R2 - Resumo_2017_BF

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
Departamento de Estruturas 
 
 
RESUMO DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
 
 
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia 
 
PED: Elias Antonio Nicolas 
Bruno Fernandes (Rev. 2017) 
 
PAD: Bianca Lopes de Oliveira 
Renato Saldanha Victor (Rev. 2008, 2009) 
 
Campinas, 2006 (Revisão 2017) 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
 Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
2 
 
 
SUMÁRIO 
Introdução ..................................................................................................................................................... 4 
1. Flexão geral .............................................................................................................................................. 5 
1.1 Geometria das massas ......................................................................................................................... 5 
1.1.1 Momentos de segunda ordem .......................................................................................................... 5 
1.1.2 Rotação dos eixos (u,v) ................................................................................................................... 6 
1.1.3 Círculo de Mohr .............................................................................................................................. 7 
1.1.4 Exercícios ........................................................................................................................................ 8 
1.2 Tensões Normais à Seção Transversal ............................................................................................. 11 
1.2.1 Flexão Pura .................................................................................................................................... 11 
1.2.2 Flexão Oblíqua Pura ...................................................................................................................... 12 
1.2.3 Exercícios ...................................................................................................................................... 14 
1.2.4 Flexão Composta ........................................................................................................................... 17 
1.2.5 Flexão Oblíqua Composta ............................................................................................................. 17 
1.2.6 Exercícios ...................................................................................................................................... 18 
1.2.7 Núcleo central de figuras planas .................................................................................................... 19 
1.2.8 Exercícios ...................................................................................................................................... 20 
2. Torção ..................................................................................................................................................... 21 
2.1 Torção em barras de seção circular .................................................................................................. 21 
2.1.1 Tensões de cisalhamento – Lei de Hooke ...................................................................................... 22 
2.1.2 Cálculo do giro relativo (φ): .......................................................................................................... 24 
2.2 Seção circular de parede espessa (grossa) ........................................................................................ 25 
2.3 Seção circular de parede fina (delgada) ............................................................................................ 26 
2.4 Exemplo de Diagramas de Momento Torsor .................................................................................... 27 
2.4.1 Exercícios ...................................................................................................................................... 27 
2.4.2 Momento de torção uniformemente distribuído (m): ..................................................................... 28 
2.4.3Momento de torção linearmente distribuído (m): ........................................................................... 28 
2.5 Exercícios ......................................................................................................................................... 29 
2.6 Torção em barras de seção qualquer ................................................................................................. 31 
2.6.1 Deformação φ (rotação elástica) .................................................................................................... 34 
2.6.2 Exercícios ...................................................................................................................................... 36 
2.7 Analogia de membrana ..................................................................................................................... 36 
2.7.1 Torção em seções celulares ........................................................................................................... 38 
2.7.2 Exercícios ...................................................................................................................................... 39 
3. Centro de Cisalhamento em Seções Simétricas ...................................................................................... 42 
3.1 Tensões tangenciais nas seções delgadas abertas ............................................................................. 42 
3.2 Centro de cisalhamento em seções delgadas simétricas ................................................................... 47 
3.3 Exercícios ......................................................................................................................................... 49 
4. Teoria das tensões .................................................................................................................................. 53 
4.1 Estado simples (linear/unidimensional) de tensão ............................................................................ 55 
4.1.1 Círculo de Mohr ............................................................................................................................ 56 
4.2 Estado plano (duplo/bidimensional) de tensões ................................................................................ 57 
4.2.1 Círculo de Mohr ............................................................................................................................ 58 
4.2.2 Tensões principais ( 1 2): ........................................................................................................... 58 
4.3 Exercícios ......................................................................................................................................... 59 
5. Teoria das deformações .......................................................................................................................... 64 
5.1 Coeficiente de Poisson: .................................................................................................................... 64 
5.2 Lei de Hooke: ................................................................................................................................... 64 
5.3 Exercícios ......................................................................................................................................... 66 
6. Energia de Deformação .......................................................................................................................... 70 
6.1 Definição .......................................................................................................................................... 71 
6.2 Cálculopelas tensões ........................................................................................................................ 71 
6.3 Cálculo pelos esforços solicitantes ................................................................................................... 73 
6.4 Cálculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron) ................................................................................. 74 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
 Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
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3 
 
6.5 Teorema de Maxwell ........................................................................................................................ 74 
6.6 Teorema de Castigliano .................................................................................................................... 76 
6.7 Teorema de Menabrea ...................................................................................................................... 78 
6.8 Exercícios ......................................................................................................................................... 79 
7. Critérios de Resistência .......................................................................................................................... 84 
7.1 Estados Limites ................................................................................................................................ 84 
7.2 Critérios de resistência ..................................................................................................................... 84 
7.2.1 Critério de Rankine (critério da maior tensão normal) .................................................................. 85 
7.2.2 Critério de Tresca (critério da maior tensão de cisalhamento) ...................................................... 85 
7.2.3 Critério de Saint Venant (critério de maior deformação normal): ................................................. 86 
7.2.5 Critério de Mohr: ........................................................................................................................... 86 
7.2.6 Critério de Coulomb: ..................................................................................................................... 87 
7.2.7 Critério da Energia de Distorção (critério de Von Mises): ............................................................ 88 
7.3 Exercícios ......................................................................................................................................... 91 
8. Flambagem ............................................................................................................................................. 94 
8.1 Teoria de 1ª ordem ............................................................................................................................ 94 
8.2 Teoria de 2ª ordem ............................................................................................................................ 95 
8.3 Teoria de 3ª ordem ............................................................................................................................ 95 
8.4 Método de equilíbrio ........................................................................................................................ 95 
8.5 Barra bi-articulada (articulada-articulada) ........................................................................................ 96 
8.6 Comprimento de flambagem (lfl) ou comprimento crítico (lcr) ......................................................... 96 
8.7 Contraventamentos ........................................................................................................................... 97 
8.8 Raio de giração (i) ............................................................................................................................ 98 
8.9 Índice de esbeltez (i) ......................................................................................................................... 98 
8.10 Tensão de flambagem ou crítica ..................................................................................................... 98 
8.11 Flambagem elástica e plástica ........................................................................................................ 98 
8.12 Exercícios ....................................................................................................................................... 99 
9. Referências Bibliográficas .................................................................................................................... 102 
 
 
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4 
 
Introdução 
Esta apostila tem por objeto dar ao aluno que frequenta o curso de Mecânica dos 
Sólidos II (CV511) um material que o auxilie no acompanhamento das aulas regulares. 
Não tem por meta substituir outras apostilas ou livros de Mecânica dos Sólidos ou 
Resistência dos Materiais. Constitui-se como notas de um caderno de um aluno, com a 
colocação de alguns exemplos adicionais. 
 
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5 
 
1. Flexão geral 
1.1 Geometria das massas 
1.1.1 Momentos de segunda ordem 
 
Sendo e eixos centrais de inércia. 
Momentos de inércia centrais: 
 
2
 
 
 
2
 
 
Produto de inércia: 
 
 
 
 
2
 
 2 
 
 
 
2
 2 2 
 
 
 
2
 2 
 
 
Momento estático 
 
 
 
S = 0 em relação ao c.g. 
 
2
 
 c
2 
 c 
 
Sendo “ ” e “c” coordenadas do c.g. em relação ao sistema ( ). 
 
