SISTEMAS DE POTÊNCIA Ebook unidade 3

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SISTEMAS DE POTÊNCIASISTEMAS DE POTÊNCIA
REPRESENTAÇÃO DOSREPRESENTAÇÃO DOS
TRANSFORMADORESTRANSFORMADORES
Au to r ( a ) : M a . R a f a e l a F i l o m e n a A l ve s G u i m a rã e s
R ev i s o r : A l i n e Fra g a S i l va
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 2 horas e 30 Sminutos.
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Introdução
Olá, estudante!
Neste material, vamos estudar dois dos principais equipamentos utilizados
em Sistemas Elétricos de Potência (SEP): os transformadores e os geradores
síncronos. Iniciaremos nosso estudo pela modelagem de um transformador
ideal para chegarmos em um transformador real e no seu circuito
equivalente.
Depois, estudaremos a modelagem dos bancos de transformadores
monofásicos utilizados em usinas de geração até chegarmos nos
transformadores trifásicos utilizados em subestações, passando pelos
autotransformadores, equipamentos muito adotados por serem uma forma
barata e e�caz de correção das tensões na distribuição.
Mais adiante, iniciaremos uma abordagem sobre os softwares de simulação,
com ênfase no Power World, que nos permitirá simular vários circuitos em
SEP.
Finalmente, encerraremos este estudo abordando os geradores síncronos,
equipamentos que recebem essa denominação por serem responsáveis por
manter a frequência do SEP em 60 Hz.
Vamos lá?
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Mohan (2016, p. 84) a�rma que “os transformadores são absolutamente
essenciais para tornar viável a transferência de potência em grande escala
por longas distâncias. A função primária dos transformadores é alterar o nível
de tensão”. As usinas transformam a energia fornecida por uma fonte, como
a mecânica, em energia elétrica por meio de tensões primárias ao nível de
13,8 kV (podendo chegar até 20 kV). Se transmitirmos a potência com esse
nível de tensão, as perdas térmicas dadas por I R2 teriam valores
extremamente elevados, então a energia é transmitida com tensões de 230,
345, 440, 500 e 750 kV. Mohan ainda complementa que
em sistemas de potência, as tensões são transformadas
aproximadamente 5 vezes entre a geração e a entrega aos usuários
�nais. Por isso, a potência total em MVA instalada dos
transformadores chega a ser 5 vezes maior que a dos geradores
(MOHAN, 2016, p. 84).
O modelo de um transformador é feito por meio da representação de um
circuito equivalente, assim como o seu equacionamento matemático. Em
sistemas elétricos de potência, costumamos desprezar os efeitos da corrente
Modelagem de
transformadores:
transformador ideal –
transformador real –
circuito equivalente
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de magnetização nos transformadores de potência e os representamos
através da sua resistência e da sua impedância em série.
Transformador ideal
Vamos começar nosso estudo pelo transformador ideal. Para isso, vamos
observar um que possua um enrolamento primário chamado de N , sendo ele
o número de espiras, e um enrolamento secundário chamado de N , retratado
na Figura 3.1. Nesse modelo, vamos adotar como positivo o sentido da
corrente secundária saindo no enrolamento secundário. Note que esse
sentido é oposto ao sentido da corrente primária, que está entrando do
enrolamento primário. A corrente secundária resultará em uma fmm (força
magnetomotriz) de sentido oposto à produzida pela corrente no enrolamento
primário. Os pontos em cima do sinal de positivo representam a polaridade
da corrente desses enrolamentos.
1
2
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Figura 3.1 – Transformador ideal com carga
Fonte: Umans (2014, p. 70).
#PraCegoVer: a imagem apresenta um transformador ideal com o núcleo
retratado por dois retângulos, um maior e outro menor. O lado esquerdo,
chamado de primário, está conectado a uma fonte alternada. Esse lado possui
uma tensão “𝓋 ” (lemos V1). O núcleo está envolvido por “N ” (N1) espiras. O
lado da direita é chamado de secundário e está ligado à carga. Esse lado possui
uma tensão chamada de “𝓋 ” (V2). O núcleo está envolvido por “N ” (N2) espiras.
As tensões “𝓋 ” (V1) e “𝓋 ” (V2) estão representadas pelos sinais de positivo
(“+”) em cima e de negativo (“-”) embaixo. Acima do primeiro sinal de “+” da
tensão “𝓋1” (V1), há um ponto informando que a corrente “i ” (I1) está entrando
no enrolamento, ou seja, ela sai da fonte e entra no equipamento. No sinal de “+”
da tensão “𝓋 ” (V2), há um ponto informando que a corrente “i ” (I2) sai do
equipamento em direção à carga. Dentro do núcleo está representado o �uxo “𝜑”
(�) gerado pelas espiras.
Esse transformador é chamado de transformador ideal, porque vamos
considerar que as resistências dos enrolamentos, formadas pelas espiras N1
e N2, são valores próximos de zero, portanto, podem ser desprezados. Assim
como temos que considerar que todo o �uxo está restrito ao núcleo que é
enlaçado completamente por essas espiras (assim, não teremos �uxos
1 1
2 2
1 2
1
2 2
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dispersos), o que nos leva a concluir que não haverá perdas no núcleo e que a
permeabilidade do material utilizado para a sua construção será tão alta que
fará com que tenhamos uma única fmm de excitação para criar o �uxo e que
esse valor seja insigni�cante.
No momento em que uma tensão variando senoidalmente no tempo
chamada de 𝓋1 for aplicada aos terminais do primário, surgirá um �uxo
chamado de 𝜑 no núcleo, de tal modo que esse �uxo ocasione uma fcem
(força contra eletromotriz) chamada de e1, que será igual à tensão 𝓋1.
Matematicamente, podemos escrever que:
 (Equação 3.1)
Esse mesmo �uxo do núcleo está enlaçando o enrolamento secundário, mas,
nesse caso, ele produzirá uma fem (força eletromotriz) induzida e e uma
outra tensão senoidal chamada de 𝓋 nos terminais do secundário, o que
também nos permite escrever a equação:
 (Equação 3.2)
Se dividirmos a Equação (3.1) pela Equação (3.2), teremos:
 (Equação 3.3)
Logo podemos concluir que um transformador ideal transforma a tensão do
primário na tensão do secundário na razão direta do número de espiras do
primário dividido pelo número de espiras do secundário.
Vamos considerar agora que a corrente de carga chamada de i na Figura 3.1
irá produzir uma fmm igual a N i no secundário desse transformador. A
tensão aplicada no enrolamento primário N irá determinar o �uxo no núcleo
de acordo com a Equação (3.1), logo o �uxo no núcleo não irá se alterar com
a corrente i . Como a fmm líquida que irá atuar no núcleo deve ser igual a
zero, podemos escrever que:
N i - N i = 0 ou N i = N i (Equação 3.4)
𝓋1 = =e1 N1
dφ
dt
2
2
𝓋2 = =e2 N2
dφ
dt
=1
2
N1
N2
2
2 2
1
2
1 1 2 2 1 1 2 2
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Como os sentidos das correntes i e i são opostos, a Equação (3.4)
representará o modo pelo qual o enrolamento primário é informado de que há
uma carga no enrolamento secundário. Portanto, como a�rma Umans (2014,
p. 70), “qualquer mudança na fmm que circula no secundário, resultante de
uma carga, se faz acompanhada de uma mudança correspondente na fmm
do primário”. Como as fmm estão em sentidos opostos, devido aos
enrolamentos N e N e por causa do sentido adotado para as correntes i1 e
i , podemos reescrever a Equação (3.4) como:
 (Equação3.5)
A relação das correntes entre as entradas primária e secundária de um
transformador ideal é dada pelo inverso da divisão entre os números de
espiras do primário e do secundário.
Assim, podemos concluir, por meio das equações (3.3) e (3.5), que:
𝓋 i = 𝓋 i (Equação 3.6)
Esse fato que faz o transformador ser tão utilizado, porque o equipamento
mantém a potência igual no seu lado primário e secundário, mas permite que,
com a correta escolha das espiras, possamos ter uma tensão diferente no
primário em relação à tensão do enrolamento secundário.
Transformador real
O modelo real de um transformador de potência pode ser mais ou menos
aproximado, dependendo da necessidade de precisão do cálculo que
estivermos realizando. Esse modelo deve considerar os efeitos das
resistências dos enrolamentos primário e secundário, os �uxos dispersos
devido às indutâncias mútuas e os efeitos da permeabilidade do núcleo, que,
na prática, é �nita e possui um comportamento não linear. Tudo isso precisa
ser considerado em simulações de condições transitórias, como as
resultantes de descargas atmosféricas ou de chaveamentos de trechos do
sistema elétrico de potência (SEP).
1 2
1 2
2
=i1
i2
N2
N1
1 1 2 2 
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O �uxo real pode ser dividido em dois componentes, a saber:
Na Figura 3.2, temos uma ilustração esquemática de todos os �uxos
dispersos e mútuos que podem surgir em um transformador devido às
correntes primária e secundária. A diferença entre o transformador ilustrado
pela Figura 3.1 e esse, que representa um verdadeiro, é que os enrolamentos
são dispostos, muitas vezes, uns sobre os outros, o que faz com que os
�uxos se sobreponham.
