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Problemas resolvidos de Operações de
Transferência
Versão 0.70
João Mário Miranda
jmiranda@fe.up.pt
http://www.fe.up.pt/~jmiranda/ot/
1
Conteúdo
1 Introdução 4
1.1 Programa 2002-2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Versões programadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Página Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Projecto de tubagens e bombas 7
2.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Velocidades típicas em tubagens . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Perguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 10
2.5 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.1 Simulação do escoamento em tubagens . . . . . 11
2.5.2 Projecto de tubagens . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.3 Tubagens ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.4 Projecto de bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Leitos fixos e fluidização 45
3.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 47
3.4 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.1 Exercício extra 3.v2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Transporte de calor 53
4.1 Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2
4.2 Peguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 54
4.3 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Filtração 70
5.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 73
5.4 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.1 Filtração a pressão constante . . . . . . . . . . . 82
5.4.2 Optimização e lavagem . . . . . . . . . . . . . . . 84
3
Capítulo 1
Introdução
1.1 Programa 2002-2003
1. Apresentação dos objectivos da disciplina, programa e método
de avaliação.
2. Breve revisão de alguns conceitos fundamentais da mecânica
de fluidos.
� Regimes de fluxo e número de Reynolds (2.5).
� A equação de Bernoulli (2.7).
� Equações de projecto para o fluxo laminar e turbulento
em tubagens (2.10).
� Fluxo compressível de gases (2.11).
3. Aplicações e projecto de instalações envolvendo fluxo de flui-
dos.
� Fluxo com objectos imersos, em leitos porosos assentes e
fluidizados (3.1).
� Medição e medidores de caudal (3.2).
� Bombas e equipamento para movimentação de gases (3.3).
� Agitação e mistura de fluidos; cálculo da potência necessária
(3.4).
� Fluidos não-Newtonianos (3.5).
� Fluxo em sistemas de tubagens ramificadas.
4. Princípios e projecto de unidades de transferência de calor em
estado estacionário.
4
� Introdução e mecanismos de transferência de calor (4.1).
� Transferência de calor por convecção forçada em tubagens
(4.5).
� Transferência de calor por convecção forçada no exterior
de várias geometrias (4.6).
� Transferência de calor por convecção natural (4.7).
� Ebulição e condensação (4.8).
� Permutadores de calor (4.9).
� Transferência de calor por radiação; utilizações principais
(4.10).
� Transferência de calor com fluidos não-Newtonianos (4.12).
� Coeficientes de transferência de calor especiais (4.13).
� Condensadores para evaporadores e cristalizadores (8.6)
5. Processos de separação físico-mecânica.
� Introdução e classificação das operações de separação físico-
mecânica (14.1).
� Filtração em separação sólido-líquido (14.2).
� Elutriação e sedimentação na separação de partículas (14.3).
� Processos de separação centrífuga (14.4).
� Redução mecânica do tamanho (moagem) (14.5).
1.2 Versões programadas
até à versão 0.80 – corrigir erros de contas, conceptuais e de por-
tuguês
até à versão 0.90 – complementar todo o texto com análises teóricas
até à verão 1.0 – rever tudo
1.3 Bibliografia
1.3.1 base
Geankoplis, C.J., 1993. "Transport Processes and Unit Operations,
3rd ed.", Prentice Hall International, Inc., New Jersey, USA
5
1.3.2 complementar
Foust, A.S., et al., 1960."Principles of Unit Operatiosn", John Wiley.
McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriot, P., 1993 (2001). "Unit Oper-
ations of Chemical Engineering, 5th (6th)ed.", McGraw Hill, N.Y.,
USA.
Coulson, Richardson, 1993. "Engenharia Química, vol.1", Fund.
Calouste Gulbenkian, Lisboa.
Perry, R.H., Green, D.W., Maloney, J.O., eds., 1991. "Perry´s Chem-
ical Engineering Handbook, 7th ed., McGraw Hill, N.Y., USA.
1.4 Página Web
http://www.fe.up.pt/~sereno/OT0102.htm
http://www.fe.up.pt/~jmiranda/ot/
6
Capítulo 2
Projecto de tubagens e
bombas
2.1 Nomenclatura
� ms � � velocidade� Nm � � pressão� adm factor de correcção: turbulento=1, lami-
nar=0.5�
adm coeficiente de atrito de Fanning -
laminar:
���	�

������
��� adm número de Reynolds
�
m diâmetro da tubagem� kgm ��� massa volumica�
m comprimento da tubagem���
Nmkg � �
Jkg � �
m
�
s � �
trabalho ao veio por unidade de massa
� kgm � � s � � viscosidade�! 
Nmkg � �
Jkg � �
m
�
s � �
perdas totais
"
adm constante da equação das perdas menores# ��$
Nmkg � �
Jkg � �
m
�
s � �
perdas na expansão
#�%
Nmkg � �
Jkg � �
m
�
s � �
perdas na expansão
& m rugosidade
7
 ��
Nmkg � �
Jkg � �
m
�
s � �
perdas na tubagem por fricção
� � � Nm � � queda de pressão por atrito�
K temperatura�
m
�
área perpendicular ao escoamento�� adm rogusidade relativa
2.2 Formulário
Equação de Bernoulli modificada
� 	� 
� �
� � ���� � � ��� � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � ����� (2.1)
Queda de pressão por atrito
��� � ��� � � �� � �� � (2.2)
Perdas na tubagem
 �� � ��� �� ��� � �� � �� (2.3)
Coeficiente de atrito — regime laminar
� � 
������� (2.4)
Perdas de carga em acidentes
# � � " � � �� (2.5)
Perdas de carga em expansões
1 2� � #���$ �! 
 � � �� �#" � � �� � � " � $ � ��� � (2.6)
Perdas de carga em contracções
8
1 2� � #�% � � � ��� 
 � � �� � " � ��� � � " % � ��� � (2.7)
Número de Reynolds
� ��� � � � �� (2.8)
Limite superior de regime laminar — tubos circulares
� ����� � 
 � � � ��� � � � (2.9)
Densidade da água
� ��� � � � ��� �
	 � � 
 ��� � � � � � � � 	 � � � �
� � � ��� � � 
 � ��
 � � � � � � � 	 � � 
 � ��� � ��� (2.10)
Viscosidade da água
� � ��� � � 
 � � � ��� � � � 
 � � 	� � 
 � � � ��� " (2.11)
Equação de Nikuradse
� � ��� � ��������� � ����� �! � � � � (2.12)
Equação de Blasius
� � � � ��� 	 
 ����� � �#" � (2.13)
Equação de Colebrook and White
� � � � � � �$�%��� &� � � � � ������ � � " � � � � � (2.14)
Equação de Shacham
9
� � 
���� �%����� � " ���� � � 
�� � �	�
 � �%��� � � " ���� � � � � � 
	 

� 	�	
 � (2.15)
Equação de Haaland
� ��� � � � � �%����
 � � 	����� � &�� �� � � " � � "������ �
�
(2.16)
2.3 Velocidades típicas em tubagens
Velocidades típicas em tubagens de aço
fluido zona de escoamento velocidade (m/s)
pouco viscoso (água) montante da bomba 0.6 - 0.9
jusante da bomba 1.5 - 2.5
viscoso montante da bomba 0.06 - 0.025
jusante da bomba 0.15 - 0.6
gases — 9 - 36
vapor — 9 - 23
2.4 Perguntas teóricas - múltipla escolha
1 - Para um dado caudal mássico, o número de Reynolds:
a) aumenta com o diâmetro do
tubo
b) diminui com o diâmetro do
tubo
2 - Para um dado caudal mássico, a queda de pressão numa tubagem
devido ao atrito :
a) aumenta com o diâmetro do
tubo
b) diminui com o diâmetro do
tubo
3 - Numa tubagem com uma inclinação de 45 � , a velocidade:
a) aumenta ao longo da
tubagem
b) diminui ao longo da
tubagem
c) não varia
3 -A velocidade na superficie livre num tanque com área muito
grande é:
a) zero
b) desprezável em relação a
outros termos da equação de
Bernoulli modificada
c) significativa
10
2.5 Problemas resolvidos
2.5.1 Simulaçãodo escoamento em tubagens
res.2.10-3, pp.89
Um líquido com a densidade de 801 kg/m3 e a viscosidade de 4.46
cp, flui numa tubagem à velocidade de 4.57 m/s. A tubagem é de
aço comercial sch.no. 40 com 2" de diâmetro nominal. Calcule a as
perdas de energia mecânica por atrito
 �
em J/kg numa secção da
tubagem com 36.6 metros. [Resp. 174.8 J/kg]
tipo de problema: simulação, determinado
� ��� � � � cp ��� � � � cp � 
 � ��� kg m � � s � �
 cp ��� � � � � 
 � ��� kg m � � s � �
(2.17)
D
� ��� � � � � � � ��� m (Tabela A.5-1, pp. 892, [Geankoplis])
N
��� � � � �� (2.18)
N
��� � � � 
 kg m ��� � � � � � m s � � � � � � � ��� m� � � � � 
 � ��� kg m � � s � � ��� � � 
 � 
 � � (2.19)
Como o número de Reynolds é muito superior a 2100, o regime de
escoamento é turbulento.
Como o tubo é feito de aço comercial, a rugosidade, segundo a figura
2.10-3 [Geankoplis] é dada por:
& � � � � � 
 � ��
 m (2.20)
A razão entre a rugosidade e o diâmetro é:
&
� � � � � � 
 � ��
 m� � � � ��� m � � � � � � ��� (2.21)
O coeficiente de fricção determina-se do gráfico de Moody:
11
� � � ���
�
&
� � � � � � � � (2.22)
As perdas na tubagem são dadas pela equação:
� �� ��� � �� � �� (2.23)
� �� ����� � � � � � �$� � � � � m� � � � ��� m � � � � � m � s �� (2.24)
� �� � 
 � � � � � JKg � � (2.25)
ex. 2.10-3, pp.111
Um líquido com a densidade de 801 kg m ��� e uma viscosidade de
 � � 	 � 
 � ��� Pa.s flui numa tubagem horizontal de aço de 1,5", Sch.no.
40 à velocidade de 4.57 ms � �
� calcule as perdas por atrito
 �
. [Resp. 348.9 J/kg]
� supondo que se utiliza um tubo liso com o mesmo diâmetro
interno, qual seria a redução percentual de perdas que se con-
seguiria. [Resp. 21.4%]
tipo de problema: simulação, determinado
� � � � 
 kg m ��� (2.26)
� � 
 � � 	 � 
 � ��� kgm � � s � � (2.27)
Do apêndice A.5 [Geankoplis]:
� � � � � � � � 	 m (2.28)
� � � � � � ms � � (2.29)
12
� � �#
 m (2.30)
� ��� � � � 
 kg m ��� � � � � � ms � � � � � � � � � 	 m
 � � 	 � 
 � ��� kgm � � s � � � 
 � � ��� 
 � 
 (2.31)
Da figura 2.10-3[Geankoplis]:
& � � � � � 
 � ��
 m (2.32)
pelo que o número adimensional & � � é igual a:
&
� � � � � � 
 � ��
 m� � � � � � 	 m � � � � � 
 
