SISTEMAS DE POTÊNCIA Ebook unidade 2

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SISTEMAS DE POTÊNCIASISTEMAS DE POTÊNCIA
LINHAS DELINHAS DE
TRANSMISSÃOTRANSMISSÃO
CURTAS, MÉDIAS ECURTAS, MÉDIAS E
LONGASLONGAS
Au to r ( a ) : M a . R a f a e l a F i l o m e n a A l ve s G u i m a rã e s
R ev i s o r : A l i n e Fra g a
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Introdução
Olá, estudante! Neste material, vamos estudar a capacitância, parâmetro
utilizado na simulação de linhas médias e longas em um Sistema Elétrico de
Potência (SEP), por meio da adoção do modelo 𝜋 (pi) nominal, nome dado à
forma que a linha de transmissão assume e que lembra o formato do símbolo
𝜋.
Depois, vamos estudar os três tipos de linhas de transmissão que podemos
encontrar em um SEP, a saber: linhas curtas, médias e longas; e a forma de
classi�car e representar cada um desses tipos de linha.
O equacionamento matemático vai �cando mais trabalhoso partindo das
linhas curtas e chegando nas linhas longas. As linhas de transmissão em
Corrente Alternada (CA), classi�cadas como longas, são linhas com
distâncias de até 600 ou 800 km, porque, a partir dessa distância, a
transmissão em Corrente Contínua (CC) torna-se mais vantajosa. O
equacionamento das linhas longas exige o conhecimento de funções
trigonométricas hiperbólicas que, geralmente, só são encontradas em
calculadoras grá�cas, como as HPs 50G, ou similares, ou em softwares de
resolução matemática, como o MatLAB (Matrix Laboratory). Na HP 50G, a
função hiperbólica pode ser acessada em TRIG (seta laranja seguida do
número 8 — é a primeira função no TRIG MENU).
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Você sabia que capacitância é o parâmetro que se origina em função da
tensão entre os condutores? Essa tensão faz surgir uma diferença de
potencial entre os condutores de uma linha, que começam a funcionar como
se fossem um capacitor. Esse parâmetro varia em função da distância e do
tamanho das linhas de transmissão, tornando-se essencial na simulação de
linhas longas, linhas maiores do que 240 km e menores do que 600 a 800 km.
Mas, para linhas curtas, que são de�nidas como linhas de transmissão com
uma extensão menor do que 80 km ou 100 km, esse efeito pode ser
desprezado. Em linhas médias, de�nidas como linhas variando entre 80 e 100
e 240 e 300 km (essa classi�cação muda conforme alguns autores), esse
efeito deve ser considerado.
Campo elétrico em um condutor
O campo elétrico é um importante fator de in�uência no cálculo da
capacitância, assim como ocorre com o campo magnético no cálculo da
indutância. A indutância in�uencia a capacidade de transmissão da potência
ativa (que pode ser de�nida como a responsável pela realização do trabalho,
Parâmetros de
linhas de
transmissão:
capacitância
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ou da transformação da energia elétrica em outra forma de energia) e a
capacitância vai in�uenciar a potência reativa (responsável por manter o
campo girante das máquinas funcionando ou acumular energia, para que o
equipamento possa vencer a situação de inércia ou repouso).
O campo elétrico tem origem no polo positivo, representado por uma carga
positiva e vai em direção ao polo negativo, representado por uma carga
negativa. Esse campo cria uma densidade de �uxo elétrico e sua unidade é o
coulomb por metro quadrado (C /m2 ).
O campo elétrico é regido pela lei de Gauss, que estabelece que o �uxo total
através de uma superfície fechada, denominada por s, é igual ao total de
carga elétrica existente no interior dessa superfície. Ao colocarmos um cabo
elétrico em um meio como o ar, por exemplo, se esse cabo estiver conectado
a uma fonte, aparecerá uma carga uniforme em seu comprimento com o
�uxo em forma de círculos concêntricos, ou seja, em todos os pontos do
círculo teremos a mesma distância do condutor (dada pelo raio) e esse
condutor estará em um mesmo potencial de tensão (essa superfície cilíndrica
é chamada de superfície de pontos equipotenciais), o que resulta que todos
esses pontos tenham a mesma densidade de �uxo elétrico.
Agora imagine que esse círculo esteja a uma distância de x metros do centro
do condutor. Logo, a densidade do �uxo elétrico sobre essa superfície
equipotencial será igual ao �uxo que sairá do condutor por metro de
comprimento, dividido pela área da superfície contida em um comprimento
cilíndrico com raio de um metro. A densidade de �uxo elétrico será obtida por
meio da equação:
D =
q
2 π x (C /m
2) (Equação 2.1)
Em que q é a carga no condutor em C/m de comprimento e x é a distância em
metros do centro do condutor até o ponto onde deve ser calculada a
densidade de �uxo elétrico. Essa carga, seu condutor e a distância x estão
representados na Figura 2.1.
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Figura 2.1 — Linhas de campo elétrico com origem na carga positiva q. Essas
linhas estão distribuídas de forma uniforme sobre a superfície de um condutor
isolado
Fonte: Adaptada de Machen / Wikimedia Commons.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma superfície equipotencial relacionada a
uma carga q. Essa superfície está a uma distância x da carga q. As linhas de
campo elétrico, representadas pela letra E, saem da carga q e vão até a distância
x, formando um círculo. Depois, essas linhas ultrapassam o círculo, dando a ideia
de que esse campo elétrico continua formando outras superfícies equipotenciais.
A intensidade de campo elétrico é igual à densidade de �uxo elétrico dividida
pela permissividade do meio. No Sistema Internacional de Unidades, a
permissividade do meio adotado como o mais comum é o ar e, nesse caso,
𝜀 = 1, 00; já que a permissividade do vácuo k0 é igual a 8, 85x10 − 12 F/m e a
permissividade relativa é obtida por meio da fórmula k = k/k . Para o ar seco,
k = 1,00054, mas, muitas vezes, consideramos mesmo que 𝜀 = 1, 00.
Logo, a intensidade do campo elétrico será obtida por meio da equação:
𝛿 =
q
2 π x ε (V /m) (Equação 2.2)
r 0
r
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Diferença de potencial entre dois
pontos devido a uma carga
O trabalho realizado para mover uma carga q do ponto de potencial mais
baixo, chamado de P1, para o ponto de potencial mais alto, chamado de P2, é
dado pela integral de linha de força em newtons que age sobre essa carga
positiva q igual a um coulomb colocada entre esses dois pontos. Agora
imagine que esses pontos P1 e P2 estão afastados de uma distância dada por
D1 e D2 metros do centro do �o e que esse �o seja reto e longo.
Suponha, então, que é necessário mover essa carga de um ponto para outro:
caso essas cargas sejam opostas, elas atraem-se e, se forem iguais, elas
repelem-se. Esse deslocamento entre os pontos P1 e P2 é feito mediante a
realização de trabalho dado em N.m. A diferença de potencial entre P até P
é independente do caminho percorrido. Se realizamos trabalho, é porque uma
parcela de energia elétrica foi transformada, devido a uma queda de tensão
instantânea entre os pontos 1 e 2 dada por:
𝓋12 = ∫D2D1
 δ dx = ∫D2D1
q
2 π k x dx = 
q
2 π k ln 
D2
D1
 (V) (Equação 2.3)
Em que q é a carga instantânea em um condutor, dada em C/m de
comprimento. Logicamente, essa rede de energia também poderá receber
trabalho (nesse caso, teremos a presença de reativos e, para isso, o
deslocamento deve ocorrer no sentido contrário, do ponto P para o ponto
P ).