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Figura 3.2 – Representação esquemática dos �uxos mútuos e dispersos em
um transformador real. O sinal “x” representa o sentido entrando da corrente e
o ponto “⦁”, o sentido saindo
Fonte: Umans (2014, p. 74).
#PraCegoVer: a imagem apresenta o núcleo de um transformador formado por
dois retângulos, um maior e outro menor. Dentro do retângulo menor, existe a
representação do enrolamento chamado de “1” e de “2”, que são representados
por retângulos bem pequenos dentro do retângulo menor. A �gura indica um �uxo
disperso ao redor desses enrolamentos, representados pelos números “1” e “2”.
Englobando os retângulos “1” e “2” e o retângulo menor estão representadas
duas linhas de �uxo chamadas de �uxo mútuo resultante, representado pela letra
“𝜑” (�). Ao lado do número “1”, mais à esquerda, e ao lado do número “2”, mais à
direita e fora do retângulo maior, ou seja, na parte externa do transformador,
estão representados o �uxo disperso pelo primário e o �uxo disperso pelo
secundário. No primeiro retângulo, a corrente está representada por um ponto,
que indica que ela está saindo do equipamento, no segundo retângulo, a corrente
é representada por um “x”, o que indica que ela está entrando no enrolamento, o
mesmo acontece com o enrolamento secundário. Tanto o �uxo disperso do
secundário quanto o do primário são formados pelo �uxo que está no ar, assim
como o interno ao equipamento.
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O �uxo disperso presente no ar irá induzir uma tensão, que será somada à
tensão produzida pelo �uxo mútuo. Esse �uxo irá variar de forma linear com a
corrente do primário I (representada agora na forma fasorial). Chamaremos
de a indutância de dispersão do primário (o termo l refere-se ao termo em
inglês leakage, que signi�ca dispersão). Com isso, poderemos calcular o
valor da reatância de dispersão do primário, chamada de , obtida através
da fórmula:
 (Equação 3.7)
Agora, vamos considerar a resistência do enrolamento primário, que será
chamada de R . A tensão no enrolamento primário, por sua vez, será
chamada de V (também escrita na sua forma fasorial). Essa tensão pode ser
decomposta em três partes, uma devido à queda de tensão no resistor dada
por I R , outra devido à queda produzida pela impedância indutiva de
dispersão dada por j I e outra pela fem E (também escrita na forma
fasorial), induzida no primário graças ao �uxo mútuo (devido às indutâncias
do primário e do secundário). Esse circuito está ilustrado na Figura 3.3 e pode
ser considerado como o primeiro passo na obtenção do circuito equivalente
de um transformador real.
1
Ll1
Xl1
= 2πfXl1 Ll1
1
1 
1 1
1 Xl1 1
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Figura 3.3 – Primeiro passo para o desenvolvimento do circuito equivalente de
um transformador real
Fonte: Umans (2014, p. 75).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma parte do circuito formada por uma
resistência “R ” (chamada de R1) e uma reatância indutiva “ . É
indicada uma tensão chamada de “V ” (V1) antes do resistor e uma tensão
chamada de “E ” (E1) após a reatância, sendo que elas possuem sinal positivo na
parte superior do circuito e sinal negativo na parte inferior. A corrente está
indicada por “I ” (I1) e sai do resistor com o sentido indo para a reatância.
A corrente do primário, de acordo com Umans (2014, p. 76), deve “não só
magnetizar o núcleo, como também fornecer corrente para a carga
conectada ao secundário”. Então podemos decompor essa corrente em duas
componentes, a saber:
A fmm líquida que é igual a N I pode ser escrita como:
 (Equação 3.8)
Ou seja:
 (Equação 3.9)
1 ”(Xl1)Xl1
1
1
1
1 𝜑
= − =N1Iφ N1I1 N2I2 ( − ) −N1 I1 I ′2 N2I2
=I ′2
N2
N1
I2
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O que nos leva a concluir que a componente da carga da corrente do
primário é igual à corrente do secundário referida ao primário em um
transformador ideal.
A corrente de excitação I , na sua forma fasorial, pode ser dividida em dois
vetores:
um vetor correspondente às perdas no núcleo chamado de I ;
um vetor correspondente à componente de magnetização chamada de
I e atrasada 90o em relação à fmm E .
O circuito que representa a magnetização do transformador é composto por
uma resistência RC em paralelo com uma indutância de magnetização L . A
reatância indutiva será dada por:
I ′2
SAIBA MAIS
O vídeo publicado pelo canal Amazon Sat
mostra o passo a passo da produção de
transformadores de distribuição. O aluno deve
assistir a esse vídeo e considerar as
observações feitas pelo gerente da fábrica,
imaginando como a fabricação de um
transformador de potência, que é muito maior,
pode ser difícil.
A S S I S T I R
𝜑
c
m 1
m
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X = 2 𝜋 f L (Equação 3.10)
O resistor R e a reatância X serão chamados de impedância de
magnetização e representados por Z . Portanto, as perdas no núcleo serão
dadas em função de e a reatância X irá variar em função da saturação
do núcleo do transformador, que é produzido a partir de uma liga de
ferrossilício. A Figura 3.4 retrata esse circuito e pode ser o segundo passo na
obtenção do circuito equivalente de um transformador real. Note que a
impedância de magnetização é ilustrada em paralelo com a de dispersão.
Figura 3.4 – Segundo passo para o desenvolvimento do circuito equivalente de
um transformador real
Fonte: Umans (2014, p. 75).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma parte do circuito formado por uma
resistência “R ” (chamada de R1) e uma reatância indutiva “ ”(X l 1) ligadas
em série. É indicada uma tensão chamada de “V ” (V1) na entrada do circuito.
Após a reatância, foi desenhadoum circuito em paralelo composto por uma
resistência “R ” (Rc) e uma impedância indutiva “X ”(Xm). Por “R ” (Rc), passa
uma corrente chamada de “I ” (Ic) e por “X ” (Xm) passa uma corrente chamada
de “I ” (Im). Depois do paralelo, está representada uma corrente chamada de “I' '”
(I2 linha) e uma tensão de saída chamada de “E1”.
m m
c m
𝜑
E21 m
1 Xl1
1
c m c
c m
m 2
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Se considerarmos que X possui um valor constante, a corrente I também
será constante e será independente da frequência, possuindo uma relação
direta e proporcional ao �uxo mútuo resultante. Por isso, podemos
determinar os valores de R e X por meio dos valores nominais de tensão e
de frequência.
Agora, vamos representar o transformador real a partir das suas perdas
juntamente com um transformador ideal. Vamos começar representando o
�uxo mútuo resultante chamado de 𝛷, que induz uma fem E (forma fasorial)
no secundário. Esse �uxo irá concatenar os dois enrolamentos, então a
divisão entre os �uxos será dada pela divisão entre o número de espiras do
primário pelo do secundário. Logo podemos escrever que:
 (Equação 3.11)
m m
c m
2 
=E1
E2
N1
N2
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Figura 3.5 – Terceiro passo para o desenvolvimento do circuito equivalente de
um transformador real
Fonte: Umans (2014, p. 75).
#PraCegoVer: a imagem apresenta dois circuitos que formam o primário e o
secundário do transformador. No primário, há uma resistência “R ” (chamada de
R1) e uma reatância indutiva ”(X l 1) ligadas em série. É indicada uma
tensão do primário chamada de “V ” (V1) antes do resistor. Após a reatância, foi
desenhado um circuito em paralelo composto por uma resistência “R” (Rc) e uma
impedância indutiva “X ” (Xm). Antes do paralelo, chega uma corrente chamada
de “I ” (I �). Depois do paralelo, está representada uma corrente chamada de “I' ”
(I2 linha), que sai da interseção da impedância em série com a reatância e vai no
sentido de uma tensão chamada de “E ” (E1). Depois dessa tensão, está
representado um transformador ideal em que o primário, por meio das espiras do
primário chamadas de “N ” (N1), estão conectadas ao circuito. O lado secundário
do transformador com “N ” (N2) espiras possui uma tensão “E ” (E2) e está
conectado a uma reatância indutiva chamada de “ ” (X l 2) ligada em série
com um resistor “R ” (R2). Depois do resistor, está representada a tensão “V ”
(V2).
A Equação (3.11) é a mesma que obtivemos para um transformador ideal,
dado pela Equação (3.3). Desse modo, podemos introduzir um transformador
1
“Xl1
1
m
𝜑 2
1
1
2 2
Xl2
2 2
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ideal na representação do circuito equivalente de um real, conforme ilustrado
pela Figura 3.5, que pode ser considerado o terceiro passo na obtenção do
circuito equivalente de um transformador real.
Como a fem E não representa a tensão nos terminais do secundário devido à
resistência R e à corrente I , que faz surgir um �uxo disperso nele, como
pode ser visto na Figura 3.2, teremos que introduzir uma correção dada pela
diferença de tensão entre a do secundário, representada por V , e a induzida
no secundário, dada por E . Essa tensão é devido à resistência do secundário
R e à presença da reatância de dispersão do secundário, chamada de 
(que corresponde à indutância de dispersão do enrolamento secundário ),
como podemos ver pela impedância dada por desenhada à
direita de E na Figura 3.5.