 ��� (2.33)
Segundo o diagrama de Moody, para
� ��� � 
 � � ��� 
 � 
 e �� � � � � � 
 
 ���
o coeficiente de fricção
�
é igual a 0.006.
As perdas de atrito determinam-se por:
 �� ��� � �� � �� ����� � � � � � � �#
 m� � � � � � 	 m � � � � � ms � � � �� m � s � � (2.34)
 �� � � � � � 	 J Kg � � (2.35)
Para um tubo liso, do diagrama de Moody determina-se
� � � � � � � �
pelo que:
 �� ��� � �� � �� ����� � � � � � � � �#
 m� � � � � � 	 m � � � � � ms � � � �� m � s � � (2.36)
 �� � � �#
 � � J Kg � � (2.37)
Redução percentual:
� � � � 	 � � �#
 � �� � � � 	 � � � ��� � ��� (2.38)
13
ex.2.10-10, pp.112
Água circula no espaço anelar de um permutador de calor de tubos
concêntricos colocado horizontalmente, sendo aquecida de 40oC a
50oC no permutador que tem um comprimento equivalente de 30
m. O caudal de água é de 2.90E-3 m3/s. Os tubos são de aço
comercial, sch.no.40, o interior de 1" e o exterior de 2". Qual a
queda de pressão sofrida pela água ? (considere as propriedades da
água à temperatura média e suponha, para efeito de correcção do
factor de atrito, que a parede do tubo está a uma temperatura 4oC
acima da temperatura no seio do fluido.
Não resolvido
ex. 2.10-4, pp.111
Num projecto de hidráulica vai ser usada tubagem de ferro fundido
com um diâmetro interno de 0.156 m e 305 m de comprimento para
transportar águas residuais a 293K. A altura de àgua disponível é
de 4.57 m. Desprezando as perdas em juntas e outros acessórios
da tubagem calcule o caudal na conduta (considere as propriedades
da água).
tipo de problema: simulação, determinado
Dados e conversões
� � � � 
 � � m (2.39)
� � � � �
m (2.40)
� � � 	 �
K (2.41)
Da tabela A.2-3 [Geankoplis]:
� � 	�	 � � ��� Kgm ��� (2.42)
Da tabela A.2-4 [Geankoplis] :
� � 
 � � � � Kgm � � s � � (2.43)
14
não há trabalho ao veio,
� � � �
Da figura 2.10-3[Geankoplis] (ferro fundido ==cast iron):
& � � � � � 
 � � � m (2.44)
Equações
� 	� 
� �
� � �� � � � � � � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � ����� (2.45)
continuidade:
� � � � � (2.46)
caudal:
� � � ��� � �� (2.47)
Reynolds:
� ��� � � � � �� (2.48)
Perdas:
� � � � �� � � �� � (2.49)
Haaland:
� � � ��� � &�� � � � � � � � � �%��� 
 � � 	����� � &�� �� � � " � � "������ �
�
(2.50)
Incógnitas
�
�
� �
�
� �
�
�����
�
�
�
� 
Algorítmo
15
arbitrar � � � � � ��� ���� � � � � � ����� �����	� �
� � �
�
� �
� �
��
���
� � � ��
��
laminar?não
sim
� ��� � � � � �%��� � � � �	�

� � � � " ���� � � � "�� �
� � � � � ���	�

�
�� � � � � ��� � � � � �� � � � ������ ���� � � � ����� � � ����� conv?não

 sim
resultados
Resolução numérica
iteração � � � � � ����� � �
(m/s) ��� ��� � � ) (m) (J/Kg)
1 1 0.123 1 
 � ��� � 
 � 
 44.8 � � � � � 
 � ���
2 1.40 0.171 1.40
� � 
�� � 
 � 
 44.8 � � � 	 � 
 � ���
3 1.41 0.172 1.41
� � 
 ��� 
 � 
 44.8 � � � 	 � 
 � ���
2.5.2 Projecto de tubagens
res.2.10-4, pp.90
Pretende-se movimentar água a 4.4oC numa tubagem horizontal de
aço comercial com 305 m a um caudal de 150 gal/min. Dispõe-se
de uma altura de água de 6.1 m para vencer as perdas por atrito.
Calcule o diâmetro que a tubagem deve ter. [Resp. D=9.5 cm à
Sc.no. 40 de 4"]
tipo de problema: projecto, determinado
Dados e conversões de unidades:
16
� � 
 � � gal min-1 � 
 � � gal min-1 � 
 min� � s � 
 m �� � � � 
 � gal (2.51)
� � 	 � � � � 
 � ��� m � s � � (2.52)
� � � � �
m (2.53)
� � � � � � 
 � � � � �
� � ��� � � � K (2.54)
Da tabela A.2-3 [Geankoplis]:
� � 
 � � � Kgm ��� (2.55)
Da tabela A.2-4[Geankoplis] :
� � 
 � � � � � � 
 � ��� Kgm � � s � � (2.56)
Da tabela do diagrama de Moody [Geankoplis] :
& � � � � � 
 � ��
 m (2.57)
Equações:
Equação de Bernoulli modificada:
� 	� 
� � � � �� � � � � � � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � � ��� (2.58)
Está implicito no problema que:
� � � � ��� � � � � � � 	 � � 
 � � � 
 m � s � � (2.59)
Continuidade:
17
� � � � � (2.60)
Caudal:
� � � � � � �� (2.61)
Reynolds:
� ��� � � � � �� (2.62)
Perdas:
� � � � �� � � �� � (2.63)
Haaland:
� � � ��� � &�� � � ��� � � � � �%����
 � � 	����� � &�� �� � � " � � "������ �
�
(2.64)
Incógnitas:
� �
�
� �
�
�
�
� ���
�
�
�
� 
18
Algorítmo:
arbitrar � � � ��� ���� � � � � � � � � ��� � ���	� �
� � �
�
� �
� �
��
���
� � � ��
��
laminar?não
sim
� � � � � � � �%��� � � � �	�

� � � � " ���� � � � "�� �
� � � � � ���	�

�
�� � � � � ��� � � � � �� � � � � � �� ���� � � � ����� � � ����� conv?não

 sim
resultados
Resolução numérica:
iteração � � � � � ����� � �
(m/s) (m/s) (m) (J/Kg)
1 1 1 0.11
� � 
 � � 59.8 � � 
 	 � 
 � ���
2 1.44 1.44 0.0915
� � ��� 
 � � 59.8 � � 
 � � 
 � ���
3 1.32 1.23 0.0954
� � � � � 
 � � 59.8 � � 
 �$� 
 � ���
4 1.35 1.35 0.0945
� � 
 � � 
 � � 59.8 � � 
 �$� 
 � ���
5 1.34 1.34 0.0947
� � 
 � � 
 � � 59.8 � � 
 �$� 
 � ���
6 1.34 1.34 0.0947
� � 
 � � 
 � � 59.8 � � 
 �$� 
 � ���
19
Extra 1
� A
� C
L1
H3
L2
�
D L3�E �P
H3
L1
� B
�F
H4H2
�
�
H1
H5
Dados: L1=50; L2=100; L3=100m; L4=50m; Fluido: água; T=25 � C.
a)Tendo em conta a instalação da figura, escreva as equações:
� da continuidade (A e B, C e F, C e D)
� de Bernoulli modificada (A e B, A e P);
� das perdas totais;
� do número de Reynolds;
� do caudal em função da velocidade;
� do coeficiente de Fanning;
Considere as duas hipóteses de regime de escoamento: laminar ou
turbulento.
Considere as duas hipóteses de regime de escoamento: laminar ou
turbulento.
b) Projecte a instalação com o objectivo de escoar
� � � 
 m � s � � do
tanque A para o tanque B. Dados: H1=40 m, H2=20m, H3=30;
H4=20;H5=25. Considere os diâmetros
���
e
���
iguais.
� Desenhe um método iterativo adequado para resolver este prob-
lema no Excel;
20
� Modifique o método iterativo para resolver este problema com
papel, lápis e calculadora;
� Qual o valor inicial da variávela arbitrar? De que factores
depende esse valor?
c) Projecte a instalação com o objectivo de escoar
� � � 
 m � s � � do
tanque A para o tanque B. Dados: H1=40 m, H2=20m, H3=60;
H4=20;H5=25. Considere os diâmetros
� �
e
� �
iguais.
� Determine a pressão no ponto P
d) Projecte a instalação com o objectivo de escoar
� � � 
 m � s � � do
tanque B para o tanque C. Dados: H1=40 m, H2=20m, H3=60;
H4=20;H5=25. Considere os diâmetros
���
=2
���
iguais.
a)
Equações
Equação de Bernoulli modificada:
� 	� 
� � � � �� � � �� � � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � ��� � (2.65)
Perdas:
� � � ��� � 
 � � 
 � # � � � �� � � � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � ���
� � ��� � � � � � � � ��� � � � ��� 
 � � �� � " � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � ���(2.66)
Continuidade:
� � �
� �%� � � � � � ��� (2.67)
� � � � � � ��� �% (2.68)
21
� � � � � � � � � (2.69)
� � � � � � � � � � � � � (2.70)
como a densidade é igual:
� � � � � � � � � (2.71)
como a área de escoamento é igual:
� � � � � (2.72)
Factor de atrito:
��� � � � � � � �%��� 
 � � 	������� � & � � �� � � " � � "�� � � �
�
(2.73)
� � � � � � � � �%��� 
 � � 	� ���
�
� &�� � �� � � " � � "�� ��� �
�
(2.74)
Caudal:
� � � � � � �%� (2.75)
Número de Reynolds:
� ����� � � � � � �
� (2.76)
� ���
�
� � � � � �� (2.77)
Incógnitas
� �
�
� �
�
� �
�
� �
�
� ��� �
�
� ���
� �
� �
�
� �
�
� 
22
b)Algorítmo
(excel)
arbitrar � � � � � � ���� � � � � � � � � � � ����� �� � �
������� � ��� � � �
� ��� � ����� � � �
� � �
� �
� �
� �
��
���
� � � ��
��
laminar?não
sim
� � � � � � � � ������� � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
� � � � � � � � �%����� � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
��� � ���	�

� �
� � � ���	�

� �
� ��� ����� ��� � ��� � � � � �� � � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � � ���� � " � � ��� � � " � � ��� � � ����� � � � ��� � ����� � � 
 � ����� �� � � �����
�! 	� � �� � � ����� �
	 � � 	 �� ��� � � � � � 
 � � � � � �� � � � � � � �
� �
� �
� �
� �
� � � � � � � � � � � � � � � � � �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� � � � � � � � � � � � � � � �
�
não
sim
23
Algorítmo (papel e lápis)
O algorítmo anterior não é o mais adequado para reslver o problema
com papel e lápis. Para resolver o problema em papel e lápis é
necessário que a variável arbitrada seja calculada no fim do ciclo.
Neste caso, não é possível determinar a velocidade, � � , a partir da
equação de Bernoulli. A velocidade tem que ser determinada pela
equação das perdas:
� � � ��� � 
 � � 
 � # � � � �� � � � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � ��� �
� ��� � � � � � � � ��� � � � ��� 
 � � �� � " � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � ���
� � � ��� � 
 � � 
 � # � � � �� � � � � ��� � � � � � " � � ��� � 
 � � � � � � � � ��� 
 � � ��� �� " � � � � � � � � � � � � � � �� � " � � ���
É necessário eliminar � � desta equação. Como:
� � � � ��� �� � � (2.78)
então:
� � � ��� � 
 � � 
 � # � � � �� � � � � ��� � � � � � " � � ��� � 
 � � � � � � � � ��� 
 � � ��� �� " � � � � � � � � � � � � � � �� � " � � �� � � �� � ��
����� ���� �
	��
�� ����������������������� "! #%$�&(')'*#%$�&,+�'*#.-�/
#%$�&,+�'*#%$�&(')'0-)/�1 324 32!65 # 
��87 ��9����:9����<;����:; 4 5>= ;! ;4
O algorítmo é apresentado na página seguinte. Note-se que a equação
das perdas trocou de posição com a equação de Bernoulli.
24
arbitrar � � � � � � ���� � � � � � � � � � � � ��� �� � �
������� � ��� � � �
� ��� � ����� � � �
� � �
� �
� �
� �
��
���
� � � ��
��
laminar?não
sim
��� � � � � � � ����� � � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
� � � � � � � � �%��� � � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
��� � ���	 

� �
� � � ���	�

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� � � ���� � � �� � � �� ��� 	 � � 	 �� � � � � � � � 
 ��� � �
� � � � � �� � ��� ����� �������	�
� �� � � ��� 
 
 � ��� � 
 � � ��� ��� � 
 � ��� 
 
 � � � � ��� ���
 � � � � � � � � � �
����� � �� � 
�� � ��� ��
� �
� �
��
���
� � � ��
��
�
não
sim
conv?
25
c)Pressão no ponto P para um dado diâmetro
� � � � � :
Equação de Bernoulli modificada:
� 	� 
� � � � �� � � �� � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � � � � (2.79)
Perdas:
� � � � � � 
 � � 
 � # � � � �� � � � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � � � ���
� � ��� � � � ��� 
 � � �� � " � ��� � � � � � �� � � � ��� (2.80)
Continuidade:
� � � � � � ��� �% (2.81)
Factor de atrito:
��� � � � � � � �%��� 
 � � 	� ��� � � & � � �� � � " � � "���� � �
�
(2.82)
� � � � � � � � �%��� 
 � � 	� ���
�
� &�� � �� � � " � � "�� ��� �
�
(2.83)
Caudal:
� � � � � � �%� (2.84)
Número de Reynolds:
� ����� � � � � � �� (2.85)
� ���
�
� � � � � �
� (2.86)
Incógnitas:
� �
�
� �
�
� ��� �
�
� ���
� �
� �
�
� �
�
� 
26
Algorítmo:
� ������� # � ���	�
� � � � ���
� � �� � � � � � � � � � ��� �� � �
� ��� � � ��� � � �
� ��� � � ��� � � �
� � �
� �
� �
� �
��
���
� � � ��
��
laminar?não
sim
��� � � � � � � ����� � � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
� � � � � � � � �%��� � � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
��� � ���	 

� �
� � � ���	 

� �
� ��� ����� ��� � ��� � � � � �� � � ��� � � � � � �� �� � " � � ��� � � ����� � � 
 � ����� �� � � �����
� � � � � � ��� � �� ���� � � �� � � �� � ��� ��� � � � � � � � ��
�
27
2.5.3 Tubagens ramificadas
l(ex. 3.6-1) Um sistema de condução de água é constituído por
três tubagens que partem do ponto A e convergem no ponto B. As
respectivas características são as seguintes:
Tubagem Comprimento (m) Diâmetro, (poleg) &�� �
1 1600 6
� � 
 � � �
2 1000 5
��� 
 � � �
3 800 4
� � 
 � � �
O caudal de água através do sistema é de 100 m � /h. A pressão em
A e B é atmosférica e o nível de A está 3m abaixo de B. Calcular o
caudal em cada uma das tubagens e a potência da bomba a instalar
em A (antes da ramificação) . [Resp. 43.6, 34.8, 21.6 m3/h; 2.74
CV]
Dados e conversões:
Tubagem Diâmetro, (poleg) Diâmetro(m)
(nominal) apêndice A.5
1 6 0.1023
2 5 0.1282
3 4 0.1541
Temperatura não é dada. Supondo T=25oC:
� � 	�	 � � � � kg m ��� (2.87)
� � � 	 � � ��� 
 � ��� kgm � � s � � (2.88)
100 m � /h
� � 
 � � m � h � � � 
 � � m � h � � h� � � � s � 2.78 � 
 � � � m � s � � (2.89)
Equações:
28
� � � 
 � � � � � � (2.90)
Equação de Bernoulli modificada:
� �� � 
� � � � �� � � �� � � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � ��� � (2.91)
Perdas:
� �� �	� � � � �� � � � �� � (2.92)
Caudal:
� � � � � � � ��� (2.93)
Número de Reynolds:
� ���
�
� � � � � � �� (2.94)
Factor de atrito:
� � � � ��� � � � & � � � � � � � � � � � �%��� 
 � � 	�����
�
�
� & � � � �� � � " � � "�� � � �
�
(2.95)
Inógnitas:
� �
�
� �
�
� �
�
� ���
�
�
�
� ��
�
� �
15 equações e 15 incógnitas: problema determinado
Este problema pode ser divido em dois. Na primeira parte, dado
o caudal total, é necessário determinar as perdas e a queda de
pressão nas tubagens e paralelo. Na segunda parte, dadas as per-
das e o caudal, é necessário determinar a potência da bomba.
Equações(primeira parte):
� � � 
 � � � � � � (2.96)
29
As perdas são iguais em todas as tubagens:� � � � � (2.97)
� 
�
� � � (2.98)
Perdas:
� �� �	� � � � �� � � � �� � (2.99)
Caudal:
� � � � � � � ��� (2.100)
Número de Reynolds:
� ���
�
� � � � � � �� (2.101)
Factor de atrito:
� � � ����� � � � & � � � � � � � � � � � �%��� 
 � � 	�����
�
�
� & � � � �� � � " � � "�� � � �
�
(2.102)
� �
�
� �
�
� �
�
� ���
�
�
�
� ��
14 equações e 14 incógnitas: problema determinado
Equações(segunda parte):
Equação de Bernoulli modificada:
� � � � � � � 
� � � � �� � � �� � � � � � � �� � � ��� � � � � � (2.103)
simplifica-se:
� � � � � � ��� � (2.104)
Determinação da potência:
� � � � � � � � (2.105)
30
Algorítmo:
� � � �
�
� � � ��� �
� � �� � ��� � � ��� � � � �
 � � � ������ �
� �
��
��
laminar?
sim
não
�� � �
� � ��� � � � � �%��� � � � �	 

��� � � � � � " � ���� � � � "�� �
� � � � � � ���	 

��� �
� � ��� � � � �� � � � ��� � � � �
� � � arbitrar � � � � � ������ � �� ���� � � � ��� � � �
 � � � ������ �
� �
��
��
laminar?
sim
não
� � � �

� � � � � � � � ����� � � � �	�

��� � � � � � " � ���� � � � "�� �
� � � � � � ���	�

��� �
� � � � � � � �� � � ���� � � ������ �
� �
��
��
i>3 i=i+1� � �
� �
��
���
� � � ��
��� �� � � � � � � � � � sim �não sim não �
� � ��� �� � �
� �
� �
��
���
� � � ��
��
SQ=Q
não
sim
�
resultados
31
2.5.4 Projecto de bombas
ex.2.10-6, pp.112
Um tanque aberto contém água a 82.2oC, que se pretende bombear
a um caudal de 379 litros/min. A tubagem desde o tanque até à
bomba e de aço sch.no. 40 com 2" e tem 6.1 m e três cotovelos.
A tubagem de descarga após a bomba é identica, tem 61 m e dois
cotovelos. Esta descarrega para a atmosfera a uma altura de 6.1 m
acima do nível do tanque.
a) Calcule as perdas por atrito; [Resp. SF = 122.8 J/kg]
b)Calcule a energia a fornecer ao fluido na bomba, WS em J/kg;
[Resp. Ws = -186.9 J/kg]
c)Calcule a potência da bomba em kW, se a eficiência mecânica for
de 75%. [Pot = 1.53 kW]
tipo de problema: a) simulação, determinado; b)projecto, determi-
nado
Dados e conversões de unidades
Q
�
vA
� v � D �� � � � 	 l min � � � 
 min� � s � 
 m �
 � � � l � � � � � � 
 � ��� m � s � �
(2.106)
�
nominal
� � � ��� � � � � � � ��� m (2.107)
� � � � � � � � � � � 
 � � ����� � ��� (2.108)
Densidade (tabela A.2-3, pp 855, [Geankoplis]):
� � 	 � � kgm ��� (2.109)
Viscosidade(tabela A.2-4, pp. 855,[Geankoplis])
� � � � ��� � � 
 � ��� kgm � � s � � (2.110)
Definir ponto 1 no primeiro tanque, ponto 2 no segundo tanque,
ponto 3 na tubagem até à bomba, ponto 4 na tubagem depois da
bomba.
32
�
�
� � � � � � � � ��� m (2.111)
�
�
� � � � � � � � � ��� �� (2.112)
�
�
� � � � �� � � �
�
� � � ��� � � � ��� 
 � ��� m � s � �
�
� � � � ��� � m � � � � � 	 ms � � (2.113)
� ���
�
� � ��� � � � ��� � � � ��
�
� (2.114)
� ��� � ��� 	 � � kgm ��� � � � � � � 
 � ��� m � s � �� � ��� � � 
 � ��� kgm � � s � � � � � � � � ��� m ��� � 
 � � 
 � 
 (2.115)
Rugosidade (aço):
&
��
�
� & �� � � � � � � 
 � ��
 m� � � � ��� m � � � � � � 
 � � � (2.116)
�
�
� � � ��� � � � � (2.117)
� � � �
�
� � ��
�
� � ��� � � � � � � � �� � � � ��� � �
" % � ��� � � " ��$ � ��� � � � " � � ��� � � " � � ��� (2.118)
� � � �
�
� � ��
�
� � � � � � �� � � " % � " � $ � � " � � � " � " � �� (2.119)
33
� � ��� � � � � � � � � 
� � � � ��� � ��� � � � � � � �#
� � � � ��� " � � � � ��� ��
� � 
 � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� (2.120)
� � 
 � � � ��� J/Kg (2.121)
Cálculo da energia a fornecer ao fluido:
� 	� 
� �
� � �� � � � � � � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � ����� (2.122)
� 	� � ��� � � � � � � � � � � (2.123)
� ��� � � � � ��� � � � � � � (2.124)
� ��� � 
 � � � ��� J/Kg � 	 � � 
 � � � 
 � J/Kg � � 
 ��� � � � J/Kg (2.125)
Cálculo da potência da bomba:
� � � ���
�
� � � � � � 
 ��� � � � J/Kg � 	 � � kgm ��� � � � � � � 
 � ��� m � s � � � 
 