Capacitânciade uma linha a dois fios
A capacitância de uma linha de transmissão formada por dois �os será
obtida pela divisão da carga em C/m por meio da queda de tensão entre
esses dois �os, sendo representada por:
C =
q
v (V /m) (Equação 2.4)
1 2
2
1
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Em que:
Stevenson Junior (1986) a�rma, em seu livro intitulado “Elementos de análise
de sistemas de potência”, que:
Podemos obter a capacitância entre dois condutores substituindo
na equação (2.4) o valor de v em função do valor de q dado pela
equação (2.3). A tensão vab entre os dois condutores da linha a dois
�os pode ser obtida determinando a diferença de potencial entre
estes 2 condutores, calculando 1º a queda de tensão devida à carga
qa do condutor a depois a queda de tensão devido à carga qb do
condutor b. Pelo princípio da superposição, a queda de tensão entre
o condutor a e o condutor b, devida à carga dos dois condutores, é a
soma das quedas de tensão devidas a cada um deles (STEVENSON
JUNIOR, 1986, p. 74).
Agora vamos considerar a carga qa do condutor a. Vamos admitir, também,
que o condutor b está descarregado e que esse condutor é simplesmente
uma superfície equipotencial no campo elétrico criado pela carga do
condutor a. A distorção das superfícies equipotenciais nas proximidades do
condutor b será causada pelo fato de o condutor b ser também parte de uma
superfície equipotencial. Essa distorção está ilustrada na Figura 2.2 de uma
forma “exagerada”, para �car clara a in�uência que outra carga provoca em
um campo elétrico.
q é a carga sobre a linha (em C/m);
 
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Figura 2.2 — O condutor a, representado em vermelho, provoca uma distorção
no campo elétrico do condutor b (com cargas negativas)
Fonte: Geek3 / Wikimedia Commons.
#PraCegoVer: a imagem apresenta a distorção que uma carga negativa provoca
no campo elétrico gerado por uma carga positiva. Do lado esquerdo, podemos ver
linhas equipotenciais e, do lado direito, podemos ver linhas distorcidas, ou seja,
que não seguem um padrão concêntrico. Essas linhas aproximam-se da carga
negativa por meio de linhas de campo elétricas com distâncias diferentes, e essa
distância aumenta conforme aumenta a distância entre as cargas.
Quando a Equação 2.3 foi deduzida, as superfícies que estavam em um
mesmo potencial, por causa da carga que estava distribuída de maneira
uniforme, foram adotadas como cilíndricas e consideradas concêntricas ao
raio do condutor. Essa consideração só não pode ser feita quando se está
muito próximo do condutor b. Para chegar à carga b, pode-se partir da carga a
e, por meio de superfícies de mesmo potencial, ir caminhando por meio
dessas superfícies até chegar em b. O valor da tensão νab será o mesmo, não
importando o caminho que se adotar.
Seguindo o caminho pela região sem distorção, vê-se que as distâncias
correspondentes a D2 e D1 da Equação 2.3 serão, respectivamente, D e ra, na
determinação de νab, devido a qa. Da mesma forma, na determinação νab
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devido a qb, as distâncias correspondentes a D2 e D1 da Equação 2.3 serão rb
e D. Agora vamos converter essa equação para a notação fasorial (em que qa
e qb serão representados por números complexos).
Vab =
qa
2 π k ln 
D
ra
 + 
qb
2 π k ln 
rb
D (V) (Equação 2.5)
Como consideramos uma linha como o retorno da outra, então, qb = − qa.
Desse modo, podemos escrever que a tensão Vab em notação fasorial será
igual a:
Vab =
qa
2 π k ln 
D
ra
 − ln 
rb
D (V) (Equação 2.6)
Se essa equação for rearranjada, obtém-se:
Vab =
qa
2 π k ln
D2
ra rb
(V) (Equação 2.7)
Portanto, a capacitância entre esses condutores será obtida por:
Cab =
qa
Vav
=
2 π k
ln 
D2
ra rb
(F /m) (Equação 2.8)
Se considerarmos que ra = rb = r, teremos:
Cab =
qa
Vab
=
 π k
ln 
D
r
(F /m) (Equação 2.9)
A Equação 2.9 fornece a capacitância entre os condutores a e b de uma linha
a dois �os. Agora vamos calcular a capacitância entre um desses condutores
e um ponto neutro, localizado entre eles.
( )
( )
( )
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A capacitância em relação ao neutro para uma linha de transmissão a dois
�os é o dobro da capacitância obtida para a relação entre os condutores.
Cn = Can = Cbn =
2 π k
ln 
D
r
(F /m) ao neutro (Equação 2.10)
A Equação 2.10 corresponde à equação para a indutância, lembrando que o
raio aqui é o raio real do condutor (já que não temos o efeito das mútuas na
capacitância).
As Equações 2.5 e 2.10 foram deduzidas a partir da Equação 2.3, equação
esta baseada na suposição que existe uma distribuição uniforme de carga
sobre a superfície do condutor. Mas a Equação 2.3 não será válida quando
estiverem presentes outras cargas, porque, nesse caso, como pudemos
observar na Figura 2.2, a distribuição de carga sobre a superfície do condutor
não será mais uniforme, o que fará com que as equações deduzidas a partir
da Equação 2.3 não sejam mais precisamente corretas. O bom é que esse
erro pode ser desprezado porque representa somente 0,01% do valor total,
mesmo se um condutor estiver afastado um do outro por meio de distâncias
D/r iguais a 50.
Precisamos corrigir o valor obtido por meio da Equação 2.10 porque os cabos
utilizados em linhas de transmissão são cabos encordoados (ou seja, eles
são formados por uma soma de vários cabos mais �nos trançados). Esse
fator também é muito pequeno e pode ser desprezado, portanto podemos
utilizar a mesma Equação 2.10 para calcular o valor da capacitância entre a
fase e o neutro, pois essa equação também é válida para cabos encordoados.
A Equação 2.10 foi obtida para uma permissividade relativa igual a k = 1.
Podemos agora utilizar a mesma capacitância para calcular o valor da
reatância capacitiva, ou seja, podemos escrever que:
XC =
1
2 π f C =
2 , 862
f x10
9ln
D
r (Ω. m) ao neutro (Equação 2.11)
( )
r
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Sendo o valor C na Equação 2.11 dado em farad por metro (F/m), a unidade
apropriada para XC será ohm-metro (Ω.m). Devemos, também, notar que a
Equação 2.11 representa a reatância ao neutro para um metro de linha.
Dividindo a Equação 2.11 por 1,609, podemos obter o valor da reatância
capacitiva em Ω-milhas:
XC =
1 , 779
f x10
6ln
D
r (Ω.milhas) ao neutro (Equação 2.12)
Capacitância de uma linha trifásica
com espaçamento simétrico
Vamos considerar agora uma linha de transmissão formada por três
condutores instalados de forma simétrica, conforme ilustrado na Figura 2.3,
ou seja, esses condutores foram dispostos no formato de um triângulo, em
que os lados desse triângulo são todos iguais (triângulo equilátero). A
Equação 2.5 representa a tensão entre dois condutores a e b, devido à carga
em cada um deles, logo, 𝓋ab será igual a:
Vab =
1
2 π k qa ln 
D
r + qb ln 
r
D (Equação 2.13)( )
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Figura 2.3 — Seção transversal de uma trifásica com espaçamento equilátero
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma linha com os cabos a, b e c, dispostos
em formato de um triângulo equilátero, em que todos os vértices estão afastados
uns dos outros com uma mesma distância igual a D. A linha a está posicionada à
esquerda; a linha b, em cima; e a linha c, à direita.
