Aula 30 - Sequênci Interpolação de meios aritméticos

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Sequência numérica
Interpolação de meios aritméticos 
1ª série
Aula 30
2º bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
● Generalização de 
padrões numéricos.
● Identificar padrões em 
sequências numéricas e 
representá-los em linguagem 
algébrica.
Conteúdo Objetivo
Para começar
# verificando seus conhecimentos
Considere as seguintes 
sequências de números:
 
 
 



A 3, 7, 11, 
B 2, 6, 18, 
C 2, 5, 10, 17, 
Os números que continuam cada 
uma das sequências, na ordem 
dada, devem ser, respectivamente:
a. 15, 36 e 24.
b. 15, 54 e 24.
c. 15, 54 e 26.
d. 17, 54 e 26.
e. 17, 72 e 26.
Técnica: “Mostre-me” Tempo: 10 min
Para começar
 
 
 



A 3, 7, 11, 
B 2, 6, 18, 
C 2, 5, 10, 17, 
Os números que continuam cada 
uma das sequências, na ordem 
dada, devem ser, 
respectivamente:
a. 15, 36 e 24.
b. 15, 54 e 24.
c. 15, 54 e 26.
d. 17, 54 e 26.
e. 17, 72 e 26.
Correção
(3, 7, 11, 15, ...)
+4 +4 +4
(2, 6, 18, 54, ...)
3 3 3 +3 +5 +7
(2, 5, 10, 17, 26, ...)
+9
Alternativa correta: C
Foco no conteúdo
Interpolar meios aritméticos significa representar uma 
sequência de números reais que são ordenados a partir de 
uma razão (r), sendo que cada termo é obtido por meio 
da diferença em relação ao termo anterior.
Interpolação de meios aritméticos
Sabendo-se o primeiro termo a1 , o último an e a 
quantidade de termos n , estabeleceremos a fórmula de 
recorrência da interpolação de (n – 2) meios geométricos 
entre a1 e an. 
Tempo: 10 min
Foco no conteúdo
Fórmula de recorrência
 1 2 3 na , a , a , , a
 
 
 
 
 
            
            
            
   
1
2 1
3 2 1 3 1 3 1
4 3 1 4 1 4 1
5 4 1 5 1 5 1
n 1
a
a a r
a a r a r r a a 2r a a 3 1 r
a a r a 2r r a a 3r a a 4 1 r
a a r a 3r r a a 4r a a 5 1 r
a a n 1 r
Foco no conteúdo
Exemplo 1:
Interpolar 5 meios aritméticos entre 5 e 27.
 5, , , , , , 27
 
 
  
   
        
       
 
1 7
7 1
n 7, a 5 e a 27
a a n 1 r
27 5 7 1 r 27 5 6 r
27 5 6 r 22 6 r
22
r
 2
6
 

2
11
3
Foco no conteúdo
Exemplo:
Interpolar 5 meios aritméticos entre 5 e 27.
 5, , , , , , 27
 
         
 
2 1 2 2
11 3 11
a a r a 5 a 5
3 3 3

3 
 
 
    
      
       
2 2
3 2 3 3
4 3 4 4
3
15 11 26
a a
3 3 3
26 11 37
a a r a a
3 3 3
37 11 48
a a r a a 16
3 3 3
Foco no conteúdo
     
     
      
5 4 5
6 5 6
7 6 7
48 11 59
a a r a
3 3 3
59 11 70
a a r a
3 3 3
70 11 81
a a r a 27
3 3 3
 
  
 
26 37 48 59 70 81
5, , , 16, , , 27
3 3 3 3 3 3
Na prática
a. 13 e 59.
b. 4 e 67.
c. 3 e 10
# agora, é com você!
Em todos os casos a seguir, interpole 4 meios aritméticos entre os 
seguintes valores:
Técnica: “Todo mundo escreve” Tempo: 15 min
Na prática Correção
a. 13 e 59.
 
