gabarito mecanica dos fluidos

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
2019
Prof. Giovani Renato Zonta
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
MECÂNICA DOS FLUIDOS
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1	 A	massa	 específica	 (densidade)	 de	 um	 óleo	 hidráulico	 usado	 em	
uma	prensa	é	53,1	 lbm/ft³	a	68°F.	A	sua	viscosidade	dinâmica	na	
mesma	temperatura	é	32,8	lbm/ft·h.	Calcule	as	seguintes	proprie-
dades	do	óleo	nas	unidades	entre	parênteses:
a)	massa	específica	(kg/m³)
b)	viscosidade	dinâmica	(Pa·s	e	cP)	e	viscosidade	cinemática	(m²/s	e	cSt)	
c)	Compare	as	propriedades	físicas	do	óleo	com	as	da	água	a	20°C	(ρ = 
998,2	kg/m³	e	μ	=	1	cP).	O	óleo	é	mais	denso	que	a	água?	O	óleo	é	mais	
viscoso	que	a	água?
Adote: 1 lbm = 0,4536kg 1 ft = 0,3048m
R.: 
a)
b)
Como 1 Pa·s = 10 P, então:
 
Como :
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Sendo 1 St = 1 cm²/s, então:
c) O óleo é menos denso do que a água
 O óleo é mais viscoso do que a água
2	 Uma	placa	plana	quadrada	com	5	m	de	lado	e	massa	de	2	kg	desliza	
sobre	uma	fina	película	de	óleo	em	um	plano	inclinado	com	ângulo	de	
30°.	A	velocidade	da	placa	é	de	2	m/s	e	constante.	Qual	a	viscosidade	
dinâmica	(μ)	de	óleo	se	a	espessura	da	película	é	2	mm?	Considere	
g=10m/s².
FONTE: Brunetti (2008, p. 12)
R.: Com a aplicação da lei de Newton da viscosidade e considerando o perfil 
de velocidade do fluido linear, pois a espessura da camada do fluido é muito 
pequena.
Cálculo da tensão de cisalhamento:
4
MECÂNICA DOS FLUIDOS
a)
 Perfil de velocidade linear Perfil de velocidade não linear
FONTE: O autor
R.: Com a aplicação da lei de Newton da viscosidade: 
a) Viscosidade dinâmica:
Peso do corpo: 
Cálculo da espessura de fluido:
Balanço de forças:
5
MECÂNICA DOS FLUIDOS
b) Viscosidade dinâmica:
Peso do corpo:
Cálculo da espessura de fluido:
Balanço de forças:
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
c) Cálculo do erro percentual:
Como o erro percentual entre as duas metodologias empregadas foi maior que 
o erro percentual máximo estabelecido pelo laboratório (1,68% > 0,5%), no 
caso a simplificação da lei de Newton da viscosidade não pode ser adotada.
4	 Um	pistão	com	peso	de	93,41	N	escorrega	por	dentro	de	um	tubo	
lubrificado.	As	dimensões	do	pistão	estão	ilustradas	a	seguir.	A	folga	
entre	o	pistão	e	o	tubo	é	de	0,0254	mm	e	é	preenchida	por	um	lubri-
ficante.	A	partir	da	velocidade	máxima	de	6,4m/s,	o	pistão	começa	a	
desacelerar	a	0,64008	m/s².	Calcule	a	viscosidade	do	lubrificante.
FONTE: Adaptado de Brunetti (2008)
R.: Com a aplicação da lei de Newton da viscosidade e considerando o perfil 
de velocidade do fluido linear, pois a espessura da camada do fluido é muito 
pequena. No problema, o movimento é uniformemente variado, pois o pistão 
desacelera a partir da sua velocidade terminal máxima.
Cálculo da massa do pistão:
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Balanço de forças:
TÓPICO	2
1		Um	mancal	acoplado	a	um	eixo	de	acionamento	está	lubrificado	com	
um	óleo	de	viscosidade	igual	a	0,1	Pa·s	a	25ºC,	que	é	a	temperatura	
do	sistema	quando	iniciada	a	operação	(start-up).	Após	o	sistema	de	
acionamento	atingir	o	regime	permanente	de	operação,	a	temperatura	
do	lubrificante	se	eleva	para	80ºC,	o	que	reduz	a	viscosidade	do	óleo	
lubrificante	para	0,008	Pa·s.	 Considere	o	 comprimento	do	mancal	
igual	a	30	cm,	o	diâmetro	do	eixo	de	acionamento	igual	a	8	cm,	a	folga	
média	entre	o	eixo	e	o	mancal	é	de	0,8	mm	e	a	velocidade	angular	do	
eixo	igual	a	500	rpm.	Determine:
a)	O	torque	necessário	para	o	eixo	de	acionamento	vencer	o	atrito	com	o	
lubrificante	na	condição	de	start-up	e	durante	o	regime	permanente	
de	operação.
b)	A	potência	de	eixo	necessária	para	o	eixo	de	acionamento	vencer	o	
atrito	com	o	lubrificante	na	condição	de	start-up	e	durante	o	regime	
permanente	de	operação.
c)	 Qual	o	percentual	de	economia	de	energia	quando	o	sistema	atinge	
o	regime	permanente	de	operação	devido	à	redução	da	viscosidade	
do	lubrificante	em	função	do	aumento	da	temperatura?
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
FONTE: Adaptado de Çengel e Cimbala (2007)
R.:
a) Condição de partida:
Condição em regime permanente:
b) Condição de partida:
Condição em regime permanente:
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
c) Cálculo da redução de energia necessária para o trabalho de eixo: 
41,36 W ----- 100%
3,3 W ----- x %
X ≈ 8%
Portanto, a redução de energia e potência necessária é de 92%.
2	 Uma	esteira	para	transporte	de	finos	minérios	tem	largura	de	60	cm	
e	se	movimenta	parcialmente	em	contato	com	uma	lâmina	de	água,	
conforme	as	figuras	a	seguir.	Calcule	a	potência	mínima	necessária	
que	deve	ser	aplicada	para	acionar	a	esteira	e	vencer	a	resistência	
da	lâmina	de	água.	Considere	que	a	viscosidade	dinâmica	da	água	é	
1,31x10-3	kg/ms;	o	comprimento	da	correia	é	4	m;	a	espessura	da	
lâmina	de	água	é	de	2	mm	e	a	velocidade	da	correia	é	de	10	m/s.	
Adote	1hp	=	746W.
DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DA ESTEIRA
FONTE: Adaptado de Bistafa (2016)
VISTA DA LARGURA DA ESTEIRA
FONTE: Adaptado de: <https://www.mfrural.com.br/detalhe/esteira-transpor-
tadora-de-minerio-e-etc-204562.aspx>. Acesso em: 31 jul. 2018.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.:
3	 Um	bloco	desliza	para	baixo	em	um	plano	inclinado	sobre	uma	fina	
película	de	óleo	lubrificante,	conforme	ilustrado	na	figura	a	seguir.	
Considerando	um	perfil	de	velocidade	linear	no	filme	de	fluido,	res-
ponda	o	solicitado	com	auxílio	da	Tabela	1	e	da	Lei	de	Newton	da	
viscosidade.
a)	Deduza	uma	equação	que	permita	calcular	a	velocidade	de	escorre-
gamento	do	bloco.	Considere	aceleração	do	bloco	igual	a	zero.
b)	Determine	a	velocidade	de	escorregamento	do	bloco	se	a	massa	dele	
é	de	6	kg,	a	sua	superfície	de	contato	com	o	óleo	é	de	35	cm²,	o	ân-
gulo	θ	é	de	15º	e	o	óleo	(SAE	30)	tem	uma	espessura	de	película	de	
1mm	a	uma	temperatura	de	20ºC.
VISCOSIDADE DO ÓLEO SAE 30 A DIFERENTES TEMPERATURAS
FONTE: White (2011, p. 47)
FONTE: White (2011, p. 47)
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.:
a) Pela definição da lei de Newton da viscosidade para perfis de velocidade 
lineares:
A tensão de cisalhamento é definida por:
Substituindo (**) em (*):
Para cálculo da força tangencial do bloco sobre o fluido em um plano inclinado:
Assim:
b) Com a aplicação dos dados do problema na equação deduzida:
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
TÓPICO	3
1	 A	diferença	de	pressão	manométrica	entre	uma	tubulação	escoando	
óleo	e	outra	tubulação	escoando	água	é	determinada	pelo	manômetro	
de	duplo	fluido	ilustrado	a	seguir.	Para	os	dados	fluidos	e	alturas	de	
coluna	especificadas,	calcule	a	diferença	de	pressão	entre	o	tubo	B	
e	o	tubo	A	(ΔP	=	PB	-	PA).	Assuma	g	=	10m/s².
