RACIOCÍNIO-LÓGICO (1)

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SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 3 
2 INTRODUÇÃO A LÓGICA .......................................................................... 4 
3 AS ORIGENS DA LÓGICA ......................................................................... 5 
3.1 O Método Axiomático ........................................................................... 7 
4 A LÓGICA MATEMÁTICA ........................................................................... 9 
5 PROPOSIÇÕES ....................................................................................... 10 
6 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES ................................. 11 
6.1 Negação ............................................................................................. 12 
6.2 Conjunção .......................................................................................... 12 
6.3 Disjunção ............................................................................................ 13 
6.4 Disjunção exclusiva ............................................................................ 14 
6.5 Condicional ......................................................................................... 14 
6.6 Bicondicional ...................................................................................... 16 
7 SENTENÇAS ............................................................................................ 16 
7.1 Classificação de Sentenças ............................................................... 17 
8 TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS ........................ 18 
8.1 Tautologias ......................................................................................... 18 
8.2 Contradição ........................................................................................ 19 
8.3 Contingência ...................................................................................... 20 
9 TEORIA DOS CONJUNTOS ..................................................................... 21 
9.1 Operações com Conjuntos ................................................................. 23 
10 CONSEQUÊNCIA E EQUIVALÊNCIA LÓGICAS ..................................... 28 
10.1 Equivalência lógica ......................................................................... 30 
11 UTILIZANDO AS REGRAS DE INFERÊNCIA .......................................... 31 
12 LÓGICA DE PREDICADOS ...................................................................... 35 
 
 
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13 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 41 
14 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................... 41 
 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - 
um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as 
perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão 
respondidas em tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da 
nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à 
execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da 
semana e a hora que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser 
seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
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2 INTRODUÇÃO A LÓGICA 
 
Fonte:institutoibe.com.br 
Tradicionalmente, diz-se que a Lógica é a ciência do raciocínio ou que está 
preocupada com o estudo do raciocínio. Ainda que atualmente esta ideia possa ser 
considerada insuficiente ou mesmo ultrapassada devido à enorme dimensão e 
diversidade que tem alcançado este ramo comum da Filosofia e da Matemática, ela 
pode servir como uma primeira aproximação para o conteúdo da Lógica. 
O sucesso dessa ciência, também conhecida como Lógica Matemática, não 
se deve apenas ao fato de seus princípios fundamentais constituírem a base da 
Matemática. Sua relevância é evidenciada principalmente por ter seus padrões de 
análise e crítica aplicáveis a qualquer área de estudo em que a inferência e o 
argumento sejam necessários, ou seja, a qualquer campo em que as conclusões 
devam basear-se em provas. 
A Lógica é útil a qualquer área que exija raciocínios elaborados, bem como 
em casos práticos do nosso dia a dia. O conhecimento básico de Lógica é 
indispensável, por exemplo, para estudantes de Matemática, Filosofia, Ciências, 
Línguas ou Direito. Seu aprendizado auxilia os estudantes no raciocínio, na 
compreensão de conceitos básicos e na verificação formal de provas, preparando 
para o entendimento dos conteúdos de tópicos mais avançados. 
A Lógica Matemática tem hoje aplicações concretas extremamente relevantes 
em diversos domínios. Uma aplicação notadamente importante da Lógica na vida 
moderna é seu uso como fundamentação para a Computação e, em especial, para a 
Inteligência Artificial. A Lógica é utilizada no planejamento dos modernos 
 
 
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computadores eletrônicos e é por meio dela que se justifica a “inteligência” dos 
computadores atuais. 
A Lógica tem sido tradicionalmente apresentada de forma abstrata, sem 
exemplos concretos ligados a temas matemáticos específicos. Mais particularmente 
para o ensino básico, devemos destacar um componente bastante prático e pouco 
explorado da Lógica Matemática apontado por Druck (1990, p. 10, apud CUNHA, 
2008, p.10): 
[...] o desenvolvimento da capacidade de usar e entender um discurso 
correto, identificando construções falaciosas, ou seja, incorretas, mas com a 
aparência de correção lógica. [...] a capacidade de argumentar e 
compreender argumentos, bem como a capacidade de criticar 
argumentações ou textos. 
Assim, fica evidenciado que uma das principais funções da Lógica 
Matemática é servir de fundamento ao raciocínio matemático, evitando 
ambiguidades e contradições por possibilitar determinar, com absoluta precisão e 
rigor, quando um raciocínio matemático é válido e quando ele não o é, ou seja, ela 
fornece técnicas adequadas para a análise de argumentos. Nesse contexto, estão 
pressupostas tanto a ideia de provas ou demonstrações, essencial para a sua 
formação como professor de Matemática – como a noção que permite compreender 
e resolver problemas, que de outra forma seriam intratáveis. 
Do que expomos até aqui, queremos destacar o papel especial da Lógica 
como ferramenta para nos apropriar de objetos matemáticos (definições, 
representações, teoremas e demonstrações) bem como um poderoso recurso na 
organização do pensamento humano. Após essa introdução, faremos um breve 
relato da história da Lógica, destacando as contribuições recebidas, os avanços 
alcançados e as principais ramificações dessa ciência. 
3 AS ORIGENS DA LÓGICA 
Pode-se pensar porque razão um assunto cujo desenvolvimento terminou 
praticamente por volta de 1400, é ainda relevante num moderno trabalho sobre 
Lógica. A verdade é que o ramo da Lógica a que se costuma chamar Silogística, 
pela primeira vez tratada na Grécia antiga, em particular por Aristóteles (384-322 a. 
C.) num trabalho conhecido hoje como ”Prior Analytics”, mas que atingiu a sua forma 
 
 
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mais evoluída depois da morte de Aristóteles, utiliza a maior parte das ideias gerais 
significativas da Lógica tais como argumento, validade, inferência, etc. e que 
continuam hoje a ter o mesmo significado. 
De fato, é com Aristóteles que se dá o verdadeiro nascimento da Lógica. Ele 
redigiu uma série detrabalhos que posteriormente foram agrupados numa obra 
chamada ”Organon”, nomeadamente o tratado das Categorias, dos Tópicos, da 
Introdução, os Primeiros e Segundos Analíticos. Neles, Aristóteles concebia que a 
Lógica devia fornecer os instrumentos mentais necessários para se poder enfrentar 
qualquer tipo de investigação. 
Aristóteles construiu uma sofisticada teoria de argumentos, cujo núcleo 
principal é a caracterização e a análise dos silogismos, que podem ser considerados 
os raciocínios típicos do filósofo. O tão conhecido argumento: Todo o homem é 
mortal, Sócrates é homem, logo Sócrates é mortal é um exemplo típico do silogismo. 
Aristóteles desenvolveu minuciosamente os silogismos, nos Primeiros 
Analíticos, apresentando os princípios que sustentam os silogismos e as regras que 
lhes devem moldar a sua construção. Entre as características mais importantes da 
silogística aristotélica está a introdução, pela primeira vez, na história da Lógica, de 
letras que podem ser usadas para uma expressão substantiva qualquer, e que se 
mostrou ser fundamental para estudos posteriores, bem como uma das primeiras 
tentativas para estabelecer um rigor nas demonstrações matemáticas. Assim 
quando se faz referência a Viéte (1540-1603), como o primeiro matemático a usar 
letras como símbolos em Álgebra, não ´ devemos esquecer a escola de Aristóteles, 
pois afinal essa ideia, embora não dirigida propriamente á Álgebra, foi basicamente 
e genericamente uma ideia de Aristóteles. 
Era evidente que Aristóteles tinha um objetivo eminentemente metodológico, 
ao tentar mostrar os passos necessários para a investigação, o conhecimento e a 
demonstração científica. O método científico por ele preconizado assentava nas 
seguintes fases: 
1. Observação de fenômenos particulares; 
2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedecem; 
3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares. 
Para Aristóteles se estes princípios gerais fossem bem formulados, e as suas 
consequências bem deduzidas, as explicações só poderiam ser verdadeiras. 
 