 � � Js � �
(2.126)
� � 
 
 � �� � � � � 
 � ��� kJs � � (2.127)
res. 2.10-7, pp. 97
Pretende-se calcular a potência em kW de uma bomba destinada a
bombear água ao longo da instalação esquematizada a um caudal
34
de 5 l/s. A tubagem é de aço comercial Sch.no. 40 de 4”. Suponha
que a bomba tem uma eficência mecânica de 65%.
tipo de problema: projecto, determinado
Q
�
vA
� v � D �� � � l � � � � 
 m �
 � � � l � � � 
 � ��� m � s � � (2.128)
�
nominal
�	� � � � � � � � 
 � ��� m (2.129)
� � � � � � � � � 
 � � � 	 � " (2.130)
Densidade (tabela A.2-3, pp 855):
� � 	�	 � kgm ��� (2.131)
Viscosidade(tabela A.2-4, pp. 855)
� � 
 � � � � � 
 � ��� kgm � � s � � (2.132)
Definir ponto 1 no primeiro tanque, ponto 2 no segundo tanque,
ponto 3 na tubagem até à bomba, ponto 4 na tubagem depois da
bomba.
�
�
� � � � � � 
 � ��� m (2.133)
�
�
� � � � � � � 
 � ��� �� (2.134)
�
�
� � � � �� � � �
�
� � � ��� � � 
 � ��� m � s � �
�
� � 
 � ��� � m � � � � � ms � � (2.135)
�����
�
� ����� � � ����� � � � ��
�
� � ��� 	�	 � kgm ��� � � � 
 � ��� m � s � �
 � � � � � 
 � ��� kgm � � s � � � � � � 
 � ��� m � � � � 
 � 
 � �
35
(2.136)
Rugosidade (aço):
&
��
�
� & �� � � � � � � 
 � ��
 m� � 
 � ��� m ��� � � � 
 � � � (2.137)
�
�
� � � ��� � � � ��� (2.138)
� � � �
�
� � ��
�
� � ��� � � � � � � � �� � � � ��� � �
� " % � ��� � � " ��$ � ��� � � � " � � ��� (2.139)
� � � �
�
� � ��
�
� � � � � � �� � � " % � " � $ � � " � " � �� (2.140)
� � ��� � � � � ��� � �� � 
 � ��� � ��� � � � � � � 
 � �� � 
 � ��� " � � � �� �
� � 
 � � � ��� � � � � � � � � � � � �� (2.141)
� � � � � � J/Kg (2.142)
Cálculo da energia a fornecer ao fluido:
� 	� 
� �
� � �� � � � � � � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � � ��� (2.143)
� 	� � ��� � � � � � � � � � � (2.144)
36
� ��� � � � � ��� � � � � � � (2.145)
� ��� � � � � � J/Kg � 	 � � 
 � 
 � � J/Kg � � 
 ��� J/Kg (2.146)
Cálculo da potência da bomba:
� � � ���
�
� � � � � (2.147)
� � 
 
 ��� J/Kg � 	�	 � kgm ��� � � � 
 � ��� m � s � � � � � � Js � � (2.148)
� � � � �� � � � � 
 � 
 � kJs � � (2.149)
Problema extra no 2
É necessário transportar 0.01 m � s � � de água de um tanque A para
um tanque B localizado numa posição mais elevada. A instalação
utilizada está representada na figura. Encontram-se disponíveis 3
bombas centrífugas cujas curvas características são apresentadas
na tabela. Considere que o NPSH requerido pelas bombas é igual
a 3 m. Os dados relativos à instalação são os seguinte: H3=50m,
H4=60m, L1=10m e L2=100m. H2 é desprezável. Projecte a insta-
lação e responda às questões seguintes:
a) este problema é determinado ou indeterminado? Quantos graus
de liberdade tem?
b) que informação adicional é necessária para o resolver?
c) o que é preciso determinar para completar o projecto?
d) após o projecto, que alterações devem ser feitas na instalção para
que esta transporte um caudal o mais próximo possível do dese-
jado?
37
� A
�
� B
H2
H3
L1 L2
�
�
H1
H4
Tabela 1 - Dados para construir a característica das bombas
(carga fornecida pela bomba em metros)
Q B1 B2 B3
m � s � � m m m
0 40 80 110
0.005 39.5 79.5 109.5
0.0075 39 79 109
0.01 38 78 108
0.0125 36 76 106
0.0150 34 74 104
0.0175 32 72 102
0.0200 28 68 98
0.0250 22 62 92
0.0300 16 56 86
Este problema é indeterminado porque as variáveis que têm que
ser especificadas são maiores que as equações disponíveis para as
determinar. As variáveis que não são conhecidas são: os diâmetros
da tubagem, a altura H1, o material do tubo, número de Schedule e
a bomba. Destes, apenas a bomba ou o diâmetro da tubagem é que
podem ser determinados pelas equações de mecânica dos fluidos. A
informação necessária para determinaras outras variáveis tem que
ser obtida fora do âmbito da mecânica dos fluidos.
Os factores que devem ser considerados são:
38
� factores económicos
� factores de segurança
� limites físicos
Para resolver este problema é necessário arbitrar, de preferência
com base em factores extra mecânica dos fluidos, as variáveis seguintes:� �
,
� � , H1, material da tubagem e número de Schedule.
O número de Schedule caracteriza a espessura da tubagem e é um
indicador da capacidade da tubagem para suportar pressões ele-
vadas. Os tubos de Schedule igual a 80 suportam pressões mais
elevadas que os tubos de Schedule igual a 40. Numa situação real
é necessário determinar a espessura da parede do tubo necessária
para suportar a pressão máxima do sistema. Neste caso, vamos
pressupor que os tubos de 40 são adequados (o que é uma su-
posição perfeitamente arbitrária).
A escolha do material de que é feito a tubagem é influênciada pelo
custo, pela resistência mecânica e pela resistência à corrosão. Deve-
se escolher o material mais barato que satisfaça as restrições de
resistência química e mecânica. Como a informação sobre estes
factores não se encontra disponível, neste caso vamos pressupor
que os tubos são de aço inox.
O diâmetro da tubagem determina-se a partir de considerações económi-
cas. O custo tem duas componentes: custo de material e custo de
energia. O custo dematerial aumenta com o diâmtro. O custo de
energia diminui com o aumento do diâmetro. O diâmetro óptimo de-
pende de uma análise ecnómica detalhada, mas existe uma heurís-
tica para determinar um diâmetro óptimo aproximado. O diâmetro
deve ser tal que a velocidade tome os valores da tabela seguinte:
fluido secção v(m/s)
viscoso (água) zona de sucção 0.6-0.9
zona de descarga 1.5-2.5
Determinação do diâmetro:
� � � � � ��� (2.150)
� � ��� � �� � (2.151)
39
� � � � ��� � � � 
� � � � � � � 
 � � (2.152)
Do apêndice A.5:
� � � � � 
 � � 
 (2.153)
� � � � � �� � (2.154)
� � � � ��� � � � 
� � � � � � ��� 	 � (2.155)
Do apêndice A.5:
� � � � � � 	 � 
 � (2.156)
A altura H1 deve ser determinada tendo em conta dois factores:
� - a superfície livre do tanque de alimentação deve estar acima
da bomba. Só assim é possível ferrar a bomba
� a pressão na tubagem imediatamente antes da bomba deve ter
uma pressão superior ao
� � � ��� � ��� � � ��� � +Pvapor.
Dedução da equação para determinar H1:
� �
� ��� � � � �	� � ��� � � ��� � � � ��
 	 � �� � (2.157)
equação de Bernoulli entre A e C:
� 	� 
� �
� � �� � � �� � � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � (2.158)
� � � 
� � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � (2.159)
40
� � � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � (2.160)
� �
� � � � �� � � � 
 � �! � � � ��� � � (2.161)
� �
� � � � 
 � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � ��
 	 � �� � (2.162)
� 
 � � � � �	� � ��� � � � � � � � ��
 	 � �� � � � �� � � � � � � ��� � � (2.163)
cálculo aproximado:
� 
 � � � � � � � 
 � � � � � � � � � � ��� (2.164)
� 
 � � � � � � (2.165)
Projecto da bomba
A equação de Bernoulli modificada entre os pontos A e B é a seguinte:
� �� � � ��� � � � � � �� ��� ��� � � � � � � � � � � �
Como tanto
� �
como
� �
são iguais à pressão atmosférica e as ve-
locidades em A em e B são muito baixas:
� ��� � � � � � � � � � � �
após divisão por g, esta equação é equivalente a:
��� � � � � � � � � � � � ��
41
em que � � �� é igual à carga fornecida pela bomba, ��� :
��� � � � � � � � � � ���
O termo do lado esquerdo ��� � � � � � � � �� é igual à perda de carga
do sistema,
� ��� �
� ��� � � ���
Tanto
���
como
� ��� �
são função do caudal:
� ��� � � � � � ��� � � �
��� � � � é uma característica da bomba, a chamada curva carac-
terística da bomba.
� ��� � � � � pode ser determinado pelo algoritmo
seguinte:
42
� �
�
� �
�
� � � � ���
� � �� � � � ���� � ��
������� � ��� � � �
����� � ����� � � �
� �
� �
� �
� �
��
���
� � � ��
��
laminar?não
sim
��� � � � � � � ����� � � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
� � � � � � � � �%��� � � � �	�

� � � � � " � ���� � � � "�� �
� � �
��� � ���	 

� �
� � � ���	�

� �
� ��� ����� ��� � �� � � ��� � � � � � ��� � �� � � ���� " � � ��� � " � � ��� � � ����� � � � ��� � �����
� ��� � � � � � � 
 � � ��
43
As curvas características da instalação e das bombas estão repre-
sentadas na figura seguinte:
A figura é uma representação das curvas características das bom-
bas B1, B2, B3 ( a preto) e da instalação (a vermelho). Esta repre-
sentação mostra que:
� a bomba B1 fornece uma carga que é, para qualquer caudal,
sempre inferior à perda de carga na instalação
� para a bomba B2, a carga foneceida pela bomba iguala a carga
fornecida pela instalação para Q aproximadamente igual a 0.017
� para a bomba B3, a carga foneceida pela bomba iguala a carga
fornecida pela instalação para Q aproximadamente igual a 0.026
A bomba B1 não é adequada porque nem caudais baixos consegue
bombar do tanque A para o B. Deve-se escolher a bomba B2 porque
é aquela que dá um caudal mais próximo do pretendido e porque ,
muito provavelmente, consome menos que a bomba B3.
44
Capítulo 3
Leitos fixos e fluidização
3.1 Nomenclatura
�
	 m diâmetro das partículas& porosidade
� � m raio hidráulico�
	 m2 área superficial de uma partícula� 	 m3 volume de uma partícula
� � m-1 área específica de uma partícula
� m-1 razão entre a área total das partículas e o
volume total� �
Pa queda de pressão ao longo do leito� �
m altura do leito� � m/s velocidade superficial� �
esfericidade� �� � m/s velocidade miníma de fluidização& � � porosidade inicial� � � m comprimento incial�����
número de Reynolds� ���
� �
�
número de Reynolds minímo de fluidização
3.2 Formulário
Porosidade
& ��� poros
� total
(3.1)
área específica de uma partícula
45
� 	 � � 	� 	 (3.2)
razão entre a área total das partículas e o volume total
� � � � � 
 � & � (3.3)
relação entre a velocidade superficial e a velocidade intersticial
� � � & � (3.4)
esfericidade
� � � � �	�
	
(3.5)
em que
�
	 é o diâmetro da esfera com o mesmo volume da partícula.
??
equação de Ergun
��� � 
 � � � � � � �� �
	
� 
 � & � �& � � 
 � � � � � � � � �� 	 � 
 � & �& � (3.6)
equação de Ergun - esfericidade
��� � 
 � � � � � � �� � � � �
	
� 
 � & � �& � � 
 � � � � � � � � �� � � 	 � 
 � & �& � (3.7)
Número de Reynolds - Ergun
� ���
� 	
� � � � � �� 
 � & � � (3.8)
Força de arrasto
 � ��� � � � 	 � ��� (3.9)
46
Número de Reynolds (arrasto)
� ��� � � 	 � � �� (3.10)
� � laminar
� � � � �� ��� (3.11)
3.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha
1 - Na equação de Ergun, o � é a massa volúmica:
a) das partículas b) do fluido
2 -Qual é a relação entre a velocidade mínima de fluidização, � � � , e
a velocidade terminal de uma partícula isolada:
a) � � � � ��� b) � � � � ���
c) � � � � � � d) � ��� 	 � � � �
e) � ��� 	 � � �
3 -Um leito de partículas em que a massa volúmica das partículas é
500 kgm ��� , a massa volúmica do fluido é 1000 kgm ��� , a viscosidade
é 0.001Kgm � � s � � , a porosidade é 0.4, o diametro das partículas é
0.001 m e a velocidade superficial do fluido que sobe é 0.001 ms � �
está:
a) fluidizado b) fixo
d) é arrastado
47
3.4 Problemas resolvidos
3.4.1 Exercício extra 3.v2
A coluna A contém partículas es-
féricas de diâmetro igual a 1 mm
e densidade igual a 2000 kg/m3.
O peso total das partículas é igual
a 1000 kg. A porosidade do leito
é 0.4. O diâmetro da coluna é
igual a 0.5 m. A coluna B pos-
sui apenas uma partícula igual às
partículas da coluna A. Cada co-
luna é atravessada por um deter-
minado caudal de água. Para a
coluna A, determine:
a) a altura do leito;
b) a queda de pressão em função
da velocidade do fluido;
�����������
���������
�����������
���������
�����������
���������
�����������
���������
�����������
���������
�����������
���������
� � � � �
v’
�
�
L
A
�
� � � � �
v’
B
c) a velocidade mínima de fluidização;
d) a porosidade quando a velocidade é 3 vezes a velocidade mínima
de fluidização;
Responda ainda às seguintes questões:
e) A velocidade necessária para suspender a partícula na coluna B é
maior ou menor que a velocidade necessária para suspender todas
as partículas da coluna A?
f) A que velocidade é que a partícula da coluna B é arrastada com o
escoamento? E as partículas da coluna A?
a)
� total
� � poros � � partículas (3.12)
 � � poros
� total
� � partículas
� total
(3.13)
 � & � � partículas
� total
(3.14)
 � & � � partículas
� total
(3.15)
48
� partículas
� total
� 
 � & (3.16)
�
partículas�
partículas
�
c
� 
 � & (3.17)
���
partículas�
partículas �
� �
c
� � � 
 � & (3.18)
� � � ��� partículas�
partículas �
� �
c � 
 � & � (3.19)
� � � ��� � � � �
 � � ��� � � � � � � � 
 � � � � � ��� � � m (3.20)
b)existe um ficheiro excel com a solução desta alínea
c)Velocidade mínima de fluidização
��� � � �
peso aparentedo leito (3.21)
��� �
c
� � � p � � � � c � � � 
 � & � � (3.22)
��� � � � p � � � � � � 
 � & � � (3.23)
� � p � � � � � � 
 � & � � 
 � � � � � � �� �	 � 
 � & � �& � � 
 � � � � � �
� � �
�
	
� 
 � & �& � (3.24)
 � � � � � ��
	
� 
 � & �& � � � � � 
 � � � � �� �	 � 
 � & �
�
& �
� � � � � p � � � � 
 � & � � � � � � (3.25)
� � � � ��� � � � � � � (3.26)
49
� � 
 � � � � � ��
	
� 
 � & �& � � 
 � � � � 
 � � �$� � � �� � � � 
 � 
 � � � � �� � � � � � � � 	 � 
 � � (3.27)
� � 
 � � � � �� �
	
� 
 � & � �& �� 
 � �$� � � � � 
 � � � �� � � � 
 � � 
 � � � � �
�� � � � � � � � � � 
 � 
 (3.28)
� � � � � p � � � � 
 � & � � � � � � � � � � � � 
 � � � � � 
 � � � � � � � � � � 
 � � � ��� � � �
(3.29)
� � � � ��� � � � � � � �� � � � � ��� � 
 � ��� ms � � (3.30)
d) Uma das formas possíveis de resolver este problema consiste em
considerar que a equação:
� � p � � � � � � 
 � & � � 
 � � � � � � �� �	 � 
 � & � �& � � 
 � � � � � � � � �� 	 � 
 � & �& � (3.31)
é válida para leito fluidizado.
e)A velocidade superficial necessária para suspender as partículas
é maior na coluna B. Porquê?
f)Velocidade terminal
 � � Impulsão � Peso (3.32)
 � ��� � � � 	 � �� (3.33)
� � � � 	 � �� � � � 	 � � � 	 � 	 � (3.34)
50
� � � � 	 � �� � � � 	 � � � � 	 � (3.35)
laminar:
� �
� ��� � � 	 � �� � � � 	 � � � � 	 � (3.36)
� � �
� � � 	
� � 	 � �� � � � 	 � � � � 	 � (3.37)
� � �
� � � 	
� �
� �
	� � �� � � � 	 � � � � � �	� � (3.38)
� � � 
� � � � � � 	 � � � � � � �	 (3.39)
� � � � 	 � � � � �	
 � � � (3.40)
� � � � � � � � 
 � � � � 
 � � � � � � 
 �
 ��� � � � � 
 � � 	 ms � � (3.41)
� ��� � � � � 	� � �	 � � � � � 
 � 
 � � ��� � � � � 
 � � � � �	 � ����� (3.42)
CD=0.5
� � � � 	 � �� � � � 	 � � � � 	 � (3.43)
� � � � � 	 � � � � 	 �
� � � � 	 (3.44)
51
� � � � � 	 � � � � � � �	 �
� � � � � � �	 (3.45)
� � � � 	 � � � � � 	 �� � � � (3.46)
� � � � � � � � � � 
 � � � � � 
 ��� � � � � 
� � 
 � � ��� � � � (3.47)
� � � ��� 
 �� � 
 � � ��� � � � � � � 
�� � � � � (3.48)
� ��� � � � � 	
�
� � � 
��� � � � 
 � 
 � � �$� � � � � 
 � 
�� � (3.49)
CD=0.8
� � � � � � � � � � 
 � � � � � 
 ��� � � � � 
� � 
 � � ��� � � � (3.50)
� � � ��� 
 �� � 
 � � ��� � � � � � � 
 � � � � � (3.51)
� ��� � � � � 	� � � � 
 �� � � � 
 � 
 � � �$� � � � � 
 � 
 � � (3.52)
52
Capítulo 4
Transporte de calor
Nomenclatura�
calor�
K temperatura
h coeficiente de transferência de calor
A m
�
área
U coeficiente global de transferência de calor
k condutividade térmica�
�
�
número de Prandtl� 	 � número de Nusselt� � ���
�
	 capacidade calorífica���
temperatura na parede� �
temperatura no fluido
4.1 Formulário
convecção
� � # � � ��� � � � � (4.1)
� ��� � � �
(4.2)
resistências em série
� � � 
# � � � � 
� � � � 
# � � � (4.3)
53
número de Prandtl
�
�
� � � 	 �� (4.4)
número de Nusselt
� 	 � � # �� (4.5)
número de Peclet
�
�
� � ����� �
�
� � � 	 � � �� (4.6)
permutadores
� ��� � � � � � (4.7)
� � � � � � � � � � � �������� �
��� �
(4.8)
4.2 Peguntas teóricas - múltipla escolha
Considere o permutador de tubos concêntricos representado na
figura.
� �
� �
�
�� �
� �
� �
� � � �
�
�
� �
�
�
x
� ��� �
1 - O caudal no tubo interior relaciona-se com a velocidade no tubo
interior por:
a)
� � � � � � � �� � ��
b)
� � � � �
�
� ��
54
c)
� � � � �
�
� �
d)
� � � � � �
�
� �
2 - O caudal no tubo exterior relaciona-se com a velocidade no tubo
exterior por:
a)
� � � � � � � ���
b)
� � � � � � � � �� � � �� � � �
c)
� � � � � � � � � � � � � � ��
d)
� � � � � � � � � � � � � ��
e)
� � � � � � � � �� � � �����
3 - O número de Reynolds no tubo interior determina-se por:
a)
� ���
�
� � � � � � �
�
b)
�����
�
� � � � � �
�
�
� �
c)
�����
�
� � � �� ��
�
� �
4 - O número de Reynolds no tubo exterior determina-se por:
a)
� ���
�
� � � � � � ��
b)
� ���
�
� � � � � � � � � � � � � ��
c)
� ���
�
� � � � � ����
b)
� ���
�
� � � � � � � � � � � ��
5 - A taxa de calor transferido do tubo exterior para o tubo interior
na secção entre
�
e
�
+
� �
determina-se por:
55
a)
� ���
�
� � � � � � � � � � �
b)
� ��� � � ��� � � � � � � � � �
c)
� ��� � � � � � �� � � � � � � �
d)
� ���
�
� � � � � � � � � � �
6 - Dos conjuntos seguintes, quais os que violam a primeira lei da
termodinâmica? E quais os que violam a segunda lei da termod-
inâmica?
a) � �
� � � 
 � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � 
 � � � ��� � � � � � � � ���
b) � �
� � � 
 � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � ��� � � ���
c) � �
� � � 
 � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ���
d) � �
� � � 
 � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � 
 � � � ��� � � � � ��� � � ���
7 - Num espaço à temperatura ambiente, qual as condições de op-
eração é mais eficiente na prática?
a)
� �
� � � 
 � � � ��� � � � � � ��� � �
b) � �
� � � ��� � ��� � � � � � 
 � � � �
c) � �
� � � 
 ��� � ��� � � � � � � � � � �
8- O calor tansportado por unidade de tempo pelo caudal
� �
para o
interior do volume de controlo infinitésimal determina-se por:
56
a)
� � � � �
�
� � � � �
	
