CISALHAMENTO TRANSVERSAL, CARGAS COMBINADAS E TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS:RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS:
CISALHAMENTO TRANSVERSAL,CISALHAMENTO TRANSVERSAL,
CARGAS COMBINADAS ECARGAS COMBINADAS E
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕESTRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES
E DEFORMAÇÕESE DEFORMAÇÕES
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Revisor : Luc iano Gald ino
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Dando continuidade aos carregamentos aplicados no cotidiano de projetistas ou engenheiros, nesta
unidade, veremos diversas situações nas quais a resistência dos materiais é utilizada. O
cisalhamento transversal, caso em que a principal tensão provém de forças cortantes em seções
transversais de elementos estruturais, será o primeiro desses casos particulares. Em seguida,
estudaremos a combinação de cargas, a qual exige que você, caro(a) estudante, relembre conceitos
previamente estudados dentro da mecânica dos sólidos, para então avaliar estruturas e
componentes sob uma combinação de carregamentos. Indo além, uma ferramenta muito
importante é introduzida aqui: as transformações de tensões e de deformações, nas quais podemos
analisar elementos em planos inclinados e rotacionados em ângulos diferentes de 0°.
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O cisalhamento transversal é o cisalhamento que ocorre devido a esforços �etores em uma viga. Tal
como a tensão normal, há um per�l de tensões baseado no eixo neutro de uma seção transversal
particular. Diferente das tensões normais, o maior valor de tensões ocorre no eixo neutro. A seguir,
veremos os casos de cisalhamento transversal mais importantes nas aplicações de resistência dos
materiais.
Cisalhamento TransversalCisalhamento Transversal
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Cisalhamento em Elementos Retos
Consideremos uma viga, longa, reta e com área da seção transversal constante. Se carregamentos
forem aplicados nessa viga, como resposta, serão desenvolvidas forças de momento �etor e
também forças de cisalhamento internas.
A força de cisalhamento , que será identi�cada por V , é o resultado de uma distribuição de tensão
de cisalhamento transversal agindo na seção transversal da viga.
Associadas às tensões transversais de cisalhamento, teremos também tensões de cisalhamento
longitudinais agindo ao longo dos planos longitudinais da viga.
Isso ocorre devido à propriedade complementar do cisalhamento , ou seja, se analisarmos um
elemento de volume in�nitesimal de um corpo sofrendo cisalhamento, para manter o equilíbrio
desse elemento, surgirão quatro tensões de cisalhamento, que terão intensidades iguais e sentidos
iguais ou opostos umas das outras nas bordas opostas do elemento.
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O surgimento de tensões de cisalhamento longitudinais pode ser exempli�cado em um caso
simples: imagine 4 réguas �exíveis empilhadas, engastadas em uma de suas extremidades e uma
força P sendo aplicada na outra extremidade. Se nada estiver unindo as réguas, notamos um
deslocamento longitudinal entre elas durante a aplicação da força. Porém, se unirmos as réguas
como um bloco único e a mesma força for aplicada, o deslocamento longitudinal deixará de ocorrer,
mas, como consequência, surgirá uma tensão longitudinal entre elas.
Com as tensões de cisalhamento transversais e longitudinais, a seção transversal da viga será
distorcida de maneira complexa. Entretanto, para estudo com vigas de largura pequena em relação
Figura 3.1 - Tensão de cisalhamento transversal na seção transversal da viga e à direita,
propriedade complementar do cisalhamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 283).
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ao seu comprimento, essa deformação da seção transversal pode ser considerada pequena o
su�ciente para ser desprezada.
A fórmula do cisalhamento é deduzida utilizando a fórmula de �exão, anteriormente apresentada, e
a relação entre o momento �etor (M) e a força de cisalhamento (V), na equação 3.1:
(eq. 3.1)
Considerando uma viga carregada, conforme a �gura 3.2:
Figura 3.2 - Exemplo de surgimento de tensão de cisalhamento longitudinal
Fonte: Hibbeler (2010, p. 285).
V =       
dM
dx
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Ao analisarmos um elemento in�nitesimal de comprimento dx da viga, com um diagrama de corpo
livre (DCL), e buscando o equilíbrio das forças horizontais (ΣFx=0), nota-se o surgimento de uma
tensão de cisalhamento longitudinal τ na face inferior do elemento para equilibrar as tensões
normais causadas pelos momentos �etores, como pode ser visto na Figura 3.3:
A tensão de cisalhamento longitudinal utilizada para equilibrar as forças horizontais tem o mesmo
valor da tensão de cisalhamento transversal na área da seção transversal da viga, devido à
propriedade complementar do cisalhamento.