 
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No entanto, a Lógica Aristotélica tinha enormes limitações que se vieram a 
revelar mais tarde obstáculos para o avanço da ciência. Pois por um lado assentava 
no uso da linguagem natural, e por outro lado, os seus seguidores acabaram por 
reduzir a Lógica ao silogismo. 
3.1 O Método Axiomático 
Desde o célebre tratado “ELEMENTOS” de Euclides (330- 277 a.C.) que se 
aceitava o método dedutivo como principal método de demonstração em 
Matemática. Considerando, como fez Euclides, axiomas as proposições 
imediatamente evidentes, postulados os princípios aceitáveis por convenção e por 
necessidade, e teoremas as proposições não imediatamente evidentes, mas que se 
podiam deduzir dos axiomas e postulados, construiu-se um processo que parecia 
logicamente correto, conduzindo a soluções demonstráveis. A axiomática de 
Euclides foi talvez um dos mais brilhantes sucessos da ciência clássica grega e 
dominou o pensamento humano durante vários séculos. 
A Geometria ainda hoje muito bem chamada de Euclidiana foi o ramo da 
Matemática que mais progrediu, tendo sido considerada um exemplo para as outras 
ciências. 
Parece não haver dúvidas que a Geometria teve o seu início com o 
desenvolvimento das regras de medição, particularmente de terrenos. E deve ter 
sido no antigo Egito que a necessidade de estabelecer fronteiras convenientes entre 
terrenos agrícolas junto ao rio Nilo levou à consideração de estudos geométricos 
bem desenvolvidos que passaram posteriormente para os geômetras gregos como 
Eudoxus, e outros membros da escola pitagórica que se habituaram a obter 
resultados geométricos válidos a partir de outros resultados já conhecidos. O que 
parece distinguir o trabalho de Euclides e torná-lo único é o fato dele ter mostrado 
que um grande número de verdades geométricas poderia ser obtido a partir de um 
pequeno número de outras verdades que constituíam um sistema global único. 
Existe ainda mais uma diferença essencial entre a Geometria dos Egípcios e 
a Geometria de Euclides. Enquanto os Egípcios falam de terra, Euclides fala de 
objetos a uma ou duas dimensões que podem ser encontrados na Terra. Mais ainda, 
pela primeira vez o caráter abstrato das definições geométricas, em que, por 
 
 
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exemplo, uma reta não é um simples “traço” desenhado, é pela primeira vez posto 
em evidência, baseada talvez num certo misticismo matemático típico da filosofia 
pitagórica e que culminou com a teoria platônica das formas. 
Não sabemos com certeza se Euclides foi um Platonista, mas provavelmente 
os seus contemporâneos que estudaram com ele eram Platônicos e daí as noções 
abstratas de ponto, reta e plano. 
Mas afinal o que estava em causa, em termos modernos, era o método 
axiomático, segundo o qual uma teoria é dedutivamente ordenada em axiomas e 
teoremas, segundo regras de inferência. O resultado de formalizar e axiomatizar 
uma teoria científica é uma teoria formal ou sistema formal ou axiomático. 
Pode-se considerar que todo o sistema axiomático deve constar de quatro 
ingredientes: 
1. Alfabeto que é uma tabela de símbolos primitivos; 
2. Conjunto de regras de formação de fórmulas. 
3. Lista de axiomas e postulados que são afinal as fórmulas primitivas do 
sistema. 
4. Conjunto de regras de inferência que permitem efetuar a dedução do 
resultado pretendido. 
Os dois primeiros ingredientes constituem a linguagem ou gramática e os 
outros dois a lógica do sistema. 
Ao conceito de regra de inferência junta-se o de consequência imediata ou 
direta. A regra de inferência estabelece que uma fórmula chamada conclusão, pode 
ser inferida de outra ou outras chamadas premissas. Uma demonstração ou prova é 
assim, neste contexto, uma sequência finita de fórmulas tais que cada uma delas ou 
é um axioma ou é uma consequência imediata de alguma ou alguns precedentes 
(precedente na sequência do raciocínio) em virtude de uma regra de inferência. A 
fórmula final de demonstração é um teorema ou fórmula derivada. 
Uma vez elaborado o sistema formal na sua dimensão sintática, o sistema 
deverá ser interpretado, isto é, colocado em relação com o conjunto dos objetos que 
fazem parte da teoria científica que se pretende formalizar e tal será a dimensão 
semântica do sistema formal. 
 
 
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4 A LÓGICA MATEMÁTICA 
 
Fonte: desafio-de-logica-e-raciocinio 
 
Para compreendermos bem as definições, os lemas e os teoremas que 
constituem as teorias matemáticas, é imprescindível que utilizemos uma linguagem 
mais precisa e rigorosa do que a que usamos na vida corrente. A aquisição desse 
hábito pode ser bastante facilitada com algumas noções e símbolos da Lógica 
Matemática. 
Na Matemática, ou em qualquer campo científico, estamos interessados em 
saber quando uma afirmação (ou proposição) é verdadeira ou não em um 
determinado contexto. A linguagem usada na Matemática compreende designações 
(também chamados nomes ou termos) e proposições (ou frases). As designações 
servem para definir ou denominar determinados objetos matemáticos, como ponto, 
reta, plano, funções, figuras geométricas, equações, entre outros. Já as proposições 
exprimem afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. 
Exemplos: 
1. Existem sacis ou não existem sacis. 
2. O número de alunos é divisível por 3. 
3. Todos os alunos de Matemática são malucos e alguns alunos de 
Matemática não são malucos. 
 
Não é necessário muito esforço, nem uma teoria especial para afirmarmos 
que a alternativa 1 é verdadeira, a 2 pode ser verdadeira ou não, e 3 é falsa, pois 
enseja uma contradição. 
 
 
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É óbvio que dentro da linguagem poética são permitidos certos “desvios” ou 
sem sentido, a chamada licença poética. Mas, dentro da Matemática, por 
empregarmos linguagem objetiva (e não a subjetiva, como na Literatura), 
precisamos adotar um formalismo e uma precisãoao escrevermos. Assim, 
evitaremos que a teoria incorra em contradições, pois, historicamente, foi isso o que 
ocorreu. A teoria desenvolvendo-se sem muita preocupação formal, até que 
surgiram alguns paradoxos, o que trouxe certa crise à Matemática. 
A partir da necessidade de se estabelecer o que é verdadeiro ou não, de 
forma a evitar contradições, surgiu um conjunto de axiomas, isto é, princípios 
evidentes que dispensam demonstração, bem como um conjunto de regras que nos 
permitem deduzir verdades (como teoremas, lemas) das nossas hipóteses originais. 
Não buscamos a verdade absoluta, isto é, a verdade universal, do ponto de 
vista platônico, que se aplicaria a todo contexto. Isso não existe em nenhuma 
ciência, nem na Física, Biologia, Química, Psicologia e, muito menos, na 
Matemática. O que buscamos são paradigmas, isto é, modelos que expliquem 
razoavelmente os fatos estudados por nós. Um fato pode ser explicado 
satisfatoriamente à luz de determinada teoria, que pode ser inconsistente para a 
explicação de outros fatos. Podemos citar como exemplo as leis de Newton, que 
servem perfeitamente para explicar um choque entre dois veículos em uma estrada, 
mas se mostram insuficientes para explicar o choque entre partículas subatômicas. 
5 PROPOSIÇÕES 
Uma proposição é definida como um conjunto de palavras ou símbolos que 
exprimem um pensamento de sentido completo. Em outras palavras, podemos dizer 
que proposições afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos de determinadas 
entidades (ALENCAR FILHO, 2002, apud LEVADA, 2011, p. 13). Alguns exemplos 
de proposições são: 
 𝑡𝑔 (
𝜋
4
) = 1 
 √3 < 𝜋 
 O Brasil situa-se na América do Sul 
 