Se incluirmos o efeito de qc a partir da Equação 2.3, vamos ter que a tensão
Vab, devido à carga nafase c, será obtida por meio da equação:
Vab =
qc
2 π k ln
D
D (V) (Equação 2.14)
Que será igual a zero, pois qc estará localizado a uma distância equivalente
dos condutores a e b e, como ln 1 = 0, essa equação terá como resultado o
zero. Mas, se quisermos ter uma melhor precisão matemática nesse cálculo,
teremos que veri�car o efeito das três fases, ou seja:
Vab =
1
2 π k qa ln 
D
r + qb ln 
r
D + qc ln 
D
D (V) (Equação 2.15)
Essa equação também pode ser reescrita por:
( )
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Vac =
1
2 π k qa ln 
D
r + qb ln 
D
D + qc ln 
D
r (V) (Equação 2.16)
Se somarmos a Equação 2.16 à Equação 2.15, teremos:
Vab + Vac =
1
2 π k 2 qa ln 
D
r + qb + qc ln 
r
D (V) (Equação 2.17)
Nesses cálculos, não consideramos o efeito da terra, pois estamos adotando
que a terra está localizada a uma grande distância das nossas três linhas
trifásicas. Passando esses valores para a notação feita por meio de fasores e
substituindo qb + qc por – qa na Equação 2.17, obtemos:
Vab + Vac =
3 qa
2 π k ln
D
r (V) (Equação 2.18)
As relações entre as tensões de fase e linha são dadas por:
Vab = √3 Van(0, 866 + j0, 5)
Vac = − Vca = √3Van(0, 866 − j0, 5) (Equação 2.19)
Somando as equações dadas por meio da Equação 2.19, teremos:
Vab + Vac = 3Van (Equação 2.20)
Agora podemos substituir a Equação 2.20 na Equação 2.18, o que resultará
em:
Van =
qa
2 π k ln
D
r (V) (Equação 2.21)
Se lembrarmos a de�nição de capacitância em relação ao neutro, que é dada
pelo quociente de uma carga em um condutor pela queda de tensão entre
aquele condutor e o neutro, teremos:
( )
[ ( ) ]
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Can =
qa
Van
=
2 π k
ln 
D
r
F /m para o neutro (Equação 2.22)
Se compararmos as Equações 2.22 e 2.10, podemos observar que as duas
são idênticas. Elas representam a capacitância em relação ao neutro de
linhas trifásicas com espaçamento simétrico e a capacitância para linhas
monofásicas, respectivamente.
Podemos utilizar o termo “corrente de carregamento” quando nos referirmos
à corrente que é fruto da capacitância da linha. Se esse circuito for
monofásico, essa corrente de carregamento será obtida pelo produto da
tensão da linha pela susceptância linha-linha, matematicamente
representado por:
Ichg = j𝜔CabVab (Equação 2.23)
Para uma linha trifásica, a corrente de carregamento é obtida multiplicando a
tensão de fase pela susceptância capacitiva, só que agora relacionada ao
neutro. Logo, essa corrente de carregamento para a fase a será dada por:
Ichg = j𝜔CnVanA /mi (Equação 2.24)
Como a tensão de alimentação dos circuitos elétricos é feita na forma de
senoides, o valor instantâneo de 𝓋an varia, por isso, na maioria das vezes,
utilizamos o valor e�caz da tensão ou o valor nominal da tensão da linha,
como 230 ou 440 kV, por exemplo.
Capacitância de uma linha trifásica
com espaçamento assimétrico
Esses valores variam de acordo com a distância entre as linhas a, b e c, que
mudam de forma aleatória. Para diminuirmos essa assimetria, utilizamos a
técnica da transposição das linhas. Assim, essa assimetria pode ser
( )
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reduzida. Outra vantagem é que, mesmo que a linha não possa ser
transposta, o erro de cálculo encontrado será insigni�cante, o que faz com
que, muitas vezes, seja possível desprezar as assimetrias presentes nas
linhas de transmissão.
Agora vamos obter as três equações de Vab para as três posições diferentes
no ciclo de transposição, conforme ilustrado na Figura 2.4. Com a fase a na
posição 1, a fase b na posição 2 e a fase c na posição 3, temos:
Vab =
1
2 π k qa ln 
D12
r + qb ln 
r
D12
 + qc ln 
D23
D31
 (Equação 2.25)
Figura 2.4 — Seção transversal de uma trifásica com espaçamento assimétrico
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma linha com os cabos a, b e c, dispostos
em formato de um triângulo, com todos os lados diferentes. A distância entre os
cabos 1 e 2 é representada por D12, a distância entre os cabos 1 e 3 é
representada por D31 e a distância entre os cabos 2 e 3 é representada por D23. O
cabo 1 está posicionado à esquerda, o cabo 2, em cima, e o cabo 3, à direita.
Com a fase a na posição 2, a fase b na posição 3 e a fase c na posição 1:
[ ]
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Vab =
1
2 π k qa ln 
D23
r + qb ln 
r
D23
 + qc ln 
D31
D12
 (Equação 2.26)
E, com a fase a na posição 3, a fase b na posição 1 e a fase c na posição 2:
Vab =
1
2 π k qa ln 
D31
r + qb ln 
r
D31
 + qc ln 
D12
D23
 (Equação 2.27)
As Equações 2.25 a 2.27 são semelhantes às equações que podem ser
obtidas para enlaces de �uxo de um condutor instalado em uma linha
transposta. Entretanto, nas equações para os enlaces de �uxo, notamos que
a corrente em qualquer das fases é a mesma em qualquer parte do ciclo de
transposição. Nas Equações 2.25 a 2.27, esse mesmo princípio pode ser
aplicado se desconsiderarmos a queda de tensão ao longo da linha, pois,
desse modo, a tensão obtida em relação ao neutro de uma fase, em um dado
trecho do ciclo de transposição, será igual à tensão obtida até o neutro dessa
mesma fase em outro trecho qualquer, mas que faça parte do mesmo ciclo
de transposição. Logo, podemos a�rmar que a queda de tensão entre dois
condutores quaisquer será a mesma em todas as partes do ciclo de
transposição.
Essa solução pode ser utilizada para os espaçamentos e para os condutores
usuais, obtendo-se precisão su�ciente, apenas se supormos que a carga por
unidade de comprimento da linha seja a mesma em qualquer seção do ciclo
de transposição. Quando elaboramos esse raciocínio em relação à carga,
precisamos levar em consideração que a diferença de potencial entre um par
de condutores terá um valor diferente a cada transposição. O que permite
calcular o valor médio das tensões por meio de operações de adição e
divisão das Equações 2.25 a 2.27.
Portanto a diferença de potencial média entre os condutores a e b,
considerando que eles terão uma mesma carga sobre um condutor, de forma
que não iremos depender da posição que estivermos considerando na
transposição dessas linhas, será igual a:
[ ]
[ ]
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Vab =
1
6 π k
qa ln 
D12 D23 D31 
r3
 + qb ln 
r32 
D12 D23 D31 
 + qc ln 
D12 D23 D31 
D12D23 D31 
 =
1
2 π k qa ln 
Deq 
r + qb ln 
r 
Deq 
 (V) (Equação 2.28)
Em que:
Deq =
3
D12 D23 D31 (Equação 2.29)
Equivalentemente, podemos calcular a queda de tensão entre o condutor a e
o condutor c por meio da fórmula:
Vac =
1
2 π k qa ln 
Deq 
r + qb ln 
r 
Deq 
 (V) (Equação 2.30)
Aplicando a Equação 2.21 para calcular o valor da tensão em relação ao
neutro, teremos:
3Van = Van + VaC =
1
2 π k 2 qa ln 
Deq 
r + qb ln 
r 
Deq 
 + qc ln 
r 
Deq 
 (V) (Equação
2.31)
Já sabemos que qa + qb + qc = 0 em um circuito equilibrado. Desse modo,
podemos obter:
3Van ==
3
2 π kqaln
Deq 
r (V) (Equação 2.32)
E:
[ ]
[ ]
√
[ ]
[ ]
22/11/2023, 00:30 E-book
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Cn ==
qa 
Van 
=
2 π k
ln 
Deq
r
(V) (Equação 2.33)
A Equação 2.33 para a capacitância ao neutro de uma linha trifásica
transposta corresponde à equação para a indutância por fase de uma linha
semelhante.
