QUARTIS

Prévia do material em texto

QUARTIS 
 
Algumas medidas de posição se assemelham à mediana, apesar de não serem medidas de 
tendência central. São os quartis, os decis e os centis. Os quartis dividem a distribuição em quatro 
partes iguais, os decis dividem a distribuição em dez partes e os percentis em cem partes iguais. 
 
 
Onde: 
1Q = primeiro quartil (25% dos elementos) 
2Q = segundo quartil (coincide com a mediana, 50% dos elementos). 
3Q = terceiro quartil (75% dos elementos). 
 
Vejamos como é feito o cálculo dos quartis para dados não agrupados e para dados agrupados. 
Cálculo para dados não agrupados: 
Exemplo 1: Calcule os quartis da série {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15} 
Primeiramente ordenamos os dados: {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15} 
Calculamos a mediana: md = 9 = 2
Q
 
A distribuição é dividida pela mediana em duas partes com mesmo número de elementos {2, 5, 6} e 
{10, 13, 15}. Para determinar o quartil 1 e quartil 3 basta determinar a mediana de cada uma das 
partes. Vejamos, 
{2, 5, 6}, temos que a mediana é igual a 5 (med = 5), logo, 1
Q
=5 
{10, 13, 15}, temos que a mediana é igual a 13 (Med=13), logo, 3
Q
=13 
 
Exemplo 2: Calcule os quartis da série { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13} 
Nesse exemplo os dados já estão ordenados, podemos então, calcular a mediana, como o número de 
dados é par, faremos a média aritmética dos dois valores centrais (5, 6): 
5,5
2
11
2
65


md
= 2
Q
 
Dividindo a série em duas partes temos: {1, 1, 2, 3, 5, 5} e {6, 7, 9, 9, 10, 13} 
Façamos o cálculo da mediana das duas séries: 
{1, 1, 2, 3, 5, 5} temos que a mediana é dada por: 
5,2
2
5
2
32


md
logo, 1
Q
=2,5 
 
 
{6, 7, 9, 9, 10, 13} temos que a mediana é dada por: 
9
2
18
2
99


md
logo, 3
Q
=9 
Cálculo para dados agrupados: 
Primeiramente calculamos o elemento que indica a classe ou intervalo do primeiro quartil. 
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte 
expressão: 
4
ni
EQi


 
Onde: 
i = número do quartil a ser calculado 
n = número de observações (número de dados). 
Em seguida identifica a classe do elemento analisando a frequência acumulada na tabela e 
determinamos o primeiro quartil com o auxílio da fórmula: 
Qi
cantQi
i
f
AfE
LiQ
 

)( .
 
Onde: 
Li = limite inferior da classe onde se encontra o elemento do quartil. 
QiE = elemento que indica a posição ou ordem do quartil desejado 
 .antf = frequência acumulada anterior à classe que contém o elemento do quartil. 
cA = amplitude da classe 
Qif = frequência absoluta da classe que contém o elemento do quartil. 
 
Exemplo: Calcule os quartis dos dados representados na tabela a seguir: 
Classes Frequência (f) Frequência acumulada (Fac) 
10 |---- 20 4 4 
20 |---- 30 12 16 
30 |---- 40 15 31 
40 |---- 50 20 51 
50 |---- 60 15 66 
60 |---- 70 11 77 
70 |----80 3 80 
 
 
  
80 
 
 Cálculo do 1Q : 
Primeiramente calculamos a posição em que se encontra o elemento do primeiro quartil: 
4
ni
EQi


 
20
4
80
4
801
1 

QE
 (3ª classe) 
cA = 20 – 10 = 10 
Utilizando a fórmula temos que: 
1
.1
1
)(
Q
cantQ
f
AfE
LiQ
 

 
 
15
10)1620(
301

Q
 
15
40
301 Q
 
67,2301 Q 
67,321 Q 
 
 Cálculo de 2
Q
: 
4
ni
EQi


 
40
4
160
4
802
2 

QE
 (4ª classe) 
cA = 10 
Utilizando a fórmula temos que: 
 
 
2
.2
2
)(
Q
cantQ
f
AfE
LiQ
 

 
20
10)3140(
402

Q
 
 
20
90
402 Q
 
5,4402 Q 
5,442 Q 
 Calcule o terceiro quartil ( 3
Q
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto é: 
25% das observações estão entre 10 e 32,67. 
25% das observações estão entre 32,67 e 44,5. 
25% das observações estão entre 44,5 e 56. 
25% das observações estão entre 56 e 80. 
 
DECIS 
 
São os valores que dividem a série em 10 partes iguais. 
 
 
 
 
O cálculo do decil é semelhante ao do quartil, primeiramente calculamos o elemento que indica a 
classe ou intervalo do decil. Genericamente, para determinar a ordem ou posição do decil a ser 
calculado, usaremos a seguinte expressão: 
10
ni
EDi


 
Onde: 
i = número do decil a ser calculado 
n = número de observações (número de dados). 
Em seguida identifica a classe do elemento analisando a frequência acumulada na tabela e 
determinamos o decil desejado com o auxílio da fórmula: 
Di
cantDi
i
f
AfE
LiD
 

)( .
 
Onde: 
Li = limite inferior da classe onde se encontra o elemento do decil. 
DiE = elemento que indica a posição ou ordem do decil desejado 
 .antf = frequência acumulada anterior à classe que contém o elemento do decil. 
cA = amplitude da classe 
Dif = frequência absoluta da classe que contém o elemento do decil. 
 
PERCENTIS 
 São as medidas que dividem a série em 100 partes iguais. 
 Para o cálculo do percentil seguem-se os mesmos passos utilizados no quartil e 
decil. 
 100
ni
EPi


 
 Onde: 
i = número do percentil a ser calculado 
 
 
n = número de observações (número de dados). 
 
 Pi
cantpi
i
f
AfE
LiP
 

)( .
 
 Onde: 
Li = limite inferior da classe onde se encontra o elemento do percentil. 
DiE = elemento que indica a posição ou ordem do percentil desejado 
 .antf = frequência acumulada anterior à classe que contém o elemento do percentil. 
cA = amplitude da classe 
Dif = frequência absoluta da classe que contém o elemento do percentil.