ANÁLISE DE ESTRUTURAS II

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CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2004 
Prova Final – 06/12/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (4,0 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o dia-
grama de momentos fletores do quadro hi-
perestático ao lado. Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 2,4x104 kNm2. 
Somente considere deformações por flexão. 
 
 
 
 
2ª Questão (4,0 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamen-
tos, obter o diagrama de momentos fletores 
para o quadro ao lado (barras inextensíveis). 
Todas as barras têm a mesma inércia à fle-
xão EI = 4x104 kNm2, com exceção da barra 
horizontal da direita que é infinitamente 
rígida à flexão. 
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Desenhe os aspectos das configurações deformadas (de forma exagerada) e dos diagramas de momentos fle-
tores para cada uma das estruturas abaixo. 
 
 força aplicada
 
(a) 
força aplicada 
 
(b) 
 
 
recalque de 
apoio para baixo 
(c) 
 
recalque de 
apoio para baixo 
(d) 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



−=
+=
⇒






=












++
++
+






+
−
⇒
kNm0.30
kNm5.22
0
0
62
241
135
301
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
30
65.221
3
16601
6
1
65.221
3
16601
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI
1353601
3
165.221
3
16601
3
11
20 +=


 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
4611
3
12111 +=










 ⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
2611
3
11
2112 +=


 ⋅⋅⋅+⋅== δδ 
EIEI
6311
3
12611
3
12122 +=










 ⋅⋅⋅⋅+




 ⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
EI = 2.4·104 kNm2 
Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos 
M2 1/6 
X2 = 1
X2 = 1
x X2
[kNm]
M
X1 X1 
X2 
X2 
[kNm] M0
M1 
1/6 
X1 = 1 
X1 = 1 
x X1
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/3 
1/3 
1/3 1/6 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/6 
1/6 1/6 
 
 
2ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






−
+
⇒
0
0
32/916/3
16/34/5
20
45
2
1
D
D
EI 





+=
−=
⇒
EI
D
EI
D
679.105
8519.51
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
2 1 
SH 
β20 = –20 kN β10 = +45 kNm 
+45 
0 0 
0 0 
0 
[kNm] 
M0 
0 0 0 
0 
x D1
M1 
D1 = 1 
0 
0 
K21 = +3EI/16 
K11 = +5EI/4 
0 
0 
0 
0 
+3EI/4 
+3EI/6 
K11 
K21
3EI/42 
0 
0 
M2
D2 = 1
+3EI/42
0 
D2 = 1 D2 = 1
0 
0 0 
+3EI/42
+6EI/42 
+6EI/42 
3EI/43
3EI/43 12EI/43
x D2
K22 = +9EI/32K12 = +3EI/16
K12
K22
–6EI/42 
0 
0 
0 
0 
–19.1 
+19.1 –39.6 
+39.6 
+39.6 +19.8 
45 
[kNm]
M
 
 
3ª Questão 
ponto de inflexão (a) 
M 
 
ponto de inflexão(b) 
M
 
 (c)
M
 
 
 ponto de inflexão(d)
M