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6 
 
1.1.2 Rotação dos eixos (u,v) 
 
Matriz de transformação de coordenadas: 
 
u
v
 
cos sen 
 sen cos 
 
 
 
 
u cos sen 
v sen cos 
 u v
2 
 
 
 u ( sen cos )
2
 
 
 
 u 
2 sen2 
 
 2 cos2 
 
 2 sen cos 
 
 
 u sen
2 cos
2 2 sen cos 
 v u
2 
 
 ( cos sen )2 
 
 
 v cos
2 sen
2 2 sen cos 
 uv uv 
 
 ( cos sen )( sen cos ) 
 
 
 uv sen cos ( cos
2 sen
2
 ) 
 
Utilizando Arcos duplos: 
sen 2 2 sen cos 
cos2 sen
2
 cos 2 
cos2 sen
2
 1 
Tem-se: 
 u 
 
 
2
 
 
2
 cos 2 sen2 
 v 
 
 
2
 
 
2
 cos 2 sen2 
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7 
 
 uv 
 
 
2
sen2 cos 2 
 u 
 
2
 
2
 
 
2
 cos 2 sen2 
2
 
 uv 
2 
 
2
sen2 cos 2 
2 
 u 
 
2
 
2
 uv
2 
 
2
 
2
 
2 
 
Pela equação da circunferência: 
 
2 2 2 
Com: 
 
 
 
 osição do centro 
1.1.3 Círculo de Mohr 
 
I1 = momento de inércia máximo 
I2 = momento de inércia mínimo. 
Em I1 e I2 tem-se: Iuv = 0. 
 uv2
sen2 cos 2 
tg2 
2 
 
 
Propriedade: 
 u v 
 1 2 
Valores de I1 e I2: 
 1 
 
 
2
 
 
2
 
2
 
2 
 2 
 
 
2
 
 
2
 
2
 
2 
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8 
 
 
1.1.4 Exercícios 
1) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1 e 2). 
 
2) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1 e 2). 
 
3) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1 e 2). 
 
 
4) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1 e 2) 
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9 
 
 
Resolução do Exercício 4: 
 Divisão da seção em áreas: 
 
 
 Centro de gravidade (c.g.): 
 
 
i
 i
 i
 
1 1 11 12 
(1 11 12) 
 cm 
 
 i i
 i
 
1 11 12 
(1 11 12) 
 cm 
 
 Momento de inércia de cada seção: 
 Área 1: 
 1 
1 
 
12
 1 cm 
 1 
 1 
 
12
 1 cm 
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10 
 
 1 seção retangular 
 
 Rotação dos eixos da área 1: 
 
 1 u 
 
 
2
 
 
2
 cos 2 sen2 
 1 
 2 cos ( ) cm 
 1 v 
 
 
2
 
 
2
 cos 2 sen2 
 1 
 2 cos ( ) cm 
 1 uv 
 
 
2
sen2 cos 2 
 1 
 2 sen( ) cm 
 Área 2: 
 2 
11 
 
12
 12 cm 
 2 
 11 
 
12
 cm 
 2 seção retangular 
 Área 3: 
 
 12
 
12
 2 cm 
 
12 
 
12
 1 cm 
 seção retangular 
 Momento de inércia total: 
 
2
 1 12 1 
2
 11 2 
2
 12 1 cm 
 2
2
 1 12
2
 11 1 
2
 12 1 2 cm 
 2 1 ( 12) 1 11 12 cm
 
 
 Direções principais: 
tg2 
2 
 
 
2 
 1 2 1 
 
 12 2 
 1 2 2 
 
 Momentos principais de inércia: 
 1 2 
 
 
2
 
 
2
 
2
 
2 
 1 2 
 
1 1 2
2
 
1 1 2
2
 
2
 ( )
2
 
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11 
 
 1 cm
 
 2 1 cm
 
 
1.2 Tensões Normais à Seção Transversal 
1.2.1 Flexão Pura 
Seja: 
 
 Tem-se a Flexão Pura - quando atua apenas o momento fletor (N=V=0). 
Considera-se as seguintes hipóteses: 
1. A distribuição da tensão normal na seção é linear. 
2. O material é isotrópico e segue a lei de Hooke ( ). 
3. As seções planas permanecem planas após o carregamento. 
Tensão ( ): 
 
Da hipótese (1): 
 (variação linear) onde constante 
Sabe-se que: 
 
 
 
 
O que resulta em: 
 
Sabemos que: 
 
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12 
 
Assim: 
 
 
2 
 
 
 
 
 2 
2 
 
 
 Como: 
 
 
 
 e 
 Desta forma, tem-se que: 
 
 
 
 
1.2.2 Flexão Oblíqua Pura 
Neste caso o lano de cargas é inclinado de um ângulo θ em relação ao lano 
vertical. O vetor momento é inclinado do mesmo ângulo em relação ao eixo z. 
 
 Essa flexão é tratada como a superposição de duas flexões normais (Mz e My): 
 cosθ 
 senθ 
 
A tensão normal será: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
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13 
 
Logo: 
 
 
Sabe-se que: 
 
 
 
 
 
 ( 
 ) 
 
 ( 
 2 ) 
 
 
 ( 
 2) 
 
 ( ) 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 ) 
 
 
 ( 
 2 ) 
 
 ( 
 2) 
 
 ( ) 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
Como o sistema yz é central de inércia, ou seja, u v (momentos principais 
de inércia), tem-se: 
 uv 
 
 
 v 
 v 
 
 v
 v
 
 
 
 u 
 u 
 
 u
 u
 
Assim: 
 
 u v 
 
 v
 v
u 
 u
 u
v 
 
 A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos da seção transversal onde as 
tensões normais são nulas. 
 
 v
 v
u 
 u
 u
v v 
 v
 u
 u
 v
u 
Sendo: 
 u senθ 
 v cosθ 
Substituindo: 
v 
 cosθ
 senθ
 u
 v
u 
v 
1
tgθ
 u
 v
u 
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14 
 
Essa é a equação da linha neutra. 
v 
1
tgθ
 u
 v
u 
Se: 
tg 
1
tgθ
 u
 v
 
 v tg u 
 
1.2.3 Exercícios 
1) Calcular os valores extremos de tensão (tração e compressão) que surgirão na viga. O 
peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo c.g. da seção. Dados: 
 12 .1 cm
 1. 2 cm
 e 1 . cm
 . 
 
2) Qual deve ser o valor do momento fletor admissível num plano que forma com o 
eixo y um ângulo de ? Dados: 
 1 cm
 2 cm
 - cm
 e 1 tf cm2. 
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15 
 
 
3) Determinar na seção crítica a linha neutra e calcular a flecha máxima em A. 
 2 tf cm2. 
 
Resolução do exercício 1 
Calcular os valores extremos de  (tração e compressão) que surgirão na viga. O peso 
próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo c.g. da seção. Dados: 
 12 .1 cm
 1. 2 cm
 e 1 . cm
 . 
 
Solução: 
a) Características Geométricas 
Cálculo do CG: Como a seção é simétrica a posição do c.g. é óbvia. 
Momentos Totais de Inércia e suas direções: 
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16 
 
tg2 
2 
 
 
2 1 
 1 2 12 1 
 2 
 1 2 
 
 
2
 
 
2
 
2
 
2 
 1 2 cm
 
 2 2 cm
 
 
Eixos u e v: 
 u 
 
 
2
 
 
2
 cos 2 sen2 u 2 cm
 
 u 2 
 v 1 
 
b) Tensões 
 
Pela regra da mão direita temos: 
 
 u
 u
v 
 v
 v
u 
 Onde: 
θ 2 
 
 u senθ tf.cm
 v cosθ 1 1 1 tf.cm
 
 
 
 2 
v 
1 1 1
 2u 
 
Para a Linha Neutra  = 0 
 
 
 2 
v 
1 1 1
 2 
u 
Podemos calcular a LN de duas formas: 
 Admitindo pontos na equação de tensão: 
u v 
 v 1 v 2 
 Pelo cálculo do ângulo: 
v tg u 
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17 
 
tg 
1
tgθ
 u
 v
 
 
 Para a obtenção dos pontos mais solicitados será necessário fazer uma mudança 
de base, onde será utilizado a matriz de transformação: 
 
u
v
 
cos sen 
 sen cos 
 
 
 
 
 Ponto A: 
 
 
 
 2 cm
 
 
u 2 1 cm
 1 1 cm
 
 
 
 2 
1 1 
1 1 1
 2 
( 2 1) tf cm2 
 
Ponto B: 
 
 
 
 2 cm
 
 
u 2 1 cm
 1 1 cm
 
 
 
 2 
 1 1 
1 1 1
 2 
2 1 tf cm2 
 ssim os valores e tremos de são: 
 
 C tf cm
2
 tf cm
2
 
 
1.2.4 Flexão Composta 
Quando atuam no trecho o momento e a força axial (F). Neste caso, tem-se: 
 Flexo-compressão (F < 0); 
 Flexo-tração (F > 0). 
Na flexão composta tem-se a excentricidade (e). Quando e = 0 tem-se a flexo-
compressão ou flexo-tração centrada. Quando não for igual a 0, deve-se considerar a 
excentricidade. 
 
