Transformadas_em_Sinais_e_Sistemas_-Aula_21_2019

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509) 
Aula 21 
Professor: Alain Segundo Potts 
alain.segundo@ufabc.edu.br 
Sala 742-1 
Bibliografia 
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais 
e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010 
 
Objetivos 
• Exercícios sobre análises de sistemas lineares 
• Estabilidade de sistemas. 
• Diagramas de pólos e zeros e cálculo gráfico da 
respostas em frequência. 
Exercícios 
• Ex 13 capítulo 8. Utilizando a TL unilateral 
resolva as seguintes equações diferenciais 
lineares para t0: 
a) 
b) 
 
           
         
0
2 4 , 0 0, 4
2 sin 2 , 0 4
t
d
x t x t x t u t x x t
dt
x t x t t u t x




 
     
 
   
Exercícios 
• Solução a): 
           
         
            
  
 
 
0
2
2
31 2
2
2 4 , 0 0, 4
2 4
1
0 0 2 0 4
1
2 4 4
4 1
2 4 1 3 1 3
t
d
x t x t x t u t x x t
dt
L x t x t x t L u t
d
s X s sx x sX s x X s
dt s
X s s s
s
KK Ks
X s
ss s s s j s j



  
 
     
 
  
     
   

   
     
Exercícios 
 
     
 
 
 
 
 
 
   
  
1
2
3
2
2 2 2 2
1 1
1
, 
4
0,1250 1,2269
0,1250 1,2269
0,1250 1,2269 1 3 0,1250 1,2269 1 30,25
1 3
16 10,25 0,25 4 0,25 1 1 1 17 3
4 4 31 3 1 3 1 3 1 3
1 1
4
K
K j
K j
j s j j s j
X s
s s
s ss
X s
s s ss s s s
L X s L
s
 

  
  
        
 
 
    
        
           
 
 
   
       
2 2
1 17 3
31 3 1 3
1 17
1 cos 3 sin 3
4 3
t t
s
s s
x t e t e t u t 
   
  
       
 
   
 
Exercícios 
• Solução b) 
         
         
     
  
 
  
  
2 2
2 2
2 2
31 2
2 2
2 sin 2 , 0 4
2 sin 2
2
0 2
4
2
2 4
4
2 4
24 2
2
2 2 24 2
x t x t t u t x
L x t x t L t u t
sX s x X s
s
X s s
s
X s
ss s
KK K
s s j s js s









 


   
 
  

  

 
 
  
   
Exercícios 
• Solução b) 
     
 
   
  
 
   
 
   
 
  
 
1 2 32
2 331 2 1
2 31
2 2
2 3 2 31
2 2
2
2
1 1
, , 
4 1 4 12 1
2 24 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
2 4 2
2 4
2 4 2
2 1
2 1 2
K K K
j j j j
K s j K s jKK K K
X s
s s j s j s s s j s j s
K s j K s jK
X s
s s s
K K s K K jK
X s
s s s
X s
s

 
 
   
 






  
  
   
      
       
  
  
  
   
  
  
 

 
  
 
 2
2 2
1
2
2 1 4
4 2
s j
j
s s



 
  
  
  
 
Exercícios 
• Solução b) 
 
   
 
 
     
2 2 2 22
2 2
2
1 2 4
2 4 4 22 1
1
sin 2 cos 2 4
2 1
t t
s
X s
s s s s
x t e t t e u t

 

 

 
 
          
  
     
    
Exercícios 
• Ex 15 capítulo 8 [2]. A partir dos seguintes 
diagramas de pólos e zeros esboce a resposta 
em frequência dos respectivos sistemas 
sabendo que ambos são causais: 
Exercícios 
• Solução e): 
 
 
  
   
 
 
 
2
2
22
2
Polo: 4;
Zeros: 2
1
2 2 44
4
4 4 4
1 1
4 44 4
4 4
20log 20log 4 20log 1 20log 4
4
s
s j
s
s j s j s
H s
s s s
js
H s H j
s j
j
H j j




 
 
 
 
 
      
  
 
  
 
    
Exercícios 
• Solução e): 
      
 
 
2 2
1
12 2
1 1
22
1
1
2Re
1 1 Re 0
4
2 
Re
0
n n
n
j z j
j z
z z
z
z
 

 


     
  
 
Exercícios 
-400
-300
-200
-100
0
100
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-1
10
0
10
1
10
2
-45
0
45
90
135
180
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Exercícios 
• Solução d): 
 
 
    
   
 
 
 
2 2
2 2
2
Polo: 1 10 ;
Zeros: 0
1 10 1 10 2 1011 100
1
2 101 101 2
1
101 101
1 2
20log 20log 20log 20log 1
101 101 101
s j
s
s s s
H s
s j s j s ss
js
H s H j
s s j
j
j
H j j j





  
  

  
      
  
 
 
    
Exercícios 
• Solução d): 
      
