lógica

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 Módulo 08 - Noções de Lógica
Matemática - Álgebra - 4º Volume - Coleção de Livros
8.1. Proposição
Os elementos básicos utilizados na linguagem, tanto escrita como falada, para expressar ideias são as
proposições ou sentenças.
Intuitivamente, pois, proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que expressam ou declaram uma ideia.
8.2. Princípios fundamentais da lógica
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser falsa e verdadeira, simultaneamente.
Princípio do terceiro excluído: qualquer proposição ou é verdadeira ou é falsa.
8.3. Valor lógico
Pelos princípios adotados, consideraremos apenas as proposições que, além de declarativas, podem ser
classificadas em verdadeiras ou falsas e diremos que
o valor lógico de uma proposição verdadeira é a verdade (V)
o valor lógico de uma proposição falsa é a falsidade (F)
8.4. Conectivos lógicos
Conectivos lógicos são palavras usadas na formação de outras sentenças. Os usuais são: “não", “e", “ou", “se...
então..." e “... se e somente se...".
8.5. Proposições simples e compostas
As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia". Constituem a base da linguagem e são
também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).
As proposições compostas são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos
lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P(p, q, r), por
exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.
Exemplos
São proposições simples:
p: A Lua é um satélite da Terra.
q: O número 2 é primo.
r: O número 2 é par.
s: Roma é a capital da França.
t: O Brasil fica na América do Sul.
u: 2 + 5 = 3 . 4.
São proposições compostas:

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P(q, r): O número 2 é primo ou é par.
Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul.
R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.
Não são proposições lógicas:
a) Roma
b) O cão do menino
c) 7 + 1
d) As pessoas estudam
e) Quem é?
f) Que pena!
8.6. Tabela-Verdade
O valor lógico de uma proposição simples p é V ou F, como já foi visto. O valor lógico de uma proposição
composta P(p, q, r, ...) depende exclusivamente do valor lógico de p, q, r, ... . Para determinar o valor lógico de
P, de uma maneira prática e organizada, utilizamos a tabela-verdade. Vejamos como construir estas tabelas-
verdade a partir da árvore das possibilidades dos valores lógicos de p, q, r, ... e deixando para o próximo item
a determinação do valor lógico de P.
Proposição composta do tipo P(p, q)
Tabela-Verdade
p q P(p, q)
V V ?
V F ?
F V ?
F F ?
Proposição composta do tipo P(p, q, r)
Tabela-Verdade
p q r P(p, q, r)
V V V ?
V V F ?
V F V ?
V F F ?
F V V ?
F V F ?
F F V ?
F F F ?
 
Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)
A tabela-verdade tem 2 = 16 linhas e pode ser construída de modo análogo às anteriores.
 
 
 
4
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Proposição composta do tipo (p , p , p , ..., p )
A tabela-verdade tem 2 linhas e pode ser construída de modo análogo às anteriores.
8.7. O conectivo não e a negação
A negação de uma proposição p é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando p é falsa e é F quando p
é verdadeira. A negação de p é representada pelo símbolo ~p que se lê não p e tem a seguinte tabela-verdade:
 p ~p
 V F
 F V
Exemplos
a) p: 4 é par
~ p: 4 não é par
 p ~p
 V F
b) q: 4 + 3 = 5
~ q: 4 + 3 ¹ 5
 p ~q
 F V
c) r: Roma é a capital da Itália.
~ r: Roma não é a capital da da Itália.
 p ~r
 V F
Observação
A negação de “Roma é a capital da Itália" é “Roma não é a capital da Itália" ou “Não é verdade que Roma é a
capital da Itália". Note, porém, que:
A negação de “Todos os brasileiros são carecas" é “Nem todos os brasileiros são carecas" ou “Pelo
menos um brasileiro não é careca".
A negação de “Nenhum homem é careca" é “Algum homem é careca" ou “Pelo menos um homem é
careca".
