Transformadas_em_Sinais_e_Sistemas_-Aula_9-10_2019

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509)
Aula 9
Professor: Alain Segundo Potts
alain.segundo@ufabc.edu.br
Sala 742-1
Bibliografia
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais 
e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010
Objetivos
• Exercícios sobre a Série de Fourier (SFCT)
Exercícios
• Ex. 3 Capítulo 6 (Roberts): Para cada um dos
seguintes sinais definidos abaixo no seu
período fundamental. Esboce os gráficos de
magnitude e fase da função harmônica.magnitude e fase da função harmônica.
a)
b)
c)
     
     
   
1
4
4ret 4
4ret 4
sgn , 1
0, 1 2
x t t t
x t t t
t t
x t
t


 
 
    
Exercícios
• Solução a)
     
     0
1 0
1
2 22
1
4ret 4 1
1 1
1
k kj t j tT
x t t t T
X k x t e dt x t e dt
T
 

  
   
       
 
 
10
2
1 1 1 1 11
2 228 8 8 4 48
2
11
88
1
1
sin
4
4 4 4 4 4
2 2 2
1
sin
4
sinc
4
4
j k j k j k j kj kt
j kt
T
k
e e e e e
X k e dt
j k j k j k k
k
k
X k
k
   


   


 

  


 
        
 
 
       
 
 

Exercícios
Exercícios
       
 
      
2 2Re Im
sinc
4
Im
arctan
X k X k X k
k
X k
X k
X k
 
   
 
 
        
   
arctan
Re
arctan 0 0, ,
X k
X k
X k 
    
 
    
Exercícios
0
0.5
1
Magnitude
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
k
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-4
-2
0
2
4
Fase
k
Exercícios
• Solução b)
     
     0
4 0
1
2 22
4
10
4ret 4 4
1 1
4
k kj t j tT
x t t t T
X k x t e dt x t e dt
T
 

  
 
   
  
 
 
10
2
1
81 1 1 1 1
8 2 8 2 8 16 162
2
1
18
8
4
1
sin
1 4 16
4 4
4 4
2 2 2
1
sin
116
sinc
4 4 16
4 4
k kk
j j j k j kj tk
j t
T
k
e e e e e
X k e dt
k k k kj j j
k
k
X k
k
    
   


 

  



 
        
 
 
    



 

Exercícios
0.15
0.2
0.25
sinc(k/16)
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
k
Exercícios
       
 
      
2 2Re Im
1
sinc
4 16
Im
arctan
Re
X k X k X k
k
X k
X k
X k
X k
 
   
 
 
    
 
0.2
0.3
0.4
Magnitude
    
 
   
Re
0
arctan
1
sinc
4 16
arctan 0 0,
X k
X k
k
X k 
 
 
 
 
  
  
    
    
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
0
0.1
k
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-4
-2
0
2
4
Fase
k
Exercícios
• Solução c)
   
    0
0
2 0 1
2 2
0 1 0
sgn , 1
4
0, 1 2
1 1 1
4 4
k k kj t j t j tT
t t
x t T
t
X k x t e dt e dt e dt
T
     
 
     
     
 
 
0 1 0
0
10 2 2 2
2
1
1
1
11 2 2 2
2
0
0
4 4
1 1 1
4 2 2 2
1 1 1
4 2 2 2
k k k
j t j jk
j t
k k k
j t j jk
j t
T
e e e
e dt
j k j k j k
e e e
e dt
j k j k j k
  

  

  
  
 
  



  

 
    

 
  
 


Exercícios
• Solução c)
 
2 2 2 22 2
2 2 4 4 4 4
2
2
1 1 2
2 2 2 2
k k
j j
k k k k k k
j j j j j j
k k
j j
e e
e e e e e e
X k
j k j k j k j k
k
 
     
 
   


  

 
  
       

     
 
2
2
4 4 2
2 2
2 22
sin
4
sinc
4
sin
2 2 4
4 1
16
k k
j j
k
k
ke e
j j k
X k
kj k k




 

 
 
   
 
 
                 
 
 