1.2.5 Flexão Oblíqua Composta 
 Neste caso, tem-se duas excentricidades: 
eu=excentricidade em relação ao eixo u. 
ev=excentricidade em relação ao eixo v. 
 
 
 
 
 v
 v
u 
 u
 u
v 
Superposição de efeitos: 
 
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18 
 
Nesse caso: 
 u senθ e senθ eu 
 v cosθ e cosθ ev 
Linha Neutra: 
 
 
 
 
 v
 v
u 
 u
 u
v 
1
 
 
e cosθ
 v
u 
e senθ
 u
v 
v 
 u
 e senθ
 tg u 
v cte tg u cte a lin a neutra não assa elo c.g. 
1.2.6 Exercícios 
1) Calcular F, sendo c gf cm
2
 e t 1 gf cm
2
. Dados: 
 1 . cm
 . cm
 -2 . 2 cm
 e cm2. 
 
2) Determinar a carga admissível P sabendo que 
 c 12 gf cm
2
 t gf cm
2
 e l. Dados: 
 1 . cm
 e 1 . cm
 - . 1 cm
 . 
 
3) Traçar o diagrama de tensões normais na situação mais crítica. Dados: 
 1 . 2 cm
 e . cm
 -1 . 2 cm
 1 e m. 
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19 
 
 
4) Determinar a posição e o valor de uma carga P de tração que provoca a linha neutra 
indicada na figura abaixo. A tensão no ponto A vale 1 gf cm
2
. 
 
 
1.2.7 Núcleo central de figuras planas 
 É a região da seção transversal onde aplicada uma força normal, sua linha neutra 
não corta a seção. Como consequência, a seção só terá tensões de um mesmo sinal 
(compressão ou tração) de acordo com o sinal da força. É importante para materiais com 
baixa resistência a tração (murros de arrimo, chaminés, pilares, etc). 
Determinação do núcleo central: 
 
 
 
 
 v
 v
u 
Com: u ev 
 
 
 
 
 ev
 v
u 
Linha neutra: 
 
 
 
 
 ev
 v
u 
1
 
 
ev
 v
u u 
 v
 ev
 
Observações: 
i. Cada figura plana tem seu núcleo central que não depende de N. 
ii. A cada par de lados consecutivos do polígono circunscrito corresponderá a um lado do 
polígono que constitui o núcleo central. 
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20 
 
iii. O ponto de aplicação de N e a LN consequente ficam em semiplanos opostos 
delimitados pelos eixos centrais (antipolos da LN). 
iv. O núcleo central terá tantos lados quantos forem os lados (ou vértices) do polígono 
convexo circunscrito. 
 
1.2.8 Exercícios 
1) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo. 
 
2) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo. Dados: 
 2 cm2 u 1.22 .1 1 cm
 v . 1 cm
 e - . 
 
 
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21 
 
2. Torção 
2.1 Torção em barras de seção circular 
 
Seja uma barra de seção circular engastada numa extremidade e solicitada na 
extremidade livre por um momento torsor Mt. No engastamento, surgirá um momento 
de mesmo valor com sentido oposto. 
 Na deformação elástica, cada seção da barra terá uma rotação (ângulo de 
torção). arecerá assim em cada seção da arra tensões de cisal amento . 
 
Hipóteses básicas: 
i. As tensões de cisalhamento estão dirigidas perpendicularmente ao raio e seus valores 
são proporcionais ao mesmo. 
 
 r 
r
a
 (2.1) 
 
 
ii. As seções executam rotações elásticas como se fossem corpos rígidos. 
 Seja: 
 
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22 
 
A tensão aplicada na face 34, e a mesma tensão (reativa) na face oposta 12 são 
insuficientes para equilibrar o elemento porque as duas forças provocadas por elas 
formam um binário. Assim, devem existir tensões longitudinais de cisalhamento ( l). 
O Teorema de Cauchy diz que as tensões em planos perpendiculares são iguais. 
 r t l r t 
 l 
 
 
2.1.1 Tensões de cisalhamento – Lei de Hooke 
 
 Após a aplicação do momento torsor Mt, os pontos 3 e 4 passarão a ocupar as 
 osições ’ e ’ devido a distorção . 
 No caso da flexão, a tensão normal é: 
 
 
Analogamente, na torção, a tensão de cisalhamento será: 
 (2.2) 
Onde G é o módulo de elasticidade transversal. 
Para materiais isotrópicos, podemos facilmente determinar o módulo de 
elasticidade transversal, conforme mostrado na equação abaixo: 
 
 
2(1 )
 
Onde é o coeficiente de Poisson. 
Para exemplificar, temos os seguintes valores para o aço: 
 21 . a 
 . a 
 
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23 
 
 De 2.1 e 2.2 tem-se: 
 
r
 
r
a
 
 Obtém-se o momento torsor Mt, calculando-se o momento resultante das forças 
elementares aplicadas na seção. Em um anel circular (figura abaixo) de espessura r, o 
momento t é dado ela resultante das tensões na área elementar A. 
 
Sendo: 
 t r r 
 2 r r 
Temos: 
 t 
r
a
 2 rr r 
 t 
 2 r r 
a
 
Integrando a equação acima, obtem-se o momento torsor: 
 t t 
 2 r r 
a
a
 
 
2 r 
 a
 
 
a
 
 a 
2
 
 
 Desta equação, podemos determinar a tensão de cisalhamento ( ) em função do 
momento torsor ( t) e do diâmetro (D): 
 
2 t 
 a 
 
 
 Como a=D/2, para seção circular, tem-se: 
 
 t 
 
 
 
 Da teoria de flexão, temos a tensão normal ( ) em função do momento fletor 
(M) e momento de inércia (I), conforme equação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo W o módulo de resistência à flexão. 
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24 
 
Fazendo uma analogia da Teoria de Flexão com a Teoria de Torção, temos a 
tensão de cisalhamento ( ) em função do momento torsor ( t), conforme equação 
abaixo: 
 
1 t 
 D 
 
 t
 
 D 
1 
 
 
 t
 t
 
 
 Da equação acima, podemos determinar o módulo de resistência à torção para 
seção circular cheia: 
 t 
 D 
1 
 
 
2.1.2 Cálculo do giro relativo (φ): 
Da teoria de pequenos deslocamentos, sabemos que o arco se aproxima da 
tangente. 
 
Como φ é muito pequeno, pode-se aproximar o arco de uma tangente. A partir 
da figura acima e da teoria de pequenos deslocamentos, temos: 
tg φ a ( é muito e ueno) 
Dessa relação temos: 
 φ 
 
a
 
 
 Para calcularmos o giro relativo bastar integrar a equação acima: 
φ φ
l
 
 
 
a
l
 
 
 Da integração vem: 
φ 
 
a
l 
 Sendo: 
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25 
 
 
 