 
2 2
2 2
2
22
1 1
101 101
10
22
0,1
101
n
n n
n
n
n
j j
j j
  
 
 




    

  
Exercícios 
-40
-30
-20
-10
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
0
10
1
10
2
-90
-45
0
45
90
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Exercícios 
• Ex 6.24 Capítulo 6 [3]. Determine se os 
sistemas descritos pelas seguintes funções de 
transferências podem ser tanto estáveis como 
causais: 
a) 
 
b) 
 
  
  
 
  
2
2
2
1 2
1 2 10
3 2
2 2 8
s s
H s
s s s
s s
H s
s s s
 

  
 

  
Exercícios 
• Solução a): 
  
  
   
 
 
     
       
2 2 22 2 2
1 2
1 1 3 1 3
Polos: 1, 1 3
Zeros: 1, 2
2 2 3
31 3 1 3 1 3
2
cos 3 sin 3
3
t
s s
H s
s s j s j
s s j
s s
s s
H s
s s s
h t e t t u t
 

    
    
   

  
     
 
  
 
Sistema estável e causal 
Exercícios 
• Solução b): 
 
  
  
    
2
2
2 13 2
2 2 8 2 1 7 1 7
Polos: 2, 1 7
Zeros: 2, 1
s ss s
H s
s s s s s j s j
s s j
s s
  
 
       
   
   
Exercícios 
 
 
       
     
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
1 49 1 49 1 49 1 49
2
cos 7 sin 7
7
t
s s s
H s
s s s s
h t e t t
    
   
       
 
  
 
Para que o sistema seja estável ele deveria estar 
definido para todo -<t<0, só que para esta definição 
do tempo o sistema não seria causal. 
Logo o sistema não poder ser ao mesmo tempo causal 
e estável. 
       
2
cos 7 sin 7
7
th t e t t u t
 
   
 
Exercícios 
• Determine todas as possíveis funções no 
domínio do tempo que tem como TL: 
 
 2
1
1
X s
s s


• Solução 
 
 
 
   
 
   
 
 
   
 
 
1,1 2,1 2
2 2
,
2 1
2
1,1 22 1
0
0
2 2
2
2,1 2 2
0
0
2 2
1
1
1 1
1
 , 1, 2, ,
!
1 1
0 1 1
2 1 ! 1
1 1
0 1 1
2 2 ! 1
1
1
q
m k
m
q k km k
s p
s
s
s
s
s
K K K
X s
s s s s s
d
K s p H s k m
m k ds
d
K s H s
ds s
d
K s H s
ds s
K
s
X s












   
 
   
 
       
     
 
          
 
 2 2
1 1 1 1
1 1s s s s s
 
   
 
Exercícios 
• Possíveis regiões de convergência: 
     
       
     
1: 0
1
2 : 0 1
RDC3: 1
1
t
t
t
RDC s
x t e t u t
RDC s
x t u t tu t e u t
s
x t e t u t

   
 
    

  
Exercícios 
• Determine qual dos seguintes diagramas de 
polos e zeros corresponde ao de uma função 
par. 
Exercícios 
• Solução: 
 De acordo com os diagramas de zeros e polos 
os diagramas correspondentes às funções X2(s) 
e X4(s) tem as seguintes regiões de 
convergência: 
X2(s): RDC s>-1 ou s<-1 
X4(s): RDC s>0 ou s<0 
 Em ambos casos as funções no domínio do 
tempo resultantes da TL inversa destas funções 
serão unilaterais esquerda ou direita. Logo em 
nenhum caso a função poderá ser par. 
Exercícios 
• As RDC de X1(s) e X3(s) vão gerar funções 
bilaterais que poderão ser pares ou não 
• Para X1(s) e X3(s) temos: 
 
   
   
  
   
  
 
 
     
1 3
1 3
1
1
1
1 1
1 1 1 1 1 1
 não tem zeros
1 1
 Função ímpart t
A B
X s X s
s s
s A B A BA B As A Bs B
X s X s
s s s s s s
X s A B
A A
X s
s s
x t Ae u t Ae u t
  
 
    
    
     
  

 
  
Exercícios 
• De forma similar temos que para X1(s): 
 
   
   
  
   
  
 
 
     
1 3
1 3
3
3
3
1 1
1 1 1 1 1 1
 tem um zero
1 1
 Função part t
A B
X s X s
s s
s A B A BA B As A Bs B
X s X s
s s s s s s
X s A B
A A
X s
s s
x t Ae u t Ae u t
  
 
    
    
     
 
 
 
  
Exercícios 
• Determine os valores iniciais e finais dos sinais 
que tem como transformada de Laplace as 
seguintes funções: 
 
 
 
 
 
1 2
2 2
3
1
1
1
1
1 sT
X s
s s
X s
s s
e
X s
s







Calcule as respectivas TL 
inversas e verifique os 
resultados