Sendo assim, a fórmula da tensão de cisalhamento para uma seção transversal da viga é dada pela
equação 3.2:
Figura 3.3 - Vista tridimensional e lateral do DCL do elemento in�nitesimal
Fonte: Hibbeler (2010, p. 285).
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onde
(eq. 3.2)
É importante utilizar como auxílio a Figura 3.4, que representa uma seção transversal qualquer de
uma viga, para localização dos termos.
Figura 3.4 - Elemento seccionado em seu eixo neutro
Fonte: Hibbeler (2010, p. 285).
 tensão de cisalhamento em um ponto localizado à distância y’ da linha neutra NA que
passa pelo centroide da seção, dada em Pa (N/m²). Obs.: a tensão é constante em toda a
τ = ,
VQ
It
Q = y
−
′A′
τ →
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largura t da seção, na altura y’;
V força de cisalhamento interna, determinada pelo método das seções, dada em N;
I  momento de inércia de área da seção transversal, dado em m4;
t  largura da área da seção no ponto onde τ deve ser determinada, dada em m;
Q momento de primeira ordem da área A’ em torno do eixo neutro, dado em m³;
( ) distância do eixo neutro até o centroide da área A’, dada em m;
A’ Porção superior ou inferior de área da seção transversal em relação à linha t, que
está a uma distância y’ do eixo neutro, dada em m².
Tensão de Cisalhamento em Vigas de Seção
Retangular
Comumente, encontramos aplicações onde a seção transversal da viga será retangular. Sendo
assim, é interessante analisar a distribuição da tensão de cisalhamento nessa geometria
considerando uma viga retangular, como visto na Figura 3.5:
→
→
→
→
y
−
′ →
→
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Identi�cando os parâmetros de linha neutra NA, y’, , A’:
Figura 3.5 - Viga com seção transversal de largura b e altura h.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 287).
y
−
′
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Ao analisar a fórmula do cisalhamento apresentada anteriormente, nota-se que a força de
cisalhamento ( V ), o momento de inércia da seção ( I ) e a largura da área da seção ( t ) são
constantes, a única variável é o Q.
E o valor de Q será máximo quando:
A’ = bh/2 (metade de área, superior ou inferior)
= h/4
Ou seja, a tensão de cisalhamento máxima na seção retangular ocorre sobre o eixo neutro NA
e pode ser calculada pela equação 3.3:
Figura 3.6 - Altura arbitrária y a partir do eixo neutro
Fonte: Hibbeler (2010, p. 286).
y
−
′
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(eq. 3.3)
Onde A representa a área da seção inteira: A = b.h
Figura 3.7 - Distribuição da tensão de cisalhamento em uma seção transversal retangular
Fonte: Hibbeler (2010, p. 287).
Devemos ter em mente que a tensão de cisalhamento transversal tem uma tensão de cisalhamento
longitudinal análoga, cuja máxima ocorre no plano neutro.
= 1, 5τm xá
V
A
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Figura 3.8 - Tensões máximas mostradas no plano neutro.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 287).
Agora que temos noções de cisalhamento em vigas ou elementos de seções relativamente simples,
precisamos compreender como vigas mais complexas são submetidas a carregamentos do tipo.
Tensão de Cisalhamento em Vigas de Abas
Largas
A viga com seção transversal de abas largas também é amplamente utilizada na engenharia e
merece uma abordagem individual sobre a distribuição da tensão de cisalhamento nessa geometria,
considerando uma viga de abas largas, como a Figura 3.9:
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Figura 3.9 - Um exemplo de viga de abas largas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 288).
A distribuição de tensão de cisalhamento é apresentada, conforme a Figura 3.10:
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Figura 3.10 - Intensidade de distribuição de tensão de cisalhamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 288).
Nesse caso, a tensão máxima de cisalhamento também ocorrerá na linha neutra e pela distribuição
de tensão. Nota-se que é a alma da viga que suportará a maior parte da tensão, sendo, então, o
elemento de maior importância em um projeto desse tipo, por exemplo.
Tensão de Cisalhamento em Vigas Circulares
Maciças
A tensão máxima de cisalhamento será na linha neutra para uma seção circular maciça também,
conforme Figura 3.11:
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O valor de Q será máximo quando A’= π r² /2 e ( ) = 4r/3π.
A tensão de cisalhamento máxima na seção será dada pela equação 3.4:
(eq. 3.4)
Onde A representa a área da seção inteira: A= π r²
Figura 3.11 - Exemplo de elemento com seção circular
Fonte: Hibbeler (2010, p. 296).
y
−
′
= 1, 33τm xá
V
A
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Limitações da Fórmula da Tensão de
Cisalhamento
A fórmula da tensão de cisalhamento apresentada, da forma que foi deduzida, possui algumas
limitações que devem ser levadas em conta nos projetos nos quais se desejam seções transversais
de viga menos convencionais.
