Transformadas_em_Sinais_e_Sistemas_-Aula_16_2019 (1)

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509) 
Aula 16 
Professor: Alain Segundo Potts 
alain.segundo@ufabc.edu.br 
Sala 721-1 
Bibliografia 
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais 
e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010 
 
Objetivos 
• Exercícios sobre a resposta em frequência de 
sinais e sistemas. 
• Utilização dos diagramas de Bode na análise de 
respostas em frequências. 
Problemas 
• Determine e faça o gráfico da resposta em 
frequência do seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
• Determine a saída do circuito quando for 
excitado por um sinal senoidal de frequência: 
104, 3,16x104 e 5x104 rad. 
Problemas 
• Solução: 
             
 
    
     
 
 
 
 
 
0
2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
t
TFCT
i i
i
TFCT
L L
L
i
di
V t i t R i t dt L V j i j R i j Lj i j
C dt j C
i j
V j
R j L j RC j LC
j C j C
di
V t L V j j Li j
dt
V j j LC
H j
V j j RC LC
LC L C j LR L
H j
LC j RC L C j LR
    


   
 
  
 

  
   

   
      
 
   
  
 
 
  
  
   

   
 2 2 22 22 11
C
L C j LR
LC RC
 
 
 
   
  
 
Problemas 
• Solução: 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2 2 2 2 2 2
2 22
2 9
2
3 2 6 2 4
2
2 5 2 9
2 2 2
2
2 6 3
1
1
10
10 10 10
10 1 10
arctan 2
1
10
arctan 2
10 10
LC
H j L C L R
LC RC
H j
LR
H j
L C
H j

  
 

  
 







 
 


  
 
  
 
 
  
 
 
 
  
 
 
Problemas 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x 10
5
0
1
2
3
4
Magnitude

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x 10
5
-4
-2
0
2
4
Fase

Problemas 
• Resolvamos o mesmo problema utilizando o 
diagrama de Bode. 
 
 
 
      
 
2
2
2
2
1
1
20log 20log 20log
1dB
j LC
H j
j RC j LC
H j LC j
j RC j LC


 
 
 

 
 
   
   
 
 
   
2
22
2 2
sen 1 1
21
1
n t
n
TFCT
n
n
n n
e t
u t
j
j
   

 

 




 
2 4
6
9
1
3,16 10
2 1 1
5 10 0,1581
2 2 10
n n
n
n
LC
RC RC
RC
LC
 

 



   
      
Problemas 
-80
-60
-40
-20
0
20
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
3
10
4
10
5
10
6
0
45
90
135
180
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
• Sinal senoidal: 
 
• Saída do sistema é: 
 
          0 0 0sinin inV t t V j j        
     
 
 
 
 
     
 
 
     
 
     
2
2
2
2
2
0 02
1
1
1
L
i
L i i
L i
V j j LC
H j
V j j RC LC
j LC
V j H j V j V j
j RC LC
j LC
V j H j V j j
j RC LC
 

  

   
 

         
 
 
 
 
 
    
 
Problemas 
Problemas 
     
 
     
 
 
     
        
        
   
1
1
2
0 02
2
4 4
2
4 4 4
4 4 4
5
1
10 10
1
0,1104 10 10 0,1104sin 10
3,16 3,16 10 3,16 10 3,16sin 3,16 10
1,1043 10
L i
L
L
L
L
j LC
V j H j V j j
j RC LC
j LC
V j j
j RC LC
V j j t
V j j t
V j j

         
 

     
 
     
     
   




    
 
   
 
    
       
      
        
1
1
5 5
5 5 5
10 1,1043sin 10
1,02 2 10 2 10 1,02sin 2 10L
t
V j j t
 
     




  
       
Problemas 
Problemas 
• Ex 9 capítulo 12. O circuito da figura é excitado 
pela tensão de entrada Vi(t) e sua resposta é a 
tensão Vo(t). Os valores dos componentes são 
R=50, L = 100mH e C = 5F 
 
Problemas 
a) Determine a resposta em frequência 
H(f)=Vo(f)/Vi(f). 
b) A que filtro ideal se aproxima a resposta em 
frequência do circuito. 
c) Qual é o valor da f que corresponde com o valor 
máximo da magnitude? Quais são os valores da 
fase e da magnitude para esta frequência? 
d) Quais são os valores da magnitude para as 
frequências 0, 100Hz e tendendo ao infinito. 
e) Qual a banda de passagem do filtro? 
 
