Avaliação II - Cálculo Diferencial e Integral II

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:956705)
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Prova 81769467
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Para calcular a área de interseção entre curvas usando integrais, é fundamental definir corretamente os 
limites de integração ao longo do eixo x, que em alguns casos é definido pelos pontos de intersecção 
das curvas. Dessa forma, observe o setor de área definido pelas funções f e g na ilustração a seguir
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas.
I. Para calcular a área deste setor, é necessário aplicar a integral
PORQUE
II. A integral que envolve o cálculo de área entre curvas, é sempre definido pela diferença da curva 
que está por baixo (ao quadrado) com a curva que está por acima (também quadrado).
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são falsas.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
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Quando uma região plana é girada em torno de uma reta no plano, ela dá origem a uma figura 
tridimensional conhecida como sólido de revolução. Esse processo, chamado de revolução, 
transforma a região plana em um objeto sólido com características específicas. A reta em torno da 
qual a região gira é denominada eixo de rotação. Este conceito é fundamental no estudo do cálculo 
integral, pois permite calcular volumes de sólidos complexos através da integração de funções que 
descrevem as regiões planas envolvidas.
Com relação à representação do volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, limitado 
pela curva y = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 5, selecione a alternativa correta que apresenta 
esse resultado:
A V = 125π/3 u.v.
B V = 25π u.v.
C V = 125π u.v.
D V = 625π u.v.
E V = 5π u.v.
Ao resolver o volume de um sólido de revolução em relação aos eixos e intersecções de curvas, é 
crucial escolher o método de resolução apropriado, levando em consideração as características 
específicas da região plana e do sólido gerado. Por exemplo, ao lidar com uma região limitada por 
curvas que se intersectam em múltiplos pontos, pode ser necessário encontrar tais pontos, para então 
dar continuidade no processo de cálculo.
Sendo assim, determine entre as opões a seguir, o volume do sólido gerado pela rotação em torno do 
eixo y, limitado pelas curvas y = x2, y = x – 2 e pelas retas y = 0 e y = 1:
A V = 12π/5 u.v.
B V = 3π/2 u.v.
C V = 35π/6 u.v.
D V = 4π/3 u.v.
E V = 2π u.v.
Ao lidar com integrais que apresentam um ponto de descontinuidade dentro do intervalo de 
integração, é crucial aplicar cuidadosamente os conceitos de integração, considerando os diferentes 
comportamentos da função ao redor desse ponto.
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas.
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I. Para calcular a integral a seguir, é necessário separar em duas partes
PORQUE
II. Há uma descontinuidade na função no ponto x = 1, onde o denominador não pode ser zero.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são falsas.
E A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
Para resolver essa questão, considere que o valor médio de uma função, denominado Vmf, em um 
dado intervalo [a, b], a qual seja diferenciável neste intervalo, é dado por:
Seja uma empresa que produz e vende kits de jardinagem urbana. Seus clientes recebem um kit 
completo com vasos, terra, sementes e ferramentas para cultivar ervas, vegetais e flores em pequenos 
espaços, como varandas e jardins verticais. O valor do custo de produção para uma certa quantidade 
de kits (x), é definido pela função C(x) = 0,08x³ - 0,9x² + 1,4x + 5. Assim, o valor médio do custo de 
produção, em de reais para um intervalo de 20 a 30 kits é:
A R$ 630,00.
B R$ 770,00.
C R$ 810,00.
D R$ 540,00.
E R$ 530,00.
Segundo o conceito físico estabelecido pela Lei de Hooke, a força necessária para distender uma mola 
por uma certa quantidade de unidades x é diretamente proporcional à extensão da distensão x. 
Matematicamente, isso é expresso pela equação F = k⋅x, onde k é a constante de proporcionalidade 
conhecida como constante elástica da mola. O trabalho realizado por uma força variável é dado pela 
integral da função força, no intervalo fixado pela origem e término do deslocamento realizado
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Desta forma, supondo que 1,95 J de trabalho foram necessários para estender uma mola de 10 cm 
para 16 cm de comprimento, assinale entre as opções, aquela que forneça o valor da constante elástica 
desta mola.
Obs.: todos os dados devem ser utilizados dentro do Sistema Internacional de Unidades (SI). Utilize o 
intervalo de integração conforme os dados apresentados.
A 250 N/m.
B 220 N/m.
C 200 N/m.
D 260 N/m.
E 280 N/m.
O comprimento de arco de uma curva é calculado utilizando integrais, uma ferramenta poderosa da 
análise matemática. Ao dividir a curva em segmentos infinitesimais e somar suas contribuições, 
podemos obter uma estimativa precisa do comprimento total. Esse processo é fundamental em várias 
áreas, como geometria diferencial e física, onde o movimento de partículas é descrito por trajetórias 
curvilíneas.
Sendo assim, assinale entre as opções, aquela que apresenta o comprimento do arco da curva para y = 
3x - 1, com 2 ≤ x ≤ 7.
Utilize
A 5√10.
B 7√10.
C 7√4.
D 5√4.
E 2√5.
Considere uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo x sob a influência de uma força 
variável dada pela função
Esta partícula é deslocada do ponto x = 0 até x = 2. O trabalho realizado sobre a partícula ao longo 
deste deslocamento é uma medida da energia transferida para ela durante esse processo.
Determine entre as opções, qual foi o trabalho realizado sobre a partícula ao longo deste 
deslocamento.
Obs.: todos os dados estão expressos em unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI).
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A 5 J.
B 6 J.
C 4,2 J.
D 2 J.
E 3 J.
Integrais impróprias são uma extensão importante do conceito de integração em cálculo. Elas surgem 
quando as funções a serem integradas apresentam comportamentos singulares nos limites de 
integração, como infinito ou pontos de descontinuidade. Para lidar com essas situações, são aplicadas 
técnicas específicas, como a limitação dos limites de integração e a avaliação de limites, a fim de 
determinar se a integral converge ou diverge. Sendo assim, veja a integral a seguir
Considerando a integral apresentada, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral apresentada é convergente.
PORQUE
II. Ao calcular essa integral, obtemos
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são falsas.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Os conceitos de Geometria ensinados no Ensino Médio não possibilitam o cálculo de áreas de regiões 
limitadas por curvas arbitrárias. Para resolver esse tipo de problema, é necessário utilizar o conceito 
de integral definida, comumente estudado nas disciplinas de Cálculo. Um exemplo prático disso é o 
cálculo da área de uma região no plano delimitada por curvas.
Considere as curvas definidas por 2y = x e y = x². Indique a alternativa que apresentaa área 
delimitada por essas duas curvas.
A 1/48.
B 5/48.
C 1/12.
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D 5/7.
E 7/12.
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