Deve-se sempre ter em mente que o valor da tensão de cisalhamento obtido pela fórmula,
dita constante em toda a largura t da seção, é, na verdade, uma tensão média. O erro é
pequeno para seções alongadas, porém a fórmula não deve ser utilizada para vigas com
seções transversais achatadas.
Os resultados obtidos pela fórmula também sofrem alterações em regiões onde a seção
transversal sofre mudança de espessura abrupta, como no caso da viga de abas largas, na
junção entre a alma e a aba. Nesse local, teremos também a ação de concentradores de
tensão.
Não é recomendado usar a fórmula em vigas onde a seção transversal possui um contorno
irregular, curvilíneo, não retangular. Para contornos mais complexos de seção, devem ser
utilizados métodos mais avançados de cálculo baseados na teoria da elasticidade.
Mesmo com essas limitações, a fórmula é de grande importância durante um projeto, pois, na
maioria das vezes, o interesse será em obter a tensão máxima de cisalhamento, e a geometria da
seção transversal usualmente será com contornos retangulares.
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praticar
Vamos Praticar
Considere que a viga de abas largas abaixo está sujeita a uma força cortante V = 20 kN. Determine a tensão
de cisalhamento no ponto A. Faça uso da equação 3.2, vista anteriormente, e não se esqueça das unidades
(lembrando que 20 kN = 20 x 10³ N).
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a) 2,56 MPa
b) 3,00 MPa
Viga sob uma força cortante V
Fonte: Hibbeler (2016, p. 382).
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c) 2,44 MPa
d) 7,10 MPa
e) 4,55 MPa
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Anteriormente, analisamos membros estruturais sujeitos a um único tipo de carregamento, como
cargas axiais em barras, eixos sob torção e �exão em vigas. Porém, em diversas estruturas e
componentes, mais de um tipo de carregamento se faz presente. Por exemplo, uma viga pode estar
sujeita a momentos �etores e forças axiais, um vaso de pressão pode servir como apoio e um eixo
sob torção pode ter um momento �etor.
Cargas CombinadasCargas Combinadas
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Vasos de Pressão de Parede Fina
Vasos de pressão podem ser cilíndricos e esféricos, e são geralmente utilizados como caldeiras ou
reservatórios. As tensões nas paredes de vasos podem ser analisadas pelos métodos aqui
apresentados se a razão raio/espessura 
Em vasos de pressão cilíndricos , consideramos que há duas tensões principais, uma tensão na
direção circunferencial (eq. 3.5) e outra na direção longitudinal (eq. 3.6), respectivamente, dadas
pelas equações:
(eq. 3.5)
(eq.3.6)
nas quais, p = pressão interna no vaso, r = raio do vaso esférico e t = espessura da parede.
Em vasos de pressão esféricos , temos apenas uma tensão, válida para todas as direções, dada
pela equação 3.7:
r/t≥ 10.
=σ1
pr
t
=σ2
pr
2t
=σ2
pr
2t
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(eq. 3.7)
Devemos lembrar que, por mais simples que as equações para dimensionamento de vasos de
pressão sejam, deve-se sempre ser conservador em projetos do tipo. Para tal, fatores de segurança
são sempre utilizados, tornando os projetos mais con�áveis.
reflita
Re�ita
Pense em vasos de pressão. Eles estão no cotidiano
de muitas pessoas e têm diversas aplicações, sendo
algumas já citadas aqui no texto. Por que você
considera importante que o seu dimensionamento
seja feito por alguém capacitado, que considera um
fator de segurança adequado em seu projeto? Já
ouviu falar de acidentes envolvendo vasos de
pressão?
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O projetista também deve atentar-se a outras questões estruturais em vasos de pressão,
especialmente no que diz respeito à união de chapas calandradas e calotas. As soldas e uniões
parafusadas são regiões críticas e concentram tensões, por isso é sensato que se tenha muito
cuidado ao selecionar o tipo de união e as cargas críticas aos quais o vaso está sujeito.
Componentes Estruturais Sujeitos a Cargas
Combinadas
Quando um componente está sujeito a mais de um tipo de carregamento, por exemplo, carga axial e
�exão, segue-se uma metodologia para analisá-lo. O método de análise de componentes estruturais
sujeitos a cargas combinadas normalmente seguido é:
1. Seleção do ponto na estrutura onde a tensão e deformações devem ser determinadas.
2. Para cada carregamento na estrutura, as tensões resultantes na seção transversal que
contém o ponto devem ser determinadas. As resultantes podem ser uma força axial, um
momento torsor, um momento �etor e uma força cortante.
