Modelagem de isoladores
4. Modelagem do arco elétrico
5. Ionização do solo
Duas estratégias são normalmente empregadas para incluir elementos 
não lineares em simulações de transitórios eletromagnéticos: 
• Método da Compensação, que é verdadeiramente não linear
• Método Linear por Partes, que é pseudo-não-linear
Ambas as estratégias podem ser usadas para descrever modelos de 
resistores e indutores não lineares, dependendo da aplicação.
Chaves também são exemplos de elementos não lineares que podem ser 
usados para modelar disjuntores, isoladores e centelhadores.
2.6.1 Método da Compensação
No método da compensação, o elemento não-linear é inicialmente 
separado do restante do circuito e a parcela linear do circuito é 
solucionada no instante 𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡 utilizando as técnicas já conhecidas.
A partir da solução obtida no instante 𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡 , determina-se o 
equivalente de Thévenin visto a partir do ponto de inserção do elemento 
não linear.
Em seguida, a equação que descreve o equivalente de Thévenin é 
combinada com a equação que descreve a característica não linear do 
elemento. A equação não linear resultante é solucionada utilizando o 
método de Newton-Raphson. A solução corresponde à interseção das 
características do equivalente de Thévenin e do elemento não linear.
A corrente 𝑖𝑛 é, em seguida, utilizada para calcular as tensões 𝑣𝑛
′′ na 
parcela linear do circuito desconsiderando o efeito das demais fontes:
Finalmente, a tensão total em todos os pontos do circuito é atualizada 
fazendo:
𝑣𝑛 = 𝑣𝑛
′ + 𝑣𝑛
′′
Por fim, a solução avança um passo de tempo (𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ∆𝑡 ) e o ciclo 
se repete até que a simulação seja finalizada.
O método da compensação é extremamente poderoso e pode ser 
utilizado se:
1) A característica do elemento não linear puder ser representada 
analiticamente.
2) A solução da equação não linear resultante do problema não 
apresentar problemas de convergência.
3) Existir um equivalente de Thévenin visto a partir do ponto de 
inserção do elemento não linear.
4) O passo de tempo ∆𝑡 for suficientemente pequeno para evitar 
problemas de pseudo-histerese.
2.6.2 Método Linear Por Partes
No método linear por partes, a característica não linear do elemento é 
aproximada como uma sucessão de segmentos de reta. 
Região 1 Região 2
Procedimento de Cálculo
• Durante a simulação, a variável de controle (no caso exemplo, a 
tensão) é monitorada no elemento.
• Enquanto 𝑣 𝑡 < 𝑣1 , resolve-se o problema considerando-se as 
características do elemento na região 1.
• Se 𝑣 𝑡 ≥ 𝑣1, resolve-se o problema considerando-se as características 
do elemento na região 2.
• Uma mudança na região de operação no instante 𝑡 só afeta a solução 
do problema no passo de tempo seguinte (𝑡 = 𝑡 + ∆𝑡).
Tomando como base um resistor não linear, se sua curva característica é 
linearizada utilizando dois segmentos de reta, obtém-se a seguinte 
representação equivalente para 𝑣(𝑡) ≥ 0:
Chave controlada 
por tensão
Indutores não lineares têm princípio de funcionamento semelhante, com 
a diferença de que a variável de controle é, nesse caso, o fluxo magnético:
Da mesma forma que resistores não lineares, a transição entre regiões de 
operação em um indutor não linear é análoga àquela provocada pelo 
fechamento e abertura da chave 𝑠0 no circuito abaixo:
O método linear por partes é extremamente flexível, mas:
1) A mudança da região de operação é alterada com um atraso de ∆𝑡, o 
que pode ser problemático se ∆𝑡 não é suficientemente pequeno.
2) Tende a ser menos eficiente do que o método da compensação por 
conta da frequente transição entre diferentes regiões de operação.
3) Deve-se evitar o uso de muitos segmentos de reta para 
representação da característica não linear do elemento. Recomenda-
se o uso de dois ou três segmentos, no máximo.
3 Alternative Transients Program ATP
O ATP é um software que emprega o método de integração 
trapezoidal, o método das tensões de nós e os métodos da 
compensação e linear por partes para a montagem e solução 
de problemas de transitórios eletromagnéticos envolvendo 
elementos lineares e não lineares.
O ATP é um software gratuito para usuários licenciados, 
sendo oficialmente distribuído no Brasil pelo Engenheiro 
Guilherme Sarcinelli, do ONS.
• Um processador central resolve 
circuitos elétricos nos domínios do 
tempo e da frequência.
• Programas de suporte são fornecidos 
para gerar modelos de linhas de 
transmissão, transformadores etc.
• MODELS: linguagem de programação 
que permite o desenvolvimento de 
modelos pelo usuário.
• TACS: módulo de simulação de 
sistemas de controle no domínio do 
tempo que também permite o 
desenvolvimento de modelos.
Fonte: www.emtp.org
3.1 Cronologia
Ano Evento
1966
Hermann Dommel inicia o desenvolvimento do EMTP (Electromagnetic Transients 
Program) na BPA (Bonneville Power Administration), nos EUA
1973
Dommel se transfere para a Universidade de British Columbia, no Canadá, e o 
desenvolvimento do EMTP fica sob a responsabilidade de Scott-Meyer na BPA
1983
O consórcio DCG/EPRI (EMTP Development Coordination Group / Electric Power 
Research Institute) passa a ser detentor dos direitos do EMTP
1984
Scott-Meyer inicia o desenvolvimento do ATP (Alternative Transients Program) 
após não aprovar a comercialização do EMTP desenvolvido na BPA pelo DCG/EPRI
1994
Desenvolvimento da primeira versão do ATPDraw, interface gráfica para uso com o 
ATP. 
Fonte: Ametani et al., Power System Transients – Theory and Applications (2014)
Na versão original do EMTP, a entrada de dados era feita por 
meio de cartões perfurados. 
3.2 Estrutura de Dados de Entrada
Com o passar do tempo, os cartões perfurados foram 
substituídos por arquivos de texto. No ATP, esses arquivos têm a 
extensão .ATP
A posição dos caracteres é 
muito importante no arquivo 
.ATP. Um deslocamento de 
um espaço pode impedir a 
compilação do circuito.
Essa estrutura é detalhada 
no Rule Book do ATP.
