Transformadas em Sinais e Sistemas -Aula 4 2019

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509) 
Aula 4 
Professor: Alain Segundo Potts 
alain.segundo@ufabc.edu.br 
Sala 742-1 
Bibliografia 
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais 
e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010 
 
Sumário 
• Propriedades dos sistemas 
– Homogeneidade 
– Aditividade 
– Linearidade 
– Sobreposição 
– Estabilidade 
– Causalidade 
– Memória 
Propriedade dos Sistemas 
• Um sistema pode ser excitado por um ou mais 
sinais de entrada. 
• A resposta do sistema é o sinal de saída que 
ele devolve. 
 
 
• Excitar um sistema equivale a fornece-lhe uma 
certa quantidade de energia. 
Propriedade dos Sistemas 
• Exemplo de sistema: Anemômetro 
• Sistemas podem ser descritos por meio de 
uma associação de componentes. 
 
 
 
 
• Um componente é um sistema mais simples e 
menor. Por exemplo, somadores, integradores, 
amplificadores, etc. 
Propriedade dos Sistemas 
Propriedade dos Sistemas 
Circuito RC: 
 
 
 
 
• Neste circuito pode-se dizer que: 
– A tensão de entrada excita o circuito 
– A tensão de saída é a resposta do sistema 
Propriedade dos Sistemas 
(t) A 1 , t 0
t
RC
outV e
 
    
 
Resposta do sistema ante uma excitação do tipo 
degrau unitário de amplitude A e condições 
iniciais nulas. 
A 
, t 0
(t)
0, t<0
A
u

 

Propriedade dos Sistemas 
(t) 2A 1 , t 0
t
RC
outV e
 
    
 
Homogeneidade: Se multiplicamos o sinal de entrada por 
qualquer constante (inclusive complexa) isto equivale a 
multiplicar a resposta do sistema com condições iniciais 
nulas pela mesma constante. 
2A 
2 , t 0
(t)
0, t<0
A
u

 

2A 
Propriedade dos Sistemas 
Propriedade dos Sistemas 
• Aditividade: 
 Se um sistema quando excitado por uma 
entrada x1 arbitrária, produz uma resposta 
com condições iniciais nulas y1 e quando 
excitado por uma entrada x2 produz uma 
resposta com condições iniciais nulas y2 e x1+x2 
sempre resulta em uma resposta com 
condições iniciais nulas y1+y2 este sistema é 
considerado aditivo. 
Propriedade dos Sistemas 
A 
B 
B 
A+B 
A+B 
 (t) A B 1
t
RC
outV e
 
   
 
Propriedade dos Sistemas 
Propriedade dos Sistemas 
• Linearidade: Um sistema é denominado linear 
quando é homogêneo e aditivo. 
• Sobreposição ou superposição: Se um sistema 
linear quando excitado por x1(t) produz uma 
resposta com condições iniciais nulas y1(t) e 
quando excitado por x2(t) produz uma resposta 
com condições iniciais nulas y2(t), logo 
x(t)=x1(t)+x2(t) resultará em uma resposta 
com condições iniciais nulas y(t)= y1(t)+y2(t) . 
Propriedade dos Sistemas 
• Invariância no tempo: 
 Se um sistema encontra-se inicialmente em 
condições iniciais nulas, e um sinal de entrada 
arbitrário x(t) produz uma resposta y(t), e um 
sinal de entrada x(t-t0) produz uma resposta 
y(t-t0) para um t0 arbitrário qualquer, o 
sistema é classificado como invariante no 
tempo. 
Propriedade dos Sistemas 
0
0(t) 2A 1 , t
t t
RC
outV e t

 
    