FONTE: Adaptado de Çengel e Cimbala (2007)
R.:
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
2	 Transdutores	de	pressão	são	normalmente	usados	para	medir	a	pres-
são	gerando	sinais	elétricos	que,	em	geral,	encontram-se	na	faixa	de	
4	mA	a	20	mA,	em	resposta	à	pressão	aplicada.	O	sistema	cujo	esque-
ma	é	ilustrado	a	seguir	pode	ser	usado	para	calibrar	transdutores	de	
pressão.	Um	recipiente	rígido	é	preenchido	com	ar	pressurizado	e	a	
pressão	é	medida	pelo	manômetro	de	tubo	em	“U”	a	ele	conectado.	
Uma	válvula	é	usada	para	regular	a	pressão	do	recipiente.	Tanto	a	
pressão	quanto	o	sinal	elétrico	são	medidos	simultaneamente	para	
diversas	condições	e	os	resultados	são	tabelados.	Para	o	conjunto	de	
medições	fornecido	na	tabela	a	seguir,	responda:
a)	Obtenha	a	equação	da	curva	de	calibração	na	forma	de	P	=	aI	±	b,	
onde	a	e	b	são	constantes,	P	é	a	pressão	em	Pa	e	I	a	intensidade	da	
corrente	elétrica,	em	mA.
b)	Calcule	a	pressão,	em	Pascal	e	em	bar,	que	corresponde	a	um	sinal	
de	13	mA,	indicando	a	altura	da	coluna	de	mercúrio	atingida	nessa	
pressão.
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE PARA OBTENÇÃO DA CURVA DE 
CALIBRAÇÃO DO TRANSDUTOR DE PRESSÃO
h (cmHg) i (mA)
2,8 4,21
18,15 5,78
29,78 6,97
41,31 8,15
76,59 11,76
102,7 14,43
114,9 15,68
136,2 17,86
145,8 18,84
153,6 19,64
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
DISPOSITIVO EXPERIMENTAL PARA CALIBRAÇÃO DO TRANSDUTOR DE 
PRESSÃO
FONTE: Adaptado de Çengel e Cimbala (2007)
R.: 
a) Para determinar a curva de calibração, é necessárioefetuar uma interpo-
lação linear simples dos dados experimentais relativos à altura de coluna de 
mercúrio no manômetro e sinal de corrente elétrica no multímetro:
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
A pressão manométrica é , então:
b) Para um sinal de corrente elétrica de 13 mA:
3	 Um	tanque	 foi	 completamente	 cheio	 com	 tetracloreto	de	 carbono.	
Após	isso	ele	foi	fechado	no	topo,	eliminando	o	contato	da	superfície	
livre	com	o	ar	atmosférico.	A	válvula	B	foi	então	aberta,	permitindo	
que	o	nível	 de	 líquido	no	 tanque	 reduzisse	 lentamente,	 conforme	
ilustrado	a	seguir.	Com	base	nesta	situação,	responda:
a)	Se	a	válvula	B	for	fechada,	criando	um	espaço	de	vácuo	no	topo	do	
tanque	 (ponto	A),	determine	a	pressão	do	 líquido	 sobre	a	válvula	
quando	h=7,62m.
b)	Determine	em	que	nível	 “h”	 o	 tetracloreto	deixará	de	sair	do	 tan-
que	se	a	válvula	B	permanecer	aberta.	Considere	a	Patmosférica	igual	a	
101325Pa.
c)	 Se	o	tanque	for	cilíndrico	com	diâmetro	de	2,1m	determine	o	volume	
de	tetracloreto,	em	litros,	que	sai	do	tanque	entre	as	condições	pro-
postas	nas	letras	“a”	e	“b”.
d)	Por	que	o	tetracloreto	não	reduz	o	nível	abaixo	do	valor	de	“h”	calcu-
lado	no	item	“b”?
Dados: ρtetracloreto de carbono = 1600kg/m³
hDVcilindro 4
2π
=
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
FONTE: Hibbeler (2016, p. 94)
R.:
a)
b) Para o líquido parar de sair do reservatório, a pressão manométrica da colu-
na de líquido deve se igualar com a pressão atmosférica externa. Assim:
c) Cálculo da variação de altura de coluna do líquido durante a descarga
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Cálculo do volume de líquido descarregado do tanque:
d) Porque o volume de controle (líquido no reservatório) atinge um equilíbrio 
estático entre a pressão atmosférica, exercida no ponto “B” aberto, e a pres-
são manométrica referente a coluna de líquido. Desta forma, o escoamento de 
descarga do tanque é interrompido.
4	 Calcule	a	diferença	de	pressão	entre	os	pontos	“A”	e	“B”	no	manô-
metro	diferencial	ilustrado	pela	figura	a	seguir.	A	densidade	relativa	
dos	fluidos	está	indicada	entre	parênteses.
FONTE: Adaptado de Potter, Wiggert e Ramadan (2014)
18
MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.: Considere a densidade da água igual a 1000 kg/m³ e g=9,81 m/s².
5		O	tanque	de	um	automóvel	 tem	o	nível	de	combustível	 registrado	
através	de	uma	relação	proporcional	com	a	pressão	manométrica	no	
fundo	do	tanque.	Esta	pressão	é	medida	através	de	um	sensor	insta-
lado,	conforme	ilustrado	a	seguir.	Neste	caso,	como	o	tanque	é	aber-
to	à	pressão	atmosférica	por	uma	ventosa,	o	espaço	remanescente	
no	topo	do	tanque	é	preenchido	com	ar	quando	ele	não	está	comple-
tamente	cheio	de	combustível.	A	altura	total	do	tanque	é	de	32	cm.	
Se	o	 tanque	está	contaminado	no	 fundo	com	uma	coluna	de	água	
de	3	cm,	proveniente	de	combustível	adulterado,	qual	a	altura,	em	
centímetros,	da	coluna	de	ar	no	topo	do	tanque	quando	o	marcador	
do	painel	do	carro	indica	“tanque	cheio”?	Adote	ρcombustível	=	667kg/m³;	
ρar	=	1,18kg/m³.
FONTE: Adaptado de Potter, Wiggert e Ramadan (2014)
R.: Cálculo da pressão manométrica no fundo do tanque quando estiver com-
pletamente cheio de combustível.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Considerando o tanque contaminado com uma coluna de água, que é um flui-
do mais denso do que o combustível, a pressão manométrica no fundo do tan-
que será alcançada com uma coluna de combustível de menor altura, fazendo 
com que o tanque não fique completamente cheio de combustível.
UNIDADE	2
TÓPICO 1
1		Ar	escoa	através	de	um	tubo	com	vazão	de	200L/s.	O	tubo	consiste	
em	duas	 seções	de	20	 cm	e	10	 cm	de	diâmetro,	 conectadas	por	
uma	redução.	A	diferença	de	pressão	do	escoamento	entre	as	duas	
seções	do	tubo	é	medida	por	um	manômetro	de	tubo	em	“U”	com	
água	(ρ=1000	kg/m³).	Desprezando	os	efeitos	de	atrito,	determine	
a	altura	diferencial	de	água	no	manômetro	entre	as	duas	seções	da	
tubulação.	A	densidade	do	ar	é	de	1,2kg/m³.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.: Com a vazão volumétrica e os diâmetros conhecidos, é possível calcular a 
velocidade em cada seção da tubulação. Adotaremos seção 1 para o ponto da 
tubulação com 20 cm de diâmetro e seção 2 para o ponto da tubulação com 
10 cm de diâmetro.
Com a equação de Bernoulli é possível determinar a diferença de pressão en-
tre as duas seções do escoamento. A carga de elevação é anulada pois a tu-
bulação é horizontal (h1=h2).
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
É necessário aplicar a equação da manometria para determinar a diferença 
de altura na coluna do fluido manométrico do manômetro diferencial entre as 
seções 1 e 2 da tubulação:
2	Um	tanque	cilíndrico,	com	volume	de	1m³,	 ilustrado	na	figura	a	se-
guir,	é	alimentado	com	água	pelas	torneiras	A	e	B	e	é	esvaziado	pelas	
torneiras	C	e	D.	A	torneira	A,	sozinha,	enche	o	tanque	em	quatro	horas	
e,	a	torneira	B,	sozinha,	enche	o	tanque	em	cinco	horas.	A	torneira	C,	
sozinha,	esvazia	o	tanque	em	três	horas	e	a	torneira	D,	sozinha,	esvazia	
o	tanque	em	seis	horas.	Com	o	nível	de	água	no	tanque	em	¼	da	capa-
cidade	 total,	 as	 quatro	 torneiras	 são	 abertas	 simultaneamente.	 Com	
base	nas	condições,	responda:
a)	 O	 nível	 de	 água	 no	 tanque	 vai	 aumentar,	 reduzir	 ou	 permanecer	
constante?	Justifique	e	discuta	através	dos	cálculos	de	balanço	de	mas-
sa	no	tanque.
b)	Se	o	nível	de	água	no	tanque	aumentar	ou	reduzir,	estime	o	tempo	
que	levaria	para	encher	ou	esvaziar	o	tanque.	Considere	que	as	vazões	
das	torneiras	C	e	D	não	variam	com	o	nível	de	água	no	tanque.
c)	Se	o	volume	do	tanque	fosse	de	2m³,	mantendo	as	condições	de	ope-
ração	das	 torneiras	 iguais,	os	 resultados	obtidos	nos	 itens	 “a”	e	 “b”	
seriam	diferentes?	Justifique	e	discuta	através	dos	cálculos	de	balanço	
de	massa	no	tanque.
