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Instituto de Economia – UFRJ 
Estatística 1 Prof: Ary 
 
PROBABILIDADE 
 
1 Teoria dos conjuntos - Revisão 
Definição : Coleção de objetos 
 
𝑈 – universo; ∅ – Complemento 
1.1 - Diagrama de Ven 
A) Reunião de Conjuntos 
 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑒𝑚 𝐴 𝑜𝑢 𝐵. 
 
 
 
B) Intersecção de conjuntos 
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒𝑚 𝑎 𝐴 𝑒 𝐵 𝑎𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
C) Conjunto Complementar 
a) 𝐵 = 𝐴 − 𝐵 = 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑒𝑚 𝐵 
b) 𝐴 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑒𝑚 𝐴 
 
Exemplo 
 
B = 𝐴 − 𝐵 ∶ {2; 3 } 
 
 
A = 𝐵 − 𝐴 ∶ {6 } 
 
𝐴𝑈𝐵 ∶ {1; 2; 3; 4; 6} 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) Conjuntos Númericos 
a) Conjunto dos nº Naturais: N; b) Conjunto dos nº Inteiros: Z c) Conjunto dos nº Racionais:Q
 
d) Conjunto dos nº Irracionais : I e) Conjunto dos nº Reais: R 
3 
 
 
 
 
E) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
4 
 
 
 
 
 
5 
 
F) PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 
 
a) 𝐴 ∩ ∅ = ∅ 
b) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 
c) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 
d) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 
e) 𝐴 = 𝐴 
 
2 - Experimentos amostrais 
E1 : Jogue um dado e observe o nº da face mostrado na face de cima. 
E2 : Jogue uma moeda 4 vezes e observe o nº de caras obtidos. 
E3 : Jogue uma moeda 4 vezes e observe a sequência obtida de caras e 
coroas. 
E4 : Em uma linha de produção, fabrique peças em série e conte o nº de 
peças defeituosas. 
E5 : Uma asa de avião é fixado por um grande número de parafusos. 
Conte o número de parafusos defeituosos. 
E6 :Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é ensaiada quanto à duração 
de vida, com a colocação em uma folha e anotação do tempo decorrido 
(em horas) até queimar. 
E7 : Um lote de 10 peças contém três defeituosas. As peças são retiradas 
uma a uma (sem reposição da peça retirada) até que a última peça 
defeituosa seja encontrada. O nº total de peças retirada do lote é 
contado. 
E8 : Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O 
nº total de peças fabricadas é contado. 
 
2 – Espaços amostrais : 
Para cada experimento E do tipo que estamos considerando, definiremos o 
espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de E. 
𝑆1 ∶ {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
𝑆2 ∶ {0, 1, 2, 3, 4} 
𝑆3 ∶ {(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4); 𝑎𝑖 = 𝑐𝑎 ou 𝑐1 = 𝑘0} 
𝑆4 ∶ {1, 2, … , 𝑁} sendo 𝑁 o número máximo de peças defeituosas 
produzidas em 24 horas. 
𝑆5 ∶ {1, 2, … , 𝑀} sendo 𝑀 o número de rebites empregados 
𝑆6 ∶ (𝑡 ∈ ℝ; 𝑡 ≥ 0} 
𝑆7 ∶ {3, 4, … , 𝑎1} ; 3 ≤ 𝑎𝑗 ≤ 10 
𝑆8 ∶ {10, 11, 12, … . } 
 
 
 
6 
 
3 – Eventos 
 
Um evento A (relativo a um particular espaço amostral S, associado a um 
experimento E) é um conjunto de resultados possíveis. Um evento é um 
subconjunto do Espaço Amostra S. 
S – é um evento - O conjunto vazio ∅ é outro exemplo 
Exemplos: 
𝐴1 ∶ 𝑈𝑚 𝑛º 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒, 𝑖𝑠𝑡𝑜 é 𝐴1 = { 2, 4, 6} 
𝐴2 = 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑚 = { 2} 
 
3.1 - PROPRIEDADES 
 
a) 𝑆𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 𝑠ã𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠, 𝐴 ∪ 𝐵 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑚 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜. 
b) ∩ 
c) 𝐴 
d) 𝐴1 × … × 𝐴𝑛 
 
3.2- DEFINIÇÃO : Eventos excludentes 
 
𝐴 e 𝐵 – eventos 
𝐴 e 𝐵 são mutuamente excludentes ⟺ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 
Observação: Os eventos não ocorrem juntos 
 
4- FREQUÊNCIA RELATIVA 
Repetimos n - vezes o experimento E, e sejam A e B dois eventos associados 
a E. Admitamos que sejam 𝑛𝐴 e 𝑛𝐵 o nº de vezes que o evento A e o evento 
B ocorrem nas n-repetições. 
𝑓𝐴 =𝑛𝐴/𝑛 – é definida como a frequência relativa de A nas n-repetições. 
 
PROPRIEDADES: 
a) 0 ≤ 𝑓𝐴 ≤ 1 
b) 𝑓𝐴 = 0 , se 𝐴 nunca ocorre, 𝑓 = 1 , se 𝐴 ocorre em todas as 𝑛 
repetições 
c) Se 𝐴 e 𝐵 são mutuamente excludentes ⟹ 𝑓𝐴∪𝐵 = 𝑓𝐴 + 𝑓𝐵 
d) lim
𝑛→∞
𝑓𝑎 = lim
𝑛→∞
𝑛𝐴
𝑛
= 𝑃(𝐴), 
P(A) - É “DEFINIDO COMO A PROBALIDADE DO EVENTO A”