Cabos múltiplos
Para uma linha de cabos múltiplos, devemos considerar as cargas em todos
os seis condutores individuais. Vamosconsiderar o circuito representado
pela Figura 2.5, em que temos três cabos separados. Nesse caso, vamos
considerar a carga nos seis condutores, no condutor um e no seu espelho ou
na sua imagem. Também vamos adotar o mesmo procedimento para os
condutores dois e três.
( )
22/11/2023, 00:30 E-book
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Figura 2.5 — Linha de cabos múltiplos representada pelo método das imagens
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma linha, com os cabos a, b e c e suas
imagens, chamadas de a’, b’ e c’, a uma distância d. A distância entre as linhas a e
b é representada por D12, a distância entre as linhas b e c é representada por D23
e a distância entre as linhas a e c é representada por D31. Essas distâncias são
muito maiores que o valor de d.
Os condutores de cada cabo estão em paralelo e são formados por a e a’, b e
b’ e c e c’, por isso vamos considerar que a carga por cabo irá dividir-se de
forma igualitária, já que esses cabos �cam afastados entre si mais de quinze
vezes a distância entre as fases, o que leva a concluir que as distâncias D12,
D23 e D31 serão muito maiores do que o valor da distância d. Esse raciocínio
fará com que possamos substituir as expressões mais exatas obtidas no
cálculo de Vab pelas distâncias entre os centros dos cabos múltiplos.
Podemos demonstrar que até quando utilizarmos cinco ou seis algarismos
signi�cativos nos cálculos eles não resultam em diferenças signi�cativas nos
resultados �nais.
22/11/2023, 00:30 E-book
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Se a carga na fase a for qa, cada um dos condutores a e a’ terá uma carga
igual a qa /2; e essa constatação pode ser estendida para as fases b e c.
Então:
Vab =
1
2 π k
qa
2 ln 
D12 
r + ln 
D12 
d +
qb
2 ln 
r 
D12 
+ ln 
d 
D12 
+
qc
2 ln 
D23 
D31
+ ln 
D23 
D31 
 (V)     
(Equação 2.34)
As letras sob cada termo logarítmico indicam o condutor cuja carga está
sendo considerada. Se combinarmos os termos, teremos:
[ ( ) ( ) ( )]
22/11/2023, 00:30 E-book
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Vab =
1
2 π k qa ln 
D12 
√rd
+ qb ln 
√rd 
D12 
 + qc ln 
D23 
D31 
 (V) (Equação 2.35)
A Equação 2.35 é semelhante à Equação 2.27, com exceção da substituição
de r por √rd. Se estendermos esse raciocínio e considerarmos que a linha
seja transposta, �caremos com:
Cn ==
2 π k
ln 
Deq
√rd
F /m para o neutro (Equação 2.36)
O termo √rd é equivalente a Dbg para um cabo múltiplo de dois condutores,
exceto pela substituição de D por r. Por essa razão, podemos concluir que é
possível utilizar o método DMG modi�cado para calcular o valor da
capacitância de uma linha trifásica de cabos múltiplos, se essa linha tiver
dois condutores por fase. A modi�cação consiste no uso do raio externo no
lugar do RMG de um condutor. O termo DMG é chamado de Distância Média
Geométrica e o termo RMG é o Raio Médio Geométrico.
Podemos expandir essa conclusão e aplicá-la em outras con�gurações de
cabos múltiplos. Se usarmos a notação DbsC para o RMG modi�cado,
podemos realizar os cálculos de capacitância de forma distinta da obtida
para o Dbg , mas baseada no mesmo princípio. Portanto, teremos:
Cn ==
2 π k
ln 
Deq
DbsC
F /m para o neutro (Equação 2.37)
Se as linhas forem formadas por cabos múltiplo de dois condutores, teremos:
DbsC =
4
√ (r x d)2 = √r d (Equação 2.38)
( )
( )
g
( )
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Se, em vez disso, essas linhas de transmissão tiverem cabos múltiplos de
três condutores, o cálculo será:
DbsC =
9
√ (r x d x d)3 =
3
√r d2 (Equação 2.39)
E, para um cabo múltiplo de quatro condutores, obteremos:
DbsC =
16
r x d x d x d x 21 / 2 4 = 1, 09
4
√r d3 (Equação 2.40)
Desse modo, podemos calcular a distância média geométrica para qualquer
composição das linhas de transmissão. A capacitância é utilizada para
representar as linhas médias e longas e é desconsiderada no cálculo das
linhas curtas.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Nas linhas de transmissão em adição às perdas de potência, devido a I2R na
resistência série, existe uma pequena perda de energia, devido à corrente
de fuga �uindo através do isolador. Esse efeito é ampli�cado devido ao
efeito corona, no qual o ar próximo aos condutores é ionizado e um som
sibilante pode ser escutado sob clima nebuloso e enevoado. O problema do
efeito corona pode ser evitado incrementando-se o tamanho do condutor e
pelo uso do condutor agrupado. Essas perdas podem ser representadas
colocando-se uma condutância G em derivação (shunt) com a capacitância,
√( )
22/11/2023, 00:30 E-book
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pois tais perdas dependem aproximadamente do quadrado da tensão.
Entretanto essas perdas são insigni�cantes e, por conseguinte, será
negligenciada a presença de G.
MOHAN, N. Sistemas elétricos de potência: curso introdutório. Tradução
de Walter Denis Cruz Sanchez. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
Figura — Representação de uma linha de transmissão em forma de um
triângulo
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem mostra a representação de uma linha de
transmissão em forma de um triângulo, com dois lados de 6 m, e o outro
lado de 10 m. Os cabos estão �xados nas extremidades do triângulo.
A �gura acima representa uma linha de transmissão com os cabos distantes
entre si de 6, 6 e 10 m, respectivamente. Essa linha tem um raio médio
geométrico, dado por Ds = 0, 01295m. Baseando-se nessas informações,
calcule a capacitância em relação ao neutro dessa linha. Considere
k = 8, 85x10 − 12.
O valor da capacitância em relação ao neutro está contido no intervalo
entre:
22/11/2023, 00:30 E-book
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a) 0 < Cn ≤ a2pF /m.
b) 2 < Cn ≤ a4pF /m.
c) 4 < Cn ≤ a6pF /m.
d) Maior do que 8 pF/m.
e) 6 < Cn ≤ a8pF /m.
Cálculo de linhas
de transmissão:
representação de
linhas de
transmissão —
linhas curtas
22/11/2023, 00:30 E-book
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Agora vamos estudar o modelo mais utilizado para simular e calcular as
correntes e as quedas de energia nas linhas de transmissão. Pinto (2018, p.
63) de�ne as linhas de transmissão como “um dos principais componentes
de um sistema elétrico de potência. Sua função primária é transportar a
energia elétrica, com o mínimo de perdas do centro de geração aos centros
de cargas, separados por distâncias elevadas”. Como conhecemos a tensão
na geração ou no �nal da linha, pois esses valores são medidos pelas
concessionárias (ou pela CCEE — Câmara de Comercialização de Energia
Elétrica), conseguimos calcular essas perdas.
Teoria básica
As linhas de transmissão em corrente alternada podem ter um comprimento
que varia entre alguns metros até em torno de 600 a 800 km. Já as linhas de
transmissão em corrente contínua são linhas maiores do que 800 km. No
Brasil, temos duas linhas de transmissão nessa condição — que têm
distâncias maiores do que 2.000 quilômetros (essas duas linhas ligam as
usinas do rio Madeira às cidades de Araraquara e Rio de Janeiro). O
equacionamento matemático utilizado na representação de uma linha de
transmissão, chamada de modelo, é feito de acordo com o tamanho da linha.