22
MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.: 
a) Conhecido o volume do tanque (1 m³) e o tempo de enchimento e esvazia-
mento de cada torneira de forma independente, podemos calcular as vazões 
volumétricas de cada torneira:
23
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Como as quatro torneiras são abertas simultaneamente, aplicamos um balan-
ço de massa no volume de controle (tanque):
Sendo o acúmulo negativo, ou seja, a taxa líquida de escoamento no volume 
de controle é negativa. Assim, o volume de líquido que sai do tanque é maior 
do que o volume de líquido que entra no tanque. Portanto, nas condições pro-
postas, o tanque irá esvaziar quando as quatro torneiras forem abertas simul-
taneamente.
b) No momento em que as quatro torneiras foram abertas, o nível do tanque 
estava em ¼ da capacidade total. Assim, o tempo de esvaziamento do volume 
inicial no tanque pode ser calculado:
c) Adotando o volume do tanque (2 m³), procedemos uma análise similar:
24
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Como as quatro torneiras são abertas simultaneamente, aplicamos um balan-
ço de massa no volume de controle (tanque):
Sendo o acúmulo negativo, ou seja, a taxa líquida de escoamento no volu-
me de controle é negativa. Assim, o volume de líquido que sai do tanque 
é maior do que o volume que entra. Portanto, na nova condição proposta, 
o tanque também irá esvaziar quando as quatro torneiras forem abertas 
simultaneamente.
No momento em que as quatro torneiras foram abertas, o nível do tanque 
estava em ¼ da capacidade total. Assim, o tempo de esvaziamento do vo-
lume inicial no tanque pode ser calculado:
Portanto, em função da alteração do volume de controle, mesmo mantendo as 
condições propostas para as torneiras e aplicando a mesma metodologia, os 
resultados são diferentes.
3		Uma	torneira	aberta	despeja	água	em	uma	pia	de	banheiro	com	va-
zão	constante	de	7,5L/min.	A	pia	possui	3	orifícios	(drenos)	de	des-
carga	que	evitam	o	transbordamento	da	água	no	caso	do	ralo	da	pia	
estar	fechado	ou	entupido.	O	diâmetro	de	cada	orifício	é	de	10mm.	
Determine	a	velocidade	média	da	água	em	cada	orifício	se	o	ralo	da	
pia	estiver	fechado	e	o	nível	de	líquido	na	pia	permanecer	constante.
25
MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.: Aplicando a definição de vazão volumétrica em função da velocidade de 
escoamento e da área de seçãotransversal do escoamento, é possível deter-
minar a velocidade média da água em cada orifício da pia:
Portanto, para contemplar o escoamento em regime permanente e o balanço 
de massa na pia, a velocidade da água em cada oríficio deve ser 0,53 m/s.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
TÓPICO	2
1		Uma	tubulação	de	aço	para	condução	de	água	é	constituída	por	três	
trechos	em	série:
Trecho	1:	D1	=	250mm;	L1	=	1000m
Trecho	2:	D2	=	200mm;	L2	=	1800m
Trecho	3:	D3	=	150mm;	L3	=	2500m
A	vazão	é	de	180m³/h.	O	fator	de	atrito	de	Darcy	da	tubulação	pode	ser	
considerado	0,014	por	todo	o	comprimento	dos	trechos	da	tubulação.	
Adote	g=9,81m/s².	Calcule:
a)	A	perda	de	carga	total	pela	tubulação.
b)	Se	a	queda	de	pressão	máxima	da	água	pelos	trechos	deve	ser	infe-
rior	a	15	bar,	verifique	se	o	sistema	contempla	o	parâmetro.
R.: 
a) Como o trecho de tubulação é horizontal e sem acessórios, devemos calcu-
lar a perda de carga distribuída em função dos trechos da tubulação:
Trecho	1: Cálculo da velocidade de escoamento:
Trecho	2: Cálculo da velocidade de escoamento:
27
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Trecho	3: Cálculo da velocidade de escoamento:
b) O sistema sofre uma perda de carga equivalente a 114,46 m nos três tre-
chos de tubulação. Para convertermos em carga de pressão, multiplicamos 
pelo peso específico do fluido (água) e convertemos a unidade de pressão. 
Adotando 1 bar ≈ 100000 Pa:
Portanto, a queda de pressão do fluido no escoamento é inferior ao limite 
máximo de 15 bar.
2	 Calcule	a	perda	de	carga	total	no	escoamento	de	18m³/h	de	água	a	
20	°C	através	de	30m	de	tubo	horizontal	de	ferro	galvanizado	com	
diâmetro	interno	igual	a	54,3mm.	
Hipóteses	e	dados	a	serem	considerados:
Escoamento	permanente	e	incompressível;	perdas	de	carga	localizadas	
desprezíveis.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Propriedades	da	água	a	20°C:	ρ=998,2	kg/m³	e	μ=0,001	Pa·s.
Determine	o	fator	de	atrito	de	Darcy	com	o	diagrama	de	Moody	e	com	
a	equação	de	Haaland	(1983).	Verifique	qual	é	o	erro	percentual	entre	
os	dois	valores.
R.: Cálculo da velocidade de escoamento:
Cálculo do número de Reynolds (Re):
Cálculo da rugosidade relativa (ε/D):
Pelo quadro disponível no diagrama de Moody, consultamos o valor da rugosi-
dade do ferro galvanizado (ε=0,15 mm). Assim, a rugosidade relativa é:
Cálculo do fator de atrito de Darcy (fD) com o diagrama de Moody:
Cálculo do fator de atrito de Darcy (fD) com a equação de Haaland (1983):


















+⋅−≅
11,1
7,3Re
9,6log8,11 D
f D
ε
29
MECÂNICA DOS FLUIDOS
O erro percentual entre o fator de atrito calculado pelo diagrama de Moody e 
a equação de Haaland é:
Portanto, para este tipo de escoamento, qualquer um dos métodos pode ser 
aplicado para determinação do fator de atrito, pois o erro percentual entre os 
resultados é muito pequeno.
Cálculo da perda de carga distribuída pela tubulação:
3		A	água	de	processo	utilizada	em	uma	indústria	escoa	a	uma	vazão	de	
56,6	L/s	por	um	velho	e	enferrujado	tubo	com	diâmetro	interno	de	6	
in.	A	rugosidade	relativa	do	tubo	é	de	0,01.	Os	operadores	da	fábrica	
sinalizam	que	a	perda	de	pressão	da	água	ao	longo	do	comprimento	
do	escoamento	é	muito	alta	no	tubo	velho.	Um	engenheiro,	então,	
propõe	que	se	o	velho	 tubo	 for	 forrado	em	sua	superfície	 interna	
com	uma	camada	fina	e	 lisa	de	um	determinado	polímero,	com	ru-
gosidade	relativa	igual	a	zero,	a	queda	de	pressão	ao	longo	do	com-
primento	do	tubo	pode	ser	reduzida.	Contudo,	se	o	tubo	for	forrado	
com	a	camada	de	material	plástico,	o	seu	diâmetro	interno	reduzirá	
para	5	in,	conforme	ilustra	a	figura	a	seguir.	O	supervisor	da	fábrica	
orienta	que	a	vazão	do	escoamento	não	pode	mudar	com	a	aplicação	
da	camada	lisa	de	plástico	no	tubo	e	que	o	projeto	só	será	aceito	se	o	
procedimento	sugerido	reduzir	a	queda	de	pressão	para	cada	100m	
de	comprimento	em,	no	mínimo,	10%.	Com	base	na	situação,	avalie:
a)	A	sugestão	do	engenheiro	é	verdadeira?	A	queda	de	pressão	no	esco-
amento	para	cada	100m	de	comprimento	de	tubo	será	menor	com	a	
aplicação	da	camada	de	plástico	liso?	Justifique	com	base	nos	cálculos.
30
MECÂNICA DOS FLUIDOS
b)	Se	confirmada	a	sugestão	do	engenheiro,	qual	a	redução	percentual	
na	queda	de	pressão	da	tubulação?	O	projeto	será	aceito?