8.8. O conectivo e e a conjunção
A conjunção de duas proposições p e q é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando p e q são
verdadeiras e é F nos demais casos. A conjunção é representada pelo símbolo p ^ q que se lê p e q e tem a
seguinte tabela-verdade:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Exemplos
1 2 3 n
n
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a) 
p ∧ q: A neve é branca e 2 > 5
p q p ^ q
V F F
b) 
p ∧ q: 2 + 5 ≠ 1 + 7 e 3 é primo
p q p ^ q
V V V
c) 
p ∧ q: Roma é a capital da França e Paris é a capital da Itália.
p q p ^ q
F F F
8.9. O conectivo ou e a disjunção
A disjunção de duas proposições p e q é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando pelo menos uma
das proposições é verdadeira e é F quando as duas são falsas. A disjunção é representada pelo símbolo p ∨
q que se lê p ou q e tem a seguinte tabela-verdade:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemplos
a) 
p ∨ q: A neve é branca ou 2 > 5.
p q p ∨ q
V F V
b) 
p ∨ q: 2 + 5 ¹ 1 + 7 ou 3 é primo.
p q p ∨ q
V V V
c) 
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p ∨ q: 3 + 1 = 7 ou 5 + 4 > 2
p q p ∨ q
F V V
d) 
p ∨ q: Roma é a capital da França ou Paris é a capital da Itália.
p q p ∨ q
F F F
Observação
O conectivo ou, representado pelo símbolo ∨, é inclusivo e significa pelo menos um. Pode-se, entretanto,
atribuir ao conectivo ou o sentido de exclusão. Neste caso, o símbolo utilizado é ∨ e significa um só.
8.10. O conectivo se... então... e a condicional
A condicional se p então q é uma nova proposição cujo valor lógico é F apenas quando p é verdadeira e q é
falsa. É representada pelo símbolo p → q e tem a seguinte tabela-verdade:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplos
a) 
p q: Se 3 + 5 = 8, então 8 – 3 = 5
p q p q
V V V
b) 
p q: Se 3 + 1 > 7, então 3 é ímpar
p q p q
F V V
c) 
p q: Se 25 é quadrado perfeito, então 25 é par
p q p q
V F F
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d) 
p q: Se 9 < 1, então 4 é ímpar
p q p q
F F V
8.11. O conectivo se e somente se e a bicondicional
A bicondicional p se e somente se q é uma nova proposição cujo valor lógico é V quando p e q são ambas
verdadeiras ou ambas falsas e é F nos demais casos. É representada pelo símbolo p q e tem a seguinte
tabela-verdade.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Exemplos
a) 
p q: A neve é branca se, e somente se, Roma é a capital da França.
p q p q
V F F
b) 
p q: 4 é par se, e somente se, 4 é divisível por 2.
p q p q
V V V
c) 
p q: 4 é ímpar se, e somente se, 3 é divisível por 2.
p q p q
F F V
8.12. Tabela-verdade de uma proposição composta
Exemplo 1
Construir a tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ∨ q) (~ p)) (p ∧ q), sendo p e q duas
proposições simples quaisquer.
