MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E DE POSIÇÃO

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E DE POSIÇÃO 
 
Medidas de Posição 
 
São valores representativos da série estudada, que sintetizam ainda mais os dados estudados. 
São as chamadas medidas de posição ou medidas de tendência central, uma vez que representam 
os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. Tais 
medidas descrevem, de alguma forma, o centro dos dados. 
 
As medidas de posição mais utilizadas são: média aritmética, mediana e moda. 
 
Média aritmética simples: é a soma dos resultados obtidos divididos pela quantidade de resultados 
do conjunto. 
�̅�=
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+...+𝑥𝑛
𝑛
 
 
�̅�=
∑𝑋𝑖
𝑛
 
 
 obs: i varia de 1 até n 
Exemplo: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24, 20 anos, observamos que: 
4,21
5
107
5
2024212022


X
 
Dizemos então, que a média aritmética, ou simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 anos. 
 
Média aritmética ponderada: é a média aritmética para dados agrupados, nesse caso usamos a 
média aritmética dos valores, ponderados pelas respectivas frequências absolutas. 
 
�̅�=∑(𝑋𝑖⋅𝑓𝑖)
𝑁
𝑁=∑𝑓 
 
 
Exemplo: A seguir é dada a distribuição da quantidade de defeitos por microcomputador para uma 
amostra de 100 aparelhos. 
 
 
 
Quantidades de defeitos por micro Número de aparelhos 
0 15 
1 28 
2 20 
3 14 
4 10 
5 7 
6 6 
 
Determine o número médio de defeitos por microcomputador. 
100
6675104143202281150 
X
 
21,2
100
221
100
3635404240280


X
 
 
Portanto, o número médio de erros por microcomputador é 2,21. 
 
Mediana (Md): é o elemento do conjunto que ocupa a posição central na distribuição ordenada 
(crescente ou decrescentemente). Dessa forma a mediana será o valor do elemento do meio se n é 
ímpar, ou a média dos dois valores do meio se n é par. 
 
Exemplo 1: Determine a mediana da seguinte distribuição de dados, 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 
4 e 7. 
Como temos um número ímpar de dados colocamos em ordem crescente e analisamos o elemento 
que possui a posição central, esse valor será a mediana. 
0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, ,3, 4, 4, 5, 5, 7, 7 
 Mediana (md) 
Exemplo 2: Determine a mediana da seguinte distribuição de dados: 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 
anos. 
Nesse caso temos um número par dados, dessa forma, colocamos os dados em ordem e fazemos a 
média aritmética entre os dois elementos centrais. 
12, 12, 13, , ,16, 16, 17 
 
15
2
30
2
1614


X
 
 
3 
1
4 
1
6 
 
 
Moda (Mo): é o valor dos resultados de uma pesquisa que acontece com a maior frequência e a 
representamos por Mo. Pode acontecer de ter mais de uma moda em uma distribuição e até mesmo 
não ter, quando não houver repetição, não há moda. 
 
Exemplo: Dada a distribuição a seguir, determine a moda. 
xi 243 245 248 251 307 
Frequência 7 17 23 20 8 
 
Dessa forma temos que a Moda (Mo) será 248, pois é o valor mais frequente da distribuição. 
 
Cálculo da média, mediana e moda para dados agrupados. 
 
Média aritmética: para calcular a média aritmética de dados agrupados, usaremos a média 
aritmética ponderada, utilizando os pontos médios de cada intervalo. A fórmula é dada por: 
�̅�=
∑(Pm𝑖 ⋅ 𝑓𝑖)
𝑁
 
 
 
Mediana: primeiramente, determine o valor de n/2, em seguida, identifique em que intervalo está 
contida a mediana é finalmente calcule a mediana utilizando a seguinte fórmula: 
md=Li+
(𝑛 2⁄ −∑𝑓ant) ⋅𝐴𝐶
𝑓md
 
 
 
Onde: 
Li limite inferior da classe que contém a mediana. 
n = tamanho da amostra ou da população que estamos pesquisando. 
 antf = soma das freqüências anteriores à classe que contém a mediana. 
Ac = amplitude da classe que contém a mediana. 
mdf = frequência da classe que contém a mediana. 
 
Moda: para o cálculo da moda de dados agrupados, usaremos o método de King. Faremos da 
seguinte forma: primeiramente identifique em que classe ou intervalo encontra-se a moda (classe 
modal). Em seguida determine o valor da moda por meio da seguinte fórmula: 
 
 
Mo=Li+
𝑓post. ⋅𝐴𝐶
𝑓ant.+𝑓post.
 
 
 
Onde: 
Li limite inferior da classe que contém a moda. 
.postf = frequência da classe posterior à classe que contém a moda. 
.antf = frequência da classe anterior à classe que contém a moda. 
Ac = amplitude da classe que contém a moda. 
 
Exemplo 1: Calcule o valor da média, mediana e moda dos dados representados na tabela de 
distribuição de frequências abaixo: 
 
 Cálculo da média 
 Primeiramente calculamos o ponto médio de cada intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalos (Idades) Ponto médio frequência freq. acumulada 
 
 
18 |---21 
5,19
2
39
2
2118


 9 9 
21|----24 22,5 12 21 
24|----27 25,5 12 33 
27|---30 28,5 17 50 
30|----33 31,5 16 66 
33|----36 34,5 14 80 
36|---39 37,5 11 91 
39|----42 40,5 9 100 
 100 
Em seguida, multiplicamos cada ponto médio pela frequência correspondente, somamos esses 
valores e dividimos pela soma de todas as frequências. 
 
 
100
95,40115,37145,34165,31175,28125,25125,2295,19 
X
 
 
100
5,3645,4124835045,4843062705,175 
X
 
100
3000
X
 
 
 30X anos. 
 
 
Cálculo da mediana 
Primeiramente dividimos o número total de dados por 2: 
 
50
2
100
2

n
 
Na frequência acumulada da tabela inicial, verifique em qual intervalo está o valor 50. O 50 encontra-
se no intervalo 27|----30 (4ª classe) é por ela que vamos nos basear. 
 
A amplitude (Ac) do intervalo é dada por: 
31821 CA 
 
 
 
md
Cant
f
Afn
LiMd
 

)2/( .
 
17
3)3350(
27

Md
 
17
317
27

Md
 
3
51
27 Md
 
327 Md 
 
30Md anos 
 
Cálculo da moda 
 
Primeiramente identificamos em qual intervalo ou classe encontra-se a moda, no nosso exemplo, a 
moda se encontra na 4ª classe no intervalo 27|---30, cuja frequência é 17 (a maior de todas as 
frequências). A amplitude do intervalo também é 3, e com isso determinamos o valor da moda pela 
fórmula: 
..
.
postant
Cpost
ff
Af
LiMo



 
1612
316
27


Mo
 
 
Mo=27+
48
28
 
 
 
71,127 Mo 
71,28Mo anos. 
 
Exemplo 2: Calcule a mediana e a moda dos dados apresentados abaixo: