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Regras de inferência da lógica proposicional 
 
 
Regras Primitivas 
 
1. Eliminação da conjunção (E∧) 
Dada uma linha da forma A ∧ B, tanto podemos inferir A como B. Essa regra é também 
denominada regra de separação. 
A ∧ B 
∴ A 
A ∧ B 
∴ B 
 
 
2. Introdução da conjunção (I∧) 
Dada uma linha da forma A e outra linha da forma B, tanto podemos inferir A ∧ B como 
B ∧ A. É também denominada regra da conjunção. 
A 
B 
∴ A ∧ B 
A 
B 
∴ B ∧ A 
 
 
3. Eliminação da negação (E¬) 
Dada uma linha da forma ¬¬A podemos inferir A. É também denominada regra da dupla 
negação. 
¬¬A 
∴ A 
 
 
 
4. Introdução da negação (I¬) 
Se no decorrer de um raciocínio alcançarmos uma contradição, podemos negar qualquer 
uma das premissas que levou a essa contradição. 
Dada uma linha da forma B ∧ ¬B que dependa da uma suposição A, podemos concluir 
¬A. Ao concluir ¬A, nós obrigatoriamente cancelamos a premissa A. 
 2 
 
[A] 
. . . . 
B ∧ ¬B 
∴ ¬A 
 
Por exemplo, podemos provar que (p → q) |– ¬(p ∧ ¬q) do seguinte modo: 
1. p → q (premissa) 
2. p ∧ ¬q (hipótese) 
3. p (2, E∧) 
4. q (1, 3, E→) 
5. ¬q (2, E∧) 
6. q ∧ ¬q (4, 5, I∧) 
7. ¬(p ∧ ¬q) (2, 6, I¬) 
 
Justificamos o passo (7) afirmando que estamos negando a fórmula do passo (2) com 
base na contradição obtida no passo (6). 
Este estilo de raciocínio é conhecido desde a antiguidade clássica e recebeu na idade 
média o nome de reductio ad absurdum (redução ao absurdo). 
 
 
5. Eliminação da condicional (E→) 
Dada uma linha da forma A e uma outra da forma A → B, podemos inferir B. Esta regra, 
também chamada modus ponens, é uma das regras mais usadas em sistemas dedutivos. 
A 
A → B 
∴ B 
 
 
6. Introdução da condicional (I→) 
 3 
Dada uma linha de uma derivação que dependa de uma suposição A e afirme B, 
podemos inferir A → B. Esta regra é muito usada quando queremos provar uma 
condicional. 
[A] 
. . . . 
B 
∴ A → B 
Uma vez que obtemos A → B, e se não precisamos mais da hipótese A, nós cancelamos 
A. Note, entretanto, que ao contrário da regra da introdução da negação, não é 
obrigatório cancelar A. 
 
 
7. Introdução da disjunção (I∨) 
Dada uma fórmula da forma A, tanto podemos inferir A ∨ B como B ∨ A. É também 
chamada expansão. 
A 
∴ A ∨ B 
A 
∴ B ∨ A 
Um exemplo de aplicação dessa regra é na prova de (A ∨ B) → C, A |– C 
1. (A ∨ B) → C (premissa) 
2. A (premissa) 
3. A ∨ B (2, I∨) 
4. C (1, 2, E→) 
Embora intuitivamente seja claro que se A ou B implicam C, então A apenas também 
implica C, as regras que temos não nos autorizam a passar diretamente das linhas (1) e 
(2) para a linha (4). Precisamos antes aplicar a regra I∨, obter A ∨ B, para então por 
modus ponens obter C. 
 
 
8. Eliminação da disjunção (E∨) 
Dada uma fórmula da forma A ∨ B, podemos concluir C, caso C seja derivada 
independentemente de A e de B. 
 4 
 
 
A ∨ B 
 
[A] 
. 
. . . 
C 
∴ C 
[B] 
. 
. . . 
C 
 
Intuitivamente: Se Icabod vai a praia, não estuda. Se Icabod vai ao futebol, não estuda. 
Icabod vai à praia ou vai ao futebol. Logo, Icabod não estuda. Note que as hipóteses A e 
B são canceladas após concluirmos C.. 
Um caso especial dessa regra é obtido quando B é ¬A, i.e., quando derivamos C tanto 
de A quanto de ¬A. Sendo A ∨ ¬A uma tautologia, podemos concluir C. 
 
 
A ∨ ¬A 
 
[A] 
. 
. . . 
C 
∴ C 
[¬A] 
. 
. . . 
C 
 
 
 
9. Introdução da bicondicional 
A → B 
B → A 
∴ A ↔ B 
 
 
10. Eliminação da bicondicional 
A ↔ B 
∴ A → B 
A ↔ B 
∴ B → A 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Regras derivadas 
 
11. Modus tollens 
¬B 
A → B 
∴ ¬A 
 
13. Silogismo Hipotético 
A → B 
B → C 
∴ A → C 
 
15. Contraposição 
A → B 
∴ ¬B → ¬A 
 
12. Silogismo disjuntivo 
A ∨ B 
¬A 
∴ B 
 
14. Contradição 
A ∧ ¬A 
∴ B 
 
16. Leis de De Morgan 
¬(A ∨ B) 
∴ ¬A ∧ ¬B 
¬(A ∧ B) 
∴ ¬A ∨ ¬B 
¬A ∧ ¬B 
∴ ¬(A ∨ B) 
¬A ∨ ¬B 
∴ ¬(A ∧ B) 
 
 
 
 
Bibliografia 
Mortari, C.A. Introdução à Lógica. São Paulo: Editora Unesp, 2001. 
Murcho, D, ‘Regras de Dedução Natural’ in: Branquinho, J. e Murcho, D. (org.) 
Enciclopédia de Termos Lógico-Filosóficos, Lisboa: Gradiva, 2001. Disponível em: 
http://www.criticanarede.com/html/fil_regras.html; acesso em 10/03/2008. 
van Dalen, D. Logic and Structure. Berlin: Springer-Verlag, 2004. 
 
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http://www.criticanarede.com/html/fil_regras.html;