Resolução
A tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p,q) tem, como já foi visto, 2 = 4 linhas. É, portanto, do tipo:2
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p q p ∨ q ~p (p ∨ q) (~p) p ` q
((p ∨ q) (~p))
 (p ` q)
V V 
V F 
F V 
F F 
A determinação dos valores lógicos de P é feita em etapas. Observe:
a) Valores lógicos da proposição p ∨ q
p q p ∨ q ~p (p ∨ q) (~p) p ` q ((p ∨ q) (~p))
 (p ` q)
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
b) Valores lógicos da proposição ~p
p q p ∨ q ~p (p ∨ q) (~p) p ` q ((p ∨ q) (~p))
 (p ` q)
V V V F 
V F V F 
F V V V 
F F F V 
c) Valores lógicos da proposição (p ∨ q) (~p)
p q p ∨ q ~p (p ∨ q) (~p) p ` q ((p ∨ q) (~p))(p ` q)
V V V F F 
V F V F F 
F V V V V 
F F F V V 
d) Valores lógicos da proposição p ∧ q
p q p ∨ q ~p (p ∨ q) (~p) p ` q ((p ∨ q) (~p)) (p ` q)
V V V F F V 
V F V F F F 
F V V V V F 
F F F V V F 
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e) Valores lógicos da proposição ((p ∨ q) (~p)) (p ∧ q)
p q p ∨ q ~p (p ~ q) (~p) p ∧ q
((p ~ q) (~p))
 (p ` q)
V V V F F V V
V F V F F F V
F V V V V F F
F F F V V F F
Exemplo 2
Construir a tabela-verdade da proposição composta P(p, q, r) = (p ∧ q) r, sendo p, q e r proposições simples
quaisquer.
Resolução
A tabela-verdade da proposição composta do tipo P(p, q, r) tem, como já foi visto, 2 = 8 linhas. É, portanto, do
tipo:
p q r p ` q (p ` q) r
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
A determinação dos valores lógicos de P é feita em etapas. Observe.
a) Valores lógicos da proposição p ∧ q
p q r p ` q (p ` q) r
V V V V 
V V F V 
V F V F 
V F F F 
F V V F 
F V F F 
F F V F 
F F F F 
b) Valores lógicos da proposição P(p,q,r) = (p ∨ q) r
3
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p q r p ` q (p ` q) r
V V V V V
V V F V F
V F V F F
V F F F V
F V V F F
F V F F V
F F V F F
F F F F V
8.13. Tautologia, contradição e contingência
Tautologia
Uma proposição composta P(p, q, r, ...) é uma tautologia se o seu valor lógico é V, quaisquer que sejam os
valores lógicos de p, q, r, ... .
As tautologias são também chamadas de proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras e são,
em outras palavras, as proposições compostas cuja “última coluna da tabela-verdade só contém V".
Exemplo 1
A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois, de acordo com a tabela-verdade, o seu valor lógico é sempre V.
Observe:
p ~p p ~ (~p)
V F V
F V V
Exemplo 2
A proposição (p ∧ q) (p q) é uma tautologia, pois a “última coluna da tabela-verdade só contém V".
Observe.
p q p ∧ q p q (p ∧ q) (p q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
Contradição
Uma proposição composta P(p, q, r, ...) é uma contradição se o seu valor lógico é F, quaisquer que sejam os
valores lógicos de p, q, r, ... .
As contradições são também chamadas de propo sições contraválidas ou proposições logicamente falsas e são, em
outras palavras, as proposições compostas cuja “última coluna da tabela-verdade só contém F".
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Exemplo 1
A proposição p ∧ (~ p) é uma contradição, pois, de acordo com a tabela-verdade o seu valor lógico é sempre F.
O significado desta contradição é: uma proposição não pode ser falsa e verdadeira, simultaneamente. É, em outras
palavras, o princípio da não contradição.
p ~ p
p ∧ (~
p)
V F F
F V F
Exemplo 2
A proposição ~ (p ∨ q) ∧ (p ∧ q) é uma contradição, pois “a última coluna da tabela-verdade só contém F".
Observe:
p q p ∨ q ~ (p ∨ q) p ∧ q ~ (p ∨ q) ∧ (p ∧ q)
V V V F V F
V F V F F F
F V V F F F
F F F V F F
Contingência
Uma proposição composta não tautológica, nem contraválida, é chamada contingência ou proposição
contingente ou proposição indeterminada.
8.14. Implicação lógica
Definição
A proposição P implica a proposição Q, se, e somente se, a condicional P ® Q for uma tautologia. Representa-
se por P Þ Q e lê-se P implica Q.