3. Calcular as tensões normal e de cisalhamento no ponto selecionado, que se dá devido às
resultantes de tensão. Se falamos de um vaso de pressão, calcular também a pressão
interna.
4. Combinar as tensões individuais para saber a resultante, que são , e . Note que
lidamos com estado plano de tensões.
σx σy τxy
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5. Determinar as tensões principais e tensões máximas de cisalhamento no ponto, usando o
equacionamento referido, ou o círculo de Mohr. Se necessário, veri�car um plano
inclinado.
6. Determinar as deformações no ponto, com a lei de Hooke para estado plano.
7. Selecionar outros pontos e repetir o procedimento. Continuar até que tensões e
deformações su�cientes satisfaçam o propósito da análise.
Exemplo
A haste maciça tem um raio de 7,5 mm e está sujeita à carga mostrada, determine o estado de
tensões no ponto A, conforme mostra a Figura 3.12.
Figura 3.12 - Haste sob carregamento combinado
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010, p. 329).
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Inicialmente, montamos o DCL do membro AB, conforme pode ser visto a seguir:
Figura 3.13 - DCL do segmento AB
Fonte: Hibbeler (2010, p. 329).
Uma força normal de 500 N, uma força cortante de 800 N, momentos �etores de 80.000 N.mm e
70.000 N.mm, além de um momento torsor de 112.000 N.mm são obtidos na seção.
Com isso, devemos calcular os componentes de tensão.
Tensão normal
A distribuição de tensão, vista na Figura 3.14, é calculada para o ponto A por:
= = = 2, 83 MPaσA
P
A
500
π (7, 5) 2
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Força cortante
Inicialmente, calculamos Q , que determina a área semicircular sombreada.
De modo que encontramos a tensão de cisalhamento:
Figura 3.14 - Distribuição de tensão normal na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Q = = ( π (7, 5) ) = 281, 3 mmy
−
′A′
4 × 7, 5
3π
1
2
2 3
= = = 6, 04 MPaτA
VQ
It
800 × 281, 3
( π ) × 2 × 7, 51
4 (7, 5)
4
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Figura 3.15 - Distribuição de tensão de cisalhamento na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Momentos �etores
Para o componente de 80.000 N.mm, o ponto A encontra-se no eixo neutro, sendo que a tensão será
nula. = 0σA1
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Figura 3.16 - Tensão nula na linha neutra
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Para o momento de 70.000 N .mm, c = 7,5mm, de modo que:
= = = 211, 26 MPaσA2
Mc
I
70.000  × 7, 5
π14 (7, 5)
4
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Figura 3.17 - Distribuição de momento �etor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
Momento torsor
No ponto A, temos que c=7,5 mm, de modo que o cisalhamento é:
= = = 169, 01 MPaτA
Tc
J
112.000 × 7, 5
π12 (7, 5)
4
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Figura 3.18 - Distribuição de momento torsor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
praticar
Vamos Praticar
A superposição de cargas combinadas se faz necessária para compreender um elemento sujeito a estados
dessa natureza. O exemplo acima mostra um exemplo de cargas combinadas, porém não de forma
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completa, uma vez que, para entender a ação de carregamentos diferentes que agem em um corpo ou
elemento, a superposição é obrigatória. Conforme estudamos, observe a �gura a seguir e termine o
exemplo, aplicando a superposição dos estados de tensões encontrados.
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Superposição
a) e =
b) e 
c) e 
d) ) e 
e) e 
Distribuição de momento torsor na seção A
Fonte: Hibbeler (2010, p. 330).
= 208, 43 MPaσA = 175, 05 MPaτA
= 214, 09 MPaσA = 175, 05 MPaτA
= 208, 43 MPaσA = 162, 97 MPaτA
= 211, 26 MPaσA = 169, 01 MPaτA
= −214, 09 MPaσA = −175, 05 MPaτA
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Quando analisamos uma seção transversal inclinada em um elemento, isto é, a um ângulo não
perpendicular à tensão aplicada, os valores de tensão normal e de cisalhamento podem aumentar.
Para isso, existe o método de transformação de tensões , pelo qual se encontram as tensões nas
seções inclinadas. Para tal, precisamos de equações de transformação de tensão. Podemos analisar
elementos sob tensão axial e estado plano de seções a partir dessas.
Transformação deTransformação de
TensõesTensões
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Tensão Axial
O tema de tensão axial, anteriormente estudado, será o nosso primeiro caso para a transformação
de tensões.
Inicialmente, vamos imaginar uma barra prismática sob carregamento axial arbitrário.