Portanto, podemos concluir que o circuito equivalente de um transformador
real é igual ao de um transformador ideal acrescido das impedâncias
externas devido à dispersão do �uxo. Podemos escrever e representar esse
circuito referido ao primário, como feito na Figura 3.6, que pode ser
considerado o quarto e último passo na obtenção do circuito equivalente de
um transformador real, ou podemos referir todos esses valores ao
secundário. Como podemos observar, não é necessário representar o
transformador ideal no circuito equivalente, precisamos apenas referir todas
as tensões, correntes e impedâncias ao enrolamento do secundário ou do
primário, conforme mostrado na equação:
 e (Equação 3.12).
2
2 2
2
2
2 Xl2
Ll2
+ jR2 Xl2
2
=X
′
l2
( )N1
N2
2
Xl2 =R
′
2 ( )
N1
N2
2
R2
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Figura 3.6 – Quarto passo para a obtenção do circuito equivalente de um
transformador real
Fonte: Umans (2014, p. 75).
#PraCegoVer: a imagem apresenta o circuito equivalente de um transformador
real. O lado primário é formado por uma resistência “R1” e uma reatância indutiva
“Xl1” ligadas em série. Também é indicada a tensão primária, chamada de “V1”.
Após a reatância, foi desenhado um circuito em paralelo composto por uma
resistência “Rc” e uma impedância indutiva “Xm”. No paralelo, chega uma
corrente chamada de “I ” (I �). Depois do paralelo, está representado o lado
secundário, com uma corrente chamada de “I2’” (I2 linha) e uma reatância
indutiva “Xl2'” (XL linha) com uma ligação em série com um resistor “R2'” (R2
linha). Na saída do circuito, está representada a tensão secundária “V2'” (V2
linha).
Conhecimento
𝜑
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Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Leia o excerto a seguir:
“Um transformador é um dispositivo que converte, por meio da ação de um
campo magnético, a energia elétrica CA de uma dada frequência e nível de
tensão em energia elétrica CA de mesma frequência, mas outro nível de
tensão. Ele consiste em duas ou mais bobinas de �os enroladas em torno de
um núcleo ferromagnético comum. Essas bobinas não estão conectadas
diretamente entre si. A única conexão entre as bobinas é o �uxo magnético
comum presente dentro do núcleo”.
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5. ed. Porto Alegre:
AMGH, 2013.
Agora, vamos considerar um transformador de distribuição de 100 kVA, 13,8
k/220 V e 60 Hz, com uma impedância de dispersão de 0,72 + j 0,92 Ω no
enrolamento de alta tensão e 0,0070 + j 0,0090 Ω no de baixa tensão. Na
tensão e frequências nominais, a impedância Z𝜑 do ramo em derivação
(igual à impedância de R e jX em paralelo) é responsável pela corrente de
excitação 6,32 + j 43,7 Ω, quando vista do lado de baixa tensão. Com essas
informações, podemos a�rmar que a relação de espiras do transformador
com N dividida por N é um número que está contido em um dado
intervalo.
Escolha a alternativa correta que faz referência a esse intervalo.
a) 0 < relação de espiras ⩽ 20.
b) 20 < relação de espiras ⩽ 40.
c) 60 < relação de espiras ⩽ 80.
d) 40 < relação de espiras ⩽ 60.
e) Relação de espiras > 80.
c m
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Umans (2014, p. 91) a�rma que “três transformadores monofásicos podem
ser conectados para formar um banco trifásico de transformadores”. Isso
pode ser feito por meio de conexões:
Modelagem de
transformadores: banco de
três transformadores
monofásicos –
autotransformador –
transformador trifásico
Y - 𝛥: nesse caso, a tensão entre a fase e o neutro, chamada
de V , será igual à tensão fase-fase chamada de VAB dividida
pela raiz quadrada de 3, ou seja, para o lado Y.
AN
=VAN
VAB
3√
 
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Desse modo, devemos semprenos atentar para o jeito que o transformador
foi ligado, pois, se ele foi ligado em Y ou em 𝛥, temos que inserir uma
defasagem da corrente igual a 30º para Y e -30º para 𝛥 no momento de
con�gurarmos os softwares de simulação. A maioria deles já divide o valor
das tensões e das correntes por √3, quando se faz necessário.
REFLITA
O Brasil já instalou usinas hidrelétricas nas
principais bacias dos rios localizados nas
regiões Nordeste, Sudeste e Sul. Agora, para
instalarmos novas usinas hidrelétricas, temos
que realizar esse tipo de obra nas regiões Norte
e Centro-Oeste, onde estão localizadas a
Floresta Amazônica e o Pantanal, o que pode
prejudicar esses biomas tão especí�cos. No
entanto podemos realizar o retro�t ou a
repotencialização das usinas instaladas e
aumentar a nossa capacidade de produção de
energia em 30% sem provocarmos nenhum dano
a esses locais tão únicos no mundo. Para isso,
bastaria que trocássemos os materiais e
equipamentos fabricados em sua maior parte
nas décadas de 70 e 80 por equipamentos
fabricados com novos materiais e tecnologias.
Por que você considera que essa política pública
ainda não foi adotada por nossos governantes?
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A representação das linhas e das fases desses circuitos é mostrada na Figura
3.7. Os enrolamentos primários estão representados à esquerda e os
secundários à direita. Note que o neutro só está acessível para tensões
ligadas em Y. O fator a da �gura é dado por:
 (Equação 3.13)
Fonte: Adaptado de Goldemberg e Lucon (2007).
a = N1
N2
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Figura 3.7 – Tipos de conexões trifásicas de transformadores em que os seus
enrolamentos são indicados pelas linhas em negrito. Em a) temos a conexão Y
- 𝛥, em b), a conexão 𝛥 - Y, em c), a conexão 𝛥 - 𝛥 e em d), a conexão Y - Y
Fonte: Umans (2014, p. 92).
#PraCegoVer: a imagem apresenta um circuito ligado em “Y - delta” em a) em que
a primeira parte é ligada na forma dessa letra com a tensão de linha representada
pela letra “V”, passando em cada uma das pontas do “Y”. O centro da letra “Y” é o
ponto do neutro e, nele, a corrente entre a fase e a linha é dada pela tensão
dividida por raiz de 3. Na ligação em delta, a corrente de linha sai dos vértices do
triângulo e a corrente de fase circula entre o delta, nos lados. Essa corrente é
igual à corrente de linha dividida por raiz de 3. No item b), temos uma conexão
invertida, ou seja, dada por “delta - Y”. No item c), temos uma conexão “delta -
delta” e, no item d), uma conexão “Y - Y”. As tensões no “Y” são representadas por
tensões de linha e de fase e os seus valores são iguais. Já no delta, as correntes
são representadas por correntes de linha e de fase e os seus valores são iguais.
Se observarmos a Figura 3.7 atentamente, poderemos concluir que:
As tensões e correntes nominais do primário e do secundário do
banco trifásico de transformadores dependem da conexão utilizada,
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mas o valor nominal em kVA do banco trifásico é igual a 3 vezes o
dos transformadores monofásicos individuais, independente do tipo
de conexão (UMANS, 2014, p. 91).
A conexão Y - 𝛥 (conhecida por estrela-triângulo) é muito usada em
transformadores abaixadores de tensão (localizados em subestações perto
de clientes). Isso ocorre porque podemos utilizar um neutro para aterramento
do lado de alta tensão. A conexão contrária a essa, 𝛥 - Y (conhecida por
triângulo-estrela), é utilizada em transformadores elevadores (localizados nas
subestações das usinas de geração). Já a conexão 𝛥 - 𝛥 (triângulo-triângulo)
proporciona a vantagem de podermos retirar um dos três transformadores
para manutenção e o banco ainda funcionar, mas com um valor de potência
reduzido a 58% do valor de projeto do banco. A conexão Y - Y (estrela-estrela)
quase nunca é utilizada devido a problemas apresentados pela corrente de
excitação.
Autotransformadores
Os autotransformadores são de�nidos por Mohan (2016, p. 93) como
equipamentos “utilizados muito frequentemente em sistemas de potência
para a transformação de tensões onde a isolação elétrica não é necessária
para a seleção de derivações de espiras (tap-changing)”. Podemos considerar
um autotransformador como um transformador ideal, inclusive desprezando
as impedâncias de dispersão e a corrente de excitação.
A Figura 3.8, no seu item a), ilustra a representação esquemática de um
transformador de dois enrolamentos com N espiras no primário e N espiras
no secundário. Já em b) temos a representação desse mesmo transformador,
mas agora ele está conectado como um autotransformador, o que é feito
conectando o enrolamento bc a ambos os enrolamentos primário e
secundário. Na fabricação desses equipamentos, esse enrolamento é
fabricado de tal forma que ele consegue suportar a tensão de funcionamento
do autotransformador. Outra diferença que vale ressaltar é o fato de que o
enrolamento ab irá precisar de uma isolação extra contra a plena tensão
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máxima do autotransformador. Com isso, os autotransformadores irão
possuir menores reatâncias de dispersão, perdas mais baixas e irão
necessitar de menores correntes de excitação, o que implica que terão um
custo menor do que um transformador comum de dois enrolamentos.
Figura 3.8 – Em a), temos a representação de um transformador de dois
enrolamentos e, em b), a representação desse mesmo transformador
conectado como um autotransformador
Fonte: Umans (2014, p. 88).