O arquivo começa sempre com a declaração “BEGIN NEW DATA 
CASE”
As linhas que começam com a letra C são comentários e não 
são compiladas.
Em seguida vêm os dados do primeiro cartão com os parâmetros 
gerais da simulação (chamado de miscelaneous).
O primeiro elemento é o passo de integração, em segundos.
O segundo é o tempo total da simulação, em segundos.
O segundo cartão é o cartão /BRANCH que contém os valores 
dos elementos lineares do circuito (capacitores, indutores e 
resistores).
Os primeiros caracteres de cada coluna indicam o nome dos nós 
de entrada e saída de cada elemento. Quando esses campos 
estão em branco, eles correspondem ao nó de referência (terra).
O cartão /SWITCH contém as informações das chaves e dos 
sensores de corrente. As linhas também começam com o nome 
dos nós.
O cartão /SOURCE contém as informações das fontes.
Por fim, o cartão /OUTPUT apresenta a relação dos nós cujas 
tensões e/ou correntes serão exibidas após a simulação.
Ao final, todos os cartões são fechados com a expressão BLANK 
seguida do nome do cartão e o arquivo é finalizado com as 
expressões BEGIN NEW DATA CASE e BLANK.
O ATPDraw é uma interface gráfica criada em 1994 como 
ferramenta de suporte ao ATP. 
3.3 O ATPDraw
• O circuito é montado pelo usuário 
utilizando a biblioteca de 
componentes disponíveis.
• O ATPDraw gera automaticamenteo arquivo texto no formato .ATP.
• São gerados, após a simulação, 
arquivos com extensão .LIS (permite 
a verificação de erros e a extração 
de dados da simulação) e .PL4 
(visualização de formas de onda).
Fonte: ATPDraw Manual version 5.6
O Arquivo .ATP apresentado foi gerado pelo ATPDraw a partir do 
seguinte circuito:
Parâmetros 
de Simulação
Circuito simulado. 
Atenção para a inclusão do 
referencial de terra! (botão 
direito do mouse selecionado 
sobre o nó a ser aterrado)
Simulação e visualização de 
resultados
Modelos disponíveis no ATP:
• Elementos lineares (RLC)
• Elementos não lineares (métodos da compensação e linear 
por partes)
• Chaves controladas por tempo, tensão e externamente.
• Transformadores
• Linhas de transmissão
• Relés e sistemas de proteção
• Cabos subterrâneos
• Máquinas elétricas etc.
Os modelos disponíveis no 
podem ser selecionados 
clicando-se no botão direito 
do mouse sobre a tela 
principal do programa.
Exemplo: Elementos Lineares
Exemplo: Elementos Não Lineares
Indutor não linear baseado no método linear por partes
Indutor histerético baseado no método linear por partes
Resistor não linear baseado no método da compensação: 𝑖 = 𝑝 ∙
𝑣
𝑣𝑟𝑒𝑓
𝑞
 
Para-raios de óxido de zinco (resistor tipo 92, método da compensação)
Exemplo: Resistor tipo 92
Exemplo: Indutor tipo 98
Exemplo: Indutor tipo 96 (Histerético)
Fluxo residual
Exemplo: MOV tipo 92
Exemplo: Ferramentas para circuitos trifásicos e pontas de prova
4 Transformadores
A modelagem de transformadores para estudos de fenômenos 
transitórios é normalmente realizada seguindo uma das três abordagens 
abaixo:
1. Caixa Branca: o modelo é construído com base em detalhes de 
projeto do transformador, que são inacessíveis para os usuários.
2. Caixa preta: o modelo se baseia exclusivamente em medições 
realizadas externamente. Não permite o estudo de fenômenos 
internos ao transformador.
3. Caixa Cinza: Solução de compromisso que combina as 
modelagens caixa branca e caixa cinza.
Os modelos de transformador disponíveis no ATPDraw são do tipo 
caixa preta ou caixa cinza. São eles:
1. Modelo Ideal
2. Modelo Saturável
3. Modelo BCTRAN
4. Modelo Híbrido
4.1 Modelo Ideal
𝑣1
𝑣2
=
𝑁1
𝑁2
= 𝑛
𝑖1
𝑖2
=
𝑁2
𝑁1
=
1
𝑛
O único parâmetro a ser fornecido pelo usuário é a relação de 
transformação 𝑛 , tanto para transformadores monofásicos quanto 
trifásicos. 
Ideal 1 Phase Ideal 3 Phase
4.2 Modelo Saturável
O modelo saturável corresponde à transposição, para o ATP, do modelo 
prático de transformadores extraído a partir dos ensaios de curto-
circuito e circuito aberto. 
Parâmetros de curto-circuito
Parâmetros de circuito aberto: o indutor pode ser saturável
Curto-circuito
Circuito aberto
Curto-circuito
Transformadores de três enrolamentos também podem ser modelados 
diretamente no ATPDraw com o modelo saturável. Modelos com mais 
enrolamentos podem ser montados editando-se o arquivo .ATP 
correspondente.
Parâmetros de 
curto-circuito
Parâmetros de circuito aberto: 
o indutor pode ser saturável
Parâmetros de 
curto-circuito
Transformadores trifásicos de dois e três enrolamentos também podem 
ser modelados com o modelo saturável. 
Limitações do modelo saturável:
• O modelo é baseado em parâmetros de 60 Hz e só deve ser 
empregado em estudos de baixas frequências.
• Não é topologicamente correto.
• No caso de transformadores trifásicos, não leva em consideração 
diferença entre parâmetros de sequências positiva e zero.
• Pode levar a instabilidades numéricas no caso de transformadores 
de três enrolamentos.
• Incapaz de modelar fenômenos internos.
• Capacitâncias devem ser adicionadas externamente.
4.3 Modelo BCTRAN
O modelo BCTRAN modela os elementos extraídos dos testes de curto-
circuito de forma desacoplada daqueles extraídos dos testes a vazio.
O modelo matricial de curto-circuito tem a forma
sendo resolvido com o emprego do método de integração trapezoidal.
O modelo obtido a partir dos ensaios a vazio é formado por resistores e 
indutores adicionados externamente no primário, secundário ou 
terciário do transformador, quando presente. Caso esses elementos 
sejam não lineares, emprega-se o método linear por partes ou o método 
da compensação para sua solução.