Figura 3.19 - Diferenças entre uma seção transversal plana e inclinada
Fonte: Esfuerzos … (2017, on-line).
De acordo com a Figura 3.19, temos uma barra prismática sob tração de força P, com tensões agindo
na seção transversal. A mesma barra prismática pode ser analisada em uma seção inclinada a um
ângulo \theta. Nessa seção inclinada, vamos ter algumas componentes em P, a constar F (força
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normal) e V (força cortante), ambas resultantes de simples trigonometria aplicada, respectivamente
 e .
As tensões resultantes são calculadas em função da nova área da seção transversal. Portanto, vamos
ter as seguintes equações, tensão normal na equação 3.8, tensão de cisalhamento na equação 3.9 e
área da seção inclinada na equação 3.10
(Eq. 3.8)
(Eq. 3.9)
(eq. 3.10)
Substituindo as resultantes trigonométricas de força normal e força cortante, teremos,
respectivamente, tensão normal (eq. 3.11) e tensão de cisalhamento (eq. 3.12):
(eq. 3.11)
F = Pcosθ V = Psenθ
σ =
F
Aθ
τ =
V
Aθ
=Aθ
A
cosθ
σ = cos θ            
P
A
2
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(eq. 3.12)
Exemplo 1
Uma barra prismática de seção quadrada tem dimensões 40x40 mm. Se uma carga axial de 800 N ao
longo de seu eixo de simetria for aplicada, determine, através de DCL e da representação de um
elemento, a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o material na
seção a-a e seção b-b, conforme visto na Figura 3.20.
Figura 3.20 -  Barra prismática sob carga axial
Fonte: Rodrigues (2020, p. 15).
Aplicando as tensões mencionadas no exemplo, vamos chegar ao seguinte resultado:
τ = senθcosθ
P
A
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Sem inclinação
Tensão normal
Tensão de cisalhamento
Plano inclinado
Pelo DLC, que pode ser visto na Figura 3.21, resolvemos a carga aplicada, que possui duas
componentes, em x (F, força normal) e em y (V, força cortante).
Tensão normal
σ = = = 500 kPa
F
A
800 N
1600 mm2
τ = 0
A = 40 × 40 = 1600 mm = 0, 0016 m2 2
= = 0, 00185 mAθ
0, 0016mm2
cos30o
2
σ = = = 375 kPa
F
Aθ
692, 8 N
1850 mm2
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Tensão de cisalhamento
Alguns ângulos indicam quando a tensão normal ou a tensão de cisalhamento é máxima. Esse
comportamento é visto na Tabela 3.1, que nos mostra os picos para ambos os casos. A tensão
normal é máxima em ângulo 0º e a de cisalhamento é máxima em 45º.
τ = = = 217 kPa
V
Aθ
400 N
1850 mm2
Figura 3.21- DCL e representação dos elementos sob as tensões em seção planal (acima) e em plano
inclinado (abaixo)
Fonte: Rodrigues (2020, p. 16-19).
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0º 0
45º
90º 0 0
Tabela 3.1 - Variação das tensões conforme ângulo de inclinação
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
A análise de tensões em seções inclinadas também pode ser aplicada quando um elemento está
sujeito a um estado plano de seções.
Quando analisamos seções inclinadas nesses casos, faremos algumas considerações:
o novo elemento possui faces que são paralelas à inclinação;
novos eixos x’, y’ e z’ são associados ao novo elemento;
o eixo z’ e z são coincidentes;
os eixos são rotacionados na direção anti-horária por um ângulo em relação aos eixos x e
y originais.
θ σθ τθ
=σm xá σx
± =
σm xá
2
σx
2 ± =   ±τm xá
σx
2
±
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Figura 3.22 - Elemento sob um estado plano de tensões à esquerda e o mesmo elemento inclinado a
um ângulo 
Fonte: Adaptada de Gere (2014, p. 376).
Dadas essas informações, necessitamos, a partir disso, determinar componentes e tensão , e
 que estão associados ao ângulo de rotação 
(eq. 3.13)
(eq. 3.14)
θ
σx
′ σy
′
τx′y ′ θ.
= + cos2θ + sen2θσx′
+σx σy
2
−σx σy
2
τxy
= − cos2θ − sen2θσy ′
+σx σy
2
−σx σy
2
τxy
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 (eq. 3.15)
A convenção de sinais para as tensões normais e o cisalhamento são dados, como mostrado na
Figura 3.23:
Figura 3.23 - Convenção de sinais para estado plano de tensões.
Fonte: Hibbeler (2010, p. 350).