 
Invariância no tempo 
2A 
0
0
2 , t
(t)
0, t<t
A t
u

 

t0 t0 
2A 
2A 
2A 
Propriedade dos Sistemas 
0t
(t)x y(t)
(t)x
0x(t t )
0y(t t )
Propriedade dos Sistemas 
Sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT ou 
LTI em inglês). 
• Quando uma excitação complexa produz uma 
resposta em um sistema LIT, a componente 
real desta excitação produz a componente real 
da resposta e a componente imaginária da 
excitação gera a componente imaginária da 
resposta. 
Propriedade dos Sistemas 
Exemplo: 
• Determinar a resposta do circuito filtro RC 
ante uma excitação do tipo onda quadrada de 
amplitude 1v e período de 2ms. 
• Admita também que a constante RC=1ms 
Propriedade dos Sistemas 
: 
. 
0 1 2(t) (t) (t) (t)
(t) (t) (t 1ms) (t 2ms)
x x x x
x u u u
   
     
Solução 
Propriedade dos Sistemas 
 
 
 
1000
0
1000( 0,001)
1
1000( 0,002)
2
(t) 1 (t)
(t) 1 1 (t 0,001)
(t) 1 (t 0,002)
t
t
t
y e u
y e u
y e u

 
 
 
   
  
0 1 2y(t) (t) (t) (t)y y y   
Solução 
Propriedade dos Sistemas 
• Estabilidade: 
 Qualquer sistema, para o qual a resposta com 
condições iniciais nulas relativa a qualquer 
sinal de entrada arbitrário limitado é 
igualmente limitada, é denominado sistema 
estável com entrada limitada e saída limitada 
(BIBO). 
    : : Nx t M M y t N     
Propriedade dos Sistemas 
• Linearidade incremental: Acontece quando 
sistemas descritos por equações diferenciais 
lineares não descrevem exatamente a 
dinâmica do sistema. 
• Sua resposta com entrada nula é diferente de 
zero. 
• Neste caso o sistema é modelado como um 
sistema LIT mais um termo que representa a 
resposta do sistema para entrada nula. 
Propriedade dos Sistemas 
(t) (t) (t) mg x(t)v smy K y K y   
1 2
1 2(t) K K
s t s t
h h
s
mg
y e e
K
  
Para x(t)=0 a solução do sistema é diferente 
de zero. Sistema não homogêneo. 
Propriedade dos Sistemas 
Propriedade dos Sistemas 
Causalidade 
• Qualquer sistema para o qual a resposta com 
condições iniciais nulas ocorre somente 
durante ou após o instante em que ele 
recebeu a excitação é denominado causal. 
• Todo sistema físico real é causal. 
Propriedade dos Sistemas 
Memória 
• Se qualquer resposta com condições iniciais 
nulas de um sistema, para um instante de 
tempo arbitrário, depende de sua excitação 
ocorrida em qualquer outro instante de 
tempo, o sistema é dito ter memória e é 
denominado sistema dinâmico. 
Propriedade dos Sistemas 
Memória 
• Se qualquer resposta com condições iniciais 
nulas de um sistema, para um instante de 
tempo arbitrário, depende apenas da 
excitação no mesmo instante de tempo em 
questão, o sistema não possui memória e é 
considerado como um sistema estático. 
 
Propriedade dos Sistemas 
Inversibilidade: 
 Um sistema é dito inversível se excitações 
singulares produzem respostas com condições 
iniciais nulas singulares. 
 
 
 
Funções de singularidades são relacionadas umas ás 
outras por meio de integrais e derivadas. 
Propriedade dos Sistemas 
• Em outras palavras um sistema é inversível se 
existe um outro sistema que ao ser excitado 
pela resposta do primeiro sistema responde 
com a excitação aplicada ao primeiro. 
Sistema não inversível 
Para V0(t) = 1v a 
entrada pode ter 
sido Vi(t) = 1v ou 
Vi(t)=-1v. 
Propriedade dos Sistemas 
Exemplos 
• Classifique os seguintes sistemas em quanto a: 
1. Homogeneidade 
2. Aditividade. 
3. Linearidade. 
4. Invariância no tempo. 
5. Estabilidade. 
6. Causalidade. 
7. Memória. 
8. Inversibilidade 
 