De acordo com Pinto (2018, p. 64), as linhas de transmissão são
classi�cadas em:
Já Mohan (2016) divide as linhas de transmissão em: curtas (linhas de até
100 km); médias (de 100 a 300 km); e longas(mais de 300 km). Esse autor
usa os parâmetros americanos, que são um pouco diferentes dos brasileiros,
porque lá as distâncias são dadas em milhas.
22/11/2023, 00:30 E-book
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#PraCegoVer: o infográ�co estático, intitulado “Linha de transmissão”, apresenta
três caixas de texto, com seus respectivos textos e imagens. A primeira caixa de
texto tem o título “Estruturas metálicas”, a de�nição “as torres de transmissão
são feitas de madeira, aço, concreto, alumínio e até plástico reforçado. A maioria
das torres é fabricada com aço. Elas podem ser feitas de treliça ou de polos
tubulares. Uma linha de transmissão pode, inclusive, apresentar vários tipos de
torres ao longo do seu caminho. Os tipos de fundação utilizados por essas torres
podem variar também, a saber: estacas-raiz, utilizadas em solos fracos; sapatas,
utilizadas para solos bons, porém com lençol freático; grelhas, também utilizadas
em solos bons, mas sem lençol freático, e tubulões, utilizados para solos bons,
cujas estruturas irão suportar altos índices de carregamentos”; e a imagem de
uma torre de transmissão de energia. A segunda caixa de texto tem o título
“Isoladores”, a de�nição “os materiais dielétricos são usados como isolantes ou
na fabricação de capacitores. Cerâmicas como o vidro, a porcelana, a esteadita e
a mica são utilizadas para a fabricação de isoladores, que são instalados entre a
torre metálica e a linha de transmissão”; e a imagem de três isoladores em �os de
22/11/2023, 00:30 E-book
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alta tensão. A terceira caixa de texto, tem o título “Condutores”, a de�nição “os
condutores podem ser dispostos de forma triangular, vertical ou horizontal em
uma torre e seus circuitos podem ser simples, duplos ou múltiplos. Instalam-se
os cabos para-raios acima dos condutores para evitar o desligamento das linhas
de transmissão. Esses condutores são aterrados e, em caso de uma descarga
atmosférica, essa corrente será descarregada na terra”, e a imagem de três torres
de transmissão de energia.
Para construirmos uma linha de transmissão, precisamos instalar a torre de
transmissão, os cabos, os isoladores, os cabos para-raios e, ainda, realizar a
sinalização para evitar que pequenos aviões colidam com os cabos. No
tópico a seguir, acesse o vídeo sobre a construção de uma das maiores linhas
do mundo, que �ca no Brasil.
22/11/2023, 00:30 E-book
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Vamos começar nosso estudo pelas linhas de transmissão chamadas de
curtas, ou seja, linhas com distâncias menores do que 80 km.
Modelo para linhas de transmissão
curtas
Podemos representar as linhas de transmissão curtas por meio do modelo
chamado de simpli�cado. Esse modelo está ilustrado na Figura 2.6 e, como
podemos observar, ele é representado somente por meio de uma resistência,
chamada de R, e de uma reatância indutiva, chamada de XL, o que resultará
na impedância da linha, chamada de ZL = Z
′ = R + jXL(Ω/km). Geralmente, a
carga é representada por um retângulo porque não sabemos como ela é
formada. A corrente I será igual à corrente chamada de Icarga (pois esse
circuito está ligado em série). Mas a tensão V ∠ 𝜃º V sofrerá uma queda até
chegar na carga. Pinto (2018, p. 73) de�ne o modelo das linhas de
transmissão como “o efeito do capacitor shunt pode ser desprezado, sendo
considerada apenas a resistência e a reatância indutiva (parâmetros série)”.
22/11/2023, 00:30 E-book
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Figura 2.6 — Modelo simpli�cado representando uma linha de transmissão
curta
Fonte: Adaptada de Pinto (2018).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fonte de tensão V senoidal, alimentando
uma carga por meio de uma linha, representada por uma resistência R, e uma
reatância indutiva XL. A corrente I é igual à corrente Icarga , em razão de esse
circuito estar ligado em série.
Como o valor da impedância da linha é dado em Ω/km, multiplicamos o valor
desses parâmetros pela distância da linha, para obtermos os valores que
devem representar essa linha de transmissão. Agora, se aplicarmos a
segunda lei de Kirchhoff para as tensões, teremos:
V = Icarga(R + jXL) + IcargaZcarga
V = Icarga(ZL + Zcarga) (Equação 2.41)
Essa equação comprova que a tensão no gerador (muitas vezes, também
chamada de Vs, do inglês, source, que quer dizer fonte) V ∠ 𝜃º V terá que
suprir a queda de tensão na linha e alimentar a carga.
22/11/2023, 00:30 E-book
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Esse modelo é, muitas vezes, utilizado também na simulação rápida para
representar linhas médias. Entretanto ele não pode ser usado para
representar linhas longas.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Os parâmetros das linhas de transmissão dependem do nível de tensão
para o qual foram projetadas, uma vez que linhas de alta tensão requerem
valores elevados de distância entre condutores, de altura dos condutores e
de sua separação da torre aterrada. Uma adequada distância mínima de
segurança (clearance) é necessária para manter a intensidade do campo
elétrico no nível do solo, abaixo das linhas de transmissão.
MOHAN, N. Sistemas elétricos de potência: curso introdutório. Tradução
de Walter Denis Cruz Sanchez. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
Vamos calcular a tensão no gerador necessária para manter a tensão na
carga igual a 220 V. Essa carga absorve 100 kVA de potência com fator de
potência igual a 0,8. A linha de transmissão que interliga esse sistema tem
os seguintes parâmetros: R = 0, 0032Ω/km e L = 9, 59x10 − 6H /km. Essa linha
percorre uma distância de 45 km.
Esse circuito está representado na �gura a seguir:
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Figura — Modelo simpli�cado representando uma linha de transmissão
curta
Fonte: Adaptada de Pinto (2018).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fonte de tensão V senoidal,
alimentando uma carga por meio de uma linha, representada por uma
resistência R e uma reatância indutiva XL. A corrente I é igual à corrente
Icarga , em razão de esse circuito estar ligado em série.
A tensão no gerador tem um módulo inserido no intervalo:
a) 150 a 200 V.
b) 201 a 250 V.
c) 301 e 350 V.
d) 251 a 300 V.
e) 351 e 400 V.
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As linhas médias são representadas pelo modelo denominado de 𝜋 (pi)
nominal, que é mostrado na Figura 2.7. Para obter esse modelo, basta
acrescentar um capacitor chamado de capacitor shunt ligado em paralelo
com o modelo série. Esse capacitor é representado com ele dividido em duas
partes iguais a Yc / 2 (a letra Y refere-se à admitância, no caso, a admitância
capacitiva). A admitância é de�nida como o inverso da impedância
capacitiva, que é dada por:
XC =
1
2 π f C e Yc =
1
XC
 (Equação 2.42).
Cálculo de linhas
de transmissão —
linhas médias
22/11/2023, 00:30 E-book
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Pinto (2018, p. 74) de�ne o modelo da linha média como “o efeito do
capacitor shunt ( Yc  ) é dividido em 2 partes iguais, dispostas no início e no
�m da linha. Esta é representada também por um circuito monofásico, sendo
chamada de con�guração 𝜋”.
Figura 2.7 — Circuito equivalente de uma linha de transmissão média
Fonte: Adaptada de Pinto (2018).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fonte de tensãosenoidal V, conectada a
um capacitor em paralelo, dado por Yc /2, ligado em série a um resistor R e a uma
indutância que tem uma impedância indutiva, dada por XL, e a outro capacitor em
paralelo, dado por Yc /2. Esse circuito tem o formato da letra pi e está ligado a
uma carga. Agora, a corrente I será diferente da corrente na carga dada por Icarga.