#PraCegoVer: a imagem apresenta um transformador de dois enrolamentos
chamados de “N ” (N1) e “N ” (N2), representados na letra a) com a indicação da
corrente entrando nos enrolamentos por meio de um ponto. Na letra b), esses
enrolamentos estão ligados por meio de um autotransformador com “N ” (N1)
ligado entre os pontos b e c e “N ” (N2) ligado entre os pontos a e b. Entre os
pontos a e c, temos a soma dos enrolamentos “N ” (N1) e “N ” (N2). Nos
terminais a e b, são indicadas as polaridades das correntes.
Transformadores trifásicos
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Os transformadores trifásicos são mais baratos. Umans (2014, p. 92) nos
relata que “um banco trifásico pode consistir em um transformador trifásico
tendo os 6 enrolamentos em um núcleo comum de pernas múltiplas e
contido em um único tanque”. A Figura 3.9 ilustra um desses
transformadores de potência trifásicos, muito comuns em subestações
localizadas perto dos centros de consumo.
Figura 3.9 – Transformador de potência
Fonte: STM guanajuato / Wikimedia Commons.
#PraCegoVer: a imagem apresenta um transformador de potência, que é um
equipamento imenso formado por vários ventilados, um para cada fase. Um
tanque no formato retangular, composto por três retângulos em cada lado do
equipamento, um tanque de formato cilíndrico de expansão para o óleo isolante,
três buchas imensas de alta tensão e três buchas menores de baixa tensão
instaladas de forma inclinada no topo do equipamento. Esse transformador
possui pelo menos uns oito metros de comprimento por uns dois de largura e uns
três de altura, ele é um equipamento muito grande e pesado.
Um circuito equilibrado conectado em 𝛥 com dado em Ω/fase será
equivalente a um circuito equilibrado conectado em Y com dado em
ZΔ
ZY
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Ω/fase pormeio da relação:
 (Equação 3.14)
Agora que vimos como é fabricado um transformador, vamos calcular o seu
circuito equivalente a partir dos dados de ensaio do equipamento a vazio e
em curto-circuito.
=ZY 13 ZΔ
SAIBA MAIS
O vídeo publicado pela UFJF (Universidade
Federal de Juiz de Fora) traz o passo a passo do
ensaio a vazio e do curto-circuito de um
transformador trifásico. Esse ensaio é feito para
determinar os valores das impedâncias do
equipamento quando não sabemos os seus
dados, seja porque sua placa com os dados está
avariada ou porque o relatório de ensaio
fornecido junto com o equipamento foi perdido.
Para saber mais, acesse a seguir:
Fonte: Adaptado de Ensaio… (2021).
A S S I S T I R
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praticar
Vamos Praticar
Leia o trecho a seguir:
“No ensaio a vazio ou de circuito aberto, um enrolamento do transformador
é deixado em circuito aberto e o outro enrolamento é conectado à tensão
nominal plena de linha. Nestas condições toda a corrente de entrada deve
circular através do ramo de excitação do transformador. Os elementos em
série são pequenos demais em comparação aos demais, para causar uma
queda de tensão signi�cativa, de modo que essencialmente toda a tensão
de entrada sofre queda no ramo de excitação. No ensaio de curto-circuito,
os terminais de baixa tensão do transformador são colocados em curto-
circuito e os terminais de alta tensão são ligados a uma fonte de tensão
variável. A tensão de entrada é ajustada até que a corrente no enrolamento
em curto-circuito seja igual ao seu valor nominal. A tensão, a corrente e a
potência de entrada são novamente medidas”.
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. 5. ed. Porto Alegre:
AMGH, 2013. p. 90-91.
Um transformador monofásico de 230/13,8 kV, 1 MVA e 60 Hz foi submetido
aos ensaios de vazio e curto-circuito, obtendo-se.
Ensaio de vazio:
alimentação com tensão nominal pela baixa tensão;
corrente absorvida: 4 A;
potência absorvida 24 kW.
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Ensaio de curto-circuito:
alimentação pela alta tensão com corrente nominal;
tensão de alimentação: 10,6 kV;
potência absorvida de 30 kW.
Baseado nessas informações, calcule o circuito equivalente desse
transformador em valores pu.
Há vários programas utilizados para a simulação do SEP. Alguns deles, como
o MatLAB, são pagos e bem caros, porque seu preço é cotado em dólar, como
o módulo Power Systems representa no Simulink do MatLAB. Outro programa
utilizado pelas concessionárias e usinas é o ANAREDE (disponível somente
para essas empresas ou para universidades).
Aula prática: representação
de sistemas elétricos de
potência
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O programa apresentado no box acima permite simular o SEP sem a
necessidade de termos um computador com muita memória e um bom
processador, funcionando de maneira e�ciente.
No cadastro, também disponível no box acima, você deve informar seus
dados, como nome, sobrenome, e-mail e nome da companhia onde trabalha
(ou estudante), conforme ilustra a Figura 3.10.
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Figura 3.10 – Tela com os dados solicitados para o cadastro do software
Power World
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra o formulário feito no Google Forms para que
possamos fazer o nosso cadastro e utilizar o Power World. As informações
obrigatórias são: nome, sobrenome, e-mail e nome da companhia onde trabalha
(ou estudante).
Assim que você receber um e-mail do software, basta clicar em “Click here to
be redirected to the download site” para ser redirecionado ao site que você
pode fazer o download do programa. O e-mail de con�rmação terá a
aparência do e-mail retratado pela Figura 3.11.
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Figura 3.11 – E-mail de con�rmação enviado pelo site Power World
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra o e-mail para con�rmação recebido. Ele é
enviado pelo software e já vem com o link que deve ser clicado para que o
download possa começar.
Se o link não estiver funcionando, copie-o em uma nova aba do seu
navegador, que o software começará a ser baixado. Depois de baixá-lo e
instalá-lo, aparecerá um ícone chamado de Simulator Education-Evaluation
22. Quando clicar nesse ícone, o programa se iniciará com a página inicial do
software retratada na Figura 3.12.
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Figura 3.12 – Tela com os dados solicitados para o cadastro do software
Power World
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem na tela inicial do programa, onde uma mensagem do
desenvolvedor do software Power World Corporation e os seus dados são
exibidos.
Esse software é de fácil utilização, o nosso maior desa�o será nos
acostumarmos com os termos em inglês utilizados por ele. Depois que
�zermos nossa ambientação no espaço de simulação, conseguiremos
simular vários tipos de con�gurações encontradas no SEP (Sistema Elétrico
de Potência).
SAIBA MAIS
O vídeo publicado pelo engenheiro Luis Cesar
Emanuelli intitulado “Fluxo de potência no Power
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Agora, vamos simular um circuito clicando em “File” – “New Case” (Abrir um
novo arquivo), depois em “Draw” (Desenho) e, na sequência, em “Network”,
conforme ilustra a Figura 3.13.
Figura 3.13 – Tela com o passo a passo para inserção de um barramento (bus)
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem na aba inicial do programa com os comandos de Case,
Information e Draw. Clicamos em Draw e uma aba com várias opções, como
desenhos de barras, geradores, cargas, linhas e transformadores, aparece para
que possamos começar a nossa simulação.
World – Aula 01” traz o passo a passo para a
simulação desse circuito. Só é preciso tomar
cuidado, porque, no vídeo, utilizam a versão 19
do software e nós estamos instalando a versão
22 (mais atualizada).
A S S I S T I R
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O próprio programa irá nomear um novo documento chamado de “NewOne1”.
Esse programa funciona em dois modos.
Na aba Draw (Desenho), clicando em Network (Rede), podemos desenhar:
barramentos da linha (chamados de Bus);
geradores (chamados de Generator);
inserir cargas (chamadas de Load);
inserir capacitores em derivação (chamadas de Switched Shunt);
inserir linhas de transmissão (Transmission Line);
inserir transformadores (chamados de Transformer).
Esses elementos podem ser vistos na Figura 3.14.
Figura 3.14 – Tela com equipamentos que podem ser simulados pelo Power
World
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta as principais opções da aba Draw, como: a
inserção de barras (bus), geradores (generator), load (carga), transmission line
(linhas de transmissão) e transformer (transformador).
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Para iniciarmos nossa simulação, temos que alterar o sistema de medidas do
software (que vem programado, originalmente, para o sistema inglês). Para
isso, temos que clicar em “Options” e, nasequência, em “Simulation Options”.
Depois, clicamos em “Environment” (Ambiente). Aí basta mudar o ícone
“Measurement Systems” de “English” para “Metric” (SI), conforme está
ilustrado pela Figura 3.15. Depois é só clicar em “Ok”.
Figura 3.15 – Tela com o passo a passo da con�guração dos parâmetros de
medida em inglês para o sistema internacional (SI)
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a parametrização que deve ser feita. Clicamos
em “Simulator Options” e, depois, em “Environment”. Aí, teremos que alterar o
“Measurement System” de “English” para “Metric” (SI).
Na sequência, temos que ir em “Oneline Options”, na aba chamada de
“Animated Flows”, e selecionar a opção “Actual MW & MVAr Power Flow”
(para que o programa nos mostre os �uxos de potência ativa e reativa),
conforme vemos na Figura 3.16. Devemos clicar em “Apply” (Aplicar) e depois
em “Ok”.