 
 
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Dizemos que uma proposição tem valor lógico verdade (V) se ela é 
verdadeira; analogamente, ela tem valor lógico falsidade (F) se ela é falsa. 
Considere as seguintes proposições: 
1. p: a Argentina fica na África 
2. q: o Brasil situa-se no hemisfério Sul 
 
O valor lógico da primeira proposição é F, enquanto o da segunda proposição 
é V, ou seja, V(p) = F e V(q) = V. Proposições podem ser classificadas como simples 
ou compostas. Uma proposição é dita simples (ou atômica) se não contém nenhuma 
outra proposição como parte integrante de si mesma. Proposições simples são 
geralmente representadas por letras minúsculas. Alguns exemplos de proposições 
simples são: 
 p: Carlos é careca 
 q: Paula é estudante 
 r: o número 36 é um quadrado perfeito 
 
Uma proposição é dita composta (fórmula proposicional) se é formada por 
duas ou mais proposições. Representaremos proposições compostas por letras 
maiúsculas. A seguir, temos alguns exemplos de proposições compostas: 
 P: Carlos é careca e Paula é estudante 
 Q: Rafael dirige carros ou motos 
 R: se um jogador de futebol recebe 2 cartões amarelos em um jogo, 
então deve ser expulso. 
 
6 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 
Ao raciocinarmos, sem perceber, efetuamos diversas operações lógicas sobre 
proposições. Elas obedecem a regras de um cálculo, denominado cálculo 
proposicional, semelhante ao da aritmética sobre os números. 
 
 
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6.1 Negação 
Chamamos de negação de uma proposição p a proposição denotada por “não 
p”, que resulta em valor lógico V quando p é falsa e F quando p é verdadeira, de 
modo que “não p” tem o valor lógico oposto daquele de p. A negação de p é 
denotada por ¬p (ou alternativamente ~ p), sendo lida como: “não p”. O valor lógico 
da operação de negação de uma proposição p é definido pela seguinte tabela-
verdade: 
 
p ¬p 
V F 
F V 
 
Note ⌐ que é um operador unário pois atua sobre uma única proposição 
simples. 
Exemplos: 
 p : a Terra é um planeta do sistema solar 
¬p : a Terra não é um planeta do sistema solar 
V(p) = ¬(V(¬p)), ou seja, V = ¬F 
 
 q : 1 + 1 = 2 
¬q : 1 + 1 6= 2 
V(q) = ¬(V(¬q)), ou seja, V = ¬F 
6.2 Conjunção 
A conjunção de duas proposições p e q é a proposição “p e q”, que 
representaremos por “p ∧ q”, cujo valor lógico será a verdade (V) se ambas as 
proposições p e q forem verdadeiras e será a falsidade (F) nos outros casos. 
A tabela-verdade de p ∧ q é: 
 
p q p ∧ q 
 
 
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V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Considerando as igualdades: 
V ∧ V = V, V ∧ F = F, F ∧ V = F, F ∧ F = F, 
temos V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q). 
 
Exemplo: 
p: 2 é par 
q: 2 < 3 
p ∧ q: 2 é par e 2 < 3 
Temos: V(p) = V e V(q) = V. Logo, V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V = V. 
6.3 Disjunção 
Chamamos de disjunção de duas proposições p e q a proposição resultante 
da operação p ⋁ q, cujo valor lógico é V quando uma das proposições é verdadeira e 
F apenas quando ambas são falsas. A expressão p ⋁ q é lida como “p ou q”. A 
tabela-verdade para o operador binário disjunção (note que ⋁ atua sobre dois 
argumentos) é dada por: 
p q p ⋁ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplo: 
r : Albert Einstein foi um bombeiro 
s : Albert Einstein nasceu no Brasil 
r ⋁ s: Albert Einstein foi bombeiro ou nasceu no Brasil 
V(r ⋁ s) = V(r) ⋁ V(s) = F ⋁ F = F 
 
 
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6.4 Disjunção exclusiva 
Chamamos de disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição 
resultante da operação p ⊻ q, cujo valor lógico é V somente quando V(p) ≠ V(q) e F 
quando V(p) = V(q), ou seja, quando são ambas falsas ou ambas verdadeiras. A 
expressão p ⊻ q é lida como “p ou q, mas não ambas”, “p ou exclusivo q”, ou ainda 
“ou p, ou q”. A tabela-verdade para o operador binário disjunção exclusiva é dada 
por: 
 
P q p ⊻ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Em algumas proposições compostas, somente uma de suas componentes 
pode ser verdadeira, pois são mutuamente exclusivas. Por exemplo, se alguém 
nasce em um estado, não pode ter nascido em outro. 
Exemplo: 
p : Antônio é paulista (V) 
q : Antônio é mineiro 
p _ q : ou Antônio é paulista ou é mineiro 
V(p ⊻ q) = V(p) ⊻ V(q) = V ⊻ F = V 
6.5 Condicional 
A condicional de duas proposições p e q é a proposição “se p, então q”, que 
representaremos por “p → q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) quando p for 
verdadeira e q for falsa e será a verdade (V) nos demais casos. 
A tabela-verdade de p → q é: 
 
P q p → q 
 
 
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V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Considerando as igualdades: 
 
V → V = V, V → F = F, F → V = V, F → F = V, 
temos V(p → q) = V(p) → V(q). Vejamos alguns exemplos. 
 
Você deverá ficar bem atento ao caso em que a proposição condicional é 
falsa. Guarde bem esse caso, pois será de grande importância quando formos 
deduzir o valor lógico de proposições condicionais a partir dos valores lógicos das 
suas proposições componentes. 
Além de “se p, então q”, há outras maneiras de se ler a condicional “p → q”, a 
saber: 
1. “p é condição suficiente para q” 
2. “q é condição necessária para p” 
 
Exemplo: 
p: Euler morreu cego 
q: Pitágoras era filósofo 
p → q: Se Euler morreu cego, então Pitágoras era filósofo 
Temos: V(p) = V e V(q) = V. Logo, V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V. 
 
Uma proposição condicional “p → q” não afirma que a proposição 
consequente q é deduzida da proposição antecedente p. Portanto, quando se diz, 
por exemplo: 
2 é um número par → os patos nadam 
Não se quer dizer, de modo algum, que o fato de patos nadarem é uma 
consequência do número 2 ser par. Ela afirma unicamente uma relação entre os 
valores lógicos de p e de q, conforme a tabela-verdade vista anteriormente. 
 
 
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6.6 Bicondicional 
Chamamos de bicondicional toda proposição que é definida da forma “p, se e 
somente se q”, representada por p ↔ q, e cujo valor lógico é V quando V(p) = V(q) e 
F quando V(p) ≠ V(q). Em outras palavras, o operador bicondicional nada mais é que 
a dupla aplicação do operador condicional, ou seja, o resultado de uma bicondicional 
é V apenas quando p → q e q → p são ambas verdadeiras. A tabela-verdade para o 
operador binário bicondicional é dada por: 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Exemplo: 
p : um triângulotem 3 lados 
q : um quadrado tem 4 lados 
p ↔ q : um triângulo tem 3 lados se e somente se um quadrado tem 4 
lados 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V 
Da mesma forma que a condicional, não podemos dizer que p é 
consequência de q ou vice-versa. Trata-se apenas de um conectivo lógico. 
7 SENTENÇAS 
Expressões de um pensamento completo são compostas por um sujeito (algo 
que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito). 
Vejamos alguns exemplos do que vem a ser uma sentença. 
a) O mundo precisa de paz. 
b) Que dia você contribuirá com seus conhecimentos para ajudar o 
próximo? 
c) Que matéria mais agradável! 
 
