Lista-EDO

Prévia do material em texto

Lista de exerćıcios de EDO - 06/06/2018
Equações de Bernoulli, exerćıcios da página 83
Resova a equação de Bernoulli dada:
1. x
dy
dx
+ y =
1
y2
;
3.
dy
dx
= y(xy3 − 1);
5. x2
dy
dx
+ y2 = xy;
Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial:
7. x2
dy
dx
− 2xy = 3y4, y(1) = 1
2
;
9. xy(1 + xy2)
dy
dx
= 1, y(1) = 0.
10. 2
dy
dx
=
y
x
− x
y2
, y(1) = 1.
Exerćıcios da página 164
Determine se as funções abaixo são linearmente independentes ou dependentes em R:
15. f1(x) = x, f2(x) = x
2, f3(x) = 4x− 3x2;
17. f1(x) = 0, f2(x) = x, f3(x) = e
x;
18. f1(x) = cos 2x, f2(x) = 1, f3(x) = cos
2 x;
21. f1(x) = 1 + x, f2(x) = x, f3(x) = x
2;
Determine se as funções abaixo são linearmente independentes no intervalo dado:
23. f1(x) =
√
x, f2(x) = x
2, I = (0,+∞);
27. f1(x) = e
x, f2(x) = e
−x, f3(x) = e
4x, I = R;
28. f1(x) = x f2(x) = x lnx, f3(x) = x
2 lnx, I = (0,+∞);
Exerćıcios da página 165
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação
diferencial no intervalo indicado. Determine a solução geral.
1
33. y′′ − y′ − 12y = 0; y1 = e−3x, y2 = e4x;
35. y′′ − 2y′ + 5y = 0; y1 = ex cos 2x, y2 = ex sin 2x;
36. 4y′′ − 4y′ + y = 0; y1 = ex/2, y2 = xex/2;
38. x2y′′ + xy′ + y = 0, y1 = cos(lnx), y2 = sin(lnx);
Exerćıcio da página 166
47. Sejam y1 e y2 duas soluções da equação
a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = 0
e o Wronskiano dado por
W =
∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣ .
Mostre que
a(x)
dW
dx
+ b(x)W = 0
e consequentemente
W = c exp
(
−
∫
b(x)
a(x)
dx
)
.
Exerćıcios da página 172
Encontre uma segunda solução para cada equação diferencial.
1. y′′ + 5y′ = 0, y1 = 1.
3. y′′ − 4y′ + 4y = 0, y′1 = e2x.
5. y′′ + 16y = 0, y1 = cos 4x.
9. 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y1 = e2x/3.
11. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0, y1 = x4.
13. xy′′ + y′ = 0, y1 = lnx.
17. x2y′′ − xy′ + 2y = 0, y1 = x sin(lnx).
23. x2y′′ − 5xy′ + 9y = 0, y1 = x3 lnx.
Exerćıcios das páginas 180 e 181
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
2
1. 4y′′ + y′ = 0;
2. 2y′′ − 5y′ = 0;
3. y′′ − 36y = 0;
5. y′′ + 9y = 0;
6. 3y′′ + y = 0;
7. y′′ − y′ − 6y = 0;
11. y′′ + 3y′ − 5y = 0;
Resolva a equação dada sujeita às condições iniciais dadas.
37. y′′ + 16y = 0, y(0) = 2 e y′(0) = −2;
39. y′′ + 6y′ + 5y, y(0) = 0 e y′(0) = 3;
41. 2y′′ − 2y′ + y = 0, y(0) = −1 e y′(0) = 0;
43. y′′ + y′ + 2y = 0, y(0) = 0 e y′(0) = 0;
46. y′′ + y = 0, y(π/3) = e y′(π/3) = 2.
3