    
   
cosy t x t
d
y t x t
dt


• Solução: a) 
1. Teste de homogeneidade 
 
2. Teste de aditividade 
 
 
 
3. Logo o sistema não é linear já que não é nem 
homogêneo nem aditivo. 
       cos cosy t Ax t A x t 
         
                  
     
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
cos ; cos
cos cos cos sin sin
y t x t y t x t
y t x t x t x t x t x t x t
y t y t y t
 
   
 
Propriedade dos Sistemas 
 
• Solução a) 
4. Teste de invariância no tempo 
 
5. Teste de estabilidade 
 
6. Teste de causalidade: Sistema causal. A saída 
do sistema responde somente após a 
aplicação da entrada. 
          cos 1;1 Saída é limitaday t x t y t x t    
    0 0cosy t t x t t  
Propriedade dos Sistemas 
• Solução a) 
7. Memória: A saída do sistema não depende 
de valores da entrada em outros instantes de 
tempo. Logo o sistema é considerado sem 
memória ou estático. 
8. Inversibilidade: O sistema não é inversível já 
queexiste uma família de funções de entrada 
x(t)+2k que geram a mesma saída y(t). 
Propriedade dos Sistemas 
• Solução: b) 
1. Teste de homogeneidade 
 
2. Teste de aditividade 
 
 
 
 
3. Logo o sistema é linear já que é homogêneo e 
aditivo. 
     
d d
y t Ax t A x t
dt dt
 
       
          
     
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
; 
d d
y t x t y t x t
dt dt
d d d
y t x t x t x t x t
dt dt dt
y t y t y t
 
   
 
Propriedade dos Sistemas 
 
• Solução b) 
4. Teste de invariância no tempo 
 
5. Teste de estabilidade 
 
Para uma entrada limitada a saída sempre será 
limitada, logo o sistema é BIBO estável. 
6. O sistema pode ser causal ou não dependendo 
de como seja definida a derivada 
   
d
y t x t
dt

   0 0
d
y t t x t t
dt
  
Propriedade dos Sistemas 
   
   
0
lim
h
x t x t hd
y t x t
dt h
 
 
Propriedade dos Sistemas 
• Solução b) 
7. Memória: 
 
Da expressão acima observa-se que a saída do 
sistema no instante t depende da entrada do 
sistema no instante t+h. 
8. Invertibilidade: O sistema não é inversível já 
que existe uma família de funções de entrada 
x(t)+C que geram a mesma saída y(t). 
   
   
0
lim
h
x t h x td
y t x t
dt h
 
 
Propriedade dos Sistemas 
Exemplo: 
De acordo com a representação dos pares de 
entrada saída de um sistema H, determine: 
a) Se o sistema tem memória; 
b) Sua causalidade; 
c) Sua invariância no tempo. 
Propriedade dos Sistemas 
I 
II 
III 
Propriedade dos Sistemas 
• Solução: 
I) Para este sistema temos que a saída y(t) é: 
 
Logo: 
a) O sistema tem memória; 
b) É causal; 
c) É invariante no tempo: 
   
0
t
y t x t dt 
   
0
0 0
t
t
y t t x t t dt  
Propriedade dos Sistemas 
II) Para este sistema temos que: 
 
 Logo o sistema tem memória e não é causal 
(responde antes do excitação chegar) . 
 Poderia ser considerado variante no tempo? 
III) A expressão deste sistema é: 
 
   
1
1
t
y t x t dt  
   
1
0, 1, 3
1 2
2 2 3
t
t t
y t x t dt t
t
 


  

  

Logo o sistema tem 
memória é causal e é 
variante no tempo 
Trabalho extraclasse 
• Exercícios 11, 14, 16, 18-21 capítulo 4 
(Roberts)