 
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d) Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você, seja 
caridoso. 
7.1 Classificação de Sentenças 
Sentenças Abertas: 
São aquelas que não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma 
mais simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser 
nem V (verdadeiro) nem F (falso). 
Na lógica bivalente, que é o nosso caso, os pensamentos devem ser 
interpretados de 02 (duas) formas, ou seja, podem ser valorados como 
(VERDADEIRO) ou (FALSO), conforme os Princípios Fundamentais da Lógica 
Proposicional. 
Exemplo: 
Ela foi à mulher que demonstrou maior dedicação àquela família. 
 
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, observe 
atentamente os exemplos abaixo e as considerações realizadas: 
a) “Aquele é juiz do TRT da 1.ª Região”, (Quem é ele?) 
b) “x + 5 = 10”. (Quem é o x? É número? É objeto? O que é?) 
c) “ {x R/ x > 2}”.( Qual o valor de x?) 
d) Que prova mais difícil! (FRASE EXCLAMATIVA) 
Obs.: Frases exclamativas são consideradas como sentenças abertas, pois 
expressam pensamentos subjetivos, aos quais não temos uma interpretação formal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS 
 
Fonte: tradurre-un-video-dallinglese-o-da-unaltra-lingua-allitaliano-a-quali-problemi-vai-incontro 
8.1 Tautologias 
A palavra tautologia tem origens no idioma grego Tautó (o mesmo) 
mais logos (assunto), ou seja, a tautologia ocorre quando a mesma coisa é falada 
com utilização de diferentes termos. O assunto está presente em diversos campos 
de estudo: na filosofia e até mesmo na lógica. Porém, as dúvidas mais frequentes 
sobre o tema são relacionadas à linguagem. A tautologia, também conhecida 
como pleonasmo (repetição) ou redundância é um vício frequente. 
Chamamos de tautologia toda proposição composta cuja última coluna da 
tabela-verdade é inteiramente composta por valores lógicos V. Em outras palavras, é 
uma proposição cujo valor lógico é sempre verdade, ou seja, ela é sempre 
verdadeira independentemente dos valores de suas proposições atômicas. 
Dois exemplos interessantes de tautologia são os princípios fundamentais da 
lógica matemática. O princípio da não contradição nos diz que uma proposição não 
pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Para verificar tal fato, basta 
construirmos a tabela-verdade da proposição composta P = ¬ (p ∧¬ p). 
 
 
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Note que P é sempre verdadeira, independentemente do valor de p. 
 
p ¬ p p ∧ ¬ p ¬ (p ∧ ¬ p) 
V F F V 
F V F V 
 
Da mesma forma, o princípio do terceiro excluído também é uma tautologia. 
Basta verificar a tabela-verdade da proposição P = p ⋁ ¬ p. 
 
Exemplo: 
Mostre que a proposição P = p ⋁ ¬ (p ∧ q) é uma tautologia. 
Solução: 
Construindo a tabela-verdade de P, observamos que P é sempre verdadeira, 
o que significa que a proposição é uma tautologia. 
p q p ∧ q ¬ (p ∧ q) p ⋁ ¬ (p ∧ q) 
V V V F V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F V V 
8.2 Contradição 
O conceito de contradição é dual ao de tautologia. Chamamos de contradição 
toda proposição composta cuja última coluna da tabela-verdade é inteiramente 
composta por valores lógicos F. Em outras palavras, é uma proposição que é 
sempre falsa, independentemente dos valores de suas proposições atômicas. A 
definição a seguir relaciona os conceitos de tautologia e contradição. 
Definição: seja P uma proposição. Então, P é uma tautologia se e somente se 
¬P é uma contradição. 
O que essa definição nos diz é algo bastante intuitivo. Em outras palavras, a 
negação de uma tautologia é sempre uma contradição e a negação de uma 
contradição é sempre uma tautologia. Veremos a seguir uma série de exemplos de 
contradições. 
 
 
20 
 
Exemplo: mostre que a proposição P = (p ∧¬p) é uma contradição. 
Solução: 
Construindo a tabela-verdade de P, verificamos que a última coluna é 
composta apenas de elementos F, mostrando que P é sempre falsa. 
 
p ¬p (p ∧¬ p) 
V F F 
F V F 
 
Esse resultado nos diz que uma proposição jamais pode ser simultaneamente 
verdadeira e falsa. 
8.3 Contingência 
Uma contingência é uma proposição composta em cuja tabela-verdade 
ocorrem, na última coluna, os valores lógicos V (verdade) e F (falsidade). 
Uma contingência é também chamada proposição contingente ou proposição 
indeterminada. Vejamos o exemplo abaixo para termos uma ideia clara da definição 
de contingência. 
Exemplo: 
A proposição p ⋁ q → p ∧ q é uma contingência, conforme pode ser visto por 
sua tabela-verdade: 
 
p q p ⋁ q p ∧ q p ⋁ q → p ∧ q 
V V V V V 
V F V F F 
F V V F F 
F F F F V 
 
Perceba que a última coluna da tabela-verdade de p ⋁ q → p ∧ q apresenta 
ambos os valores lógicos V (verdade) e F (falsidade). 
 
 
21 
 
9 TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Fonte: https://fireflycomms.de/wecke-die-kreativitaet-dir/ 
 
Primeiramente, é importante que saibamos que “Teoria de Conjuntos” traz 
uma interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É 
importante ressaltar que é um conteúdo constante nas últimas provas de concursos 
públicos. 
O que é um conjunto? Pois bem, nada mais é que uma coleção de objetos ou 
elementos que possuem características comuns. Um conjunto fica caracterizado por 
uma regra quando se permite decidir se um elemento pertence ou não ao conjunto. 
Assim, se chamarmos por H o conjunto dos seres humanos, podemos dizer, por 
exemplo, que José é um elemento de H, bem como o uma Orquídea não é elemento 
de H. Na linguagem de conjuntos, tais considerações serão simbolizadas (escritas) 
da seguinte forma: 
José ∈ H (lê-se: José é um elemento do conjunto H) 
Orquídea ∉ H (lê-se: Orquídea não é elemento do conjunto H) 
Como em toda ciência, é importante a questão da linguagem, ou seja, sua 
escrita, isto para que se evite interpretações errôneas. Dessa forma, vamos ressaltar 
2 (duas) relações essenciais que serão fundamentais para as futuras operações com 
conjuntos: 
 
 
22 
 
Relação de pertinência: essa primeira consiste em relacionar um elemento a 
um determinado conjunto. Se por acaso queremos relacionar um elemento “t” a um 
conjunto “T”, a relação deverá ser: 
 
O elemento “t” pertence a T (t ∈ T) ou 
O elemento t não pertence a T (t ∉ T). 
 
É importante ressaltar que os conjuntos são representados por letra 
maiúsculas e os elementos por letras minúsculas. Há vários modos para descrever 
um conjunto, os mais comuns nas provas de concursos públicos são: 
 
A = {a; a é um algarismo arábico}, que se lê “A é o conjunto do elemento “a” 
tal que “a” é um algarismo arábico. ” 
Outra maneira para definir conjunto consiste em escrever uma lista dos seus 
elementos entre chaves. Desse modo, representaríamos o conjunto A da seguinte 
forma: A = {1,2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, 10...} 
 
Um conjunto poderá ser representado por diagramas (o mais utilizado nas 
resoluções de questões) da seguinte forma: 
 
Para dar a descrição completa de um conjunto, nem sempre é preciso incluir 
todos os elementos na lista. Por exemplo, o conjunto dos algarismos poderia ser 
indicado da seguinte forma: 
A = {0, 1, 2, 3,..., 8} 
Nem sempre é possível descrever um conjunto relacionando todos os seus 
elementos, como é o caso do conjunto A formado pelos números naturais. 
Entretanto,A pode ser descrito por uma lista parcial, ou seja, 
 
 
23 
 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
 
Relação de inclusão: relação existente entre conjunto e subconjunto ou 
subconjunto e conjunto. Caso se queira relacionar um subconjunto A a um conjunto 
B, a relação deverá ser: 
A ⊃ B (A contém B) e B ⊂ A (B está contido em A) 
 
Exemplo: no diagrama a seguir temos que A contém o conjunto B. Logo, A é 
um conjunto e B é um subconjunto. 
 