Uma importante vantagem do modelo BCTRAN em relação ao modelo 
saturável é que ao usuário basta fornecer os dados de ensaio que as 
matrizes 𝑨 e 𝑹 são determinadas automaticamente pelo ATPDraw/ATP.
Os parâmetros do ramo de magneteização também podem ser 
determinados automaticamente a partir dos dados de ensaio a vazio.
Outra vantagem do modelo BCTRAN em relação ao modelo saturável é a 
possibilidade de informar parâmetros extraídos de ensaios de sequência 
positiva e zero.
Também é possível, através de modificações no cartão .ATP , considerar 
transformadores com mais de três enrolamentos.
Limitações do modelo BCTRAN:
• O modelo é baseado em parâmetros de 60 Hz e só deve ser 
empregado em estudos de baixas frequências.
• Apesar de permitir a inclusão de parâmetros de sequência positiva 
e zero em transformadores trifásicos, não é topologicamente 
correto. O ponto de conexão do ramo de magnetização fica a 
critério do usuário!
• Incapaz de modelar fenômenos internos.
• Capacitâncias devem ser adicionadas externamente.
4.4 Modelo Híbrido (XFMR)
O modelo híbrido, ou XFMR, leva em consideração as características 
topológicas do núcleo dos transformadores para a determinação do 
circuito elétrico equivalente. Para isso, faz uso do princípio da dualidade 
entre circuitos magnéticos e elétricos. 
Resistências variáveis com a frequência podem ser atribuídas aos 
enrolamentos. Capacitâncias também podem ser incorporadas 
diretamente caso informações estejam disponíveis.
O modelo XFMR é o modelo de transformador mais rigoroso disponível 
no ATP.
Circuito Magnético Equivalente
Fonte: Mork et al. (2007)
Exemplo: Transformador de Trifásico de Dois Enrolamentos e Três Pernas
Topologia do Núcleo
Jugos
Pernas
Dispersão
Circuito Elétrico Equivalente
Perdas Perdas
Capacitâncias Capacitâncias
Estrutura do Modelo XFMR
Matriz de capacitâncias
Ramos que representam a variação com a 
frequência da resistência dos enrolamentos
Indutâncias de dispersão do transformador, com 
matriz A idêntica à utilizada no modelo BCTRAN. 
Nós internos aos quais é conectado o circuito 
equivalente do núcleo, que é topologicamente 
correto.Fonte: Mork et al. (2007)
O circuito equivalente do núcleo de um transformador trifásico de dois 
enrolamentos e três pernas tem a seguinte estrutura:
Fonte: Mork et al. (2007)
Os parâmetros do modelo XFMR 
podem ser obtidos de três diferentes 
maneiras:
• Parâmetros de projeto.
• Relatório de ensaio.
• Valores típicos.
Diferentes abordagens podem ser 
combinadas dependendo da 
disponibilidade de dados. 
Disponibilidade 
dos dados Exatidão dos 
parâmetros do 
modelo
Valores 
Típicos
Dados 
de 
Ensaio
Dados 
de 
Projeto
Reatâncias de Dispersão: Usa a matriz A do modelo BCTRAN 
Resistências dos Enrolamentos: Usa equivalente de Foster de segunda 
ordem para representar variação com a frequência causada pelo efeito 
pelicular.
Capacitâncias: Podem ser importantes em estudos em frequências 
mais altas ou em estudos de energização de transformadores e 
ferroressonância
Núcleo: Modelo gerado pelo princípio da dualidade e que leva em 
consideração as características topológicas do núcleo.
Núcleo Triplex
Núcleo Envolvido de Três Pernas
Núcleo Envolvido de Cinco Pernas
Núcleo Envolvente
No modelo XFMR a curva de magnetização é modelada pela equação de 
Frolich modificada
𝜆 =
𝑖
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖
+ 𝐿𝑎𝑖
𝜆 =
𝑖
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 + 𝑐 ⋅ 𝑖
+ 𝐿𝑎 ⋅ 𝑖
Joelho da 
curva
Região de 
saturação 
profunda
𝐿𝑎 = 𝜇0 ⋅
𝐴
ℓ
Indutância 
de Núcleo 
de Ar
Propriedades avançadas do núcleo
Tipo de equação 
de Frolich
Elemento usado para 
modelar as indutânciasnão-lineares no ATP
Número de pontos usados na 
curva de magnetização
Indutância de núcleo de ar 
(inclinação final da curva 
de magnetização)
5 Linhas de Transmissão
Linhas de transmissão são componentes fundamentais em sistemas de 
energia elétrica, sendo responsáveis pelo transporte de energia entre 
dois pontos.
As longas distâncias atravessadas por linhas de transmissão fazem com 
que mudanças em condições operacionais em algum de seus terminais 
(energização da linha, inserção ou retirada de cargas etc.) ou ao longo 
de sua extensão (por exemplo, faltas) não sejam percebidas 
instantaneamente em pontos remotos. 
A necessidade de incluir tempos de atraso para representar fenômenos 
elétricos em linhas de transmissão faz com que a estratégia de 
modelagem por parâmetros concentrados baseada no emprego de 
elementos R, L e C deixe de ser suficientemente rigorosa na maioria 
dos casos de interesse.
Nesse caso, deve-se utilizar a estratégia de modelagem por parâmetros 
distribuídos, que leva em consideração, também, o tempo de atraso 
entre diferentes pontos na representação matemática da linha.
Se uma linha aérea de comprimento ℓ opera em regime permanente 
senoidal na frequência f, o comprimento de onda  é obtido de:
𝜆 =
3 × 108
𝑓
 [𝑚]
onde 3 × 108 m/s corresponde à velocidade da luz no vácuo. 
• Se 𝜆 ≫ ℓ, diz-se que a linha é eletricamente curta. Nesse caso, 
pode ser modelada utilizando parâmetros concentrados (R, L e C).
• Se a condição 𝜆 ≫ ℓ não é satisfeita, diz-se que a linha é 
eletricamente longa. Nesse caso, não é possível desprezar os 
tempos de atraso e a linha deve ser modelada utilizando uma 
abordagem por parâmetros distribuídos.