Água → ρ = 1000 kg/m³ 
 μ = 1x10-3 Pa·s 
R.: a) Para avaliar a sugestão proposta pelo engenheiro, é necessário calcular 
a queda de pressão do fluido no escoamento para cada 100 m de tubulação, 
considerando a situação atual (tubo velho) e a situação proposta (tubo novo 
forrado com camada de polímero).
Tubo	velho:
Como a tubulação é horizontal (h1 = h2) e com diâmetro constante (v1 = v2), a 
equação de Bernoulli se resume a:
31
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Cálculo da velocidade de escoamento:
Cálculo do número de Reynolds:
Com a rugosidade relativa do tubo conhecida (ε/D = 0,01), utilizamos o dia-
grama de Moody ou a equação de Haaland (1983) para determinar o fator de 
atrito de Darcy:
Assim, inserindo os dados na equação de Bernoulli, é possível determinar a 
queda de pressão do fluido em um escoamento de 100 m pela tubulação:
Tubo	novo	forrado	com	camada	de	polímero:
32
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Como a tubulação é horizontal (h1 = h2) e com diâmetro constante (v1 = v2), a 
equação de Bernoulli se resume a:
Cálculo da velocidade de escoamento:
Cálculo do número de Reynolds:
Com a rugosidade relativa do tubo conhecida (ε/D = 0), utilizamos o diagrama 
de Moody ou a equação de Haaland (1983) para determinação do fator de 
atrito de Darcy:
Assim, inserindo os dados na equação de Bernoulli, é possível determinar a 
queda de pressão do fluido em um escoamento de 100 m pela tubulação:
Portanto, a queda de pressão do fluido no escoamento será menor com a apli-
cação da camada de polímero na superfície interna da tubulação.
33
MECÂNICA DOS FLUIDOS
b) Sim, o projeto será aceito, pois a queda de pressão do fluido para cada 100 
m de comprimento de tubulação será menor com a forração interna do tubo 
com a camada de polímero. A redução da perda de carga para 100 m de com-
primento de tubo será de aproximadamente 16%:
120026,24 Pa ----- 100%
100601,06 Pa ----- x %
Redução percentual na queda de pressão do fluido na tubulação de 16,18%.
4		Óleo	escoa	por	uma	tubulação	horizontal	de	diâmetro	constante	con-
forme	ilustra	a	figura	a	seguir.	Um	manômetro	diferencial	de	tubo	
em	U	que	usa	mercúrio	(ρ=13600	kg/m³)	como	fluido	manométrico	
mede	a	queda	de	pressão	do	escoamento	ao	longo	de	dois	pontos	do	
tubo.	Devido	à	alta	viscosidade	do	óleo	o	escoamento	é	laminar.
	 Nas	condições,	calcule:
a)	O	valor	máximo	de	“h”	admissível	para	a	altura	do	mercúrio	no	ma-
nômetro	se	o	escoamento	do	óleo	for	 laminar	 (Re	≤	2100).	O	que	
aconteceria	se	o	valor	de	“h”	fosse	igual	a	zero?	Justifique.
b)	A	vazão	do	escoamento	em	m³/h?
Óleo → ρ = 890 kg/m³ Mercúrio	→ ρ = 13600 kg/m³ 
μ = 0,1 Pa·s
34
MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.: a) Para calcular a altura diferencial máxima no manômetro, precisamos 
determinar a queda de pressão do fluido no trecho de tubulação em função 
das perdas de carga distribuídas na condição limite do escoamento laminar 
(Re=2100). A tubulação é horizontal com diâmetro constante, assim, a equa-
ção de Bernoulli com as simplificações pode ser utilizada:
Como o escoamento é laminar, o fator de atrito de Darcy (fD) só depende do 
número de Reynolds (Re).
Cálculo da velocidade do escoamento através do número de Reynolds (Re), 
pois desconhecemos a vazão:
Cálculo da queda de pressão no trecho do escoamento devido à perda de carga:
Aplicamos a equação da manometria para determinação da diferença de altu-
ra na coluna do fluido manométrico do manômetro diferencial entre as seções 
da tubulação, conforme o manômetro de tubo em “U” instalado:
35
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Será a altura máxima quando o escoamento estiver em regime laminar. Se o 
valor da altura diferencial no manômetro for igual a zero, nas condições não 
ocorre perda de carga noescoamento (queda de pressão), o que indicaria 
uma vazão nula, ou seja, não está ocorrendo escoamento de óleo na tubula-
ção, uma vez que as forças motrizes serão nulas (diferença de pressão, ele-
vação e velocidade (diâmetro constante) iguais a zero entre os dois pontos 
da tubulação). 
b) A vazão volumétrica pode ser calculada com os dados determinados:
5	 Uma	companhia	instala	um	sistema	de	emergência	de	proteção	con-
tra	fogo	que	consiste	em	um	poço	(fonte	de	água),	uma	bomba	cen-
trífuga	de	alta	pressão	movida	à	gasolina	e	um	sistema	de	 tubos	
para	o	edifício	(vide	esquema	a	seguir).	Se	a	vazão	da	água	a	21ºC	
for	igual	a	8,5L/s	e	a	pressão	de	descarga	da	bomba	(P1)	for	igual	a	
827kPa,	determine:
a)	A	velocidade	do	escoamento	de	água	pela	tubulação. 
b)	O	fator	de	atrito	de	Darcy,	considerando	o	diagrama	de	Moody	e	a	
equação	 de	Haaland.	 Calcule	 a	 diferença	 percentual	 no	 valor	 de	 f 
para	as	duas	análises. 
c)	O	total	de	perdas	de	carga	no	sistema	de	escoamento,	em	bar e em 
psig. 
d)	A	pressão	de	saída	(P2)	no	topo	da	instalação.
e)	O	que	causa	a	queda	de	pressão	do	fluido	no	trecho	de	escoamento?	
Demonstre	sua	explicação	com	o	auxílio	da	equação	de	Bernoulli.	Se	
um	parâmetro	de	projeto	especifica	que	a	queda	máxima	de	pressão	
entre	a	descarga	da	bomba	e	saída	no	topo	da	instalação	não	pode	
ser	maior	que	2	bar,	verifique	se	o	projeto	está	bem	dimensionado.	
Justifique. 
36
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Dados	da	água Dados	da	tubulação
ρ	=	998kg/m³	 	 	 Aço	carbono	comercial
μ	=	0,001002	Pa·s	 	 D	=	152,4mm
 ε	=	0,045mm
Dados	do	acessório 
Joelho	
kacessório	=	0,9	
R.: a)
b) Cálculo do número de Reynolds (Re):
37
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Cálculo da rugosidade relativa (ε/D):
Pelo quadro disponível no diagrama de Moody, consultamos o valor da rugosi-
dade do aço-carbono comercial (ε=0,045 mm). Assim, a rugosidade relativa é:
Cálculo do fator de atrito de Darcy (fD) com o diagrama de Moody:
Cálculo do fator de atrito de Darcy (fD) com a equação de Haaland (1983):


















+⋅−≅
11,1
7,3Re
9,6log8,11 D
f D
ε
O erro percentual entre o fator de atrito calculado pelo diagrama de Moody e 
a equação de Haaland é:
c) Cálculo das perdas de carga localizadas:
38
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Cálculo das perdas de carga distribuídas:
O total de perdas de carga no escoamento:
d) Sendo o ponto 1 na saída da bomba (pressão conhecida) e o ponto 2 no 
topo da instalação, aplicaremos a equação de Bernoulli nas extremidades:
O ponto 1 é o ponto horizontal de referência (h1 = 0) e o diâmetro da tubula-
ção é constante (v1 = v2):
Verifica-se que a queda de pressão no escoamento se dá devido à diferença 
de elevação entre os pontos e às perdas de carga na tubulação:
39
MECÂNICA DOS FLUIDOS
e)
Com as simplificações adotadas na equação de Bernoulli, verifica-se que a 
queda de pressão no escoamento se dá devido à diferença de elevação entre 
os pontos 1 e 2 e às perdas de carga na tubulação ao longo do escoamento do 
fluido (presença de acessórios e atrito na tubulação).
A queda de pressão entre os pontos 1 e 2 é:
Portanto, a queda de pressão entre os dois pontos da tubulação ficou abaixo 
do limite máximo estabelecido pelo parâmetro de projeto (2 bar). O projeto 
está bem dimensionado.
TÓPICO	3
1		Um	tubo	liso	(ε=0)	horizontal	de	100m	de	comprimento	está	conectado	
a	um	grande	reservatório	de	água.	Uma	bomba	é	ligada	ao	final	do	
tubo	para	transportar	a	água	do	reservatório	a	uma	vazão	de	10L/s,	
conforme	 ilustra	a	figura	a	 seguir.	 Calcule	a	pressão	manométrica	
que	a	bomba	deve	produzir	no	ponto	1	para	contemplar	a	vazão	de	
operação.	Considere	o	diâmetro	interno	do	tubo	liso	igual	a	75mm.	