Número de Subconjuntos 
Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto: A = {a, b} = {a}, {b}, {a, 
b}, ∅; temos neste caso 4 subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos. 
9.1 Operações com Conjuntos 
União ou Reunião 
Consideremos os dois conjuntos: 
A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8} 
 
Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos 
que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo 
conjunto é: 
C = {1,2,3,4,5,6,7,8} 
 
O conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, em que os elementos 
repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos 
que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou 
 
 
24 
 
união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A ∪ B. Com esta 
notação tem-se: 
C: A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8} 
 
Podemos, desta forma, expressar o seguinte conceito: dados dois conjuntos 
quaisquer, A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, 
evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A ou a B. Em muitas provas de concursos, os conceitos são expressos 
em símbolos, logo é importante interpretá-los. 
A ∪ B = {X ∈ U | X ∈ A ou X ∈ B} 
 
A definição acima nos diz que se um elemento x pertencer a A ∪ B, é 
equivalente dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é 
verdadeira. Desse fato, decorre que: 
A ⊂ A ∪ B (o conjunto A está contido na união de A com B) e 
B ⊂ A ∪ B ( o conjunto B está contido na união de A com B) 
 
Exemplos: 
{x; y} ∪ {z; w} = {x; y; z; w} 
{n, e, w, t, o, n} ∪ {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w} 
 
Interseção 
Identificaremos uma interseção entre dois conjuntos quando tivermos os 
termos “e”, “simultaneamente” e “ao mesmo tempo”. 
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B 
o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no 
primeiro turno das eleições de 2018. É certo supor que houve eleitores que votaram 
simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim, somos levados a 
definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A 
e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral: 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos intersecção de A e de B 
(ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido: 
 
 
25 
 
A ∩ B = {X ∈ U| X ∈ A e X ∈ B} 
Exemplos: 
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø 
{n, e, w, t, o, n} ∩ {h, o, r, t, a} = {o, t} 
 
Da definição de intersecção resulta que: 
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ A 
(∀X ∈ U) X ∈ A ∩ B ⇒ X ∈ B 
 
Os fatos nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou 
seja: 
A ∩ B ⊂ A 
A ∩ B ⊂ B 
 
 Propriedades da Intersecção 
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes 
propriedades: 
1) Idempotência: A ∩ A = A 
2) Comutativa: A ∩ B = B ∩ A 
3) Elemento neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da 
intersecção de conjuntos: A ∩ U = A 
4) Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos 
que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos 
quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio. 
 
 Propriedades da União e Intersecção 
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes 
propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos: 
1) A ∪ (A ∩ B) = A 
2) A ∩ (A ∪ B) = A 
3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
4) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
 
 
26 
 
 
Diferença 
Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos quando tivermos os 
termos “apenas”, “somente” e “exclusivamente”, ligados ao conjunto. 
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente e B 
o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no 
primeiro turno das eleições de 2008. É certo pensar que teve eleitores que votaram 
em Josimar, mas não votaram em Enny Giuliana. Isto nos leva ao conjunto dos 
elementos que pertencem a A que não são elementos que pertencem a B. 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre A e B o 
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. 
A – B = {X ∈ U | X ∈ A e X ∉ B} 
 
Exemplos: 
{a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b} 
{a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b} 
{a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø 
 
Temos, a seguir, uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler- 
-Venn em que a diferença corresponde à parte branca de A. 
 
 
Complementar de B em A 
Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se 
complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como: 
 
 
27 
 
 
Exemplos: 
A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}. 
Complementar: A – B = {c, d, e, f} 
A = B = {1}. Complementar: A – B = Ø 
 
Verificamos que no diagrama exposto temos o conjunto B em relação a A 
definido como: (B está contido em A). 
 
 
 
28 
 
10 CONSEQUÊNCIA E EQUIVALÊNCIA LÓGICAS 
 
Fonte: https://pixabay.com 
 
Em termos práticos, o problema de determinar se uma proposição é 
consequência lógica de um dado conjunto de proposições consiste em, dado um 
conjunto de proposições Φ (que pode conter somente uma proposição), em geral 
denominado de conjunto de premissas, determinar se uma dada proposição P é 
consequência lógica de tais proposições, ou seja, determinar se a proposição P é 
verdade sempre que as proposições pertencentes a Φ forem verdadeiras. Já o 
problema de determinar se duas proposições são equivalentes consiste em 
determinar se duas ou mais proposições são “idênticas”, condição que ocorre 
quando suas tabelas-verdade são exatamente iguais. Esses dois conceitos são 
fundamentais dentro do cálculo proposicional, pois são a base para a definição das 
regras de inferência. 
Definição: dadas as proposições P1, P2, . . . , Pn, dizemos que Q é 
consequência lógica de P1, P2, . . . , Pn se e somente se a seguinte regra sempre 
for válida: se P1, P2, . . . , Pn forem todas simultaneamente verdadeiras, ou seja, 
V(P1) = V(P2) = · · · = V(Pn) = V, então, Q também é verdade, ou seja, V(Q) = V. Se 
Q é consequência lógica de P1, P2, . . . , Pn, utilizaremos a seguinte notação: 
 
 
 
29 
 
P1, P2, . . . , Pn |= Q 
 
Vejamos um primeiro exemplo bastante simples que ilustra o conceito. 
Exemplo: verifique que p ∨ q é consequência lógica de p. 
Solução: O primeiro passo consiste na construção das tabelas-verdade das 
proposições envolvidas, neste caso, p e (p ∨ q). 
p q p ∨ q 
V V V ← 
← V F V 
F V V 
F F F 
 
O próximo passo consiste em observar as colunas de p e p ∨ q. Note que p ∨ 
q tem valor lógico V sempre que p é verdade, o que significa que podemos escrever 
p |= p ∨ q, ou seja, p ∨ q é consequência lógica de p. Note, entretanto, que não 
podemos dizer que p é consequência lógica de p ∨ q, uma vez que, como indica a 
terceira linha da tabela acima, existe uma situação em que p ∨ q assume valor lógico 
V e p assume valor lógico F. O exemplo a seguir, de Nicoletti (2009), ilustra o caso 
no qual desejamos verificar se uma proposição é consequência lógica de um 
conjunto de proposições dadas. 
Teorema: dadas as proposições P1, P2, . . . , Pn, a proposição Q é 
consequência lógica de P1, P2, . . . , Pn, se e somente se (P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn) →Q 
for uma tautologia. 
Exemplo: considere as proposições P = (p → q), Q = (q → r) e R = (p → r). 
Verifique se P, Q |= R. 
Solução: Utilizando o resultado do Teorema acima, podemos verificar que P, 
Q |= R mostrando que S = (P ∧Q) → R, ou ainda, S = ((p → q)∧(q → r)) → (p → r) é 
uma tautologia. Para isso, procedemos com a construção da respectiva tabela-
verdade. 
 
p q r (p → q) (q → r) (p → q) ∧ (q → r) (p → r) S 
V V V V V V V V 
V V F V F F F V 
 