5.1 Equações de Linhas de Transmissão
Suponha a seguinte linha monofásica aérea de comprimento ℓ 
posicionada sobre um solo condutor imperfeito, operando em regime 
permanente senoidal na frequência angular :
h
𝐼(𝑥)
𝑉(𝑥)
+
-
Solo
𝐼(𝑥 = 0)
𝑉(𝑥 = 0)
+
-
𝐼(𝑥 = ℓ)
+
-
𝑉(𝑥 = ℓ)
𝑑𝐼(𝑥)
𝑑𝑥
= −𝑌′𝑉(𝑥)
𝑑𝑉 𝑥
𝑑𝑥
= −𝑍′𝐼(𝑥)
𝑍′ = 𝑅′ + 𝑗𝜔𝐿′ [/m]: Impedância longitudinal
𝑌′ = 𝐺′ + 𝑗𝜔𝐶′ [S/m]: Admitância transversal
5.2 Parâmetros por Unidade de Comprimento 
As equações de linha de transmissão requerem, para sua solução, o 
conhecimento dos seguintes parâmetros por unidade de comprimento:
• R’: resistência série ou longitudinal [/m]
• L’: indutância série ou longitudinal [H/m]
• C’: capacitância transversal ou shunt [F/m]
• G’: condutância transversal ou shunt [S/m]
Variáveis com a 
frequência!
5.3 Circuito Equivalente de uma Seção Δ𝑥
Supondo um pequeno trecho da linha de comprimento Δ𝑥, pode-se 
transformar as equações de linha de transmissão, que são equações 
diferenciais ordinárias de primeira ordem, em equações de diferenças. 
Nesse caso, obtém-se o seguinte circuito equivalente: 
5.4 Solução em Regime Permanente Senoidal
Em regime permanente senoidal, a solução das equações de linhas de 
transmissão para o caso de uma linha monofásica tem a forma: 
𝑉 𝑥 = 𝑉𝐹𝑒
−𝛾𝑥 + 𝑉𝐵𝑒
𝛾𝑥
𝐼 𝑥 = 𝐼𝐹𝑒
−𝛾𝑥 + 𝐼𝐵𝑒
𝛾𝑥 =
𝑉𝐹
𝑍𝑐
𝑒−𝛾𝑥 −
𝑉𝐵
𝑍𝑐
𝑒𝛾𝑥
𝑍𝑐 =
𝑍
𝑌
 : Impedância característica []
 
𝛾 = 𝑍𝑌 : Constante de propagação [m-1]
A impedância característica e a constante de propagação são números 
complexos que dependem da frequência em que a linha é alimentada.
A constante de propagação pode ser escrita como:
onde:
• α: constante de atenuação [np/m]
• 𝛽: constante de fase [rad/m]
A velocidade de propagação é definida como:
𝑣 =
𝜔
𝛽
, [𝑚/𝑠]
𝛾 = 𝑍𝑌 = α + 𝑗𝛽
Exemplo: Supondo uma linha monofásica infinitamente longa energizada 
em 𝑥 = 0 por uma fonte de tensão ideal 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑉0 cos(𝜔𝑡), a solução 
das equações de linhas de transmissão se reduz a:
Nesse caso, pode-se mostrar que 𝑉𝐹 = 𝑉0. Logo:
𝑉 𝑥 = 𝑉𝐹𝑒
−𝛾𝑥 + 𝑉𝐵𝑒
𝛾𝑥 = 𝑉𝐹𝑒
−𝛾𝑥
𝐼 𝑥 =
𝑉𝐹
𝑍𝑐
𝑒−𝛾𝑥 −
𝑉𝐵
𝑍𝑐
𝑒𝛾𝑥 =
𝑉𝐹
𝑍𝑐
𝑒−𝛾𝑥
𝑉 𝑥 = 𝑉0𝑒
−𝛾𝑥
𝐼 𝑥 =
𝑉0
𝑍𝑐
𝑒−𝛾𝑥
𝑉 𝑥 = 𝑉0𝑒
−(𝛼+𝑗𝛽)𝑥
𝐼 𝑥 =
𝑉0
𝑍𝑐 ∠𝜙
𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝑥
𝑉 𝑥 = 𝑉0𝑒
−𝛼𝑥∠(−𝛽𝑥)
𝐼 𝑥 =
𝑉
0
𝑍𝑐
 𝑒−𝛼𝑥∠(−𝛽𝑥 − 𝜙)
Supondo 𝑉0 = 100 kV, 𝐿
′ = 1,6013 mH/km, 𝐶′ = 6,9452 nF/km,
𝑅′ = 0,2 /km e 𝐺′ = 0 S/km obtêm-se as seguintes formas de onda para 
a tensão e a corrente em diferentes pontos da linha:
𝑣 =
𝜔
𝛽
= 2,9593 m/s
No caso avaliado, a 
velocidade de propagação 
é dada por:
A representação de linhas para estudos em regime permamente 
senoidal pode ser feita com o emprego do modelo pi equivalente. 
O modelo pi equivalente é determinado diretamente a partir da 
solução das equações de linha de transmissão no domínio da 
frequência, tratando-se portanto de um modelo exato. 
5.5 Modelo Pi Equivalente
𝑍𝜋
𝑌𝜋
2
𝑌𝜋
2𝑉 0
+
-
𝑉 ℓ
+
𝐼 0 𝐼 ℓ
-
𝑌𝜋
2
= 𝑌𝐶tanh
𝛾ℓ
2
𝑍𝜋 = 𝑍𝐶senh 𝛾ℓ
No caso de linhas eletricamente curtas obtém-se uma simplificação do 
modelo pi equivalente conhecida como modelo pi nominal. 
Esse modelo é válido para estudos em regime permanente senoidal, 
mas em algumas situações pode ser empregado no estudo de 
transitórios lentos.
5.6 Modelo Pi Nominal
𝑍𝑛
𝑌𝑛
2
𝑌𝑛
2
𝑉 0
+
-
𝑉 ℓ
+
𝐼 0 𝐼 ℓ
-
𝑌𝑛
2
=
𝑌ℓ
2
𝑍𝑛 = 𝑍ℓ
Modelo Pi Nominal no ATPDraw
Opção 1: Parâmetros conhecidos de antemão
Modelo Pi Nominal no ATPDraw
Opção 2: Geometria da linha conhecida de antemão
Parâmetros por unidade de 
comprimento são escritos no 
arquivo .lis
Resistividade do solo, 
frequência na qual são 
calculados os parâmetros da 
linha e comprimento da linha
Modelo Pi Nominal
Particularidades a 
serem considerados 
no modelo de linha 
Linha aérea
Geometria da linha
Geometria da linha e 
dados dos condutores
Visualização
5.7 Regimes Transitórios
Para o estudo de fenômenos transitórios, a abordagem mais usual 
consiste em escrever e solucionar as equações de linha de transmissão 
diretamente no domínio do tempo.