Diferenciação dos símbols e 
O símbolo indica uma operação entre as proposições P e Q cujo resultado é a proposição P Q e tem valor
lógico V ou F. O símbolo indica que na tabela-verdade de P Q não ocorre VF ou que o valor lógico da
condicional P Q é sempre V ou, ainda, que P Q é uma tautologia.
Exemplo
A tabela-verdade da condicional (p ∧ q) (p q) é:
p q p ∧ q p q (p ∧ q) (p q)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V V
Esta tabela mostra que (p ∧ q) (p q) é uma tautologia e portanto (p ∧ q) Þ (p « q).
8.15. Equivalência lógica
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Definição
A proposição P é equivalente à proposição Q se, e somente se, a bicondicional P Q for uma tautologia ou que
P e Q têm a mesma tabela-verdade. Representa-se por P Q e lê-se P é equivalente a Q.
Diferenciação dos símbolos e 
O símbolo indica uma operação entre as proposições P e Q cujo resultado é a proposição P Q e tem valor
lógico V ou F. O símbolo indica que na tabela-verdade de P Q não ocorre VF nem FV ou que o valor lógico
de P Q é sempre V ou, ainda, que P Q é uma tautologia.
Exemplo
A tabela-verdade da bicondicional (p q) (~q ~p) é:
p q ~ q ~ p p q ~ q ~ p (p ® q) (~ q ~ p)
V V F F V V V
V F V F F F V
F V F V V V V
F F V V V V V
 
As proposições p q e ~ q ~ p têm, portanto, a mesma tabela-verdade ou a bicondicional ( p q) (~q 
~p) é uma tautologia.
Assim sendo, p q é equivalente a ~ q ~ p. Simbolicamente: (p ® q) (~ q ~ p).
8.16. Sentenças abertas
Sendo U um conjunto e x um elemento de U, dizemos que
a proposição p(x) é uma sentença aberta em U se p(a) é verdadeira ou p(a) é falsa, "a Î U.
U é o conjunto universo e x a variável.
Se a ∈ U e p(a) é verdadeira, então a verifica p(x) ou a é solução de p(x).
O conjunto verdade ou conjunto solução de p(x), em U, é o conjunto de todos, e somente, os
elementos a ∈ U tais que p(a) é uma sentença verdadeira. Simbolicamente, é o conjunto {a ∈ U | p(a)
é V}.
Exemplos
Sentença aberta Conjunto universo Conjunto verdade
x + 2 = 1 Ø
x + 2 = 1 {– 1}
x + 3 < 6 {0, 1, 2}
x – 4x – 5 = 0 {5}
x – 4x – 5 = 0 {– 1; 5}
x é divisor de 10 {1, 2, 5, 10}
x é múltiplo de 2 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} {0, 2, 4, 6, 8}
 
8.17. Operações lógicas com sentenças abertas
2
+
2
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Utilizando os conectivos não, e, ou, se então e se e somente se, podemos operar com as sentenças abertas da
mesma forma já apresentada para as proposições lógicas. Os conceitos de implicação ( ) e equivalência ( )
também são os mesmos.
Exemplo 1
Com as sentenças abertas, todas em , p(x): x > 2, q(x): x < 5, r(x): x > 7, podemos formar as seguintes novas
sentenças abertas.
a) ~p(x): ~(x > 2) x ³ 2 x < 2 ∨ x = 2
b) p(x) ∧ q(x): (x > 2) ∧ (x < 5) 2 < x < 5
c) q(x) ∨ r(x): (x < 5) ∨ (x > 7)
d) r(x) p(x): (x > 7) (x > 2)
e) p(x) q(x): (x > 2) (x < 5)
Exemplo 2
Analisando a condicional (x > 7) (x > 2), em , temos:
x x > 7 x > 2 (x > 7) (x > 2)
{0, 1, 2} F F V
{3, 4, 5, 6, 7} F V V
{8, 9, 10, …} V V V
A tabela-verdade mostra que (x > 7) (x > 2) é uma tautologia e portanto x > 7 x > 2.