 
30 
 
V F V F V F V V 
F F F F V F F V 
F V V V V V V V 
F V F V F F V V 
F F V V V V V V 
F F F V V V V V 
 
Observando a tabela-verdade acima percebe-se claramente que S = ((p → q) 
∧ (q → r)) → (p → r) é uma tautologia. Portanto, isto significa que R é consequência 
lógica de P e Q, ou seja, P, Q |= R. A consequência lógica ((p → q) ∧ (q → r)) → (p 
→ r) é uma das regras de inferência que iremos estudar nas próximas unidades, 
sendo conhecida como regra do Silogismo Hipotético, pois ela nos permite concluir 
(p → r) a partir de (p → q) e (q → r). 
10.1 Equivalência lógica 
Uma proposição P é logicamente equivalente a uma proposição Q, o que é 
representado como P ≡ Q, se é somente se P for consequência lógica de Q e Q for 
consequência lógica de P, ou seja, se e somente se P |= Q e Q |= P. 
Assim, todos os resultados que foram apresentados na seção anterior podem 
ser utilizados aqui. Dessa forma, considerando o Teorema 3.1, P |= Q se é somente 
se P → Q for uma tautologia, e Q |= P se e somente se Q → P for uma tautologia. 
Portanto, duas proposições P e Q são equivalentes, isto é, P ≡ Q, se é somente se P 
↔ Q for uma tautologia. Isso equivale a dizer que duas proposições são logicamente 
equivalentes se é somente se suas tabelas-verdade forem idênticas. Vejamos 
exemplo a seguir. 
Exemplo: mostre que (p → q) ≡ (¬p ∨ q). 
Solução: Para verificar que (p → q) é logicamente equivalente à (¬p ∨ q), 
basta verificar que a proposição (p → q) ↔ (¬p ∨ q) é uma tautologia, o que em 
essência é o mesmo que verificar se as tabelas-verdade de (p → q) e (¬p ∨ q) são 
iguais. 
p q ¬p (p → q) (¬p ∨ q) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) 
V V F V V V 
 
 
31 
 
V F F F F V 
F V V V V V 
F F V V V V 
 
A partir da tabela-verdade a equivalência lógica fica evidenciada, uma vez 
que a proposição composta (p → q) ↔ (¬p ∨ q) é uma tautologia. Essa equivalência 
significa que temos uma identidade, ou seja, em qualquer método de dedução, prova 
ou inferência podemos substituir uma fórmula pela outra, da mesma forma que na 
matemática podemos substituir a tangente de um ângulo pela razão entre o seno e o 
cosseno daquele ângulo. Isso nos permite intercambiar de (p → q) para (¬p ∨ q) 
sempre que precisarmos. Essa é a importância de encontrar equivalências lógicas. 
11 UTILIZANDO AS REGRAS DE INFERÊNCIA 
Em alguns exemplos simples de aplicação das principais regras de inferência 
listadas na tabela anterior, na dedução de conclusões a partir de premissas dadas. 
Convém lembrar que tais regras de inferência nada mais são que argumentos 
válidos notáveis. 
Regra da adição: dada uma proposição verdadeira qualquer p, podemos 
deduzir sua disjunção com qualquer outra proposição q, isto é, p ∨ q. 
Exemplos: 
a) Suponha a premissa inicial (p ∧ q). Então, aplicando a regra da adição, 
podemos deduzir, por exemplo, (p ∧ q) ∨ r ou ainda (p ∧ q) ∨ s. 
 
b) (x < 0) |= (x < 0)∨(x = 2), pois (x < 0)∨(x = 2) é consequência lógica de 
(x < 0). 
c) Um exemplo em linguagem natural: o céu é azul. Logo, o céu é azul ou 
verde. 
 
Regra da simplificação: dada uma conjunção de duas proposições, p∧q, 
podemos deduzir cada uma das proposições individuais, p ou q. 
Exemplos: 
 
 
32 
 
a) Suponha a premissa (p ∨ q) ∧ r. Então, aplicando a regra da 
simplificação, podemos deduzir tanto (p ∧ q) quanto r. 
b) (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) |= (x ∈ A), pois obviamente (x ∈ A) é consequência 
lógica de (x ∈ A) ∧ (x ∈ B). 
c) Um exemplo em linguagem natural: Débora toca piano e violão. Logo, 
Débora toca piano. 
 
Regra da conjunção: permite, a partir de duas proposições dadas p e q 
(premissas), deduzir sua conjunção, p ∧ q. 
Exemplos: 
a) Suponha as premissas (p∨q) e ¬r. Então, aplicando a regra da 
conjunção, podemos deduzir (p ∨ q) ∧ ¬r. 
b) (x < 5),(x > 1) |= (x < 5) ∧ (x > 1), uma vez que, trivialmente, (x < 5) ∧ (x 
> 1) é consequência lógica da conjunção das premissas. 
c) Um exemplo em linguagem natural é: Rafael estuda. Rafael trabalha. 
Logo, Rafael estuda e trabalha. 
 
Regra da absorção: permite, a partir de uma condicional p → q dada como 
premissa, deduzir uma outra condicional com o mesmo antecedente p, mas cujo 
consequente é a conjunção de p com q, isto é, p → (p ∧ q). 
Exemplos: 
a) Suponha a premissa (p∨q) → r. Então, aplicando a regra da absorção, 
podemos deduzir (p ∨ q) → ((p ∨ q) ∧ r). 
b) (x ∈ A) → (x ∈ A ∪ B) |= (x ∈ A) → (x ∈ A) ∧ (x ∈ A ∪ B), dado que (x ∈ 
A) → (x ∈ A) ∧ (x ∈ A ∪ B) é consequência lógica de (x ∈ A) → (x ∈ A ∪ 
B). 
c) Um exemplo em linguagem natural soa como uma repetição: se eu 
entro na água, então, eu entro na água e fico molhado 
 
Regra modus ponens: esta lei, também conhecida como regra de 
separação, nos permite deduzir uma conclusão q, a partir das premissas p → q e p. 
É a regra mais utilizada em inferência lógica. 
Exemplos: 
 
 
33 
 
Considere as premissas (p ∧ q) e (p ∧ q) → r. Então, aplicando a regra modus 
ponens, podemos deduzir r. 
(x ∈ A ∩ B),((x ∈ A ∩ B) → (x ∈ A)) |= (x ∈ A), ou seja, (x ∈ A) é consequência 
lógica de (x ∈ A ∩ B) ∧ ((x ∈ A ∩ B) → (x ∈ A)). 
Um exemplo em linguagem natural é: se chove, faz frio. Chove. Logo, faz frio. 
 
Regra modus tollens: permite, a partir da premissa p → q (condicional) e da 
negação do consequente, ¬q, deduzir a negação do antecedente, ¬p. 
Exemplos: 
a) Considere as premissas (q ∧ r) → s e ¬s. Então, podemos deduzir ¬(q 
∧ r). 
b) Sejam as premissas p → ¬q e ¬(¬q). Aplicando modus tollens temos 
como conclusão a proposição ¬p. 
c) ((x /∈ A) → (x /∈ A ∩ B)),(x ∈ A ∩ B) |= (x ∈ A), ou seja, (x ∈ A) é 
consequência lógica de ((x /∈ A) → (x /∈ A ∩ B)) ∧ (x ∈ A ∩ B). Em 
outras palavras, se x não pertence a A, então, x não pertence à 
intersecção de A com B. Agora, se é verdade que x pertence à 
intersecção de A com B, então x pertence à A. 
d) Um outro exemplo em linguagem natural seria: se chove, então eu não 
saio de casa. Eu saio de casa. Logo, não chove. 
 
Regra do silogismo hipotético: corresponde à propriedade transitiva do 
conectivo →. Dadas duas condicionais como premissas, p → q e q → r, de modo 
que o consequente da primeira seja idêntico ao antecedente da segunda, esta regra 
permite a dedução de uma outra condicional, p → r (conclusão). Devido a essa 
propriedade esta, lei também é conhecida como regra da cadeia. 
Exemplos: 
Considere as premissas ¬p → (q ∨ r) e (q ∨ r) → ¬s. Então, aplicando a regra 
do silogismo hipotético, podemos concluir ¬p → ¬s. 
(|x| = 0 → x = 0),(x = 0 → x + 1 = 1) |= (|x| = 0 → x + 1 = 1), ou seja, (|x| = 0 → 
x + 1 = 1) é consequência lógica de (|x| = 0 → x = 0) ∧ (x = 0 → x + 1 = 1). 
 