 
 φ 
 l
 a
 
 Aplicando a equação acima para o caso da seção circular temos: 
φ 
1 tl
 D 
D
2
 
 
 Simplificando temos: 
φ 
 2 tl
 D 
 φ 
 tl
 
 D 
 2
 
 
 Ou: 
φ 
 tl
 t
 com t 
 D 
 2
 
 
 Resumindo, para seção circular cheia: 
 
 t
 t
 t 
 D 
1 
 
 
φ 
 tl
 t
 t 
 D 
 2
 
2.2 Seção circular de parede espessa (grossa) 
 
 Com as expressões obtidas anteriormente e considerando a = D/2, tem-se: 
 r
 
 
r
D
2 
 r 
r
D
2 
r 
 t r r 
 2 r r 
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26 
 
 t r 2 r r r 
 t r 2 r
2 r 
 t 
 
 D 2 
2 r r 
 
 Para obtermos o momento torsor basta integrar a equação acima, logo: 
 t t
D
2 
d
2 
 
 
 D 2 
2 r r
D
2 
d
2 
 
 
 Finalmente, momento torsor resultante: 
 t 
2 
 D 2 
 
D
2
 
 
 
d
2
 
 
 
 Assim a tensão será: 
 
 t
 t
 
 Com: 
 t 
 
D
 
D
2
 
 
 
d
2
 
 
 
 Resumindo, temos: 
φ 
 tl
 t
 
 t 
 
 2
(D d
 
) 
2.3 Seção circular de parede fina (delgada) 
 Refere-se as seções nas quais t<<<dm ou dm t 1 sendo dm o diâmetro médio e t 
a espessura da parede. Neste caso pode-se considerar que seja uniforme. 
 
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27 
 
 
dm
2
 t dm t 
dm
2
 t 
 dm
2
 t 
2
 t 
 
 t
 dm
2
 t 
2
 
 Assim: 
 
 t
 t
 
 t 
 t dm
2
 
2
 
 E: 
φ 
 tl
 t
 
 t 
 t dm
 
 
 
 
2.4 Exemplo de Diagramas de Momento Torsor 
 Com um momento de torção aplicado, tem-se: 
 
2.4.1 Exercícios 
1) Traçar o diagrama de momento torsor: 
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28 
 
 
2) Traçar o diagrama de momento torsor: 
 
2.4.2 Momento de torção uniformemente distribuído (m): 
 
 t m m t l ml
 
 
 
 
2.4.3Momento de torção linearmente distribuído (m): 
 
 t m 
 
 
 
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29 
 
 Onde: 
m tgθ 
m
l
 
 t 
m
l
 
 
 
 
 
 Logo: 
 t 
m 2
2 l
 
E: 
 t( l) 
m l
2
2 l
 
m l
2
 
 
2.5 Exercícios 
1) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura isostática. 
m1 
 
2 a
 m2 
 
a
 
 
2) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. 
m 
 
a
 
 
 
3) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. Dados: M = 5 
kN.m; m = 0,3 kN.m/m e L = 1,2 m. 
 
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30 
 
 
4) Calcular o giro relativo φ
 
. 
 
 
5) Calcular o giro relativo φ
 
. 
 
6) Calcular o diâmetro d e o giro φ
 
. Dados: M = 120 N.m; m = 40 N.m/m; a = 1,2 m; 
b = 0,8 m; adm 1 m
2 e G = 80000 MN/m
2
. 
 
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31 
 
 
 
7) Determinar o momento torsor M. Dados: E = 21000 kN/cm2; G = 7000 kN/cm2; 
 
 arra
 1 cm adm 12 cm
2 e adm cm
2. 
 
2.6 Torção em barras de seção qualquer 
 As barras de seção circular sofrem rotações elásticas e permanecem planas. Já as 
barras de seção qualquer: sofrem empenamento. 
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32 
 
 
 Hipóteses: 
i. A espessura t = t(s), pode variar com s, mas é constante em x. 
ii. As tensões de cisalhamento igualmente distribuídas sobre a espessura t e dirigindo-se 
paralelas às bordas são funções de s, (s), mas independentes de x. 
 
 Obs: considerando-se o empenamento nulo tem-se a torção livre (torção de Saint 
Venant). 
 Equilíbrio de forças: 
 1t1 2t2 
 1t1 2t2 (s) t(s) cte 
 (s) t(s) flu o de cisal amento 
 
 Momento Mt: 
 t (s) t(s) ds 
 
 Com: 
 
ds 
2
 ds 2 d 
 t (s) t(s) 2 d 
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 t t
 
 (s) t(s) 2 d 
 
 
 t 2 (s) t(s) 
 (s) 
 t
2 t(s)
 
 (s) 
 t
 t
 
 Com: 
 t 2 t(s) 
 
 Exemplos: 
Seção quadrada: 
 
 a2 
t(s) t 
 t 2 a
2 t 
Seção circular: 
 
 
 dm
2
 
 
t(s) t 
 t 
 t dm
2
2
 
 Na seção qualquer, se t = t(s): 
 
 t
 t
 e t 2 t(s) 
 má 
 t
 tmin
 tmin 2 tmin 
 (s) t(s) flu o de cisal amento 
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34 
 
 
2.6.1 Deformação φ (rotação elástica) 
Para definir a deformação precisam ser apresentados alguns conceitos de 
trabalho/energia: 
 
U = energia = T = trabalho 
 
 d 
2
 
 d 
 
1
2
 t φ (carregamento lento) 
 Se: 
 t φ (cargas rá idas) 
U=energia de deformação (interna) 
T=trabalho externo 
 
 A carga (F, M) produz esforços (M, V, N e Mt) e tensões ( ). 
 
1
2
 (s) t(s) d ds 
 
 Pela Lei de Hooke: 
 
 
 
 
 
 
 Logo: 
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1
2 
 (s)
2
 t(s) d ds 
 Tem-se: 
 (s) 
 t
2 t(s) 
 
 
1
2 
 
 t
2 t(s) 
 
2
 t(s) d ds 
 
 t
2
 
2
 t(s)
 d ds 
 
 t
2
 
2
 d 
ds
t(s)
 
 
 t
2
 
2
 d 
l
 
 
ds
t(s)
 
 
 Igualando-se o trabalho do esforço Mt com o das tensões tem-se: 
U=T 
 t
2 l
 
2
 
ds
t(s)
 
1
2
 t φ 
φ 
 t l
 
2
 
ds
t(s)
 
φ 
 t l
 t
 
 t 
 
2
 
ds
t(s)
 
 
Como t é normalmente constante, ds é o perímetro. 
Exemplo: 
 
 t 
 
2
 
ds
t(s)
 
 (a )
2
2(a )
t
 
2 (a )
2
 t
(a )
 
 
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2.6.2 Exercícios 
1) Calcular “e” e It. Dados: Mt = 100 tf.cm; t = 0,1 cm e adm 1 tf cm
2. 
 
2) Calcular “a”. Dados: Mt = 250 tf.cm e adm 1 tf cm
2 
 
 
2.7 Analogia de membrana 
 Imaginemos uma membrana homogênea, com o mesmo contorno da seção 
transversal do elemento sujeito à torção e solicitada por uma tração uniforme nas bordas 
e por pressão uniforme. 
 
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 Equação diferencial da superfície deformada de uma membrana. 
 
2
 
 
2
 
 
2
 
 
2
 
 
 
 
 
 Verifica-se que a equação diferencial da superfície elástica da membrana 
deformada tem a mesma forma da equação diferencial que determina a distribuição das 
tensões ao longo da barra solicitada à torção. 
 Equação diferencial da torção: 
 
2
 
 
2
 
 
2
 
 
2
 
 Analogia entre as equações diferenciais se: 
 
 
 
 Onde: 
 p=pressão lateral por unicidade de área; 
 K= força de tração por unicidade de comprimento da barra; 
 =ângulo de torção por unicidade de comprimento. 
 