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Figura 3.16 – Tela com o passo a passo da con�guração dos parâmetros do
software para mostrar as potências ativa e reativa calculadas para o SEP
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra o próximo item a ser parametrizado. Devemos
clicar em “Oneline Options” e, depois, em “Animated Flows” e em “Actual MW e
MVAr Power Flow”.
Agora, nós vamos desenhar uma linha com um gerador, uma linha de
transmissão e uma carga. Devemos começar sempre pelas barras. Para
selecionar uma barra, devemos clicar em “Draw” e depois em “Bus”.
Aparecerá um quadro para informarmos o nome da barra – por exemplo,
barra A, com o valor de tensão de 330 kV. Todas as barras devem ter sua
tensão de�nida como 1 ∠ 0 º pu. Esse passo a passo está retratado na Figura
3.17.
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Figura 3.17 – Tela com o passo a passo para a con�guração de um barramento
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a aba de con�guração de uma barra. No caso,
devemos alterar a “Nominal Voltage” de 138 para 330 kV. A orientação da barra
deve estar selecionada como “Up”.
Para que nossa simulação funcione, uma das barras do sistema deve ser
adotada como referência. Para isso, devemos clicar em “Bus Information” e
setar uma barra, como a “System Slack Bus” (só precisamos setar uma barra
como referência), conforme está ilustrado pela Figura 3.18.
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Figura 3.18 – Tela com o passo a passo para a escolha do barramento de
referência (“Slack Bus”)
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra que devemos escolher a aba “Bus Information” e
selecionar o ícone “System Slack Bus”.
Vamos inserir três barras no sistema, a primeira chamada de 1, a segunda de
2 e a terceira de 3. A tensão na barra 1 vai ser de 330 kV, mesma tensão na
barra 2, e a tensão na barra 3 vai ser de 220 kV. Adotaremos a barra 1 como a
de referência.
Depois disso, vamos inserir uma linha de transmissão entre as barras 1 e 2.
Para isso, basta clicarmos em “Draw” e depois em “Transmission Line”.
Agora, devemos clicar na barra 1 para indicarmos o início da linha e na barra
2 para indicarmos o seu �nal. Assim que �zermos isso, o programa irá abrir
uma caixa de diálogo para que possamos inserir os dados da linha, como a
resistência e a reatância. Vamos adotar que essa linha seja igual a Z’ = 0,001
+ 0,015 j pu. O software irá desenhar um amperímetro que podemos diminuir
de tamanho. Esses valores já são os valores em pu. Se tivermos os valores
em Ohms, precisamos clicar em “Calculate Impedances” e inserir os valores
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em Ohms e o comprimento da linha. Note que o software é capaz de simular
o modelo 𝜋 nominal da linha, conforme ilustra a Figura 3.19.
Figura 3.19 – Tela com o passo a passo para a con�guração da linha de
transmissão
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a con�guração de uma linha de transmissão em
que devemos inserir a “Series Resistance” (R) e a “Series Reactance” (X).
Agora, vamos inserir um transformador entre as barras 2 e 3. Para isso,
temos que ir em “Draw”, escolher o elemento “Transformer” e clicar nas
barras 2 e 3. Vamos considerar que nosso transformador tenha uma
impedância igual a 0,03 + j 0,08 pu. Como você pode observar, o próprio
software já considera esse equipamento como um transformador abaixador
de tensão devido às tensões da linha. A Figura 3.20 detalha o procedimento.
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Figura 3.20 – Tela com o passo a passo para a con�guração do transformador
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a con�guração do transformador em que
devemos inserir a “Series Resistance” (R) e a “Series Reactance” (X).
Os quadrados em vermelho, que aparecem ao lado do amperímetro, são
disjuntores que podemos utilizar para realizar simulações de manobras na
linha, como abrir e fechar. Depois do transformador ser inserido, temos que
dar um duplo clique nele para ajustarmos a sua potência. Vamos considerar
um transformador de 100 MVA, como pode ser observado na Figura 3.21.
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Figura 3.21 – Tela com o passo a passo para a con�guração da potência
nominal de um transformador
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a con�guração da potência do transformador
por meio da opção “MVA Rating”.
Agora, vamos inserir, na barra 2, uma carga igual a
, ou seja, P = 30 MW e Q = 12 MVAr. Lembrando
que sempre podemos ajustar o tamanho dos elementos do mesmo modo
com que ajustamos uma �gura em um documento do Word, conforme está
ilustrado pela Figura 3.22.
= 30 + 12(MVA)Scarga
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Figura 3.22 – Tela com o passo a passo para a con�guração de uma carga na
barra 2
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a con�guração de uma carga na barra 2 com a
mudança do valor “MW Value” para “30” e do valor “MVAr Value” para “12”.
Agora, vamos inserir um gerador no nosso sistema. Para isso, temos que ir
em “Draw” e, depois, em “Generator”. Precisamos sempre especi�car um
valor para o item “MW Setpoint” no Power Control, senão o programa não
aceita o comando. Podemos, inclusive, escolher o valor zero, conforme está
ilustrado na Figura 3.23.
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Figura 3.23 – Tela com o passo a passo para a con�guração de um gerador
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a con�guração do gerador com o parâmetro
“MW Setpoint” setada em 0.
Depois de o elemento ser inserido, podemos aumentar o número de casas
decimais mostradas pelo software para três, por exemplo, apenas clicando
duas vezes seguidas no valor 0 MW e substituir o número 0 por 3 no campo
“Digits to Right of Decimal”. Devemos repetir o mesmo procedimento para o
valor 0 MVAr, conforme ilustra a Figura 3.24.
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Figura 3.24 – Tela com o passo a passo para a con�guração da precisão nos
valores calculados de potência ativa e reativa pelo software
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostraa con�guração da precisão aos valores
calculados para o gerador por meio de um duplo clique no número “0 MW” e na
mudança de 0 para 3 no campo “Digits to Right of Decimal”.
Agora, vamos inserir uma carga na barra 3, que será igual a
, ou seja, P = 70 MW e Q = 15 MVAr, conforme
exempli�cado pela Figura 3.25.
= 70 + j15MVAScarga
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Figura 3.25 – Tela com o passo a passo para a con�guração de uma carga
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a con�guração de uma carga com a mudança do
valor “MW Value” para 30 e do valor “MVAr Value” para 12.
Desse modo, nosso circuito de simulação �cou da maneira mostrada na
Figura 3.26.
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Figura 3.26 – Tela com o SEP a ser simulado no Power World
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra o circuito sendo simulado com um gerador
ligado a uma barra 1, que está interligada a uma barra 2 por meio de uma linha de
transmissão. A barra 2 possui um transformador abaixador, que está conectado a
uma barra 3. Tanto a barra 2 como a 3 possuem cargas.
Agora, podemos simular alterando o modo para “Run Mode”, clicando em
“Tools” e na seta verde. O valor da potência do gerador será mostrado, assim
como o sentido em que a energia elétrica está sendo utilizada, ou seja, saindo
do gerador e sendo consumida na carga. O resultado da simulação está
ilustrado na Figura 3.27.
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Figura 3.27 – Dados da simulação calculada pelo software
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra o resultado da simulação com uma potência
gerada de “101,789 MW” e “33,184 MVAr”
Agora, vamos alterar os dados do circuito apresentado na �gura acima para
que você possa simular novamente.
praticar
Vamos Praticar
Vamos simular o circuito da �gura abaixo e encontrar a energia gerada pelo
gerador. A tensão da barra 1 é igual a 440 kV, mesma tensão da barra 2, e a
tensão da barra 3 é de 138 kV. O valor da potência consumida pela carga na
barra 2 é igual a 45 + j 24 MVA e na barra 3 é igual a 55 + j 20 MVA. Os
parâmetros das linhas de transmissão não foram alterados.
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Depois de desenhar o circuito da �gura abaixo, encontre a potência que
deve ser produzida pelo gerador para suprir a carga.
Figura: Circuito a ser simulado no Power World
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra o circuito que está sendo simulado com
um gerador ligado a uma barra 1, que está interligado a uma barra 2 por
meio de uma linha de transmissão. Essa barra 2 possui um
transformador abaixador, que está conectado a uma barra 3. Tanto a
barra 2 como a 3 possuem cargas.
Modelagem de geradores:
circuito equivalente –
i
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Os geradores síncronos são modelados a partir do ponto de vista do cálculo
do �uxo de carga com base nos seus limites operacionais. Esses limites têm
in�uência sobre a capacidade de geração de potência ativa e reativa do
Sistema Elétrico de Potência (SEP) e são representados por:
 (Equação 3.15)
Ou seja, um gerador só poderá funcionar entre um intervalo especi�cado
gerando uma potência reativa mínima, representada por , uma potência
ativa mínima, dada por (geralmente, dada pelo custo mínimo para esse
equipamento operar), uma potência reativa máxima, representada por ,
e uma potência ativa máxima, chamada de , que é dada pelo limite de
transformação do equipamento. Se considerarmos esses valores como �xos
e independentes entre si, a região de operação de um gerador k será obtida
por uma região retangular, representada na Figura 3.28.
gerador sobre-excitado –
gerador sub-excitado
≤ Qk ≤Qm ní
k
Qm xá
k
≤ Pk ≤Pm ní
k
Pm xá
k
Qm ní
k
Pm ní
k
Qm xá
k
Pm xá
k
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Figura 3.28 – Limites aproximados de geração ativa e reativa
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta um retângulo, denominado de região viável,
cortado ao meio pelo eixo y, que está referenciado em “MW”. O retângulo possui
dois lados, o primeiro localizado em cima da potência reativa mínima, chamada
de “Qmin”, e o outro lado chamado de “Qmax”. O eixo x é dado por “MVAr”. O
primeiro ponto que o retângulo intercepta no eixo y é chamado de “Pmin” e o
último é chamado de “Pmax”.