Adote	as	propriedades	da	água:	densidade	=	1000kg/m³	e	viscosidade	
dinâmica	=	1cP.	Utilize	o	diagrama	de	Moody	para	determinar	o	valor	
do	fator	de	atrito	de	Darcy	(fD).
FONTE: Adaptado de: FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MITCHELL, J. W. 
Introdução	à	mecânica	dos	fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. p. 371. 
40
MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.: Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do volume de 
controle com as seguintes simplificações: Tanque de grandes dimensões para 
uma saída de tubulação pequena (v2 ≈ 0); ponto 2 na superfície livre do líqui-
do aberta para a atmosfera (P2 manométrica = 0); ponto 1 na saída da bomba; nível 
de referência adotado no nível da bomba (h1 = 0); perda de carga localizada da 
saída do tanque será desprezada.
41
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Cálculo da velocidade de escoamento:
Cálculo do número de Reynolds (Re):
Como a tubulação é lisa (ε = 0), sua rugosidade relativa é zero:
Cálculo do fator de atrito de Darcy (fD) com o diagrama de Moody:
Para o escoamento ocorrer nas condições propostas, a pressão de saída da 
bomba deve ser de, aproximadamente, 153 kPa ou 1,53 bar.
2		Um	sistema	de	proteção	contra	incêndio	é	suprido	por	um	tubo	verti-
cal	de	24,2m	de	altura	a	partir	de	uma	torre	de	água,	conforme	ilustra	
a	figura	a	seguir.	O	tubo	horizontal	do	sistema	tem	182,94m	de	com-
primento	e	é	feito	de	ferro	fundido	com	cerca	de	20	anos	de	uso.	O	
tubo	contém	uma	válvula	gaveta	completamente	aberta	e	as	outras	
perdas	de	carga	 localizadas	podem	ser	desprezadas.	O	diâmetro	do	
tubo	é	de	101,6mm.	Determine	a	vazão	máxima	de	água	(em	litros	
por	segundo)	através	do	tubo.	Adote	as	propriedades	da	água:	densi-
dade	=	998kg/m³	e	viscosidade	dinâmica	=	1,0978cP.	Utilize	o	diagra-
ma	de	Moody	para	determinar	o	valor	do	fator	de	atrito	de	Darcy	(fD).	
42
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Informações	adicionais:
A	rugosidade	do	tubo	de	ferro	fundido	novo	tem	rugosidade	média	de	
0,26mm	e	dobra	o	valor	após	20	anos	de	uso.
O	tubo	vertical	tem	o	mesmo	diâmetro	do	tubo	horizontal.
Para	a	estimativa	inicial	de	fD,	admita	que	o	escoamento	é	completa-
mente	turbulento	e	rugoso.
Adote	 como	critério	de	parada	no	 cálculo	 iterativo	uma	diferença	de	
velocidades	menor	de	2%.
Utilize	o	conceito	de	comprimento	equivalente	para	o	cálculo	da	perda	
de	carga	da	válvula	gaveta:
 
Válvula	gaveta	completamente	aberta:
FONTE: Adaptado de: FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MITCHELL, J. 
W. Introdução	à	mecânica	dos	fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. p. 374.
R.:
43
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do volume de controle 
com as seguintes simplificações: Tanque de grandes dimensões para uma saí-
da de tubulação pequena (v1 ≈ 0); ponto 1 na superfície livre do líquido aberta 
para a atmosfera (P2 manométrica = 0) e ponto 1 na saída da tubulação aberta para 
a atmosfera; nível de referência adotado no ponto 2 (h2 = 0).
Como , substituímos a definição:
O tubo vertical tem o mesmo diâmetro do tubo horizontal, assim, a rugosidade 
relativa é:
O fator “2” foi utilizado devido ao fato da rugosidade da tubulação de ferro 
fundido dobrar após 20 anos de uso.
Para iniciarmos o processo iterativo de cálculo, vamos admitir um escoamento 
completamente turbulento (Re≈108). Com o número de Reynolds e a rugosi-
dade relativa calculada, adotamos a primeira estimativa para o fator de atrito 
de Darcy em fD = 0,03.
44
MECÂNICA DOS FLUIDOS
1ª Iteração:
Cálculo do novo número de Reynolds:
Com a rugosidade relativa (0,0051) e o diagrama de Moody, o novo fator de 
atrito de Darcy é:
fD	≈	0,0309.
2ª Iteração:
Cálculo do novo número de Reynolds:
Com a rugosidade relativa (0,0051) e o diagrama de Moody, o novo fator de 
atrito de Darcy é:
fD ≈ 0,0309.
Portanto, o erro percentual entre as velocidades calculadas nas iterações é:
45
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Ou seja, menor que 2%. Considerando a grande imprecisão no diagrama de 
Moody, o resultado é aceitável.
A vazão do escoamento será:
3	 Os	 borrifadores	 ou	 sprinklers	 de	 um	 sistema	de	 irrigação	 agrícola	
devem	ser	 supridos	 com	água	proveniente	de	uma	bomba	aciona-
da	por	um	motor	de	 combustãointerna	através	de	152,4m	de	 tu-
bos	de	alumínio	trefilado	(ε=0,0015mm),	conforme	ilustra	a	figura	
a	seguir.	Na	sua	faixa	de	operação	de	maior	eficiência,	a	descarga	
(vazão)	da	bomba	é	de	0,0946m³/s	a	uma	pressão	manométrica	não	
superior	a	448,2kPa.	Para	garantir	que	os	borrifadores	tenham	uma	
operação	satisfatória,	a	sua	pressão	manométrica	mínima	de	opera-
ção	deve	ser	de	206,8kPa.	As	perdas	de	carga	localizadas	e	diferen-
ças	de	elevação	podem	ser	desprezadas.	Determine	qual	o	valor	do	
menor	diâmetro	de	tubo	padronizado	que	pode	ser	empregado	no	
sistema.	Adote	as	propriedades	da	água:	viscosidade	cinemática	=	
0,00000112m²/s	e	densidade	=	998	kg/m³.	
FONTE: Adaptado de: FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MITCHELL, J. 
W. Introdução	à	mecânica	dos	fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. p. 376.
R.:
46
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do volume de controle 
com as seguintes simplificações: Tubulação horizontal (h1=h2); diâmetro da 
tubulação constante (v1 = v2); sem perdas de carga localizadas.
A	queda	máxima	de	pressão	admissível	no	sistema	é:
Como o fator de atrito e a velocidade dependem do valor do diâmetro da tubu-
lação, vamos expressar a equação (*) e o número de Reynolds em função da 
vazão volumétrica do escoamento. Em regime permanente é constante e não 
varia com o diâmetro da tubulação, assim como a velocidade.
Substituindo (**) em (*) e na definição do número de Reynolds:
47
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Estimativa inicial: Tubo com diâmetro nominal de 4”, ou seja, diâmetro interno 
4,026” ou 102,2604 mm.
Pelo diagrama de Moody:
1ª Iteração:
Como a queda de pressão é maior do que a máxima queda de pressão admi-
tida (241,4 kPa), devemos tentar instalar um tubo com diâmetro maior para 
reduzir a velocidade do escoamento e, consequentemente, as perdas de carga 
e a queda de pressão.
2ª Iteração:
Tubo com diâmetro nominal de 6”, ou seja, diâmetro interno 6,065” ou 
154,051 mm.
Pelo diagrama de Moody:
48
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Como a queda de pressão é menor do que a máxima queda de pressão ad-
mitida (241,4 kPa), o diâmetro de tubulação é aceitável. Contudo, é preciso 
testar um tubo comercial de 5” para verificar se é possível manter a queda 
de pressão no trecho dentro do limite estipulado com uma tubulação menor 
(mais barata).
3ª Iteração:
Tubo com diâmetro nominal de 5”, ou seja, diâmetro interno 5,047” ou 128,2 mm.
Pelo diagrama de Moody:
Como a queda de pressão é maior do que a máxima queda de pressão admiti-
da (241,4 kPa), não podemos instalar a tubulação de diâmetro nominal de 5”.
Portanto, o critério de atendimento é satisfeito com a tubulação de diâmetro 
nominal de 6”.