 
 
1 6
6 1
2 1 2
2 2
13, , , , , 59
n 6,a 13,a 59
a a n 1 r
59 13 6 1 r
59 13 5r 46 5r
46
r
5
46
a a r a 13
5
65 46 111
a a
5 5
  
   
    
    

     

   
3 2 3
4 3 4
5 4 5
6 5 6
111 46 157
a a r a
5 5 5
157 46 203
a a r a
5 5 5
203 46 249
a a r a
5 5 5
249 46 295
a a r a 59
5 5 5
     
     
     
      
111 157 203 249
13, , , , , 59
5 5 5 5
 
 
 
Na prática Correção
b. 4 e 67.
 
 
 
1 6
6 1
2 1 2
2
4, , , , , 67
n 6,a 4,a 67
a a n 1 r
67 4 6 1 r 67 4 5r
63
5r 63 r
5
63
a a r a 4
5
20 63 83
a
5 5
  
   
       
   
     

  
3 2 3
4 3 4
5 4 5
6 5 5
83 63 146
a a r a
5 5 5
146 63 209
a a r a
5 5 5
209 63 272
a a r a
5 5 5
272 63 335
a a r a 67
5 5 5
     
     
     
      
83 146 209 272
4, , , , , 67
5 5 5 5
 
 
 
Na prática Correção
c. 3 e 10
 
 
 
1 6
6 1
2 1 2
2 2
4, , , , , 10
n 6,a 4,a 10
a a n 1 r
10 4 6 1 r
6
6 5 r r
5
6
a a r a 4
5
20 6 26
a a
5 5
  
    
     
    
     

  
3 2 3 3
4 3 4 4
5 4 5 5
6 5 6 6
26 6 32
a a r a a
5 5 5
32 6 38
a a r a a
5 5 5
38 6 44
a a r a a
5 5 5
44 6 50
a a r a a 10
5 5 5
      
      
      
       
26 32 38 44
4, , , , , 10
5 5 5 5
 
 
 
Aplicando
#planejando a plantação 
Na estrada que liga a entrada da Fazenda Pitágoras até sua sede, 
existem duas palmeiras: uma a 12 metros da entrada e outra a 228 
metros. Euclides, o proprietário da fazenda, deseja plantar outras cinco 
palmeiras entre elas. Ajude Euclides a resolver o problema respondendo 
às seguintes questões:
a. Qual deve ser a distância entre duas palmeiras consecutivas se essa 
distância sempre for a mesma?
b. Indique, por meio de uma sequência numérica, as distâncias entre a 
primeira e a última palmeira, considerando que a primeira palmeira 
está na posição 12 m e a última, na posição 228 m. 
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 min
Aplicando
#planejando a plantação 
Correção
A situação proposta pode ser 
resolvida pela interpolação de 
5 meios aritméticos entre 12 
e 228, de acordo com os 
cálculos a seguir: 
 
 
 
1 7
7 1
12, , , , , , 228
n 7 ,a 12,a 228
a a n 1 d
228 12 7 1 d
228 12 6d 216 6d
216
d d 36 m.
6
  
   
    
     
   
a. Qual deve ser a distância entre duas palmeiras consecutivas se essa 
distância sempre for a mesma?
Aplicando Correção
b. Indique, por meio de uma sequência numérica, as distâncias entre a 
primeira e a última palmeira, considerando que a primeira palmeira 
está na posição 12 m e a última, na posição 228 m. 
2 1
2 2
a a d
a 12 36 a 48 m.
 
   
3 2
3 3
a a d
a 48 36 a 84 m.
 
   
4 3
4 4
a a d
a 84 36 a 120 m.
 
   
5 4
5 5
a a d
a 120 36 a 156 m.
 
   
6 5
6 6
a a d
a 156 36 a 192 m.
 
   
 12, 48, 84, 120, 156, 192, 228
#planejando a plantação 
O que aprendemos hoje?
● Identificamos padrões em sequências numéricas 
e os representamos em linguagem algébrica.
Referências
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão 
da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista 
do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
SÃO PAULO (Estado). Material de Apoio ao Currículo do Estado de 
São Paulo, V. 1, 1ª série do Ensino Médio, São Paulo, 2014-2017. 
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slides 14, 15 e 16 – https://curt.link/F16dqw 
Material
Digital