 
2
2
sinc
6 8 4
sinc
8 4
k k
j
k k
X k
j
 
 
   
 
   
 
Exercícios
       
 
 
2 2
2
2
Re Im
sinc
8 2
sinc
8 4
X k X k X k
k k
X k
k k
 
 
 
   
 
      
0.2
0.3
0.4
Magnitude
 
   
sinc
8 4
arctan
0
arctan
2
X k
X k

      
 
 
 
    
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
0.1
k
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-2
-1
0
1
2
Fase
k
Exercícios
• Ex 4 capítulo 6 (Roberts). Um sinal periódico
de período fundamental T0 = 4 é descrito pela
seguinte expressão: x(t)=3-t, 0<t<4.
a) Esboce o sinal e encontre sua funçãoa) Esboce o sinal e encontre sua função
harmônica.
b) Determine a aproximação da série de Fourier
para N=1,2,3 e o erro que se tem em cada
aproximação.
Exercícios
• Solução:
 
     
 
0
0
2 4 4 4
2 2 2
0 0 0 0 0
4
4 2
2
3 , 0 4
1 1 3 1
3
4 4 4
3 3 3
kT k k kj t j t j t j tT
k
j tk
j t j k
x t t t
X k x t e dt t e dt e dt te dt
T
e j
   



   

 
   
    
  
   
  
2
22
0
0
44 4
2 2 2 2
0 00
3 3 3
1
4 4 2
2
1 1 1
4 4 2
2
j t j k
k k k k
j t j t j t j t
e j
e dt e
k kj
j
te dt t e e dt t e
j k k

   
 
 
 
   
  

 
   
   

 
 
4
4
2
0
0
4 2
2 2 22
2 2
0
2
1 1 1
4 2 1
4 2
2
k
j t
k j k
j t j k j k j k
e
k
j
j e
te dt e j ke e
kk kj

 
  

 

   
 
 
 
  
 
 
  
      
 
 

Exercícios
• Solução:
     
   
   
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
3 1
1 2 1
2
1
3 3 4 2 2
2
1
2 3 2
j k j k j k
j k j k j k
j k j k
j
X k e j ke e
k k
X k j ke j k j ke e
k
X k j ke j k e
  
  
 

 
  

 
  
  
 

     
    
   
• Para determinar as primeiras aproximações da 
série de Fourier fazemos:
   
 
2 2
2 2
2 3 2
2
2
j k j kX k j ke j k e
k
j
X k
k
 


   


    0
2 kN j t
T
N
k N
x t X k e


 
Exercícios
0
0.5
1
Magnitude
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0
k
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-2
-1
0
1
2
Fase
k
Exercícios
• Para N=1 temos:
   
    
2 2
2 2
2 2
2 2
0
2 2 2 2
1
2 3 2
2
2 3 2 '0
0
0 2 'lim
j k j k
j k j k
k
j k j k j k
X k j ke j k e
k
j ke j k e
X k
k
 
 
  
 

 

   
 
 

  
   
  
  
    
    
 
2 2 2 2
2
0
2 2 2 2
2
0
2 2 2
0
2 3 4 0
0
4 0
2 3 4 '
0
4 '
2 2
0
lim
lim
lim
j k j k j k
k
j k j k j k
k
j k
k
j e ke j j e
X
k
j e ke j j e
X
k
e
X
  
  

   

   

 
  

  



   
 
   

 

 
2 2 2 2 2 2
2 2
4 8 4
1
4 4
2
1
j k j k j ke j ke e
j
X k
    
 

   
 
   
Exercícios
         
 
0 0 0
0 0
0 0
2 2 2
1
2 2
2 2
1 1
2 2
0
2 2 2
1 1
k k k
j t j t j t
T T T
k k
k k
j t j tk k T Tj t j t
T T
k k
k k
x t X k e X X k e X k e
j j e e
x t e e
k k k j
  
 
 
 
  
  
 

 
 
    
 
        
 
 
 
 
 
 
 
0 0
2 2
1
1
4
1
2
4
1 sin
2
k k
j t j t
T T
k
k
e e
x t
k j
k
x t t
k
 








 
    