No caso de uma linha monofásica, desprezando-se o efeito pelicular 
nos condutores e no solo pode-se escrever:
𝑑𝐼(𝑥)
𝑑𝑥
= −(𝐺′ + 𝑗𝜔𝐶′)𝑉(𝑥)
𝑑𝑉 𝑥
𝑑𝑥
= −(𝑅′ + 𝑗𝜔𝐿′)𝐼(𝑥)
𝜕𝑣 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
= −𝑅′𝑖 𝑥, 𝑡 − 𝐿′
𝜕𝑖 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑖 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
= −𝐺′𝑣 𝑥, 𝑡 − 𝐶′
𝜕𝑣 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
5.8 Regimes Transitórios: Linhas Sem Perdas
A compreensão de fenômenos transitórios em linhas de transmissão é 
simplificada caso se considere o caso particular de uma linha de 
transmissão sem perdas, em que 𝑅′ = 𝐺′ = 0. Além disso, nessa 
situação pode-se desprezar a indutância interna nos condutores e no 
solo. Com isso, pode-se escrever:
onde 𝐿𝑒
′ corresponde à indutância externa. 
𝜕𝑣 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
= −𝐿𝑒
′
𝜕𝑖 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑖 𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
= −𝐶′
𝜕𝑣 𝑥, 𝑡
𝜕𝑡
A solução das equações de linhas de transmissão tem a seguinte forma 
no caso sem perdas:
𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑣𝐹(𝑥 = 0, 𝑡 − 𝜏) + 𝑣𝐵(𝑥 = 0, 𝑡 + 𝜏)
𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝑖𝐹(𝑥 = 0, 𝑡 − 𝜏) + 𝑖𝐵(𝑥 = 0, 𝑡 + 𝜏)
Tomando-se por exemplo a equação que descreve a solução das 
tensões, identifica-se a existência de ondas de tensão que viajam nos 
sentidos crescente (ondas progressivas) e decrescente de x (ondas 
regressivas) sem sofrer atenuação ou distorção:
x
t = t0 t = t0 + t
𝑣(𝑥, 𝑡)
Onda progressiva
x
t = t0t = t0 + t
𝑣(𝑥, 𝑡)
Onda regressiva
𝜏 =
Δ𝑥
𝑣
onde 𝑣 é a velocidade de propagação que, no caso de uma linha aérea 
sem cobertura isolante corresponde à velocidade da luz.
Em uma linha sem perdas, a relação tensão corrente é dada 
simplesmente pela impedância de surto, que é uma simplificação da 
impedância característica:
𝑍𝑠 =
𝐿𝑒
′
𝐶′
No caso sem perdas, o atraso de tempo 𝜏 necessário para que 
qualquer fenômeno que ocorra no ponto x da linha seja percebido em 
um ponto remoto 𝑥 ± Δ𝑥 é dado pela seguinte expressão:
Exemplo: Supondo uma linha monofásica sem perdas com impedância de 
surto 𝑍𝑠 que se estende de 𝑥 = 0 ao infinito, energizada por uma fonte de 
tensão 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑉0[𝑢 𝑡 − 𝑢 𝑡 − 𝑡𝑜 ] com resistênciainterna 𝑅𝑠, pede-se 
determinar a tensão e a corrente em qualquer ponto 𝑥 > 0 .
𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝑣 0, 𝑡 − 𝜏 =
𝑍𝑠
𝑅𝑠 + 𝑍𝑠
𝑣𝑠(𝑡 − 𝜏)
 𝑖 𝑥, 𝑡 =
1
𝑍𝑠
𝑣 0, 𝑡 − 𝜏 =
𝑣𝑠(𝑡 − 𝜏)
𝑅𝑠 + 𝑍𝑠
𝑖(𝑥, 𝑡)
𝑣(𝑥, 𝑡)
+
-
Solo ideal
Condutor ideal𝑅𝑠
+
−
𝑣𝑠(𝑡)
𝑖(0, 𝑡)
𝑣(0, 𝑡)
+
-
𝑣 0, 𝑡 =
𝑍𝑠
𝑅𝑠 + 𝑍𝑠
𝑣𝑠(𝑡)
Solução: Aplicando o divisor de tensão na entrada da linha, determina-se 𝑣 0, 𝑡 como 
logo:
Considerando V0 = 100 kV, to = 10 s, 𝑅𝑠 =150 , 𝐿
′ =1,6013 mH/km e 
𝐶′ =6,9452 nF/km, obtêm-se as seguintes tensões em x=0 e x=30 km:
5.8 Análise de Descontinuidades
A presença de descontinuidades de impedância faz com que parte da 
energia associada às ondas de tensão e corrente incidentes seja 
transmitida e parte seja refletida de volta para a linha. Essa análise pode 
ser feita com o auxílio de coeficientes de reflexão e transmissão.
Na interface, a soma das ondas incidente e refletida é igual à onda 
transmitida.
LT 1 LT 2
onda 
incidenteonda 
refletida
onda transmitida
5.9 Coeficientes de Reflexão e Transmissão
𝜌𝑉 =
𝑉𝑟
𝑉𝑖
=
𝑍2 − 𝑍1
𝑍2 + 𝑍1
Coeficientes de 
Reflexão
Tensão Γ𝑉 =
𝑉𝑡
𝑉𝑖
=
2𝑍2
𝑍2 + 𝑍1
Coeficientes de 
Transmissão
𝜌𝐼 =
𝐼𝑟
𝐼𝑖
=
𝑍1 − 𝑍2
𝑍2 + 𝑍1
Corrente Γ𝐼 =
𝐼𝑡
𝐼𝑖
=
2𝑍1
𝑍2 + 𝑍1
𝑉𝑖 e 𝐼𝑖: Ondas de tensão e corrente incidentes
𝑉𝑟 e 𝐼𝑟: Ondas de tensão e corrente refletidas
𝑉𝑡 e 𝐼𝑡: Ondas de tensão e corrente transmitidas
5.10 Diagrama de Treliças
A análise de transitórios em linhas de transmissão com comprimento 
finito pode ser realizada utilizando o diagrama de lattice, ou treliças.
