TEORIA DOS NÚMEROS

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Teoria dos Números:
Múltiplos. 
Professor Márcio Pironel
Algoritmos de Multiplicação de Números Inteiros
A Multiplicação por valores maiores que 10 é baseada na propriedade distributiva.
Lembre-se que a(b + c) = ab + ac
Ou seja, a multiplicação é realizada sobre uma base de adição
2x22 = 2(20 +2) = 2 x 20 + 2 x 2 = 40 + 4 = 44.
O número 342 pode ser escrito como “3 centenas, 4 dezenas e 2 unidades” e, se multiplicarmos por 10, caminhamos uma casa à esquerda: “3 milhares, 4 centenas e 2 dezenas”. 
Ou então: 342 = 3∙10² + 4∙10¹+2∙10° e, multiplicando por 10: 
	 10 x 342 = 10(3∙10² + 4∙10¹+2∙10°) = 3∙10³ + 4∙10² + 2∙10¹ = 3420.
Multiplicação
 Esses elementos nos permitem entender o algoritmo fundamental (tradicionalmente falando) da multiplicação.
Vamos considerar o produto de 28 por 142 e escrevê-lo na notação científica:
Usando o fato de que a multiplicação por 10 desloca o número uma posição à esquerda:
28 x 142 = 2840 + 1136 = 3976 (D)
Vamos pensar na vertical: 28 x 142
			 1∙10² + 4∙10¹ + 2
				x 2∙10¹ + 8
		 8∙10² + 32∙10¹ + 16
	 2∙10³ + 8∙10² + 4∙10¹
	 2∙10³ + 16∙10² + 36∙10¹ + 16
Ou	 2∙10³ + 16∙10² + 37∙10¹ + 6
Ou 	 2∙10³ + 19∙10² + 7∙10¹ + 6
Ou 3∙10³ + 9∙10² + 7∙10¹ + 6 = 3976
Números primos e fatoração
Você conhece Eratóstenes?
Eratóstenes, o pai da Geografia, nasceu em Cirene (na atual Líbia) em 276 a.C. e passou a maior parte da sua vida em Alexandria (Egito), tendo sido diretor da sua famosa biblioteca. Faleceu em 194 a.C.
Eratóstenes ficou famoso na antiguidade pelo seu método de determinar o tamanho da Terra.
Eratóstenes é responsável pela criação de um método para a determinação de números primos conhecido como “o crivo de Eratóstenes”, embora alguns o denominem “a peneira de Eratóstenes”.
O Crivo de Eratóstenes
Na verdade, você só precisa eliminar os múltiplos dos números primos menores que , nesse caso, como n = 100, então bastaria eliminar até os múltiplo de 7. 
Quando n > 10, todos os múltiplos já teriam sido eliminados. 
Os valores restantes são os números primos de 1 a n. Nessa tabela, de 1 a 100.
Fatoração em primos
Teorema fundamental da aritmética: Todo números natural N composto pode ser decomposto exclusivamente em fatores primos:
, onde são os vários números primos e é a quantidade de vezes que cada número primo se repete.
Exemplo: 60 = 2²∙3¹∙5¹ 
60 
30
15
5
1
2
2
3
5
2² ∙ 3¹ ∙ 5¹ = 60
Variedade de fatores
A quantidade de fatores de um número (ou a quantidade de divisores desse número) pode ser obtida pela fórmula:
v(N) = , é a multiplicidade (a quantidade de vezes que um fator primo se repete) de cada fator.
Assim, o 60 tem 12 fatores possíveis (ou 12 divisores):
v(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1).
De fato:
60 pode ser dividido por 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 e 1.
Probleminhas...
 
Aos nossos filhos
Ivan Lins e Victor Martins
Perdoem a cara amarrada
Perdoem a falta de abraço
Perdoem a falta de espaço
Os dias eram assim
Perdoem por tantos perigos
Perdoem a falta de abrigo
Perdoem a falta de amigos
Os dias eram assim
Perdoem a falta de folhas
Perdoem a falta de ar
Perdoem a falta de escolha
Os dias eram assim
E quando passarem a limpo
E quando cortarem os laços
E quando soltarem os cintos
Façam a festa por mim
E quando lavarem a mágoa
E quando lavarem a alma
E quando lavarem a água
Lavem os olhos por mim
Quando brotarem as flores
Quando crescerem as matas
Quando colherem os frutos
Digam o gosto pra mim
Digam o gosto pra mim.
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