22/11/2023, 00:30 E-book
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Também podemos aplicar esse modelo à segunda lei de Kirchhoff para as
tensões, o que resulta em:
V = VCarga 
Yc
2 + ICarga Z + VCarga
V =
Z Yc
2 + 1 VCarga + ZICarga (Equação 2.43)
Pretendemos calcular o valor de I. Para isso, temos que o valor da corrente na
capacitância da barra receptora da linha de transmissão será dado por:
Ishunt = Vcarga
Yc
2 (Equação 2.44)
Podemos somar essa corrente ao ramo em série. Portanto, obteremos:
ICarga = V
Yc
2
+VCarga 
 YC
2 + ICarga (Equação 2.45)
Agora vamos substituir a tensão V da Equação 2.43 na Equação 2.45.
I = VCargaY 1 +
Z YC
4 +
Z YC
2 + 1 ICarga (Equação 2.46)
Podemos representar as Equações 2.43 e 2.46 por meio de letras A, B, C e D.
Essas letras são denominadas como constantes generalizadas do circuito da
linha de transmissão. Elas são representadas por números complexos,
portanto A e D serão números adimensionais (se a linha tiver as mesmas
características, esses números são iguais) e B e C são dados em Ω e 1/Ω =
( )
( )
( ) ( )
22/11/2023, 00:30 E-book
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1S (o S é o símbolo da unidade siemens). Então, as Equações 2.43 e 2.46
podem ser representadas como:
V = AVCarga + BICarga (Equação 2.47)
I = CVCarga + DICarga
Desse modo, teremos:
A = D =
Z YC
2 + 1 (Equação 2.48)
B = Z e C = YC 1 + 
Z YC
4 
Existem algumas tabelas que fornecem diretamente essas constantes para
algumas topologias de redes. Quando multiplicamos os valores da
resistência, da impedância e da capacitância da linha pelo comprimento da
linha, estamos utilizando uma técnica chamada de parâmetros concentrados,
ou seja, concentramos o valor distribuído desses parâmetros em um único
ponto da linha.
praticar
Vamos Praticar
As linhas de transmissão trifásicas, considerando-as transpostas
perfeitamente, podem ser tratadas por um modelo monofásico sob
operação balanceada em regime permanente senoidal. As linhas de
( )
22/11/2023, 00:30 E-book
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transmissão são projetadas para ter sua resistência tão pequena quanto
seja economicamente viável. Desse modo, em linhas de transmissão de
comprimento médio (valores próximos a 300 km) ou curto, é razoável supor
que a resistência seja concentrada.
MOHAN, N. Sistemas elétricos de potência: curso introdutório. Tradução
de Walter Denis Cruz Sanchez. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
Vamos calcular a tensão no gerador necessária para manter a tensão na
carga igual a 220 V. Essa carga absorve 100 kVA de potência com fator de
potência igual a 0,8. A linha de transmissão que interliga esse sistema tem
os seguintes parâmetros: R = 0, 0032Ω/km e L = 9, 59x10 − 6H /km e
C = 5, 72x10 − 8F /km. Essa linha percorre uma distância de 130 km.
Esse circuito está representado na �gura a seguir:
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Figura — Circuito equivalente de uma linha de transmissão média
Fonte: Adaptada de Pinto (2018).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fonte de tensão senoidal V,
conectada a um capacitor em paralelo, dado por Yc /2, ligado em série a
um resistor R, e uma indutância, dada pela reatância indutiva XL e a outro
capacitor em paralelo, dado por Yc /2. Esse circuito tem o formato da
letra pi e está ligado a uma carga. Agora a corrente I será diferente da
corrente na carga dada por Icarga.
Considerando os dados apresentados, vamos calcular a tensão no gerador
necessária para manter a tensão na carga igual a 220 V.
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Os parâmetros concentrados podem ser utilizados sem maiores problemas
para linhas curtas e médias, mas, para linhas longas, devemos utilizar os
parâmetros de forma distribuída. O modelo matemático utilizado para
representar linhas de transmissão longas está representado na Figura 2.8. É
claro que esse equacionamento torna-se muito mais difícil e complicado,
pois, nesse modelo, são introduzidos os senos e as tangentes hiperbólicas.
Cálculo de linhas
de transmissão —
linhas longas
22/11/2023, 00:30 E-book
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Figura 2.8 — Circuito equivalente de uma linha de transmissão longa
Fonte: Adaptada de Pinto (2018).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fonte de tensão senoidal V, conectada a
um capacitor em paralelo, dado por Y/2, vezes a tangente hiperbólica de gama
vezes o comprimento dividido por 2. Toda essa função é dividida por gama vezes
o comprimento dividido por 2, ligado em série a uma carga dada pela impedância
Z multiplicada pelo seno hiperbólico de gama vezes o comprimento dividido por
2. Toda essa função é dividida por gama vezes o comprimento ligado a outro
capacitor em paralelo (idêntico ao primeiro). Esse circuito tem o mesmo formato
da letra pi e está ligado a uma carga. Agora a corrente I será diferente da corrente
na carga dada por Icarga.
Para linhas longas, o equacionamento matemático é o mesmo para o modelo
obtido para linhas médias, o modelo chamado de 𝜋 nominal. Existe uma
diferença nos cálculos dos parâmetros A, B, C e D. Nesse caso, precisamos
calcular esses parâmetros com o seno e o cosseno hiperbólico.
A = D = cosh𝛾ℓ
B = ZCsenh𝛾ℓ
C = Y =
senh γ ℓ
ZC
 (Equação 2.49)
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A variável 𝛾 é chamada de constante de propagação da onda e pode ser
obtida por meio da raiz quadrada do resultado da multiplicação da
impedância da linha vezes a admitância da linha, dada por:
𝛾 = √z y (Equação 2.50)
O equacionamento das linhas de transmissão longas utiliza ondas viajantes,
ondas estas que variam de acordo com o tempo e a frequência. Isso leva a
que se chame de “ondas viajantes” as correntes e tensões dessas linhas,
assim como as descargas atmosféricas que recaem sobre essas linhas. Para
resolver esse complicado sistema de equações, teremos que recorrer à
transformada de Laplace.
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é muito utilizada na resolução de equações
diferenciais ordinárias. Ela permite escrever as equações diferenciais de
primeira e segunda ordem referentes à corrente e à tensão, que é a maneira
de obter as formas de onda da tensão e da corrente sem ter que considerar
os domínios do tempo e da frequência. Vamos começar nosso
equacionamento por meio da tensão que pode ser escrita por:
∫ ∞0
∂v
∂xe
− stdt =
d
dx ∫
∞
0 v (x, t) e
− stdt
∫ ∞0
∂v
∂xe
− stdt = sV(x, s) − v(x, 0) (Equação 2.51)
Vamos utilizar letras maiúsculas para indicar as transformadas de Laplace e
letras minúsculas para indicar funções que variam no tempo. Esse raciocínio
pode ser facilmente estendido para as correntes.
Vamos agora adotar que, nas condições iniciais, o sistema esteja sem tensão
e sem corrente, ou seja, I = 0 e V = 0. Desse modo, podemos escrever:
∂V
∂x = (r + sℓ)I(x, s)
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∂I
∂x = (g + sc)V(x, s) (Equação 2.52)
Agoravamos derivar a Equação 2.52 em relação a x e substituir a derivada da
corrente na equação da corrente. Desse modo, obteremos:
∂2V
∂x2
= (r + sℓ)(g + sc)V(x, s)
∂2I
∂x2
= (r + sℓ)(g + sc)I(x, s) (Equação 2.53)
Essas equações são facilmente resolvidas, pois conhecemos os parâmetros
r, ℓ, c e g, que são a resistência, a indutância, a capacitância e a condutância,
respectivamente. Já sabemos, por meio da Equação 2.50, que 𝛾 = √z y. Se
“explodirmos” esses termos, teremos 𝛾 = √(r + s l) (g + s c).