� �
�
$
b)
� � � � � � � ��� � 	 � � � $
c)
� � � � � � � ��� � 	 � � � � $ � � � � � �
9 - Se
� �
� � � ��� � � e � � � � � 
 � � � � , qual é o perfil de temperaturas no
volume infinitésimal ente
�
e
� � � �
?
a)
�
�
�
� �
� �
b)
�
�
�
� �
� �
10 - O coeficiente global de transferência de calor determina-se por:
57
a)
� � � 
# � � � � � �� � � � 
# � � �
b)
� � � � 
# � � � � � �� � � � 
# � � �
c) 
� � � � 
# � � � � � �� � � � 
# � � �
11 -
� � nas equações anteriores é igual a:
a)
� � � � � � � � � ���� � � � �� �
b)
� � � � � � � � � � � � � ���� � � � �� �
c) � � � � � �� � � � � � � �� �� � � �� � �� ��
12 -
� �
nas equações anteriores é gual a:
a)
� � � � �
�
� � � �
b)
� � � � � � � � � �
a)
� � � � � � � �
b)
� � � � � � � � � �
13 - Dos números adimensionais seguintes, qual é: o número de
Prantl, o número de Nusselt e o número de Peclet:
a)
�
	 �
�
b)
# �
�
c)
�
	 � � �
�
14 - Qual das correlações seguintes permite determinar
# �
para
regime laminar? E regime turbulento? Qual é a equação de Sieder
58
e Tate?
a)
� � 	 � � ml � � � � � � � ��� ���� � �#" �� � �� � " ��� � �
b)
� � 	 � � ma � 
 � � � � � ��� � � � � � � � �#" � �� � " ��� � �
15 - Como é que se determina
# �
a partir das equações anteriores?
a) Não é possível b) Considerando que o es-
comento no tubo exterior
é equivalente ao escoa-
mento num tubo normal com
diâmetro igual a
� �
c) Considerando que o trans-
porte de massa no tubo ex-
terior é equivalente ao trans-
porte de massa num tubo nor-
mal com diâmetro igual a
� � �� �
�
�
d) Considerando que o trans-
porte de massa no tubo ex-
terior é equivalente ao esco-
mento num tubo normal com
diâmetro igual a
� �
16 - O calor transferido por unidade de tempo do tubo interior para
o tubo exterior pode ser determinado pela equação:
a)
� ��� � � � � � � � � ���� ��� �
�����
b)
� ��� � � � � � � � � � � � � �
c)
� � � � � � 	 � � � � � � � � � � �
d)
� � � � � � 	 � � � � � � � � � � �
17 - Das seguintes, quais são as unidade de taxa de transferência
de calor, do coeficiente de convecção, da capacidade calorífica e da
condutividade térmica?
a) W/m
�
.K b) W
c) J/Kg.K d) W/m.k
18 - Dos valores seguintes, qual é: a massa volúmica da água, a vis-
cosidade da água, a capacidade calorífica da água, a condutividade
59
térmica da água e a condutividade térmica do aço (temperatura am-
biente, SI)?
a) 1000 b) 0.00086
c)54 d) 0.614
e) 4200
19 - Se
�
for determinado a partir de valores de
#
determinados
pela equação:
� � 	 � � ml � � � � � � � ��� ���� � �#" �� � �� � " ��� � �
�
relaciona-se com
�
por:
a)
� ��� � � � � � � � � ���� ��� �
�����
b)
� ��� � � � � � � � � ��
20 - Se
�
for determinado a partir de valores de
#
determinados
pela equação:
� � 	 � � ma � 
 � � � � � ��� � � � � � � � �#" � �� � " ��� � �
�
relaciona-se com
�
por:
a)
� ��� � � � � � � � � ���� ��� �
��� �
b)
� ��� � � � � � � � � ��
21 -Na equação:
� � 	 � � ml � � � � � � � ��� ���� � �#" �� � �� � " ��� � �
o número de Reynolds e o número de Prandtl são avaliados a que
temperatura:
a) de entrada b) de saída
c) média entre a entrada e a saídad) média entre o bulk e a parede
e) na parede
60
4.3 Problemas resolvidos
Extra5.v2
Considere o permutador de tubos concêntricos representado na
figura. O tubo interior tem diâmetro interno igual a 0.1 m e diâmetro
externo igual a 0.11 m e é alimentado por uma corrente de 0.01m � s � � de água a 
 � � � � . O tubo exterior tem diâmetro interno de
0.2 m e é alimentado por uma corrente de 0.02 m � de água a ��� � � .
Considere co-corrente.
� �
� �
�
�� �
� �
� �
� � � �
�
�
� �
�
�
x
� ��� �
Considere as propriedades da água à temperatura ambiente.
Se a temperatura à saída do tubo exterior for
� � � � determine:
a) o calor transferido através da parede do tubo interno;
b) a temperatura à saída do tubo interior;
c) a temperatura à saída de um permutador infinito;
d) o calor tranferido num permutador infinito;
e) a eficiência do permutador;
f) o número de Reynolds do tubo interno;
g) o número de Prandtl do tubo interno;
h) o número de Nusselt do tubo interno;
i) o coeficiente de transferência de calor para o tubo interno;
j)o número de Reynolds do tubo externo;
k)o número de Prandtl do tubo externo;
l)o número de Nusselt do tubo externo;
m)o coeficiente de tranferência de calor do tubo externo;
n)o perímetro médio logarítmico do tubo interno;
o)o coeficiente global de transferência de calor;
p)o comprimento do permutador;
q)a área do permutador.
As equações relevantes para resolver este problema são as seguintes:
61
� � 	 � � ml � � � � � � � ��� ���� � �#" �� � �� � " ��� � � (4.9)
� ��� � �
�
� � � � � � � �� � ��� �
� � �
(4.10)
� � �
�
� � 
# � � � � � �� � � � 
# � � � � � (4.11)
� � � � � � � 	 � � � � � � � � � � � � � (4.12) � � � � � � � 	 � � � � � � � � � � � � � (4.13)
�����
�
� � � � � � � � � � � � � � �� � (4.14) � ��� � � � � � � � � �� � (4.15)
�
�
�
�
� � � � � � �� � (4.16) � � � � � � � � � � �� � (4.17)
� 	 � � � � # � � �� � (4.18) � 	 � � ��� # � � �� � (4.19)
� � � � � � � �� � �� (4.20) � � � � � � � � �� � � �� � � � (4.21)
� � � � � � � � � � � � � ���� � � � �� � (4.22)
a)Os dados para a corrente do tubo exterior são conhcidos pelo que
o calor transferido pode ser determinado por:
� � � � � � 	 � � � � � � � � � � � (4.23)
� � 
 � � ��� � � � 
 � � � � � � � � � ��� � � 
�� � ��� 
 � 
 � (4.24)
b)A temperatura à saída do tubo interior determina-se a partir do
balanço energético à corrente que passa nesse tubo:
62
� � � � � � 	 � � � � � � � � � � � � � � � � 	 � � � � � � � � � � � (4.25)
� � � � 	 � � � � � � � � � � � � � � � � 	 � � � � � � � � � � � (4.26)
� �
� � � � � � � � � � � � 	� � � � 	 � � � � � � � � � � � (4.27)
� �
�
� � � �
� � � � �� � � � � � � � � � � � � (4.28)
� �
�
� � 
 � � � � � � �� � � 
 � � � � ��� � (4.29)
� �
�
� � � � � � (4.30)
c) A temperatura à saída de um permutador infinito em co-corrente
determina-se a partir do facto de as temperaturas serem iguais no
tubo interno e no tubo externo. Sendo assim:
� � � � � � 	 � � � � � � � � � � � � � � � � 	 � � � � � � � � � � � (4.31)
� � � � 	 � � � � � � � � � 	 � � � � � � � � � 	 � � � � � � � � � 	 � � � � (4.32)
� � � � 	 � � � � � � � � � 	 � � � � � � � � � 	 � � � � � � � � � 	 � � � � (4.33)
� �
�
� � � � � � 	 � � � � � � � � � 	 � � � �� � � � 	 � � � � � 	 (4.34)
� �
�
� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � (4.35)
63
� �
�
� � � � � 
 � 
 � � � � � � � � ���� � � � � � � � � (4.36)
d) Se o permutador for de co-corrente, o calor máximo transferido
determina-se a partir da temperatura de saída obtida na alínea an-
terior:
� � � � � � 	 � � � � � � � � � � � (4.37)
� � 
 � � ��� � � � � � � � � ��� � 
 � � � � � � � � � 
 � 
 � � (4.38)
Se o permutador fosse de contra-corrente, o calor máximo determina-
se por:
�
� 
 $ � � � ��� � � � � � � � � � � ��� (4.39)
em que
� � ��� � ��� � � �� � � 	 � � � �� � � 	 � � � (4.40)
logo:
�
� 
 $ � 
 � � ��� � � � 
 � � � � � � 
 � � � ��� � � � 
 � � � 
 � � � (4.41)
e)A eficiência determinase por:
& � ��
� 
 $
� � � � � 	 � � � � � � � � � � �� � ��� � � � � � � � � � � � % � � � � 
 (4.42)
& � � � � � 	 � � � � � � � � � � �� � � � 	 � � � � � � � � � � � % � � � � 
 (4.43)
& � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � % � � � � 
 (4.44)
64
& � � � � � � � � � ��� �� � � 
 � 
 � � � ��� � �
� �
� � � � � ��� (4.45)
f) O número de Reynolds para o tubo interno determina-se por:
� ��� � � � � �
�
� � �� ��
�
� � (4.46)
� ��� � ��� � � � 
 � 
 � � �� � � � 
 � � � � � � � � 
 � 
 � ��� 
 � 
 (4.47)
g)O número de Prandtl do tubo interno determina-se por:
�
�
� � � ���" � � � � � ��� � � � � 
 � � �� � �#
 � � � � ��� � (4.48)
h)O número de Nusselt do tubo interno determina-se por:
� � 	 � � ��� � � � � � ��� � ��� ���� � � �#" �� � (4.49)
� � 	 � � ��� � � � � � ��� � 
 � ��� 
 � 
 � ��� � � � � ��� � �#" � � � ��� (4.50)
i)O coeficiente de transferência de calor para o tubo interno determina-
se a partir da definição de Nusselt:
� � 	 � � ��� � # � � �� � (4.51)
# � � � � 	 � � � � � �� � (4.52)
# � � � ��� � � � �#
 �� � 
 � � � ��� � � � � � � � (4.53)
j) O número de Reynolds do tubo interno determina-se a partir do
diâmetro hidrâulico:
65
���
�
� � ��� área molhada
perímetro molhado
(4.54)
���
�
� � � � � ���� � ���� � � ��
�
� � �
�
� �
�
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.55)
� ��� � � � � � ��� � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � (4.56)
� ��� � � � � � � � � � � � � � � �
� �
�
� � �� � � ��
�
� � � �� �� � � � � � � � � � � � (4.57)
� ��� � ��� � � � � � 
 � � �� � � � 
 � � � � � � � � 
 � 	 � ��� � 
 � � (4.58)
k)O número de Prandtl do tubo externo é igual ao do tubo interno:
�
�
� � � � ��� � (4.59)
l) O número de Nusselt do tubo externo determina-se por:
� � 	 � � ��� � � � � � ��� � ��� ���� � � �#" �� � (4.60)
� � 	 � � ��� � � � � � ��� � 	 � ��� � 
 � � � ��� � � � � ��� � �#" � ��� � 	 (4.61)
m) O coeficiente de transferência de calor para o tubo externo determina-
se a partir da definição de Nusselt:
� � 	 � � ��� � # � � �� � (4.62)
# � � � � 	 � � ��� � �� � � � � � � (4.63)
66
# � � � � 	 � � � �#
 �� � � � � � 
 
