NOÇÕES FUNDAMENTAIS DA PROBABILIDADE

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Noções Fundamentais da Teoria de Probabilidade
A teoria da probabilidade é uma parte da Estatística Indutiva que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente.
A teoria de Probabilidade é usada para:
· Avaliar as chances de alunos serem aprovados;
· Médicos determinam se (e quando) determinado doente deveria estar recuperado;
· Estabelecer as chances de determinada categoria entrar em greve;
· O governo determine até quando será capaz de manter os preços congelados ou tabelados;
· Avaliação de estratégias de ação;
Noção de Experimentos Determinísticos e aleatórios
Experimento Determinístico
 É aquele que quando realizado sob determinadas condições é possível prever o resultado particular que irá ocorrer.
 Exemplos:
· Água aquecida a 100ºC, sob pressão normal, entra em ebulição; e
· Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido.
Experimento aleatório
É aquele que quando realizado sob condições idênticas, não é possível prever, a priori, o resultado particular que irá ocorrer, e sim, o conjunto dos possíveis resultados.
Diz-se que o resultado depende do “acaso” ou da “sorte” ou do “azar”. 
Os fenómenos aleatórios são o objecto de estudo da teoria das probabilidades. 
Acaso significa ausência de causa conhecida.
Exemplos:
· Lançamento de uma moeda 4 vezes e anota-se o número de caras obtido.
· Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas.
Noção Ponto e Espaço Amostral
Ponto Amostral
Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto amostral. São exemplos de experimentos aleatórios:
a) Cara ou coroa
Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.
b) Lançamento de um dado
Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.
Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.
c) Retirar uma carta aleatória de um baralho
Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.
Espaço amostral
O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:
a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.
b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
c) O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.
O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado .
Noção de eventos e Tipos de Eventos
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n€, sendo E o evento em questão.
São exemplos de eventos:
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda.
O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:
E = {cara}
O seu número de elementos é n(E) = 1.
b) Sair um número par no lançamento de um dado.
O evento é sair um número par:
E = {2, 4, 6}
O seu número de elementos é n(E) = 3.
Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.
Tipos de eventos
Evento simples: É aquele formado por um único elemento do espaço amostral.
No lançamento de uma moeda, temos 2 eventos simples:
E1= {k} E2 = {c}
Evento Composto: É aquele formado por dois ou mais elementos do espaço o amostral.
No lançamento de um dado podemos considerar, entre outros, os seguintes eventos:
E1 = {2, 4} E2 = {1, 3, 5} E3 = {2, 4, 6, 5}
Evento certo: É aquele que ocorre sempre, isto é, em todas as realizações da experiência. O evento representado pelo próprio conjunto que define o espaço amostral.
E = Lançamento de um dado
S = {1,2,3,4,5,6}
A = sair qualquer das faces de 1 a 6 no lançamento de um dado.
A = S P(A) = 1
Operação com eventos
Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral
•A∪B: União dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B
•A∩B: Intersecção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm
Elementos em comum, isto é, A∩B= ∅
• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o
Espaço amostral, isto é. A∩B= ∅ e A∪B= Ω.
Definição frequentista
Na maioria das situações práticas, os eventos simples do espaço amostral não são equiprováveis e não podemos calcular probabilidades usando a definição clássica. Neste caso, vamos calcular probilidades como a frequência relativa de um evento. Segue um exemplo que ilustra o método.
Propriedades da Probabilidade
Se ∅ é conjunto vazio, então P(∅) = 0.
Se é o complemento do evento A, P(A) = 1 – P( Ā).
Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).
 Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Se A, B, C, forem eventos quaisquer então:
P(A ∪ B ∪C) = 
P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Se A e B forem eventos independentes, teremos que:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Os cálculos probabilísticos de um evento (A) de espaço amostral (S) qualquer são determinados pela fórmula:
P(A) = n (A) / n (S)
Dependendo do espaço amostral e do seu evento, ou das quantidades de elementos do espaço amostral e do evento, a probabilidade irá obedecer algumas propriedades, veja:
– Quando o evento for vazio ( ∅), a sua probabilidade será zero: P(Ø) = 0.
NB: evento Ø é o mesmo que evento impossível.
– A probabilidade de um espaço amostral (S) será igual a um.
P(S) = 1, pois P(S) = n(S) / n(S) = 1
Observação: quando o espaço amostral coincide com o evento, dizemos que o espaço amostral é um evento certo.
– O valor de uma probabilidade será maior ou igual a zero ou menor ou igual a 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1, pois o elemento vazio pertence ao evento que está contido em um espaço amostral, assim, o número de elementos vazios deve ser menor ou igual ao número de elementos do evento, que deve ser menor ou igual ao número de elementos de um espaço amostral, logo:
Exemplo 
No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de ocorrerem números iguais?
Vamos construir o espaço amostral do lançamento de dois dados e determinar os eventos em que as faces dos dados são iguais.
					
S={1;1	1;2	1;3	1;4	1;5	1;6
 2;1	2;2	2;3	2;4	2;5	2;6
 3;1	3;2	3;3	2;4	3;5	3;6
 4;1	4;2	4;3	4;4	4;5	4;6
 5;1	5;2	5;3	5;4	5;5	5;66;1	6;2	6;3	6;4	6;6	6;6}
Eventos em que as faces são iguais: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
Assim, a probabilidade surge da relação:
P(A) = 6 / 36 = 1 / 6 ou 16.67%
Exemplo 
Ao retirar uma carta de uma caixa que contém 15 cartas enumeradas de 1 a 15, qual a probabilidade de se obter um número primo?
Espaço amostral
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Evento
{2, 3, 5, 7, 11, 13}
P(A) = 6/15 = 2/5 ou 40%
Conclusão
Neste resumo do tema é possível compreender as noções fundamentais da teoria da probabilidade, ela estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. Existem experimentos determinísticos e aleatórios, onde os determinísticos são aqueles que quando realizado sob determinadas condições é possível prever o resultado particular que irá ocorrer enquanto que os aleatórios são aqueles que quando realizado sob condições idênticas, não é possível prever, a priori, o resultado particular que irá ocorrer, e sim, o conjunto dos possíveis resultados.
 
Referências Bibliográficas
https://www.google.com/amp/s/www.todamateria.com.br/probabilidade/amp/
https://medluana.weebly.com/experimento-determiniacutestico-e-aleatoacuterio.html
https://www.google.com/amp/s/m.brasilescola.uol.com.br/amp/matematica/propriedades-probabilidade.htm
Davila, Victor Hugo Lanches (2019).Introdução à Teoria das Probabilidades. Rio de Janeiro.
Mayer, Fernando de Pol (2020). Probabilidade. Paraná: Universidade Federal.
Souza, Adriano Mendonça(2018). Probabilidade. Minas Gerais(MG).