Também poderíamos ter resolvido a equação da tensão igualando a derivada
parcial de segunda ordem a d2y /dx2 = 𝛾2y, cujo sistema apresenta como
soluções as formas exponenciais dadas por e 𝛾 x e e − 𝛾 x. Assim, a resolução
da equação da tensão resulta em:
V(x, s) = A(s)e − 𝛾 x + B(s)e 𝛾 / x (Equação 2.54)
E, por meio da Equação 2.52, podemos obter o valor da corrente, que será
igual a:
I(x, s) =
A ( s )
ZC ( s )
e − 𝛾 x −
B ( s )
ZC ( s )
e 𝛾 x (Equação 2.55)
Em que:
ZC(s) =
r + s l
g + s c (Equação 2.56)
Os termos A (s) e B (s) são constantes em relação a x e serão chamados de
condições de contorno no início e no �nal da linha. Já as funções 𝛾 (s) e ZC
(s) serão denominadas de constante de propagação e de impedância
√
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característica da linha, respectivamente. É claro que a variável s é uma
variável complexa.
REFLITA
O SIN (Sistema Interligado Nacional) representa
a interligação de todo o Sistema Elétrico de
Potência brasileiro (SEP). Temos um dos
maiores e mais robustos sistemas interligados
do mundo. Isso permite que o potencial de uma
fonte de geração regional, como o excesso de
ventos ou de chuvas, possa ser aproveitado por
moradores de outras regiões diferentes daquela
que está produzindo a energia pelo país, levando
a uma redução nas tarifas de energia. Mas,
durante muitos anos, a taxa de construção
dessas linhas de transmissão �cou aquém do
desejado. Caro(a) estudante, re�ita sobre
algumas medidas de desregulamentação que
poderiam ser cobradas pela sociedade para
acelerar ainda mais a implantação dessas linhas
de transmissão nas regiões mais afastadas do
país, onde as constantes falhas no fornecimento
de energia ainda trazem sofrimento para os
moradores locais.
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Para algumas topologias especí�cas de linhas, Zc (s) pode se transformar em
um valor constante na forma real, e isso signi�ca que essas linhas são
consideradas linhas de transmissão sem distorção e sem perdas de energia.
Para esse caso especí�co de linhas sem perdas, ou seja, sem resistência e
condutância, em que r = 0 e g = 0, podemos escrever que 𝛾 = s√l c e Zc =
l
c .
Então, as equações da tensão e da corrente podem ser escritas como:
V(x, s) = A(s)e − 
s x
v + B(s)e 
s x
v
I(x, s) =
A ( s )
ZC 
e − 
s x
v −
B ( s )
ZC 
e 
s x
v (Equação 2.57)
Em que v =
1
√l c
A condição necessária para que uma linha de transmissão seja de�nida como
sem distorção é que:
𝛾(s) = √(r + s l) (g + s c) = √l c√(s + ∂)2 − σ2 =
√ ( s + ∂ ) 2 − σ2 
v (Equação
2.58)
E:
Zc(s) =
l
c =
s + δ + σ 
s + δ − σ (Equação 2.59)
Em que:
Uma linha sem distorção pode ser de�nida como aquela em que o fator de
distorção será igual a zero, ou seja, 𝜎 = 0. Desse modo, teremos 𝛾(s) =
s + δ 
v e
Zc =
l
c como valores independentes de s. Para simpli�car, também é
√
√ √
√
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possível utilizar a notação ZC, sem se referir ao (s) para representar uma linha
de transmissão com ou sem distorção ou perdas.
As Equações 2.54 e 2.55 poderão ser expressas como:
V(x, s) = A(s)e − 
δ x
v e − 
s x
v + B(s)e
δ x
v e
s x
v
I(x, s) =
A ( s )
ZC 
e − 
δ x
v e − 
s x
v −
B ( s )
ZC 
e
δ x
v e
s x
v
(Equação 2.60)
Comparando-se essa solução com as Equações 2.54 e 2.55, podemos
entender a razão pela qual esse fator é chamado fator de atenuação.
Linha semi-infinita — o conceito de
onda viajante
Araújo e Neves (2005, p. 143) de�nem uma “linha semi-in�nita como uma
linha que tem uma das extremidades acessível – normalmente chamada de
início da linha – e a outra inacessível, por encontrar-se no in�nito”. Dito de
outra forma, uma linha semi-in�nita é aquela que começa com uma tensão
dada por um gerador e no �nal da sua extensão — por ser in�nita, não tem
tensão nenhuma.
Vamos considerar, então, uma linha semi-in�nita sem perdas, que, no instante
t = 0, estará sem energia, ou seja, desenergizada, em que aplicamos uma
tensão dada por um degrau de tensão no tempo zero, como mostrado na
Figura 2.9. A solução da Equação 2.60 será obtida somente se levarmos em
consideração as condições de contorno e as condições iniciais do problema.
Portanto, temos que utilizar essas condições para obter as constantes de
integração de uma linha de transmissão.
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Figura 2.9 — Energização de uma linha semi-in�nita
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fonte de tensão igual a 1 volt, aplicada a
um sistema, quando uma chave for fechada no instante t = 0 e na posição x = 0.
Essa linha inicia em zero e segue para o in�nito.
Considerando a equação da tensão:
V(x, s) = A(s)e − 
s x
v + B(s)e
sδ x
v (Equação 2.61)
As constantes A (s) e B (s) – constantes apenas em relação à variável
espacial – são determinadas a partir das seguintes considerações de�nidas
por Araújo e Neves (2005, p. 144):
Assim, colocando-se x = 0 na Equação 2.62 e igualando-se o resultado a 1/s,
teremos que:
V(0, s) = A(s) + B(s)( = 0) =
1
s ⇨ A(s) =
1
s (Equação 2.62)
Portanto, a solução geral para a linha semi-in�nita sem perdas será obtida por
meio da equação:
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V(x, s) =
1
s e
− 
s x
v (Equação 2.63)
O teorema da translação da transformada de Laplace permite obter a solução
dessa equação no domínio do tempo. Recordando esse teorema, que diz que
a tensão será igual a:
u (t) = 1, para t > 0 e
u (t) = 0, para t ⩽ 0 (Equação 2.64)
Logo, teremos:
v(x, s) = L − 1[V(x, s)] = L − 1
1
s e
− 
s x
v = u t − 
x
v (Equação 2.65)
Ou seja:
v(x, t) = u t − 
x
v (Equação 2.66)
Com base na de�nição da função degrau u (t), sabemos que
v(x, t) = u t − 
x
v = 1, se t − 
x
v > 0 e u t − 
x
v = 0 para os outros pontos.
Quando conseguirmos fotografar a tensão em todos os pontos da linha em
um determinado instante de tempo qualquer dado por t = T, o resultado será
similar à Figura 2.10. Fotogra�as tiradas após o tempo t = T, ou seja,
conforme o tempo vai passando, vão mostrar um valor unitário constante de
tensão, que vai se propagando através da linha.
[ ] ( )
( )
( ) ( ) ( )
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Figura 2.10 — Propagação de onda de tensão em linha semi-in�nita. Em a)
Per�l de tensão e, em b), Tensão em um ponto
Fonte: Elaborada pela autora.
#PraCegoVer: a imagem apresenta: “(a) per�l de tensão” para x = 0 o valor da
tensão será igual a 1 e se manterá até a distância vT, quando cai de forma
abrupta para zero e permanece zero. Na �gura (b), temos que o valor da tensão é
igual a 0 no instante t = 0. Essa tensão permanece em zero até o instante de
tempo X/v, quando assume o valor igual a 1 para os tempos posteriores a esse.