 � � 
 � 
 � � � � � � � (4.64)
n) O produto do coeficiente global pelo perímetro determina-se pantindo
da equação seguinte:
� � � �
�
� � � � 
# � � � � � � � � �� � � � � � 
# � � � � � � (4.65)
� � � �
�
� � 
# � � � � � � �� � � � 
# � � � � (4.66)
O perímetro médio logarítmico determina-se partindo da equação
seguinte:
� � � � � � � � � ���� � � � �� � �
� � �
�
� � � � ���� � � � �� � (4.67)
� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � �
� �
�
� � � � ���� � � � �� � � �
� � � � 
��� � � �� ��� � ��� (4.68)
� � � �
�
� � 
� � ��� � � � 
 � �
� � � 
� ��� � � ��� � 
� 
 � 
 � � � 
 � � � � � � (4.69)
� � � �
�
� � 
� � � � �	� � 
 � � (4.70)
� � 
 � � 	 � � � � � � � (4.71)
p)Determinação do comprimento:
� ��� � �
�
� � � � � � � � ���� ��� �
� ���
(4.72)
� � � ��� ��� ������� � �
�
� � � � � � � � � � (4.73)
67
� � 
�� � ��� 
 � 
 ��� � � � � 
� � � � � 
� � 
 � ��� � � � � � � � � � 
 � � � ��� ��� � 
 � � � (4.74)
q) Determinação da área:
� �
�
� �
�
� � �
�
� � 
 
 � 
 � ��� � � � � (4.75)
Extra6
Considere o permutador de tubos concêntricos representado na
figura. O tubo interior tem diâmetro interno igual a 0.1 m e diâmetro
externo igual a 0.11 m e é alimentado por uma corrente de 0.01
m � s � � de água a 
 � � � � . O tubo exterior tem diâmetro interno de
0.2 m e é alimentado por uma corrente de 0.02 m � de água a ��� � � .
Considere contra-corrente.
Considere as propriedades da água à temperatura ambiente.
� �
� �
�
�� �
� �
� �
� � � �
�
�
� �
�
�
x
� ��� �
Se a área do permetudor for 30 m
�
, determine:
a) o
� � � � (livro, página 273);
b) o
� � 
 $ (livro, página 273);
c) o
�
� 
 $ (livro, página 273);
d) a eficiência do permutador(livro, página 274);
e) o calor transferido;
f) as temperaturas à saída do permutador.
� � � � � ��� � � �� � � 	 � � � �� � � 	 � � � (4.76) � � 
 $ � ����� � �� � � 	 � � ���� � � 	 � � � (4.77)
�
� 
 $ ��� � ��� � � � � � � � � � � � � (4.78)
68
& � 
 ��� ��� � ��� ���� ��� � 
 � ��� ���� �
	�� �
 � ��� ���� �
	�� � ��� � �
� ���� ��� � 
 � ��� ���� �
	�� � (4.79)
& � 
 ��� ��� � ��� ���� ��� � 
 � ��� ���� �
	�� �
 � ��� ���� �
	�� (4.80)
69Capítulo 5
Filtração
5.1 Nomenclatura� � % queda de pressão através do bolo� � constante da equação de Carman-Kozeny� velocidade superficial�
espessura do bolo de filtrado� � área superficial das partículas por unidade
de massa�
área do filtro& porosidade do bolo
� volume de filtrado� �
concentração de partículas na suspensão� � resistência do filtro� constante
�
�
volume de filtrado necessário para criar
um bolo com uma resistência equivalente
à do filtro�
massa de partículas retidas no bolo
5.2 Teoria
Durante o processo de filtração as partículas acumulam-se à super-
fcie do filtro formando um bolo cuja espessura aumenta à medida
que o processo decorre. Para determinar o volume de filtrado em
função do tempo é necessário partir da equação de perda de carga
através do bolo de filtrado:
� � � %� � � � � � � 
 � & � � � ��& � (5.1)
70
A velocidade superficial de filtrado relaciona-se com o volume de
filtrado acumulado pela equação:
� � � � ���� (5.2)
e a espessura do bolo pela equação:
� � � 
 � & � � 	 � � � � � � & � � � (5.3)
� � � � �� � 
 � & � � 	 � & � � � (5.4)
A velocidade superficial pode ser obtida da equação de perda de
carga:
� � � � � % & �� � � � � 
 � & � � � �� (5.5)
� � � � � % & �%����
��� � � �	� �	
 � � %�� � � � � � 
 � & � � � �� (5.6)
como
� � 
 � & � � 	 � � & � � � (5.7)
� � ���� � � � � % & �� � 
 � � � �
� � � �� % � ���� � � �
� �
 (5.8)
� � ���� � � � � %� � 
 � � � �
� � �� %����� �	
 � � (5.9)
� � ���� � � � � %� 
 %��	�� (5.10)
71
em que:
� � � � � 
 � & � � ��� 	 & � (5.11)
Para o filtro:
� � ���� � � � � �� � � (5.12)
Como o bolo e o filtro estão em série:
� � ���� � � � �� � � %��
�� � � � � (5.13)
ou:
� � ���� � � � �� 
 %��� � � � � � � (5.14)
Filtração a pressão constante:
� � ���� � � � �� � � %��
�� � � � � (5.15)
� �
�
�
� � � � %��	�� � � � �� � � � (5.16)
� �
�
�
� � � � % � �� � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � (5.17)
� �
�
�
� "
	 �
���
(5.18)
�
	
� � � � �� � � � � (5.19)
� � � � �� � � � (5.20)
72
Após integração:
� � "
	 �
� ���
� (5.21)
Como determinar as constantes:
�
�
� "
	 �
���
(5.22)
5.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha
Extra 7
Uma suspensão de partículas de
diâmetro
�
e massa volúmica � 	
está a ser filtrada com um filtro
de área
�
e resistência ao escoa-
mento
� � . A viscosidade do flu-
ido é � . O bolo de filtração tem
espessura
�
e porosidade & .
1 - A queda de pressão através do bolo em regime laminar determina-
se por:
a) ��� � 
 � � � � � � �� �
	
� 
 � & � �& � � 
 � � � � � � � � �� 	 � 
 � & �& � (5.23)
b)
� � � %� � � � � � � 
 � & � � � ��& � (5.24)
c) ��� � 
 � � � � � � � � ��
	
� 
 � & �& � (5.25)
d) � � � 
 � � � � � � �� �
	
� 
 � & � �& � (5.26)
2 - A partir da equação anterior é possível obter uma equação para
a velocidade superficial. Qual?
a)
� � � � � % & � � ��� � � � � 
 � & � � (5.27)
b)
� � � � � � � � 
 � & � � � ��� � % & � (5.28)
73
c)
� � � � � % & �� � � � � 
 � & � � � �� (5.29)
3 - A velocidade superficial � relaciona-se com a área do filtro, � , e
com o caudal de suspensão tratada,
�
, por qual equação:
a)
� � �� (5.30)
b)
� � �� & (5.31)
c)
� � �� � 
 � & � (5.32)
d)
� � � � (5.33)
4 - O caudal de suspensão tratada,
�
, relaciona-se com o volume
total tratado ( � ) ao fim de um tempo
�
por qual equação:
a)
� � � ���� (5.34)
b)
� � � �� � ��� (5.35)
c)
� � 
� � ���� (5.36)
d)
� � � ��
�� ��� (5.37)
5 - Um balanço material permite relacionar a massa de sólidos no
bolo com a massa de sólidos na suspensão inicial. Este balanço é
expresso por uma das equações seguintes em que o lado esquerdo
representa a massa de partículas acumuladas no bolo e o lado di-
reito representa a massa de partículas na suspensão inicial. Qual é
essa equação?
a)
� � � 	 � � � � (5.38)b) � � � 
 � & � � 	 � � � � (5.39)
c)
� � � 
 � & � � 	 � � � � � � & � � � (5.40)
d)
� � � � � & � � � � � � � 
 � & � � 	 (5.41)
6 - A partir da equação anterior é possível obter uma equação para
74
a espessura do bolo. Qual?
a)
� � � � � � � & � � �� � 
 � & � � 	 (5.42)
b)
� � � � �� � 
 � & � � 	 � & � � � (5.43)
c)
� � � � 
 � & � � 	 � & � � �� � � (5.44)
d)
� � �� � 
 � & � � 	 � & � � � (5.45)
7 - A derivado do volume de filtrado em ordem ao tempo determina-
se pela equação:
� � ���� � � � � %� 
 % � �� (5.46)
A que é igual � , a resistência específica do bolo de filtração?
a)
� � � 	 & �� � � 
 � & � � �� (5.47)
b)
� � � � 
 � & � � ��� 	 & � (5.48)
c)
� � � � � 
 � & � � ��� 	 & � (5.49)
d)
� � � � � 
 � & � � ��� 	 & � � (5.50)
8 - Para chegar à equação
� � ���� � � � � %� 
 % � �� (5.51)
que simplificação foi necessário fazer? Essa simplificação é plausível?
Porquê?
9 - A queda de pressão através do filtro verifica qual equação?
a) ��� � � 
 � � � � � � �� �
	