Exemplo 3
Analisando a bicondicional (x > 2 ∧ x < 5) 2 < x < 5, em , temos:
x x > 2 x < 5 x > 2 ∧ x < 5 2 < x < 5 (x > 2 ∧ x < 5) 
2 < x < 5
{0, 1, 2} F V F F V
{3, 4} V V V V V
{5, 6, 7, …} V F F F V
A tabela-verdade mostra que (x > 2 ∧ x < 5) 2 < x < 5 é uma tautologia e portanto (x > 2 ∧ x < 5) 2 < x
< 5.
Exemplo 4
Analisando a condicional (x > 2) (x < 5) e a bicondicional (x > 2) (x < 5), em , temos:
x x > 2 x < 5 (x > 2) (x < 5) (x > 2) (x < 5)
{0, 1, 2} F V V F
{3, 4} V V V V
{5, 6, 7, …} V F F F
A tabela-verdade mostra que a condicional (x > 2) (x < 5) e a bicondicional (x > 2) (x < 5) não são
tautologias. Entre a sentença aberta x > 2 e a sentença aberta x < 5, não existe, portanto, relação de
implicação nem relação de equivalência.
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8.18. Propriedades
Se p e q são duas proposições lógicas ou duas sentenças abertas, são de fácil verificação as seguintes
equivalências:
p ∧ q q ∧ p
p ∨ q q ∨ p
p ∧ (q ∧ r) (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) (p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
~ (p ∧ q) (~ p) ∨ (~ q)
~ (~p) p
(p q) (~ q) (~ p)
 
8.19. Teorema contrarrecíproco
A equivalência(p ® q) (~ q) (~ p), já demonstrada no item (15), significa que se p q é verdadeira, então
p Þ q é equivalente a (~ q) (~ p)
Exemplos
a) x = 4 x < 7 é equivalente a x ³ 7 Þ x ¹ 4.
b) “se um número inteiro é par, então o seu quadrado também é par" é o mesmo que “se o quadrado de um
número inteiro não é par, então o número inteiro não é par".
c) Uma função f : A é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam x Î A e x Î A, tivermos: x ≠ x 
f(x ) ≠ f(x ), que é equivalente a f(x ) = f(x ) x = x
Exercícios Resolvidos
1. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) ~p
b) 
c) 
d) p → q
e) p → (~q)
f) p ↔ q
Resolução:
a) Paulo não é paulista.
b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca.
c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca.
d) Se Paulo é paulista, então Ronaldo é carioca.
e) Se Paulo é paulista, então Ronaldo não é carioca.
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
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f) Paulo é paulista se, e somente se, Ronaldo é carioca.
2. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano, traduzir para a linguagem
simbólica as seguintes proposições:
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.
b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.
c) Se Ricardo fala italiano, então Roberto fala inglês.
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.
Resolução:
a) 
b) 
c) q → p
d) 
3. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes sentenças:
Resolução:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
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4. Construir a tabela-verdade da proposição sen do p, q, e r três proposições simples
quaisquer.
Resolução:
5. Provar que a proposição é uma tautologia.
Resolução:
6. Provar que 
Resolução:
A tabela-verdade do exercício anterior mostra que a condicional q é uma tautologia e portanto 
7. Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, provar a equivalência: 
Resolução:
A tabela-verdade da bicondicional é uma tautologia e portanto 
8. Provar que, em , 2x – 8 > 0 ⇒ x – 4x + 3 > 0
Resolução:
Os gráficos das funções f e g, de em , definidas por f(x) = 2x – 8 e g(x) = x – 4x + 3, são do tipo:
Assim sendo, a tabela-verdade da condicional (2x – 8 > 0) → (x – 4x + 3 > 0) é:
2
2
2
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A tabela-verdade mostra que, em , a condicional
(2x – 8 > 0) → (x – 4x + 3 > 0) é uma tautologia e portanto
2x – 8 > 0 ⇒ x – 4x + 3 > 0
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