Suponha uma linha terminada em um resistor RL. Sua energização gera 
ondas de tensão e corrente que se propagam no sentido crescente de x.
Ao chegar no terminal oposto um tempo  após a energização, parte da 
energia associada a essas ondas será transmitida para RL, parte será 
refletida para a fonte.
Ao chegar no terminal emissor, parte da energia incidente é transmitida 
para a fonte, parte volta para a carga. O ciclo se repete até que se atinja o 
regime permanente.

𝑣𝑚1(𝑡) = Γ2𝑣𝑘1(𝑡 − 𝜏)
𝑣𝑘2(𝑡) = Γ1𝜌2𝑣𝑘1(𝑡 − 2𝜏)
𝑣𝑘3(𝑡) = Γ1𝜌1𝜌2
2𝑣𝑘1(𝑡 − 4𝜏)
𝑣𝑚2(𝑡) = Γ2𝜌1𝜌2𝑣𝑘1(𝑡 − 3𝜏)
t
𝑣𝑘1(𝑡) =
𝑍𝑠
𝑅𝑠 + 𝑍𝑠
𝑣𝑠(𝑡)
𝑣𝑘4(𝑡) = Γ1𝜌1
2𝜌2
3𝑣𝑘1(𝑡 − 6𝜏)
𝑣𝑘(𝑡) = 𝑣𝑘1(𝑡) + Γ1 ෍
𝑛=1
∞
𝜌1
(𝑛−1)
𝜌2
𝑛𝑣𝑘1(𝑡 − 2𝑛 𝜏) 𝑣𝑚(𝑡) = Γ2 ෍
𝑛=0
∞
𝜌1
𝑛𝜌2
𝑛𝑣𝑘1[𝑡 − (2𝑛 + 1) 𝜏]
𝑅𝑠
+
−
𝑣𝑠(𝑡) 𝑣(0, 𝑡)
+
-
𝑅𝐿𝑣(ℓ, 𝑡)
+
-
𝑘 𝑚
𝑣𝑚3(𝑡) = Γ2𝜌1
2𝜌2
2𝑣𝑘1(𝑡 − 5𝜏)
𝑍𝑠
Exemplo: Supondo uma linha monofásica sem perdas, com 30 km de 
comprimento e impedância de surto 𝑍𝑠 = 480 , energizada na origem 
por uma fonte de tensão ideal 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑉0[𝑢 𝑡 − 𝑢 𝑡 − 𝑡𝑜 ] com 
resistência interna 𝑅𝑠 = 150 , onde 𝑉0 = 100 kV e 𝑡𝑜 = 10 µs, 
terminada em um resistor 𝑅𝐿 = 1000  pede-se determinar a tensão em 
suas extremidades em 𝑡 > 0 .
𝑖(𝑥, 𝑡)
𝑣(𝑥, 𝑡)
+
-
Solo ideal
Condutor ideal𝑅𝑠
+
−
𝑣𝑠(𝑡)
𝑖(0, 𝑡)
𝑣(0, 𝑡)
+
-
𝑅𝐿𝑣(ℓ, 𝑡)
+
-
𝜌2 =
𝑅𝐿 − 𝑍𝑠
𝑅𝐿 + 𝑍𝑠
= 0,6129
Γ2 =
2𝑅𝐿
𝑅𝐿 + 𝑍𝑠
= 1,6129
Lado Carga: Lado Fonte:
𝜌1 =
𝑅𝑠 − 𝑍𝑠
𝑅2 + 𝑍𝑠
= −0,5238
Γ1 =
2𝑅𝑠
𝑅𝑠 + 𝑍𝑠
= 0,4762
Exemplo: Repita o exemplo anterior, porém considerando que a fonte de 
tensão corresponda a um degrau 𝑣𝑠 𝑡 = 𝑉0𝑢 𝑡 , onde 𝑉0 = 100 kV.
Exemplo: Repita o exemplo anterior, porém considerando 
𝑣𝑠 𝑡 = 𝑉0 cos(𝜔𝑡) 𝑢 𝑡 , onde 𝑉0 = 100 kV e 𝜔 = 377 rad/s.
5.11 Método das Características
Em programas como o ATP, o diagrama de treliças não é a estratégia mais 
eficiente para o cálculo de transitórios em linhas de transmissão. 
A abordagem preferida é conhecida como método das características. Ela 
consiste em manipular a solução das equações de linha de transmissão no 
domínio do tempo de forma a obter um equivalente de Norton para cada 
terminal da linha.
Cada um desses equivalentes de Norton é análogo ao modelo numérico 
de indutor ou capacitor, com a diferença de que as fontes de corrente 
históricas dependem agora de valores calculados no terminal oposto da 
linha um instante de tempo  anterior.
Circuito Equivalente do Método das Características
Termos históricos
Exemplo: Determine a tensão no nó m utilizando o método das 
características. 