� 
 � & � �& � (5.52)
b)
� � � �� � � � � � � 
 � & � � � ��& � (5.53)
75
c) � ���
� � �
� � �� ��� (5.54)
d) � ���� � � � �� � � (5.55)
10 - As resistências ao escoamento do bolo e do filtro são resistên-
cias:
a) em paralelo
b) em série
d) independentes
11-A resposta à pergunta anterior permite relacionar
�� � �� � com as
propriedades do bolo e do filtro. Obtém-se que equação?
a) 
� � �� � � � � �� � � 
 % � �� � � � (5.56)
b) 
� � ���� � � � �� � � % � � � � (5.57)
c) 
� � ���� � � � � % � ��� �� � � % � �� � � � � (5.58)
d) 
� � ���� � � � � %
��� ����� ���� � �
 ��� (5.59)
12 - A equação solução da pergunta anterior é equivalente à equação:
� � ���� � � � �� 
 % �� � � � � � � (5.60)
Qual é o significado de � � ?
a) volume do filtro
b) volume de filtrado necessário
para criar um bolo com uma re-
sistência equivalente à do filtro
c) volume de filtrado com a
mesma massa do filtro
13 - A massa total de partículas acumuladas no bolo é igual a:
a)
� � � � � �
(5.61)
b)
� � � � � (5.62)
14 - Porque é que � pode variar com a queda de pressão? Qual é a
relação entre a compressibilidade do bolo e � ? Para que servem as
equações seguintes?
76
� � � � � � � � � � (5.63)
� � ��� � � 
 ��� � � ��� � � � � (5.64)
15 - Que truque é que se usa para integrar a equação:
� � ���� � � � �� � � 
 %��
�� � � � (5.65)
16 - A equação
� �
�
�
� � � � � �� � � � � � � � �� � � � (5.66)
é equivalente à equação:
� �
�
�
� "
	 �
���
(5.67)
em que
�
	 está relacionado com as propriedades do bolo:
�
	
� � � � �� � � � � (5.68)
e B está relacionado com as propriedades do filtro:
� � � � �� � � � (5.69)
Após integração obtém-se:
a)
� � �
	 �
� ���
�
� �
(5.70)
b)
� � �
	 �
� � �
� (5.71)
c)
� � �
	
�
�� ��� � (5.72)
77
17 - Se se pretender determinar
�
	 e
�
a partir de resultados exper-
imentais de volume de filtrado e do tempo de filtração, utiliza-se a
equação:
a)
��� � � � � ����� � 	 � �� ��� ��� (5.73)
b)
� � �
	
�
�� � � � (5.74)
c)
�
�
� �
	
� � ��� (5.75)
18 - Os resultados experimentais quando representados em gráfico
têm o aspecto seguinte:
�
�
V
��
�
�
�
�
�
�
A que é igual o declive e a odenada na origem no gráfico?
Extra 7.cont
19 - Em filtros em que o percurso do líquido de lavagem é igual ao
percurso do filtrado, como se determina o caudal de lavagem?
a)
� � � � � � � � � (5.76)
b)
� � � � �� � � � ��� (5.77)
c)
� � � 
� � � � ��� (5.78)
d)
� � � � ����� ��� � � (5.79)
20 - Qual das figuras seguintes representa o percurso do filtrado
num filtro de prensa e qual representa o percurso do líquido de
lavagem?
78
a)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

 
 
 
 
 
 
 
b)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

 

 

 
21 - A área de filtração num filtro de prensa é:
a) 1/2 da área de lavagem b) 2 vezes a área de lavagem
c) 1/4 da área de lavagem d) 4 vezes a área de lavagem
22 - A espessura final do bolo num filtro de prensa é:
a) 1/2 da espessura per-
corrida pelo fluido de
lavagem
b) 2 vezes a espessura percorrida
pelo fluido de lavagem
23 -Num filtro de prensa, a razão entre o valor de B para filtração
e o valor de B para lavagem é de:
a) 1/2 b) 2
c) 1/4 d) 4
24 - Num filtro de prensa, a razão entre o valor de
�
	 para filtração
e o valor de
�
	 para lavagem é de:
a) 1/2 b) 2
c) 1/4 d) 4
79
25 - Em filtros de prensa, como se determina o caudal de lavagem?
a)
� � � � � �� � � � ��� (5.80)
b)
� � � �� � � � ��� (5.81)
c)
� � � 
� � � � ��� (5.82)
d)
� � � � � ��� 
� � � � � � (5.83)
26 - Em filtros de prensa, o tempo de lavagem determina-se por?
a)
� � ��� � � � � � � � ��� � (5.84)
b)
� � � � � ��� � � � � � � � ��� � (5.85)
c)
� � � � � ��� � �� � � � ��� (5.86)
d)
� � � � ��� ���� � � � � (5.87)
80
27 - O tempo de um ciclo de filtração determina-se por:
a)
� % � % � � � � � � � �� ��� � � � � 	 
 � 
 � � � (5.88)
b)
� % � % � � � � � � � �� ��� � � � � 	 
 � 
 � � � � � � � � � � � � ��� � (5.89)
c)
� % � % � � � � � � � �� ��� � � (5.90)
d)
� % � % � � � � � � � � � 
 % 
 � � � 	 
 � 
 � � � � � � 
���
 � � �
(5.91)
28 - O caudal médio de um ciclo de filtração determina-se por:
a)
� � � � � � � � �� � ��� �� ��� � � � � 	 
 � 
 � � � (5.92)
b)
� � � � � � � � �� � � � �� ��� � � � � 	 
 � 
 � � � � � � � � � � � � ��� � (5.93)
c)
� � � � � � � � �� � � � � � 
 % 
 � � � 	 
 � 
 � � � � � � 
 ��
 � � �
(5.94)
d)
� � � � � � � � �� � ��� �� ��� � � � � 	 
 � 
 � � � � � � � � � � � � � (5.95)
81
29 - Considere o gráfico seguinte, o qual representa o volume de
filtrado em função do tempo durante a filtração:
�
�
V
t-t	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
t
�
V
�
a) O que representa
�
	 ?
b)O que representa o declive da recta que passa por � � � ?
c)O que representa
� �
?
d)O que representa �
�
?
5.4 Problemas resolvidos
5.4.1 Filtração a pressão constante
Res.14.2-1, pp. 810
Dados de filtração laboratorial de uma suspensão de CaCO3 em
água a 298.2 K obtidos sob pressão constante (-
� � ) de 338 kPa
são os indicados na tabela. A área do filtro prensa utilizado era de
0.0439 m
�
e a concentração da suspensão c
�
=23.47 kg/m3. Calcule
as constantes a e Rm.
�
� � 
 � � � � � � � � � 
 � � � � � � � � � 
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Do gráfico de
� � � em função de � , determina-se:
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Como:
82
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� � � � �� � � � � (5.96)
então:
� � � � � � � � 	� � � (5.97)
para T=25 � C, � � � � � � � � � " � � � � �
� � . Logo:
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 � � � (5.98)
como:
� � � � �� � � � (5.99)
então:
� � � � � � � �� (5.100)
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 � � � � � � � � 	 � � � � ��� 
 � �� � � � � � � 
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 � � � (5.101)
Res. 14.2-2, pp.811
A suspensão do problema anterior R.14.2-1 vai ser filtrada num
filtro prensa com 20 caixilhos de 0.873m2 cada caixilho. Vai usar-
se a mesma pressão do ensaio. Supondo que o bolo tem as mesmas
propriedades antes determinadas e a mesma tela filtrante, calcule
o tempo necessário para recuperar 3.37m3 de filtrado. [t = 269.7s]
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 � �� � 	 � �
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� �
� � �� � (5.102)
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� � � � � � 	� � � � � (5.103)
83
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	 � � � ��� � � � 	 � (5.106)
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 � � � � � � � � (5.107)
O tempo de filtração determina-se pela equação:
� � � � 	� � �� ��� � � (5.108)
� � � � � � � �� � � � � � � � 
�� � � 	 � � � � � � � � � � 	 � s (5.109)
5.4.2 Optimização e lavagem
Res. 14.2-3, pp.813
No final do ciclo de filtração do problema anterior R.14.2-2 em que
se recolhe 3.37 m3 durante 269.7 s. O bolo é lavado por uma cor-
rente de água que atravessa todo o bolo em cada caixilho, utilizando
10% do volume de filtrado.
a. Calcule o tempo de lavagem e o tempo total do ciclo se a limpeza
do filtro demorar 20min. [Resp. tlav=194 s; tciclo=27.73 min]
b. Calcule o ciclo óptimo de filtração.
O caudal de lavagem num filtro de prensa é dado por:
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 � � � " 	 � � ��� � (5.111)
84
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�� � � � � � (5.113)
Res 14.2-3, b)
Solução analítica
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 ��� � � � � 	 
 � (5.114)
� % � % � � � � 	� � �� ��� � � � � � � � � � 	 � � ��� � � � 	 
 � (5.115)
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 � (5.116)
� � � � � � � � �� % � % � � (5.117)
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 � (5.118)
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 � � � � � � �(5.120)
85
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� � � � � � 	 � �� � � � � � �� � � 	 
 � � � (5.121)
�
� � � 	 
 ��
	
� �� � � � � (5.122)
86
Bibliography
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Unit Operations, 3rd ed.", Prentice Hall International,
Inc., New Jersey, USA
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[McCabe] McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriot, P., 1993
(2001). "Unit Operations of Chemical Engineering, 5th
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[Coulson] Coulson, Richardson, 1993. "Engenharia Química,
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[Perry] Perry, R.H., Green, D.W., Maloney, J.O., eds., 1991.
"Perry´s Chemical Engineering Handbook, 7th ed.,
McGraw Hill, N.Y., USA.
87

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