4		Óleo	leve	a	uma	temperatura	de	65,5ºC	é	bombeado	através	de	um	
tubo	de	aço	galvanizado	com	diâmetro	de	203,2mm	e	rugosidade	de	
0,1524mm	ao	longo	de	304,8m	de	comprimento	linear	de	tubo,	con-
49
MECÂNICA DOS FLUIDOS
forme	ilustra	a	figura	a	seguir.	A	pressão	manométrica	na	saída	da	
bomba	(ponto	1)	é	de	413,7	kPa	e	a	pressão	manométrica	de	descar-
ga	(ponto	2)	é	nula,	pois	o	tubo	está	aberto	à	pressão	atmosférica.	O	
óleo	leve	tem	as	seguintes	propriedades:
ρ = 870 kg/m³
μ = 0,007917 Pa·s
ν = 9,1·10-6 m²/s
Calcule	a	velocidade	e	a	vazão	do	escoamento.	
Informações	adicionais:	A	vazão	e	a	velocidade	do	escoamento	não	são	
conhecidas,	portanto	não	é	possível	determinar	o	número	de	Reynolds	
para	assim	calcular	o	fator	de	atrito	de	Darcy.	Atribua,	como	estimativa	
inicial	do	 fator	de	atrito	para	o	processo	de	cálculo	 iterativo,	o	valor	
de	fD=0,023.	O	valor	é	uma	boa	estimativa	e	corresponde	a	um	valor	
de	rugosidade	relativa	(ε/D)	de	0,00075	e	a	um	número	de	Reynolds	
(Re)	aproximado	de	50000	no	diagrama	de	Moody.	Como	o	diagrama	
de	Moody	apresenta	imprecisões	na	leitura	na	ordem	de	15%,	execute	
as	iterações	até	que	o	erro	percentual	entre	as	velocidades	calculadas	
seja	menor	que	8%.
FONTE: Adaptado de: FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MITCHELL, J. 
W. Introdução	à	mecânica	dos	fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. p. 376.
R.:
50
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do volume de controle 
com as seguintes simplificações: Tubulação horizontal (h1=h2); diâmetro da 
tubulação constante (v1 = v2); sem perdas de carga localizadas.
Estimativa inicial:
ε/D= 0,00075 
Re = 50000
fD=0,023
Cálculo do novo número de Reynolds:
Utilizando o novo número de Reynolds para uma iteração:
ε/D= 0,00075 
Re = 117230,77
fD=0,0209
1ª iteração:
Na iteração, o erro percentual entre as velocidades calculadas já seria em tor-
no de 4%, contemplando o enunciado. Faremos mais uma iteração para refinar 
o resultado.
51
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Cálculo do novo número de Reynolds:
Utilizando o novo número de Reynolds para uma nova iteração:
ε/D= 0,00075 
Re = 123036,48
fD=0,0208
2ª iteração:
Cálculo do erro percentual entre os resultados:
Ou seja, bem menor que 8%. Considerando a grande imprecisão no diagrama 
de Moody, o resultado é aceitável até para tolerâncias e critérios mais altos.
A vazão do escoamento será:
52
MECÂNICA DOS FLUIDOS
UNIDADE	3
TÓPICO 1
1		Uma	bomba	centrífuga	deve	ser	instalada	para	encaminhar	água	de	
um	tanque	(A)	em	um	condomínio	residencial	até	a	estação	de	trata-
mento	de	efluentes	(B),	conforme	ilustra	o	diagrama	esquemático	a	
seguir.	O	sistema	está	aberto	para	a	pressão	atmosférica	no	tanque	
(A)	e	na	descarga	da	água	na	estação	de	tratamento	de	efluentes	
(B).	A	tubulação	que	faz	o	transporte	do	líquido	é	de	aço-carbono	co-
mercial	(ε=0,045mm)	e	tem	diâmetro	de	sucção	e	de	recalque	igual	
a	32mm.	A	vazão	de	operação	da	bomba	deve	ser	estimada	no	núme-
ro	de	habitantes	do	condomínio	(2000	habitantes)	e	na	quantidade	
média	de	água	utilizada	por	 cada	habitante	 (100L/dia).	 Considere	
que	a	água	tem	os	seguintes	valores	de	propriedades	físicas:	Tem-
peratura=	 20°C;	 Pvapor=	 2339,2Pa;	 γ=	 10000N/m³;	 μ=	 1cP.	 Faça	
o	dimensionamento	hidráulico	do	sistema	conforme	solicitado	nos	
itens	a	seguir:
a)	Determine	o	 total	 de	perdas	de	 carga	do	 sistema	 (distribuídas	e	
localizadas).	Considere	como	acessórios	do	sistema	de	 tubulação	
apenas	 as	 curvas	 (k=1,5).	 Utilize	 a	 equação	 de	 Haaland	 (1983)	
para	cálculo	do	fator	de	atrito	de	Darcy	(fD).	Adote	g=10m/s²	para	
todos	os	cálculos.	
b)	Determine	a	carga	hidráulica	da	bomba	(Hbomba)	e	a	potência	ins-
talada	 da	 bomba	 centrífuga.	 Selecione	 uma	 opção	 adequada	 no	
catálogo	do	 fabricante	disponível	 (Famac	Motobombas).	 Faça	um	
resumo	dos	parâmetros	hidráulicos	da	bomba	centrífuga	seleciona-
da	para	a	operação.
c)	Calcule	o	NPSHdisponível	da	bomba.	
d)	Determine	o	NPSHrequerido	da	bomba	com	a	curva	característica	
fornecida	pelo	fabricante	(Famac	Motobombas).	A	bomba	selecio-
nada	irá	cavitar?	Justifique.	
e)	Calcule	o	 consumo	de	eletricidade	e	o	 custo	mensal	de	operação	
da	bomba	selecionada	se	ela	operar	continuamente	durante	24	ho-
ras	por	dia	e	30	dias	por	mês.	Considere	a	 tarifa	elétrica	 igual	a	
R$0,58/kWh.
53
MECÂNICA DOS FLUIDOS
54
MECÂNICA DOS FLUIDOS
55
MECÂNICA DOS FLUIDOS
R.:
Propriedades físicas da água:
T = 20°C
Pvapor= 2339,2 Pa
γ = 10000 N/m³
µ = 1 cP =0,001 Pa·s
Dados da tubulação:
Dsucção = 32 mm = 0,032 m
Drecalque = 32 mm = 0,032 m 
ε aço carbono comercial = 0,045 mm 
Bomba centrífuga:
Pressão na sucção do sistema aberto = 1,01bar = 101325Pa
Pressão no recalque do sistema aberto = 1,01bar = 101325Pa
Cálculo	da	capacidade	da	bomba	(vazão	volumétrica):
A bomba deve ter capacidade de transportar a água utilizada diariamente pe-
los moradores do condomínio. Assim, a vazão de operação da bomba é:
Cálculos	relacionados	ao	trecho	de	sucção	do	sistema:
Cálculos	das	perdas	de	carga	no	trecho	de	sucção	do	sistema:
Perdas Localizadas ou Menores (hs)
56
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Perdas Distribuídas ou Maiores (hf)
Cálculo do número de Reynolds:
Escoamento em regime turbulento, pois Re > 4000.
Cálculo da rugosidade relativa:Cálculo do fator de atrito de Darcy com a equação de Haaland:
57
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Pelo diagrama de Moody, obtemos fD≈0,0236.
Cálculos	relacionados	ao	trecho	de	recalque	do	sistema:
Cálculos	das	perdas	de	carga	no	trecho	de	recalque	do	sistema:
Perdas Localizadas ou Menores (hs)
Cálculo do número de Reynolds:
Escoamento em regime turbulento, pois Re > 4000.
Cálculo da rugosidade relativa:
58
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Cálculo do fator de atrito de Darcy com a equação de Haaland:
Pelo diagrama de Moody, obtemos fD≈0,0236.
Cálculo da perda de carga total no trecho do escoamento:
Aplicação	da	equação	de	Bernoulli	no	trecho	de	escoamento	para	cálcu-
lo	da	carga	hidráulica	da	bomba	(altura	manométrica	total):
O nível de referência adotado é o nível da bomba. A velocidade no ponto 1 de 
captação é considerada nula devido ao tanque “A” ser de grandes dimensões, 
comparado ao diâmetro do tubo de sucção. O nível do líquido no tanque desce 
a uma velocidade muito baixa.
59
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Seleção	da	motobomba	centrífuga:
De acordo com o catálogo do fornecedor Farmac Motobombas, selecionamos a 
seguinte bomba centrífuga que atende aos parâmetros hidráulicos do sistema 
de escoamento:
Fornecedor: Farmac Motobombas
Modelo: BC-22 R 1 ¼ (201mm)
Diâmetro do rotor: 201mm
Altura manométrica total (carga hidráulica da bomba) = 68 m c.a.
Vazão volumétrica da bomba = 14,3 m³/h
Potência instalada da bomba = 10 cv
Diâmetro de sucção recomendado = 1,5” = 38,1 mm = 0,0381 m
Diâmetro de recalque recomendado = 1,25” = 31,75 mm = 0,03175 m
Eficiência da bomba = 40%
NPSH requerido≈ 5,4 m c.a.