1
𝑅1
+
1
𝑍𝑠
0
0
1
𝑅2
+
1
𝑍𝑠
⋅
𝑣𝑘(𝑡)
𝑣𝑚(𝑡)
=
𝑖𝑠(𝑡) + 𝐼𝑘(𝑡 − 𝜏)
𝐼𝑚(𝑡 − 𝜏)
𝐼𝑚(𝑡) =
2
𝑍𝑠
𝑣𝑘(𝑡) − 𝐼𝑘(𝑡 − 𝜏)
𝐼𝑘(𝑡) =
2
𝑍𝑠
𝑣𝑚(𝑡) − 𝐼𝑚(𝑡 − 𝜏)
Solução matricial:
𝑣𝑘(𝑡) = 28,294162 𝑖𝑠(𝑡) + 𝐼𝑘(𝑡 − 4Δ𝑡)
𝑣𝑚(𝑡) = 332,264957 𝐼𝑚(𝑡 − 4Δ𝑡)
𝐼𝑘(𝑡) = 4,01929 × 10
−3𝑣𝑚(𝑡) − 𝐼𝑚(𝑡 − 4Δ𝑡)
𝐼𝑚(𝑡) = 4,01929 × 10
−3𝑣𝑘(𝑡) − 𝐼𝑘(𝑡 − 4Δ𝑡)
𝒕 [s] 𝒗𝒔(𝒕) 𝒊𝒔(𝒕) 𝒗𝒌(𝒕) 𝒗𝒎(𝒕) 𝑰𝒌(𝒕) 𝑰𝒎(𝒕) 𝒊𝒌(𝒕)
0 0 0 0 0 0 0 0
0,25 1000 33,333333 943,1387415 0 0 3,790750569 1,895375
0,50 1000 33,333333 943,1387415 0 0 3,790750569 1,895375
0,75 1000 33,333333 943,1387415 0 0 3,790750569 1,895375
1,00 1000 33,333333 943,1387415 0 0 3,790750569 1,895375
1,25 1000 33,333333 943,1387415 1259,533576 1,271683417 3,790750569 1,895375
1,50 1000 33,333333 943,1387415 1259,533576 1,271683417 3,790750569 1,895375
1,75 1000 33,333333 943,1387415 1259,533576 1,271683417 3,790750569 1,895375
2,00 1000 33,333333 943,1387415 1259,533576 1,271683417 3,790750569 1,895375
2,25 1000 33,333333 979,1199584 1259,533576 1,271683417 2,66368619 0,696001
2,50 1000 33,333333 979,1199584 1259,533576 1,271683417 2,66368619 0,696001
2,75 1000 33,333333 979,1199584 1259,533576 1,271683417 2,66368619 0,696001
3,00 1000 33,333333 979,1199584 1259,533576 1,271683417 2,66368619 0,696001
3,25 1000 33,333333 979,1199584 885,0495782 0,893587034 2,66368619 0,696001
Escolhendo Δ𝑡 = 0,25 s, tem-se
τ
Δ𝑡
= 4 . Nesse caso, pode-se 
escrever:
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 5 10 15 20
Tempo (s)
T
e
n
s
ã
o
 (
V
)
Transformada de Fourier
Método das Características
FDTD
5.12 Modelos de Linha a Parâmetros 
Distribuídos no ATP
Todos os modelos de linha de transmissão baseados na teoria de 
parâmetros distribuídos disponíveis no ATP têm como base o circuito 
equivalente obtido com o emprego do método das características.
A principal diferença entre os modelos consiste em como incorporar os 
efeitos das perdas nos condutores e no solo, que é dependente da 
frequência.
A extensão para o caso multifásico é feita com o emprego de matrizes de 
transformação constantes.
Com o emprego dessas matrizes, transforma-se um problema n-fásico em 
n problemas monofásicos independentes, cada um deles modelado com o 
método das características.
Linhas Transpostas: A matriz de transformação é constante e 
independente da frequência, não precisando ser informada pelo usuário 
no ATP. 
Linhas Não-Transpostas: A matriz de transformação é variante com a 
frequência, devendo ser informada pelo usuário ou calculada no próprio 
ATP, dependendo do modelo escolhido, na frequência 𝑓0 determinada 
pelo usuário. 
5.13 Modelo de Bergeron
O modelo de Bergeron fornece uma solução aproximada para as 
equações de linha de transmissão baseada no método das características. 
Nesse modelo, os parâmetros da linha são calculados na frequência 𝑓𝑜 
escolhida pelo usuário. 
A resistência calculada nesta frequência é dividida em três pontos na 
linha. 
A indutância calculada nesta mesma frequência é utilizada para 
determinar a impedância de surto e a velocidade de propagação ao longo 
da linha.
Limitações: 
1) Os parâmetros da linha são calculados em uma única frequência f0 escolhida pelo usuário.
2) A resistência não é continuamente distribuída ao longo da linha.
Modelo de Bergeron: Linhas Transpostas
Parâmetros dos modos 
aéreos e de terra (análogos 
a parâmetros de sequência 
positiva e zero)
Opções de parâmetros a 
serem informados na 
montagem do modelo
Comprimento da linha
Modelo de Bergeron: Linhas Não Transpostas
Parâmetrosdos modos 
aéreos e de terra (análogos 
a parâmetros de sequência 
positiva e zero) + 
elementos da matriz de 
transformação
Modelo de Bergeron: Montagem a partir da geometria da Linha
Modelo de Bergeron: Montagem a partir da Geometria da Linha
5.14 Modelo JMarti
O modelo JMarti considera perdas continuamente distribuídas e 
dependentes da frequência a partir do ajuste dos parâmetros da linha por 
meio de funções racionais.
É um modelo mais rigoroso que o modelo de Bergeron e pode ser usado 
na maioria das situações de interesse prático na modelagem de linhas 
aéreas. 
Seu uso deve ser evitado na modelagem de cabos subterrâneos porque a 
hipótese de matriz de transformação constante deixa de ser válida.
As equações resolvidas pelo modelo JMarti têm a forma
𝑣𝑘 𝑡 − 𝑧𝑐 𝑡 ∗ 𝑖𝑘 𝑡 = 𝑣𝑚 𝑡 + 𝑧𝑐 𝑡 ∗ 𝑖𝑚 𝑡 ∗ 𝑎(𝑡)
𝑣𝑚 𝑡 − 𝑧𝑐 𝑡 ∗ 𝑖𝑚 𝑡 = 𝑣𝑘 𝑡 + 𝑧𝑐 𝑡 ∗ 𝑖𝑘 𝑡 ∗ 𝑎(𝑡)
onde 𝑧𝑐 𝑡 e 𝑎(𝑡) são as representações no domínio do tempo da 
impedância característica e da função de propagação, que podem ser 
escritas como: 
𝑧𝑐 𝑡 = ℒ
−1
𝑍
𝑌
 = ℒ−1 𝑘0 + ෍
𝑛=1
𝑁
𝑘𝑛
𝑠 − 𝑎𝑛
𝑎 𝑡 = ℒ−1 exp 𝑍𝑌 = ℒ−1 ෍
𝑚=1
𝑀
ത𝑘𝑚
𝑠 − ത𝑎𝑚
exp −𝑠𝜏
Os parâmetros das equações que descrevem 𝑧𝑐 𝑡 e 𝑎 𝑡 são obtidos no 
domínio da frequência internamente no ATP usando o método de Bode.
O usuário deve fornecer a faixa de frequências em que o ajuste será feito 
(tipicamente entre 0,1 Hz e 10 MHz) e o número de pontos por década de 
frequência em que as funções a serem ajustadas devem ser calculadas.
Exemplo: Ajuste de 
impedância característica de 
linha monofásica aérea.