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2.7.1 Torção em seções celulares 
 
 Equação de equilíbrio da membrana: 
 
ds
t
 
 Placa 1: 
 1 
 1
e1
 a c a 
 
e 
( 2 1)(c) 
 Placa 2: 
 2 
 2
e2
 a c a 
 
e 
( 2 1)(c) 
 Tensão tangencial: 
 
 t
2 
 
 
 
e
 
 Assim: 
 1 
 t
2 
 
1
 
1
 
 1
e1
 
 2 
 t
2 
 
2
 
2
 
 2
e2
 
 
 t
2 
 
 
 
2
 
 2 1
e 
 
 
Momento de inércia à torção: 
 t 
 
 
 
 Ângulo de giro: 
φ 
 t l
 t
 
 t l
 
 
 
 
 
 
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2.7.2 Exercícios 
1) Calcular t e φa . Dados: G = 800 kN/cm
2
 e adm cm
2. 
 
 
2) Determinar: a) Wta/Wtf e b) esforço no cordão de solda, sendo Mt = 100 tf.cm. 
 
3) Calcular o deslocamento do ponto A. Dados: t = 0,1 cm; Mt=150 kN.cm e G = 8000 
kN/cm
2
. 
 
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40 
 
 
Resolução do exercício 3: 
 
Placa 1 (=Placa 3) 
 
 
( )
2
 
 
 1
 1 
 
 1
 2 2 
 
 
 1 1 2 
 
Placa 2 
 
 
 
 1
 2 
 
 1
 1 2 
 
 
 1 1 2 2 
 1 1 
 
 
 
 2 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
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 Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
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41 
 
 
Volume: 
 2 1 2 2 1 2 
 2 2 1 
 
 
 1 
 
 
 2 2 
 
 
 
 
Inércia à torção: 
 t 
 
 
 2 2 
 
 
 
 
 
 1 cm 
 
Giro: 
φ 
 t l
 t
 
1 1 
 1
 2 rad 
 
Coordenadas do ponto A em relação ao c.g. 
 cm cm 
v φ ( 2 ) cm 
v φ ( 2 ) 21 cm 
 
Deslocamento: 
v v 2 v 2 2 cm 
 
 
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42 
 
3. Centro de Cisalhamento em Seções Simétricas 
3.1 Tensões tangenciais nas seções delgadas abertas 
Dado um elemento de viga obtido por duas seções: x e x + dx 
 
 ( ) 
 
 
 ( )
 
 
 
 
t ( ) 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 As resultantes das trações exercidas sobre o elemento geralmente não serão 
iguais: 
 t ( ) ( ) t 
 t 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
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43 
 
 
 O equilíbrio exige, então, que exista uma força horizontal, que será: 
 t (s) e(s ) 
 
 ( )
 
 (s) e(s ) 
 
 
 (s) 
 ( ) 
 e(s )
 
 ( ) 
 e(s ) 
 
 
 
 (s) 
 ( ) 
 e(s )
 
 
 
 (s) 
 ( ) 
 e(s )
 
 Onde: 
 : tensão de cisal amento 
V: força cortante na seção em estudo; 
e: espessura da seção; 
Iz: momento de inércia com relação ao eixo neutro z; 
S: momento estático da parte da seção estudada com relação ao eixo neutro z.7 
 (s) e(s) 
 
 
 
 
 (s) e(s) 
 
 
 
 ( ) 
 e(s )
 e(s) 
 
 
 
 
 Geralmente e(s ) e(s) constante. ssim: 
 
 ( ) 
 
 (s) s
 
 
 
 
Exemplo 1: 
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44 
 
 
 (s) 
 ( ) 
 e(s)
 
 ( ) 
e(s) e 
 
 
 
e
12
 2 
e 2 
12
 2 e 
 
2
 
2
 
Variação nas mesas: 
 (s) 
e s 
2
 
 (s) (s) 
 
 ( )
 e(s)
 
 (s) 
 e s 
2
 
Tem-se: 
 
Obs.: As tensões tangenciais verticais v são desprezadas. 
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45 
 
 v 
 ( ) 
 2 
 
 (s) 
 ( ) 
 e(s)
 
e 2 v (s) 
 
Para S2 (outra posição de S) na alma: 
 Momento estático 
 (s) e s 
 
2
 
s
 
 e 
 O momento estático é acumulativo. 
 (s) 
e s 
2
 
e s2
2
 e 
 (s) (s) 
 
Exemplo 2: 
 
 (s) 
e s 
2
 (mesa) 
 (s) e s 
 
2
 
s
 
 e (mesa alma) 
 (s)
 s
 
e 
2
 e s 
 
 
2
 
 ma 
e 
2
 
2
 
e
2
 
 
2
 
2
 e 
 
2
 
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46 
 
 ma 
e 
2
 
 
e 
2
 
 
 
 
 
 
 (s) (s) 
 
 
 
 
e
12
 2 
e 
12
 e2
 
2
 
 
 1 
 
 
 (s) s
 
 
 
 1 
 (s) s
 
 
 
e s
2
 
 
 s 
e 
2
 
 
 1 
 
 
e 
2
 
 
 
 2 
 
 
 (s) s
 
 
 
 (s) 
e s 
2
 
e s2
2
 
e 
2
 
 (s) s
 
 
 
e s 
2
 
e s2
2
 
e 
2
 s
 
 
 
e 
 
 
 
e 
 
 
 
e 
2
2
 
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47 
 
 2 
 
e 
 
2
 
e 
 
 
 
e 
2
2
 
 
 
e
12
 2 
e 
12
 e 
 
2
 
2
 
 
e e 
 2 ( ) 
 
3.2 Centro de cisalhamento em seções delgadas simétricas 
 O centro de cisalhamento ou centro de torção é o ponto do plano da seção em 
relação ao qual o momento de todas as resultantes das tensões devidas a é nulo. É o 
ponto por onde deve passar o plano que contém a resultante de V atuante na seção, para 
que não haja torção. 
 f tensão de cisal amento devido 
 Forças de cisalhamento na seção 
 
 1 
 
 
 (s) s
 
 
 
 (s) 
e s
2
 
 1 
 
 
 
e s
2
 s
 
 
 
 
 
e 
2
 
 
 2 
 
 
 
e s 
2
 
e s2
2
 
e 
2
 s
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
e 
 
 
 
e 
2
2
 
 1 
 
 
 
e
12
 2 
e 
12
 
e 
2
 
 
e e 
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48 
 
 
 Condições de equivalência: 
 
 1 c 
c 
 1 
 
 
c 
 
 
 e 
2
 
 
 
 
c 
 
2
 e 
2
 
 c f e não de ende de . 
 
e 
 
12
 
e 
2
2
 
 
 Obs.: 
1. Se a cortante passar pelo C.C. não haverá momento na seção, pois há equivalência 
entre Vc e M0. 
2. e c amarmos de “flu o de tensões” o roduto τ por t, podemos imaginar uma 
analogia entre “flu o de tensões” ue ercorre a seção e “flu o de água” ue ercorreria 
um encanamento com a forma da seção analisada. 
 
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49 
 
 t 
 t
 t
 
 
 t (c ) 
 t f (tensão de cisal amento resultante) 
 
 t
 t
 
 
 e
 
 
Centro de Cisalhamento de Cantoneiras: 
 
3.3 Exercícios 
1) Determinar a posição do centro de cisalhamento e calcular as tensões tangenciais. 
Dado: Iz=2806 cm
4
. 
 
 
 
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50 
 
2) Calcular má . Dado: Iz=895.914 cm
4
. 
 
 
 
 
3) Determinar as tensões principais no ponto A da seção mais solicitada. Dado: 
Iy=27.937 cm
4
. 
 