 
 
    
 


Exercícios
• Para calcular o erro utilizamos o Teorema de 
Parseval:
2 2 2
1
1
2
[k] [k 0] 2 [k]
2 8 1 4 7
1 2 1 1 2,33
T
k k
E X X X
j
E
 
 
 
   

       
 
 


2
,
2 2
1 1
6
1
, 2 2 2 2
1
1
, 2 2 2 2
1
2 8 1 4 7
1 2 1 1 2,33
3 3
8 1 8 1
1
8 1 8 8 1
6
e N
T
k k
N
T N e N
k k N
E
N
e N T N
k N k
j
E
k k
E E E
k k
E E E
k k

 
 
 
 
 
 
 
 

       
    
    
 
 
 

Exercícios
• Avaliando para diferentes valores de N:
1
, 2 2
1
8 8 1
6
8 8
N
e N
k
E
k


 
   

1 2
2
2 2 2 2
1
3
3 2 2 2
1
8 8
1 0,52 22,31%
6
8 8 1 8 8 1
1 0,32 13,735%
6 6 4
8 8 1 8 8 1 1
1 0, 23 10%
6 6 4 9
e
e
k
e
k
E
E
k
E
k

 
 


   
        
 
         
 

Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
• Ex 6 capítulo 6 (Roberts). Dada a seguinte
função harmônica de um sinal periódico
obtida ao longo do período fundamental:
 1 cos k
a) Determine o valor médio do sinal.
b) Determine se o sinal é par, ímpar o nem par
nem ímpar.
   2 2
1 cos k
X k
k




Exercícios
• Solução:
a)      
     
 
2 2
1 cos 0
0
0
1 cos ' sin 0
0 lim
k
X k X
k
k k
X


  

  

       
 
     
 
 
22 2
0
2
22
0
sin 0
0
2 0'
sin ' cos 1
0
2 22 '
1
0
2
lim
lim
k
k
k
X
kk
k k
X
k
X
 

   



  
  

Exercícios
Solução
b) A função harmônica é completamente real
pelo que podemos afirmar que o sinal é real e
par.par.
Exercícios
• Ex 5 Capítulo 6 (Roberts). Utilize as
propriedades e tabelas de pares da Série de
Fourier para determinar as funções
harmônicas dos seguintes sinais.harmônicas dos seguintes sinais.
a)
b)
c)
   
   
     
10
4
10sin 20 , 1 10
, 1 5
4
j t
x t t T
d
x t e T
dt
x t ret t t



 
 
 
Exercícios
• Tabela de Pares da Série de Fourier
Exercícios
• Solução
a)    
             
10sin 20 , 1 10
10sin 20 10 1 1 5 1 1
2
x t t T
j
x t t k k j k k

    
 
          
 
b)
      
20 20
20 20
2
5 5 5
1 1
2
j t j t
j t j te ex t e e k k
j j j j
 
   


 
 
       
 
   
 
   
10
10
10
, 1 5
1
10 1
j t
SFCTj t
j t
d
x t e T
dt
e k
d
e j k k
dt




 
 
 
 
Exercícios
c)        
   
4 1
1
1
4 4 sinc
4 4
sinc
4
SFCT kx t ret t t k
k
x t k
 

     
 
   
 
Exercícios
• Ex 7 Capítulo 6 (Roberts). Encontre a função
harmônica para um sinal senoidal na forma
Asin(2f0t) e determine sua potência média a
partir do Teorema de Parseval.partir do Teorema de Parseval.
• Teorema de Parseval
0
2 21
(t) [k]
F
F
kF T
T mT
x dt X
T



 
Exercícios
• Solução
        
      
0sin 2 1 12
1 1
SFCT jx t A f t A k k
Aj
X k k k
  
 
      
 
   
• Potência média
      1 1
2
Aj
X k k k    
    
2 2 2
2
[k] 1 1 2
2 4 2k k
Aj A A
X k k 
 
 
      
Exercícios
• Ex 8 Capítulo 6 (Roberts). Dado seguinte par:
Se 
   0: 8 4 , 4
0, caso contrário
SFCT T j k kx t X k
 