100
1000
10000
1,E+00 1,E+02 1,E+04 1,E+06 1,E+08
Im
p
ed
ân
ci
a 
C
ar
ac
te
rí
st
ic
a 
(
)
Frequência (Hz)
Função Original
Função Ajustada 
Uma vez determinados os parâmetros 𝑧𝑐 𝑡 e 𝑎 𝑡 , as integrais de 
convolução presentes nas equações que descrevem o modelo JMarti 
podem ser solucionadas, levando a um circuito equivalente do tipo:
O modelo JMarti é sempre montado a partir da geometria da linha
Parâmetros de 
ajuste do modelo
Frequência inicial para 
ajuste dos parâmetros 
do modelo via funções 
racionais
5.15 Outros Modelos
Modelo de Semlyen: Assim como o modelo JMarti, considera perdas 
continuamente distribuídas e dependentes da frequência a partir do 
ajuste dos parâmetros da linha por meio de funções racionais. Porém, 
considera um número menor de termos e se baseia em técnica de ajuste 
que não é tão eficiente quanto a utilizada pelo modelo JMarti. Trata-se de 
modelo obsoleto. 
Modelo de Noda: Modelo no domínio das fases com parâmetros 
dependentes da frequência solucionado utilizando transformada Z. O 
modelo é extremamente sensível aos parâmetros de ajuste e ao passo de 
tempo, frequentemente levando a resultados incoerentes.
Referências
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• Alternative Transients Program (ATP) Rule Book. Leuven EMTP Center, 1992. 
• DE CONTI, A. Notas de aula da disciplina “Análise de Redes Elétricas no Domínio do Tempo”. Programa de Pós-Graduação em 
Engenharia Elétrica da UFMG (PPGEE), Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), 2023.
• DOMMEL, H. D. Digital computer solution of electromagnetic transients in single- and multi-phase networks. IEEE Trans. Power 
Apparatus and Systems, vol. PAS-88, pp. 388-399, April 1969.
• DOMMEL, H. D. Nonlinear and Time-Varying Elements in Digital Simulation of Electromagnetic Transients. IEEE Transactions on 
Power Apparatus and Systems, vol. PAS-90, no. 6, pp. 2561-2567, Nov. 1971.
• DOMMEL, H. D. EMTP Theory Book, Second Edition, 1996.
• LIN, J., MARTI, J. R. Implementation of the CDA procedure in the EMTP. IEEE Transactions on Power Systems, vol. 5, no. 2, pp. 394-
402, May 1990.
• MARTINEZ-VELASCO, J. A., Transient Analysis of Power Systems: Solution Techniques, Tools and Applications, John Wiley & Sons, 
Chichester, UK, 2015.
• MORK, B. A., GONZALEZ, A., ISCHENKO, F. D., STUEHM, D. L., MITRA, J. Hybrid Transformer Model for Transient Simulation—Part I: 
Development and Parameters. IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 22, no. 1, pp. 248-255, Jan. 2007.
• ZANETTA Jr., L. C. Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Potência. Edusp. São Paulo, 2003.
• ARAÚJO, A. E. A., NEVES, W. L. A. Cálculo de Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Energia. Editora UFMG. Belo 
Horizonte, 2005.
• WATSON, N., ARILLAGA, J. Power Systems Electromagnetic Transient Simulations. IET. London, 2003.
• GREENWOOD, A. Electrical Transients in Power Systems. 2nd Ed. John Willey & Sons. 1991.
	Slide 1: Proteção de Sistemas Elétricos Teoria e Prática
	Slide 2: 1. Introdução
	Slide 3: 1.1 Regime Permanente Senoidal
	Slide 4
	Slide 5: 1.2 Regimes Transitórios
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13: 2 Solução Numérica de Fenômenos Transitórios
	Slide 14: 2.1 Integração Numérica
	Slide 15: 2.1.1 Método de Euler Regressivo
	Slide 16: 2.1.2 Método Trapezoidal
	Slide 17: 2.2 Modelos de Elementos Lineares de Circuitos
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	Slide 26: 2.3 Solução Numérica de Circuitos Genéricos
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	Slide 28
	Slide 29: 2.4 Modelagem de Chaves 
	Slide 30: 2.5 Problemas de Oscilação Numérica
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	Slide 33: 2.6 Elementos Não Lineares
	Slide 34
	Slide 35: 2.6.1 Método da Compensação
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	Slide 42: 2.6.2 Método Linear Por Partes
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	Slide 48: 3 Alternative Transients Program ATP
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	Slide 50: 3.1 Cronologia
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	Slide 73: 4 Transformadores
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	Slide 75: 4.1 Modelo Ideal
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	Slide 77: 4.2 Modelo Saturável
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	Slide 83: 4.3 Modelo BCTRAN
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	Slide 88: 4.4 Modelo Híbrido (XFMR)
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	Slide 107: 5 Linhas de Transmissão
	Slide 108
	Slide 109
	Slide 110: 5.1 Equações de Linhas de Transmissão
	Slide 111: 5.2 Parâmetros por Unidade de Comprimento 
	Slide 112: 5.3 Circuito Equivalente de uma Seção maiúscula Delta x 
	Slide 113: 5.4 Solução em Regime Permanente Senoidal
	Slide 114
	Slide 115
	Slide 116
	Slide 117: 5.5 Modelo Pi Equivalente
	Slide 118: 5.6 Modelo Pi Nominal
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	Slide 121
	Slide 122
	Slide 123: 5.7 Regimes Transitórios
	Slide 124: 5.8 Regimes Transitórios: Linhas Sem Perdas
	Slide 125
	Slide 126
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	Slide 128
	Slide 129: 5.8 Análise de Descontinuidades
	Slide 130: 5.9 Coeficientes de Reflexão e Transmissão
	Slide 131: 5.10 Diagrama de Treliças
	Slide 132
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	Slide 137: 5.11 Método das Características
	Slide 138
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	Slide 141
	Slide 142
	Slide 143: 5.12 Modelos de Linha a Parâmetros Distribuídos no ATP
	Slide 144
	Slide 145: 5.13 Modelo de Bergeron
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	Slide 152
	Slide 153: 5.14 Modelo JMarti
	Slide 154
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	Slide 157
	Slide 158
	Slide 159: 5.15 Outros Modelos
	Slide 160: Referências