 
Resolução do exercício 3: 
 1 
 
 
 
 
1 
2 . 
1 
 t 
1
 
 i ti
 
1
 
 1
 
 1 2 21 21 2 cm 
 t 
 t
tmá 
 
 
1
 cm 
 
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51 
 
 
 
 ( )
 
 (s) s
 
 
 
 1 1 s 
s
2
 s 
s2
2
 
 1 
 
 
 s 
s2
2
 s 2 12 
 
 
1 
 
 
 2 1 s 1 1 s 
 2 
 
 
 1 s s 
 
 
2 
 
 
 
 
 
2 2 1 2 1 c 
 
 
 
 2 12 
 
 
 c 
c 
2 2. 1 . 
2 . 
 2 cm 
 t 
 (1 c)
 
 
1 2 
 
 
 f 
 
 e
 
 
2 . 1
 2 
 t f 2 1 
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52 
 
 1 2 
 
2
 
 
2
 
2
 
2 
 1 2 
 
2
 
 
2
 
2
 ( 1 )
2
 
 1 
 2 1 
 
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53 
 
4. Teoria das tensões 
 
 
 
 lim
d 
d 
d 
 tensão normal 
 lim
d 
d 
d 
 tensão tangencial ou tensão de cisal amento
 
 lim
d 
d 
d 
 
 
t 
(t) 2 2 
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54 
 
 
Obs.: A tensão é definida no ponto. 
 
 2 
 
2
 2 
 
2
 
 
 
 
Teorema de Cauchy 
Genericamente: 
 i i i 
São seis as tensões no caso tridimensional. Porém, aqui, estudaremos apenas o 
caso plano (bidimensional). 
 
Caso linear: 
 
Caso plano: 
 
Ensaio de tração: 
 
 
 
 
 l
l
 
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55 
 
 
4.1 Estado simples (linear/unidimensional) de tensão 
 Considere uma barra sem peso, tracionada pela extremidade livre por uma força 
 centrada. uma seção genérica a arecerão tensões normais 1 de modo que se tenha 
o equilíbrio da seção cortada. 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio de forças: 
 
 
cos 
 1 cos 
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56 
 
 1 cos
2 
 
 
 
cos 
 1 sen 
 1 sen cos 
 
 De outra maneira: 
cos2 
1 cos 2 
2
 
 1
2
 
 1
2
cos 2 
sen cos 
s 2 
2
 
 1
2
s 2 
 
 1
2
 
2
 
 1
2
cos 2 
2
 
 2 
 1
2
s 2 
2
 
 
 1
2
 
2
 2 
 1
2
 
2
 
Tensões principais: 
 Tensão máxima: 1 
 Tensão mínima: 2 
 
4.1.1 Círculo de Mohr 
 
Nos planos principais (θ
 
e θ
 
) a tensão tangencial vale zero. 
Obs: 
1. Planos ou direções principais. 
2. O ponto do gráfico para o qual convergem todos os planos representativos de cortes 
na barra é chamado pólo. 
Convenção de sinais: 
 > 0  TRAÇÃO 
 < 0  COMPRESSÃO 
 
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57 
 
4.2 Estado plano (duplo/bidimensional) de tensões 
Considere um elemento infinitesimal com solicitação geral de tensões. 
 
 
 
 
Equilíbrio de forças: 
 
 d d cosθcosθ 2. d senθcosθ d senθsenθ 
 cos
2θ 2 senθcosθ sen
2θ 
 
 d 
 d senθ cosθ 
d cosθ cosθ d senθ senθ 
d cosθ senθ 
 d 
 senθcosθ 
 cos2θ sen2θ 
 
Arcos duplos: 
 
 
2
 
 
2
 cos 2θ sen2θ 
 
 
 
2
sen2θ cos2θ 
 
 
 
2
 
2
 
 
2
cos 2θ sen2θ 
2
 
( )
22
sen2θ cos2θ 
2
 
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58 
 
 
 
2
 
2
 ( )
2
 
2
 
2 
4.2.1 Círculo de Mohr 
Centro do círculo: 
 
 
2
 
 
Raio do círculo: 
 
 
2
2
 
2
 
 
Portanto: 
 1 
 
2
 
 ma 
 2 
 
2
 
 ma 
 
 
4.2.2 Tensões principais ( 1 2): 
 1 2 
 
 
2
 
 
2
 
2
 
2 
Na orientação principal, o cisalhamento é nulo, portanto: 
 
 
2
sen θ cos2θ 
 tg2θ1 
2 
 
 
Direções principais: 
θ e θ 
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59 
 
 
Propriedade: 
 1 2 cte 
 
Expressão Matricial das tensões: 
 
 
cos sen 
 sen cos 
 :matri de transformação de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4.3 Exercícios 
1) Calcular as tensões principais e suas direções, e desenhar o círculo de Mohr. x = 
160 kN/cm
2
 , y = 60 kN/cm
2
 e xy = 40 kN/cm
2
 
 
 
2) Calcular as tensões de cisalhamento nos cortes I, II e III. Dados: 
 1 cm
2 cm
2 -1 cm
2. 
 
 
3) Calcular as tensões principais e suas direções. 
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60 
 
 
4) Calcular as tensões principais e suas direções. Dados: 
 a cm
2 1 cm
2 c cm
2 
 
 
5) Calcular as tensões principais e suas direções nos pontos 1 e 2 indicando os planos 
onde elas atuam. Estes pontos estão na seção transversal do apoio B. 
 
 
Resolução do exercício 5: 
 
A obtenção das tensões (normal e tangencial) nos pontos 1 e 2 da seção 
transversal do apoio B, exige a determinação do momento fletor e da força cortante 
nessa seção obtidos a seguir: 
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61 
 
 
 2 2 1 
2 
2
 
 1 2 
 
 2 1 2 
 
 
 Características geométricas da seção transversal: 
 
 1 
 
12
 1 
2
 
1 2 
 
12
 1 2 
2
 .1 cm 
 1 cm
 
 2 1 1 11 1. 2 cm
 
 Cálculo das Tensões 
Ponto 1 
 (1) 
 1
 
 
 (1) 
 
 
 
1
 
12 
 1 
 11 cm2 
 A tensão (1) será negativo porque o ponto 1 está abaixo da linha neutra, região 
da seção em que MB causará compressão (ver diagrama de momento fletor). 
 1
 2
 
 
2
 
 
2
 
2
 
2 
 1 
 2 . 
 ( cm2) 
 Estado de Tensão 
 
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62 
 
 Ponto 2 
 
 
 1
 
 
1 . 2 1 2 
1 1 
 cm2 
 
 
 
 
1
 
12 
 1 
 1 cm2 
 O estado de tensões em torno do ponto 2 pode ser representado por um elemento 
de área como se mostra na figura e respeitados as convenções de sinais para esforços 
solicitantes e tensões, resultam os sentidos indicados. 
 
Estado de Tensão no ponto 2 
 
 1
 2
 
 1 
2
 
 1 
2
 
2
 
2 
 1 
 2 . 
 ( cm2) 
Obs.: xy > 0 e V < 0, isto ocorre devido à convenção de sinais adotados para tensão 
tangencial e força cortante. 
 Círculo de Mohr 
 Ponto 1: não é necessário determinar as direções principais, visto que, (1) e y = 
0 
 Ponto 2: 
tg2θ1 
2 
 1 
 2 
θ1 1 
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63 
 
 
 
 
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64 
 
5. Teoria das deformações 
 
Deformações Normais: 
 
 u
 
 
 
 v
 
 
 
1
 tg 
1
 
 u
 
 
 
2
 tg 
2
 
 v
 
 
 
1
 
2
 
 v
 
 
 u
 
 
 
 
 Onde: 
 =deformação tangencial ou distorção. 
 