O diâmetro da tubulação de recalque recomendada pelo fabricante é similar 
ao valor utilizado nos cálculos hidráulicos do sistema para escolha da bomba. 
Apesar do diâmetro de sucção recomendado pelo fabricante ser maior do que 
o valor utilizado nos cálculos do projeto de dimensionamento do sistema e 
escolha da bomba, o fato da sucção ser um curto trecho sem acessórios não 
causará problemas de cavitação com um diâmetro de sucção maior, se com o 
mesmo diâmetro de recalque a bomba não cavitar. A análise será efetuada na 
sequência. 
 
Cálculo	do	NPSHdisponível	da	bomba:
O cálculo deve ser executado para verificação da possibilidade de cavitação 
da bomba centrífuga.
60
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Como NPSH disponível (6 m c.a.) é maior do que o NPSH requerido (5,4 m c.a.) pela 
bomba, ela não sofrerá cavitação durante a operação, pois a pressão na linha 
de sucção ficará acima do valor da pressão de vapor do líquido, na sua tempe-
ratura de operação. A bomba centrífuga terá seu sistema de sucção com carga 
hidráulica disponível suficiente para a sucção do líquido. 
É importante destacar que a carga líquida positiva disponível na sucção da 
bomba não é muito maior do que a carga requerida pela bomba. No caso, seria 
prudente a instalação de uma tubulação de sucção com diâmetro nominal uma 
vez maior do que a tubulação de recalque. Isso reduziria a velocidade do esco-
amento e a perda de carga por atrito na tubulação. Entretanto, tubulações de 
diâmetros maiores são mais caras. 
Outra alternativa, se o layout da instalação permitir, é reduzir o comprimento 
do trecho de sucção da bomba ou tornar a sucção positiva (instalar a bomba 
em nível inferior ao reservatório de captação).
Cálculo do consumo elétrico da bomba e custo de operação:
É possível demonstrar que o modelo de bomba selecionado atende à potência 
instalada de um motor elétrico de 10cv:
61
MECÂNICA DOS FLUIDOS
TÓPICO	2
1	 Faça	uma	lista	dos	principais	itens	a	serem	considerados	na	escolha	
de	um	medidor	de	vazão	de	fluidos.
R.: Custo, tamanho, perda de carga (queda de pressão) que o medidor causará 
no escoamento do fluido, faixa de operação para medição de vazão, precisão 
e confiabilidade das medidas experimentais. Normalmente, assim como ou-
tros exemplos cotidianos, a qualidade está diretamente associada ao custo na 
indústria de medição de vazão de fluidos. 
2	 Explique	como	a	vazão	do	fluido	pode	ser	medida	através	de	um	tubo	
estático	de	Pitot	ou	sonda	de	Pitot-Darcy.	Quais	são	suas	vantagens	
e	desvantagens	com	relação	ao	custo,	perda	de	carga	no	escoamen-
to,	exatidão	e	confiabilidade?	
R.: Um tubo estático de Pitot mede a diferença entre a pressão de estagnação 
e a pressão estática. A diferença é a pressão dinâmica, que está relacionada 
à velocidade do fluido no escoamento: . Uma vez que a velocidade 
média do escoamento é determinada, a vazão volumétrica é medida através 
do cálculo Q = vA, em que “A” é a área de seção transversal da tubulação. 
O tubo de Pitot é barato, altamente confiável, já que não tem partes móveis, 
causa uma queda de pressão no fluido muito pequena e sua precisão (que 
é de cerca de 3%) é aceitável para a maioria das aplicações de Engenharia. 
O termo “tubo de Pitot” ou “sonda de Pitot” é frequentemente usado. Tec-
nicamente, no entanto, uma sonda de Pitot mede apenas a pressão de es-
tagnação, enquanto uma sonda estática de Pitot-Darcy mede a pressão de 
estagnação e as pressões estáticas. 
3	 Explique	como	a	vazão	do	fluido	é	medida	através	de	medidores	de	
pressão	variável	do	tipo	por	obstrução	(placa-orifício,	tubo	de	Ventu-
ri	e	bocal).	Compare	cada	um	dos	três	tipos	de	medidores	em	relação	
ao	custo,	tamanho	para	instalação,	perda	de	carga	no	escoamento	e	
exatidão.
R.: Um medidor de vazão do tipo por obstrução mede a vazão através de um 
tubo ao restringir o fluxo e medir a redução da pressão devido ao aumento da 
velocidade no (ou a jusante) do local de constrição do tubo. 
Para medidores de vazão por obstrução, a vazão volumétrica real de escoa-
mento pode ser calculada a partir da tomada de diferença de pressão com a 
seguinte equação:
62
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Em que “Cd“ é o coeficiente de descarga do medidor, a área da seção transver-
sal 2 se refere à área de seção da obstrução e “β” = D2 / D1 é a relação entre o 
diâmetro da obstrução (2) e o diâmetro do tubo (1).
Dos três tipos mais comuns de medidores de vazão por obstrução, o medidor 
de orifício (ou placa-orifício) é o mais barato, menor e menos preciso, além de 
causar a maior perda de carga no escoamento.
O medidor de Venturi é o mais caro, o maior e de mais difícil instalação, o mais 
preciso e causa a menor perda de carga no escoamento, devido à contração e 
expansão gradual que evita a separação do escoamento e turbulências. As-
sim, determinado tipo de medidor causa apenas perda de carga por atrito nas 
superfícies da parede interna. 
O medidor do tipo bocal está entre o medidor de orifício e de Venturi em todos 
os aspectos.
É interessante notar que, quando a razão de diâmetro “β” diminui, a queda de 
pressão no medidor de vazão aumenta, levando a uma maior perda de carga 
localizada associada ao medidor de vazão. Contudo, a queda de pressão maior 
(ΔP maior entre os pontos 1 e 2) aumenta a sensibilidade da medição. 
4	 Explique	o	princípio	de	operação	de	um	medidor	de	área	variável	do	
tipo	rotâmetro.	Compare	o	rotâmetro	com	outros	tipos	de	medidores	
de	vazão	em	relação	ao	custo,	perda	de	carga	e	confiabilidade.
R.: Transparente feito de vidro ou plástico com um flutuador dentro que é livre 
para se mover em função do escoamento que passa. À medida que o fluido 
escoa através do tubo cônico, o flutuador sobe dentro do tubo até o ponto 
onde o peso do flutuador, a força de arrasto e a força de empuxo se equili-
bram. Medidores de vazão de área variável são dispositivos muito simples e 
sem partes móveis, exceto o flutuador (mas mesmo o flutuador permanece 
parado durante a operação estável). Esses medidores são muito confiáveis e 
também são muito baratos. Causam uma perda de carga (queda de pressão) 
no escoamento relativamente pequena.
Existem também algumas desvantagens, como: devem ser montados vertical-
mente e a maioria deles requer uma leitura visual e, portanto, não pode ser 
automatizada ou conectada a um sistema de computador.
63
MECÂNICA DOS FLUIDOS
TÓPICO	3
1		Uma	lata	cilíndrica	metálica	aberta,ilustrada	na	figura	a	seguir,	com	
diâmetro	(D),	contém	tinta	a	uma	altura	(h).	A	tinta	tem	peso	especí-
fico	(γ).	A	deflexão	vertical	(δ)	da	lata	no	ponto	central	do	fundo	da	
lata	é	função	de	D,	h,	d,	γ	e	E,	sendo	d	(espessura	do	fundo	da	lata,	
em	metros)	e	E	(módulo	de	elasticidade	do	material	da	 lata	em	N/
m²).	Determine	uma	relação	funcional	entre	a	deflexão	 (δ em me-
tros)	e	as	variáveis	independentes	usando	a	análise	dimensional	e	
o	método	de	repetição	de	variáveis.	Utilize	o	sistema	de	unidades:	
força,	comprimento,	tempo.
R.: Passo 1: Relacionar todas as variáveis importantes dos problemas.
No caso do problema específico, a deflexão (δ) causada pela tinta no fundo 
da lata metálica depende do diâmetro da lata (D), do módulo de elasticidade 
do material da lata (E), da altura de coluna de tinta (h), do peso específico da 
tinta (γ) e da espessura do fundo da lata (d). Portanto, relacionamos a variável 
dependente com as variáveis independentes do problema, ou seja, a deflexão 
do fundo da lata é uma função das variáveis:
64
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Passo 2: Expressar cada variável em função das dimensões básicas.
Podemos utilizar o conjunto de unidades básicas que relaciona massa, com-
primento e tempo ou força, comprimento e tempo para podermos definir as 
variáveis. No exercício, vamos utilizar o último conjunto de unidades básicas.
Passo 3: Determinar o número necessário de termos π.