  

       : 8
t
SFCT T   Se 
a) Qual o valor médio de x(t).
b) Qual o valor numérico de Y[1].
c) Determine a paridade de x(t). 
       0: 8 e SFCT Ty t x d y t Y k  

 
Exercícios
• Solução:
a) O valor médio de x(t) equivale ao valor da 
função harmônica para k=0:
 
 
4 , 4
0, caso contrário
0 0
j k k
X k
X
 
 


Exercícios
b)    
 
 

, 0
2
4 2 16
, 0
12
8
t
SFCT
F
t
SFCT
F
X k
x d k
j kf
j k
x d k
j kf
 

 
 


 
   



c) Como a função harmônica X[k] é imaginária 
pura o sinal x(t) é ímpar.
   

 
8
16
 0
Y k
y t
Y k k


  

Exercícios
• O sistema #1 é excitado pelo sinal x1(t) e tem 
como resposta o sinal x2(t). 
• Se as formas dos sinais são as mostradas nas
figuras a seguir; determine se o sistema #1
pode ser LTI ou não?
Exercícios
Exercícios
• Solução 
   
     
    0
1 1 0
1 1
1
2 24
1
1 1
ret 2
1 1
1
k kj t j tT
x t x t T
x t t t
X k x t e dt e dt
 

  
   
 
     
 
 
0 1
1
10
4
1 1 1 1 11 2 2
24 4 4 2 24
2
1
11
44
1
1
1
2 2 2
1
sin
2
j k j k j k j kj kt
j kt
X k x t e dt e dt
T
e e e e e
X k e dt
j k j k j k
k
X k
k
   

  


 
            


 
 
    
 
 
 
 
 

Exercícios
   
         
2 2 0
2 1
1 1
4
x t x t T
x t y t y t y t ret t 
   
    
O sinal x2(t) pode ser entendido como sendo a 
convolução de duas ondas retangulares y(t): 
         
     
2 1
2X k Y k Y k
Exercícios
   
 
0
1
2 28
1
10
8
1 1 1 1 11 2 2
28 8 8 4 48
2
1 1
2
1
2 2 2 2
2 2 2
k kj t j tT
j k j k j k j kj kt
j kt
Y k y t e dt e dt
T
e e e e e
Y k e dt
j k j k j k
 
   

  
  
 
            

 
 
   
 
 
 
 
     
11
88
2
2 2 2
1
sin
4
2
1
sin sin
4
2 2
j k j k j k
k
Y k
k
k
X k Y k Y k
k
  


 


 
 
 
 
  
      
 
 
 

2
2 2
1 1
sin
4 4
4
k k
k k

 
    
         
 
 
 
Exercícios
• Temos que:
 1
1
, 0
2
1 1sin
, 1,5,9,13...12
sinc
2 2 2 1
, 3,7,11...2
k
k
kk
X k k
k
k



 
 
        
   

 
2
2 2 2
2 2 2
2 2
, 3,7,11...2
0, 2,4,6,8,...
1
, 0
4
1
2sin
, 1,3,5,7,9,11,13,...14
4 sinc
4 4 4
, 2,6,10,14,...
0,
k
k
k
k
k
kk
X k k
k
k
k
k









 
       
 

 4,8,12,16,...









Exercícios
• Note que para que o sistema seja LTI nenhuma
componente de frequência nula do sinal de
entrada X1[k] pode aparecer no sinal de saída.
• Para K=2, X [K] =0 porém X [k]=4/2k2.• Para K=2, X1[K] =0 porém X2[k]=4/2k2.
• Portanto, neste caso surge uma componente
no segundo harmônico que não existia no
sinal original.
Exercícios
• Verifique agora se o sistema #3 pode ser LTI
ou não:
Exercícios
• Neste caso nenhuma componente nula da
função harmônica X1[k], (X1[k]=0) está
presente na função harmônica X2[k], portanto
o sistema #3 poderá ser LTI de acordo com ao sistema #3 poderá ser LTI de acordo com a
informação disponível.