Se considerarmos agora duas fotogra�as tiradas em dois instantes, dados
por T< T . Podemos ver, nessas fotogra�as, dois pontos, dados por X = 𝑣 T
e X = 𝑣 T , sendo energizados pela tensão. A velocidade de propagação da
tensão será obtida por meio da fórmula dada por 
X2 − X1 
T2 − T1
= 𝑣. Desse modo,
podemos concluir que o parâmetro dado v =
1
√l c
 será igual à velocidade com
que o distúrbio de tensão se propagar através da linha.
Se instalamos um voltímetro para medir a tensão em um determinado ponto
da linha, chamado de X, e cronometramos o tempo a partir do instante em
1 2 1 1
2 2
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que a chave da Figura 2.7 recebe um comando para fechar, podemos
constatar que:
𝑣(X, t) = u t − 
X
v = 1, se t >
X
v ;
𝑣(X, t) = 0, se t ⩽
X
v (Equação 2.67)
Portanto, o voltímetro instalado em x = X terá uma medição correspondente a
𝑣 = 1, para tempos maiores que 
X
v . A onda de tensão 𝑣 (x, t) ocorrerá
juntamente com uma onda de corrente i (x, t), calculada por meio da Equação
2.60. Contudo, teremos que considerar que B (s) = 0, além de passar I (x, s),
para o domínio do tempo, o que resultará na equação:
i(x, t) =
1
s
1
ZC
u t − 
x
v =   
v ( x , t )
ZC
 (Equação 2.68)
Essa equação mostra claramente a razão de Zc ser denominada impedância
característica da linha – relação entre tensão e corrente (o nome impedância
é indevido, pois, para as linhas sem perdas, ela é um número real, e não um
número complexo como implica a de�nição de impedância).
Agora vamos fazer um exercício considerando uma linha de transmissão
longa com parâmetros distribuídos e valores calculados segundo a fórmula
apresentada para o modelo 𝜋 nominal.
praticar
Vamos Praticar
( )
( )
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A potência natural (SIL) fornece uma referência em termos de quantidade
de carga máxima em que uma linha de transmissão pode ser expressa. Essa
carga é uma função do comprimento da linha de transmissão, de modo que
certas restrições sejam satisfeitas. Essa capacidade de carga aproximada é
uma função do comprimento da linha. Linhas curtas podem ser carregadas
com mais de 3 vezes o SIL, com base em não exceder os limites térmicos.
Linhas de comprimento médio podem ser carregadas com 1,5 a 3 vezes o
SIL sem que a queda de tensão através delas exceda 5%. Linhas de
comprimento longo podem ser carregadas com valores próximos ao do SIL,
dado o limite de estabilidade, de modo que o ângulo de fase da tensão
entre os dois terminais não exceda 40 a 45º.
MOHAN, N. Sistemas elétricos de potência: curso introdutório. Tradução
de Walter Denis Cruz Sanchez. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
Vamos calcular a tensão no gerador necessária para manter a tensão na
carga igual a 220 V. Essa carga absorve 100 kVA de potência com fator de
potência igual a 0,8. A linha de transmissão que interliga esse sistema tem
os seguintes parâmetros: R = 0, 0032Ω/km e L = 9, 59x10 − 6H /km e
C = 5, 72x10 − 8F /km. Essa linha percorre uma distância de 440 km.
Esse circuito está representado na �gura a seguir:
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Figura — Circuito equivalente de uma linha de transmissão média
Fonte: Adaptada de Pinto (2018).
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma fonte de tensão senoidal V
conectada a um capacitor em paralelo, dado por Y/2, vezes a tangente
hiperbólica de gama vezes o comprimento dividido por 2. Toda essa
função é dividida por gama vezes o comprimento dividido por 2, ligado
em série a uma carga dada pela impedância Z multiplicada pelo seno
hiperbólico de gama vezes o comprimento dividido por 2. Toda essa
função é dividida por gama vezes o comprimento ligado a outro
capacitor em paralelo (idêntico ao primeiro). Esse circuito tem o mesmo
formato da letra pi e está ligado a uma carga. Agora a corrente I será
diferente da corrente na carga dada por Icarga.
Considerando os dados apresentados, vamos calcular os parâmetros A, B, C
e D e o valor da constante de propagação de onda dessa linha.
F E E D B A C K
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Material
Complementar
F I L M E
A guerra das correntes
Ano: 2019
Comentário: Esse �lme retrata o surgimento do sistema de
energia elétrica do modo como o conhecemos e mostra a
guerra travada entre Thomas Edison — o inventor da
lâmpada elétrica, que acreditava que a energia devia ser
transmitida e distribuída em CC (corrente contínua) — e
George Westinghouse e Nikola Tesla, que defendiam o
sistema alternado (CA). Esse episódio �cou conhecido
como a batalha ou a guerra das correntes.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer
disponível em:
TRA I LER
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L I V R O
Sistemas elétricos de potência: curso
introdutório
Autor: Ned Mohan
Editora: LTC
Capítulo 4 — Linhas de transmissão CA e cabos
subterrâneos
Ano: 2016
ISBN: 978-85-216-3279-5
Comentário: O Capítulo 4 descreve as linhas de
transmissão CA e demonstra o cálculo dos diversos
parâmetros utilizados na representação das linhas de
transmissão, como a resistência, a indutância e a
capacitância, além da demonstração das equações
utilizadas em linhas longas de transmissão.
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Conclusão
Chegamos ao �nal do nosso estudo sobre os parâmetros utilizados para
representar as linhas de transmissão. Como vimos, a capacitância é optativa para
representar as linhas curtas. A partir da representação do modelo 𝜋 nominal, esse
parâmetro precisa ser calculado e se torna essencial no cálculo das linhas longas.
De�nimos as linhas de transmissão como curtas, médias e longas, a partir do seu
comprimento e representamos cada um desses tipos de linha de transmissão com
um modelo diferente. Os parâmetros chamados de constantes A, B, C e D devem
ser calculados para serem utilizados na simulação das linhas de transmissão
médias e longas.
Esses equipamentos são os mais afetados por descargas atmosféricas e cobrem
todo o país porque nosso sistema elétrico de potência (SEP) é todo interligado, por
isso é fundamental que conheçamos e sejamos capazes de calculá-los
corretamente na resolução de SEP.
Referên
cias
A BATALHA DAS
CORRENTES | Trailer O�cial
(2019) Legendado HD. [S. l.:
s. n.], 2020. 1 vídeo (3 min.)
Publicado pelo canal Mundo
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dos Trailers. Disponível em:
https://www.youtube.com/w
atch?v=LKH9wJTH5yc.
Acesso em: 12 abr. 2022.
ALL Aluminium Conductor –
AAC (KCMIL Series). Nexans,
2022. Disponível em:
https://www.nexans.com.br/
.rest/catalog/v1/product/pdf
/ID599079. Acesso em: 12
abr. 2022.
ARAÚJO, A. E. A. de; NEVES, W. L. A. Cálculo de transitórios eletromagnéticos em
sistemas de energia. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2005.
LT 800 kV CC Xingu / Estreito. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (4 min.) Publicado pelo
canal Tabocas Participações Empreendimentos. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=HK24AGe232c. Acesso em: 12 abr. 2022.
MOHAN, N. Sistemas elétricos de potência: curso introdutório. Tradução de Walter
Denis Cruz Sanchez. Rio de Janeiro: LTC, 2016. (Disponível na Minha Biblioteca).
PINTO, M. de O. Energia elétrica: geração, transmissão e sistemasinterligados. Rio
de Janeiro: LTC: 2018. (Disponível na Minha Biblioteca).
STEVENSON JUNIOR, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. 2. ed.
São Paulo: MacGraw-Hill, 1986.
https://www.youtube.com/watch?v=LKH9wJTH5yc
https://www.nexans.com.br/.rest/catalog/v1/product/pdf/ID599079
https://www.youtube.com/watch?v=HK24AGe232c
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