 
34 
 
Outro exemplo em linguagem natural seria: se o sol se põe, então, fica 
escuro. Se fica escuro, então, as luzes da cidade se acendem. Portanto, se o sol se 
põe, então, as luzes da cidade se acendem. 
 
Regra do silogismo disjuntivo: a partir de uma disjunção p ∨ q, e da 
negação de uma das proposições, ¬p (ou ¬q), esta regra permite deduzir a outra 
proposição. 
Exemplos: 
Considere as premissas (p ∧ q) ∨ r e (¬r). Então, aplicando a regra do 
silogismo disjuntivo, podemos deduzir (p ∧ q). 
(x = 0 ∨ x = 1),(x 6= 1) |= (x = 0), ou seja, (x = 0) é consequência lógica de (x 
= 0 ∨ x = 1) ∧ (x 6= 1). 
Outro exemplo em linguagem natural seria: Maria está falando baixo demais 
ou João tem problemas auditivos. Maria não está falando baixo demais. Portanto, 
João tem problemas auditivos. 
 
Regrado dilema construtivo: a partir de três premissas, sendo duas 
condicionais com antecedentes e consequentes distintos (p → q, r → s), e a 
disjunção de seus antecedentes, p ∨ r, esta regra permite concluir a disjunção dos 
consequentes destas condicionais, q ∨ s. 
Exemplos: 
a) Considere as premissas (p ∧ q) → ¬r, s → t e (p ∧ q) ∨ s. Então, 
aplicando a regra do dilema construtivo, podemos deduzir ¬r ∨ t. 
b) (x < y → x = 1),(x > y → x = 2),(x < y ∨ x > y) |= (x = 1 ∨ x = 2), ou seja, 
(x = 1 ∨ x = 2) é consequência lógica de (x < y → x = 1) ∧ (x > y → x = 
2) ∧ (x < y ∨ x > y). 
c) Outro exemplo em linguagem natural seria: se estou com fome, então, 
como. Se estou com sede, então, bebo água. Estou com fome ou com 
sede. Logo, como ou bebo. 
 
Regra do dilema destrutivo: esta regra é bastante similar à anterior. A partir 
de três premissas, sendo duas condicionais com antecedentes e consequentes 
distintos (p → q, r → s), e a disjunção da negação de seus consequentes, ¬q ∨ ¬s, 
 
 
35 
 
esta regra permite concluir a disjunção da negação dos antecedentes destas 
condicionais, ¬p ∨ ¬r. 
Exemplos: 
a) Considere as premissas ¬q → r, p → ¬s e ¬r ∨ s. Então, aplicando a 
regra do dilema destrutivo, podemos deduzir q ∨ ¬p. 
b) (x < 10 → x = 1),(x > 20 → x = 2),(x 6= 1 ∨ x 6= 2) |= (x ≥ 10 ∨ x ≤ 20), 
ou seja, (x ≥ 10 ∨ x ≤ 20) é consequência lógica de (x < 10 → x = 1) ∧ 
(x > 20 → x = 2) ∧ (x 6= 1 ∨ x 6= 2). 
c) Outro exemplo em linguagem natural seria: se há luz do sol, então, é 
dia. Se chove, então, há nuvens no céu. Não é dia ou não há nuvens 
no céu. Logo, não há luz do sol ou não chove. 
 
Regra de casos: a partir de duas premissas condicionais com mesmo 
consequente e antecedentes complementares (p → q, ¬p → q), esta regra permite 
concluir o antecedente comum destas condicionais, q. 
Exemplos: 
a) Considere as premissas p → (¬q ∧ r), ¬p → (¬q ∧ r). Então, aplicando a 
regra de casos, podemos deduzir (¬q ∧ r). 
b) (x < 10 → y = 1),(x ≥ 10 → y = 1) |= (y = 1), ou seja, (y = 1) é 
consequência lógica de (x < 10 → y = 1) ∧ (x ≥ 10 → y = 1). 
c) Outro exemplo em linguagem natural seria: se chove, então, não saio 
de casa e estudo. Se não chove, então, não saio de casa e estudo. 
Logo, não saio de casa e estudo 
12 LÓGICA DE PREDICADOS 
Na lógica proposicional, as fórmulas não dependiam da estrutura das 
proposições, apenas do modo como estas eram combinadas. Considere, por 
exemplo, a sentença declarativa: “Todo estudante é mais novo do que algum 
professor.”. Na lógica proposicional, a sentença seria um átomo. No entanto, a 
abordagem não captura estruturas mais finas da sentença, como “ser estudante”, 
“ser professor” ou “ser mais jovem do que alguém”. 
 
 
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Para capturar essa maior expressividade usamos predicados. O predicado 
E(Carlos) pode ser usado para denotar que Carlos é um estudante; o predicado 
P(Ricardo) para denotar que Ricardo é um professor e o predicado J(Carlos,Ricardo) 
para denotar que Carlos é mais jovem que Ricardo. Os predicados acima estão 
modificando indivíduos específicos. Isso não ajuda muito na tarefa de descrever a 
frase que consideramos inicialmente, que fala de alunos e estudantes de uma forma 
mais geral. Os alunos e professores poderiam ser listados, mas isso também não é 
prático. Então, usamos o conceito de variável que pode ser substituída por um 
indivíduo ou objeto qualquer. Usando as variáveis x e y, poderíamos escrever: 
 E(x) : x é um estudante 
 P(y) : y é um professor 
 J(x, y) : x é mais jovem do que y. 
 
Ainda não temos uma formalização para os quantificadores “todo” e “algum”. 
Serão usados os símbolos ∀, que lemos “para todo”; e Ǝ, que lemos “existe” ou 
“para algum”. Os quantificadores sempre modificam uma variável. Tendo os 
predicado, os quantificadores e os conectivos já conhecidos da lógica proposicional, 
a sentença inicial de exemplo poderia ser escrita como: 
 ∀x(E(x) → (Ǝy(P(y) ⋀ J(x, y)))). 
Para avaliar se a fórmula é verdadeira é necessário definir os alunos e 
professores sobre os quais estamos falando. Considerando a UTFPR, 
possivelmente a sentença é verdadeira. 
No entanto, o resultado pode ser diferente em um curso de alfabetização para 
adultos. 
Na Lógica de Predicados também trabalhamos com o conceito de função. 
Considerando a sentença: “Toda criança é mais jovem do que sua mãe”, podemos 
formalizá-la como ∀x∀y(C(x) ⋀M(y, x) → J(x, y)), usando os predicados. 
 C(x) : x é uma criança 
 M(y, x) : y é mãe de x 
 J(x, y) : x é mais jovem do que y. 
 
As funções muitas vezes simplificam o que está sendo dito. Sabemos que 
uma criança possui apenas uma mãe, logo, poderíamos usar uma função m(x) que 
 
 
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representa a mãe de x e evitaríamos escrever algo mais complicado como o 
predicado M(y, x). A fórmula seria simplificada como ∀x(C(x) → J(x,m(x))). 
Funções podem ser usadas quando o objeto sobre o qual falamos é definido 
unicamente. Não seria possível uma função b(x) que representa de forma não 
ambígua o irmão de x, pois um irmão pode não ser unicamente definido. 
Como fizemos com a lógica proposicional, vamos definir formalmente a 
sintaxe da Lógica de Predicados e em seguida a sua semântica. 
1.1- O alfabeto da lógica de predicados é formado por: 
 símbolos de pontuação “(” e “)”. 
 Um conjunto V = {x1, x2, . . .} de variáveis. 
 Um conjunto C = {c1, c2, . . .} de constantes. 
 Um conjunto P = {P1, P2, . . .} de predicados. 
 Um conjunto F = {f1, f2, . . .} de funções. 
 Conectivos ¬, ∨, ⋀ , →, ∀, Ǝ. 
 