A convenção de sinais vista na Figura 3.23 nos diz que a tensão normal é positiva no eixo x quando a
�echa aponta para a direita, a tensão normal no eixo y é positiva quando a �echa aponta para cima,
e a tensão de cisalhamento positiva tem �echas opostas, ao lado direito do elemento para cima e ao
lado esquerdo do elemento para baixo.
= − sen2θ + cos2θτx′y ′
( + )σx σy
2
τxy
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Tensões Principais e Tensão Máxima de
Cisalhamento
As tensões normal e de cisalhamento, quando em seções inclinadas, encontram ponto de valores
máximos e mínimos entre intervalos de 90º. São chamadas de tensões principais as tensões
normais máximas e mínimas.
Ao derivar-se as equações de e em relação a e igualando a 0 , é possível obter os valores
de , em que e são máximos.
As tensões principais possuem duas raízes ou ângulos principais que são chamados de e ,
afastados 90º.
(eq. 3.16)
As tensões principais podem ser obtidas aos substituir e nas equações de transformação de
tensão. Dessa forma, teremos a equação para as tensões principais:
σx
′ σy
′ θ
θ σx
′ σy
′
θp1 θp2
tan2 =θp
τxy
−σx σy
2
θp1 θp2
= ±σ1,2
+σx σy
2
+( )
−σx σy
2
2
τ 2xy
− −−−−−−−−−−−−−−
√
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(eq. 3.17)
Nos planos principais, as tensões de cisalhamento são nulas. As tensões de cisalhamento
máximas ocorrem em planos orientados a 45º em relação à posição de um elemento que de�ne os
planos da tensão principal, de�nidos pela substituição de e nas equações de transformação
de tensão.
(eq. 3.18)
A tensão máxima de cisalhamento é dada pela equação 3.19:
(eq. 3.19)
Também na tensão máxima de cisalhamento, a tensão normal é média, podendo ser obtida por:
(eq. 3.20)
θs1 θs2
tan2 = −      θs
−σx σy
2τxy
=τmax +( )
−σx σy
2
2
τ 2xy
− −−−−−−−−−−−−−−
√
=σm dé
+σx σy
2
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Todos os conceitos aqui apresentados, de tensão média, tensão máxima de cisalhamento, ângulos
principais e tensões principais serão muito úteis na análise de  critérios de seleção de materiais e
serão utilizadosa seguir na construção grá�ca do círculo de Mohr, uma ferramenta que transforma
as equações em grá�co.
Círculo de Mohr
O Círculo de Mohr é uma representação grá�ca das equações de transformações de tensões. Com
ele, é possível observar como as tensões normais e de cisalhamento se relacionam e agem em
planos inclinados em um corpo submetido à tensão. Nele, é fácil de observar as tensões principais,
as tensões de cisalhamento máximas e as tensões em planos inclinados. Também pode se aplicar o
Círculo de Mohr às deformações.
O círculo é construído seguindo algumas regras:
tensão normal positiva à direita no eixo x;
tensão de cisalhamento é positiva para baixo, no eixo y;
considerar , e conhecidas agindo nos planos x e y de um elemento sujeito a
estado plano de tensões;
com o círculo, é possível determinar as tensões de um elemento inclinado , e ,
bem como as tensões principais e máxima de cisalhamento.
σx σy τxy
σx
′ σy
′ τx′y′
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O centro do círculo é dado pelas coordenadas C ( . O raio do círculo R = , conforme
visto na equação 3.12. Outro ponto importante é o ponto A, que se dá pelas coordenadas A ( , ).
Figura 3.24 - Esquematização do Círculo de Mohr
Fonte: Hibbeler (2010, p. 361).
Uma rotação de ângulo do eixo x’ no elemento corresponde uma rotação no círculo, com
mesma direção.
praticar
; 0)σm diaé τmax
σx τxy
θ  2θ
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praticar
Vamos Praticar
Se temos um estado plano de tensão, representado pelo elemento na �gura a seguir, determine suas
tensões em um outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. Preste
atenção ao sinal das tensões, conforme convenção adotada.
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Solução
Estado plano da atividade
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010, p. 354).