Problemas 
• Solução: 
       
   
   
   
               
 
      
 
   
2
2
2
1
1 1
2
2
1 1 2
1 1 2 1 22 2 1 2
2 2
2
2 1 2
i L C o
L
t
C
o
t
TFCT
i i
i
o
i
V t V t V t V t
d
V t L i t
dt
V t i t dt
C
V t i t R
d
V t L i t i t dt i t R V f j fLi f i f i f R
dt C j fC
i f j fC
V f j f LC j fRCj fL R j f LC j fRC
j fC j fC
V f j fRC
V f j f LC j fRC



   
 

 


  



      
  
    

 


Problemas 
2 3
6
7
3
1
1,4142 10
2 1 1
125 10 0,1768
2 2 10
1,4142 10
2 224.8064
2 2
n n
n
n
n
n
LC
RC RC
RC
LC
f f
 

 


 
 


   
      

    
b) De acordo ao diagrama de Bode o filtro se aproxima 
de um filtro passa-faixa. 
 
 
  
  
 
    
   
 
    
 
 
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
1 2 22
1 2 2 1 2 2
2
2 1 2
1 2 2
2 1 2
, arctan
2
1 2 2
f LC j fRCj fRC
H f
f LC j fRC f LC j fRC
fRC
H f fRC j f LC
f LC fRC
fRC f LC
H f H f
fRC
f LC fRC
 
   

 
 
 

 
 
 
   
  
 
 
   
 
  
Problemas 
-40
-30
-20
-10
0
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
2
10
3
10
4
-90
-45
0
45
90
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Problemas 
c) O pico da amplitude ocorre para a frequência 
de 224,81 Hz. Nesta frequência a magnitude 
vale aproximadamente |H(f)| = 0dB = 1 e a 
fase vale H(f) = 0. 
d) Para f=0 temos que |H(f)|=0, f =100Hz 
|H(f)|=0,0251, para f tendendo ao infinito 
|H(f)| tende a 0. 
e) Para determinar a banda passante 
utilizaremos o critério da metade da potência 
máxima do sinal. 
 
Problemas 
 
    
 
    
      
         
           
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2 22 2 4 4 2
2 2
2 2 2 2
2
1
2 1
2
1 2 2
2 1
2 2 1 2 2
21 2 2
2 1 2 1 2 2 1
2 2 4 2 2 4
2 2
1185,8
fRC
H f
f LC fRC
fRC
fRC f LC fRC
f LC fRC
f RC f LC RC LC LC LC RC LC
RC LC RC LC LC RC LC RC LC LC
LC LC
r


 

  
 
      
 

 
 
    
 
 
           
 
       
  
 1
2 2
592,2
1685,4 842,7
249,8
ad s f Hz
rad s f Hz
f Hz

 
  
 
Problemas 
• Ex 36. Capítulo 12. Encontre a resposta em 
frequência do seguinte filtro ativo e 
classifique-o. 
Problemas 
       
     
   
 
     
 
 
   
 
 
 
 
1
0
1
1
0
1
t
i i i i x
i
x o f f
f i
x
i i
i i i i
i i i i
o
o f f f
f
f io
i i i
V t i t R i t dt V t
C
V t V t i t R
i t i t
V t
i j j C
V j i j R i j
j C V j j R C
V j
V t i t R R
i j
j R CV j
V j j R C
 
  
  



 


  

  
 

 
   

    




Problemas 
-40
-30
-20
-10
0
10
20
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
180
225
270
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Problemas 
• Ex 29, capítulo 12. O seguinte sinal causal 
excita o filtro mostrado na figura abaixo. 
Determine a resposta deste filtro. 
Problemas 
• Solução: 
   
     
   
 
 
 
           
 
 
 
0
0
0
1
1
1 1
2
2
2 1
t
c c
t
o
i c o i o
o c
t
TFCT
i o o i o o
o
i
V t i t dt
C
V t
V t V t V t V t dt V t
C R
V t i t R
V t V t dt V t V f V j V f
RC j fRC
V f j fRC
H f
V f j fRC








    
 

    
 




Problemas 
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
Magnitude
f
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
Fase
f
Problemas 
-25
-20
-15
-10
-5
0
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
45
90
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Problemas 
     
   
   
     
         
     
0
0,5 2 : 0, ,
0,5 sinc
2 2
sinc 2
2
sinc 2
2 1
2
sinc 2
2 1
i
TFCT j f
TFCT
j f
i
j f
o i
j k
o
k
V t ret t t k k
ret t f e
t k f k
V f f e f k
j fRC
V f H f V f f e f k
j fRC
j kRC
V f k e f k
j kRC





 













     
 
  
 
  

 


Problemas 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
V
o