Cada um dos predicados e funções contém uma aridade, ou seja, um número 
específico de argumentos. 
Os símbolos para funções “falam” sobre objetos. As funções recebem objetos 
e retornam objetos. A função m(Carlos) = Maria recebe o objeto Carlos e informa o 
objeto Maria. Os símbolos para predicados são usados para representar 
propriedades e relações entre objetos. 
Ao dizer “Carlos é estudante”, ser estudante é uma propriedade de Carlos. 
Podemos representar a propriedade pelo predicado E(x) que será verdadeira se x é 
estudante. No caso de x = Carlos o resultado é verdadeiro. A relação “mais jovem” 
dada pelo predicado J(x, y) é verdadeira somente se x for mais jovem que y. 
Predicados e funções podem ter aridade zero. Funções de aridade zero são 
constantes. Os predicados com aridade zero são as variáveis proposicionais ou 
átomos da Lógica Proposicional. 
A escolha dos conjuntos P e F depende do que pretendemos descrever. Caso 
queiramos representar relações entre familiares, poderíamos ter P = {H, F, S,D} para 
representar os predicados “ser do sexo masculino”, “ser do sexo feminino”, “ser filho 
de” e “ser filha de”, respectivamente. As funções F = {m, p} poderiam ser usadas 
para representar a mãe e o pai de alguém. 
 
 
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Na linguagem de predicados teremos sentenças cuja valoração representará 
um objeto e sentenças cuja valoração representará um valor verdade. As primeiras 
sentenças são chamadas termos e as segundas são chamadas fórmulas. 
1.2 - O conjunto de termos T é definido como: 
 Base 1: se xi 2 V, então xi 2 T ; 
 Base 2: se ci 2 C, então ci 2 T ; 
 Passo recursivo: se t1, t2, . . . , tn são termos e f 2 (F) é uma função n-
ária, n > 0, então f(t1, t2, . . . , tn) 2 T ; 
Os termos da linguagem são formados por variáveis, constantes e funções. 
Exemplo: 
Seja o alfabeto: 
 “(” e “)”; 
 V = {x, y}; 
 C = {a, b}; 
 P = {E, P, J}; 
 F = {m}; 
 ¬, ∨, ⋀ , →, ∀, Ǝ. 
 
1.3 - Sejam t1, t2, . . . , tn termos e seja P um predicado n-ário, então P(t1, t2, . . 
. , tn) é um átomo. 
 “(” e “)”; 
 V = {x, y}; 
 C = {a, b}; 
 P = {E, P, J}; 
 F = {m}; 
 ¬, ∨, ⋀, ∨ , →, ∀, Ǝ. 
 
Pela Definição 1.6, x e m(x) são termos. Pela Definição 1.3, J(x,m(x)) é um 
átomo formado pelo predicado J, de aridade dois. A Definição 1.3 indica que 
predicados n-ários assumem o papel dos átomos, como tínhamos na linguagem 
proposicional. Também,da mesma forma que a linguagem proposicional, a 
construção de fórmulas é feita pela concatenação de átomos e conectivos. 
1.4 - O conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados é definido como: 
 
 
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 Base: um átomo é uma fórmula. 
 Passo recursivo 1: se A é uma fórmula então (¬A) também é uma 
fórmula. 
 Passo recursivo 2: se A e B são fórmulas então (A ⋀ B), (A ∨ B) e (A → 
B) são fórmulas. 
 Passo recursivo 3: se A é uma fórmula e x é uma variável, então ∀x(A) 
e Ǝx(A) são fórmulas. 
Exemplo: 
Considere a sentença “Todo filho do meu pai é meu irmão.” e os predicados 
 F(x, y) : x é filho de y 
 P(x, y) : x é pai de y 
 I(x, y) : x é irmão de y. 
Se fizermos a contante e ser o objeto “eu”, a fórmula 
∀x∀y(P(x, e) ⋀F(y, x) →I(y, e)) 
formaliza a sentença “Todo filho do meu pai é meu irmão.”. 
Alternativamente, usando a função p(x) para “pai de x”, a mesma sentença 
pode ser formalizada como 
∀x(F(x, p(e)) → I(x, e)). 
 
Exemplo: 
As fórmulas do Exemplo 1.3 são bem formadas conforme a Definição 1.4. A 
fórmula ∀x∀y(P(x, e) ⋀F(y, x) → I(y, e)) pode ser construída da seguinte maneira: 
fórmula regra 
P(x, e) (base) 
F(y, x) (base) 
I(y, e) (base) 
(P(x, e) ⋀ F(y, x)) (passo 2) 
((P(x, e) ⋀F(y, x)) → I(y, e)) (passo 2) 
∀y(((P(x, e) ⋀ F(y, x)) → I(y, e))) (passo 3) 
∀x(∀y(((P(x, e) ⋀ F(y, x)) → I(y, e)))) (passo 3) 
 
 
 
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1.5 - A ordem de precedência na Lógica de Predicados é dada pela listagem 
dos conectivos na seguinte ordem, da maior precedência para a menor, ¬, ∀ , 
Ǝ, ⋀,∨,→. 
1.6 - O conjunto de sub-termos de um termo E, Subt(E), é definido como: 
 
 Base 1: se E = x 2 V, então Subt(E) = Subt(x) = {x}; 
 Base 2: se E = c 2 C, então Subt(E) = Subt(c) = {c}; 
 Passo recursivo: se E = f(t1, t2, . . . , tn), então Subt(E) = Subt(f(t1, t2, . 
. . , tn)) = {f(t1, t2, . . . , tn)} [ Subt(t1) [ Subt(t2) [ . . . Subt(tn). 
 
1.7 - O conjunto de sub-fórmulas de uma fórmula A, Subf(A), é definido como: 
 Base: se A é um átomo, Subf(A) = {A}. 
 Passo recursivo 1: se A = ¬B, então Subf(A) = Subf(¬B) = {¬B}[Subf(B); 
 Passo recursivo 2: se A = B ⋀ C, então Subf(A) = Subf(B ⋀ C) = 
{B⋀C}[Subf(B)[Subf(C); 
 Passo recursivo 3: se A = B ∨ C, então Subf(A) = Subf(B ∨ C) = 
{B∨C}[Subf(B)[Subf(C); 
 Passo recursivo 4: se A = B → C, então Subf(A) = Subf(B →C) = {B → 
C} [Subf(B) [ Subf(C); 
 Passo recursivo 5: se A = ∀ x(B), então Subf(A) = Subf( ∀ x(B)) = 
{∀x(B)}[Subf(B); 
 Passo recursivo 6: se A = Ǝx(B), então Subf(A) = Subf(Ǝx(B)) = 
{Ǝx(B)}[Subf(B). 
 
1.8 - Seja E uma fórmula: 
 se ∀x(H) é uma subfórmula de E, então o escopo de ∀x em E é H. 
 se Ǝ x(H) é uma sub-fórmula de E, então o escopo de Ǝ x em E é H. 
 
1.9 - Seja x uma variável e E uma fórmula, se x ocorre em E dentro do escopo 
de um quantificador, 8x ou 9x, então x é uma variável ligada; caso contrário, x é uma 
variável livre. 
 
 
 
 
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13 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CUNHA, F. G. M.. Lógica e conjuntos. Fortaleza. 2008. 
LEVADA, A. L. M. L.. Fundamentos de lógica matemática. São Carlos. 2011. 
PADILHA, J.. RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO: Teoria dos Conjuntos. 2016. 
DA SILVA, R. D.. Lógica de Predicados. 2015 
14 BIBLIOGRAFIA 
PINTO, Paulo Roberto Margutti. Introdução à Lógica Simbólica. UFMG 2ª edição 
2006 339p. ISBN 85-7041-215-0 
SALMON, WESLEY C . Lógica. LTC, 3ª edição 1993, 96p. ISBN 85-7054-041-8 
SOUZA, João Nunes de. Lógica para Ciência da Computação. Campus, 2ª edição 
2008, 240p. ISBN 85-352-2961-2