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a) , e 
b) , e 
c) , e 
d) , e 
e) , e 
= 25, 8 MPaσx
′ = 4, 15 MPaσy
′ = 68, 8 MPaτx′y′
= −25, 8 MPaσx
′ = −4, 15 MPaσy
′ = −68, 8 MPaτx′y′
= −80 MPaσx
′ = 50 MPaσy
′ = −25 MPaτx′y′
= −52, 5 MPaσx
′ = 3, 6 MPaσy
′ = −44, 6 MPaτx′y′
= −32, 7 MPaσx
′ = −7, 54 MPaσy
′ = −62, 2 MPaτx′y′
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Quando um elemento é sujeito a deformações em um único plano, estamos falando de estado plano
de deformações. Conhecendo os componentes de deformação para um elemento, podemos
encontrar também as deformações em uma certa orientação do elemento, tal como visto
anteriormente para tensões. Fazemos uso de equações de transformação de deformações:
Transformação deTransformação de
DeformaçõesDeformações
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(eq. 3.21)
(eq. 3.22)
(eq. 3.23)
(eq. 3.24)
(eq. 3.25)
(eq. 3.26)
= + cos2θ + sen2θεx′
+εx εy
2
−εx εy
2
γxy
2
= − cos2θ − sen2θεy ′
+εx εy
2
−εx εy
2
γxy
2
= −( ) sen2θ + cos2θ
γx′y ′
2
−εx εy
2
γxy
2
= ±ε1,2
+εx εy
2
+( )
−εx εy
2
2
( )
γxy
2
2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
=
γm x no planoá
2
+( )
−εx εy
2
2
( )
γxy
2
2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
=εm dé
+εx εy
2
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(eq. 3.27)
De forma análoga ao método de análise do estado plano de tensões, o estado plano de deformações
possui equações para deformações principais, média e em planos inclinados. Elas serão
posteriormente utilizadas na construção do Círculo de Mohr do estado plano de deformações.
Círculo de Mohr para Deformações
O Círculo de Mohr também é válido para deformações. Sua construção é bastante similar ao Círculo
de Mohr para tensões. O centro do círculo é dado pelas coordenadas C . O raio do círculo
R = é dado na equação 3.25. Outro ponto importante é o ponto A, que se dá pelas
coordenadas A ( , ).
tan2 =θp
γxy
−εx εy
( ; 0)εm diaé
$
γm x no planoá
2
εx′
γxy
2
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Figura 3.25 - Círculo de Mohr para deformações
Fonte: Hibbeler (2010, p. 391).
Podemos observar que o Círculo de Mohr de deformações é bastante similar ao Círculo de Mohr de
tensões, bem como as equações. Um dos cuidados, porém, é em relação à deformação de
cisalhamento, que é apresentada dividida por 2.
Extensômetros de Resistência Elétrica tipo
Roseta
As deformações normais em um corpo podem ser medidas em direções particulares através de
extensômetros de resistência elétrica do tipo roseta. Quando um corpo é submetido a diversas
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cargas, resulta em diversas deformações, inclusive uma deformação de cisalhamento. Para
compreendê-las, um arranjo de três extensômetros precisa ser feito, chamado de roseta , uma vez
que extensômetros diretamente não retornam à deformação de cisalhamento. Nesse arranjo, as
deformações normais podem ser medidas e transformadas para especi�car o estado de
deformações no ponto do corpo.
Dada a Figura 3.26, temos os três extensômetros, a, b e c. Para ângulos arbitrários, as deformações
resultantes serão dadas por:
(eq. 3.28)
Figura 3.26 - Representação de um extensômetro tipo roseta
Fonte: Hibbeler (2010, p. 400).
= cos + sen + sen cosεa εx
2θa εy
2θa γxy θa θa  
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(eq. 3.29)
(eq. 3.30)
Normalmente, as rosetas são arranjadas em ângulos de 45º e 60º.
Para uma roseta de 45º, teremos as seguintes equações:
(eq. 3.31)
= cos + sen + sen cosεb εx
2θb εy
2θb γxy θb θb
= cos + sen + sen cosεc εx
2θc εy
2θc γxy θc θc
Figura 3.27 - Extensômetro do tipo roseta de 45º e 60º, da esquerda para a direita
Fonte: Hibbeler (2010, p. 400).
=εx εa
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(eq. 3.32)
(eq. 3.33)
Para extensômetros do tipo roseta de 60º, teremos:
(eq. 3.34)
(eq. 3.35)
(eq. 3.36)
É válido salientar que as rosetas não vão retornar valores diretos de deformação sofrida por um
corpo no plano e, por isso, a conversão que é feita, por meio das equações aqui apresentadas, é
muito importante e retorna ao analista ou ao técnico o estado plano de deformações.
=εy εc
= 2   −   ( + )γxy εb εa εc
=εx εa
= (2 + 2 − )εy
1
3
εb εc εa
= (   −   )γxy
2
3
–√
εb εc
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saiba mais
Saiba mais
A deformação é um importante mecanismo estudado por
engenheiros mecânicos e  metalúrgicos que, em muitos
casos, melhora certas propriedades mecânicas dos
materiais. A constar, o conceito de encruamento é
amplamente estudado. O encruamento endurece os
materiais que passam por esse processo, devido aos
mecanismos de discordâncias. Procure ver ou revisar o
conceito de discordâncias, abordado em livros-textos de
ciência dos materiais ou metalurgia física. Agora, leia o
artigo disponível, que traz o estudo de encruamento de um
aço inoxidável, aplicando os conceitos de deformação e
metalurgia.