Essa simpli�cação não pode ser utilizada na maioria das aplicações práticas
devido aos limites de capacidade de um gerador síncrono serem dados por
meio de curvas de capacidade, cuja representação está ilustrada pela Figura
3.29.
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Figura 3.29 – Curva de capacidade de um gerador síncrono de polo liso
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta um eixo x, chamado de “MVAr”, e outro eixo y,
chamado de “MW”. Está desenhada uma semicircunferência entre esses eixos,
com origem no ponto central. Da direita para a esquerda, temos que o primeiro
limite é chamado de excitação máxima (devido ao aquecimento), ele é um pouco
inferior ao raio da circunferência. Depois, o segundo limite é chamado de corrente
máxima de armadura, também devido ao aquecimento dos enrolamentos, mas
agora ele coincide com o segundo pedaço da circunferência. Imagine que a
circunferência tenha sido cortada em um ângulo de 45º. Até uns 80º, esse limite
é válido, depois, começa o limite de potência (fonte primária). Esse limite é dado
em formato de uma reta e se localiza abaixo da circunferência. Ele vai até, mais
ou menos, um ângulo de 100º. Depois ocorre o mesmo, mas com os ângulos
crescendo depois de 90º. O primeiro limite é o da corrente máxima de armadura,
o segundo, o de estabilidade, e o terceiro, muito perto de 180º, é o da excitação
mínima. No lado positivo do eixo x, a máquina síncrona funciona como
fornecedora de reativo e, no lado negativo, ela o absorve.
Isso ocorre porque, geralmente, para resolvermos um sistema de �uxo de
potência, conhecemos as tensões desejadas nas linhas e queremos calcular
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as correntes injetadas no sistema (principalmente, no caso da potência
reativa). A geração de potência reativa obedece aos limites de aquecimento
da máquina e a de potência ativa obedece o limite de estabilidade do gerador.
Os limites de geração de potência reativa dependem dos limites de geração
da ativa (por isso, essa variável é considerada dependente). Nos problemas
reais de cálculo de �uxo de potência, os limites de potência ativa e reativa
podem oscilar entre os valores máximo e mínimo, aliás, muitas vezes
estamos interessados em encontrar o �uxo em que esses valores serão
considerados como ideias ou otimizados.
Máquinas síncronas
Os geradores utilizados para transformar uma forma de energia, geralmente
mecânica, mas também a hidráulica, a térmica e a eólica, em energia elétrica
são os geradores síncronos. Umans (2014, p. 262) de�ne uma máquina
síncrona como “aquela na qual uma corrente alternada �ui no enrolamento de
armadura e um �uxo CC de rotor é produzido por uma excitação CC no
enrolamento de campo”. Normalmente, instalamos o enrolamento de campo
no estator que, em geral,é trifásico. Os turbogeradores, com frequência,
possuem rotores cilíndricos e têm dois ou quatro polos. Já os geradores
hidrelétricos são feitos de múltiplos polos salientes.
Em SEP, temos três tipos de máquina síncrona: os geradores, os motores e os
compensadores síncronos, utilizados para compensação da energia reativa,
porque essas máquinas operam com potência ativa igual a 0, ou seja, nula. O
livro “Introdução a sistemas de energia elétrica”, escrito por Monticelli e
Garcia, de�ne o torque mecânico no eixo de uma máquina síncrona como o:
torque devido à interação de 2 campos magnéticos girantes: um
desses campos é produzido pela corrente no enrolamento de
campo que se move a uma velocidade constante (localizado no
rotor); o outro campo girante é produzido pelas correntes trifásicas
nos enrolamentos da armadura (�xos no estator) (MONTICELLI;
GARCIA, 2011, p. 157).
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A potência no eixo é calculada em termos do produto da velocidade angular,
dada por 𝜔 pelo torque. Para geradores, o torque mecânico fornece a rotação
necessária para a transformação de uma fonte de energia em elétrica. No
caso de motores, a energia elétrica fornece o torque mecânico a uma carga
movimentada pelo eixo da máquina. A Figura 3.30 ilustra o diagrama de uma
máquina síncrona.
Figura 3.30 – Esquema de uma máquina síncrona
Fonte: Michele Pozzi / Wikimedia Commons.
#PraCegoVer: a imagem apresenta um motor formado por uma estrutura
cilíndrica giratória, chamada de rotor, e uma �xa, chamada de estator. O estator
possui aletas para realizar trocas de temperatura com o meio ambiente. Esse
motor possui 12 polos com indicação de corrente saindo. O eixo do rotor é
representado por duas circunferências, sendo uma maior do que a outra. Os
polos estão representados por linhas de �uxo que os envolvem. O eixo é
representado pelo círculo menor, na cor cinza, e simboliza a potência entregue
pelo eixo.
Esses geradores, normalmente, são movidos por turbinas hidráulicas ou a
vapor. Os geradores hidráulicos são fabricados com polos salientes e
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funcionam com baixa rotação, os a vapor, por sua vez, funcionam com alta
rotação e possuem polos lisos.
Um gerador síncrono simples irá atuar como uma fonte de tensão, e sua
frequência poderá ser calculada pela velocidade do seu acionador mecânico
primário. Essa tensão será gerada de forma proporcional à velocidade de
rotação do rotor da máquina e da corrente de campo. A vantagem dos
geradores síncronos é a sua operação em paralelo, ou seja, eles podem
adicionar potência ao SEP. Como a soma da potência gerada por todos os
geradores é muito maior do que a potência adicionada por um único gerador,
chamamos de barra in�nita essa soma da potência, que irá determinar a
frequência elétrica chamada de f do sistema. No caso brasileiro, essa
frequência é igual a 60 Hz. Desse modo, essa barra determinará a tensão e a
frequência nos terminais de armadura do equipamento, o que determinará
que o �uxo magnético aconteça a partir de uma rotação que faz com que o
gerador opere em sua velocidade síncrona.
Para isso, temos que ter um conjugado unidirecional entre o estator e o rotor,
o que ocorrerá quando os seus campos girarem na mesma velocidade, ou
seja, o rotor deve possuir a mesma velocidade síncrona imposta pelo SEP.
Desse modo, vamos considerar uma máquina conectada a um barramento
in�nito. O torque de uma máquina síncrona atuando em regime permanente é
dado por:
 (Equação 3.16)
Onde:
é o �uxo resultante por pólo no entreferro;
F é a fmm (força magnetomotriz) do enrolamento CC de campo (a letra f é
oriunda do inglês �eld, que pode ser traduzida como campo);
 é o ângulo de fase elétrica entre os eixos magnéticos de e F .
e
T = ΦRFfsenδRFπ2 ( )
polos
2
2
𝛷R 
f
𝛿RF 𝛷R f
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A Equação (3.16) possui um sinal negativo, que foi propositadamente omitido
porque nos diz apenas que o sentido de atuação do conjugado fará com que
os campos �quem alinhados entre si. Portanto, quando o gerador estiver
trabalhando em condição normal e em regime permanente, esse conjugado
irá se contrapor ao conjugado mecânico aplicado ao eixo do equipamento.
Nos geradores, o conjugado irá atuar no sentido de rotação do rotor, o que
fará com que a onda da fmm esteja à frente do �uxo de entreferro resultante.
Desse modo, podemos obter um grá�co, conforme vemos pela Figura 3.31,
que ilustra a curva de conjugado de acordo com o ângulo. Nesse caso,
consideramos a corrente de campo (ou a fmm do rotor) e o �uxo no
entreferro como tendo valores constantes. Na �gura, podemos observar que
valores positivos de conjugado equivalem a um gerador, e valores negativos
do ângulo 𝛿RF equivalem a um motor, ou seja, uma mesma máquina pode
funcionar tanto como um gerador quanto como um motor.
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Figura 3.31 – Característica do conjugado x ângulo
Fonte: Umans (2014, p. 264).
#PraCegoVer: a imagem representa o eixo x, chamado de “𝛿RF” (delta minúsculo
R F), com os pontos “0”, “90º” e “180º” no lado positivo e negativo. No eixo y,
temos o torque “T”. Além disso, uma senoide é desenhada bem no meio dos
eixos, o que faz com que a parte positiva se relacione com um gerador e a
negativa com um motor. Em “0”, o torque vale “0”, em “90º”, o torque é máximo e,
em “180º”, vale “0” de novo. Os mesmos valores são obtidos, mas de forma
negativa.