5.1 Coeficiente de Poisson: 
Considerando solicitação apenas na direção x, temos: 
 
 
 
 
Em materiais isotrópicos (que têm o mesmo comportamento elástico em todas as 
direções): 0 <  < 0,5 
 
5.2 Lei de Hooke: 
A lei de Hooke estabelece que a tensão aplicada provoque deformação 
proporcional. 
Pode-se afirmar então que se em todos os pontos de um sólido elástico atua 
tensão de direção constante um com rimento l, sofrerá, na direção da tensão, uma 
variação de comprimento: 
 l l
 
 
 
Considerando agora que ocorra solicitação em mais de uma direção, pode-se 
avaliar o efeito de cada tensão isoladamente: 
 l l 
 
Tensão apenas na direção x: 
 
 
 
 l 
 
 
l 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
 Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
65 
 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
Tensão apenas na direção y: 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
Tensão apenas na direção z: 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
 
 
 l 
 
 
l 
 
Por superposição de efeitos: 
 l 
 
 
l 
 
 
l 
 
 
l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente, ocorre nas outras direções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Além disso, para a distorção, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde G é o módulo de elasticidade transversal: 
 
 
2(1 )
 
 
Num estado triplo de deformações, temos: 
 
Num estado plano de deformações, temos apenas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular a deformação ( ) de um plano inclinado de θ em relação ao ei o 
original x, tem-se: 
 
 
 
2
 
 
2
 cos 2θ 
 
 
2
sen2θ 
 
 
 
2
 
 
2
 cos 2θ 
 
 
2
sen2θ 
 
 
 sen 2θ cos2θ
 
 
Deformações principais ( 1 e 2): 
 1
 2
 
 
2
 
 
2
 
2
 
 
 
 
2
 
2
 
 
5.3 Exercícios 
1) Calcular as tensões e . 
 
 
2) Calcular lx do sólido I. 
 1 cm
2 cm
2 1 cm
2 e . 
 
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67 
 
3) Qual o deslocamento total em y e a carga máxima. Dados: E = 100 tf/cm2 e . 
 
4) Determinar as tensões. Dados: a = 200 x 10
-6
; b = 300 x 10
-6
 a= 2; E=20.000 
kN/cm
2
 e . 
 
5) Para o tubo de parede fina; calcular Mt e F. Dados: 
 a -1 1 
- 1 
- 21. cm2 
 
6) Desenhar o círculo de Mohr. Dados: - 1 
- 
 1 1 
- 
 e 
 
 1 
-2
 rad. 
 
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68 
 
7) No ponto O da viga indicada na figura foram medidas as deformações nas direções A 
e B e encontrados: a 1 
- 1 
- Sabendo-se que essa viga está 
solicitada apenas por M e V, calcular esses valores. Dados: 
 cm2 21. cm2 . 
 
 
Resolução do exercício 3: 
Estágio 1: 
 e 
 
 
 
 l 2 cm 
 l l 
 2 2 
 1 
 
1
 
 ( ) 
 1 
1
1 
 . 
 
 
 
 1 tf 
 
1
 
 ( ) 
 1 
1
1 
 
1 
 
 
 
Estágio 2: 
 
 
 
 e 
 l 2 cm 
 l l 
 2 2 
 1 
 
1
 
 ( ) 
 1 
1
1 
 . 
 
 
 
 
 
1
 
 ( ) 
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69 
 
 
1
1 
 . 
 
 
 
 
 1 . 1 
 1 
 
 
Resolvendo o sistema: 
 1 tf cm
2 
 1 tf 
 
Carga Total: 
 total 1 2 1 1 1 1 tf 
 
1
 
 ( ) 
 
1
1 
 
1 1 
 
 . 1 
 
Deslocamento total em y: 
 l l 12 cm 
 
 
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70 
 
6. Energia de Deformação 
 Na mecânica, uma força realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx na 
mesma direção dela. 
Por exemplo, ao calcular o trabalho realizado por uma força axial aplicada na 
extremidade da barra. 
 
 Como a força N aumenta gradualmente de 0 até P, o deslocamento varia de 0 até 
Δl. Se o material comportar-se de maneira linear-elástica, a força será diretamente 
proporcional ao deslocamento, ou seja: 
 
 Onde: 
 constante 
 
Pela Lei de Hooke: 
 
1
 
 ( ) sendo 
 
 
 
 
 
 
 
 l 
 
 
 
 
 l
l
 
 
 
l
 l 
 
 
O trabalho realizado será: 
 
 l
 
 
 
 
 
 
 l
 
 
 
 l
2
2
 
 l
2
 
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71 
 
 
1
2
 l 
Sendo U a energia de deformação (carregamento lento). O carregamento lento é 
o carregamento aplicado de zero até o valor final. 
Em caso de carregamentos rápidos (carregamentos instantâneos), temos: 
 l, uma vez que o gráfico apresenta-se como um retângulo. 
Exemplos: 
 Carregamento lento: peso próprio da estrutura. 
 Carregamento rápido: ação do vento. 
 
6.1 Definição 
Energia de deformação é definida como a capacidade de produzir trabalho. A 
energia armazenada em sólidos elásticos devido à deformação dos elementos sob ações 
externas é igual ao trabalho interno. 
Objetivos: 
i. Calcular deslocamentos; 
ii. Calcular incógnitas hiperestáticas. 
 
Métodos de cálculo da energia de deformação: 
i. Pelas tensões; 
ii. Pelos esforços solicitantes; 
iii. Pelas cargas. 
 
6.2 Cálculo pelas tensões 
Seja um elemento no estado triplo de tensões. Efeito total = somatório dos 
efeitos parciais (superposição de efeitos). 
Modelo de cálculo: 
 
Trabalho é força por deslocamento. Se o elemento de volume está submetido à 
tensão x temos: 
 Força: 
 Deslocamento: 
 Trabalho: 
d 
1
2
 
 ( olume) 
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72 
 
 
1
2
 
Analogamente: 
 
1
2
 
 
1
2
 
Efeito total: 
 i 
 i 
1
2
 
1
2
 
1
2
 
 
Dividindo ambos os lados por : 
 
 i
 
 
 i
 
 
 Sendo: 
 =Energia específica de deformação (só as tensões normais). 
 
 Para um elemento de volume, a tensão de cisalhamento provoca deformação no 
elemento. 
 
 Assim, a energia de deformação armazenada no elemento é: 
 
1
2
 
 
1
2
 
 
1
2
 
 
Efeito total: 
 i 
 
 i 
 
 
 i 
 
 
Sendo: 
 = Energia específica de deformação (só as tensões de cisalhamento). 
 
Efeito global: 
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73 
 
 i i 
 volume 
 
volume
 
 Ou seja: 
 
1
2
 ( 
 
 
 )
d v
 
 
6.3 Cálculo pelos esforços solicitantes 
 
Considere uma viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 od 
v
 
 o 
1
2
( ) 
 
Pela Lei de Hooke: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 o 
1
2
 
 
2
 
 
 
2
 
 
1
2
 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
2
 
1
 
 
 
 
 
2
 
 o 
1
2
 
1
 
 
 2
 
2
 2
 
 
 
 
 
 2
 2
 2 
1
 
 
 2 
2
 
2
 2
 
 o 
1
2
 
1
 
 
 2
 
2
 2
 
 
 
 
 
 2
 2
 2 
1
 
 
 2 
2
 
2
 2
 
 
l
 
 
 
Resolvendo as integrais de área, temos: 
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74 
 
 
1
2 
 
 2
 
 
 2
 
 
1
2 
 c
 2
 
 
l
 
 
 
 Onde c é o fator de forma: 
c 
 
2
 
2
 2
 
 
Observação: 
No caso da Torção: 
 
 t
 t
 
 t
 t
t 
Ou seja: 
 
1
2 
 
 2
 
 
 2
 
 
1
2 
 c
 2
 
 
 t
2
2 t
 
l
 
 
 
1
2
 
 2
 
 
 2
 
 
c 2
 
 
 t
2
 t
 
estrutura 
 
6.4 Cálculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron) 
 t 
t
 
 onde tra al o. 
 