ACESSAR
Bem como as tensões, as deformações precisam ser compreendidas, pois elas explicam fenômenos
dos materiais que são de grande importância na engenharia. Compreendê-las é entender sobre a
http://www.scielo.br/pdf/rem/v60n1/v60n1a22.pdf
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prevenção de falha e a durabilidade de mecanismos e sistemas. Ao �m dos estudos desta unidade,
temos base para discernir sobre materiais deformáveis em aplicações não somente da engenharia
mecânica e civil, mas também temos uma compreensão dos materiais como um todo, quando
sujeitos a carregamentos ou passando por fenômenos físicos.
praticar
Vamos Praticar
O estado plano de deformação no ponto A sobre o suporte é medido por meio do extensômetro tipo roseta,
conforme �gura a seguir. As leituras obtidas para as deformações foram: ,
e . Determine as deformações principais no plano no ponto e suas
direções.
= 60 ×εa 10
−6
= 135 ×εb 10
−6 = 264 ×εc 10
−6
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a) e a um ângulo 
b) e a um ângulo 
Extensômetro do tipo roseta para atividade
Fonte: Hibbeler (2010, p. 401).
= 60 × $ε1 10
−6 = 246 ×ε2 10
−6 = −27, 4θp2
o
= 272 ×ε1 10
−6 = 33, 9 ×ε2 10
−6 = 19, 3θp2
o
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c) e a um ângulo 
d) e a um ângulo 
e) ) e a um ângulo 
= 60 ×ε1 10
−6 = 135 ×ε2 10
−6 = −37, 1θp2
o
= 272ε1 = 33, 9ε2 = 19, 3θp2
o
= 144 ×ε1 10
−6 = 247 ×ε2 10
−6 = 28, 7θp2
o
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indicações
Material
Complementar
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LIVRO
Resistência dos Materiais (capítulos 7, 8 e 9)
Russell Hibbeler
Editora: Pearson
ISBN: 9788576053736
Comentário: Novamente, recomenda-se leitura do livro-texto
Resistência dos Materiais, de Hibbeler. O conteúdo está apresentado de
forma sucinta e dinâmica. Recomenda-se a resolução de exercícios que
possam aumentar seu conhecimento por meio da prática e da leitura de
exemplos que o livro traz.
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FILME
O Challenger
Ano: 2013
Comentário: Este é um interessante �lme que mostra, de forma
dramatizada, o acidente com o ônibus espacial Challenger, em 1986. O
principal motivo do acidente, que deixou 7 mortos, foi a falha de um
anel de vedação, o que ocasionou falhas estruturais no ônibus e
culminou em sua explosão.
TRA ILER
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conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), esta unidade pode parecer, a uma primeira vista, bastante condensada e cheia de
fórmulas, porém não �que intimidado(a) por isso, pelo contrário, veja o quanto você já adquiriu de
conhecimento su�ciente para resolver problemas complexos dentro da mecânica dos sólidos, como
o projeto de vasos de pressão de parede �na. Aqui, estruturas que suportam carregamentos
diversos foram analisadas, bem como tensões e deformações passaram a ser compreendidas de
forma mais íntegra, e não apenas como o resultado de um equacionamento, graças ao Círculo de
Mohr, que demonstra visualmente como a inclinação de um elemento tensionado pode alterar seu
per�l de tensões ou deformações.
referências
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Referências
Bibliográ�cas
ESFUERZOS en un plano oblicuo bajo carga axial. Resistencia de los Materiales, 2017. Disponível em:
< https://profejnresistenciademateriales.blogspot.com/2017/10/esfuerzos-en-un-plano-oblicuo-
bajo.html >. Acesso em: 07 jan. 2020.
GERE, James B. Mechanics of Materials. Stamford: Cengage Learning, 2014.
HIBBELER, Russell. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 2010.
MEYERS, Marc. Mechanical Behavior of Materials. Cambridge: Cambridge University Press, 2009.
RODRIGUES, Luiz E. M. Aula 2 - Resistência dos Materiais. EngBrasil , 2020. Disponível em: <
http://www.engbrasil.eng.br/pp/res/aula2.pdf >. Acesso em: 07 jan. 2020.
https://profejnresistenciademateriales.blogspot.com/2017/10/esfuerzos-en-un-plano-oblicuo-bajo.html
http://www.engbrasil.eng.br/pp/res/aula2.pdf
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