Um gerador irá perder o sincronismo quando o ângulo 𝛿RF tornar-se maior
que 90º (nesse ângulo, temos o conjugado máximo em sincronismo). A partir
desse ângulo, o conjugado da máquina motriz não poderá ser contraposto
por um respectivo aumento no conjugado eletromecânico síncrono, o que
pode levar o gerador a desenvolver velocidades perigosas, por isso, uma
proteção irá desligá-lo. Isso ocorre porque a corrente de campo do
equipamento é limitada pela capacidade de refrigeração da máquina, e o
�uxo presente no entreferro é limitado pela própria saturação do ferro.
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Circuito equivalente de uma máquina
síncrona
Uma máquina síncrona, com três fases e rotor cilíndrico, está desenhada na
Figura 3.32. Ela possui dois polos e bobinas a e a’, b e b’, c e c’, que
representam enrolamentos distribuídos ao longo do rotor. Esses
enrolamentos irão produzir ondas senoidais de fmm e de densidade de �uxo
no entreferro. A corrente entrando é representada por ⊗ e a corrente saindo
por ⦿. O enrolamento composto por f e f’ ilustra o enrolamento de campo no
rotor e fará com que haja o surgimento de uma fmm de formato senoidal e de
densidade de �uxo centrada no eixo magnético.
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Figura 3.32 – Diagrama de uma máquina síncrona trifásica de rotor cilíndrico
com dois polos
Fonte: Umans (2014, p. 266).
#PraCegoVer: a imagem mostra um diagrama de uma máquina síncrona em que
o estator está representado pelo círculo maior e o rotor pelo círculo menor. Entre
o estator e o rotor, há um espaço vazio preenchido pelo ar, representado por um
círculo em branco. A �gura mostra os polos a e a’ (a linha) situados 180º um do
outro, com o pólo a situado na posição de 90º e o polo a’ situado na posição de
270º. Depois, temos os polos c’ (c linha) e c e os polos b e b’ (b linha), todos
situados 180º um do outro. Portanto, é como se tivéssemosuma circunferência
dividida em seis partes e, em cada uma das sextas partes, colocássemos um
pólo. A tensão “+ 𝑣a” (mais va) é mostrada na parte superior vertical do desenho
e a tensão “- 𝑣a” (menos va) é mostrada na parte inferior vertical. Junto com a
tensão também é mostrada a corrente “ia” (ia) entrando no ponto a e saindo do
ponto a’ (a linha). O eixo gira com uma rotação “𝜔” (letra grega ômega). Entre o
eixo magnético da fase a e o eixo magnético do rotor, há um ângulo dado por “𝜃m
= 𝜔 t + 𝜃0” (teta m é igual a ômega vezes t mais teta zero). O enrolamento
composto por f e f’ (f linha) ilustra o enrolamento de campo no rotor.
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Podemos representar os �uxos concatenados das fases de armadura a, b e c
do enrolamento de campo por meio das indutâncias e das correntes. Desse
modo, teremos que:
 (Equação 3.17)
Podemos obter, assim, as tensões induzidas pela Lei de Faraday, sendo que
dois índices iguais tipo ii representam uma indutância própria e dois índices
diferentes tipo ij indicam uma indutância mútua.
O valor da indutância própria do enrolamento de campo não irá depender da
posição do rotor, chamada de 𝜃 . Logo:
 (Equação 3.18)
Sendo que:
FF0 corresponde à porção de devido à componente espacial de �uxo de
entreferro (que pode ser obtida a partir das dimensões do entreferro e do
enrolamento);
 corresponde à porção do �uxo de dispersão devido ao enrolamento de
campo.
Se a máquina estiver trabalhando na velocidade síncrona e as correntes
forem equilibradas, o �uxo terá uma amplitude constante e será produzido
pelas correntes de armadura que estão girando em sincronismo com o rotor,
o que fará com que o �uxo não varie com o tempo. Logo ele não irá induzir
nenhuma tensão no enrolamento de campo. Se aplicarmos uma tensão CC,
de valor constante igual a , nos terminais do enrolamento de campo, a
corrente de campo será contínua e poderá ser calculada pela Lei de Ohm.
= + + +λa 𝓛aaia 𝓛abib 𝓛acic 𝓛afif
= + + +λb 𝓛baia 𝓛bbib 𝓛bcic 𝓛bf if
= + + +λc 𝓛caia 𝓛cbib 𝓛ccic 𝓛cf if
= + + +λf 𝓛faia 𝓛fbib 𝓛fcic 𝓛ff if
m
= = +𝓛ff Lff Lff0 Lfl
𝓛ff
Lfl
Vf
If
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Já as indutâncias mútuas irão variar de forma periódica com 𝜃 , que é dado
pelo ângulo elétrico entre o eixo magnético do enrolamento de campo e o
ângulo da fase a. Se a fmm e a distribuição de �uxo no entreferro tiverem a
forma de senoides, a indutância mútua entre o enrolamento de campo f e o
da fase a irá variar de forma proporcional a 𝜃 e poderá ser calculada por:
 (Equação 3.19)
É claro que esse raciocínio pode ser estendido às fases b e c, somente
teremos que substituir por e por ,
respectivamente. Como o rotor irá girar na velocidade síncrona, chamada a
partir de agora de 𝜔s, o ângulo do rotor 𝜃 será dado por:
 (Equação 3.20)
𝛿0 sendo o ângulo do rotor quando o tempo t for igual a 0.
Logo:
 (Equação 3.21)
e será a frequência elétrica;
𝛿e0 será o ângulo elétrico do rotor para o tempo t = 0.
O que nos leva a:
 (Equação 3.22)
Como o rotor da nossa máquina síncrona possui a forma cilíndrica, o valor de
𝜃m não irá depender da geometria do entreferro, o que nos leva a concluir que
as indutâncias próprias do estator terão valores constantes iguais a:
 (Equação 3.23)
sendo a componente de indutância própria devido ao �uxo espacial de
entreferro e a componente adicional devido ao �uxo disperso do
me
me
= = cos𝓛af Lfa Laf θme
θme − 120ºθme θme + 120ºθme
m
= ωst + δ0θme
= ( ) = ωet +θme polos2 θm δe0
ωe = ( )ωspolos2
= = cos(ωet + δe0)𝓛af Lfa Laf
= = = = +𝓛aa 𝓛bb 𝓛cc Laa Laa0 Lal
Laa0
Lal
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enrolamento de armadura.
Umans (2014, p. 268) a�rma que “a indutância mútua no entreferro de 2
enrolamentos idênticos deslocados de 𝛼 graus elétricos é igual à
componente de entreferro de suas indutâncias próprias multiplicadas por cos
𝛼”. E como as fases da armadura estão defasadas entre si em 120º elétricos
e cos (± 120º) = -½, as indutâncias mútuas entre as fases de armadura serão
obtidas por:
 (Equação 3.24)
Se substituirmos as Equações (3.22) e (3.24) na equação do �uxo
concatenado, teremos:
 (Equação 3.25)
Como as correntes ia, ib e ic são trifásicas e equilibradas, podemos escrever
que:
 (Equação 3.26)
Se substituirmos a Equação (3.26) na Equação (3.25), obteremos:
 
 (Equação 3.27)
Agora, podemos de�nir a indutância síncrona chamada de L como sendo:
 (Equação 3.28)
e o �uxo �cará sendo:
 (Equação 3.29)
Como a tensão nos terminais da fase a é dada pela soma da queda de tensão
obtida por Ra ia na resistência da armadura e da tensão induzida, e como a
= = = == =𝓛ab 𝓛ba 𝓛ac 𝓛ca 𝓛bc = −𝓛cb
1
2 Laa0
= ( + ) −λa Laa0 Lal ia 12 Laa0 ( + ) +ib ic 𝓛afif
+ + = 0ia ib ic
+ = −ib ic ia
= ( + ) −λa Laa0 Lal ia + =12 Laa0ia 𝓛afif
(     +   ) +32 Laa0 Lal ia 𝓛afif
s
= = +Ls 32 Laa0 Lal
= +λa Lsia Lafif
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tensão induzida pelo �uxo do enrolamento de campo é obtida da
derivada em relação ao tempo da Equação (3.29) quando a corrente de
armadura for igual a zero e considerando I a corrente de excitação CC do
enrolamento de campo, podemos escrever, a partir da Equação (3.22), que:
 (Equação 3.30)
Simpli�cando-a por meio da Equação (3.29), obteremos:
 (Equação 3.31)
A tensão possui uma frequência dada por 𝜔e, que tem a mesma
magnitude da frequência elétrica da tensão de terminal do gerador. A
amplitude e�caz dessa tensão é dada por:
 (Equação 3.32)
Como a corrente e o �uxo concatenado irão variar no tempo por meio de
formas senoidais, podemos escrever a tensão na fase a em termos das
amplitudes complexas e�cazes dadas por:
 (Equação 3.33)
sendo que é chamada de reatância síncrona da máquina.
Como:
 (Equação 3.34)
sendo que a sigla Re signi�ca a parte real do fasor. Portanto, podemos
simbolizar a tensão gerada pelo fasor:
 (Equação 3.35)
eaf
f
= ( ) =eaf
d
dt
𝓛afif −ωe sen(ωet + δe0)LafIf
𝓋a = + =Raia
d λa
dt
+ +Raia Ls
d ia
dt
eaf
eaf
=Eaf
   ωe Laf If
2√
= + j +  (motor)Va RaIa XsIa Eaf
= − − j +  (gerador)Va RaIa XsIa Eaf
= ωeXs Ls
= [     ]eaf Re 2
–√ Eaf ej tωe
eaf
= j( )Eaf
   ωe Laf If
2√
ejδe0
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O circuito equivalente para essa máquina está ilustrado pela Figura 3.33. O
sentido da corrente no circuito recebe a denominação de sentido de
referência do tipo gerador.
