1 Avaliação

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA 
CAMPUS UNIVERSITARIO DE TUCURUI 
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL 
 
DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS III 
Prof. Dr. Manoel Mangabeira 
Discente: Luciano Soares Bastos 
Matrícula: 202133640008 
1ª Avaliação 
 Questão 01 
Um elemento de uma estrutura é submetido ao estado plano de tensões indicado na 
figura. Determinar as tensões agindo em um elemento inclinado de 15º no sentido anti-horário. 
Apresente os resultados em um esboço do elemento. 
 
𝜎𝑥′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦. sin 2𝜃 
𝜎𝑥′ =
54 + 28
2
+
54 − 28
2
 . cos 2.15° + 62 . sin 2.15° 
𝜎𝑥′ = 41 + 11,26 + 31 
𝜎𝑥′ = 83,26 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜎𝑦′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
 . cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦. sin 2𝜃 
𝜎𝑦′ =
54 + 28
2
−
54 − 28
2
 . cos 2.15° − 62 . sin 2.15° 
𝜎𝑥′ = 41 − 11,26 − 31 
𝜎𝑥′ = −1,26 𝑀𝑃𝑎 
 
Questão 02 
O estado de tensão em um ponto da superfície superior da asa de um avião é mostrado 
no elemento. Determinar (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no 
plano e a tensão normal média no ponto. Especificar a orientação do elemento em cada caso. 
 
𝛼1,2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 [
−2 ± √22 − (4. 𝑡𝑎𝑛2. 𝛼. (−𝑡𝑎𝑛2𝛼))
2. 𝑡𝑎𝑛2. 𝛼
] 
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑝 =
2𝜏𝑥𝑦
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)
 
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑝 =
2 . (−462)
(−136 − 0)
 
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑝 =
−924
−136
 
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑝 = 6,79 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 [
−2 + √22 − (4 . 6,79 . (−6,78))
2 . 6,79
] 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 [
−2 + √188,4164
13,58
] 
𝛼1 = arctan 0,8635 
𝛼1 = 40,81° 
 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 [
−2 − √22 − (4 . 6,79 . (−6,78))
2 . 6,79
] 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 [
−2 − √188,4164
13,58
] 
𝛼2 = arctan −1,16 
𝛼2 = −49,18° 
a) 𝜎𝑚á𝑥,𝑚𝑖𝑛 = [
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ (𝜏𝑥𝑦)
2
] 
𝜎1 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+ √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ (𝜏𝑥𝑦)
2
 
𝜎1 =
−136 + 0
2
+ √(
−136 − 0
2
)
2
+ (−462)2 
𝜎1 = −68 + √(−68)2 + (−462)2 
𝜎1 = −68 + 466,98 
𝜎1 = 398,98 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜎1 + 𝜎2 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 
398,98 + 𝜎2 = −136 + 0 
𝜎2 = −136 − 398,98 
𝜎2 = −534,98 𝑀𝑃𝑎 
 
b) 𝜏𝑚á𝑥, = √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ (𝜏𝑥𝑦)
2
 
𝜏𝑚á𝑥, = √(
−136 − 0
2
)
2
+ (−462)2 
𝜏𝑚á𝑥, = √(−68)2 + (−462)2 
𝜏𝑚á𝑥, = 466,98 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜏𝑚𝑒𝑑 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 
𝜏𝑚𝑒𝑑 =
−136 + 0
2
 
𝜏𝑚𝑒𝑑 = −68 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜃𝑠 = 𝜃1 ± 45° 
𝜃𝑠 = 40,81° ± 45° 
𝜃𝑠 = 85,81° 𝑜𝑢 − 4,19° 
 
Questão 03 
Um elemento no estado biaxial de tensões é submetido às tensões indicadas na figura 
abaixo. Usando o círculo de Morh determine (a) as tensões agindo em um elemento inclinado 
de 45º no sentido anti-horário em relação ao eixo x e (b) a tensão máxima de cisalhamento e as 
tensões normais associadas. Apresente os resultados em um esboço do elemento. 
 
𝜎𝑚é𝑑 = 𝜎𝐶 =
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
=
637 − 340
2
= 148,5 𝑀𝑃𝑎 
𝑅 = √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑐)2 + 𝜏𝑥𝑦
2 = √(637 − 148,5)2 + 02 = 488,5 𝑀𝑃𝑎 
 
𝐴 = {𝜎𝑥; 𝜏𝑥𝑦} 
𝐴 = {637; 0} 
 
𝐴 = {𝜎𝑦; 𝜏𝑥𝑦} 
𝐴 = {−340; 0} 
 
𝐴 = {𝜎𝑚𝑒𝑑; 0} 
𝐴 = {148,5; 0} 
 
 
 
 
a) 
𝜎1 = 𝜎𝑐 + 𝑅 
𝜎1 = 148,5 + 488,5 
𝜎1 = 637 𝑀𝑃𝐴 
 
𝜎2 = 𝜎𝑐 − 𝑅 
𝜎2 = 148,5 − 488,5 
𝜎2 = −340 𝑀𝑃𝐴 
b) 
𝜏𝑚á𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = 𝑅 = 488,5 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚é𝑑 = 𝜎𝐶 = 148,5 𝑀𝑃𝑎