No problema, temos seis variáveis (contando a dependente e as independen-
tes) e foram necessárias duas unidades básicas (‘m’ e ‘N’) ou dimensões de 
referência para definir as variáveis. Portanto:
O número de termos π necessário para o teorema do problema é igual a quatro.
Passo 4: Definir o número de variáveis repetidas.
Devemos definir quais serão as variáveis repetidas que serão utilizadas para 
definição dos termos π entre as variáveis independentes (E, d, D, h, γ). A va-
riável dependente (δ) não pode ser escolhida como variável repetida. É pre-
ciso escolher duas variáveis repetidas pois foram utilizadas duas dimensões 
básicas de referência. Para o exemplo, definimos como variáveis repetidas o 
diâmetro da lata (D) e o peso específico da tinta (γ). 
É uma boa escolha, pois são variáveis independentes entre si e dimensional-
mente independentes também, pois o diâmetro da lata é definido na unidade 
de comprimento e o peso específico contém a dimensão de força por com-
65
MECÂNICA DOS FLUIDOS
primento com elevação ao cubo. No caso, é impossível formar um produto 
adimensional com o conjunto das variáveis.
Variáveis repetidas escolhidas: D e γ (2 variáveis e 2 dimensões).
Passo 5: Formar um termo π multiplicando uma das variáveis não repetidas 
pelo produto das variáveis repetidas elevadas a um expoente que torne a 
combinação adimensional. 
Combinamos a variável dependente com as variáveis de repetição para forma-
ção do primeiro termo π:
A combinação das variáveis deve ser adimensional, portanto, devemos veri-
ficar o valor dos expoentes “a” e “b” para que o valor do expoente resultante 
de cada uma das dimensões básicas das variáveis seja igual a zero, tornando 
o grupo adimensional. Assim, descrevemos as unidades componentes de cada 
termo por substituições e resolvemos o sistema de equações algébricas linea-
res a seguir:
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. O primeiro termo π 
é definido como:
66
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Passo 6: Repetir o passo 5 para cada uma das variáveis repetidas restantes.
No exemplo, repetimos o procedimento para as outras variáveis independen-
tes para formação dos outros termos π’s. Portanto, repetimos o passo 5:
Organizando as equações algébricas lineares para definição dos expoentes 
de modo que o grupo fique adimensional em função da combinação de suas 
dimensões:
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. O segundo termo 
π é definido como:
67
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Organizando as equações algébricas lineares para definição dos expoentes 
de modo que o grupo fique adimensional em função da combinação de suas 
dimensões:
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. O segundo termo 
π é definido como:
Organizando as equações algébricas lineares para definição dos expoentes 
de modo que o grupo fique adimensional em função da combinação de suas 
dimensões:
68
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. Assim, o segundo 
termo π é definido como:
Passo 7: Verificar se todos os termos π são adimensionais.
Para verificar se os termos π são adimensionais, devem ser inseridas as di-
mensões no grupo π com base no sistema de unidades e conjunto de unida-
des adotado (força, comprimento, tempo). Assim:
Os quatro grupos π são adimensionais.
Passo 8: Expressar a forma final da relação entre os termos e analisar o sig-
nificado da relação.
O resultado final da análise dimensional do problema é:
69
MECÂNICA DOS FLUIDOS
2		Repita	o	exercício	1	utilizando	o	sistema	de	unidades:	massa,	com-
primento,	tempo.	Verifique	se	é	possível	reduzir	o	número	de	grupos	
π	necessários	para	descrever	o	problema	apenas	alterando	o	siste-
ma	de	unidades	básicas.
R.: Passo 1: Relacionar todas as variáveis importantes dos problemas.
No caso, a deflexão (δ) causada pela tinta no fundo da lata metálica depende 
do diâmetro da lata (D), do módulo de elasticidade do material da lata (E), da 
altura de coluna de tinta (h), do peso específico da tinta (γ) e da espessura 
do fundo da lata (d). Portanto, relacionamos a variável dependente com as 
variáveis independentes do problema, ou seja, a deflexão do fundo da lata é 
uma função das variáveis:
Passo 2: Expressar cada variável em função das dimensões básicas.
Podemos utilizar o conjunto de unidades básicas que relaciona massa, com-
primento e tempo ou força, comprimento e tempo. No exercício, vamos uti-
lizar o conjunto de unidades básicas massa, comprimento, tempo. O número 
de variáveis do problema é o mesmo, mas o número de dimensões básicas 
agora é três. 
Aparentemente, podemos reduzir o número de termos π’s necessários para 
descrição do problema (de quatro para três) apenas mudando o sistema de 
unidades básicas. Contudo, a resposta é não! Apenas duas dimensões são 
necessárias para descrição da análise dimensional:
70
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Passo 3: Determinar o número necessário de termos π.
No problema, temos seis variáveis (contando a dependente e as independen-
tes) e também foram necessárias duas unidades básicas (‘m’ e ‘kg/s²’) ou di-
mensões de referência para definição das variáveis. Portanto:
O número de termos π necessário para o teorema é igual a quatro.
Passo 4: Definir o número de variáveis repetidas.
Devemos definir quais serão as variáveis repetidas que serão utilizadas para 
definição dos termos π entre as variáveis independentes (E, d, D, h, γ). A va-
riável dependente (δ) não pode ser escolhida como variável repetida. É pre-
ciso escolher duas variáveis repetidas pois foram utilizadas duas dimensões 
básicas de referência. Para o exemplo, definimos como variáveis repetidas o 
diâmetro da lata (D) e o peso específico da tinta (γ). É uma boa escolha pois 
são variáveis independentes entre si e dimensionalmente independentes 
também, pois o diâmetro da lata é definido na unidade de comprimento e 
o peso específico contém a dimensão de força por comprimento elevado ao 
cubo. No caso, é impossível formar um produto adimensional com o conjunto 
das variáveis.
Variáveis repetidas escolhidas: D e γ (2 variáveis e 2 dimensões).
Passo 5: Formar um termo π multiplicando uma das variáveis não repetidas 
pelo produto das variáveis repetidas elevadas a um expoente que torne a 
combinação adimensional. 
Combinamos a variável dependente com as variáveis de repetição para for-
marmos o primeiro termo π:
71
MECÂNICA DOS FLUIDOS
A combinação das variáveis deve ser adimensional, portanto, devemos veri-
ficar o valor dos expoentes “a” e “b” para que o valor do expoente resultante 
seja igual a zero,tornando o grupo adimensional. Assim, descrevemos as uni-
dades componentes de cada termo por substituições e resolvemos o sistema 
de equações algébricas lineares a seguir:
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. O primeiro termo π 
é definido como:
Passo 6: Repetir o passo 5 para cada uma das variáveis repetidas restantes.
No exemplo, repetimos o procedimento para as outras variáveis independen-
tes para formarmos os outros termos π’s. Portanto, repetimos o passo 5:
Organizando as equações algébricas lineares para definição dos expoentes 
de modo que o grupo fique adimensional em função da combinação de suas 
dimensões:
72
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. O segundo termo 
π é definido como:
Organizando as equações algébricas lineares para definição dos expoentes 
de modo que o grupo fique adimensional em função da combinação de suas 
dimensões:
73
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. O segundo termo 
π é definido como:
Organizando as equações algébricas lineares para definição dos expoentes 
de modo que o grupo fique adimensional em função da combinação de suas 
dimensões:
Assim, os valores dos expoentes “a” e “b” foram definidos. O segundo termo 
π é definido como:
74
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Passo 7: Verificar se todos os termos π são adimensionais.
Para verificar se os termos π são adimensionais, devem ser inseridas as di-
mensões no grupo π com base no sistema de unidades e conjunto de unida-
des adotado (massa, comprimento, tempo). Assim:
Os quatro grupos π são adimensionais.
Passo 8: Expressar a forma final da relação entre os termos e analisar o sig-
nificado da relação.
O resultado final da análise dimensional do problema é:
Conclusão: Conforme constatado pelos mesmos termos adimensionais dos 
dois exercícios, não é possível alterar o número de grupos π’s necessários 
para descrever o problema simplesmente alterando o sistema de unidades 
básicas de referência. Ambos os resultados demonstrados estão corretos.
Pode ser demonstrado, pela unicidade dos termos de π’s, que não existe um 
único grupo de π’s para um determinado problema. Contudo, o número de gru-
pos de π’s requisitados é sempre o mesmo. 
Uma vez determinado o conjunto de termos π’s, todos os outros conjuntos 
possíveis podem ser desenvolvidos a partir desse pela combinação de produ-
tos π elevados a uma potência. Determinar qual é a melhor escolha de gru-
pos π’s é uma decisão difícil que depende muito da experiência. Geralmente, 
escolhem-se os termos π’s mais simples e que facilitam o trabalho algébrico 
e experimental.