Figura 3.33 – Circuito equivalente de um gerador síncrono
Fonte: Umans (2014, p. 270).
#PraCegoVer: a imagem mostra o circuito equivalente de um gerador síncrono
em que uma tensão senoidal chamada de “ ” (Eaf) alimenta uma reatância
indutiva chamada de “ ” (Xs) e uma resistência de “ ” (Ra). Dessa resistência
sai uma corrente chamada de “ ” e, nesse ponto, é representada a tensão “ ”.
Agora, o circuito equivalente para a máquina síncrona, ilustrando as
componentes de entreferro e de dispersão para a reatância síncrona e a
tensão de entreferro, é mostrado na Figura 3.34.
Ia
Eaf
Xs Ra
Ia Va
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Figura 3.34 – Circuito equivalente de um gerador síncrono com as
componentes de entreferro e de dispersão para a reatância síncrona e a tensão
de entreferro
Fonte: Umans (2014, p. 271).
#PraCegoVer: a imagem mostra o circuito equivalente de um gerador síncronoem que uma tensão senoidal chamada de “E ” (Eaf) alimenta uma reatância
indutiva chamada de “X ” (X �). Nesse ponto, é referenciada uma tensão
chamada de “Er”. Essa reatância indutiva “X ” (X �) está ligada a outra reatância
indutiva chamada de “X ” (Xal) e uma resistência de “R ” (Ra). Depois da
resistência, é marcada a tensão “V ” (Va).
Isso nos leva a escrever a Equação (3.33) como sendo:
 (Equação 3.36)
onde é a reatância de dispersão da armadura;
 é a reatância correspondente ao �uxo girante no
entreferro produzido pelas três correntes de armadura. Essa reatância X é
chamada de reatância de magnetização efetiva do enrolamento de armadura.
O mesmo raciocínio pode ser estendido para as fases b e c, basta que os
ângulos sejam deslocados em , respectivamente. A
af
𝜑
𝜑
al a
a
= ωe = ωe + ωe (   ) =Xs Ls Lal 32 Laa0 +Xal Xφ
= ωeXal Lal
= ωe (   )Xφ 32 Laa0
𝜑
−120º e  + 120º
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potência trifásica total é dada pela potência da fase a multiplicada por 3. Nas
análises em pu, utilizamos a potência total trifásica como a potência da fase
a.
Gerador subexcitado
Em SEP, utilizamos os dados de um gerador síncrono em termos de sua
potência (geralmente em kVA ou MVA). Esses valores são fornecidos para
situações em que a máquina opera de forma contínua e sem
superaquecimento (o superaquecimento diminui a vida útil do equipamento),
em que também são fornecidos os valores de tensão e fator de potência, por
exemplo, cos 𝜑 = 0,8; 0,85 ou 0,9 atrasado (porque esses geradores são
fabricados com indutores). Esses equipamentos operam com valores de
tensão variando entre ± 5% da tensão nominal.
Como conhecemos os valores da potência ativa e da carga, e a tensão tem
seu valor considerado �xo, a potência reativa do gerador vai variar dentro de
limites dados pelo aquecimento dos enrolamentos da armadura ou do
enrolamento de campo. Por isso que um gerador é apresentado na forma de
curvas de capacidade, porque seus valores são simulados para diferentes
valores de carregamento máximo de potências reativas, conforme ilustrado
pela Figura 3.35.
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Figura 3.35 – Diferentes tipos de curva de capacidade para um turbogerador,
refrigerado com H e cos 𝜑 = 0,85. A relação de curto-circuito desse
equipamento é igual a 0,80 e a potência de base foi feita para a pressão de 0,5
psig de H
Fonte: Umans (2014, p. 271).
#PraCegoVer: a imagem mostra, no eixo x, a potência por unidade de um
turbogerador e, no eixo y, a potência reativa por unidade (indutiva). O eixo x varia
de 0 a 1,3 em graduações de 0,1 e o eixo y varia de 0 a 1,1, também em
graduações de 0,1. A primeira curva é dada para um aquecimento de campo de
“0,5 psig H ” (Hidrogênio), a segunda curva é dada para um aquecimento de
campo de “15 psig H ” e a terceira curva é dada para um aquecimento de campo
de “30 psig H2” (Hidrogênio). O fator de potência varia de 0,98; 0,95; 0,90 e é uma
reta em 0,85 (a referência do grá�co), depois ele cai para 0,80; 0,75 e 0,70. O
limite de aquecimento do campo é limitado por “psig” e o limite de aquecimento
de armadura é limitado pelo “fator de potência”.
Assim, o fator limitante para o fornecimento de um alto valor de potência
reativa será o aquecimento do enrolamento de armadura. Da mesma forma
que, para valores de potência reativa muito baixos, o aquecimento do
enrolamento de campo será o fator limitante.
2
2
2
2
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A potência desse gerador será dada por:
 (Equação 3.37)
sendo P a potência ativa, dada em valores pu, e Q a potência reativa, também
fornecida em valores pu. Baseado na análise da Figura 3.34 e da Equação
(3.37), podemos perceber, segundo Umans (2014, p. 295), que “a potência
aparente constante corresponde a um círculo cujo centro está na origem do
grá�co versus a potência ativa”. Além disso, podemos observar que a
potência aparente poderá ser obtida por um valor constante, que irá
corresponder a uma corrente dada pelo enrolamento de armadura de valor
constante, o que resultará em um aquecimento do enrolamento de armadura,
também de valor constante. Esse círculo é retratado na Figura 3.36.
S = =VaIa   +  P
2  Q2
− −−−−−−−
√
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Figura 3.36: Passo a passo utilizado para obtermos a curva de capacidade de
um gerador síncrono
Fonte: Umans (2014, p. 295).
#PraCegoVer: a imagem mostra um grá�co em que o eixo x é chamado de “P” e o
eixo y de “Q”. Nesse grá�co, é desenhada a parte direita de um semicírculo. O
ponto inicial mais embaixo do semicírculo é dado por “ ” (menos Va elevado
ao quadrado dividido por Xs). Desse ponto, parte um vetor que passa pelo eixo
“P” e para em um ponto do eixo Y, que vai indicar o valor nominal da máquina.
Quando esse ponto se conectar com a projeção do eixo x, o raio que sai do eixo y
é chamado de “limite do aquecimento do campo”. O raio desse vetor é dado por “
” (Va vezes Eaf dividido por Xs). O limite de aquecimento da armadura sai
do ponto (0,0) e é formado por um vetor que vai até uns -30º do eixo P. O raio
desse vetor é dado por “Va Ia” (Va vezes Ia).
Agora, vamos considerar que a tensão do terminal tenha um valor constante
e que a corrente de campo e a tensão gerada E sejam limitadas a um valor
máximo, que será de�nido por meio de limites de aquecimento do
enrolamento de campo. Desse modo, teremos:
 (Equação 3.38)
−  
V 2a
Xs
 Va Eaf
Xs
af
P − jQ = VaIa
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Adotando , vamos obter:
 (Equação 3.39)
Dessa forma, teremos:
 (Equação 3.40)
A Equação (3.40) equivale ao círculo centrado em “ ” na Figura
3.35, que vai determinar o limite de aquecimento do enrolamento de campo.
Além disso, temos outras limitações, como quando consideramos a potência
reativa menor do que 0, ou seja, Q < 0, o que faz com que essas limitações
estejam relacionadas com o aquecimento nas regiões terminais do núcleo do
estator quando um gerador estiver operando em condições de subexcitação.
Uma família de curvas V para um gerador síncrono pode ser vista na Figura
3.36, considerando várias cargas de potência ativa. Desse modo, podemos
controlar o fator de potência com que uma máquina irá operar por meio da
potência ativa da carga e da tensão nominal do gerador. Isso é feito
ajustando-se o valor da corrente de armadura por meio da excitação do seu
campo. As linhas tracejadas na Figura 3.36 indicam locais de fator de
potência constante, chamadas de curvas compostas, e é por meio delas que
podemos saber o valor de variação da corrente de campo para mantermos o
fator de potência constante.
Umans (2014, p. 297) a�rma que “pontos à direita da curva composta de fator
de potência unitário correspondem a uma sobre-excitação e a fator de
potência atrasado, pontos à esquerda correspondem a uma subexcitação e
fator de potência adiantado”. Assim, em um motor, os locais referentes ao
fator de potência adiantado e atrasado seriam trocados com os locais
referenciados na Figura 3.37.
= 0Ra
= + jEaf Va XsIa
P2 + =(Q  +   )V
2
a
Xs
2
( ) Va Eaf
Xs
2
Q = −( )V
2
a
Xs
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Figura 3.37 – Formas típicas das curvas V para um gerador síncrono
Fonte: Umans (2014, p. 297).
#PraCegoVer: a imagem mostra várias curvas V para um gerador síncrono. O eixo
x é chamado de “corrente de campo” e o eixo