T = U onde U = energia de deformação. 
 
Observação: 
Teoria de 1
a
 ordem: pontos Ai e Bi muito próximos. 
 i 
1
2
 ivi 
Ou genericamente: 
 
1
2
 ivi 
Pode-se, portanto, calcular o deslocamento no ponto e na direção da força ou 
momento aplicado, com esse teorema. A aplicação é bastante limitada, pois apenas uma 
força externa ou momento pode atuar na estrutura. 
 
6.5 Teorema de Maxwell 
Trata de uma estrutura elástica com duas cargas Pi e Pk. 
Seja a viga abaixo. Por superposição de efeitos: 
 
Considere a teoria de 1
a
 ordem. 
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75 
 
Observação: 
 n indica o deslocamento, sendo o 1º índice, n, a posição do deslocamento e o 2º 
índice, j, índica a posição da carga que provocou o deslocamento. 
Assim: 
vi i ii i 
v i i 
Calcula-se agora o trabalho executado pelas cargas, que deve ser igual a energia 
de deformação acumulada na viga deformada. Existem duas formas de carregamento: 
1
a
 forma de carregamento: 
Aplica-se apenas Pi que varia de 0 até Pi. 
 
Numa segunda fase de carregamento, Pi permanece constante enquanto Pk cresce 
de 0 até Pk. 
 
Apenas as parcelas correspondentes as cargas crescentes levam o fator 1/2, não 
aquelas referentes as cargas constantes. Assim o trabalho executado vale: 
 1 
1
2
 i i ii 1 i i 
1
2
 
 
2ª forma de carregamento: 
 
Portanto o trabalho executado vale: 
 2 
1
2
 
1
2
 i i ii 1 i i 
 
Porém o trabalho realizado é o mesmo: T1 = T2. 
Substituindo os valores, tem-se que: 
 1 2 
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76 
 
1
2
 i i ii 1 i i 
1
2
 
1
2
 
1
2
 i i ii 1 i i 
1 i i 1 i i 
 i i 
Observações: 
Se substituirmos as forças Pi e Pk por um grupo de forças, temos o Teorema de 
Betti. O Teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos. 
Enunciado: “O deslocamento de um ponto i na direção i quando aplicada uma 
carga no ponto k é igual ao deslocamento de um ponto k na direção k quando aplicada 
uma carga no ponto i”. 
 
6.6 Teorema de Castigliano 
 
“ derivada arcial da energia de deformação em relação a uma carga Pk é igual 
ao deslocamento elástico vk do onto de a licação da carga” (vk é definido como a 
projeção do deslocamento sobre a direção da carga). 
 Este teorema enuncia derivada parcial porque U é função de muitas variáveis. 
Considerando as cargas como variáveis independentes, os deslocamentos são funções 
lineares delas: 
v1 1 11 i 1i 1 n 1n 
vi 1 i1 i ii i n in 
v 1 1 i i n n 
 
1
2
 ivi
n
i 1
 
 
 
 
1
2
 
 i
 
vi
n
i 1
 i
 vi
 
n
i 1
 
 
 Na primeira soma: 
 
 i
 
 
 
 i
 
 
 
Na segunda soma: 
 v1
 
 1 
 v2
 
 2 
 
 Portanto: 
 
 
 
1
2
 v 1 1 2 2 
 
 Mas: 
v 1 1 2 2 
 
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77 
 
E pelo teorema de Maxwell, tem se: 
 i i 
 
Assim: 
 
 
 
1
2
 v v 
 
 
 v 
 Como: 
 
1
2
 
 2
 
 
 2
 
 
c 2
 
 
 2
 t
 
est
 
 Assim: 
 i 
 
 i
1
2
 
 2
 
 
 2
 
 
c 2
 
 
 2
 t
 
est
 
 i 
 
 
 
 i
 
 
 
 
 i
 
c 
 
 
 i
 
 
 t
 
 i
 
est
 
 i 
 
 
 
 
 
 
c 
 
 
 
 t
 
est
 
 
 É importante lembrar que ao determinar N, M, V e T da estrutura, devemos 
deixá-los em função de kP (ela existindo ou não), para só no final dos cálculos (após a 
fase da integração) a substituirmos por seu valor original (seja ele nulo ou não). 
 
Observação prática: 
 Para facilitar os cálculos, para certos tipos especiais de estrutura, podemos 
desconsiderar certas parcelas da energia, já que são muito menores que as outras. 
 
 Vigas e pórticos planos: 
 Aqui, o momento fletor é responsável por gerar uma energia muito maior que as 
geradas pela normal, cortante e momento torçor. 
 Portanto, simplificaremos para: 
v 
 
 
 
est
 
 
 Treliças e tirantes: 
 Neste caso, as barras sofrem somente solicitação normal, ou seja: 
v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 t
 
est
 
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78 
 
v 
 
 
 
 
 
est
 
Como a força normal nas barras é uma função de grau zero (um valor constante 
na barra toda), podemos dizer que N independe de x, ou seja: 
 
l
 
 
l
 
 l 
 Onde l é o comprimento da barra. 
 Considerando que o mesmo vale para 
 
 
 temos: 
v 
 
 
 
 
 
treliça
 
 
 
 
 
 
 arra i
 
n
i 1
 
v 
 
 
 
 
l 
 
 Observações: 
 No caso de um pórtico atirantado, devemos usar: 
v 
 
 
 
 
 
 rtico
 
 
 
 
 
 
tirante
 
 
Como o teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos (e, 
naturalmente, deslocamentos (translação) por giros (rotação), podemos assim 
determinar, ao invés do deslocamento kv de um ponto, o seu giro absoluto (para 
vigas e pórticos planos): 
 
 
 
 
 
 
 
 
estrutura
 
 
 Sendo o momento no ponto k desejado, de mesmo sentido do giro k . 
 
6.7 Teorema de Menabrea 
 Usado para resolver problemas hiperestáticos, ele nada mais é que o teorema de 
Castigliano usado com o propósito inverso (num ponto onde o deslocamento já é 
conhecido e a força lá atuante, não). 
 Num apoio fixo, por exemplo, temos reações em duas direções. Ou seja, 
sabemos que esse ponto tem deslocamento, nessas duas direções, nulo. Sendo assim, 
podemos descobrir uma das reações da seguinte forma: 
v 
 
 
 
 
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79 
 
Neste caso, é a própria reação do apoio – uma incógnita hiperestática. 
 
6.8 Exercícios 
1) Calcular o deslocamento vertical do ponto A. 
 
2) Calcular o deslocamento vertical no meio do vão. 
 
 
3) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do vão. 
 
 
4) Determinar as reações dos apoios da viga. 
 
5) Calcular a força na barra e o deslocamento vertical do ponto B. Dados: Viga (E e I) 
e Barra (Eb e Ab). 
 
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80 
 
6) Calcular o deslocamento vertical do nó 5 (EA = constante). 
 
7) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do balanço. Dados: E = 2.100 
tf/cm
2
; I = 1000 cm
4
 e P = 2 tf. 
 
 
8) Calcular a força no tirante. Arco: meia-circunferência (raio = r). 
 
9) Calcular as forças nas barras e o deslocamento vertical do ponto A. 
 
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81 
 
10) Calcular as forças nas barras e seus alongamentos. Dados: A1 = A2 = 1 cm
2
; L1 = 
100 cm; L2 = 200 cm; E = 2.100.000 tf/cm
2
; Iviga = 5.557,3 cm
4
; Aviga = 112 cm
2
 e L 
= 200 cm. 
 
11) Calcular o deslocamento horizontal e vertical no ponto de aplicação da carga P. 
Dado: c = constante da mola. 
 
Resolução do exercício 7: 
Foi escolhida como incógnita hiperestática o apoio móvel vertical (R). 
 2 
 1 
 2 
 
 
 
 
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